Zbio r zadan Makroekonomia II c wiczenia 2016/2017

Transkrypt

1 Zbio r zadan Makroekonomia II c wiczenia 2016/2017 ZESTAW 1 FUNKCJA PRODUKCJI Zadanie 1.1 Przyjmuje się, że funkcja produkcji musi charakteryzować się stałymi przychodami skali oraz dodatnią i malejącą krańcową produktywnością czynników. Zazwyczaj zakłada się także, że funkcja produkcji musi spełniać tzw. warunki Inady. Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je w postaci intensywnej i narysuj odpowiedni wykres. (a) Y=AKN (b) Y=A(K+N) a, a>0 (c) Y=A K N (d) Y=AK N,a,b>0 (e) Y=K AN,α 0,1 (f) Y= (g) Y= + Zadanie 1.2 Przykładem jednej z najczęściej używanych przez ekonomistów funkcji produkcji jest funkcja autorstwa Charlesa Cobba i Paula Douglasa, zwana w skrócie funkcja Cobba-Douglasa. Funkcja ta uzależnia wielkość produktu Y od nakładów dwóch czynników produkcji: kapitału (K) oraz pracy (N), a także parametru opisującego poziom technologii dostępnej w danej gospodarce (A). Funkcję tę możemy wyrazić za pomocą następującego wzoru: =, gdzie α to stały parametr opisujący udział kapitału w tworzeniu produkcji należący do przedziału (0,1). (a) Zbadaj, jakimi przychodami skali charakteryzuje się przedstawiona powyżej funkcja produkcji. (b) Korzystając z powyższej funkcji produkcji zbadaj, co dzieje się z krańcowym produktem czynnika produkcji w miarę zwiększania jego nakładów przy niezmienionych nakładach pozostałego czynnika oraz poziomie technologii. (c) W przeciwieństwie do punktu (b) zbadaj teraz, co dzieje się z krańcowym produktem danego czynnika w miarę, gdy zwiększają się nakłady innego czynnika. (d) Udowodnij, że jeżeli zarówno praca jak i kapitał otrzymują wynagrodzenia równe swoim produktom krańcowym to wtedy całość wytworzonego produktu jest dzielona między wynagrodzenie kapitału (RK) i wynagrodzenie pracy (wn), innymi słowy Y = wn + RK.

2 Zadanie 1.3 Przyjmijmy, że funkcja produkcji ma postać funkcji Cobb-Douglasa, przy czym parametr α=0.3: =... (a) Wykorzystując zależność = + + 1, wyprowadź wzór na relatywną zmianę produktywności w tej gospodarce (, TFP). (b) Przyjmijmy, że w ciągu ostatnich dziesięciu lat w pewnej gospodarce całkowita produkcja zwiększyła się z 1000 do 1300, zasób kapitału fizycznego zwiększył się z 2500 do 3250, zasób siły roboczej zwiększył się z 500 do 575. Wszystkie wartości podano w ujęciu realnym. Oblicz wartość TFP dla tej gospodarki. Zadanie 1.4 (a) Oblicz wartość dochodu narodowego Y pewnej gospodarki, której łączna produktywność A=5, zasób kapitału K=400, a liczba zatrudnionych N=100. Funkcja produkcji w tej gospodarce może być opisana wzorem Y=AK N, zaś a=1/2. (b) W tej samej gospodarce rok później, dochód narodowy Y=1071, zasób kapitału wzrósł o 41 jednostek, a liczba zatrudnionych nie uległa zmianie. Ile wynosi wobec tego nowa produktywność? ZESTAW 2 TEORIA WZROSTU (MODEL SOLOWA Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 2.1 Rozważmy prostą funkcję produkcji Cobb-Douglasa: =A, =,,. Dla uproszczenia załóżmy, że poziom zaawansowania technologicznego wynosi 1 i nie zmienia się w czasie (brak postępu technologicznego). Załóżmy także, że zasób siły roboczej jest stały. Niech s oznacza stopę oszczędności w gospodarce, a d - stopę deprecjacji kapitału fizycznego. Załóżmy też, że popyt całkowity w gospodarce składa się tylko z konsumpcji i inwestycji (pomijamy sektor rządowy). (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, a następnie zapisz funkcję popytu zagregowanego w postaci intensywnej. (b) Pokaż, że w równowadze inwestycje per capita równe są oszczędnościom per capita. (c) Wiemy, że y=f(k), zatem zmiany kapitału na zatrudnionego będą decydowały o zmianach y. Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału per capita k K/N. Jaki warunek musi być spełniony, aby kapitał per capita nie ulegał zmianie? (d) Wyznacz poziom kapitału w stanie ustalonym i oblicz poziom produkcji w stanie ustalonym. Zadanie 2.2 W pewnej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK 1/3 N 2/3, stopa oszczędności s=0.2, stopa deprecjacji d=5%. Oblicz poziom kapitału, dochodu i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1. Zadanie 2.3 W innej gospodarce produkcja może być opisana funkcją Y=AK 1/2 N 1/2, stopa oszczędności s=0.3, stopa deprecjacji d=10%. (a) Oblicz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując A=1.

