Modele cyklu ekonomicznego



Podobne dokumenty
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Zbio r zadan Makroekonomia II c wiczenia 2016/2017

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

Podstawy fizyki wykład 7

Wykład z modelowania matematycznego.

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Wykład z równań różnicowych

Definicje i przykłady

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

Wykład z równań różnicowych

Fale mechaniczne i akustyka

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

Natomiast dowolny ruch chaotyczny, np. ruchy Browna, czy wszelkie postacie ruchu postępowego są przykładami ruchu nie będącego ruchem drgającym.

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

BADANIE PODŁUŻNYCH FAL DŹWIĘKOWYCH W PRĘTACH

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

MODEL IS LM POPYT GLOBALNY A STOPA PROCENTOWA. Wzrost stopy procentowej zmniejsza popyt globalny. Spadek stopy procentowej zwiększa popyt globalny.

Makroekonomia 1 dla MSEMen. Gabriela Grotkowska

Wstęp do równań różniczkowych

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.

Konrad Słodowicz sk30792 AR22 Zadanie domowe satelita

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Wstęp do równań różniczkowych

Wykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

Makroekonomia 1 - ćwiczenia. mgr Małgorzata Kłobuszewska Rynek pracy, inflacja

4.2 Analiza fourierowska(f1)

dr Bartłomiej Rokicki Chair of Macroeconomics and International Trade Theory Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/1970). Stopień W, zadanie doświadczalne D.. Znaleźć doświadczalną zależność T od P. Rys. 1

Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

pieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto...

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

PRZEPŁYWY KAPITAŁU MIĘDZYNARODOWEGO A WZROST GOSPODARCZY

Funkcje dwóch zmiennych

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Determinanty kursu walutowego w ujęciu modelowym

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Ruch drgający i falowy

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI CIEPLNEJ METODĄ ELEKTRYCZNĄ

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Promieniowanie dipolowe

22 Pochodna funkcji definicja

7. Zastosowanie wybranych modeli nieliniowych w badaniach ekonomicznych. 14. Decyzje produkcyjne i cenowe na rynku konkurencji doskonałej i monopolu

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS

Przestrzenie wektorowe

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki.

) I = dq. Obwody RC. I II prawo Kirchhoffa: t = RC (stała czasowa) IR V C. ! E d! l = 0 IR +V C. R dq dt + Q C V 0 = 0. C 1 e dt = V 0.

Transkrypt:

Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013

Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne zjawiska okresowe, które ekonomiści nazwali cyklami ekonomicznymi. Chciałbym Państwu przybliżyć tu dwa z tych modeli, które wykazują cechy cykliczności. Na wstępie wprowadźmy oznaczenia: Y - wielkość dochodu C - konsumpcja K - kapitał dostępny w gospodarce R - kapitał wymagany

Rozważmy równanie bilansu (równowagi) Y = C + K (1) uzupełnijmy je o nieco bardziej złożonym równaniem konsumpcji C = β + αy (2) To równanie uwzględnia fakt, że konsumpcja składa się z cześci stałej β niezależnej od poziomu dochodów, oraz z części proporcjonalej do wielkości dochodów ze stałą propocjonalności α. Uwzględnijmy fakt, że produkcja wymaga wkładu własnego.

Niech R(t) będzie kapitałem wymaganym do osiągnięcia zadanego poziomu dochodów, przy czym załóżmy prostą zależność R = κy (3) gdzie κ jest stałą. Stan równowagi osiągniemy gdy kapitał wymagany będzie równy kapitałowi dostępnemu w gospodarce. Kiedy tak nie jest to następują procesy dostawcze (zwiększające poziom dostępnego kapitału lub zmniejszające go)

Określmy przepływ kapitału za pomocą funkcji schodkowej k 1 > 0, gdy K < R, K = 0, gdy K = R, k 2 < 0, gdy K > R. (4) Przyczym zachodzi relacja k 1 > k 2, ponieważ z ekonomicznego punktu widzenia szybciej dokonuje się nowych inwestycji niż amortyzacji.

Z równań (1) - (4) otrzymamy wyrażenie na kapitał wymagany Do podstawiamy i otrzymamy podstawiamy Y = C + K C = β + αy Y = β + αy + K Y = R κ i otrzymujemy dostaliśmy R κ = β + αr κ + K/ κ (1 α)r = βκ + κ K

ostatecznie otrzymaliśmy R = κ 1 α K + κβ 1 α Oznacza to, że kapitał ten przyjmuje tylko trzy wartości R 1, gdy K < R, R = R 0, gdy K = R, R 2, gdy K > R.

