Elementarz rachunku błędu pomiarowego /warsztaty pomiarowe/ Piotr Jaracz, Zygmunt Szefliński (współpraca) Pracownia Fizyczna I Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 005
1. Podstawy 1.1. Czy ogólna teoria względności jest prawdziwa? Każda teoria w naukach przyrodniczych podlega sprawdzeniu w doświadczeniu (eksperymencie fizycznym). 1916, Albert Einstein ogólna teoria względności (OTW): światło ma energię, energia jest równoważna masie, a więc w pobliżu innej masy światło waży! Promień świetlny biegnący w pobliżu ciała o dużej masie (np. Słońca) jest odchylany przez siłę grawitacji: ϕ = 1.8 0 A. Einstein OTW mechanika klasyczna To można badać przy całkowitym zaćmieniu Słońca. Całkowite zaćmienie Słońca, Ameryka Południowa, 1919: ϕ =.0 ± 0.3 F.W. Dyson, A.S. Eddington, C. Davidson. (Ponownie w 1947 i 195; wyniki podobne) Ponieważ 1,8 mieści się w przedziale,0 ± 0,3, więc wydaje się, że OTW jest prawdziwa...
Dlaczego nie powiemy po prostu OTW jest prawdziwa? Zainteresowany Czytelnik znajdzie odpowiedź w Dodatku Nr 1. Wynik pomiaru wartość pomiaru ± błąd pomiarowy. 1.. Pomiar i błąd pomiarowy Wielkość fizyczna właściwość ciała lub zjawiska fizycznego, której można przypisać wartość liczbową. Pomiar pewna sekwencja czynności doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej. Ta wybrana sekwencja powinna minimalizować wpływ oddziaływań zewnętrznych na badane zjawisko i przyrządy pomiarowe. Błąd pomiarowy przypadkowy (statystyczny) jest to średnia wartość zmiennych zaburzeń mierzonej wielkości fizycznej, pochodzących od wielu słabych oddziaływań zewnętrznych, lub skutek tzw. nieokreśloności obiektu. Błąd ten jest najczęściej nieznany, a wyznacza się go w pomiarach (razem z wartością pomiaru, jako tzw. błąd pojedynczego pomiaru). Błąd pomiarowy systematyczny jest to stała, nieznana, wartość zmiany wyniku pomiaru, wynikająca z ograniczoności modelu fizycznego zjawiska, którym się (w danej chwili) posługujemy, ograniczoności metody pomiaru, czy też niewłaściwej kalibracji przyrządu pomiarowego; błąd ten ujawnia się zwykle dopiero po zmianie metody pomiaru lub modelu fizycznego zjawiska. Błąd systematyczny o znanej wartości nazywamy poprawką. 3
Błąd pomiarowy niepewność pomiarowa, dokładność pomiaru Błąd w pomiarach pomyłka. W przyrodzie wszystko oddziaływuje ze wszystkim. Przygotowując pomiar staramy się uprościć sytuację przeprowadzając izolację danego zjawiska od innych zjawisk (wpływów zewnętrznych). To się do końca nie udaje, a skutek zauważamy w postaci błędu pomiarowego przypadkowego. Z kolei, błąd pomiarowy systematyczny może być spowodowany zbyt uproszczonym modelem teoretycznym zjawiska fizycznego, nie uwzględniającym pewnych istotnych czynników. Błąd ten jest trudniejszy do zauważenia wymaga zmiany modelu teoretycznego lub co najmniej metody pomiaru. Przykłady: Nr 1 ( bardzo prosty ). Pomiar długości stołu Przyrządy: liniał długi ( l = 1 mm), liniał krótki ( l = 1 mm), taśma miernicza ( l = 5 mm), flamaster, kartka papieru. Przygotowanie eksperymentu: - mierzyć liniałem, nie taśmą mierniczą (wybór przyrządu błąd przypadkowy przyrządu). mierzyć liniałem krótkim, nie długim; znakować flamastrem (wybór metody błąd przypadkowy metody: dokładność przyłożenia liniału, dokładność znakowania flamastrem) liniał nie ma urwanego końca (błąd systematyczny poprawka lub błąd w pomiarach). 4
