Obsh Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice...............2 Určitý itegrál jko limit poslouposti.................. 9.3 Vlstosti určitého itegrálu......................... 3.4 Výpočet určitého itegrálu.......................... 8.5 Věty o středí hodotě itegrálu....................... 23
Kpitol Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice Defiice... Je dá itervl, b. Koečou možiu σ = {x 0, x,..., x } tkovou, že = x 0 < x <... < x = b zýváme rozděleím itervlu, b. Bodům x k pro k =, 2,..., říkáme dělicí body itervlu, b ; itervlu x k, x k říkáme částečý itervl itervlu, b při rozděleí σ. Defiice..2. Necht σ = {x 0, x,..., x } s body = x 0 < x <... < x = b je rozděleím itervlu, b. Ozčme k = x k x k pro k ˆ. Číslo νσ) = mx k ˆ k zýváme ormou rozděleí σ. Příkld..3. Rozděleí itervlu, b σ = {, +, + 2,..., + ), + = b}, kde = b )/,, má všechy vzdáleosti mezi dělicími body stejé. Proto se mu říká ekvidisttí. Jeho ormou je = b. Defiice..4. Necht σ σ jsou rozděleí itervlu, b, přičemž σ σ. Pk σ zýváme zjeměím rozděleí σ. Pozámk. ) Když σ je zjeměím σ, pk pro ormy pltí erovost νσ) νσ ). 2) Když σ σ 2 jsou dvě rozděleí itervlu, b, pk σ σ 2 je společým zjeměím rozděleí σ i σ 2. Defiice..5. Necht fukce f je omezeá, b echt σ = {x 0, x,..., x } s body = x 0 < x <... < x = b je rozděleím itervlu, b. Ozčme M i = sup fx) m i = if fx) x x i,x i x x i,x i
pro kždé i =, 2,...,. Pk Sσ) = M i i sσ) = i= m i i i= zýváme horím, resp. dolím, součtem fukce f při rozděleí σ. Vět..6. Necht fukce f je omezeá itervlu, b. Ozčme M = sup x,b fx) m = if x,b fx). Pk pro kždé rozděleí σ itervlu, b pltí mb ) sσ) Sσ) Mb ). Důkz. Z defiice čísel M, m, M i, m i plye m m i M i M pro kždé i =, 2,...,. Vyásobeím těchto erovostí kldým i sčítáím přes i =, 2,..., dosteme m i= i m i i i= M i i i= M i. i= Protože i= i = b, důkz je hotov. Důsledek..7. Moži dolích i horích součtů je omezeá. Lemm..8. Necht f je fukce omezeá kosttou K itervlu, b, tj. pro kždé x, b pltí fx) K. Necht dále σ je rozděleí itervlu x, b σ jeho zjeměí. Pk Sσ) 2Kpνσ) Sσ ) Sσ) sσ) sσ ) sσ) + 2Kpνσ), kde p je počet bodů možiy σ σ. Důkz. Nejdříve uvžujme zjeměí σ = σ {c} pro c / σ = {x 0, x,..., x }, tedy původí rozděleí zjemíme přidáím jediého bodu. Necht c leží v i-tém částečém itervlu x i, x i. Pltí Sσ ) = Sσ) x i x i ) = Sσ) x i c) sup x i,x i sup x i,x i fx) + x i c) sup fx) + c x i ) sup fx) = c,x i x i,c ) fx) sup fx) c,x i }{{} c x i ) sup x i,x i fx) sup x i,c ) fx). }{{} Výrzy ve svorkách jsou zřejmě ezáporé epřeshují hodotu 2K. Můžeme odhdout Sσ) Sσ ) Sσ) 2Kx i c) 2Kc x i ) = Sσ) 2K i Sσ) 2Kνσ). 2
Zjeměí σ, které vzike ze σ přidáím p ových bodů, můžeme postupě vytvářet přidáváím jedoho bodu, které provedeme p krát. Při žádém kroku se orm ového zjeměí ezvětšuje. Použijeme-li odhd získý pro přidáí jedoho bodu p krát, dosteme Sσ) Sσ ) Sσ) 2Kpνσ). Důkz erovosti pro dolí součty je logický. Vět..9. Necht f je fukce omezeá, b echt σ σ 2 jsou dvě rozděleí itervlu, b. Pk sσ ) Sσ 2 ). Důkz. Jelikož σ σ 2 je společým zjeměím obou rozděleí, plye z lemmtu..8 sσ ) sσ σ 2 ) Sσ σ 2 ) Sσ 2 ). Budou ás zjímt možiy všech horích všech dolích součtů, tedy možiy {Sσ) σ je rozděleí, b } {sσ) σ je rozděleí, b }. Už jsme ukázli, že obě tyto možiy jsou omezeé zdol závorou mb ) shor závorou Mb ). Těchto závor se při volbě ejhrubšího rozděleí σ = {, b} bývá, mx Sσ) = Mb ) σ mi σ sσ) = mb ) Dleko zjímvější je zkoumáí if Sσ) sup sσ). Defiice..0. Necht f je omezeá, b. Ifimum možiy horích součtu supremum možiy dolích součtů zýváme horím, resp. dolím itegrálím součtem fukce f zčíme f = if σ Sσ), resp. Vět... Pro fukci omezeou, b pltí f = sup sσ). σ f f. Důkz. Zvolíme libovolě pevé rozděleí σ. Pro kždé rozděleí σ 2 pltí sσ ) Sσ 2 ), tedy sσ ) je dolí závorou možiy horích součtů. Z defiice ifim jko ejvětší dolí závory plye sσ ) if σ 2 Sσ 2 ) 3
Protože tto erovost pltí pro kždé σ, je číslo if σ2 Sσ 2 ) horí závorou pro možiu dolích součtů. Nyí z defiice suprem jko ejmeší horí závory možiy dosteme sup σ sσ ) if σ2 Sσ 2 ), což jsme chtěli ukázt. Ted už můžeme uvést defiici určitého itegrálu spojovou se jméy Cuchyho Riem. Defiice..2. Necht f je fukce omezeá, b. Je-li f = f, říkáme, že f má v itervlu, b Riemův itegrál. Společou hodotu dolího horího itegrálího součtu zčíme f ebo fx)dx. O fukci f říkáme, že je itegrovtelá v, b. Příkld..3. Fukce kosttí itervlu, b má pro kždé rozděleí σ stejý horí i dolí součet sσ) = Sσ) = c b ). Proto se horí i dolí itegrálí součet shoduje pltí c = c b ). Příkld..4. Fukce Dirichletov má sup J f = if J f = 0 kždém itervlu J =, b. Proto sσ) = 0 b ) Sσ) = b ). Z toho plye f = 0, f = b, proto f eexistuje. Rozhodovt o existeci itegrálu ám umoží dlší vět. Vět..5. utá postčující podmík existece itegrálu) fukce omezeá itervlu, b. Pk Necht f je f existuje ε > 0 ) rozděleí σ itervlu, b ) ) Sσ) sσ) < ε. Důkz. ) Protože f = if σ Sσ), jdeme z druhé vlstosti ifim k libovolému ε > 0 rozděleí σ tk, že Sσ ) < f + ε 2. Podobě protože f = sup σ sσ), jdeme rozděleí σ 2 tk, že sσ 2 ) > f ε 2. Difereciálí itegrálí počet vybudovli ezávisle Isc Newto Gottfried Wilhelm Leibiz. Do uceleé teorie zhruli všechy roztříštěé, izolové objevy svých předchůdců. Ob prcovli s pojmem ekoečě mlé veličiy. I když měli jisté pochybosti o ktuálí existeci ekoečě mlých veliči, prktické výpočty, které bylo možé jejich zákldě provádět, pochybosti rozptýlily. V deší době s tkovými výpočty zcházíme optrěji, prcujeme s pojmy upřesěými pomocí limity ikoliv s ifiitezimálími veličimi. Pozmeejme, že součsá mtemtik se k postupům práce s ifiitezimálími veličimi vrátil v rámci formálě vybudové estdrdí lýzy. 4
Položme σ := σ σ 2. Toto rozděleí je společým zjeměím σ i σ 2. Použijeme-li Lemm..8, dv předešlé odhdy předpokld existece f, tj. e f = f, máme Sσ) sσ) Sσ ) sσ 2 ) < f + ε 2 f + ε 2 = ε. ) Protože horí dolí itegrálí součet je ifimem resp. supremem jisté možiy, plye přímo z defiice 0 f f Sσ) sσ) pro kždé rozděleí σ. Prvou stru umíme z předpokldu udělt meší ež sebemeší kldé ε. A to je možé jeom tk, že f f = 0. Důsledek..6. Necht < c < d b < +. pk f je itegrovtelá i v c, d. Je-li f itegrovtelá v, b, Důkz. že Z existece f plye pro kždé ε > 0 existece rozděleí σ itervlu, b tk, S,b σ) s,b σ) < ε. Defiujme rozděleí σ = σ {c, d} itervlu, b rozděleí σ = σ c, d itervlu c, d. Protože σ je zjeměím rozděleí σ všechy částečé itervly rozděleí σ jsou obsžey v rozděleí σ, pltí S c,d σ ) s c,d σ ) S,b σ ) s,b σ ) S,b σ) s,b σ) < ε. Pro libovolé kldé ε se ám podřilo tedy jít tkové rozděleí σ itervlu c, d, že S c,d σ ) s c,d σ ) < ε, což zmeá splěí uté i postčující podmíky pro existeci d c f. Důsledek..7. Necht < < c < b < +. c, b, pk f je itegrovtelá i v, b. Je-li f itegrovtelá v, c v Důkz. Pro důkz existece f využijeme větu..5. Pro libovolé kldé ε existují rozděleí σ ) itervlu, c σ 2) itervlu c, b tková, že S,c σ ) ) s,c σ ) ) < ε 2 S c,b σ 2) ) s c,b σ 2) ) < ε 2..) Položme σ = σ ) σ 2). Pro toto rozděleí itervlu, b pltí S,b σ) = S,c σ ) ) + S c,b σ 2) ) s,b σ) = s,c σ ) ) + s c,b σ 2) ). 5
Kombicí těchto vzthů erovostí. dosteme S,b σ) s,b σ) < ε. Tím je splě postčující podmík pro existeci itegrálu f. I když máme utou postčující podmíku existece itegrálu, její tvr eí šikový pro ověřováí. Je všk velice užitečý pro důkz existece f u fukcí spojitých ebo mootoích. Vět..8. Fukce f spojitá, b má v tomto itervlu itegrál f. Důkz. Podle Ctorovy věty je fukce spojitá uzvřeém itervlu spojitá stejoměrě, tj. ε > 0) δ > 0) x, x, b ) x x < δ fx) fx ) < ε). Uvžujme libovolé kldé ε položme ε = ε/b ). Ke kldému δ, které získáme k ε v defiici stejoměré spojitosti, sestrojíme rozděleí σ = {x 0, x,..., x } itervlu, b tk, by jeho orm byl meší ež δ. Protože fukce spojitá uzvřeém itervlu bývá tomto itervlu svého suprem i ifim, existují pro kždé i =, 2,..., čísl ξ i, η i x i, x i tková, že m i = fξ i ) M i = fη i ). Tedy zřejmě η i ξ i i < δ. Proto 0 Sσ) sσ) = ) Mi m i i = i= fηi ) fξ i ) ) i < ε i = εb ) = ε. i= i= To už podle věty..5 zmeá existeci f. Vět..9. Fukce f mootoí v itervlu, b má v tomto itervlu itegrál f. Důkz. Opět ověříme, že je splě utá postčující podmík existece itegrálu. Existeci itegrálu pro kosttí fukce jsme již ukázli v příkldě..3. Proto předpokládejme bez újmy obecosti, že f je klesjící fukce že f) > fb). Ke kldému ε zkostruujme rozděleí σ = {x 0, x,..., x } itervlu, b tk, by jeho orm byl ε meší ež δ :=. V ásledujícím odhdu využijeme toho, že fukce klesjící v uzvřeém itervlu bývá suprem M i v levém ifim m i v prvém krji f) fb) itervlu, 0 Sσ) sσ) = ) fx i ) fx i ) i < δ i= ) fx i ) fx i ) = δ f) fb) ) = ε. i= Splěí této podmíky už implikuje existeci f. 6
