Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko
Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych można zapisać w postaci: 1 2 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2..................... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 +... + a nn x n = b n n a ij x j = b j, dla i = 1, 2,..., n. j=1 A X = B. gdzie A jest nieosobliwą, kwadratową macierzą o wymiarze n n, B jest wektorem o n współrzędnych, X jest wektorem poszukiwanym o n współrzędnych.
Wzory Cramera Jeśli wyznacznik D = det(a) 0, co oznacza, że układ równań liniowych (URL) ma jedno rozwiązanie, to poszukiwany wektor X można uzyskać za pomocą wzorów Cramera: Przykład: Rozwiązanie x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D n D. [ 3 5 4 7 ] [ x1 x 2 ] [ = D = 41, D 1 = 123, D 1 = 41 4 19 [ x1 ] ] [ ] 3 = x 2 1 Stosowanie takich wzorów wymaga obliczenia n + 1 wyznaczników. Z powodu wielkiej liczby działań nie stosujemy wzorów Cramera nawet dla układów niskiego stopnia.
Metody do rozwiązania URL Metody służące do rozwiązania układu równań AX = B można podzielić na: 1 metody dokładne, 2 metody iteracyjne (przybliżone). Decyzja wyboru odpowiedniej metody zależy od postaci macierzy A, specyfiki zagadnienia, które prezentuje układ. Układy równań liniowych mogą mieć: 1 jedno rozwiązanie 2 nieskończenie wiele rozwiązań 3 brak rozwiązań (układy sprzeczne)
Metody dokładne Przez metodę dokładną rozwiązywania układu równań liniowych rozumiemy metodę, która (przy braku błędów zaokrągleń) daje dokładne rozwiązanie po skończonej liczbie kroków. Metody dokładne, które będą omówione to: 1 podstawianie w przód i podstawianie wstecz dla układów trójkątnych 2 metoda eliminacji Gaussa 3 metoda Gaussa-Jordana 4 metoda Choleskiego-Banachiewicza
Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna Układy liniowe, których macierz jest trójkątna, rozwiązuje się szczególnie łatwo. Układ AX = B z macierzą A U trójkątną górną ma postać: u 11 x 1 + u 12 x 2 +... + u 1n 1 x n 1 + u 1n x n = b 1 u 22 x 2 +... + u 2n 1 x n 1 + u 2n x n = b 2................................. u n 1n 1 x n 1 + u n 1n x n = b n 1 u nn x n = b n Jeżeli założymy, że u ii 0 (i = 1, 2,..., n), to niewiadome można obliczyć w kolejności x n, x n 1, x n 2,..., x 1, z wzorów: x n = b n u nn, x n 1 = b n 1 u n 1n x n u n 1 n 1,..., x 1 = b 1 u 1n x n u 1n 1 x n 1... u 12 x 2 u 11.
Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna i dolna Dla macierzy trójkątnej górnej wzory te można napisać w postaci: x i = b i n u ij x j j=i+1 u ii dla i = n, n 1,..., 1. Ponieważ niewiadome wyznacza się w kolejności od ostatniej do pierwszej, ten algorytm nazywa się podstawianiem wstecz. Układ równań AX = B z macierzą A L trójkątną dolną można rozwiązać podobnie. Przyjmując, że l ii 0 (i = 1, 2,..., n), można wyznaczać niewiadome za pomocą podstawiania w przód: x i = b i i 1 l ij x j j=1 l ii dla i = 1, 2,..., n.
Układy trójkątne Układy trójkątne Przykład Rozwiązać układ liniowych równań AX = B, gdzie: 2 4 10 A = 0 4 8, B = 0 0 2 4 16 2 równanie: n = 3 x n = b n /a nn x 3 = b 3 /a 33 = 1 n 3 równanie: i = 2 s = a ij x j s = a 2j x j = a 23 x 3 = 8 j=i+1 j=2+1 x i = (b i s)/a ii x 2 = (b 2 8)/a 22 = 2 n 3 równanie: i = 1 s = a ij x j s = a 1j x j = a 12 x 2 + a 13 x 3 = 2 j=i+1 j=1+1. x i = (b i s)/a ii x 1 = (b 1 2)/a 11 = 1 Rozwiązanie: X = [ 1, 2, 1 ] T
Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Podstawową metodą dokładną rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych jest metoda eliminacji Gaussa. Pomysł polega na eliminacji niewiadomych w pewien systematyczny sposób doprowadzając macierz do postaci trójkątnej. Taki układ trójkątny już potrafimy rozwiązać. 1 Efektywna metoda rozwiązywania układów równań liniowych. 2 Wymaga w przybliżeniu n 3 /3 mnożeń, np. dla n = 10 daje to 333 operacje mnożenia. 3 Dla porównania: metoda Cramera wymaga około 2(n + 1)! mnożeń, co dla n = 10 daje 79 833 600 mnożeń.
Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rozważmy układ równań: lub A X = B a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 +... + a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 +... + a (1) 2n x n = b (1) 2............................. a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x 3 +... + a nn (1) x n = b n (1) Górny indeks (1) oznacza dany układ równań wyjściowy do obliczeń. Metoda eliminacji Gaussa polega na wykonaniu dwóch etapów obliczeń: I. eliminacji w przód II. podstawianiu wstecz
Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a21 a 11 ) + {2r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a 11 0. Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 2 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3
Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a31 a 11 ) + {3r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a 11 0. Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 3 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 32 x 3 = b (2) 2 {3r} a (2) 23 x 3 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3
Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 / ( a32 a 22 ) + {3r} {3r} a (2) 32 x 3 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3 Ostatecznie przekształcony układ równań ma postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} + a (3) 33 x 3 = b (3) 3 a więc układ trójkątny, który rozwiązujemy w Etapie II stosując podstawianie wstecz.
Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Eliminację wykonuje się w n 1 krokach o numerach k = 1, 2, 3,..., n 1. W k tym kroku elementy a (k) ij dla j, j > k przekształca się wg wzorów: a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj b (k+1) i = b (k) i m ik b (k) k gdzie m ik = a(k) ik a (k) kk dla: i = k + 1, k + 2,..., n; j = k + 1, k + 2,..., n.
Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 2 4 10 4 A = 2 8 2, B = 12 1 1 9 12 Etap I : krok k = 1; wiersz i = 1 [2, 4, 10] [4] wiersz i = 2, m 21 = a 21 /a 11 = 1 [ 2 8 2] [12] [ 2 4 10] [ 4] = [0 4 8] [16] wiersz i = 3, m 31 = a 31 /a 11 = 0.5 [1 1 9] [12] [1 2 5] [2] = [0 3 4] [10].
Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Przykład A = 2 4 10 0 4 8 0 3 4 B = 4 16 10 krok k = 2 wiersz i = 2 [0, 4, 8] [16] wiersz i = 3, m 32 = a 32 /a 22 = 0.75 A = [0 3 4] [10] [0 3 6] [12] = [0 0 2] [ 2] 2 4 10 0 4 8 0 0 2 B = 4 16 2 Etap II (podstawianie wstecz) przykład dla układów trójkątnych.
Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Układ równań o postaci: a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 +... + a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 +... + a (1) 2n x n = b (1) 2............................. a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x 3 +... + a nn (1) x n = b n (1) Przekształcamy następująco: Pierwsze równanie dzielimy przez a (1) 11, a następnie od i tego wiersza, i = 2, 3,..., n, odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a (1) i1, otrzymując: x 1 + a (2) 12 x 2 + a (2) 13 x 3 +... + a (2) 1n x n = b (2) 1 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 +... + a (2) 2n x n = b (2) 2........................... a (2) n2 x 2 + a (2) n3 x 3 +... + a nn (2) x n = b n (2)
Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Następnie drugie równanie dzielimy obustronnie przez a (2) 22 i od i tego wiersza, i = 1, 3,..., n, odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez a (2) i2. x 1 + a (3) 13 x 3 +... + a (3) 1n x n = b (3) 1 x 2 + a (3) 23 x 3 +... + a (3) 2n x n = b (3) 2........................ a (3) n3 x 3 +... + a nn (3) x n = b n (3) Po n 1 eliminacjach otrzymujemy układ postaci: czyli gotowe rozwiązanie. x 1 = b (n) 1 x 2 =........... b (n) 2 x n = b n (n)
Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 2 4 10 4 A = 2 8 2, B = 12 1 1 9 12. 1. wiersz 1 [2, 4, 10] [4]/a 11 [1, 2, 5] [2] a) od wiersza 2 [ 2, 8, 2] [12] odejmujemy wiersz 1 [1, 2, 5] [2] a 21 = [ 2, 4, 10] [ 4] [0, 4, 8] [16] b) od wiersza 3 [1, 1, 9] [12] odejmujemy wiersz 1 [1, 2, 5] [2] a 31 = [1, 2, 5] [2] [0, 3, 4] [10]
Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Po 1. eliminacji: A = 1 2 5 0 4 8 0 3 4 B = 2 16 10 2. wiersz 2 [0, 4, 8] [16]/a 22 [0, 1, 2] [4] a) od wiersza 1 [1, 2, 5] [2] odejmujemy wiersz 2 [0, 1, 2] [4] a 12 = [0, 2, 4] [ 8] [1, 0, 9] [10] b) od wiersza 3 [0, 3, 4] [10] odejmujemy wiersz 2 [0, 1, 2] [4] a 32 = [0, 3, 6] [12] [0, 0, 2] [ 2]
Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Po 2. eliminacji: A = 1 0 9 0 1 2 0 0 2 B = 10 4 2 3. wiersz 3 [0, 0, 2] [ 2]/a 33 [0, 0, 1] [1] a) od wiersza 1 [1, 0, 9] [10] odejmujemy wiersz 3 [0, 0, 1] [1] a 13 = [0, 0, 9] [9] [1, 0, 0] [1] b) od wiersza 2 [0, 1, 2] [4] odejmujemy wiersz 3 [0, 0, 1] [1] a 23 = [0, 0, 2] [2] [0, 1, 0] [2] A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B = Po 3. eliminacji: wektor B stanowi rozwiązanie. 1 2 1
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Rozkład LU W wielu zagadnieniach numerycznych celowym jest przedstawienie danej macierzy A w postaci iloczynu dwóch macierzy trójkątnych takich, aby A = L U. Procedura wyznaczenia tych macierzy nosi nazwę rozkładu LU. A = L U = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l 33........ l n1 l n2 l n3... l nn u 11 u 12 u 13... u 1n u 22 u 23... u 2n u 33... u 3n.... u nn Wtedy układ A X = B jest równoważny układowi L U X = B. Etapy rozwiązywania układu równań A X = B: I. Rozkład A = L U II. Rozwiązanie układu z macierzą dolnotrójkątną L Y = B Y (stosując podstawianie w przód) III. Rozwiązanie układu z macierzą górnotrójkątną U X = Y X (stosując podstawianie wstecz)
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metody rozkładu trójkątnego Rozkład trójkątny nie jest jednoznaczny i można go realizować w różny sposób: 1 gdy l ii = 1 metodą Doolittle a, 2 gdy u ii = 1 metodą Crouta, 3 gdy u ii = l ii metodą Choleskiego-Banachiewicza. Rozkład L U można zrealizować: metodą Gaussa, traktując równość A = L U jako układ n 2 równań z n 2 niewiadomymi l ij dla i > j i niewiadomymi u ij dla i j. Równania te wygodnie rozwiązywać na przemian wierszami i kolumnami zgodnie z rysunkiem.
