Wst p do ekonometrii II

Wst p do ekonometrii II Wykªad 2: Modele ARIMA. Filtr Kalmana (2) WdE II 1 / 46

Plan wykªadu 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 2 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 3 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wprowadzenie modele ARMA geneza w pracach Boxa i Jenkinsa w latach 70. XX w. jednowymiarowa analiza szeregów czasowych: wiedza o przyszªo±ci szeregu zakl ta w jego przeszªo±ci :-) podstawowe zastrze»enia: tylko do szeregów stacjonarnych tylko do prognoz krótkookresowych model ateoretyczny (2) WdE II 4 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model AR AR ang. autoregression, proces autoregresyjny bie» ca (w okresie t) warto± stacjonarnego szeregu czasowego y t zale»y od p warto±ci poprzedzaj cych: y t = c +φ 1 y t 1 +φ 2 y t 2 +...+φ p y t p +ε t = c + Notacja wielomianu charakterystycznego: ( 1 φ1 L φ 2 L 2... φ p L p) y t = c + ε t p φ i y t i +ε t i=1 (2) WdE II 5 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model MA MA ang. moving average, ±rednia ruchoma bie» ca (w okresie t) warto± stacjonarnego szeregu czasowego y t zale»y od q poprzedz jacych warto±ci skªadników losowych: y t = c +θ 1 ε t 1 +θ 2 ε t 2 +...+θ q ε t q +ε t = c + q θ j ε t j +ε t j=1 Notacja wielomianu charakterystycznego: y t c = ( 1 + θ 1 L + θ 2 L 2 +... + θ q L q) ε t (2) WdE II 6 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARMA poª czenie AR i MA Przy odpowiednich zaªo»eniach (zob. dalsze slajdy) mo»na proces AR przeksztaªci do postaci MA( ) i na odwrót. W praktyce zadowalaj ce dopasowanie uzyskuje si dzi ki kombinacji niewielkiej liczby regresorów typu AR i MA, czyli y t = c + p φ i y t i + q θ j ε t j + ε t i=1 Umieszczenie w modelu regresorów zarówno typu AR, jak i MA, pozwala uzyska rozs dne przybli»enie, cho identykacja parametrów p i q takiego modelu jest trudna. Notacja wielomianu charakterystycznego: j=1 ( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L 2 +... + θ ql q) ε t (2) WdE II 7 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARIMA Szeregi niestacjonarne... 1 analiza wielowymiarowa (kointegracja i model korekty bª dem zob. Ekonometria szeregów czasowych (SM)); 2 analiza jednowymiarowa tworzymy model ARMA na szeregu zró»nicowanym tyle razy, aby uzyska jego stacjonarno± : Y t = Y t Y t 1 2 Y t = Y t Y t 1 Model ARIMA(p,d,q): ARMA a ARIMA d y t = c + p φ i d y t i + q θ j ε t j + ε t i=1 Model ARMA jest szczególnym przypadkiem modelu ARIMA (z parametrem d=0). (2) WdE II 8 / 46 j=1