Nr ( dość wymyślny ). Pomiar średnicy kuli Występuje tu tzw. błąd paralaksy; przy pomiarach wielokrotnych błąd przypadkowy metody. Uwaga! Błąd paralaksy może mieć nieznaną składową w postaci błędu systematycznego. 1.3. Błędy przypadkowe Błąd przypadkowy manifestuje się rozrzutem wartości pomiaru przy jego powtarzaniu (pomiar wielokrotny): Małe a liczne zaburzenia pomiaru: efekty mechaniczne (zmienne tarcie, kurczliwość, wstrząsy), wahania napięcia zasilania przyrządów, prądy powietrza, zmienne pola elektromagnetyczne, itp. Błędy przypadkowe metody (np. błąd paralaksy) Błędy przypadkowe przyrządu Błąd (dokładność) przyrządu jest w błędem przypadkowym pod warunkiem, że przyrząd jest dobrze wykalibrowany, w przeciwnym razie do błędu przypadkowego dochodzi jeszcze błąd systematyczny. 5
Błąd przypadkowy obiektu Przykład: Nr 3. Pomiar średnicy walca a) przy pomocy suwmiarki: d = 0.05 mm = 50 µm d Pomiar wielokrotny: 0.15, 0.15, 0.15, 0.15 mm...... stwierdzamy brak rozrzutu! Rozrzut pojawi się, gdy weźmiemy inny... b) bardziej dokładny przyrząd, np. o d = 1 µm 1 : d d 1 Pomiar wielokrotny: 0.1, 0.19, 0.11, 0.1, 0.09 mm,... (n = 5 pomiarów). Jeśli dodatkowo byłaby możliwość powtarzalności wyboru miejsca pomiaru, wówczas... 1 Nie ma takiego przyrządu, o konstrukcji mechanicznej, ale to tylko przykład myślowy. 6
d 1, d,... można uważać nie za... różne wartości tej samej wielkości fizycznej d (pomiar wielokrotny d), lecz za... wartości różnych wielkości fizycznych d 1, d,... (pomiary jednokrotne d 1, d, o wartościach d 1, d,...). Innymi słowy... pojawiły się wątpliwości, czy obmierzamy okrąg, czy też nie okrąg a raczej coś, co przypomina wielobok! Taką niepewność określa się mianem niepewności obiektu (tu: figury geometrycznej obwodu walca), a jej miarą ilościową jest błąd przypadkowy obiektu, obliczony z rozrzutu wartości d 1, d,.... W naszym przykładzie, po wymienionych wyżej pomiarach: d 0.14 ± 0.0 mm. (Rozdz. 1.4, wzory (1) (4)). Nr 4. Pomiar liczby przemian (rozpadów) promieniotwórczych radionuklidu w określonym czasie. Tutaj też mamy do czynienia z pewnym rodzajem błędu przypadkowego obiektu. Niepewnym obiektem jest tu sama liczba rozpadów radionuklidu. Wskutek tzw. kwantowej natury zjawisk atomowych i jądrowych nie istnieje coś takiego jak prawdziwa liczba rozpadów, gdyż z zasady nie można przewidzieć kiedy nastąpi kolejna przemiana promieniotwórcza. Znając mechanikę kwantową można jednak obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia przemiany (rozpadu), a stąd błąd przypadkowy liczby rozpadów. Jeśli liczbę rozpadów promieniotwórczych oznaczymy przez N, to jej błąd przypadkowy: N N. Zatem wynik pomiaru: N ± N. (ćwiczenie Radon w powietrzu w Pracowni). 7