Ukážeme příkldě, že i spojitost i mootoie ejsou utou podmíkou pro existeci itegrálu. Příkld..20. Připomeňme defiici Riemovy fukce fx) = { 0 pro ircioálí x, pro x = p, p, q esoudělá celá, q. q q Tto fukce je omeze shor číslem, zdol ulou. Je espojitá v kždém rcioálím bodě x 0 spojitá v kždém ircioálím bodě. Ukážeme, že itegrál této hodě espojité fukce existuje. 2 Počítáme f. Protože if f = 0 kždém itervlu, je sσ) = 0 pro 0 kždé rozděleí σ, tedy f = 0. 0 Pro lezeí horího itegrálího součtu zvolme přirozeé popišme body z itervlu 0,, ve kterých je fukčí hodot ) větší ebo rov. Jsou to zkráceé zlomky x = p, kde 0 < p < q, protože f p =. Tkových zlomků eí více ež q q q párů přirozeých čísel splňujících 0 < p < q. Těch je 2). Uvžujme ekvidisttí rozděleí itervlu 0, 3 částečých iterválků stejé délky =. Pk 3 3 Sσ) = M k = k= 3 k, kde M k < 3 + Z defiice horího itegrálího součtu plye, že f if { + 2 2 M k + ) 2 k, kde M k M k = 3 + 2 2 } N = 0. Dolí i horí itegrálí součet má stejou hodotu 0. Proto 0 f = 0. N druhé strě fukce f, která je itegrovtelá, b, emůže být všude espojitá, jk dokládá ásledující vět. Vět..2. Necht fukce f je itegrovtelá v itervlu, b. Pk fukce f má v, b ekoečě moho bodů spojitosti. 2 Riemův původí příkld hodě espojité fukce, která přesto má itegrál, je fx) = + = x 2, kde x je fukce periodická R s periodou, přičemž kldeme x := x pro x 2, 2 ) 2 := 0. Tímto příkldem se Riem dostl dleko z Cuchyovy předstvy o tom, že je rozumé itegrovt jeom fukce po částech spojité. 7
Důkz. Ukážeme, že pro kždý itervl, b pro kždou fukci f itegrovtelou, b pltí, že v, b existuje lespoň jede bod spojitosti f. Tím bude vět dokázá, protože z existece f plye existece d f pro sebemeší itervl c, d, b, c v itervlu c, d tedy tky jdeme bod spojitosti fukce f. Necht existuje f. Zvolme libovolě ε > 0. Z uté postčující podmíky pro existeci itegrálu plye, že existuje tkové rozděleí σ itervlu, b, že S,b σ) s,b σ) = M i m i ) i < ε b ). i= A tedy lespoň jedom částečém itervlu x i, x i je rozdíl M i m i suprem ifim meší ež ε. Ozčme prostředí třetiu tohoto itervlu jko, b. Protože existuje i f, úvhu opkujeme pro kldé ε 2 itervl, b. Zse jdeme rozděleí σ itervlu, b, kde S,b σ) s,b σ) = ) Mi m i i < ε 2 b ). i= A tedy lespoň jedom částečém itervlu je rozdíl M i m i suprem ifim meší ež ε 2. Prostředí třetiu tohoto částečého itervlu ozčíme 2, b 2. Tkto můžeme pokrčovt dál. Volíme-li kldá čísl ε tk, by lim ε = 0, dostávme posloupost do sebe vořeých itervlů, b, b 2, b 2..., přičemž rozdíl suprem ifim fukce f je itervlu, b meší ež ε. Posloupost levých krjů ) těchto itervlů tvoří ostře rostoucí posloupost posloupost prvých krjů b ) ostře klesjící posloupost, přičemž < b pro kždé. Proto c := lim, b ) pro kždé N. + Ted ukážeme, že bod c je bodem spojitosti fukce f. Necht je dáo kldé ε. Njdeme tk, by ε < ε položíme δ := mi{c, b c}. Pk δ-okolí c δ, c+δ), b ), proto pro kždé x z tohoto okolí je rozdíl fx) fc) omeze rozdílem suprem ifim fukce f itervlu, b ). Te je meší ež ε < ε. To dokzuje spojitost f v bodě c. Pozámk. Dokoce lze dokázt, že moži bodů spojitosti fukce f itegrovtelé v, b má mohutost kotiu, tj. mohutost možiy R. 8
.2 Určitý itegrál jko limit poslouposti Defiice.2.. Posloupost σ ) N rozděleí itervlu, b zveme ormálí, když pro ormy pltí lim νσ ) = 0. Příkld.2.2. V poslouposti σ ) ekvidisttích rozděleí defiových σ = {, +, + 2,..., + ), + = b}, kde = b )/, je orm kždého rozděleí νσ ) = b. Proto je to ormálí posloupost rozděleí. Příkld.2.3. Pro kždé N uvžujme rozděleí σ itervlu, b pomocí geometrické poslouposti σ = {, q, q 2,..., q = b}, kde q = b/. Pro ormu kždého rozděleí σ pltí νσ ) = mx k ) b/) k k b/) = mx k b/) k ) ) b/) = b/) 0 jedá se proto o ormálí posloupost rozděleí. Lemm.2.4. Necht f je omezeá itervlu, b. Pk ke kždému kldému ε existuje kldé δ tk, že pro libovolé rozděleí σ itervlu, b s ormou νσ) < δ pltí f Sσ) f + ε f ε sσ) f. Důkz. Horí itegrálí součet je ifimem možiy horích součtů, tedy z druhé vlstosti ifim plye ) ) ε > 0 σ f + ε 2 > Sσ ) Ozčme p počet dílčích iterválků rozděleí σ. Vezměme libovolé rozděleí itervlu, b s ormou νσ) < δ. Toto δ bude specifikováo později. Defiujme společé zjeměí σ = σ σ. Z lemmtu..8 víme, že Sσ ) Sσ ) Sσ ) Sσ) 2Kpνσ), kde K je kostt omezující bsolutí hodotu fukce f. Proto 0 Sσ) ). f = Sσ) Sσ ) + Sσ ) Sσ ) + Sσ ) f. }{{}}{{} 2Kpνσ) 0 }{{} Když položíme δ = ε, je prvá str předchozí erovosti < ε, což jsme měli dokázt. 4Kp Důkz pro dolí součty je obdobý. 9 <ε/2
Vět.2.5. Necht f je fukce omezeá itervlu, b echt σ ) N je libovolá ormálí posloupost rozděleí. Pk f = lim Sσ ) + f = lim sσ ). + Důkz. To, že posloupost σ ) je ormálí, zmeá δ > 0) 0 ) > 0 ) νσ ) < δ ). Z předchozího lemmtu o horím dolím itegrálím součtu plye ) ) ) ε > 0 δ > 0 σ, νσ) < δ) f Sσ) Kombicí obou výroků již dosteme ) f + ε. ) ε > 0 0 ) > 0 ) f Sσ ) ) f + ε = f = lim Sσ ). + Druhá část věty o dolím itegrálím součtu se dokzuje obdobě. Příkld.2.6. Vypočítejme ex dx pomocí předchozí věty. Zvolíme ormálí ekvidisttí posloupost rozděleí σ = { + i b i = 0,,..., }. Protože fukce e x je rostoucí, bývá ifim m i suprem M i krjích částečých itervlů. Proto sσ ) = i= b +i ) e b = b e i= e b ) i = b eb e e b Jelikož lim x 0 x e x =, je lim sσ ) = e b e. + Horí součty lze vyjádřit pomocí dolích součtů, Sσ ) = i= b +i e b = e b sσ ). Souhrě dosteme e x dx = lim Sσ ) = lim sσ ) = e b e = + + e x dx = e x dx. Příkld.2.7. Určíme xp dx pro 0 < < b prmetr p R, p > 0. Opět se jedá o fukci mootoí, b. Suprem i ifim bude fukce částečých itervlech rozděleí bývt v krjích bodech. Kdybychom použili ekvidisttí rozdě- 0
