teoria i przykłady zastosowań

: teoria i przykłady zastosowań Katedra Sterowania i Pomiarów Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: emirsaj@zut.edu.pl Zielona Góra, 22 listopada 21

Spis treści 1 O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I 2 Podstawowe własności półgrupy złożonej 3 Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II 4 Główny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Przykład 2

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Równania Lapunowa Głównym celem referatu jest przedstawienie teorii półgrupy złożonej i pokazanie, że jest ona efektywnym narzędziem analizy nieskończenie wymiarowych różniczkowych oraz algebraicznych równań Lapunowa. Głównym równaniem motywujacym założenia, przy których rozwiniemy teorię półgrupy złożonej, jest różniczkowe równanie Lapunowa o postaci Ṁ(t) = AM(t) + M(t)A + BB, t, M() = M, (1) w którym (M(t)) t, A, A i BB sa liniowymi operatorami działajacymi w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta. Postać algebraiczna równania Lapunowa jest stacjonarna wersja równania (1) i wyglada następujaco: AM + MA + BB =, (2) gdzie operator M nie zależy od czasu.

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Oznaczenia H, U sa przestrzeniami Hilberta (które identyfikujemy z ich przestrzeniami dualnymi. H = L(H) jest przestrzenia Banacha liniowych, ograniczonych operatorów z H do H z norma. (H, ) oznacza L(H) z jednostajna topologia operatorowa (indukowana przez normę ) a (H,τ) oznacza L(H) z silna topologia operatorowa τ, tzn., topologia indukowana przez rodzinę półnorm P = {p h }, gdzie p h (X) = Xh H dla X L(H) i h H. A jest liniowym, nieograniczonym operatorem na H generujacym silnie ciagł a półgrupę (T(t)) t H. H1 A = D(A) jets przestrzenia Hilberta z iloczynem skalarnym, A 1 = (λi A)( ),(λi A)( ) H i norma A 1, gdzie λ ρ(a) i ρ(a) jest zbiorem rezolwentowym operatora A. AAnalogicznie definiujemy H1 A = D(A ), gdzie A jest nieograniczonym operatorem sprzężonym do A. H 1 A jest uzupełnieniem H w normie A 1 = (λi A) 1 ( ) H indukowanej przez iloczyn skalarny, A 1 = (λi A) 1 ( ),(λi A) 1 ( ) H, gdzie λ ρ(a). Przestrzeń Hilberta H 1 A można równoważnie zdefiniować jako dualn a (HA 1 ) do H1 A. Zachodzi HA 1 H HA 1 z ci agłymi i gęstymi włożeniami. Analogicznie, wprowadzamy H 1 A.

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Oznaczenia - c.d. Uwaga (T(t)) t H można obciac do (T 1 (t)) t L(H1 A) a jej generator (A 1, D(A 1 )) jest częścia A w H1 A H. Ponadto, (T(t)) t H można rozszerzyć do (T 1 (t)) t L(H 1 A ) z generator (A 1, D(A 1 )) będacym rozszerzeniem A, gdzie D(A 1 ) = H. Analogicznie, wprowadzamy (T1 (t)) t L(H1 A ) z generatorem (A 1, D(A 1 )) i (T 1 (t)) t L(H 1 A ) z generatorem (A 1, D(A 1 )), gdzie D(A 1 ) = H. B L(U, H 1 A ) z operatorem sprzężonym B L(H1 A, U). H = L(H1 A, HA 1 ) jest przestrzenia Banacha liniowych i ograniczonych operatorów z H1 A do H 1 A z norma. (H, ) oznacza L(H1 A, HA 1 ) z jednostajna topologia operatorowa (indukowana przez ) a (H,τ ) oznacza L(H1 A, HA 1 ) z silna topologi a operatorowa τ, tzn., topologia indukowana przez rodzinę półnorm P = {ph }, gdzie p h (X) = Xh H 1 A dla X L(H A 1, HA 1 ) i h HA 1. Przestrzeń topologiczna (H, τ) jest ciagowo zupełna na zbiorach o ograniczonej normie.

