STATYSTYKA DANYCH SAMOSKORELOWANYCH

Podobne dokumenty
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Wyrażanie niepewności pomiaru

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. Wtedy E V U jest równa

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ćw. 12

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Matematyczne metody opracowywania wyników

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Funkcja wiarogodności

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Identyfikacja i ocena ryzyka wykonania planu produkcji w przedsiębiorstwie górniczym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Konspekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 2007/2008 Strona 1

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

Niepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

POMIARY PRZEPŁYWU I OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIAROWYCH

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Wyrażanie niepewności pomiaru. Andrzej Kubiaczyk Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Statystyczna analiza danych przedziały ufności

Sabina Nowak. Podstawy statystyki i ekonometrii Część I

Indukcja matematyczna

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Matematyczny opis ryzyka

ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Miary średnie. Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA wybrane zagadnienia

Dane modelu - parametry

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Analiza niepewności pomiarów Definicje

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Zmiana bazy i macierz przejścia

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INSTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 2016

PRZEGLĄD NAJPROSTSZYCH METOD OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW. dr Michał Januszczyk Zakład Fizyki Medycznej, Wydział Fizyki UAM

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt:

Semarum Wydzału u Fzy Iformaty Stosowaej AGH 6 weta 00 STATYSTYKA DANYCH SAMOSKORELOWANYCH Adrzej Zęba

Pla:. Wstęp - formalzm stadardowy jego ograczea - matematyczy ops daych samosorelowaych. Teora aaltycza, gdy fucja autoorelacj jest zaa a pror 3. Przypade fucj autoorelacj estymowaej z aalzowaej próby losowej teora & MC 4. Koluzje podzęowaa

ad a: ajczęścej stosowae wzory statysty matematyczej: wy pomaru średa arytmetycza odchylee st. pojedyczego pomaru s ( ) epewość pomaru odchylee st. średej u ( ) s( ) s względy rozrzut estymatorów odchylea st. s( s) s s( s( )) s( ) ( )

Ww. estymatory są zgode, eobcążoe ajefetywejsze jeżel obserwacje są () rówoważe, () wzajeme esorelowae, () obarczoe błędem przypadowym o rozładze ormalym. Co robć, jeżel { } są sorelowae? (Pozostałe dwa założea obowązują.)

b. MATEMATYCZNY OPIS DANYCH SAMOSKORELOWANYCH

Cąg sorelowaych obserwacj { } moża opsywać przy użycu trzech formalzmów teor prawdopodobeństwa () realzacja welowymarowej zmeej losowej {X,X,,X } o rówoważych sładowych. Parametry: - wartość oczewaa µ, - odchylee st. σ, - macerz wsp. orelacj j Strutura macerzy autoorelacj, wyająca z założea rówoważośc, umożlwa zastąpee jej przez jedowymarową dysretą fucję autoorelacj: 0,,,., L M M M M L L K 3 3

() -elemetowa próba ze stacjoarego szeregu czasowego stacjoarość rówoważość modele szeregów czasowych, p.: autoregresyjy AR() średa ruchoma SMA a + ( a)u (u + u + + u - m )/m () { } wyem próbowaa (w rówych przedzałach czasu t) cągłego stacjoarego procesu stochastyczego (t)

Przyład: prosta średa ruchoma (SMA) 3 (a) µ 0, σ u u - lczby esorelowae 0 - - µ + σ µ µ σ - lczby sorelowae u + u + u+ + u+ + u 5,6, 0,8 0,4 0,0-0,4-0,8 -, -3 0 0 40 60 (b) µ 0, σ 5 / µ + σ µ µ σ -,6 0 0 40 60

Fucje autoorelacj dla SMA, m 5: 0, 0,8 0,6 3 0,4 4 0, pozostałe 0 AR(): a,0 0,8 0,6 a 0,4 0, b 0,0 0 5 0 5 0

. FORMALIZM DLA PRZYPADKU, GDY FUNKCJA AUTOKORELACJI JEST ZNANA a pror

Średa arytmetycza pozostaje ajlepszym estymatorem wartośc oczewaej bo: - jao zmea losowa jest lową ombacją zmeych X (ze współczyam c /) - twerdzee o wartośc oczewaej ombacj lowej zmeych losowych jest tae samo dla zmeych esorelowaych sorelowaych

Ad ZWIĄZEK MIĘDZY WARIANCJĄ I WARIANCJĄ ŚREDNIEJ. EFEKTYWNA LICZBA OBSERWACJI

Itucyje: a przyładze daych sorelowaych wygeerowaych jao średa ruchoma z m elemetów łatwo pojąć, że wzór σ σ e może obowązywać dla daych sorelowaych. Gdyby był słuszy, oblczee średej ruchomej z m elemetów, a astępe średej z tejże, dostarczało by cudowego tru a zmejszee epewośc pomaru do wartośc crca (m ) / razy mejszej! Teora prawdopodobeństwa: wzór a warację sumy oraz ombacj lowej jest dla zmeych sorelowaych y.

