Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym systemu o dyskretnych wejścich i wyjścich. System tki może się znjdowć w jednym ze skończonej liczy stnów (dopuszczlne są tkże systemu gdzie utomt może się znjdowć w wielu stnch n rz). Stn systemu stnowi podsumownie informcji dotyczących poprzednich wejść. Informcj t jest niezędn y do określeni zchowni systemu przy nstępnych wejścich. Istnieje wiele przykłdów zstosowń utomtów. Prostym przykłdem jest mechnizm windy. Mechnizm ten nie pmięt wszystkich poprzednich żądń. Pmiętne jest tylko ieżące piętro, kierunek ruchu (w górę lu w dół) orz ziór żądń do osłużeni. Innymi przykłdmi stnowią powszechnie używne progrmy, tkie jk edytory tekstów i nliztory leksyklne spotykne w większości kompiltorów. Są one rdzo często projektowne jko systemy skończenie stnowe. Anliztor leksyklny przegląd symole progrmu komputerowego w celu zloklizowni łńcuchów symoli odpowidjących identyfiktorom, stłym numerycznym, słowom kluczowym orz innymi jednostkom leksyklnym. W trkcie tego procesu nliztor leksyklny pmięt tylko skończoną ilość informcji, tkich jk np.: jk długi przedrostek słow kluczowego ył widziny chwili strtu. Teori utomtów skończonych m rdzo duży udził w projektowniu efektywnych nliztorów łńcuchów. Przykłd nlizy, gdzie znjduje zstosownie opis przy pomocy utomtu skończonego może zostć zprezentowny n przykłdzie nstępującego prolemu: n rzegu rzeki stoi człowiek z wilkiem, kozą i słtą. Zdniem jest przedostnie się n drugą stronę rzeki. Utrudnieniem są pewne wrunki, człowiek może przepłynąć rzekę tylko z jednym psżerem, czyli lo z wilkiem, lo z kozą ądź z słtą. Jeśli jednk zostwi on wilk i kozę ez ndzoru n którymkolwiek rzegu, to wilk pożre kozą. Jeśli koz i słt zostną ez opieki, to koz pożre słtę. strt CWKS-# K WS-CK C CWS-K W S S-CWK W-CKS K K CKS-W CWK-S S W #-CWKS K CK-WS C K-CWS Rysunek : Digrm przejść do prolemu człowiek, wilk kozy orz słty Włściwe rozwiąznie zostnie odnlezione, gdy zuwżymy, że istotną informcją jest to, jkie oiekty znjdują się n kżdym z rzegów po dowolnej stronie rzeki. Możn wskzć, że istnieje szesnście podziorów złożonego z człowiek (C), wilk (W), kozy (K) orz słty (S). Zkłdmy, że stn odpowid podziorowi, który opisuje co znjdującemu się n lewym i prwym rzegu. Do zwiększeni czytelności ędzie stosowć kreskę do rozdzieleni oiektów znjdujących się n lewym orz prwym rzegu. Przykłd stnu W S CK ozncz, że wilk i słt znjdują się n lewym n prwym rzegu jest człowiek i koz. Wejści systemu to dziłni podejmowne przez człowiek. Człowiek może się przeprwić sm, z wilkiem, z kozą i nturlnie z słtą. Stnem początkowym jest CW KS # końcowym # CW KS (gdzie symol # ozncz iż dny rzeg jest pusty). Digrm przejść który pokzuje sposó rozwiązni przedstwi rysunek. Litery n łukmi oznczją psżer który zostł przewieziony przez człowiek.
. Definicj deterministycznego utomtu skończonego Deterministyczny utomt skończony (w skrócie DAS lu ng. FDA finite deterministic utomt) jest zudowny z nstępujących elementów:. skończonego zioru stnów, oznczonych symolem Q 2. skończonego zioru symoli wejściowych (nzywnego tkże lfetem), oznczonych symolem Σ 3. funkcji przejści, przyjmującej z rgument stn orz symol wejściowy jej wynikiem jest stn, funkcj przejści ędzie oznczn przez symol δ 4. stnu początkowego, jest to jeden wyróżniony stn z Q 5. zioru stnów końcowych lu kceptujących F, gdzie F Q W skrócie o pewnym określonym DAS możn mówić jko o nstępującej krotce o pięciu elementch: A = (Q, Σ, δ, q, F ) () gdzie A reprezentuje nzwę utomtu, Q - to ziór stnów, Σ - ziór symoli wejściowych, δ - funkcj przejści, q - stn początkowy, ntomist przez F oznczmy ziór stnów kceptujących. Funkcj przejści jest określon w nstępujący sposó: jeśli q jest stnem, ntomist pewnym symolem wejściowym, to wrtością funkcji δ(q, ) jest stn p, co ozncz że ze stnu q możn przejść do stnu p jeśli pojwił się symol. Grficzną reprezentcją utomtu jest digrm przejść. Dl deterministycznego utomtu skończonego A = (Q, Σ, δ, q, F ), digrm przejść to grf skierowny zudowny nstępująco: ) kżdemu stnowi ze zioru Q odpowid wierzchołek, ) dl pewnego stnu q Q i dl symolu wejściowego Σ funkcj δ(q, ) = p. W digrmie przejść tk sytucj ozncz iż istnieje łuk z wierzchołk q do wierzchołk p (jeśli istnieje wiele symoli lfetu Σ powodujących przejście z q do p, to digrm przejść dl czytelności zwier tylko jeden łuk etykietowny listą symoli), c) stn początkowy q jest wskzywny przez strzłkę z npisem strt (strzłk t nie wychodzi z żdnego wierzchołk), d) wierzchołki odpowidjące stnom kceptującym (nleżą do zioru F ) oznczne są podwójnym okręgiem, ntomist stny nienleżące do F są oznczne pojedynczym okręgiem. Wygodnym sposoem reprezentcji funkcji przejści δ jest tlic przejść. Jest to tlicow reprezentcj funkcji δ, przyjmującej dw rgumenty i zwrcjącej jkąś wrtość. Wiersze tlicy odpowidją stnom, ntomist kolumny wejściom. Wpis w wierszu odpowidjącym stnowi q i kolumnie odpowidjącej wejściu to zpis stnu δ(q, )... Przykłd dl ciągów xy Złóżmy chcemy zudowć utomt deterministyczny który ędzie zdolny do weryfikcji czy podny ciąg znków spełni definicję C (inczej mówiąc przez C rozumiemy pewien język) o nstępującej postci: C = {w w jest postci xy dl pewnych łńcuchów x, y złożonych wyłącznie z zer i jedynek} (2) Inną, le nturlnie równowżną definicją jest C = {xy x, ysą dowolnymi łńcuchmi zer i jedynek} (3) Przykłdy łńcuchów nleżących do język C są ciągi:, orz. Przykłdmi ciągów nienleżących do język C są ciągi ε (czyli ciąg pusty),,. Łtwo stwierdzić iż lfet to tylko dw znki Σ = {, }. Istnieje pewien ziór stnów Q którego n rzie nie precyzujemy le już możn wyróżnić stn początkowy q. Automt musi zostć w tki sposó skonstruowny y niejko pmiętł wżne fkty odnoście co pojwiło się n wejściu. W przypdku postwionego zdni możemy wyróżnić trzy nstępujące zdrzeni: 2