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości - część I. Układ sterowania z nieograniczonym operatorem wejściowym ẋ(t) = A 1 x(t) + Bu(t), t, x() = x, (3) gdzie (x(t)) t jest trajektoria stanu, a (u(t)) t U jest sterowaniem. Założenia: czas t 1 (, ) jest ustalony, x H, z 1 H, B jest dopuszczalnym operatorem wejściowym. Zadanie: Znaleźć sterowanie u opt L 2 (, t 1 ; U), które zminimalizuje kwadratowy wskaźnik jakości J t1 (u) = x(t 1 ) z 1 2 H + u 2 L 2 (4) (,t 1 ;U) na całej przestrzeni L 2 (, t 1 ; U). Sterowanie optymalne u opt istnieje i jest jednoznaczne. Optymalna para {u opt, x opt} L 2 (, t 1 ; U) C([, t 1 ]; H) jest jednoznacznie scharakteryzowana równaniami: ẋ opt(t) = A 1 x opt(t)+bu opt(t), t [, t 1 ], x opt() = x, (5a) ṗ(t) = A p(t), t [, t 1 ], p(t 1 ) = z 1 x opt(t 1 ), (5b) u opt(t) = B p(t). (5c)

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Dla x, z 1 H i dopuszczalnego B L(U, H 1 A ) rozwi azania równań (5a) i (5b) sa rozumiane w sensie słabym, a wyrażenie (5c) na sterowanie optymalne ma sens tylko jako funkcja z przestrzeni L 2 (, t 1 ; U). Podstawiajac (5c) do (5a), otrzymamy ] [ A 1 BB = ][ x1 (t) A x 2 (t) [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) gdzie x opt = x 1 i u opt = B x 2. ], t [, t 1 ], [ x1 () x 2 (t 1 ) ] [ = ] x, z 1 x 1 (t 1 ) (6) Uwaga Jest to typowe zagadnienie dwugraniczne, którego rozwiazanie [x 1 (t) x 2 (t)] T, t [, t 1 ] jest trudne do wyznaczenia. Wynika to z faktu, że warunek końcowy x 2 (t 1 ) zależy od warunku końcowego x 1 (t 1 ) i wobec tego oba równania różniczkowe sa ze soba sprzęgnięte, a ponadto operator BB występujacy w pierwszym równaniu jest silnie nieograniczony względem przestrzeni stanu H (spełnia on warunek BB H = L(H1 A, HA 1 )).

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Równania (6) zastępujemy zagadnieniem dwugranicznym: [ ] [ ẋ1 (t) A 1 BB = ][ ] [ x1 (t) x1 () ẋ 2 (t) A, t [, t x 2 (t) 1 ], x 2 (t 1 ) ] H H A 2, (7) gdzie nie zakładamy a priori dopuszczalności operatora B, a H2 A jest dziedzina A 1 rozumianego jako nieograniczony operator na przestrzeni HA 1. Warunki poczatkowo-końcowe problemu (7) różnia się od warunków z problemu (6), ponieważ nie zakładamy teraz zależności stanu x 2 (t 1 ) od stanu x 1 (t 1 ). Dla x 2 (t 1 ) H A 2, otrzymujemy x 2 ( ) C([, t 1 ]; H A 2 ) C1 ([, t 1 ]; H A 1 ), a różniczkowalność funkcji x 2 ( ) oraz założenie x 1 () H gwarantuja, że x 1 ( ) C([, t 1 ]; H) C 1 ([, t 1 ]; H A 1 ). Równania różniczkowe (7) sa spełnione w przestrzeni H 1 A HA 1 dla każdego t [, t 1 ].

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Wprowadzamy nowe zmienne stanu [w 1 (t) w 2 (t)] T [ w1 (t) w 2 (t) spełniajace równania [ ẇ1 (t) ẇ 2 (t) ] [ I M(t) = I ] [ ][ A 1 w1 (t) = A w 2 (t) ][ x1 (t) x 2 (t) ], t [, t 1 ], gdzie (M(t)) t [,t1 ] jest nieznana rodzina operatorów. ], t [, t 1 ] (8) [ w1 () w 2 (t 1 ) Aby określić ogólne warunki, które powinna spełniać ta rodzina, formalnie zróżniczkujmy (8) [ ẇ1 (t) ẇ 2 (t) ] [ I Ṁ(t) = I ][ x1 (t) x 2 (t) ] [ I M(t) + I ][ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] [ x1 () = x 2 (t 1 ) (9) ]. (1) ],

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Powyższe wyrażenia maja sens, jeżeli: Operator M(t) będzie ograniczony na przestrzeni stanu H, tzn. (M(t)) t [,t1 ] H, (11) i ciagły w czasie w silnej topologii operatorowej τ przestrzeni H, tzn. M( ) C([, t 1 ];(H,τ)). Ponadto M() =, (12) co wynika z warunków poczatkowo-końcowych problemu (9). Pochodna Ṁ(t) będzie dobrze zdefiniowana w przestrzeni L(HA 1, HA 1 ), tzn. (Ṁ(t)) t [,t 1 ] H, (13) i ciagła w czasie w silnej topologii operatorowej τ przestrzeni H, tzn. Ṁ( ) C([, t 1 ];(H,τ )). Powyższe własności rodziny (M(t)) t [,t1 ] gwarantuja, że układ (1) jest dobrze zdefiniowany w H A 1 HA 1 dla każdego t [, t 1 ].