1.4. Obliczenia błędu przypadkowego Niech: x wielkość fizyczna mierzona, x i wartości zmierzone, gdzie: i = 1,...n, n liczba pomiarów. Szukamy tzw. wartości prawdziwej µ wielkości fizycznej x, dysponując n liczbami wynikami pomiarów. Czy będzie to któraś z nich? Która? Może wszystkie? Jakaś średnia? Poszukujemy również wartości błędu pomiarowego pojedynczego pomiaru σ, charakteryzującej warunki pomiaru (liczba, ukryta w rozrzucie wartości x i). W statystyce matematycznej można wykazać, że: n xi i= 1 µ x = średnia wyników pomiaru n ( wynik pomiaru ), (1) σ (x i µ) = błąd (średni kwadratowy) n pojedynczego pomiaru. () W miejsce µ we wzorze () możemy podstawić x ze wzoru (1). Okazuje się jednak, że wtedy należy w mianowniku () zamienić n na n-1 : σ (x i x) x =. (a) n - 1 W teorii informacji takie powiększenie wartości błędu ( n-1 zamiast n w mianowniku) odzwierciedla powiększenie niepewności statystycznej wskutek mniejszej dostępnej informacji (zamiast ścisłej wartości µ dysponujemy tylko jej przybliżeniem x ). 8
x przyjmowane jest za wartość pomiaru. x nie jest jeszcze błędem pomiarowym ( błędem wartości pomiaru ); jest to dopiero błąd pojedynczego pomiaru, charakteryzujący same warunki pomiaru. Błąd wartości pomiaru będzie zależny również jak to uzasadnimy na następnych zajęciach od krotności pomiarów n: x x = błąd wartości średniej n ( błąd pomiarowy ). (3) Ostatecznie: x ± x wynik pomiaru, (4) gdzie: x wartość pomiaru (1), x błąd pomiarowy (a) i (3). Często podawany jest: x 100 % względny błąd pomiarowy. (5) x Uwaga! W podanych błędach pomiarowych nie uwzględniono jeszcze błędu przypadkowego przyrządu. (Rozdz., wzory (8) i (4a)).. Pomiar przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego.1. Idea pomiaru. Pomiary bezpośrednie T i l. Obliczenie g. Wyznaczymy doświadczalnie wartość przyśpieszenia ziemskiego g badając zjawisko tzw. drgań harmonicznych ( oscylator harmoniczny ) pod wpływem siły ciężkości, w polu grawitacyjnym Ziemi. 9
Wahadło matematyczne l α l długość wahadła T okres wahań Z tzw. równania ruchu wahadła, przy małych wychyleniach (model fizyczny drgań wahadła; Dodatek Nr ): l T π, (6) g a stąd: l g 4π. (7) T Zwróćmy uwagę na znak przybliżenia we wzorach (6) i (7), wynikający z przybliżonego charakteru przyjętego modelu zjawiska fizycznego. Mierzymy: T i l ; ze wzoru (7) obliczamy g. Mówimy, że T i l są wyznaczane w pomiarach bezpośrednich, zaś g w pomiarach pośrednich. 10
Wykonujemy pomiary wielokrotne. Na podstawie wzorów (1) i (a) obliczamy wartości średnie i błędy pojedynczych pomiarów, odpowiednio: T i l oraz T i l, a następnie: l g 4π. T Na następnych zajęciach: obliczymy błędy wartości średnich T i l, uwzględnimy błędy przyrządów oraz korzystając z tzw. prawa propagacji błędu obliczymy błąd pomiarowy g. Na podstawie wzoru (3) obliczamy błędy wartości średnich: T i l. Powracamy do rozważań teoretycznych. W rozdziale 1.4 i obliczeniach błędów pomiarówt i l dla wahadła nie braliśmy pod uwagę możliwych zaburzeń wprowadzanych przez przyrządy pomiarowe czasu i długości. Przyrząd jest źródłem dodatkowej składowej błędu przypadkowego błędu przypadkowego przyrządu (rozdz. 1.3). W statystyce matematycznej obowiązuje zasada sumowania różnych składowych błędu przypadkowego. Jest to sumowanie specjalnego rodzaju tzw. suma kwadratów pod pierwiastkiem. Zgodnie z tą zasadą całkowite błędy przypadkowe pomiarów okresu wahań i długości wahadła (oznaczane dalej znakiem c ): Tc ( T) + ( Tp ), oraz lc ( l ) + ( lp). (8) gdzie: T p oraz l p odpowiednie błędy przyrządów. Dla ogólnego przypadku wielkości fizycznej x wynik pomiaru (wartość i błąd pomiarowy): x ± x c. (4a). 11