leí z předchozího příkldu, museli bychom umět sečíst sumu Sσ ) = i= + i b ) p b Tkovou sumu sečíst eumíme. Můžeme všk použít jiou ormálí posloupost rozděleí. Použijeme geometrickou posloupost z příkldu.2.3. Ted horí součet má Sσ ) tvr i= b ) ) i p b ) i b ) ) b = p+ ) ) i= b ) p+ ) i = b = p+ Využijeme toho, že ) ) b ) p+ b p+ ) ) p+ b = b p+ p+) b ) p b b ) ) p+ dosteme lim b/) p x = lim + x x p+ = p + x p dx = Pro dolí horí součty pltí vzth lim Sσ ) = bp+ p+ + p + sσ ) = b ) p Sσ ). Proto horí dolí itegrálí součty jsou stejé itegrál xp dx existuje, x p dx = bp+ p+ p + Pozámk. Změ hodoty fukce v koečém počtu bodů ezměí hodotu horího i dolího itegrálího součtu. Stčí dokázt přípd, kdy změíme fukci v jedom bodě. Když f g jsou fukce omezeé itervlu, b, přičemž gx) = fx) pro kždé x, b {c}, pk pro libovolou ormálí posloupost rozděleí σ ) je Proto je lim S f σ ) = lim S g σ ). S f σ ) S g σ ) νσ ). sup,b ) f if g 0.,b f jko limitu. Zve- Doposud jsme vyjádřili f f jko limitu. Ted vyjádříme deme ejdříve zákldí pojem - itegrálí součet.
Defiice.2.8. Necht f je fukce omezeá, b echt σ = {x 0, x,..., x }, kde = x 0 < x <... < x = b, je rozděleí itervlu, b. Sumu J σ) = fξ i ) i, kde ξ i x i, x i pro kždé i {, 2,..., }, i= zýváme itegrálím součtem fukce f při rozděleí σ. Pozámk. ) I když to formálě evyzčujeme, itegrálí součet J σ) závisí ejeom σ, le tké volbě jedotlivých bodů ξ i. 2) Pro kždé rozděleí σ pltí sσ) J σ) Sσ). Vět.2.9. zákldí vět itegrálího počtu) 3 Necht f je fukce omezeá itervlu, b. Itegrál f existuje právě tehdy, když pro kždou ormálí posloupost rozděleí σ ) N je posloupost J σ ) ) kovergetí. N Důkz. ) Předpokládejme, že f existuje. V tomto přípdě pro ormálí posloupost rozděleí z věty.2.5 je lim Sσ ) = lim sσ ) = f. Protože sσ ) J σ ) Sσ ) pro kždý itegrálí součet σ, plye tvrzeí z věty o limitě sevřeé poslouposti. ) Nejdříve ukážeme, že když kždá posloupost J σ ) ) je kovergetí, tk všechy poslouposti J σ ) ) mjí stejou limitu. Ukážeme to sporem. Předpokládejme, že existují dvě ormálí poslouposti rozděleí σ ) ) 2)) σ tkové, že lim J σ ) ) 2)) lim J σ. Pk posloupost rozděleí σ defiová předpisem σ 2 = σ ) σ 2 = σ 2) je opět ormálí, přitom lim J σ ) eexistuje, ebot vybré podposlouposti sudých lichých čleů mjí růzé limity - spor. Uvžujme ormálí posloupost rozděleí σ ) N ozčme body -tého rozděleí σ = {x ) 0, x ),..., x ) k }. Ifimum, respektive supremum, fukce f částečém itervlu x ) i, x) i zčíme m ) i, respektive M ) i. Z vlstosti suprem ifim plye, že pro kždé N pro kždé i =, 2,..., k existují body ξ ) i, η ) i x ) i, x) i tkové, že m ) i fξ ) i ) < m ) i + M ) i < fη) i ) M ) i. Vyásobeím erovostí kldým číslem ) i pro i =, 2,..., k dosteme sσ ) J ) σ ) := k i= := x ) i x ) i sečteím těchto erovostí fξ ) i ) ) i < sσ ) + b, 3 Původí Cuchyov-Riemov defiice itegrálu je zlože itegrálích součtech. Defiice určitého itegrálu pomocí horích dolích itegrálích součtů, jk jsme ji uvedli my, pochází od Gsto Drbouxe 842-97). Tto vět tedy ukzuje ekvivleci obou defiic. 2
respektive Sσ ) b < J 2) σ ) := k i= fη ) i ) ) i Sσ ). Z věty o limitě sevřeé poslouposti z toho, že lim Sσ ) lim sσ ) existují rovjí se horímu, respektive dolímu, itegrálímu součtu, dosteme f = lim J ) σ ) + f = lim J 2) σ ). + Jk jsme už dokázli lim J ) σ ) = lim J 2) σ ), což zmeá rovost horího dolího itegrálího součtu, tedy existeci f. Pozámk. Z důkzu věty plye, že v přípdě existece f je toto číslo limitou itegrálích součtů J σ ) pro libovolou ormálí posloupost rozděleí..3 Vlstosti určitého itegrálu Zčeme tuto kpitolu doplňkem k defiici určitého itegrálu. Z techických důvodů je výhodé, když emusíme hlídt, zd horí mez v určitém itegrálu je skutečě větší ež dolí. Defiice.3.. ) Necht fukce f je itegrovtelá v itervlu, b. Pk defiujeme f := f říkáme, že f má itegrál od b do. b 2) Necht D f. Pk defiujeme f := 0 říkáme, že f má itegrál od do. Ukážeme, že přiřzeí určitého itegrálu k fukci, tj. f f, je lieárím fukcioálem prostoru fukcí itegrovtelých v, b. Vět.3.2. lierit určitého itegrálu) Necht α,, b R echt fukce f g mjí itegrál od do b. Pk fukce αf f + g mjí itegrál od do b pltí αf) = α f f + g) = f + g. Důkz. Nejdříve uvžujme situci, kdy < b. Je-li σ ) ormálí posloupost rozděleí itervlu, b, tk pro itegrálí součet fukcí αf f + g pltí J αf σ ) = αf)ξ k ) k = α fξ k ) k = αj f σ ),.2) k= k= J f+g σ ) = f + g)ξ k ) k = k= fξ k ) k + gξ k ) k = J f σ ) + J g σ )..3) k= k= 3