Wzór prawdłowy: Bo G. E. P., Jes G. M, Resel G. C.: Tme Seres Aalyss: Forecastg ad Cotrol, 3rd Ed. Pretce Hall 994 Wyprowadzee: średa to lowa ombacja zm. losowych: jej waracja: (σ / ) suma elemetów macerzy owaracj + σ σ ) ( ) ( c X c, σ σ σ σ j j j j j j j c c, ) ( 3 3 j

Wzór te zapsać moża wprowadzając pojedyczy parametr efetywa lczba obserwacj eff., eff σ σ ) ( + eff ) / ( ) ( σ σ +

Własośc eff - lczba rzeczywsta z przedzału [, ) orelacje dodate or. ujeme - próbowae procesu stochastyczego: (w ustaloym przedzale, Δt 0) eff cost Przyład: model SMA(5), 60 eff,33

Wy poszuwań lteraturowych, 009: - reduced umber of coordates (Bartels 935) - effectve umber of depedet observatos (Bayley & Hammersley 946) - equvalet umber of depedet data (Bagrov 969) - equvalet umber of ucorrelated samples (Lubma 969) - effectve depedet sample sze (Leth 973) - effectve sample sze (Taubehem 974) - equvalet umber of depedet observatos (Prestley 98) - equvalet depedet process effectve umber (Ze 998) - effectve umber of ucorrelated observatos (Dorozhovets & Warsza 007)

Ad NIEOBCIĄŻONE ESTYMATORY WARIANCJI

Wyprowadzee dla daych esorelowaych: () defujemy estymator waracj: s b ( ) () oblczamy wart. oczewaą ( ) (7 lje algebry): E s b σ σ ( ) ---------------------------------------------------------------------- () dla daych esorelowaych σ () σ / (v) obcążee estymatora s b E(s b ) (/) σ (v) czy orecyjy (/) /( ) (v) estymator s b możymy przez czy orecyjy uzysując eobcążoy estymator waracj: s ( )

Wyprowadzee dla daych sorelowaych: () defujemy estymator waracj: s b ( ) () oblczamy wart. oczewaą ( ) (7 lje algebry): E s b σ σ ( ) ---------------------------------------------------------------------- () dla daych sorelowaych σ () σ / eff (v) obcążee estymatora s b E(s b ) (/ eff ) σ (v) czy orecyjy (/ eff ) eff /( eff ) (v) estymator s b możymy przez czy orecyjy uzysując eobcążoy estymator waracj: s a eff eff ( )

Wzór te: s a eff ( ( eff ) ) s poday był bez wyprowadzea w pracy: Bayley ad Hammersley, The Effectve Number of Idepedet Observatos a Autocorrelated Tme-Seres. J. Roy. Stat. Soc. Suppl. 8, 84-97 (946) zapomay (?) przez 60 lat.

Poadto: - wzory a obcążee estymatorów macerzy owaracj podał T.W. Aderso: The Statstcal Aalyss of Tme Seres. Wley, New Yor, 97, ale e wyorzystał do wyprowadzea eobcążoego estymatora waracj, - Şe (998): wyprowadzee dla modelu ARMA() ( ) Waracja średej sa sa ( ) (AZ, PPM 008): ( ) eff eff

Kowecja GUM: epewość pomaru typu A jest perwastem wadratowym z eobcążoego estymatora waracj zatem epewość pomaru dla obserwacj sorelowaych: u( ) s( ) ( ( eff ) )

Ad DOKŁADNOŚĆ OCENY NIEPEWNOŚCI

Próba los. esorelowaa: u(s)/s (ν) / gdze ν - Próba samosorelowaa: u(s a )/s a (ν eff ) / gdze ν eff - efetywa lczba stop swobody (róża od eff, własość: 0 < ν eff < ) Bayley & Hammersley 946: wzór dołady: wzory dla oreśloych model: Prestley 98, Taubehem 974, Fortus 999) Wzór przyblżoy, poprawy efet uproszczea wzoru doładego (AZ 009) + eff ν 8 4 8 4 ) ( 8 4 8 4 ) ( 7 6 4 3 7 6 5 3 Σ Σ Σ Σ + Σ Σ Σ Σ + Σ + Σ ν eff

Publacja: A. Zęba EFFECTIVE NUMBER OF OBSERVATIONS AND UNBIASED ESTIMATORS OF VARIANCE FOR AUTOCORRELATED DATA AN OVERVIEW Metrology ad Measuremet Systems, Vol. 7, r (00), str. 3-6 obejmuje podae do tego mejsca wy, Formalzm moża stosować bezpośredo do aalzy daych, jeżel zamy fucję autoorelacj (z metod typu B) Jest putem wyjśca do oblczeń wyorzystujących tylo zbór obserwacj { } tj. pełej metody typu A przedstawoych w dalszej częśc referatu.