q q 2 q q q q q 2 q 2 q Tel : Tlic przejść dl utomtu z rysunku (2). Czy n wejściu pojwił się podciąg? Jeśli tk, to możn zkceptowć dowolny ciąg zer i jedynek, poniewż ciąg jest zudowny zgodnie z językiem L. Ozncz to tkże że nstępne stny mogą yć stnmi kceptującymi. 2. Jk dotąd podciąg nie pojwił się jeszcze, le osttnim widzinym symolem yło, jeśli terz pojwi się, oznczć to ędzie, że pojwił się podciąg i nstępne symole mogą yć dowolnym ciągiem zer i jedynek. 3. Jk dotąd podciąg nie pojwił się jeszcze, co więcej poprzedni symol nie zostł jeszcze podny, o utomt włśnie rozpoczął swoją prcę ądź osttnim symolem ył jedynk. W tkim przypdku utomt A nie może zkceptowć słow, dopóki nie pojwi się zero, ezpośrednio po zerze jedynk. Wymienione wrunki nleży przedstwić z pomocą stnów. Wrunek (3) ędzie reprezentowny przez stn q. Jest to tym uzsdnione, że jeśli zczynmy, to musimy wykryć zero, potem jedynkę. Jeśli ędąc w stnie q zoczymy w pierwszej kolejności jedynkę, to nturlnie ndl musimy pozostć w stnie q. Zpiszemy to w nstępujący sposó δ(q, ) = q. Będąc w stnie q, gdy npotkmy zero to zczyn oowiązywć wrunek (2), czyli δ(q, ) = q 2. Przyliż ns to wykryci, oecności podciągu. Pierwsz sytucj jk jest istotn w stnie q 2 to wykrycie nstępującego symolu którym jest zero. Jeśli, tk jest to, δ(q 2, ) = q 2, co ozncz iż nturlnie pozostjemy w stnie q 2. Jednkże jeśli ędąc w stnie q 2, jeśli wykryjemy zero to wiedząc iż pojwiło się już zero to uzyskliśmy informcję o tym, że wystąpił pod ciąg. Przechodzimy do stnu q, oznczjący stn kceptujący, δ(q 2, ) = q. Stn q może przyjmowć, zero ądź jedynkę w dowolnej kolejności poniewż już wcześniej udło się nm stwierdzić oecność. Funkcj przejści posid postć δ(q, ) = q orz δ(q, ) = q. Zierjąc uzyskne informcje, formlnie utomt A zdefiniujemy w nstępujący sposó: A DAS = ({q, q, q 2 }, {, }, δ, q, {q }) (4) Określnie utomtu w sposó formlny ze szczegółowym orz oszernym słownym opisem funkcji przejści jest żmudne, zier sporo czsu orz co njwżniejsze jest mło czytelne choć nturlnie zrozumiłe. Wrto jednk stosowć dw inne podejści w przypdku opisu postci funkcji przejści. Digrm przejść dl opisnego utomtu prezentuje rysunek (2) ntomist tlic przejść funkcji δ to tel (). strt q q2 q, Rysunek 2: Schemt deterministycznego utomtu kceptującego wszystkie tkie ciągi zudowne z zer orz jedynek, które zwierją podciąg.2 Rozszerzon funkcj przejści Rozszerzon funkcj przejści opisuje sytucję, gdy deterministyczny utomt skończony rozpoczyn prcę w dowolnym stnie. Funkcję tką definiuje się wykorzystując stndrdową funkcję przejści δ. Rozszerzon funkcj przejści ˆδ to funkcj, któr otrzymuje stn q i łńcuch w, jej wynikiem jest stn p, jki osiągnie 3
utomt, zczynjąc dziłnie w stnie q i przetwrzjąc dostrczony ciąg w. Funkcj ˆδ posid indukcyjną definicję po długości łńcuch wejściowego: Podstw: ˆδ(q, ε) = q, jeśli utomt znjduje się w stnie q i nie zostł odczytny żden symol wejściowy, to utomt ndl znjduje się w stnie q. Krok Indukcyjny: Zkłdmy, że w jest łńcuchem o postci x, co ozncz iż symol jest osttnim symolem w, x jest łńcuchem skłdjącym się ze wszystkich symoli w poz osttnim. Czyli, słowo w = zostłoy rozite n x = orz =. Tk definicj pozwl n stwierdzenie iż ˆδ(q, w) = δ(ˆδ(q, x), ). Wyjśnienie powyższego zpisu jest nstępujące. Ay oliczyć ˆδ(q, w), oliczmy ˆδ(q, x), czyli stn, w którym znjdzie się utomt po przetworzeniu wszystkich symoli w poz osttnim. Jeśli złożymy, że tym stnem jest p, czyli ˆδ(q, x) = p. Toteż, dokonując przejści ze stnu p n wejściu, w przypdku osttniego symolu w, otrzymmy ˆδ(q, w), czyli osttecznie otrzymmy ˆδ(q, w) = δ(p, )..2. Język o przystej liczie zer i jedynek Przykłdem ilustrującym zstosowni rozszerzonej funkcji przejści ędzie skończony utomt deterministyczny, rozpoznjący czy podny wyrz nleży do język o przystej liczie zer i jedynek. O tkim utomcie możn powiedzieć iż ędzie zliczł wystąpieni zer ądź jedynek modulo 2. Stn ędzie używny do pmiętni, czy widzin dotąd licz zer ądź jedynek jest przyst ądź nieprzyst. Możn wyróżnić cztery stny, ich opis przedstwi się nstępująco: q : ujrzn dotąd licz jedynek orz zer jest przyst, q : ujrzn licz zer jest przyst, le licz jedynek jest nieprzyst, q 2 : ujrzn licz jedynek jest przyst, le licz zero jest nieprzyst, q 3 : ujrzn dotąd licz jedynek orz zer jest nieprzyst. Z opisu wynik, że stn q jest stnem początkowym orz końcowym. Digrm przejść jest przedstwiony n rysunku 3. Tel przejść przyjmuje nstępującą postć: q q 2 q q q 3 q q 2 q q 3 q 3 q q 2 Funkcj ˆδ ndje się rdzo dorze do ilustrcji dziłni, ądź też sprwdzeni czy utomt zostł dorze zprojektowny np.: chcemy sprwdzić czy ˆδ(q, ) = q. Sposó olicznie wrtości funkcji ˆδ(q, w) poleg n olicznie wrtości dl kżdego prefiksu w, poczynjąc od ε i idąc w kierunku rosnącej długości, przedstwi się to nstępująco: ˆδ(q, ε) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ε), ) = δ(q, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q 2, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q 2, ) = q 3, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q 3, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q. 4