Předpokládli jsme existeci f g. Proto ze zákldí věty itegrálího počtu plye, že poslouposti J f σ ) ) J g σ ) ) jsou kovergetí pro kždou volbu ormálí poslouposti rozděleí. Jelikož součet dvou kovergetích posloupostí reálý ásobek kovergetí poslouposti jsou opět kovergetími posloupostmi, jsou tky J αf σ ) J f+g σ ) kovergetí pro kždou volbu σ ). Tedy zse podle zákldí věty itegrálího počtu existují αf) f + g). Limitím přechodem v.2).3) pro + pk už dosteme poždové rovosti mezi itegrály. Necht b <. Pk f = f g = g. Z dokázého pltí, že existují αf) b b b f + g). Proto existují i αf) f + g) pltí b f + g) = αf) = b b αf) = α f + g) = b b f V přípdě = b vět pouze tvrdí 0 = α.0 0 = 0 + 0. f = α b g = g. Stčí uvžovt Dirichle- Pozámk. Z existece f +g) eplye existece f tovu fukci f položit g = f. f, f + g. Vlstost určitého itegrálu popsou dlší větou lze výstižě zvt ditivit itegrálu v mezích. Vět.3.3. Necht, b, c R echt existují lespoň dv z itegrálů f, c f f. c Pk existuje i třetí itegrál pltí f = c f + f. c Důkz. Nejdříve předpokládejme, že, b c jsou tři růzé body. Existeci třetího itegrálu, když existují dv z itegrálů f, c f f, zručují důsledky..6..7 c Stčí tedy dokázt rovost. ) Nejdříve diskutujme přípd < c < b. Necht σ ) je ormálí posloupost rozděleí itervlu, b tková, že pro kždé N je c σ. Položme σ ) = σ, c σ 2) = σ c, b. Tkto defiové σ ) ) σ 2) ) jsou ormálími posloupostmi rozděleí itervlů, c, resp. c, b. Pro itegrálí součty pltí zřejmý vzth J,b σ ) = J,c σ ) ) + J c,b σ 2) )..4) Z existece itegrálů c f f podle zákldí věty itegrálího počtu plye c J,b σ ) f, J,c σ ) ) c f J,c σ 2) ) c f. To spolu s.4) dokzuje větu. 4
2) Diskutujme přípd < b < c. Podle bodu ) pltí rovost c f = f + c f. Proto f = c f c f = c f + f, b b c jk jsme měli ukázt. Osttí přípdy ostrých erovostí mezi čísly, b, c mjí logický důkz. Když mezi čísly, b, c ste lespoň jed rovost, je vět přímým důsledkem toho, že itegrál se stejou horí dolí mezí kldeme rove 0. Pozámk. Necht f má itervlu, b koečý počet skoků, řekěme c, c 2,..., c k, kde c < c 2 <... < c k b. Itegrál c i c i f existuje, protože změou fukčí hodoty f ejvýš v bodech c i c i lze získt fukci spojitou, tedy itegrovtelou c i, c i. Změ fukčí hodoty fukce ve dvou bodech eovliví i existeci i hodotu itegrálu. Stejá úvh pltí i pro itegrály c f c k f. Využijeme opkově ditivity itegrálu v mezích dosteme, že existuje itegrál f pltí f = c f + ci c i f +... + c k f. Vět.3.4. o erovostech v itegrálu) v itervlu, b. Je-li fx) gx) pro kždé x, b, pk f g. Je-li fx) < gx) pro kždé x, b, pk f < g. Necht fukce f g jsou itegrovtelé Důkz. ) Uvžujme fukci h itegrovtelou ezáporou itervlu, b. Pro její ifimum m tomto itervlu pltí m 0. Protože pro kždé rozděleí σ itervlu, b je dolí součet sσ) mb ) 0, je utě i h = sup σsσ) 0. Z předpokldů věty z lierity itegrálu plye, že fukce h := f g je itegrovtelá ezáporá. Proto 0 f g) = f g. 2) Stejě jko v předchozí části bude tvrzeí věty zřejmé, pokud ukážeme, že fukce h, kldá itegrovtelá, b, má kldý itegrál. Zvolme x 0, b), který je bodem spojitosti fukce h. To lze, protože itegrovtelá fukce má dokoce ekoečě moho bodů spojitosti, viz..2. Kldost hx 0 ) spojitost implikují existeci okolí x 0 δ, x 0 + δ), kterém je hx) hx 0) 2. Z bodu ) plye 0 +δ x 0 δ h 0 +δ x 0 δ hx 0 ) 2 = hx 0 )δ > 0. 5
Z ditivity itegrálu v mezích bodu ) dosteme 0 δ h = h }{{} 0 + 0 +δ h x 0 δ }{{} >0 + h x 0 +δ }{{} 0 > 0. Vět.3.5. Necht f je itegrovtelá v, b. Pk f je itegrovtelá v, b pltí f f. Důkz. Stčí si uvědomit, že pro kždou fukci omezeou c, d pltí sup f if f sup f if f..5) c,d c,d c,d c,d Důkz této erovosti je jedoduchý pro fukci ezáporou celém c, d. Tm je totiž sup f = sup f if f = if f, proto jde v.5) o rovost. Pro fukci ekldou celém c, d, je sup f = if f if f = sup f, tké v.5) pltí rovost. Zbývá diskutovt fukci f, která c, d bývá jk kldých tk záporých hodot. Pro ásledující odhd využijeme toho, že if f > 0, if f > 0 toho, že mximum ze dvou kldých čísel je meší ež jejich součet: sup f if c,d c,d f sup c,d f = mx{sup f, if c,d c,d f} sup f if f. c,d c,d Právě dokázá erovost.5) implikuje pro kždé rozděleí σ itervlu, b Existeci f lze ekvivletě přepst S f σ) s f σ) S f σ) s f σ)..6) ε > 0 ) σ ) S f σ) s f σ) < ε). To spolu s.6) zmeá, že fukce f splňuje, b utou postčující podmíku pro existeci itegrálu. Proto f existuje. Nerovosti f f f f implikují podle věty o erovostech v itegrálech, že f f f f. To dává b f b. f Vět.3.6. itegrál jko fukce horí meze) Necht f je itegrovtelá itervlu, b. Fukce F :, b R defiová předpisem F x) = f je spojitá, b. Jeli fukce f spojitá v bodě x 0, b, je fukce F diferecovtelá v x 0 pltí F x 0 ) = 6