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Model ARIMAX ARIMAX model ARIMA uzupeªniony o zestaw egzogenicznych regresorów: d y t = c + x t β + p φ i d y t i + i=1 q θ j ε t j + ε t j=1 (2) WdE II 9 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Stacjonarno± procesu Proces AR jest stacjonarny......je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn. rozwi zania równania 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p = 0 wzgl dem L) le» poza koªem jednostkowym, tzn. s co do moduªu > 1. Stacjonarny proces AR(p) mo»na przedstawi jako MA( ). W modelu AR bie» ca warto± szeregu zale»y od p poprzednich, a na poprzednie skªada sie niesko«czona liczba opó¹nionych szoków (ε). W modelu MA tych szoków model "widzi" tylko q. (2) WdE II 10 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Odwracalno± procesu Proces MA jest odwracalny......je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn. rozwi zania równania 1 + θ 1 L + θ 2 L 2... + θ q L q = 0 wzgl dem L) le» poza koªem jednostkowym, tzn. s co do moduªu > 1. Odwracalny proces MA(q) mo»na przedstawi jako AR( ). (2) WdE II 11 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Czym jest koªo jednostkowe? (1) Pierwiastki wielomianu mog by liczbami zespolonymi, tzn. mie cz ± rzeczywist a i urojon b (a + bi). Mo»na je przedstawi na pªaszczy¹nie jako punkt w przestrzeni dwuwymiarowej o wspóªrz dnych (a,b). a + bi = a 2 + b 2, wi c warunek stacjonarno±ci/odwracalno±ci a + bi > 1 oznacza a 2 + b 2 > 1 2 (pole poza okr giem o ±rodku (0, 0) i promieniu 1, czyli koªem jednostkowym). Niektóre programy ekonometryczne podaj pierwiastki w formie odwrotno±ci (Inverse Roots). Skoro a + bi > 1, to 1 a+bi < 1. W tej sytuacji odwrotno± pierwiastka musi le»e wewn trz koªa jednostkowego. (2) WdE II 12 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Czym jest koªo jednostkowe? (2) (2) WdE II 13 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (1) Fakt 1. Ka»dy proces AR(p) mo»emy zapisa jako AR(1) po przedeniowaniu zmiennej na wektor [ zawieraj cy ] [ jej opó¹nienia. ] [ ] Np. [ yt a b yt 1 εt y t = ay t 1 + by t 2 + ε t = + y t 1 1 0 y t 2 0 yt = Ay t 1 + ε t Fakt 2. Gdy proces yt = Ay t 1 + ε t dotyczyª jednej zmiennej (A liczb ), to oczekiwali±my,»e przy stacjonarno±ci A n 0 dla n. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy,»e A n 0 dla n. ] (2) WdE II 14 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (2) Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy A, D macierz zawieraj ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej przek tnej (w kolejno±ci odpowiadaj cej kolumnom w P) i zera poza ni. Istnieje dekompozycja: A = PDP 1 Fakt 4. Z algebry macierzy: A n = PD n P 1 Wniosek: A n 0 dla n gdy D n 0. D jest macierz diagonaln, a wi c d»y do zerowej gdy diagonalne elementy d» do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot g. Czyli ich warto±ci bezwzgl dne musz by < 1. (2) WdE II 15 / 46

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (3) Warto±ci wªasne macierzy A: a λ b 1 0 λ = 0 (a λ) (0 λ) b = 0 λ 2 aλ b = 0 Rozwa»my podstawienie L = 1 λ. Wówczas: 1 al bl 2 = 0 Odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2) y t = ay t 1 + by t 2 + ε t. Gdy wszystkie pierwiastki L > 1, wówczas (z podstawienia) wszystkie λ < 1 i warunek stacjonarno±ci jest speªniony. (2) WdE II 16 / 46

Specykacja modelu ARIMA Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 17 / 46

Specykacja modelu ARIMA Funkcja autokorelacji (ACF) Pokazuje korelacj warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami tego samego szeregu: opó¹nienie 1 r 1 opó¹nienie 2 r 2 opó¹nienie 3 r 3 itd. Szacujemy na podstawie danych, obliczaj c wspóªczynniki korelacji liniowej Pearsona. (2) WdE II 18 / 46

Specykacja modelu ARIMA Wspóªczynnik korelacji cz stkowej Wspóªczynnik korelacji mi dzy i oraz j z wykluczeniem wpªywu l: r ij.l = r ij r il r jl (1 r 2 il ) (1 r 2 jl ) (2) WdE II 19 / 46

Specykacja modelu ARIMA Funkcja autokorelacji cz stkowej (PACF) Pokazuje korelacj warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami tego samego szeregu, z wykluczeniem wpªywu opó¹nie«ni»szego rz du: opó¹nienie 1 r 1 (tak samo jak w ACF) opó¹nienie 2 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 2 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 opó¹nienia opó¹nienie 3 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 3 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 i 2 opó¹nienia opó¹nienie 4 korelacja cz stkowa warto±ci bie» cej z 4 opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1, 2 i 3 opó¹nienia itd. (2) WdE II 20 / 46