strt q q q2 q3 Rysunek 3: Deterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy zudowne z przystej liczy zer orz jedynek.3 Niedeterministyczny utomt skończony Niedeterministyczny utomt skończony jest zudowny w dość podony sposó jk utomt deterministyczny, posid skończony ziór symoli wejściowych, jeden stn początkowy orz ziór stnów kceptujących. Istnieje tkże funkcj ˆδ jednk to on stnowi o zsdniczej różnicy pomiędzy utomtmi. Funkcj ˆδ podonie jk w przypdku utomty deterministyczne z rgumenty przyjmuje stn orz symol wejściowy jednk w wyniki może wygenerowć ziór stnów. Co ozncz iż utomt niedeterministyczny może znjdowć się w kilku stnch nrz. Formln definicj niedeterministyczne utomtu skończonego to nstępując piątk (identyczn jk w przypdku utomtu deterministycznego): A = (Q, Σ, δ, q, F ) (5) gdzie. Q jest skończonym ziorem stnów, 2. Σ jest skończonym ziorem symoli wejściowych, 3. q Q to stn początkowy, 4. F Q jest ziorem stnów końcowych lu kceptujących, 5. δ jest funkcją przejści, któr przyjmuje jko rgumenty stn z Q i symol wejściowy Σ i zwrc podziór Q. Rysunek 4 przedstwi niedeterministyczny utomt kceptujący łńcuchy zero-jedynkowe, które n końcu zwierją ciąg. Stn początkowy to stn q. Automt pozostje w tym stnie, gdy jeszcze nie zgdł, iż rozpoczął się końcowy łńcuch. Bowiem, zwsze jest możliwe, iż nstępny symol nie rozpoczyn końcowego, nwet gdy tym końcowym symolem jest. Jeśli jednk nstępnym symolem jest końcowe, to utomt zgduje, że końcowe się rozpoczęło. Ztem łuk o etykiecie, kieruje ns do stnu q le drugi z łuków przenosi ns do stnu q. Inczej mówiąc utomt znjduje się w tych dwóch stnch. Będąc jednk w stnie q, jeśli utomt zoczy to przechodzi do stnu q 2 i łńcuch zostnie zkceptowny., strt q q q2 Rysunek 4: Niedeterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy kończące się wyrżeniem 5
Rysunek 5 przedstwi jeden ze sposó jkie utomt z rysunku przechodzi przez poszczególne stny dl ciągu wejściowego. Automt rozpoczyn dziłnie ędąc w stnie q. Po odczytniu pierwszego symolu, czyli zer może przejść do stnu q lu q. Zgodnie z złożeniem utomt przechodzi do oydwu stnów. Nstępnie utomt odczytuje kolejne zero. Ze stn q możemy przejść do stnów q lo q. Jednk stn q nie przejści dl zer, więc ten wątek przetwrzni niejko zmier i może zostć przez utomt porzucony. Po odczytniu trzeciego symolu, nleży wziąć pod uwgę przejści z q jk i q. Stwierdzić możn iż z pomocą symolu stn q przechodzi n q, podczs gdy q przechodzi tylko n q 2. Po odczytniu utomt znjduje się w dwóch stnch q orz q 2. Poniewż q 2 jest stnem kceptującym to utomt zkceptuje wejście. q q q q q q q q q rk ruchu q2 rk ruchu q2 Rysunek 5: Stn, przez jkie może przejść niedeterministyczny utomt skończony podczs przetwrzni słow wejściowego Wejściowy łńcuch znków jeszcze się nie skończył. Kolejny symol powoduje ztrzymnie się wątku q 2, le ze stnu q możn przejść do dwóch kolejnych stnów q orz q. Osttni symol, powoduje przejście z q do q orz q do q 2. Poniewż ponownie zostł osiągnięty stn kceptujący, toteż ozncz to iż ciąg zostł zkceptowny. N podstwie tego przykłdu już łtwo podć telę dl funkcji przejści, jednk tym rzem wrtościmi są ziory, jeśli z którego stnu nie m przejści przy pomocy symolu zioru pustego.3. Rozszerzon postć funkcji przejści q {q, q } {q } q {q 2 } q 2 W dość podony sposó jk dl utomtów deterministycznych możn rozszerzyć funkcję δ utomtu niedeterministycznego do funkcji ˆδ. Indukcyjn definicj ˆδ jest również podon: Podstw: ˆδ(q, ε) = q czyli, nie zostły odczytne jeszcze żdne symole, więc stn pozostje ez zmin. Krok indukcyjny: Jeśli złożymy, że w = x, gdzie jest końcowym symolem w, ntomist x resztą słow w, orz ˆδ(q, x) = {p, p 2,..., p n } to: k δ(p i, ) = {r, r 2,..., r m } (6) i= Wtedy ˆδ(q, w) = {r, r 2,..., r n }. Możn powiedzieć, że wrtość funkcji ˆδ(q, w) zostł oliczon poprzez wyznczenie ˆδ(q, x), nstępnie prześledzenie dowolnego przejści optrzonego etykietą. Dl wejści i utomtu przedstwionego n rysunku 4 rozszerzon postć funkcji przejści jest nstępując:. ˆδ(q, ε) = {q }, 2. ˆδ(q, ) = δ(q, ) = {q, q }, 3. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q, q } = {q, q }, 4. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }, 5. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q 2, ) = {q, q } = {q, q }, 6. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }. 6
.4 Automty niedeterministyczne z pustymi przejścimi Włsnością utomtów niedeterministycznych jest możliwość przechodzeni do wielu stnów równocześnie. Jednk zwsze przejści są dokonywne przy pomocy określonego symolu. Dlszym poluzowniem reguł jest dopuszczenie do sytucji, gdy przejści nstępują spontniczne. Automt może przejść do innego stnu ez otrzymni symolu wejściowego (symol pusty jest oznczny jko ε). T now włściwość nie zwiększ mocy oliczeniowej utomtów skończonych. Rysunek 6 przedstwi utomt z ε-przejścimi który kceptuje liczy dziesiętne zwierjące nstępujące znki:. opcjonlny znk plus lu minus, 2. pierwszy łńcuch cyfr, 3. kropkę dziesiętną, 4. drugi łńcuch cyfr. Pierwszy łńcuch cyfr może yć pusty, le co njmniej jeden z tych dwóch łńcuchów cyfr musi yć niepusty. Automt posid kilk interesujących przejść. Pierwszym jest przejście ze stnu q do stnu q przy pomocy ε, +,. Stn q przedstwi sytucję, w której utomt mógł zoczyć znk liczy, jeśli tki wystąpił i pewne cyfry, le nie kropkę dziesiętną. Wykryciem kropki dziesiętnej zjmuje się stn q 2, przejście do tego stnu ozncz iż widzin ył kropk i jkieś poprzedzjące ją cyfry. Nieco inne znczenie posid stn q 