T =2 I Mgd, Md 2, I = I o

Kazimierz Pater, Nr indeksu: 999999 Wydział: Podstawowych Problemów Fizyki Kierunek: Fizyka Data: 99.99.9999 Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej i sprawdzenie tw. Steinera Nr kat. ćwicz: 1 1.Wstęp teoretyczny Bryłą sztywną nazywamy rozciągłe ciało, w którym podczas ruchu nie obserwuje się względnych przemieszczeń poszczególnych jego fragmentów. W opisach ruchu postępowego zakładamy, że masa bryły skupiona jest w środku masy. Wektor położenia r C środka masy bryły definiowany jest wzorem: r C = r dm M gdzie całkowanie przeprowadza się po całej masie bryły M. Jeżeli bryłę sztywną o masie M zawiesimy na osi położonej o d powyżej środka masy bryły, a następnie na chwilę wyprowadzimy ją z położenia równowagi trwałej, to bryła ta zacznie drgać harmonicznie, a okres jej drgań T wyrazi się wzorem:, T =2 I Mgd, gdzie g przyspieszenie ziemskie, a I jest momentem bezwładności bryły dla osi odległej o d od środka masy bryły. Moment bezwładności dla osi przechodzących przez środek masy I o jest najmniejszy spośród wszystkich momentów I wziętych dla osi równoległych do tej dla której podajemy I o. I = I o Md 2, gdzie M jest masą bryły, a I jest momentem bezwładności dla osi odległej o d od osi dla której moment bezwładnosci wynosi I o. Powyższe równanie stanowi treść twierdzenia Steinera.

Kazimierz Pater, Nr indeksu: 999999 Wydział: Podstawowych Problemów Fizyki Kierunek: Fizyka Data: 99.99.9999 Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej i sprawdzenie tw. Steinera Nr kat. ćwicz: 1 2.Protokół pomiarowy Bryła 1 tarcza o średnicy 120.1 mm zmierzonej suwmiarką z niepewnością 0.1 mm o masie 998 g zważona z niepewnością 1 g. Tab.1- Pomiary odległości i czasu dla bryły 1 Nr Podwojona odległość od osi obrotu D [mm] Niepewność D [mm] Czas 100 pełnych drgań t [min:sek] Niepewność* t [s] 1 99.1 0.1 1:35.86 0.10 2 48.2 0.1 1:48.74 0.10 3 58.4 0.1 1:38.26 0.10 *uwzgledniam czas reakcji przy włączaniu i wyłączaniu stopera Bryła 2 -...

3.Obliczenie momentu bezwładności Z teorii wynika że moment bezwładności względem osi d przedstawia się wzorem: I =(T/4π) 2 Mgd Tab.2 Wyniki obliczeń odległości d i okresu T i momentu bezwładności dla bryły 1 Nr d [m] d [m] T [sek] T [s] I I 1 0.0496 0.0001 0.636 0.006 4.96 0.09 2 0.0241 0.0001 0.649 0.006 2.93 0.06 3 0.0292 0.0001 0.638 0.006 2.50 0.05 Przykład obliczeń dla punktu 1: d=d/2 = (0.0991m)/2 = 0.0496m, d = D = 0.0001m, T=t/100=635.86sek/100=0.635886sek = 0.636sek T= T(( t/t) 2 +( N/N) 2 ) 1/2 = 0.635886sek((0.10sek/6358.86sek ) 2 +(1/100) 2 ) 1/2 = 0.06sek I= (T/4π) 2 Mgd=4.963 x 10-3 kgm 2 = 4.96 x 10-3 kgm 2 Ι = I(2( Τ/T) 2 +( d/d) 2 +( M/M) 2 ) 1/2 = 4.96x10-3 kgm 2 (2(0.006sek/0.636sek) 2 + +(0.0001m/0.0496m) 2 + (0.001kg/0.998kg) 2 ) 1/2 = 0.094x10-3 kgm 2 = 0.09x10-3 kgm 2 Uwaga: Przy obliczaniu niepewności okresu drgań przyjęto, że niepewność ilości okresów N wynosi 1, a to dla tego, że przy odliczaniu wymaganych 100 drgań łatwo o pomyłkę. 4a. Sprawdzenie tw. Steinera (sposób I). Według wzoru podręcznikowego moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi przechodzącej przez jej geometryczny środek prostopadle do płaskiej powierzchni tarczy wynosi: I o = MR 2 /2 co dla zmierzonych wartości dla bryły 1 daje I o = (1.796 ±0.003 )x10-3 kgm 2. Z tw. Steinera wynika że moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy bryły przedstawia się wzorem: I o = I - Md 2 Tab.3.Wyniki obliczeń I o dla bryły 1 Nr Md 2 ( Md 2 ) I o Ι ο 1 2.455 0.007 2.51 0.05 2 0.851 0.006 2.098 0.05 3 0.580 0.006 1.935 0.04