Specykacja modelu ARIMA Funkcje ACF i PACF jako kryterium doboru p,q Sposób post powania podpowiadany przez korelogram: dla modeli AR(p): szukamy punktu uci cia na wykresie PACF dla modeli MA(q): szukamy punktu uci cia na wykresie ACF dla modeli ARMA(p, q): zwi kszamy stopniowo p i q, staraj c si wyczy±ci wykres ACF i PACF Zaczynamy od ACF/PACF zmiennej. Nast pnie, po oszacowaniu modelu ARMA, ogl damy ACF i PACF reszt. (2) WdE II 21 / 46

Specykacja modelu ARIMA ACF i PACF: przykªad (1) Proces AR(1): Correlogram of P2 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1 0.817 0.817 98.762 0.000 2 0.663-0.012 164.35 0.000 3 0.533-0.018 206.97 0.000 4 0.412-0.046 232.66 0.000 5 0.316-0.005 247.86 0.000 6 0.221-0.058 255.38 0.000 7 0.165 0.046 259.61 0.000 8 0.149 0.078 263.05 0.000 9 0.120-0.039 265.31 0.000 10 0.077-0.067 266.24 0.000 11 0.048 0.005 266.61 0.000 12 0.010-0.051 266.62 0.000 (2) WdE II 22 / 46

Specykacja modelu ARIMA ACF i PACF: przykªad (2) Proces MA(1): Correlogram of P4 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1 0.514 0.514 39.057 0.000 2 0.056-0.282 39.526 0.000 3 0.045 0.225 39.824 0.000 4 0.027-0.151 39.932 0.000 5-0.002 0.094 39.932 0.000 6-0.082-0.192 40.973 0.000 7-0.081 0.118 41.976 0.000 8 0.033 0.003 42.148 0.000 9 0.062 0.039 42.751 0.000 10 0.016-0.038 42.789 0.000 11-0.093-0.130 44.156 0.000 12-0.220-0.156 51.912 0.000 (2) WdE II 23 / 46

Specykacja modelu ARIMA Testy statystyczne i miary dopasowania testy istotno±ci (t) testy autokorelacji Q (Ljung-Box) i efektów ARCH UWAGA! Interpretacja R-kwadrat mo»e by myl ca zwracamy raczej uwag na kryteria informacyjne pomagaj rozstrzyga mi dzy konkurencyjnymi modelami kompromis mi dzy dopasowaniem a oszcz dn parametryzacj (2) WdE II 24 / 46

Modele sezonowe: SARIMA Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 25 / 46

Modele sezonowe: SARIMA Ró»nicowanie sezonowe Model ARIMA z sezonowo±ci nazywamy SARIMA (Seasonal ARIMA). Dodatkowe parametry (w stosunku do ARIMA): s dªugo± cyklu sezonowo±ci (4 dla danych kwartalnych, 12 dla miesi cznych, 5 lub 7 dla dziennych itp.) D parametr sezonowego ró»nicowania Dla d = 1: Ogólnie: s y t = y t y t s 2 s y t = s y t s y t s. D s y t = D 1 s y t D 1 s y t s s ( d y t ) = d y t d y t s 2 s ( d y t ) = s ( d y t ) s ( d y t s ). D s ( d y t ) = D 1 s ( d y t ) D 1 s ( d y t s ) (2) WdE II 26 / 46

( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L 2 +... + θ ql q) ε t Modele sezonowe: SARIMA Model SARIMA Dla uproszczenia notacji: niech y t zró»nicowany szereg. = D s ( d y t) oznacza odpowiednio Oprócz sezonowego ró»nicowania szeregu wyj±ciowego, mo»emy w modelu uwzgl dni sezonowe regresory typu AR i MA. Model ARIMA (p,d,q): Model SARIMA (p,d,q)x(p,d,q) s: ( 1 φ1l φ 2L 2... φ pl p) ( 1 Φ 1L 1 s Φ 2L 2 s... Φ P L P s) y t = c + ( 1 + θ 1L + θ 2L 2 +... + θ ql q) ( 1 + Θ 1L 1 s + Θ 2L 2 s +... + Θ Q L Q s) ε t (2) WdE II 27 / 46