4. Będąc w tym stnie, widomo iż ył widzin przynjmniej jedn. Stn q 3 określ się zncznie więcej. Ten stn ozncz, że yły widzine cyfry (n pewno jedn), po niej kropk dziesiętn i również przynjmniej jedn po kropce. Pozostnie w tym stnie ozncz odczytnie pozostłych cyfr lu przejści do stnu końcowego, co ozncz kceptcję ciągu znków. strt q e,+,- q. q2 q3 e q5. q4 Rysunek 6: Niedeterministyczny utomt z przejścimi ε (oznczono wyjątkowo przez młą literę e ) kceptujący liczy dziesiętne Formlnie definicj utomtu przejścimi typu ε, przedstwi się identycznie jk poprzedni dw typy utomtów, A = {Q, Σ, δ, q, F }. Wszystkie skłdowe mją tką sme znczeni le dl funkcji przejści δ mmy nstępujące rgumenty:. stn z Q 2. element zioru Σ {ε}, może to yć symol wejściowy ądź symol ε. Wymgne jest y symol łńcuch pustergo ε nie nleżł do lfetu Σ (unikmy w ten sposó nieporozumień). Automt przedstwiony n rysunku 6 formlnie jest określony w nstępujący sposó: E = ({q, q,..., q s }, {., +,,,,..., 9}, δ, {q 5 }) Funkcj przejści δ jest określon przez nstępującą telę: ε +,.,,..., 9 q {q } {q } q {q 2 } {q, q 4 } q 2 {q 3 } q 3 {q 5 } {q 3 } q 4 {q 3 } q 5 7
.4. Domknięcie stnu typu ε Pojęcie ε-domknięci jest rdzo istotne w dlszych rozwżnich. Pojęcie to w sposó nieformlny możn wprowdzić w nstępujący sposó: ε-domknięcie stnu q to stny które są osiągne tylko i wyłącznie po wszystkich przejścich ze stnu q optrzonych etykietą ε. Inne stny osiągnięte ze stnu q tkże podlegją tej procedurze, nleży przejść do wszystkich ε-przejścich. Formlnie ε-domknięcie ED(q) jest definiowne w nstępujący sposó: Podstw: Stn q nleży do ED(q). Krok indukcyjny: Jeśli stn p nleży do ED(q) orz istnieje przejście ze stnu p do stnu r o etykiecie ε, to r też nleży do ED(q). Co więcej, dl funkcji przejści δ i stnu p ED(q) to ED(q) zwier tkże wszystkie stny z δ(p, ε). Dl utomtu przedstwionego n rysunku 6 kżdy stn jest włsnym ε-domknięciem orz dl dwóch stnów mmy: ED(q ) = {q, q } orz ED(q 3 ) = {q 3, q 5 } Inny przykłd, to utomt o nstępującym digrmie: e e 2 3 6 e ety2 e 2 3 7 ety e Rysunek 7: Dl stnu stosując definicję indukcyjną otrzymmy:.4.2 Rozszerzon funkcj przejści ED() = {, 2, 3, 4, 6} Niech E = {Q, Σ, δ, q, F } ędzie niedeterministycznym utomtem z przejścimi ε. Funkcj ˆδ jest rozszerzoną funkcją przejści, czyli ˆδ(q, w) to ziór stnów osiąglnych po ścieżce, której etykiety tworzą słowo w. Rekurencyjn definicj ˆδ jest określon w nstępujący sposó: Podstw: Wrtość rozszerzonej funkcji przejści jest równ domknięciu, jeśli dną etykietą dl stnu q jest ε: ˆδ(q, ε) = ED(q). Krok indukcyjny: Zkłdmy, że w = x, gdzie jest osttnim symolem w. Poniewż nleży do Σ to z definicji nie może ono yć równe ε. Wrtość ˆδ(q, w) może zostć oliczon n trzy sposoy:. Niech ˆδ(q, x) = {p, p 2,..., p k }. Stny p i odzwierciedlją drogę po których możemy dość ze stnu q do stnu x. Ścieżk t może zwierć ε-przejści, może również kończyć się tkim przejściem. 2. Niech k i= δ(p i, ) = {r, r 2,..., p m }. Ten przypdek opisuje drogę, gdzie idziemy po wszystkich przejścich o etykiecie ze stnów, do których możemy dojść z q po ścieżkch o etykiecie x. Stny r j to niektóre ze stnów, osiąglne z q po ścieżkch o etykiecie w. Dodtkowe stny, do których możemy dojść, znjdujemy, wychodząc z r j i idąc krwędzimi etykietownymi przez ε. Te drogi są opisne w nstępnym punkcie: 3. Postć funkcji ˆδ(q, w) = m j= ED(r j) oejmuje domknięci wszystkich ścieżek z q o etykiecie w. Bowiem, rozwżne są możliwości istnieni dodtkowych krwędzi o etykiecie ε, które możn wykorzystć po dokonniu przejść n osttnim symolu nleżącym do Σ. Wykorzystując digrm utomtu 6 oliczeni wrtości ˆδ(q, 5.6) przedstwiją się nstępująco: ˆδ(q, ε) = ED(q ) = {q, q } 8
Dl ˆδ(q, 5) oliczeni są nstępujące:. W pierwszej kolejności nleży oliczyć przejści n wejściu 5 ze stnów q i q, które otrzymno po oliczeniu ˆδ(q, ε): δ(q, 5) δ(q, 5) = {q, q 4 } = {q, q 4 } 2. Nstępnie trze wyznczyć ε-domknięci w kroku (). Otrzymmy: ED(q ) ED(q 4 ) = {q } {q 4 } = {q, q 4 } Otrzymliśmy tki sm ziór jk dl funkcji ˆδ(q, 5). Oliczeni dl ˆδ(q, 5.) przy wykorzystniu zioru wyznczonego w poprzednim punkcie:. δ(q,.) δ(q 4,.) = {q 2 } {q 3 } = {q 2, q 3 } 2. ˆδ(q, 5.) = ED(q 2 ) ED(q 3 ) = {q 2 } {q 3, q 5 } = {q 2, q 3, q 5 } Oliczeni dl ˆδ(q, 5.6):. δ(q 2, 6) δ(q 3, 6) δ(q 5, 6) = {q 3 } {q 3 } = {q 3 } 2. ˆδ(q, 5.6) = ED(q 3 ) = {q 3, q 5 } Poniewż wrtość dl ˆδ(q, 5.6) zwier stn kceptujcy q 5, więc łńcuch 5.6 nleży do język utomtu z rysunku 6. Pozwl to n ogólne zdefiniownie język dl utomtu niedeterministycznego, niech E = {Q, Σ, δ, q, F } to podonie jk w pozostłych dwóch typch utomtów L(E) = {w ˆδ(q, w) F }. Język utomtu E to ziór tkich słów w przeprowdzjących stn początkowy n co njmniej jeden stn kceptujący. 2 Włsności utomtów Automt skończony A jest zupełny (znkiem # wyjątkowo oznczmy moc zioru), gdy: Automt skończony A jest deterministyczny: (i) q Q #δ(q, ε) = (ii) Σ q Q #δ(q, ) Automt skończony A jest deterministyczny i zupełny: (i) q Q #δ(q, ε) = (ii) Σ q Q #δ(q, ) = Σ q Q #δ(q, ) Automt skończony zupełny nzywmy utomtem Rin-Scott. Ntomist utomt skończony, deterministyczny orz zupełny nzyw się deterministycznym utomtem Rin-Scott. 2. Równowżność skończonych utomtów deterministycznych orz niedeterministycznych Niech A = {Q, Σ, δ, q, F } ędzie deterministycznym utomtem skończonym. Język utomtu A to słow nleżące do L(A): L(A) = {w ˆδ(q, w) F }. Język utomtu A to ziór łńcuchów w przeprowdzjących stn początkowy q w jeden ze stnów kceptujących. Jeśli L = L(A) dl pewnego utomtu A, to o języku L możemy powiedzieć, że jest językiem regulrnym. Język dl niedeterministycznego utomtu skończonego, również możn określić w podony sposó. Fkt iż utomt ten znjduje się w wielu stnch nrz nie przeszkdz, gdy n prcę utomtu spojrzy się cłościowo. 9