3. ESTYMOWANIE eff I ESTYMATORÓW WARIANCJI WYŁACZNIE Z PRÓBY LOSOWEJ

Zasada tworzea estymatora eff : parametr: estymator: eff + ( ) ˆ eff + c ( ) r (a) ograczee sumowaa do wsaźa c (b) zastąpee fucj { } przez jej estymator, tu: {r } oblczoy z tejże próby losowej { }

Stadardowy estymator fucj autoorelacj r ( )( ( + ) ),0 Estmates {r } of ACF r 0,8 0,6 0,4 0,.96 s(r ) b) a) AR(), a 0.659 60 c) 0,0-0, -0,4-0,6 0 0 0 30 40 50 60

Metoda ostatej statystycze ezerowej r (LSN) N. F. Zhag, Calculato of the ucertaty of the mea of autocorrelated measuremets, Metrologa (006) S76-S8 eff parametr: estymator: + ( ) ˆ eff + c ( ) r Sumowae ograczoe a wartośc odstępu c odpowadającemu ostatej ezerowej wartośc r dla prawdopodobeństwa objęca 95% { r.96 s( r )} ma > c gdze s( r ) + j r

Metoda perszego przejśca przez zero (FTZ): eformale: Dorozhovets Warsza, 007 sformułowae metody& badae własośc metodą MC Zęba & Ramza, PPM 09: graczy odstęp c wyzacza perwsze przejśce fucj autoorelacj przez zero, formale c { ( r > 0 r 0) } + m < Koecze założee: wszyste eujeme Własośc: - 0 < eff < dla ażdych daych - mejsze obcążee rozrzut

Badae estymatorów eff metodą Mote Carlo, 60: Sumowae: a) wszystch wyrazów: c b) obcęte a: c /4 c) do ostatego r statystycze ezerowego (LSN) d) do perszego przejśca {r } przez zero (FTZ) 60 50 a) / / eff theor. g(/ eff ) 40 30 c) AR(), a 0.659 60 0 0 b) d) 0 0,00 0,05 0,0 0,5 / eff

Ie opcje dla estymatora ACF: estymator stadardowy przyczyy obcążea: - erówa lczebość sum - użyce średej zamast wartośc oczewaej z gwazdą : z usuętym obcążeem od erówej lczebośc sum + c c r 0 ) ( ) )( ( + c c r * 0 * * ) ( ) )( (

Opa z podręcza: Prestley, Spectral aalyss ad tme seres, Elsever 98 γ 0 σ SMA, m 5 5 γ W stoce: 0 E[c ] E[c *] 0 3 4 5 6 7 8

T.W. Aderso: The Statstcal Aalyss of Tme Seres. Wley, 97. po uporządowau: σ + eff ( * ) γ O(/ ) E c Obcążee polega a przesuęcu fucj {c *} o stały sład

Oblczee obcążea umożlwa jego ompesację. wy: + eff c + + c c ( r c + ) / 0 + / a) b) + r / eff theor. ( / 0 + eff ) r * + / + eff c > c - g(/ eff ) 5 0 c) AR(), a 0.659 60 5 0 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 / eff

ESTYMATORY ODCHYLENIA STANDARDOWEGO BADANE METODĄ MC

g(s/σ),0,5,0 u() AR() SMA s a 5 bas of u(): SMA -36% AR() -5% g(s/σ) 3,0,5,0,5 60 bas of u(): SMA % AR() % 0,5,0 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 s/σ 0,5 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 6 s/σ Odchylee stadardowe: pojedyczego pomaru s a średej czyl u() g(s/σ /σ) 5 4 3 40 bas of u(): SMA +3% AR() 0% (ν eff oblczae metodą FTZ) 0 0,0 0,5,0,5,0,5 s/σ

Wos z symulacj MC: - potwerdzee przydatość formalzmu dla osób eufych w stosuu do owych wzorów - algorytm pracuje róweż dla zupełe małej lczebośc próby wbrew wyssaej z palca regule (ag. rule of thumb) że mmala wartość 50 (podręcz Bo et al.) - rozrzuty estymatorów odchylea stadardowego w przyblżeu rówe ν eff - rozrzut dla odchylea stadardowego średej węszy, ale e bardzej ż dwa razy - obcążee estymatorów pomjale w porówau z rozrzutem

4. PODSUMOWANIE

Koluzja całoścowa Opracowao algorytmy będące ścsłym odpowedem wzorów dla esorelowaej zmeej gaussowsej umożlwają oblczee epewośc typu A dla daych samosorelowaych Uporządowae tematu & owe wy w tym dzale statysty matematyczej

Zagadea otwarte: - przydatość formalzmu do różych daych rzeczywstych - oblczae epewośc rozszerzoej - obserwacje erówoważe - egaussowse fucje rozładu - procesy stochastycze e posadające ustaloej waracj - dopasowae prostej ych fucj do daych sorelowaych - td., tp.

Podzęowaa: Zygmut Warsza za sprację fo Polsm metrologom pozaym a oferecjach, Podstawowe Problemy Metrolog 004-009 Sympozjach Nepewośc Pomaru 008 00 Aomow recezec Metrolog za uporczywą rytyę, tóra umożlwła lepsze zrozumee tematu przez autora zapobegła przedwczesym publacjom Potr Ramza oblczea MC & współpraca 008-00

Dzęuję za uwagę