3. Prawo propagacji błędu pomiarowego Wiemy już, jak obliczać błędy pomiarowe wielkości fizycznych bezpośrednio mierzonych, np. okresu wahań i długości wahadła w naszych pomiarach. Jak obliczyć błąd pomiarowy wielkości określanej pośrednio (w naszych pomiarach przyspieszenie ziemskie)? Chcemy z wyznaczyć doświadczalnie wartość wielkości fizycznej f mierząc inną wielkość fizyczną x, związaną z f zależnością funkcyjną: f = f ( x ). 3.1. Funkcja jednej zmiennej Niech: x wielkość fizyczna bezpośrednio mierzona, a wynik jej pomiaru: x ± xc. Jaki jest wynik pomiaru f : f ± f? Zgodnie z intuicją: f = f (x). (9) Chcąc obliczyć błąd pomiarowy f trzeba już znać rachunek różniczkowy. W statystyce matematycznej pokazuje się, że: f df (x) dx x c. (10) Wielkość df to tzw. pochodna funkcji f ( x ) po zmiennej x. dx Jest ona również funkcją zmiennej x. Jak widać, błąd pomiarowy f otrzymujemy podstawiając do tej funkcji wartość x = x, biorąc wartość bezwzględną wyniku (celem pozbycia się możliwego znaku ujemnego) i mnożąc go przez błąd pomiarowy x. c 1
Przykład: Chcemy wyznaczyć pole powierzchni koła. W tym celu mierzymy jego średnicę x : x S = S( x ) = π. 4 Wynik pomiaru średnicy: x ± xc. x Z pomiarów wyznaczamy: S = π. 4 Ze wzoru (10) błąd pomiaru pola powierzchni koła: S ds (x) dx xc -1 π x = xc π x = xc 4. Obliczmy błąd względny pomiaru S : S S π x xc π x 4 = x c. (11) x Widać, że błąd względny pomiaru powierzchni koła jest równy podwojonemu błędowi względnemu pomiaru jego średnicy. Ta dwójka ma związek z faktem występowania we wzorze na powierzchnię koła średnicy w potędze! Sugeruje to pewną ogólną regułę, którą omówimy później, a na razie... Zadanie: Ile wynosi błąd względny pomiaru objętości kuli wyznaczony z pomiaru jej średnicy? Jak obliczymy błąd pomiarowy dla wielkości fizycznej zależnej od kilku zmiennych? 13
3.. Funkcja dwóch zmiennych Niech: f = f ( x, y ), gdzie: x, y wielkości bezpośrednio mierzone; x ± x c, y ± yc wyniki pomiarów. Jaki jest wynik pomiaru f : Można się spodziewać, że: f ± f? f = f (x, y). (1) Z kolei, w wyrażeniu na f pojawią się dwa wyrażenia podobne do prawej strony wzoru (10), dla każdej zmiennej. W statystyce matematycznej pokazuje się, że: f δf δx ( x, y) x + ( x, y) c δf δy y c. (13) δf Wielkość to tzw. pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) δx po zmiennej x ; podobnie dla zmiennej y. Pochodną cząstkową po danej zmiennej wyznacza się tak samo jak zwykłe pochodne, traktując w tym rachunku pozostałe zmienne jak stałe. Przykład: Chcemy zmierzyć małą ilość cieczy stosując następującą metodę pomiaru. Na czułej wadze analitycznej ważymy pojemnik na ciecz ciężar (masa) x. Następnie ważymy pojemnik razem z cieczą masa y. Szukana masa cieczy m wyniesie: m = m( x, y ) = y x. 14