Modele sezonowe: SARIMA Model SARIMA - parametryzacja P rz d opó¹nie«sezonowych typu AR Q rz d opó¹nie«sezonowych typu MA Parametryzacja modelu SARIMA: (p,d,q)x(p,d,q) s Uwagi: Model ARIMA jest szczególnym przypadkiem modelu SARIMA z P = 0, D = 0 i Q = 0. Brak sezonowo±ci sprowadza si do ustalenia parametru s = 1, przez co P, D i Q trac sens bytu (staj si nierozró»nialne od odpowiednio p, d i q). (2) WdE II 28 / 46

Idea i specykacja Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 29 / 46

Idea i specykacja Filtr Kalmana idea problem ekstrakcji sygnaªu identykacja i pomiar zmiennej nieobserwowalnej na podstawie sieci zale»no±ci mi dzy ni a obserwowalnymi estymacja parametrów modeli ze zmiennymi nieobserwowalnymi pozwala skonstruowa funkcj wiarygodno±ci stworzony na potrzeby nauk technicznych (maszyny produkcyjne, armia i zbrojenia, fale radiowe) ró»ne wersje specykacji modelu wªa±ciwo±ci stochastyczne, zmienne egzogeniczne, dynamika... (2) WdE II 30 / 46

Idea i specykacja Model w przestrzeni stanów Liniowy, Gaussowski: { α t = µ + Fα t 1 + ε t y t = Hα t + Ax t + u t ZMIENNA STANU: α t wektor m 1 zmiennych modelu (nieobserwowalnych) ε t N (0, Q) wstrz sy w modelu ZMIENNA SYGNAŠU: y t wektor n 1 zmiennych obserwowalnych u t N (0, R) bª dy pomiaru (2) WdE II 31 / 46

Wyprowadzenie Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 32 / 46

Wyprowadzenie Rozkªady zmiennych stanu α t = µ + Fα t 1 + ε t Przyjmujemy,»e wektor α t 1 jest zmienn losow o wielowymiarowym rozkªadzie normalnym (MVN) z warto±ci oczekiwan a t 1 oraz wariancj P t 1. Wówczas α t jako kombinacja dwóch zmiennych o rozkªadzie MVN te» ma rozkªadm MVN. Pozostaje pytanie o rozkªad α 1 (rekurencyjna denicja sprawia,»e nie b dziemy znali a 0 ani P 0 ). (2) WdE II 33 / 46

Wyprowadzenie Problem inicjalizacji Przed okresem t znamy: y t 1 a t 1 warto± oczekiwana α t 1 warunkowa wzgl dem y t 1 P t 1 macierz wariancji-kowariancji α t 1 warunkowa wzgl dem y t 1 Problem inicjalizacji: a 0, P 0 zwykle dªugookresowe warto±ci bezwarunkowe (Hamilton, 1994): a 0 = µ vecp 0 = [I m 2 (F F)] 1 vec (Q) Mo»liwe równie» przyj cie alternatywnego zaªo»enia:»e α 0 ma tzw. rozkªad nieinformacyjny (b. wysoka wariancja). Wówczas wyprowadzenie staje si nieco bardziej skomplikowane ni» prezentowane tutaj. (2) WdE II 34 / 46

Wyprowadzenie Równania predykcji stanów Co wiemy ex ante (przed t) na temat stanów w t? E t 1 (α t ) = F E t 1 (α t 1 ) + µ = Fa t 1 + µ a t t 1 [ (αt ) ( ) ] T E t 1 a t t 1 αt a t t 1 = = E t 1 [(F α t 1 + µ + ε t F a t 1 µ) (F α t 1 + µ + ε t F a t 1 µ = E t 1 {[F } (α t 1 a t 1 ) + ε t ] [F (α t 1 a t 1 ) + ε t ] T = = FP t 1 F T + Q P t t 1 (2) WdE II 35 / 46

Wyprowadzenie Równania predykcji obserwacji Co wiemy ex ante (przed t) na temat obserwacji w t? E t 1 (y t ) = Ha t t 1 + Ax t y t t 1 E t 1 {[y } t E t 1 (y t )] [y t E t 1 (y t )] T = HP t t 1 H T + R V t (2) WdE II 36 / 46