fx 0 ). Důkz. Fukce f je omezeá, b, existuje tedy K tk, že fx) K pro kždé x. Pro odhd rozdílu F x) F x 0 ) využijeme ditivity v mezích itegrálu F x) F x 0 ) = f 0 x f = x 0 f x x f x 0 x 0 K Když pro dé kldé ε položíme δ = ε, bude pro kždé x, b pltit K x x 0 < δ F x) F x 0 ) < ε. To zmeá, že F je spojitá v bodě x 0, jk jsme měli ukázt. K x x 0. Pro důkz dlší části tvrzeí předpokládáme, že bod x 0, b je bodem spojitosti fukce f. To lze ekvivletě přepst ε > 0) δ > 0) t, b ) t x 0 < δ fx 0 ) ε < ft) < fx 0 ) + ε ). Uvžujme x tkové, že x 0 < x < x 0 + δ. Z věty o erovostech v itegrálech získáme horí odhd F x) F x 0 ) = x 0 f < x 0 fx0 ) + ε ) = fx 0 ) + ε ) x x 0 ) odhd z druhé stry F x) F x 0 ) = Po úprvě dosteme x 0 f > ε < F x) F x 0) x x 0 x 0 fx0 ) ε ) = fx 0 ) ε ) x x 0 ). fx 0 ) < ε Pro x z levého δ-okolí bodu x 0 dosteme stejý odhd. Celkově to je defiice fktu jk jsme chtěli ukázt. ε > 0) δ > 0) x, b ) ) F x) F x 0 ) fx 0 ) x x 0 < ε, F x) F x 0 ) lim = fx 0 ), x x 0 x x 0 Protože f = f f, obdobé tvrzeí lze smožřejmě dokázt i pro fukci x s pohyblivou dolí mezí v itegrálu. Symbolicky lze psát f) = fx) f) = fx)..7) x 7
Nyí můžeme dokázt, jk jsme to slíbili v kpitole Primitiví fukce, větu o existeci primitiví fukci k fukci spojité. Důsledek.3.7. Fukce spojitá otevřeém itervlu, b) má v tomto itervlu primitiví fukci. Důkz. Zvolme libovolě le pevě c, b). Spojitost fukce f implikuje existeci určitého itegrálu od c do x pro kždé x, b). Proto lze položit F x) := f. Podle c předchozí věty je F x 0 ) = fx 0 ) pro kždé x 0, b). Příkld.3.8. Pro fukci g spojitou jistém okolí H dokžme pltost vzthu x t) gt) d t) = x t) gt) d t.8) pro libovolé přirozeé x H. Nejdříve uprvíme fukci, kterou chceme derivovt, pomocí biomické věty Ax) := x t) gt) d t = ) t gt) d t + k= x ) ) k x k t k gt) d t. k N derivováí ted použijeme prvidlo.7) pro derivci čleů sumy víc použijeme vzorec pro derivci součiu. A x) = ) x gx) + k= ) = x gx) ) k + k k=0 }{{} =0 Protože ) k k = k ), máme B = k= x ) ) k kx k t k gt) d t + k gt) k= ) ) k kx k t k k k= }{{} =:B ) ) k x gx) k ) ) ) k kx k t k = ) j x j t j = x t). k j Tím je rovost.8) dokázá. j=0 d t..4 Výpočet určitého itegrálu Nyí už máme k dispozici dosttečý prát, bychom dli do souvislosti určitý eurčitý itegrál. Newtoov formule využívá zlosti primitiví fukce pro výpočet určitého itegrálu. Dlší metody pro výpočet určitého itegrálu - per prtes substitučí - jsou 8
jeom důsledkem této formule metody per prtes substitučí metody pro primitiví fukce. Vět.4.. Newtoov formule) existuje fukce F tková, že ) F je spojitá, b ; 2) F x) = fx) pro kždé x, b). Pk pltí f = F b) F ) Necht existuje f, kde, b R, < b echt oz. = [F x)] b Důkz. Uvžujme ormálí posloupost rozděleí σ ) s čley σ = {x ) 0, x ),..., x ) k }, kde = x ) 0 < x ) <... < x ) k = b. Použijeme-li Lgrgeovu větu o přírůstku fukce F itervlech x ) postupě pro i =, 2,..., k, dosteme i, x) i F b) F ) = k i= F x ) i ) F x ) i )) = k i= F ξ ) i )x ) i x ) i ) = = k i= fξ ) i ) ) i = J σ ). Po limitím přechodu při + dosteme lim J σ ) = F b) F ). Zákldí vět itegrálího počtu říká, že z předpokldu existece itegrálu plye f = lim J σ ). Proto f = F b) F ). Pozámk. Předpokld existece f v Newtoově formuli je důležitý. V roce 88 V. Volterr 4 sestrojil příkld fukce F spojité, b, která má omezeou derivci F, le F eí fukce itegrovtelá, b. Neuvedeme žádý příkld tkovéto fukce, protože pro všechy zámé fukce s touto vlstostí je důkz eexistece itegrálu zdlouhvý. Pozámk. ) Fukce F, jejíž existece se předpokládá ve větě, je primitiví fukcí k fukci f, b), le víc musí být F spojitá, b. 2) Předpokldy kldeé F lze zeslbit. Poždvek spojitosti fukce F, b musí zůstt zchová, le stčí, když F x) = fx) pro všech x, b) ž koečý počet výjimek. Aditivit itegrálu v mezích původí Newtoov formule totiž umožňuje přepst f = c f + c2 c f +... + c k f = = F c ) F ) + F c 2 ) F c ) +... + F b) F c k ) = F b) F ), kde {c, c 2,..., c k } jsou body, ve kterých epltí F x) = fx). 4 Vitto Volterr 860-940), itlský mtemtik, proslvil se výsledky v oblsti itegrálích rovic 9