W wyniku wielokrotnych pomiarów wyznaczamy: x ± i y ± yc, a następnie masę cieczy: m = y - x. xc Obliczamy błąd pomiarowy m posługując się wzorem (13): ( 1 x ) + ( 1 y ) = ( x ) ( y ) m + c c c c. Dyskusja błędu: Załóżmy, że mamy bardzo złe warunki pomiarowe (np. waga, choć czuła, jest nie izolowana od wstrząsów lub też waga jest mało dokładna). Mimo to chcemy w tych warunkach zmierzyć bardzo małą masę cieczy ( m 0 ). Może się wówczas okazać, że: m m. Taki pomiar nie ma sensu. Trzeba zmienić warunki pomiaru! Zadanie: Posługując się wzorem (13) i uważnie analizując powyższy przykład wykaż, że dla funkcji f = f ( x, y ) = x + y rachunek błędu prowadzi do tej samej wartości f, co dla funkcji f = f ( x, y ) = x y. Zadanie dla ambitnych: Wiedza zdobyta dotychczas może umożliwić uzasadnienie wzoru (3) w rozdz. 1.4. W tym celu należy wykorzystać fakt, że dla funkcji f będącej sumą n zmiennych pomiarowych x, i każda zmierzona z tym samym błędem pomiarowym x, wzór (13) prowadzi do: f = n x. Następnie należy zauważyć, że średnia arytmetyczna to podobna suma i... Powracamy do pomiarów przyspieszenia ziemskiego. 15
. Pomiar przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego (c.d.).. Obliczenie błędu pomiarowego przyspieszenia ziemskiego W przyjętej metodzie pomiaru przyspieszenie ziemskie jest funkcją dwóch zmiennych bezpośrednio mierzonych, T i l : l g = g(t, l ) = 4π. T Jest to szczególna forma funkcji potęgowej dwóch zmiennych. Dla obliczeń g dysponujemy już zmierzonymi wartościami: T, l oraz T, l. c c Korzystając kolejny raz ze wzoru (13) można, po pewnych, nieco uciążliwych, przekształceniach pokazać, że względny błąd pomiarowy wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego: g g Tc l c ( ) + (1 ). T l Stąd, znając wartość g, obliczymy błąd pomiarowy g. Zwróćmy uwagę na współczynniki i 1 pod kwadratami odpowiednich cząstkowych błędów względnych, wywodzące się, jak to wskazano w komentarzu do wzoru (11), od wykładników potęgowych we wzorze na g. Zbliżamy się do końca naszych pomiarów. Pozostaje jeszcze zaokrąglić we właściwy sposób otrzymane wyniki liczbowe. 16
6. Zaokrąglanie liczb przybliżonych 6.1. Liczby dokładne i przybliżone Z punktu widzenia zagadnienia pomiaru liczby dzielą się na: a) Liczby dokładne 3 We wzorze na objętość kuli 4 V = π r liczby: 3 4, 3, 3, π, a więc: współczynniki liczbowe, wykładniki potęg, liczba π (tak zapisana!)... we wzorach matematycznych (i niektórych fizycznych) są liczbami dokładnymi. Podobnie, we wzorze zamiany jednostek: 1 o = 60 liczby 1 i 60 są liczbami dokładnymi. Pozostałe liczby to... b) Liczby przybliżone wyniki pomiarów (w tym wartość pomiaru i błąd pomiarowy) dane tablicowe (większość stałych matematycznych i fizycznych), np. 3.14 (liczba π, tak zapisana!). Wiele danych tablicowych jest przecież wynikami pomiarów. 6.. Cyfry znaczące Przykłady: 9.81 3 cyfry znaczące (c.z.) 9.8 c.z. 17