Zwsze istnieje możliwość, że utomt przejdzie do stnu kceptującego. Toteż, jeśli A = {Q, Σ, δ, q, F } jest utomtem niedeterministycznym, to: L(A) = {w ˆδ(q, w) F }. Dodć nleży jeszcze, że L(A) jest ziorem słów w Σ tkich, że ˆδ(q, w) zwier co njmniej jeden stn kceptujący. Dowód iż utomty deterministyczny może relizowć dowolny utomt niedeterministyczny oejmuje tzw. konstrukcję podziorów. Konstrukcj podziorów rozpoczyn od definicj utomty niedeterministycznego N = {Q N, Σ, δ N, q, F N }. Głównym celem jest znlezienie tkiej definicji utomty deterministycznego D = {Q D, Σ, δ D, {q }, F D } tkiego, że L(D) = L(N). Alfety wejściowe oydwu utomtów są tkie sme, stn początkowy D to ziór zwierjący jeden stn początkowy utomtu N. Pozostłe elementy utomtu D konstruuje się według nstępujących reguł: Q D jest ziorem wszystkich podziorów Q N (ziorem potęgowym Q N ), ogólnie Q D może posidć 2 n stnów le stny nieosiąglne możn pominąć, F D jest ziorem podziorów S zioru Q N tkich, że S F N, co ozncz, że F D to zioru stnów N zwierjących co njmniej jeden stn kceptujący utomtu N, dl kżdego zioru S Q N orz dl kżdego symolu wejściowego Σ δ D (S, ) = p S δ N (p, ). Powyższ równość sugeruje iż y oliczyć wrtość δ D (S, ), nleży przyjrzeć się wszystkim stnom p S, dl których utomt N ze stnu p przechodzi do stnu orz ierzemy sumę teoriomnogościową tych stnów. Technik zmienini niedeterministycznego utomt n utomt deterministyczne z pomocą podziór jest dość prost. Automtu z rysunku 4 posid ziór złożony z trzech stnów {q, q, q 2 } to ozncz iż utomt deterministyczny ędzie zwierł co njwyżej 2 3 = 8 stnów. Nleży wypisć wszystkie stny orz poprzez nlizę utomtu niedeterministycznego wyznczyć przejści do wszystkich pozostłych stnów. Poniższy rysunek prezentuje tką telę: {q } {q, q } {q } {q } {q 2 } {q 2 } {q, q } {q, q } {q, q 2 } {q, q 2 } {q, q } {q } {q, q 2 } {q 2 } {q, q, q 2 } {q, q } {q, q 2 } Choć tel opisuje stny utomtu niedeterministycznego, to fkt iż zgromdzone zostły wszystkie możliwe stny, powoduje że w istocie mmy już do czynieni z utomtem deterministycznym. Wygodnie ędzie zmienić poszczególne ziory n etykiety, np.: oznczymy literą A ziór {q, q } literą D. Now wersj teli funkcji przejści po podminie oznczeń prezentuje się nstępująco: A A A B E B C A D D A A E E F F E B G A D H E F
Jeśli prześledzi się dokłdnie prcę utomtu począwszy od stnu B, okże się iż i ośmiu wszystkich możliwych stnów, osiąglne są tylko trzy B, E orz F. Pozostłe pięć stnów są nieosiąglne i mogą zostć pominięte. T technik udowy stnu deterministycznego, wymg jednk wykłdniczej ilości kroków w udowie pierwszej wersji teli funkcji przejści. Możn spróowć wyeliminowć tki sposó udowy, poprzez leniwe olicznie z pomocą funkcji przejści orz wykorzystć indukcję. Niech N ędzie utomtem niedeterministycznym przedstwionym n rysunku 4. Podstw: Jednoelementowy ziór złożony tylko ze stnu początkowego utomtu N jest osiąglny. Krok Indukcyjny: Zkłdjąc że ziór S stnów jest osiąglny, nleży oliczyć dl kżdego symolu ziór stnów z pomocą funkcji przejści δ D (S, ). Nturlnie otrzymne stny tkże ędą osiąglne. Poniewż {q } jest już stnem utomtu deterministycznego D (krok podstwowy), to oliczjąc wrtość funkcji przejści odpowiednio otrzymmy, δ D ({q }, ) = {q, q } orz δ D ({q }, ) = {q }. Wrtości te znjdują tkże w teli funkcji przejści przedstwionej wcześniej, le możn, nwet nleży, je odczytć z digrmu utomtu N rysunek 4. Stn {q } to już nlizowny przez ns, nowym stnem jki otrzymliśmy jest {q, q }. Oliczjąc jego przejści odpowiednio otrzymmy: δ D ({q, q }, ) = {q, q } orz δ D ({q, q }, ) = {q, q 2 } dokłdniej oliczeni przyjmują nstępującą postć: δ D ({q, q }, ) = δ N (q, ) δ N (q, ) = {q, q } = {q, q }, δ D ({q, q }, ) = δ N (q, ) δ N (q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }. Nowym stnem jest {q, q 2 }, z oliczeń wrtości funkcji przejści otrzymmy: δ D ({q, q 2 }, ) = δ N (q, ) δ N (q 2, ) = {q, q } = {q, q }, δ D ({q, q 2 }, ) = δ N (q, ) δ N (q 2, ) = {q } = {q }. Poniewż nie otrzymliśmy nowych stnów, to procedur się kończy i otrzymliśmy deterministyczny opis utomtu N. Rysunek 8 przedstwi digrm tego nowego utomtu. strt {q} {q,q} {q, q2} Rysunek 8: Deterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy kończące się wyrżeniem zudowny z utomtu niedeterministycznego z Rysunku 4 Przykłd z konwersją utomtu niedeterministycznego z pomocą techniki podziorów pokzuje iż kżdy utomt niedeterministyczny m odpowiedni utomt deterministyczny choć licz stnów może ulec zminie jednk nie ędzie większ niż 2 n (n licz stnów utomtu niedeterministycznego). Ozncz to iż języki kceptowny przez oudw utomty są tkie sme. Mówi o tym tkże nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Jeśli D = {Q D, Σ, δ D, {q }, F D } jest deterministycznym utomtem zudownym z niedeterministycznego utomtu N = {Q N, Σ, δ N, q, F N } z pomocą konstrukcji podziorów, to L(D) = L(N). Dowód: Nleży dzięki indukcji pokzć, że słowo w: ˆδ D ({q, w}) = ˆδ N ({q, w}) Nleży zwrócić uwgę n to iż co prwd oydwie funkcje ˆδ zwrcją ziór stnów z Q N, przy czym ˆδ D interpretuje ten ziór jko jeden ze stnów Q D (ędącego ziorem potęgowym Q N ), ntomist ˆδ N interpretuje ten sm ziór jko podziór Q N.