Příkld.4.2. Vypočítejme π/2 0 Nejdříve lezeme primitiví fukci + cos 2 x dx = +cos 2 x si 2 x + 2 cos 2 x dx = po substituci tg x = t pokrčujeme = 2 + t dt = 2 2 dx pomocí Newtoovy formule. cos 2 x 2 + tg 2 x dx = ) 2 dt = rctg t = rctg tg x =: F x) t + 2 2 2 2 2 Fukce F je primitiví fukcí itervlu 0, π/2), le by F byl spojitá 0, π/2, musíme dodefiovt Z Newtoovy formule dosteme π/2 0 F π/2) = + cos 2 x lim F x) = x π/2 π 2 2 dx = F π/2) F 0) = π 2 2 Počítejme určitý itegrál ze stejé fukce le v itervlu 0, π. Primitiví fukci počítáme stejě. Zpomeeme-li poždvek spojitosti jeom formálě dosdíme horí dolí mez, dosteme F π) F 0) = 0, což je emožé pro itegrál z kldé fukce. Vět.4.3. metod per prtes pro určitý itegrál) Necht fukce f g jsou spojité, b diferecovtelé v, b). Když existují itegrály f g fg, pk f x)gx) dx = [fx)gx)] b fx)g x) dx Důkz. Předpokldy věty zručují, že fukce fg je primitiví fukcí k fukci f g + fg v itervlu, b) fg je spojitá, b. Proto z Newtoovy formule f g +fg ) = [fg] b. Lierit itegrálu už dokzuje větu. Příkld.4.4. 0 x rctg x dx = [ x 2 + 2 ] rctg x 0 2 0 dx = π 4 2 Pozámk. Větu lze vyslovit i v jedodušším tvru, kdy se požduje spojitost všech fukcí, t už implikuje existeci obou itegrálů: Když fukce f, g, f g jsou spojité, b, pk f g = [fg] b fg. 20
Tto vět má všk omezeé použití. Npř. výpočet itegrálu 3 0 x rcsi x + dx při volbě fx) = x gx) = rcsi x x+ jí elze použít, jelikož fukce g x) = 2 xx+) je eomezeá 0, 3), tedy fukci g elze udělt spojitou 0, 3. Vět.4.5. substituce v určitém itegrálu) Pk ) φ je spojitá α, β diferecovtelá v α, β); 2) f je spojitá φ α, β. β pokud itegrál levo existuje. α f φt) ).φ t) dt = φβ) φα) Necht pro fukce f φ pltí fx)dx, Důkz. Fukce φ je spojitá, proto φ α, β je uzvřeý itervl. Zvolme libovolě bod c φ α, β položme F x) = f pro x φ α, β. Tto fukce F je spojitá diferecovtelá φ α, β. Proto složeá fukce F φt) ) je spojitá α, β má c derivci f φt) ).φ t) v itervlu α, β). Z Newtoovy formule plye β α f φt) ).φ t) dt = [ F φt)) ] β α = F φβ) ) F φα) ) = Při úprvách jsme použili ditivity itegrálu v mezích. φβ) c f φα) c f = φβ) Příkld.4.6. Pro výpočet ásledujícího itegrálu použijeme ejdříve substituci x = cos t pro t 0, π/2 posléze substituci t = π/2 y pro y 0, π/2. φα) f 0 x2 dx = π/2 0 0 si 2 t dt = si 2 π/2 y) dy = π/2 π/2 0 cos 2 y dy = = 2 π/2 0 si 2 y + cos 2 y ) dy = 2 π/2 0 dy = π 4. Tuto kpitolu uzvřeme využitím Newtoovy formule pro odvozeí dlšího tvru zbytku při proximci fukce polyomem. Vět.4.7. itegrálí tvr zbytku) Necht pro ezáporé celé číslo, fukci f bod pltí, že existuje okolí H, kterém má fukce f spojitou + )-í derivci. Pk -tý zbytek R x) v Tylorově vzorci je pro kždé x H rove R x) =! x t) f +) t) dt. 2
Důkz. Tvrzeí dokážeme idukcí. Nejdříve uvžujme = 0. Když má fukce f jistém okolí bodu spojitou prví derivci, Newtoov formule říká, že fx) f) = f t) dt. Jelikož je 0-tý Tylorův polyom T 0 x) = f), dává předchozí vzth rovost pro zbytek R 0 x) = jk jsme měli ukázt. f t) dt, Pro idukčí krok využijeme tvru Tylorov vzorce pro fukci f její -tý Tylorův polyom fukci f její )-í Tylorův polyom. Pltí fx) = T,f x) + R,f x).9) f x) = T,f x) + R,f x)..0) Zderivováím.9) dosteme dlší vyjádřeí derivce fukce f x) = T,fx) + R,fx)..) V kpitole Tylorův vzorec jsme ukázli pro Tylorův polyom fukce f Tylorův polyom její derivce f vzth T,fx) = T,f x). Porováím.0).) získáme R,fx) = R,f x). Z idukčího předpokldu plikového fukci f plye R,fx) = R,f x) = )! x t) f +) t) dt. Využitím rovosti.8) dosteme R,fx) =! x t) f +) t) dt). Fukce, jejichž derivce se rovjí, se liší ejvýš o kosttu. V šem přípdě je všk 22
kostt rov ule, protože fukce R,f x) i itegrál prvo jsou pro x = rovy 0. Tím je vět dokázá..5 Věty o středí hodotě itegrálu V přípdě, že eumíme jít primitiví fukci k fukci f, musíme se při výpočtu itegrálu f obrátit k ějké umerické metodě. Čsto všk v plikcích eí uté zát přesou hodotu itegrálu postčuje rozumý odhd. Příkld.5.. K fukci e x2 eumíme jít primitiví fukci v elemetárím tvru. Pomocí věty o erovostech v itegrálu dosteme pro hodotu 0 e x2 dx odhd: 0 e x2 = 0 0 e x2 dx e = mi{e x2 x 0, } e x2 = e 0 e x2 dx e x e x2 pro x 0, = 0 e x dx = [ e x] = 0 e 0 e x2 dx Příkld.5.2. Uvžujme > 0 odhděme itegrál 2 si x dx. x x si x x x 2 = x dx 2 si x x dx 2 x dx. A tedy 2 si x x dx l 2. Obecější ávod odhdováí hodot itegrálů ám djí věty o středí hodotě itegrálu. Vět.5.3. o středí hodotě I) Necht fukce f je itegrovtelá ezáporá itervlu, b echt fukce fg je itegrovtelá, b. Pk existuje µ if g, sup g tkové, že,b,b fg = µ f. Důkz. Ozčme m ifimum M supremum fukce g itervlu, b. Pk z pltosti erovosti m fx) M pro kždé x, b z toho, že fx) 0 dosteme mfx) gx)fx) Mfx) m f fg M f..2) Z pltosti posledí erovosti plye, že je-li f = 0, pk fg = 0, v tomto přípdě lze zvolit µ libovolě. Stčí proto uvžovt přípd f 0, což spolu s ezáporostí f 23