10 c.z. 10.0 3 c.z. 6050 4 c.z. 1.3 10 3 c.z. 1.300 10 13 4 c.z. 0.037 c.z. 0.0370 3 c.z. Cyfry znaczące danej liczby to wszystkie jej cyfry (także zera), z wyjątkiem tzw. zer poprzedzających. Z punktu widzenia zagadnienia cyfr znaczących liczby przybliżone 0.037 i 0.0370 są różnymi liczbami! Druga z nich (3 c.z.) jest bardziej dokładna, tj. mniej przybliżona niż pierwsza ( c.z.). A teraz weźmy dwie liczby przybliżone o tej samej liczbie cyfr znaczących, lecz różniące się wartością: 0.58 i 0.000058. Która z nich są jest bardziej dokładna? Obie są przedstawione z tą samą dokładnością! Czym się różnią? W liczbie 0.58 pierwsza od prawej cyfra znacząca (8) mówimy najczulsza jest na pozycji dziesiętnej setnych, zaś w liczbie 0.000058 ta sama cyfra znacząca jest na pozycji milionowych. Wniosek: Cyfry znaczące to nie to samo co pozycje dziesiętne! Weźmy np. liczbę przybliżoną U = 3.4 V (wynik pomiaru napięcia elektrycznego). Jest to liczba o cyfrach znaczących. Możemy ją zaokrąglić, np. do 3 V (1 c.z.). Zaokrąglanie liczby przybliżonej oznacza zmniejszanie liczby jej cyfr znaczących. Jak dokładna jest liczba przybliżona o danej liczbie cyfr znaczących? 18
W podanym przykładzie przy zaokrąglaniu zginęła wartość 0.4 V co oznacza popełnienie błędu zaokrąglenia (szacunkowo) 0.4 3.4 1%. Można zaryzykować twierdzenie, że każda liczba przybliżona zapisana z dokładnością 1 c.z. (np. 0.7 V) jest jak mówimy zaokrąglona z dokładnością kilkunastu-kilkudziesięciu% (rzędu 10 %). Liczba przybliżona...... o liczbie cyfr znaczących... ma dokładność zaokrąglenia (szacunkowo) 1 kilkanaście-kilkadziesiąt % kilka % 3 kilka dziesiątych % itd. 6.3. Zasady zaokrąglania wyników pomiaru Najpierw zaokrąglamy błąd pomiarowy. ZASADA I Błąd pomiarowy zaokrąglamy do 1 lub co najwyżej cyfr znaczących. 19
Niech obliczony błąd pomiarowy przyspieszenia ziemskiego: m g 0.3869..., s... oznacza, że liczba została jedynie wstępnie zaokrąglona (tu: do 4 c.z.). Prawidłowo zaokrąglony błąd pomiaru przyspieszenia ziemskiego: g 0.4 m m lub 0.39. s s Przedstawienie błędu z większą liczbą cyfra znaczących, np. m g 0.387 stwarzałoby fałszywe wrażenie większej s dokładności (fikcyjna dokładność). Innymi słowy: cyfra 7 (tu: na pozycji tysięcznych) równie dobrze może być zastąpiona przez 6, 8, itp. Dlatego należy ją usunąć, wprowadzając głębsze zaokrąglenie. Dlaczego? Statystyka matematyczna pokazuje się, że błąd przypadkowy nie jest dokładnie określonym pojęciem niepewność jego wyznaczenia jest rzędu kilkunastu do kilkudziesięciu procent, dla typowych, niewielkich krotności pomiaru (n). Jest to swoisty błąd błędu, tym razem wynikający nie z warunków pomiaru a z samej statystyki! Pozostawienie w zaokrąglanym błędzie pomiarowym większej liczby cyfr znaczących niż to zaleca zasada I oznaczałoby kolejny raz fikcyjną dokładność. Wyjątek od ZASADY I Błąd pomiarowy zaokrąglamy zawsze do cyfr znaczących, jeśli pierwsza z lewej (mówimy najmocniejsza ) cyfra znacząca jest 1. W tym wypadku błąd zaokrąglenia wartości błędu pomiarowego może być stosunkowo duży większy niż kilkanaście procent (dlaczego?). W związku z tym celowym będzie pozostawienie w zaokrąglanym błędzie pomiarowym większej liczby cyfr znaczących. 0