Rysunek : Portret fazowy przebiegu zmienności dostępnego kapitału (strzałkami zaznaczony jest kierunek ewolucji)

Zauważmy, że punkt R 0 będący punktem równowagi układu (R = K) jest niestabilny. Małe zaburzenie wytrąca układ z położenia i przesuwa go na krzywą zamkniętą ABCD. Jeśli układ jest w punkcie K = R 0 i zwiększymy dostępny kapitał o K, to układ znajdzie się w punkcie K = R 0 + K, gdzie K > R, więc K = k 2, czyli spadnie na odcinek DA. Spójrzmy, jak w rozważanym modelu zmienia się wielkość produktu globalnego. Z równań (1) - (4) otrzymujemy: Y (t) = { β+k1 1 α, t (nt 1, nt 1 + t 2 ), β k 2 1 α, t (nt 1 + t 2, (n + 1)t 1 ). (5) t 1 = κ (k 1 + k 2 ) 2, t 2 = κ k 1 + k 2 1 α k 1 k 2 1 α k 1

Ze wzoru (5) widać cykliczność produktu całkowitego. Jednak nasz model ma kilka wad: Y zmienia się skokowo, co nie zachodzi w rzeczywistości. okresy wzrostu gospodarczego i recesji są proporcjonalne do odpowiednio 1 1 k 1 i k 2 skąd, w sprzeczności z rzeczywistością wynika, że okres wzrostu jest krótszy od okresu recesji (k 1 > k 2 ), co nie jest zgodne z rzeczywistością.

Aby otrzymać model ekonomiczny lepiej odpowiadający rzeczywistym przemianom w gospodarce, wprowadźmy kilka modyfikacji. Tak jak poprzednio, punktem wyjścia będzie równanie bilansu (1) oraz nieco zmienione równanie konsumpcji C(t) = αy (t τ) (6) Z równania (6) wynika, że bieżąca konsumpcja zależy od dochodów osiągniętych nieco wcześniej. Dla uproszczenia przyjmuję, że konsumpcja nie składa się z części stałej, a składa się z części proporcjonalnej do wielkości dochodów ze stałą proporcjonalności α W ekonomii przyjmuje się zależność zwaną regułą akceleracji (wzrost popytu powoduje wzrost inwestycje co następnie powoduje przyśpieszenie wzrostu gospodarczego)

K = αẏ (7) Powyższe równanie może być spełnione jedynie w stanie równowagi. Postuluję, że dynamika osiągania tego stanu jest opisana równaniem: d dt K = b(αẏ K) (8)

W celu otrzymania zamkniętego modelu z równań (1), (6), (8) postępujemy następująco. Prawą stronę równania (6) rozwijamy w szereg Taylora względem τ i zakładając, że τ jest małe, pomijamy wyrazy wyższego rzędu. Wtedy C(t) = αy (t) ταẏ (t) + O(τ 2 ). Wstawiając te wyrażenie do (1) otrzymujemy Y = αy ταẏ + K (9) Różniczkujemy (9) i korzystam z (8) i dostajemy Ẏ = αẏ ταÿ + K = αẏ ταÿ + bαẏ b K

Do ostatniego równania wstawiamy K z (9), porządkujemy wyrazy i otrzymujemy τ αÿ +(1 α bα+bτ α)ẏ +b(1 α)y = 0 (10) Równanie (10) jest równaniem oscylatora harmonicznego z tłumieniem w którym częstość własna jest określona wyrażeniem (ω 2 0 ω 2 0 = b(1 α) τα > 0 ponieważ 0 < α < 1), a współczynnik tłumienia 2k = 1 α bα + bτα τα i tak otrzymaliśmy równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem Ÿ + 2kẎ + ω 2 0Y = 0

Dla k = 0 punkt (0; 0) jest środkiem, wtedy gospodarka oscyluje wokół tego położenia ze stałą amplitudą. Dla k > 0 punkt (0; 0) jest stabilnym ogniskiem, jeśli tylko k < ω 0, amplituda jest malejąca. Dla k < 0 rozważany punkt jest niestabilnym punktem równowagi.

Dziękuję serdecznie za uwagę!