O jakie równanie chodzi? Wstępne oznaczenia i założenia Przykład 1 - część I Przykład Po przekształceniach otrzymujemy [ ] [ ẇ1 (t) A 1 = Ṁ(t)+A 1M(t)+M(t)A + BB ẇ 2 (t) A który ma sens w przestrzeni H 1 A HA 1 dla każdego t [, t 1 ]. Diagonalizacja (9) wymaga istnienia rozwiazania M( ) C([, t 1 ];(H,τ)) C 1 ([, t 1 ];(H,τ )) równania: ][ w1 (t) w 2 (t) ], (14) Wniosek Ṁ(t) = A 1 M(t) + M(t)A + BB, t [, t 1 ], M() =, (15) gdzie równość rozumiana jest w przestrzeni H. Interesuje nas rozwiazanie niejednorodnego różniczkowego równaniem Lapunowa z nieograniczonym elementem wejściowym: Ṁ(t)h = A 1 M(t)h + M(t)A h+bb h, t, M() = M, h H A 1, (16) gdzie równość rozumiana jest w H A 1, przy założeniach M H oraz BB H.

Podstawowe własności półgrupy złożonej Własności półgrupy złożonej Wykorzystujac półgrupy (T(t)) t H i (T (t)) t H generowane przez A i A, odpowiednio, definiujemy jeszcze jedna półgrupę. Definicja Rodzinę operatorów (U(t)) t L(H), zdefiniowana zależnościa nazywamy półgrupa złożona. U(t)X = T(t)XT (t), X H, t, (17) Z definicji wynikaja następujace własności rodziny (U(t)) t L(H) : (a) Rodzina operatorów (U(t)) t L(H) jest półgrupa, tzn., U()X = X, X H, U(t + s)x = U(t)(U(s)X) = U(s)(U(t)X), X H, t, s. (b) (U(t)) t L(H) jest silnie τ-ciagła dla każdego t, tzn. dla każdego X H τ- lim ( U(t+ )X X ) = lim (U(t+ )X)h (U(t)X)h H =, h H. (18)

Podstawowe własności półgrupy złożonej Własności półgrupy złożonej Definicja Generatorem A półgrupy złożonej (U(t)) t L(H) nazywamy granicę U(t)X X AX = τ- lim, X D(A), (19) tց t gdzie D(A) H jest dziedzina operatora A zdefiniowana następujaco D(A) = {X H : τ- lim tց U(t)X X t isnieje w (H,τ)}. (2) (c) X H należy do dziedziny D(A) wtedy i tylko wtedy, gdy obcięcie X do H1 A należy do L(H1 A, HA 1 ), tzn., D(A) H L(H1 A, HA 1 ), (21) i rozszerzenie operatora (AX + XA ) L(H1 A, H) do H należy do H. (d) Operator A posiada następujac a jawna reprezentacja (AX)h = AXh + XA h, X D(A), h H A 1. (22)

Podstawowe własności półgrupy złożonej Własności półgrupy złożonej (e) Dla X H mamy t U(r)X dr D(A), t, (23) gdzie całka ma sens w (H,τ). Jeżeli X, Y H, to t U(t)X X = U(r)Y dr, t, (24) wtedy i tylko wtedy, gdy X D(A) i Y = AX. (f) Jeżeli X D(A), to (U(t)X) t D(A) i jest τ-różniczkowalne względem t, tzn. U( )X C 1 ([, );(H,τ)), oraz (g) Spełnione sa równości d U(t)X = A(U(t)X) = U(t)(AX), t. (25) dt U(t) L(H) = T(t) H T (t) H = T(t) 2 H, t, (26) i jeżeli ω (T) jest wskaźnikiem wzrostu (T(t)) t H, a ω (U) jest wskaźnikiem wzrostu (U(t)) t L(H), to ω (U) = 2ω (T). (27)