Podstw: Niech w =, tzn. w = ε. N podstwie definicji ˆδ dl determistycznych i niedeterministycznych utomtów wiemy iż ˆδ D ({q }, ε) = ˆδ N ({q }, ε) = {q }. Krok indukcyjny: Niech w = n + orz niech stwierdzenie ędzie prwdziwe dl wejść o długości n. Jeśli w = x, gdzie jest osttnim symolem w, to n mocy złożeni indukcyjnego ˆδ D ({q }, x) = ˆδ N ({q }, x). Niech o te ziory stnów N mją postć {p, p 2,..., p k }. Definicj ˆδ dl utomtu niedeterministycznego pokzuje iż Ntomist konstrukcj podziorów pokzuje ˆδ N (q, w) = k ˆδ N (p i, ). i= δ D ({p, p 2,..., p k }, ) = k ˆδ N (p i, ). Korzystjc z konstrukcji podziorów orz z fktu, że ˆ δ D ({q }, x) = {p, p 2,..., p k } w części indukcyjnej definicji ˆδ dl utomtów deterministycznych: i= ˆδ D ({q }, x) = δ D (ˆδ D ({q }, x), ) = δ D ({p, p 2,..., p k }, ) = k ˆδ N (p i, ). W ten sposó dowiedliśmy, że ˆδ D ({q, w}) = ˆδ N ({q, w}). Automty D orz N kceptują słowo w wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio ˆδ D ({q }, w) i ˆδ N ({q }, w) zwierją stn z F N. Nstępne twierdzenie uogólni przedstwione powyżej twierdzenie: Twierdzenie 2 Niech L ędzie ziorem kceptownym przez niedeterministyczny utomt skończony. Wtedy istnieje deterministyczny utomt skończony kceptujący L. Szkic dowodu: Poniewż w twierdzeniu zostło użyte wyrżenie wtedy i tylko wtedy, ozncz to iż nleży dowód podzielić n dwie implikcje. Pierwsz implikcj ozncz iż utomt niedeterministyczny jest zmieniny n utomt deterministyczny. A jest to nic innego, jk konstrukcj podziorów i twierdzenie które zostło omówione powyżej. Możn woec tego przejść do drugiej części dowodu, implikcji. Nleży zmienić utomt deterministyczny n identyczny utomt niedeterministyczny. Co sprowdz się do intuicyjnego interpretowni digrmu przejść utomtu deterministycznego jko utomtu niedeterministycznego. Automt niedeterministyczny ędzie posidł tylko i wyłącznie jedno przejście. Formlnie, nleży pokzć n poziomie funkcji przejści, że dl deterministycznego utomtu D = {Q D, Σ, δ D, q, F D } określmy równowżny utomt niedeterministyczny N = {Q N, Σ, δ N, q, F N }, w którym funkcj przejści δ N jest określon przez regułę: δ D (q, ) = p δ N (q, ) = {p} Względnie łtwo pokzć dzięki indukcji, długości słow w, iż jeśli ˆδ D (q, ) = p, to ˆδ N (q, ) = {p}. Tkie podejście ozncz iż w jest kceptowne przez D wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono kceptowny przez utomt N, co ozncz L(D) = L(N). 2.2 Konwersj utomtu z przejścimi ε n utomt deterministyczny Sposó elimincji przejść ε orz konwersj utomty niedeterministycznego n deterministyczny jest podony do konstrukcji podziorów le wykorzystywne jest tkże ε-domknięcie. Równowżny utomt deterministyczny D = {Q D, Σ, δ D, q, F D } jest udowny w oprciu o utomt E = {Q E, Σ, δ E, q, F E } w nstępujący sposó:. Q D jest ziorem podziorów Q E. Wszystkie osiąglne stny D są ε-domkniętymi podziormi Q E, tj. ziormi S Q E tkimi, że S = ED(S). 2. q D = ED(q ), stn początkowy D otrzymujemy, poprzez domknięcie zioru złożonego jedynie ze stnu początkowego E. i= 2
3. F D skłd się ze ziorów stnów, które zwierją co njmniej jeden stn kceptujący E, F D = {S S Q D orz S F E }. 4. Dl wszystkich Σ orz S Q D wrtość funkcji przejści δ(s, ) jest oliczn w nstępujący sposó: () S = {p, p 2, p 3,..., p k }, () nstępnie nleży wyznczyć k i= δ E(p i, ), wynikiem niech ędzie ziór {r, r 2, r 3,..., r m }, (c) wtedy, wrtość nowej funkcji przejści jest określon jko δ D (S, ) = m j= ED(r j). Automt z rysunku 6 po konwersji może przyjąć postć podoną do digrmu ukznego n rysunku 9. N tym digrmie zostł pominięty mrtwy stn i wszystkie przejści do tego stnu. Zstosownie reguł wymienionych powyżej rozpoczynmy od stnu początkowego q. Po konwersji stnem początkowym nowego utomtu deterministycznego jest ED(q ) = {q, q }. Nstępnie nleży wyznczyć n które stny przechodzą stny q i q. Rysunek 6 pokzuje iż stn q nie przechodzi n żden inny stn przy znkch plus i minus. Jednk q przechodzi n stn q. Z tego powodu y oliczyć δ D ({q, q }, +), zczynmy od {q } i oliczmy ε-domknięcie. Poniewż nie m ε przejść z q, to wrtość funkcji przejści δ D ({q, q }, +) = {q }. Podon sytucj nstępuje w przypdku drugiego symolu δ D ({q, q }, ) = {q }. Kolejny etp to oliczenie wrtości δ D ({q, q },.). Digrm pokzuje że stn q nie przechodzi n nic innego przy kropce, le q przechodzi n stn q 2. Ozncz to konieczność oliczeni ε-domknięci q 2. Nie m ε-przejść z q 2, więc ten stn jest swym włsnym domknięciem, osttecznie w tym przypdku δ D ({q, q },.) = {q 2 }. Zkończenie nlizy stnu początkowego wymg oliczenie wrtości funkcji przejści dl cyfr, dorym przykłdem ędzie zero: δ D ({q, q }, ). Ze stnu q przy pomocy cyfry nie przejdziemy do żdnego innego stnu. Jednkże przejście nstępuje przy stnie q, ponownie do stnu q orz q 4. Oliczenie wrtości funkcji przejści jest dość łtwe, poniewż nie m przejść ε: δ D ({q, q }, ) = {q, q 4 }. Wrtość dl pozostłych cyfr jest identyczn. Dl pozostłych stnów sposó wyznczni przejść jest