Wyprowadzenie Kowariancja ex ante stanu i obserwacji E t 1 { [αt a t t 1 ] [ y t Ha t t 1 Ax t ] T } = = E t 1 { [αt a t t 1 ] [ Hα t + Ax t + u t Ha t t 1 Ax t ] T } = = E t 1 { [αt a t t 1 ] [ αt a t t 1 ] T H T } = P t t 1 H T Ta kowariancja ( uzupeªnia opis ª cznego rozkªadu ex ante α t i y [ ] [ ]) t at t 1 P jako MVN, t t 1 P t t 1 H T. y t t 1 HP T t t 1 V t (2) WdE II 37 / 46

Wyprowadzenie Równania aktualizacji Czego si dowiedzieli±my po zaobserwowaniu y t (ex post w t): e t = y t y t t 1 Z perspektywy okresu t, y t nie jest ju» zmienn losow, a wi c rozkªad α t wyznaczamy na podstawie wªasno±ci MVN jako rozkªad warunkowy: E t (α t ) = a t t 1 + P t t 1 H T Vt 1 e t a t E t [(α t a t ) (α t a t ) T ] = P t t 1 P t t 1 H T V 1 t HP t t 1 P t (2) WdE II 38 / 46

Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Plan prezentacji 1 Modele ARIMA Modele AR, MA, ARMA, ARIMA i ARIMAX Specykacja modelu ARIMA Modele sezonowe: SARIMA 2 Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów Idea i specykacja Wyprowadzenie Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych 3 Przykªady (2) WdE II 39 / 46

Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Funkcja wiarygodno±ci L [y, θ] = Tn 2 ln (2π) + T 2 T ln V t (θ) 1 2 t=1 T e t (θ) T V t (θ) 1 e t (θ) t=1 max θ (2) WdE II 40 / 46

Estymacja modelu i prezentacja zmiennych nieobserwowalnych Formy prezentacji zmiennych nieobserwowalnych Warto±ci zmiennych nieobserwowalnych (stanów) mog by przybli»ane punktowo poprzez ^a t (po oszacowaniu macierzy parametrów modelu)......lub przedziaªowo, z dodatkowym wykorzystaniem ^Pt (rozkªad MVN dla α t ). Nale»y jednak pami ta,»e oba te wektory (tzw. zmienne ltrowane) bazuj na wiedzy od okresu 1 do t. Ekonometryk dysponuj cy wiedz do T wª cznie jest w stanie dodatkowo wyznaczy warto±ci wygªadzone zmiennych nieobserwowalnych (wzory: zob. Hamilton, 1994, roz. 13.6). (2) WdE II 41 / 46

Przykªady Przykªad 1: estymacja modeli ARMA Oszacowanie modelu ARMA: Generujemy sztuczny szereg z procesu ARMA(2,1) o wybranych parametrach. Szacujemy go za pomoc polecenia dla modeli ARIMA. Nast pnie szacujemy go za pomoc procedury ltracji Kalmana w R (FKF). (2) WdE II 42 / 46

Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski zmienne w modelu Zmienne nieobserwowalne: yp t produkcja potencjalna yg t luka PKB Zmienne obserwowalne: π t stopa inacji y t produkcja (2) WdE II 43 / 46

Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski równania stanu yp t = yp t 1 + Δyp t 1 Δyp t = (1 δ)c + δδyp t 1 + ε p t yg t = ρ yg t 1 + ε g t α t = µ + Fα t 1 + ε t α t = F = yp t yp t yg t 1 1 0 0 δ 0 0 0 ρ ε t = µ = 0 ε p t ε g t 0 (1 δ) c 0 Q = 0 0 0 0 σp 2 0 0 0 σg 2 (2) WdE II 44 / 46

Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski równania pomiaru π t = κ yg t + ω π t 1 + π + u π t y t = yp t + yg t + u y t [ ] PKBt y t = π t [ ] 1 0 1 H = 0 0 κ y t = Hα t + Ax t + u t [ x t = ] 1 π t 1 [ 0 0 A = π ω [ ] u π u t = t ut y ] [ σ 2 R = y 0 0 σπ 2 ] (2) WdE II 45 / 46

Przykªady Przykªad 2: luka PKB dla Polski wygªadzona luka PKB (2) WdE II 46 / 46