Podstawowe własności półgrupy złożonej Własności półgrupy złożonej Dla λ C 2ω (T) := {z C : Re z > 2ω (T)} definiujemy rodzinę operatorów R(λ) L(H) wykorzystujac przekształcenie Laplace a R(λ)X = e λt U(t)X dt = e λt T(t)XT (t) dt, X H, (28) gdzie całki sa zbieżne w (H,τ). (h) Zachodzi gdzie ρ(a) jest zbiorem rezolwentowym operatora A. C 2ω (T) ρ(a), (29) (i) Jeżeli λ C 2ω (T), to operator R(λ) pokrywa się z rezolwenta R(λ, A) operatora A, tzn. R(λ) = R(λ,A) = (λi A) 1 L(H) (3) oraz R(R(λ)) = R(R(λ,A)) = D(A). (31)

Podstawowe własności półgrupy złożonej Własności półgrupy złożonej Wniosek Bezpośrednio z własności (f) wynika, że dla każdego X D(A) wyrażenie X(t) = U(t)X = T(t)X T (t), t, spełnia warunek (X(t)) t D(A) oraz X( ) C 1 ([, );(H,τ)), i w rzeczywistości jest τ-różniczkowalnym rozwiazaniem jednorodnego zagadnienia Cauchyego Ẋ(t) = AX(t) H, t, X() = X. (32) Na mocy własności (d) równanie (32) można przepisać w postaci Ẋ(t)h = AX(t)h + X(t)A h, h H A 1, t, X() = X, (33) które jest jednorodnym równaniem różniczkowym Lapunowa. Uwaga Przede wszystkim interesuje nas jednak niejednorodne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejściem F spełniajacym warunek F H = L(H1 A, HA 1 ).

Rozszerzenie półgrupy złożonej Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Na H definiujemy dodatkowa normę X := R(λ,A)X, gdzie X H, oraz rodzinę półnorm P = {p h }, gdzie p h (X) = p h (R(λ,A)X) = (R(λ,A)X)h H dla X H i h H. τ oznacza topologię na H indukowana przez rodzinę P. H 1 jest przestrzenia Banacha zdefiniowana jako uzupełnienie H rozumiane w sensie klas równoważności ciagów Cauchy ego w (H,τ ) o ograniczonej normie. Norma w H 1 zdefiniowana jest zależnościa X 1 = sup p 1 h (X), X H 1, p 1 h P 1 gdzie P 1 = {p 1 h } jest rodzina półnorm p 1 h na H 1, zdefiniowanych granica p 1 h (X) = lim n p h(x n), h H, gdzie (X n) n N H jest dowolnym reprezentantem klasy równoważności X. Jeżeli τ 1 oznacza topologię na H 1 indukowana przez rodzinę P 1, wówczas kanoniczna injekcja (H,τ) (H 1,τ 1 ) jest bi-ciagła i bi-gęsta.

Rozszerzenie półgrupy złożonej Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Lemat (U 1 (t)) t L(H 1 ) jest τ 1 -ciagł a półgrupa zdefiniowana zależnościa U 1 (t)x := τ 1 - lim n U(t)Xn = τ 1- lim n T(t)XnT (t), t, X H 1, gdzie (X n) n N H jest ciagiem ograniczonym w 1 i τ 1 -zbieżnym do X. Generator (A 1, D(A 1 )) posiada dziedzinę D(A 1 ) = H i spełnia warunek A 1 X = AX dla X D(A). Ponadto, ω (U 1 ) = ω (U) = 2ω (T). Niejednorodny problem Cauchy ego gdzie X H i F H 1. Ẋ(t) = A 1 X(t)+F, t, X() = X, (34) Jeżeli F H 1 i X H, to (34) ma jednoznaczne rozwiazanie spełniajace warunek X( ) C([, );(H,τ)) C 1 ([, );(H 1,τ 1 )). (35) Rozwiazanie to dane jest zależnościa t X(t) = U(t)X + U 1 (t r)f dr. (36)

Reprezentacja A 1 i U 1 (t) Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Lemat (U (t)) t L(H ) jest półgrupa złożona zdefiniowana U (t)x := T 1 (t)zt 1 (t), X H, t. (37) (A, D(A )) oznacza jej generator. Zachodzi H D(A ) i ω (U ) = ω (U). (a) (H,τ) (H 1,τ 1 ) (H,τ ) i injekcje sa bi-ciagłe i bi-gęste. (b) Prawdziwe sa następujace zależności (równości w H 1 A ): (A 1 X)h = (A X)h = A 1 Xh + XA h, X H, h H A 1, (38) (U 1 (t)x)h = (U (t)x)h (R(λ,A 1 )X)h = T 1 (t)xt1 (t)h, X H 1, t, h H1 A, (39) = (R(λ,A )X)h = e λt T 1 (t)xt1 (t)hdt, X H 1, h H1 A. (4)