podony. Wrto zwrócić uwgę iż w oryginlnym utomcie mmy stn kceptujący q 5. Jednk w wyniku konwersji otrzymmy dw stny kceptujące {q 3, q 5 } orz {q 2, q 3, q 5 }. {q, q} +,- {q} {q,q4}. {q2,q3,q5}. strt. {q2} {q3,q5} Rysunek 9: Deterministyczny utomt pozwiony przejść ε zudowny n podstwie 6 2.3 Równowżność skończonych utomtów deterministycznych orz utomtów przejścimi ε Wprowdzenie pustego przejści ε nie powoduje iż utomty z tkimi przejścimi mogą rozpoznwć inne języki. Kżdy tego typu utomt możn zmienić n odpowiedni deterministyczny utomt. Dlszy wniosek zpisny w postci twierdzeni, dotyczy rozpoznwni języków: Twierdzenie 3 Język L jest kceptowny przez pewien niedeterministyczny utomt z przejścimi ε wtedy i tylko wtedy, gdy L jest kceptowny przez pewien deterministyczny utomt. Dowód: Nleży sprwdzić dwie implikcje. W pierwszej kolejności zostnie przenlizown implikcj. Zkłdmy, że L = L(D) dl pewnego utomtu deterministycznego D. Automt deterministyczny dość łtwo zmienić n odpowiedni utomt niedeterministyczny z przejścimi ε. Dodjemy dodtkowe przejści δ(q, ε) = do wszystkich stnów q utomtu deterministycznego. Nleży tkże przeksztłcić przejści n symolch 3
utomtu D w tki sposó y dl δ D (q, ) = p, funkcj przejści utomtu niedeterministycznego E mił postć δ E (q, ) = {p}. Po tej zminie przejści są tkie sme le rkuje jwnych ε-przejść. Nie stnowi to jednk o żdnym łędzie, czy niedoptrzeniu. Drug implikcj dl utomtu niedeterministycznego E = {Q E, Σ, δ E, q, F E } z ε-przejścimi wymg zstosowni zmodyfikownej konstrukcji podziorów y otrzymć D = {Q D, Σ, δ D, q D, F D }. W ten sposó chcemy wykzć iż L(D) = L(E). W tym celu nleży wykzć równowżność rozszerzonych funkcji przejści ˆδ E (q, w) = ˆδ D (q D, w), z pomocą indukcji po długości słow w. Podstw: Jeśli w =, to nturlnie w = ε. Wiemy, że ˆδ E (q, ε) = ED(q ). Ntomist stn początkowy zostł zdefiniowny jko q D = ED(q ). Osttecznie widomo, że dl dowolnego deterministycznego utomtu ˆδ D (p, ε) = p dl dowolnego stnu p, więc w szczególności ˆδ D (q, ε) = ED(q ). Co kończy pierwszą część dowodu iż ˆδ E (q, ε) = ˆδ D (q D, ε). Krok indukcyjny: Niech słowo w = x, gdzie jest osttnim symolem. Zkłdmy, że rozwżne twierdzenie jest prwdziwe dl x. Ozncz to, że ˆδ E (q, x) = ˆδ D (q D, x) wrtością oydwu funkcji niech ędzie ziór {p, p 2,..., p k }. Korzystjąc z definicji ˆδ dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε ędziemy oliczć wrtość funkcji ˆδ E (q, w) w nstępujący sposó:. k i= δ E(p i, ) = {r, r 2,..., r m }, 2. ˆδ E (q, w) = m j= ED(r j). Odwołując się w tym miejscu do konwersji utomtu niedeterministycznego n deterministyczny ez ε-przejść, zoczymy że δ D ({p, p 2,..., p k }, ) konstruuje się z pomocą dwóch kroków wymienionych powyżej. Co pozwl stwierdzić, że ˆδ D (q D, w), jest tożsm z δ D ({p, p 2,..., p k }, ) orz ze ziorem generownym przez ˆδ E (q, w). W ten sposó dowiedziono, że ˆδ E (q, w) = ˆδ D (q D, w). 3 Wyrżeni regulrne Niech Σ ędzie skończonym ziorem symoli i niech L, L, L 2, ędą ziormi łńcuchów z Σ. Złożeniem L, L 2, ozncznym L L 2, nzywmy {xy x L, y L 2 }. Innymi słowy, łńcuchy nleżące do L L 2 są tworzone poprzez wszystkie komincje elementów z łńcuch L z elementmi łńcuch L 2. Niech L = {λ} i L i = LL i dl i. Domknięciem Kleene go L oznczonym przez symol L, nzywmy ziór: L = Ntomist domknięciem dodtnim L, oznczonym symolem L +, jest ziór: L + = Inczej mówiąc ziór L to wszystkie słow po złożeniu dowolnej liczy słów z L. Podonie ziór L + jednk nie zlicz się tu słów pustych z elementem λ. Przykłd Niech L = {, } orz L 2 = {, }. Wtedy L L 2 = {,, }. Pondto {, } = {λ,,,,,,,...} Niech Σ ędzie lfetem. Wyrżeni regulrne nd ziorem Σ są zdefiniowne w nstępujący sposó:. jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór pusty i= i= 2. λ wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór {λ} 3. Dl kżdego Σ, jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór {} 4. Jeżeli r i s są wyrżenimi regulrnymi reprezentującymi języki R i S to (r +s) (lterntywny zpis (r s)), (rs), (r ) są wyrżenimi regulrnymi reprezentującymi odpowiednio ziory R S, RS i R. L i L i 4
Zpis wyrżeń regulrnych wrto uprościć poprzez wprowdzenie kilku złożeń. Jeśli, opertor m wyższy priorytet niż złożenie lu +, orz jeśli złożenie m wyższy priorytet niż + to wyrżenie ((( )) + ) możn zpisć jko +. Efektem przyjęci priorytetów jest możliwość opuszczeni zędnych nwisów. Wyrżeni typu rr możn skrcć do r +. Zkłdmy tkże, że r i = rrrrr } {{... rrr }. i rzy Podsumowując w wyrżenich regulrnych stosujemy nstępujące priorytety opertorów:. ( ) - njwyższy priorytet, 2. 