Po zaokrągleniu błędu pomiarowego przystępujemy do zaokrąglania wartości pomiaru. ZASADA II Wartość pomiaru zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, na której znajduje się pierwsza od prawej ( najczulsza ) cyfra zaokrąglonego błędu pomiarowego. Niech określona w wyniku pomiarów wartość przyspieszenia ziemskiego podana jest jako: m g 9.6791..., s gdzie, podobnie jak poprzednio,... oznacza, że liczba ta została wstępnie zaokrąglona (do 5 c.z.) Prawidłowo zaokrąglona wartość pomiaru przyspieszenia ziemskiego, odpowiednio do stopnia przeprowadzonego uprzednio zaokrąglenia błędu pomiarowego: m m g 9.7 lub 9.68. s s Ostatecznie, wynik pomiaru: g ± g 9.7 ± 0.4 m m lub 9.68 ± 0.39. s s Inne zapisy są nieprawidłowe, gdyż np.: m 9.7 ± 0.39 (wartość pomiaru zaokrąglona za głęboko s w stosunku do błędu pomiarowego) oznacza stratę dokładności wartości pomiaru na zaokrągleniu w stosunku do (dobrej) dokładności pomiaru. Z kolei... 1
m 9.68 ± 0.4 (wartość pomiaru zaokrąglona za płytko ) s oznacza fikcyjną dokładność wartości pomiaru w stosunku do (nie najlepszej) dokładności pomiaru. ZASADA III Zasady I i II odnoszą się do zaokrąglania wyników końcowych pomiaru. Wyniki pośrednie zaokrąglamy co najmniej o jedną cyfrę znaczącą płycej niż mówią zasady I i II. I tak, płycej zaokrąglamy wyniki pomiarowe T, l a także T, l oraz T c, l c, przed podstawieniem ich do wzorów na g i g. Normalnie (tj. wg zasad I i II) zaokrąglamy dopiero liczby przybliżone wyrażające g i g. Dlaczego? DODATKI Nr 1. Istota błędu przypadkowego. Prawdopodobieństwo Przypomnijmy wzory (1) (3) na błąd przypadkowy. Zbadamy je teraz dokładniej. Rozważmy w szczególności: a) Jak powstały i co zawierają liczby: x, x, x? b) Jak zmieniają się one wraz ze wzrostem n? c) Co oznacza fizycznie (statystycznie) wynik pomiaru zapisany jako x ± x? Ad. a) Liczby te utworzono z n liczb x i ; jest w nich zawarta cała informacja jaką posiadamy o: wartości mierzonej wielkości fizycznej (wartość pomiaru ) średnim zaburzeniu pomiaru (błąd pomiarowy przypadkowy).
Ad. b) Wartości Jak? x i x, a także x zmieniają się wraz ze wzrostem n. (xi x) x = σ = const n - 1 n Dlaczego? W miarę wzrostu n pojawiają się wartości x i bardziej oddalone od x, dla których prawdopodobieństwo wystąpienia jest małe (potrzebują one większej liczby losowań n, aby ujawnić się). Oznacza to, że licznik i mianownik wyrażenia pod pierwiastkiem rosną, przy czym tak samo szybko, tak że całe wyrażenie dąży do stałej. x ( błąd pojedynczego pomiaru ) reprezentuje średnie warunki pomiaru. x x = n n const n n 0 Ten błąd dąży do zera! Z kolei: x n xi i = 1 = n n µ = const. Wartość const reprezentuje tzw. wartość prawdziwą wielkości mierzonej. Zbliżamy się do niej coraz bardziej, w miarę wzrostu liczby pomiarów n, ( x 0 ). Ad. c) W świetle powyższego, wraz ze wzrostem n coraz bardziej zacieśnia się okrążenie wartości prawdziwej, tzn. lokalizujemy ją coraz lepiej (w coraz mniejszym obszarze wyznaczonym przez x ). Wciąż jednak istnieje pewne prawdopodobieństwo, że kolejny pomiar wypadnie poza obszarem wyznaczonym przez x, tzn. obliczona, nowa wartość x znajdzie się poza przedziałem x ± x! W statystyce matematycznej można pokazać, że prawdopodobieństwo to wynosi: 31.7%. Podsumowanie: Wynik pomiaru x ± x oznacza, że prawdopodobieństwo, iż wartość prawdziwa µ znajduje się we wskazanym przedziale wynosi z 68.3%. 3