Algebraiczne równanie Lapunowa Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Lemat Niech λ C 2ω (T) i F H. Algebraiczne równanie Lapunowa (w H A 1 ) λxh A 1 Xh XA h = Fh, h H A 1 (41) posiada jednoznaczne rozwiazanie X H = L(H) wtedy i tylko wtedy, gdy F H 1 (42) równoważnie, R(λ,A )F H. (43) Uwaga Z równoważności H A 1 i (HA 1 ) wynika, że (41) można przepisać w postaci λ Xh, g H Xh, A g H XA h, g H = Fh, g (H A ) 1 H 1 A, h, g H1 A, (44) gdzie, (H A ) 1 H 1 A oznacza relację dualności między H1 A i (H1 A ).

Różniczkowe równanie Lapunowa Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Niejednorodny problem Cauchy ego Ẋ(t) = A X(t)+F, t, X() = X, (45) gdzie X H i F H, lub rownoważnie Ẋ(t)h = A 1 X(t)h + X(t)A h + Fh, h H A 1, t, X() = X, (46) gdzie X H, F H i równość (46) zachodzi w H A 1. Częściowy wynik (wynika z lematu dla problemu Cauchy ego (34)). Wniosek Jeżeli F H 1 i X H, to różniczkowe równanie Lapunowa (46) posiada jednoznaczne rozwiazanie X( ) C([, );(H,τ)) C 1 ([, );(H 1,τ 1 )), dane zależnościa t X(t) = U(t)X + U (t r)f dr t = T(t)X T (t)+ T 1 (t r)ft1 (t r) dr, t. (47)

Dopuszczalny element wejściowy Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Wprowadzamy rodzinę operatorów ((MF)(t)) t H t (MF)(t) = t U (t r)fdr = T 1 (t r)ft1 (t r)dr, F H, t. (48) Definicja F H nazywamy dopuszczalnym elementem wejściowym dla różniczkowego równania Lapunowa (46) jeżeli istnieja ε > i C > takie, że (MF)(t) H, t [,ε], (49) sup (MF)(t) C, (5) t ε oraz τ- lim tց (MF)(t) =. (51)

Dopuszczalny element wejściowy Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Lemat Jeżeli F H jest dopuszczalnym elementem wejściowym dla różniczkowego równania Lapunowa (46), to spełniony jest warunek (MF)(t) H, t, (52) oraz (MF)( ) C([, );(H,τ)). (53) Twierdzenie F H jest dopuszczalnym elementem wejściowym dla różniczkowego równania Lapunowa (46) wtedy i tylko wtedy, gdy F H 1. Uwaga Wszystkie elementy F H 1 można sparametryzować zależnościa F(X) = λx A 1 X XA, X H.

Różniczkowe równanie Lapunowa Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Wniosek Różniczkowe równanie Lapunowa Ṁ(t) = A 1 M(t) + M(t)A + BB, t, M() =, (54) posiada jednoznaczne rozwiazanie (M(t)) t H spełniajace warunek M( ) C([, );(H,τ)) C 1 ([, );(H 1,τ 1 )) (stad także w M( ) C 1 ([, );(H,τ ))) wtedy i tylko wtedy, gdy równoważnie, Rozwiazanie to dane jest zależnościa t t M(t) = U 1 (t r)(bb ) dr = BB H 1, (55) R(λ,A )(BB ) H. (56) T 1 (t r)bb T1 (t r) dr, t. (57)

Dopuszczalność operatora BB Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Uwaga (a) Warunek (55) jest równoważny faktowi, że dla λ C 2ω (T) algebraiczne równanie Lapunowa λ Xh, g H Xh, A g H XA h, g H = B h, B g U, h, g H A 1, (58) posiada jednoznaczne rozwiazanie X H. (b) Jeżeli X H spełnia równanie (58), to również spełnia je X H. Jednoznaczność implikuje więc samosprzężonośc rozwiazania. Ponieważ X można przedstawić w postaci X = R(λ,A )(BB ) = R(λ,A 1 )(BB ), (59) więc wynika stad, że operator X jest nieujemny. Lemat Niech B L(U, H A 1 ) (BB H ). BB H 1 wtedy i tylko wtedy, gdy B L(U, H A 1 ) jest dopuszczalnym operatorem wejściowym dla (T(t)) t H.