Przykład obliczeń dla punktu 1: Md 2 = 0.998kg(0.0496m) 2 = 2.455 x 10-3 kgm 2, (Μd 2 ) = 2.455 x 10-3 kgm 2 (( Μ/M) 2 +2( d/d) 2 ) 1/2 = 2.455 x 10-3 kgm 2 ((1g/998g) 2 +2(0.1mm/49.6mm) 2 ) 1/2 = 0.007 x 10-3 kgm 2 Io = I Md 2 = 4.96 x 10-3 kgm 2 2.455 x 10-3 kgm 2 = 2.51 x 10-3 kgm 2 (Ιο) = Io (( (Μd 2 )/(Μd 2 )) 2 +( Ι/I) 2 ) 1/2 = 2.51 x 10-3 kgm 2 ((0.007x 10-3 kgm 2 /2.455x 10-3 kgm 2 ) 2 +(0.09x 10-3 kgm 2 /4.96x 10-3 kgm 2 ) 2 ) 1/2 = 0.046 x 10-3 kgm 2 = 0.05 x 10-3 kgm 2 4b. Sprawdzenie tw. Steinera (sposób II). Z twierdzenia Steinera wynika, że moment bezwładności zależy liniowo od wielkości x= Md 2. Poniższy wykres przedstawia tę zależność dla bryły 1 gdzie na osi pionowej przedstawiono wyznaczone doświadczalnie wartości momentów bezwładności (krzyżyki), a także regresję liniową danych. 5.036 10 3 0.006 0.0054 0.0048 0.0042 I /kg/m^2 I i yy j 0.0036 0.003 0.0024 0.0018 0.0012 6. 10 4 0 0 2.5. 10 4 5. 10 4 7.5. 10 4 0.001 0.00125 0.0015 0.00175 0.002 0.00225 0.0025 0 x i, xx j 2.500 10 3 Md^2 /kgm^2 dane regresja liniowa Fig.1. Zależność momentu bezwładności od Md 2 dla bryły 1 (krzyżyki), interpolacja liniowa danych (linia ciągła).

5. Wnioski 1.Niepewność względna wyznaczonych momentów bezwładności Ι/Ι wynosi około 2%, na co wpływa przede wszystkim niepewność pomiaru okresu drgań wahadła. Ponieważ okres wystepuje w kwadracie w wyrażeniu na moment bezwładności, niepewność Τ/Τ równą około 1% podwajamy w wyrażeniu na niepewność I. 2. Obliczone w punkcie 4a wartości I o różnią się znacznie od siebie (poza przedziały niepewności) i są większe od wartości obliczonej z wzoru podręcznikowego. Nie daje to podstaw do potwierdzenia tw. Steinera. Wnioskować natomiast można, że I o rośnie wraz z odległością d, co jest sprzeczne z tw. Steinera. 3.Odczytana z wykresu (Fig.1.) wartość 1.804x10-3 kgm 2 jaką prosta regresji odcina na osi pionowej (tj. wyraz wolny zależności liniowej) odpowiada warości I o wyznaczonej uprzednio z niepewnością nie większą niż (1.804-1.796)x10-3 kgm 2 = 0.008x10-3 kgm 2, co uzasadnia słuszność twierdzenia Steinera w postaci: I = I o +Md 2. U W A G A!!! Jak widać wnioski 2 i 3 są sprzeczne, co pozostawiam bez wyjaśnienia. Ten kto sprzeczność wyjaśni dostanie ciasteczko ;-).