3. - (złożenie) 4. + - njniższy priorytet. Przykłd 2 Wyrżenie jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym {}. Wyrżenie ( + ) reprezentuje wszystkie słow złożone z zer orz jedynek. Inne wyrżenie (+) (+) opisuje ziór wszystkich łńcuchów zer orz jedynek, zwierjących przynjmniej dw kolejne zer. Wyrżenie (+) to ziór wszystkich łńcuchów zer orz jedynek które rozpoczynją się od jedynki le nie zwierją dwóch kolejnych zer. Przykłdem jest słowo które, jeśli podzielimy n jsno wskzuje iż jest słowem generownym przez (+). Wyrżenie ( + ) opisuje wszystkie łńcuchy zer i jedynek kończące się. Słow generowne przez wyrżenie 2 to dowolnej długości ciągi zer. nstępnie jedynek i n końcu dwójek. Podonym wyrżenie 22 które jest podone jk poprzednie le gwrntuje, że zwsze ędzie przynjmniej jedno zero, jedn jedynk ądź dwójk. Nieco rdziej skrótowo możn to zpisć jko + + 2 +. 3. Prw lgery ziorów/języków regulrnych Niech p, q i r ędą dowolnymi wyrżenimi regulrnymi. Prwdziwe są nstępujące zleżności i tożsmości: p q = q p p (q r) = (p q) r p(qr) = (pq)r pq pr = p(q r) pq rq = (p r)q λp = pλ = p p = p = λ = λ = λ p = p p = (p λ) (p ) = p p p = p p = p λ p = p λ pp = p λ p p = p pqq pq = pq (p q) = (p q ) = (p q ) Przykłd 3 Dl przykłdu zostnie udowodnione przedosttnie prwo z przedstwionej listy: poniewż: 4 Zdni = = ()() ()() = (,,,...) (,,,...) = (,,,...) = ()(). Udowodnić twierdzenie. 2. Udowodnić twierdzenie 2. 3. Udowodnić twierdzenie 3. 4. Podć formlny opis orz telę przejści dl funkcji δ dl dwóch nstępujących utomtów: deterministyczny utomt kceptujący liczy rzeczywiste zpisne w notcji o nstępującym przykłdzie.23e 4: 5
strt kropk 3 4 5 E 7 plus lo minus plus lo minus 2 9 8 deterministyczny utomt rozpoznwjący nstępujące wyrżenie regulrne ( ) : strt 2 3 5. Automt niedeterministyczny o nstępującej teli przejści: zmienić n utomt deterministyczny. p {p, q} {p} q {r} {r} r {s} s {s} {s} 6. Automt niedeterministyczny o nstępującej teli przejści: zmienić n utomt deterministyczny. p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} 7. Dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε o nstępującej teli przejści: () Oliczyć ε-domknięcie dl kżdego stnu. ε c p {p} {q} {r} q {p} {q} {r} r {q} {r} {p} () Podć wszystkie łńcuchy o długości co njwyżej trzy kceptowne przez ten utomt. (c) Przeksztłcić utomt n utomt deterministyczny. 8. Dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε o nstępującej teli przejści: () Oliczyć ε-domknięcie dl kżdego stnu. ε c p {q, r} {q} {r} q {p} {r} {p, q} r () Podć wszystkie łńcuchy o długości co njwyżej trzy kceptowne przez ten utomt. (c) Przeksztłcić utomt n utomt deterministyczny. 6
9. Zprojektowć deterministyczne utomty rozpoznjące słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm.. Zprojektowć niedeterministyczne utomty rozpoznjące słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm.. Zprojektowć jeden deterministyczny utomt rozpoznjący słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm. 2. Zprojektowć jeden niedeterministyczny utomt rozpoznjący słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm. 3. Pokzć, dlczego utomt o nstępującym digrmie, strt,,,, q q q2...... qn który rozpoznje słow którego N-tym symolem od końc jest jedynk, nie m równowżnego deterministycznego utomtu o liczie stnów zncznie mniejszej niż 2 n. 4. Zdefiniowć utomty skończone i deterministyczne które ędą kceptowć (rozpoznwć) języki opisywne przez poniższe wyrżeni regulrne () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) (d) ( ) ( ) 5. Zudowć deterministyczny utomt skończony kceptujący język nd lfetem T =, () ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych z wyjątkiem łńcuch, () ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych nie zwierjących łńcuch, (c) ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych zwierjących co njwyżej jeden rz łńcuch. 7
6. Podć jkie wyrżeni regulrne są kceptowne przez poniższe deterministyczne utomty: strt strt c 2 c c 2 c c c 5 c 3 4 c () () 4 c 3 strt A D strt A D C B (c) C B (d) 5 Dlsze informcje Poniższe pozycje odnoszą się do wszystkich list z ćwiczenimi z przedmiotu teoretyczne podstwy informtyki. Litertur [] Dvid Hrel: Rzecz o istocie informtyki Algorytmik, Edycj polsk Wydnie drugie, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 2. [2] Tomsz Bilski, Krzysztof Chmiel, Jnusz Stokłos: Ziór zdń ze złożoności oliczeniowej lgorytmów, Politechnik Poznńsk 992. [3] Jnusz Stokłos: Zdni ze złożoności oliczeniowej lgorytmów, Politechnik Poznńsk 989. [4] L. Bnchowski, Antoni Kreczmr: Elementy nlizy lgorytmów, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 982. [5] John E.Hopcroft, Jeffrey D.Ullmn: Wprowdzenie do teorii utomtów, języków i oliczeń, Wydwnictwo Nukowe PWN 23 Wydnie orz Wydnie 2 z roku 26. [6] Mordechi Ben-Ari: Logik mtemtyczn w informtyce, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 25. [7] Christos H.Ppdimitriou: Złożoność oliczeniow, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 22. [8] R.L. Grhm, D.E. Knuth, O.Ptshnik: Mtemtyk konkretn,wydwnictwo Nukowe PWN 22. [9] Kenneth A.Ross, Chrles R.B.Wright: Mtemtyk dyskretn, Wydwnictwo Nukowe PWN 2. [] Piotr Wrólewski,: Algorytmy struktury dnych i techniki progrmowni, Helion 997. [] Mteriły ze strony dr inż. Jnusz Mjewskiego dotyczące przedmiotu Automty i języki formlne. 8