Przykład 1 - c.d. Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości - część II. Końcowy układ równań różniczkowych [ ẇ1 (t) ẇ 2 (t) ] [ A 1 = A 1 ][ w1 (t) w 2 (t) (w przestrzeni H 1 A HA 1 ) z warunkami pocz atkowo-końcowymi: [ [ w1 () w 2 (t 1 ) gdzie x H i z 1 H. ] = x z 1 (I + M(t 1 )) 1 (w 1 (t 1 )+M(t 1 )z 1 ) ], t [, t 1 ] (6) ], (61) Uwaga Aby wyznaczyć (w 1 (t)) t [,t1 ], musimy najpierw rozwiazać pierwsze równanie różniczkowe z układu (6) do przodu w czasie i wówczas otrzymamy również w 1 (t 1 ). Majac M(t 1 ) i w 2 (t 1 ), musimy następnie rozwiazać drugie równanie różniczkowe z układu (6) do tyłu w czasie i wówczas otrzymamy funkcję (w 2 (t)) t [,t1 ].

Przykład 1 - c.d. Rozszerzenie półgrupy złożonej Wstępny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Wstępny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Dopuszczalne elementy wejściowe Główny wynik dla różniczkowego równania Lapunowa Przykład 1 - część II Uwaga Słabe rozwiazanie wyjściowego zagadnienia dwugranicznego [ ẋ1 (t) ẋ 2 (t) ] [ A 1 BB = ][ x1 (t) A x 2 (t) gdzie x, z 1 H, otrzymujemy z zależności [ x1 (t) x 2 (t) ] [ I M(t) = I ], t [, t 1 ], ][ w1 (t) w 2 (t) [ x1 () x 2 (t 1 ) ] [ = x z 1 x 1 (t 1 ) ], (62) ], t [, t 1 ]. (63) Z zależności tej wynika, że dla każdej pary x, z 1 H zagadnienie dwugraniczne (62) ma jednoznaczne słabe rozwiazanie [ ] x1 ( ) C([, t x 2 ( ) 1 ]; H) C([, t 1 ]; H), (64) które w sposób ciagły zależy od danych x i z 1.

Główny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Przykład 2 Dopuszczalność przy nieskończonym horyzoncie czasowym Definicja Operator B L(U, H 1 A ) nazywany jest dopuszczalnym operatorem wejściowym przy nieskończonym horyzoncie czasowym (dla półgrupy (T(t)) t L(H)), jeżeli istnieje stała C > taka, że zachodzi warunek T 1 (t)bu(t) dt H C u L 2 (, ;U), u L2 (, ; U), (65) lub równoważnie ( ) 1/2 B T1 (t)h 2 U dt C h H, h D(A ). (66)

Główny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Przykład 2 Algebraiczne równanie Lapunowa Lemat B L(U, H 1 A ) jest dopuszczalnym operatorem wejściowym przy nieskończonym horyzoncie czasowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje samosprzężony i nieujemny operator M H spełniajacy równanie A M = BB (67) w przestrzeni H, lub równoważnie, algebraiczne równanie Lapunowa A 1 Mh MA h = BB h, h H A 1 (68) w przestrzeni H 1 A. Jeżeli dodatkowo półgrupa (T(t)) t H jest wykładniczo stabilna (ω (T) < ), to rozwiazanie M H jest jednoznaczne i można je przedstawić w postaci: M = ( A ) 1 (BB ) = ( A 1 ) 1 (BB ) = = U 1 (t)(bb ) dt T 1 (t)bb T1 (t) dt. (69)

Główny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa Przykład 2 Twierdzenie Lapunowa Lemat Następujace warunki sa równoważne: (a) (b) ω (T) <, tzn. półgrupa (T(t)) t H jest wykładniczo stabilna. ω (U) <, tzn. (U(t)) t L(H) jest wykładniczo stabilna. (c) Istnieje samosprzężony i nieujemny operator M H D(A) spełniajacy równanie AM = I H, (7) gdzie równość zachodzi w H, a I H jest operatorem tożsamościowym w H, lub równoważnie, równanie Mh, A g H + MA h, g H = h, g H, h, g H A 1. (71)