Mający tę własność, wskazany błąd pomiarowy x jest nazywany błędem 1σ. Moglibyśmy przyjąć za błąd pomiarowy wartość x. Jak można pokazać w statystyce matematycznej nowy wynik pomiaru: x ± x oznacza, że teraz wartość prawdziwa µ znajduje się we wskazanym przedziale z prawdopodobieństwem 95.4% (tzw. błąd σ ). Nadal jednak nie jest to 100%.... Przypomnijmy: Rozdz. 1.. Czy ogólna teoria względności (OTW) jest prawdziwa?... Ponieważ 1,8 mieści sie w przedziale,0 ± 0,3, więc wydaje się, że OTW jest prawdziwa...... Dlaczego nie powiemy po prostu OTW jest prawdziwa? Teraz możemy odpowiedzieć na to pytanie. Błąd określony w tamtych badaniach (0,3 ) był błędem σ, zatem można powiedzieć, że po pomiarach odchylenia promienia świetlnego (1919) szansa na to, iż ogólna teoria względności jest prawdziwa wynosiła 94.5%. Każda wiedza empiryczna jest w pewnym stopniu niepewna (błąd przypadkowy (statystyczny)). Stopień niepewności rośnie dodatkowo wskutek możliwości wystąpienia błędu systematycznego. W typowych, mniej fundamentalnych pomiarach stosuje się błąd pomiarowy 1σ. Nr. Błędy systematyczne poprawki wynikające z modelu fizycznego wahadła W badaniach fizycznych mamy zwykle do czynienia nie tyle z samym zjawiskiem, ile z jego fizycznym modelem. Rzeczywistość spełnia założenia modelu tylko w pewnym stopniu co jest przyczyną błędów systematycznych. Dobre modele fizyczne i pomiary powinny umożliwiać wyznaczenie poprawek kompensujących błędy systematyczne. Przeanalizujmy skutki przyjętych założeń upraszczających naszego modelu i możliwość poprawek do niego. W przyjętym przez nas modelu drgań wahadła przyjęliśmy m.in., że jest ono tzw. wahadłem matematycznym, a więc punktem materialnym o pewnej 4
masie zawieszonym na nieskończenie lekkiej nici. To uproszczenie powoduje zawyżenie zmierzonej wartości g. Poprawka będzie ujemna. Można ją oszacować liczbowo. Kolejne uproszczenie dotyczy braku oporów ruchu: w ośrodku (powietrze) i w punkcie zawieszenia. Powoduje ono zaniżenie (poprawka będzie dodatnia) zmierzonej wartości g (dlaczego?). Można ją oszacować liczbowo, po dodatkowych pomiarach w tym samym, lecz udoskonalonym, układzie pomiarowym. I wreszcie, założyliśmy, że kąt wychylenia wahadła z położenia równowagi α jest nieskończenie mały (warunek, aby ruch był harmoniczny). To uproszczenie powoduje zaniżenie (poprawka będzie dodatnia) zmierzonej wartości g. Tę poprawkę możemy wyliczyć: l 1 α g 4 π [ 1 + sin ], T gdzie: α kąt wychylenia wahadła. Zadanie: Oblicz poprawkę do wartości g ze względu na kąt wychylenia wahadła, dla α = 10 o. Porównaj ją z obliczoną wartością błędu pomiarowego g. Ile wynosi ta poprawka dla α = 0 o? W jakiej sytuacji odnośnie do warunków pomiaru obliczone poprawki miałyby istotne znaczenie? Podziękowania Dziękuję Panu dr hab. Zygmuntowi Szeflińskiemu za współpracę w przygotowaniu programu i układu treści Warsztatów. Copyright Piotr Jaracz 005 warsztaty błędu.pdf 5