3 (b) Dla k t =4 oblicz przyrost kapitału na zatrudnionego w danym punkcie czasu t. Ile wynosi tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego dla k t =4? Ile wynosi tempo wzrostu dochodu na zatrudnionego? Zadanie 2.4 Przyjmijmy, że w pewnej gospodarce funkcja produkcji na zatrudnionego ma ogólną postać y=f(k) i spełnia warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Stopa oszczędzania w tej gospodarce wynosi s, a stopa deprecjacji d, zaś zasób siły roboczej N jest stały (n=0). (a) Przedstaw na wykresie w przestrzeni (k,y) funkcję produkcji, funkcję oszczędności i funkcję deprecjacji kapitału. (b) Zaznacz na wykresie poziom kapitału w stanie ustalonym (k*). (c) Załóżmy, że początkowy poziom kapitału per capita w tej gospodarce był niższy niż k*. Zaznacz k 0 na wykresie i pokaż, ile będzie wówczas wynosić wielkość produkcji per capita, wielkość konsumpcji na zatrudnionego i wielkość inwestycji na zatrudnionego. (d) Jak będzie zmieniał się kapitał i produkcja na zatrudnionego w czasie? Wyjaśnij i narysuj odpowiednie wykresy zmian K, N, k, Y i y w czasie. Zadanie 2.5 W gospodarce z zadania 3. stopa oszczędności wzrosła z 0.3 do 0.5. (a) Ile wynosi teraz poziom kapitału i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym? (b) Wyjaśnij, jak zmiana stopy oszczędności wpłynie na zmiany k oraz y. Naszkicuj wykresy obrazujące dynamikę obu zmiennych. (c) Co by było z tymi zmiennymi, gdyby stopa oszczędności wzrosła do 0.6? Czy możesz intuicyjnie wyjaśnić, dlaczego obserwujemy taką zmianę w konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym? Zadanie 2.6 W zadaniu 2.5(b) pokazaliśmy, że w modelu Solowa wzrost stopy oszczędności prowadzi do wzrostu zasobu kapitału i wzrostu produkcji per capita. Oczekiwalibyśmy także wzrostu konsumpcji per capita. Jednak wyniki z zadania 5(c) sugerują, iż ten wzrost nie zawsze następuje. Spróbujemy wyjaśnić to zjawisko. (a) Zapisz poziom konsumpcji per capita w stanie ustalonym jako funkcję k* oraz wyprowadź warunek maksymalizacji konsumpcji per capita w stanie ustalonym. (b) Przedstaw interpretację graficzną powyższego warunku i narysuj funkcję oszczędności, przy której konsumpcja per capita osiąga wartość maksymalną w stanie ustalonym. Zadanie 2.7 Robinson Crusoe mieszka na wyspie, której jest jedynym mieszkańcem. Gospodarka wyspy Robinsona jest opisywana za pomocą funkcji produkcji Cobba-Douglasa o postaci Y = AK 0,5 N 0,5, gdzie A = N = 1, a początkowy zasób kapitału K 0 wynosi 9 jednostek. Co roku w procesie produkcji wyrobów wytwarzanych przez Robinsona deprecjacji ulega 5% zasobu kapitału. Z drugiej strony Robinson co roku oszczędza 20% wytworzonej produkcji z przeznaczeniem na inwestycje.