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych schematy zwarte są szczególnie atrakcyjne, gdyż wybór elementów głównych nie jest potrzebny. Zwykle przyjmuje się, że elementy przekątniowe w L są rzeczywiste i U = L T. A = L L T = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l 33........ l n1 l n2 l n3... l nn l kk = (a kk k 1 lkp 2 ) l ik = p=1 gdzie: k = 1, 2,..., n; i = k + 1, k + 2,..., n. l 11 l 21 l 31... l n1 l 22 l 32... l n2 l 33... l n3... l nn a ik k 1 l ip l kp p=1 l kk
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 4 8 4 12 A = 8 17 1, B = 17 4 1 57 65 I. Wykonujemy rozkład A = L L T : 4 8 4 8 17 1 = l 11 0 0 l 21 l 22 0 4 1 57 l 31 l 32 l 33 1. (1 kolumna macierzy L) a 11 = l11 2 l 11 = 2 a 21 = l 21 l 11 l 21 = 8/2 = 4 a 31 = l 31 l 11 l 31 = 4/2 = 2 4 8 4 8 17 1 4 1 57 = 2 0 0 4 l 22 0 2 l 32 l 33. l 11 l 21 l 31 0 l 22 l 32 0 0 l 33 2 4 2 0 l 22 l 32 0 0 l 33
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład 8 17 1 4 8 4 4 1 57 = 4 l 22 0 2 0 0 2 l 32 l 33 2 4 2 0 l 22 l 32 0 0 l 33 2. (2 kolumna macierzy L) a 22 = l21 2 + l 22 2 l 22 = 17 16 = 1 a 32 = l 31 l 21 + l 32 l 22 l 32 = ( 1 + 8)/1 = 7 4 8 4 8 17 1 4 1 57 = 2 0 0 4 1 0 2 7 l 33 2 4 2 0 1 7 0 0 l 33
Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład 4 8 4 8 17 1 4 1 57 3. (3 kolumna macierzy L) = 2 0 0 4 1 0 2 7 l 33 2 4 2 0 1 7 0 0 l 33 a 33 = l 2 31 + l 2 32 + l 2 33 l 33 = 57 4 49 = 2 II. L Y = B Y 6 Y = 7 2 (podstawianie w przód) L = 4 1 0 2 0 0 2 7 2 III. U X = Y X 2 X = 0 1 (podstawianie wstecz)
Metody przybliżone Rozważane dotąd metody rozwiązywania układów równań liniowych są metodami bezpośrednimi, wymagającymi wykonania skończenie określonych działań. Metody iteracyjne w przeciwieństwie do tamtych startują z przybliżenia początkowego, które stopniowo się ulepsza (zmierza) aż do otrzymania dostatecznie dokładnego rozwiązania. Metody iteracyjne (przybliżone), które będą omówione to: 1 metoda Jacobiego 2 metoda Gaussa-Seidla
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego W metodzie Jacobiego (metoda iteracji prostej) tworzy się ciąg przybliżeń x (1), x (2),... według wzoru: x (k+1) i = n j=1,j i a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. 1. Zbieżność procesu iteracyjnego zależy jedynie od właściwości macierzy A. 2. Metoda jest zbieżna gdy zachodzą nierówności: i 1 a ii > a ij, i = 1, 2,..., n, j i tj. jeśli wartości bezwzględne współczynników na przekątnej są dla każdego równania układu większe od sumy wartości bezwzględnych pozostałych współczynników tego równania. 3. Jako początkowe przybliżenie wybiera się często wektor x (0) = 0.
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 2 4 10 A = 2 8 2, B = 4 12 1 1 9 12 Jak widać macierz A nie spełnia warunków zbieżności procesu iteracyjnego..
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 10 1 2 13 A = 3 10 1, B = 14 0 2 5 7 1. Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: ε 1 = x(k+1) x (k) < ε 1 x (k+1) dop wielkość residuum: ε 2 (k+1) = max x i 1 i<n ε 3 = A x(k+1) B A x (0) B. x (k) i < ε 2 dop < ε3 dop
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład x (k+1) i = 1. iteracja k = 0 dla x (0) = n j=1,j i a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. x (1) 1 = (a 12 x (0) 2 + a 13 x (0) 3 b 1 )/a 11 = 1.3 x (1) 2 = (a 21 x (0) 1 + a 23 x (0) 3 b 2 )/a 22 = 1.4 x (1) 3 = (a 31 x (0) 1 + a 32 x (0) 2 b 3 )/a 33 = 1.4 0 0 0 x (1) = 1.3 1.4 1.4 oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = 1.4, ε 3 = 0.36
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład 2. iteracja k = 1 x (1) = 1.3 1.4 1.4 x (2) 1 = (a 12 x (1) 2 + a 13 x (1) 3 b 1 )/a 11 = 0.88 x (2) 2 = (a 21 x (1) 1 + a 23 x (1) 3 b 2 )/a 22 = 0.87 x (2) 3 = (a 31 x (1) 1 + a 32 x (1) 2 b 3 )/a 33 = 0.84 x (2) = 0.880 0.870 0.840 oraz ε 1 = 0.59, ε 2 = 0.56, ε 3 = 0.13
Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład 3. iteracja k = 8 x (9) = 1.00010 1.00010 1.00010 4. iteracja k = 15 x (16) = Rozwiązanie: 1.00000 1.00000 1.00000 otrzymano po wykonaniu 16 iteracji. oraz ε 1 = 1.25e 3, ε 2 = 5.05e 4, ε 3 = 3.28e 4 oraz ε 1 = 4.19e 7, ε 2 = 4.62e 7, ε 3 = 1.10e 7 x = x (16)
Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla stanowi pewną modyfikację metody iteracji prostej. Polega ona na tym, że przy obliczaniu przybliżenia (k + 1) niewiadomej x i, bierze się pod uwagę obliczone poprzednio przybliżenia (k + 1) niewiadomych x 1, x 2,..., x i 1. Iteracja odbywa się wg wzoru: x (k+1) i = i 1 j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. Podane poprzednio twierdzenia o zbieżności procesu iteracyjnego pozostają w mocy.
Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 10 1 2 13 A = 3 10 1, B = 14 0 2 5 7 1. Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: ε 1 = x(k+1) x (k) < ε 1 x (k+1) dop wielkość residuum: ε 2 (k+1) = max x i 1 i<n ε 3 = A x(k+1) B A x (0) B. x (k) i < ε 2 dop < ε3 dop
Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład x (k+1) i = i 1 1. iteracja k = 0, j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. x (1) 1 = (a 12 x (0) 2 + a 13 x (0) 3 b 1 )/a 11 = 1.3 x (1) 2 = (a 21 x (1) 1 + a 13 x (0) 3 b 2 )/a 22 = 1.01 x (1) 3 = (a 31 x (1) 1 + a 32 x (1) 2 b 3 )/a 33 = 0.996 dla x (0) = 0 0 x (1) = 1.3 1.01 0 0.996 oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = 1.3, ε 3 = 0.155
Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład 2. iteracja k = 1 x (2) 1 = (a 12 x (1) 2 + a 13 x (1) 3 b 1 )/a 11 = 0.99980 x (2) 2 = (a 21 x (2) 1 + a 13 x (1) 3 b 2 )/a 22 = 1.00046 x (2) 3 = (a 31 x (2) 1 + a 32 x (2) 2 b 3 )/a 33 = 0.99982 dla x (1) = 1.300 1.010 0.996 x (2) = 0.99980 1.00046 0.99982 oraz ε 1 = 0.173, ε 2 = 0.3002, ε 3 = 2.096e 4
Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład 3. iteracja k = 4 x (5) = Rozwiązanie x (5) 1 = (a 12 x (4) 2 + a 13 x (4) 3 b 1 )/a 11 = 1.0 x (5) 2 = (a 21 x (5) 1 + a 13 x (4) 3 b 2 )/a 22 = 1.0 x (5) 3 = (a 31 x (5) 1 + a 32 x (5) 2 b 3 )/a 33 = 1.0 1.0000 1.0000 oraz ε 1 = 6.23e 7, ε 2 = 9.29e 7, ε 3 = 2.04e 8 1.0000 otrzymano po wykonaniu 5 iteracji. x = x (5)
Porównanie metod iteracyjnych Układ równań liniowych porównanie metod iteracyjnych Przykład Rozwiązać układ 2 liniowych równań A x = b metodami iteracyjnymi i porównać tempo zbieżności oraz wartości residuum. [ ] [ ] [ ] 11 2 28 0 A =, B =, x 2 11 37 (0) =. 0 ε 1 dop = ε3 dop = ε3 dop = 0.001 Metoda Jacobiego Gaussa-Seidla Liczba kroków 6 4 x 1 1.99993 2.00002 x 2 2.99989 3.00000 ε 1 6.6834e-04 5.7638e-04 ε 2 2.3247e-04 1.6248e-04 ε 3 3.6126e-05 4.5170e-06
Porównanie metod iteracyjnych Ilustracja rozwiązania 3.5 3 Jacobi Gauss-Seidel x2 2.5 2 1.5 1 1.5 2 2.5 3 x 1
Obliczanie macierzy odwrotnych Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratową A 1 spełniającą związek gdzie I jest macierzą jednostkową. Jeśli przyjmiemy, że X = A 1, to AX = I, czyli AA 1 = I, (1) Ax i = e i, i = 1, 2, n (2) gdzie x i i e i jest i tą kolumną odpowiednio w X i I. Tak więc kolumny macierzy A 1 są rozwiązaniami układów liniowych z prawymi stronami równymi kolumnom macierzy jednostkowej I.