dává f > 0. Položme µ = fg/ f. Pk.2) po vyděleí kldým číslem µ m, M, jk tvrdí vět. f dává erovost Pozámk. ) Přidáme-li k předpokldům věty ještě spojitost g, pk tvrzeí lze vyslovit ve tvru: Existuje c, b tkové, že fg = gc) 2) Pro volbu fukce f = vět říká: g = µb ). Číslo µ se zývá střeí hodot fukce g. Číslo µ vystihuje jkou výšku by měl mít obdélík d itervlem, b, by jeho ploch byl stejá, jko ploch mezi osou x grfem kldé fukce g. Vět.5.4. o středí hodotě II) Necht fukce f fg jsou itegrovtelé v itervlu, b echt g je mootoí v, b. Pk f. existuje ξ, b tk, že ξ fg = g) f + gb) ξ f. Důkz. ) Nejdříve dokážeme speciálí přípd, kdy fukce g je klesjící gb) = 0. Z těchto dodtečých podmíek máme jít ξ, b tk, že fg = g) ξ f. Když g) = 0, pk gx) 0 tvrzeí pltí utomticky. Proto předpokládejme g) > 0. Defiujme F x) = Fukce F je spojitá, b, proto bývá mxim miim. Ozčme f. m = mi,b F M = mx,b F. Uvžujme dále rozděleí σ itervlu, b, σ = {x 0, x,..., x }, pro jehož body σ = {x 0, x,..., x } pltí = x 0 < x <... < x = b. Připomeňme Abelovu sumci, kterou použijeme sumu Gσ) := i= i gx i ) f. x i Abelov sumce Necht k ) k N b k ) k N jsou libovolé poslouposti. Položme B k = k i= b i pro k = 0,,..., tedy speciálě B 0 = 0. Pk i b i = i= ) i Bi B i = i= ) i B i i+ B i = B i+ i Bi. i= i= i= 24
Pro úprvu Gσ) uvžujeme i = gx i ) b i = i x i f, tedy B i = i f. Dosteme Proto Gσ) = gx ).F b) + gxi ) + gx }{{} i ) ) F x i ). }{{} 0 i= 0 Gσ) Mgx ) + M gxi ) + gx i ) ) = Mg). Podobě odhdeme Gσ) zdol celkově dosteme i= mg) Gσ) Mg)..3) Rozdíl Gσ) fg lze odhdout pomocí rozdílů horích dolích součtu fukce g, která je podle předpokldu mootoí, tedy itegrovtelá. Využijeme tké omezeosti fukce f tj. existece K tkového, že fx) K pro kždé x, b ) k odhdu Gσ) i= i fg = i= i gx i ) f x i i= i= i fg = x i i= i ) fx) gx i ) gx) dx x i ) fx) dx ) ) gx i ) gx) K gx i ) gx i ) x i x i ) = K S g σ) s g σ). x i Necht σ ) je ormálí posloupost rozděleí. Dosdíme-li do posledího odhdu z σ postupě σ, máme pro kždé N Gσ ) ) fg K S g σ ) s g σ ) 0. Tedy lim Gσ ) = + Jelikož podle.3) je mg) Gσ ) Mg), musí i limit poslouposti pdout do stejých mezí, fg g) mg) fg. fg Mg). Číslo pde mezi mximum miimum spojité fukce F x), tedy existuje ξ, b tkové, že F ξ) = fg, což přepsáo je g) ξ g) f = 2) Dokžme ted větu pro libovolou klesjící fukci g. Defiujeme gx) = gx) gb). fg. 25
Fukce g splňuje předpokldy, z kterých jsme větu dokázli v bodě ). Proto Po doszeí ) b f g f gb) = f g gb) po úprvě ξ f g = g) f + gb) ξ f g = g) f. f = g) gb) ) ξ ξ f gb) f = g) f + gb) ξ ξ if = g) f gb) f 3) V přípdě, že je g rostoucí, využijeme pltost věty pro klesjící fukci g. Pozámk. U věty o středí hodotě II jsme předpokládli existeci fg. Je třeb říct, že itegrovtelost f g itervlu, b už implikuje itegrovtelost součiu f g. Protože jsme tuto implikci echtěli dokzovt, přidli jsme kromě potřebých předpokldů itegrovtelosti f mootoie g mootoie už vyucuje itegrovtelost) i fkticky zbytečý předpokld itegrovtelosti f g. Pozámk. Když o fukcích f g předpokládme, že f je fukce spojitá itervlu, b g fukce mootoí se spojitou derivci g, b, pk je důkz 2. věty o středí hodotě jedodušší. Diferecovtelost fukce g její mootoie zručují, že g je spojitá, b g eměí tomto itervlu zméko. Nvíc g = gb) g). Položme F x) = f pro kždé x, b itegrujme per prtes, fg = [F g] b ξ f. F g..4) Z věty o středí hodotě I plikové fukci F ezáporou, resp. ekldou, fukci g dosteme F g = F ξ) Doszeím.5) do.4) dosteme g = F ξ) gb) g) )..5) To už je ekvivletí s tvrzeím věty. fg = g) F ξ) F ) ) + gb) F b) F ξ) ). Příkld.5.5. Odhděme stejě jko v příkldě.5.2 itegrál 2 si x x dx, pro > 0. 26
Použijeme větu o středí hodotě II, kde z f bereme spojitou, tedy itegrovtelou fukci fx) = si x z g vezmeme klesjící, tedy tky itegrovtelou fukci Dosteme odhd 2 gx) = si x x dx ξ = pro x, 2), x 0 pro x = 2. si x dx = cos cos ξ) 2, který ukzuje, že hodot itegrálu s rostoucím klesá k 0. To z odhdu 2 l 2 získého v příkldu.5.2) elze vyčíst. si x x dx Pozámk. Pro fukci se spojitou +)-í derivcí jistém okolí H lze zbytek po -tém Tylorově polyomu v Tylorově vzorci vyjádřit v itegrálím tvru R x) =! x t) f +) t) dt pro x H. Použijeme-li prví větu o středí hodotě itegrálu fukci x t), která pro pevé x H itervlu s kocovými body x eměí zméko, využijeme-li toho, že itervlu spojitá fukce f +) bývá v ějkém bodě, řekěme ξ, libovolou hodotu mezi suprémem ifimem fukce, dosteme R x) =! f +) ξ) x t) dt = ] x! f +) x t)+ ξ) [ = f +) ξ) + + )! x )+. Z itegrálího tvru zbytku jsme odvodili Lgrgeův tvr, prvd z trochu silějších předpokldů + )-í derivci fukce f, ež tomu bylo při odvozeí v kpitole Tylorův vzorec. 27