4 (a) Wyznacz wielkości zasobu kapitału, produkcji, współczynnika kapitałochłonności, konsumpcji, inwestycji, deprecjacji, zmiany zasobu kapitału oraz stopy wzrostu zasobu kapitału i produkcji w czasie dla 3 kolejnych lat. (b) Ile wyniosą te wartości w warunkach stanu ustalonego? (c) Jak zachowują się te wartości wraz z dochodzeniem do stanu ustalonego? Zadanie 2.8 Załóżmy, ze funkcja produkcji w modelu Solowa-Swana ma postać Cobba-Douglasa: Y = A K N, akumulacja kapitału opisywana jest równaniem = =, poziom technologii pozostaje niezmieniony w czasie A t =A, natomiast liczba zatrudnionych rośnie w stałym tempie n, N t+1 = (1 + n)n t. (a) Wyraź funkcję produkcji w postaci intensywnej uzależniającej wielkość produkcji na zatrudnionego y = Y/N od kapitału na zatrudnionego k = K/N. (b) Zapisz równanie opisujące zmianę kapitału na zatrudnionego Δk t jako funkcję kapitału na zatrudnionego k t. (c) Znajdź wyrażenia opisujące wartości kapitału, produkcji oraz konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym jako funkcję parametrów s, n, δ, α oraz A. (d) Oblicz jaka wartość stanu ustalonego k* zapewnia maksymalizację konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym. (e) Jeżeli w stanie ustalonym s<α, to co można powiedzieć na temat dynamicznej efektywności tej gospodarki? (f) Znajdź elastyczność produktu na zatrudnionego y względem tempa przyrostu pracowników n w stanie ustalonym. Zadanie 2.9 Załóżmy, ze pewnego dnia wprowadzono swobodny przepływ pracowników między dwoma integrującymi się gospodarkami. Funkcja produkcji w tym kraju spełnia założenia stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Naszkicuj zmiany w czasie zmiennych: kapitału i produkcji na zatrudnionego k i y, zasobu siły roboczej N, kapitału K oraz produkcji Y, gdy: (a) Zasób siły roboczej w analizowanej gospodarce zmniejszył się skokowo z N 0 do N 1, (N 0 >N 1 ). (b) Tempo wzrostu siły roboczej wzrosło z n 0 do n 1 (n 0 < n 1 ). (c) Zaszły obie te zmiany jednocześnie. Zadanie 2.10 Dana jest funkcja produkcji Y= K AN,a 0,1, gdzie A oznacza postęp techniczny zasilający pracę, a a=1/3. Dane są: stopa oszczędności s₁=0.3, tempo przyrostu naturalnego n=-0.05, stopa deprecjacji kapitału d=0.065, tempo postępu technologicznego g=0.01. Korzystając z modelu Solowa: (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na jednostkę efektywnej pracy AN. (b) Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału na jednostkę pracy efektywnej. (c) Oblicz poziom kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym. (d) Oblicz poziom produkcji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując, że poziom zaawansowania technologicznego A=30.

5 (e) Przedstaw warunek maksymalizacji konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym i oblicz poziom stopy oszczędności zgodny ze złotą regułą dla omawianej funkcji produkcji (f) Naszkicuj zmiany w czasie logarytmu konsumpcji na 1 zatrudnionego po wzroście stopy oszczędności do s₂=0.32. Zadanie 2.11 Załóżmy, ze w pewnym kraju stopa oszczędności s=0,24, stopa deprecjacji kapitału d=0,03, tempo przyrostu naturalnego n=0,01, tempo postępu technicznego g=0,02, a funkcja produkcji dana jest wzorem Y=K 2/3 (AN) 1/3, gdzie K oznacza zasób kapitału, N zasób siły roboczej, zaś A poziom technologii. Korzystając z modelu Solowa oblicz: (a) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego, jeżeli K=48000, A=15, N=50. (b) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po jednorazowym imporcie nowych technologii, które doprowadziły do wzrostu wartości parametru A do 320/9. (c) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po zwiększeniu tempa postępu technicznego do poziomu g 0 =0,03. Zadanie 2.12 Funkcja produkcji w pewnej gospodarce spełnia założenia neoklasycznej funkcji produkcji i jest dana przez Y = F(K,AN), gdzie K kapitał, A poziom technologii, N praca. Tempo postępu technicznego wynosi g, tj. ΔA/A=g, a przyrost naturalny wynosi n. Korzystając z modelu wzrostu Solowa, porównaj skutki zwiększenia wartości parametru A ze skutkami przyspieszenia tempa postępu technicznego, czyli wzrostu wartości g: (a) Sporządź wykresy zmian w czasie stóp wzrostu produktu na zatrudnionego w obu przypadkach (tj. wzrostu A oraz wzrostu g). (b) Sporządź wykresy zmian w czasie lny w obu przypadkach. Zadanie 2.13 W pewnym kraju funkcja produkcji ma postać Y=aK AN, gdzie a=0.5. Załóżmy, że stopa oszczędności s=0.6, tempo postępu technicznego g=0.01; stopa deprecjacji d=0.005 oraz stopa wzrostu populacji n= Załóżmy również, że w chwili badania aktualne zasoby czynników produkcji wynosiły: kapitału K₀=300, siły roboczej N₀=6, zaś poziom technologii wynosił A₀=2. W oparciu o te informacje proszę odpowiedzieć na poniższe pytania. (a) Czy kraj ten znajduje się obecnie w stanie równowagi stacjonarnej? Czy aktualne tempo wzrostu dochodu na jednostkę pracy efektywnej będzie obecnie większe, mniejsze czy równe zero? Co można powiedzieć o tempie wzrostu dochodu na zatrudnionego? (b) Oblicz poziom kapitału na jednostkę pracy efektywnej oraz dochodu na jednostkę pracy efektywnej dla równowagi stacjonarnej. Zadanie 2.14 Pewną gospodarkę można opisać wzorem Y=K 1/3 (AN) 2/3. Tempo wzrostu technologicznego i populacji są niezmienne od lat i wynoszą odpowiednio g A =2% i g N =2%. W ostatnim okresie zaobserwowano następujące tempo wzrostu kapitału g K =5%. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony?

6 Zadanie 2.15 W gospodarce Y=K 1/3 (AN) 2/3. Wiadomo, że stopa oszczędności s=30%, deprecjacja d=0.1, tempo przyrostu ludności n=0.03, a tempo wzrostu technologicznego g=0.02. Według ostatnich obserwacji, stosunek kapitału do produkcji K/Y=5. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony? Zadanie Wiemy już, że na ścieżce zrównoważonego wzrostu w modelu Solowa z postępem technologicznym tempo wzrostu PKB per capita wynosi g A. Rozważ teraz, jak zmieni się ten wynik przy dodaniu do funkcji produkcji czynnika o stałym w czasie zasobie ziemi T. Nowa funkcja produkcji przyjmuje postać: =. (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego. (b) Zlogarytmuj otrzymaną funkcję produkcji w postaci intensywnej na zatrudnionego. (c) Korzystając z następującej własności ścieżki zrównoważonego wzrostu: gy = gk, oblicz tempo wzrostu PKB na zatrudnionego. Czy jest ono zawsze dodatnie? Kiedy nie jest? (d) Sprawdź poprawność swojego wyniku, zakładając, że b = (1-a). Czy twój wynik jest przy tych parametrach identyczny ze standardowym modelem Solowa z postępem technologicznym? (e) W latach przed rewolucją przemysłową stopa wzrostu technologicznego była bardzo niska. Załóżmy, że ga=0. Ile wynosi tempo wzrostu PKB na zatrudnionego w gospodarce bez postępu technologicznego? (f) Ile co najmniej powinna wynosić stopa wzrostu technologicznego, aby produkt na zatrudnionego rósł w czasie? (g) Załóżmy, że chcesz doradzić krajom najgorzej rozwiniętym (o bardzo dużym udziale sektora rolniczego), jaka powinna być ich strategia rozwoju. Jakie kroki byś zaproponował(a)? Zadanie 2.17 Rozważmy gospodarkę, w której produktywność kapitału K zależy od zużycia energii E zgodnie z następującą funkcją produkcji: Y=K Eα (AN) 1-Eα, gdzie 0<Eα<1, zaś A oznacza poziom zaawansowania technologicznego. Stopa oszczędności jest stała i wynosi s, stopa deprecjacji kapitału jest równa d, a tempo przyrostu naturalnego wynosi n. Tempo poprawy TFP jest dane: =. (a) Użyj modelu Solowa do obliczenia stopy oszczędności zgodnej ze złotą regułą. (b) Pewnego dnia wszystkie zasoby energii zostały wyczerpane, E=0 i funkcja produkcji przyjmuje postać Y=AN. Oblicz tempo wzrostu produkcji na 1 zatrudnionego. (c) Korzystając z odpowiedzi w (b) wyjaśnij, czy będziemy obserwować konwergencję dochodów miedzy krajami, które różnią się jedynie początkowym poziomem zaawansowania technologicznego A. Zadanie 2.18 Na podstawie: Abel i Bernanke Macroeconomics, Ch. 6, Analytical problem 7. Funkcja produkcji wyrażona w kategoriach na 1 zatrudnionego ma postać y=ak α h 1-α, gdzie A poziom zaawansowania technologicznego, parametr 0 <α<1, y produkcja na 1 zatrudnionego, k kapitał fizyczny na 1 zatrudnionego, h kapitał ludzki na 1 zatrudnionego, odzwierciedlający poziom wykształcenia, umiejętności i doświadczenia zawodowego pracowników. Stopa oszczędności wynosi s

7 i są one w całości przeznaczane na odtworzenie i powiększanie zasobu kapitału fizycznego, którego stopa deprecjacji wynosi d. Kapitał ludzki jest akumulowany podczas uczestnictwa w procesie produkcji im większy zasób kapitału fizycznego, który przypada na 1 zatrudnionego tym szybciej rosną jego kwalifikacje: h = Bk, gdzie B jest parametrem. Tempo przyrostu naturalnego i postępu technicznego wynoszą zero. (a) Wyprowadź wzór na wartość łącznej produkcji Y w omawianej gospodarce. Oblicz wielkość całkowitych oszczędności w gospodarce, pamiętając, że stopa oszczędności wynosi s. Uwzględniając fakt, że oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powiększanie zasobu kapitału fizycznego, oblicz tempo wzrostu zasobu całkowitego kapitału fizycznego K, ludzkiego H, oraz całkowitej produkcji Y. (b) Jaki będzie wpływ wzrostu stopy oszczędności na tempo wzrostu całkowitej produkcji w omawianej gospodarce? Porównaj otrzymany wynik z wpływem wzrostu stopy oszczędności w modelu Solowa z neoklasyczną funkcja produkcji y=akα, nieuwzględniającą kapitału ludzkiego. Z czego wynika różnica? Zadanie 2.19 Poziom produkcji zależy od kapitału fizycznego K oraz kapitału ludzkiego H, co opisuje następująca funkcja produkcji: Y=K α (lh) 1-α. Czas może być przeznaczony albo na uczestniczenie w produkcji, albo na gromadzenie kapitału ludzkiego. Parametr l mierzy część czasu przeznaczoną na pracę (uczestniczenie w produkcji). Stopa oszczędności i stopa deprecjacji kapitału fizycznego są stałe i wynoszą, odpowiednio, s oraz d. Do akumulacji kapitału ludzkiego wykorzystywana jest edukacja, czyli czas niepoświęcony na działalność produkcyjną. Efektywność systemu kształcenia wynosi μ i tempo przyrostu kapitału ludzkiego jest dane przez = 1. (a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej, z kapitałem na jednostkę kapitału ludzkiego jako argumentem (k K/H). (b) Wyprowadź równanie opisujące dynamikę k (czyli równanie opisujące Δk). (c) Znajdź poziom k w stanie ustalonym. (d) Zapisz wartość całkowitego produktu Y jako funkcję k. (e) Oblicz tempo wzrostu Y w stanie ustalonym. Wiedząc, że część czasu poświęcana na działalność produkcyjną l jest ustalana przez podmioty, czy rozważany model można określić jako model wzrostu egzogenicznego? (f) Porównaj dwa kraje identyczne pod każdym względem poza poziomem kapitału ludzkiego (ale z identycznym tempem jego wzrostu). Czy dojdzie między nimi do konwergencji poziomów dochodu? Zadanie 2.20 Porównaj ewolucję produkcji na 1 zatrudnionego (sporządź wykres lny względem czasu) w modelu Solowa bez postępu technicznego oraz modelu AK przed i po następujących zdarzeniach: (a) Wzrost tempa przyrostu naturalnego. (b) Spadek stopy oszczędności. (c) Wzrost (jednorazowy) wartości parametru A. (d) Spadek liczby ludności w wyniku emigracji.