ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 4 5 Macierze i wyznaczniki 5 6 Układy równań liniowych 7 7 Geometria analityczna w przestrzeni 8 8 Pierwsze kolokwium 9 9 Drugie kolokwium 9 0 Egzamin 0 II Odpowiedzi wskazówki Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany i funkcje wymierne 8 Macierze i wyznaczniki 9 Układy równań liniowych 0 Geometria analityczna w przestrzeni Pierwsze kolokwium Drugie kolokwium Egzamin 4
Część I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b ( b a b (b a b a + (c a4 + a b + a b ( b a b a ( a b ( a 4 a b + a b ab + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 = x 4 sin (x (b f(x = ( e x 0 = e x ( (c f(x = x 4 9 x = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 x + x = x x 98.. Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + (k +... n (c (n k! k=0 n [ ( k ] (n k + (n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n: (a + + +... + n n(n + (n + = 6 (b + + +... + n = n (n + 4 (c n + (n + (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez. Geometria analityczna na płaszczyźnie. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = ( v = ( (b u = ( v = ( ( (c u = v =
( (d u = ( v =.. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie ABC jeśli ( ( (a A = ( B = + C = + ( (b A = ( B = ( oraz C = + ( (c A = ( B = + 6 + + C = (0 ( (d A = 0 ( B = 4 C = (.. Oblicz wysokość h trójkąta ABC o podstawie AC jeśli (a A = ( 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( oraz C = (. 4. Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = t x = (a oraz y = t y = + s { { x = t x = s (b oraz y = 5 + t y = s. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = ( + 7 B = (0 + i C = ( 5. 6. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = ( A = ( B = ( 4 (b S = ( A = ( B = (4. 7. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = ( ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y = 0 oraz A = 4 B = (0 ϕ = π. Liczby zespolone. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z = + i i (b z = + i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz + 4 0 (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z 4.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a z = ( + i 0 ( i 40 (b z = (c z = ( + i40 ( i 0 ( i 4 ( i 4 ( i 0 (d z = ( + i ( i 4 (e z = ( i 700 ( + i 400. 4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg( + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > 0. 5. Wyznacz pole P figury (a F = { z C : ( Im ( z 0 ( Im(z < 0 } { ( (b F = z C : 0 Im(z } Re(z ( z. 6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 0z + 4 = 0 (d z 4 = ( + z 4. 7. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = (b z = i (c z = + i (d z = + i (e z =. 8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 8 (b z = 6 (c z = 8 + 8 i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + x + x + 7 Q(x = x + x + (b P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x + x +.. Rozłóż wielomian W (x na nierozkładalne czynniki rzeczywiste jeśli (a W (x = x 4 + x x 4x 4 (b W (x = x 4 + x x. 4
. Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x + x + x + Q(x = x (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x + 4. 4. Rozłóż wielomian zespolony W (z na czynniki liniowe jeśli (a W (z = z z + 4z 8 (b W (z = z + 5z + 8z + 6. 5. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x na sumę rzeczywistych ułamków prostych jeśli x + (a f(x = x + x + 5x + 4 x + (b f(x = x + x + 4x + 4 (c f(x = x + 5x + x + x + x + (d f(x = x + 4x + 5x + 5 x 4 + x + x + x +. 6. Rozłóż funkcję wymierną f(x na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych jeśli (a f(x = x4 5x + 5x 9x x 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x +x x x. 5x 5 Macierze i wyznaczniki. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( 0 6 (a A = 0 0 (b 0 0 0 0 0 + A T = 0 0 0 (c 0 A T = 4 0.. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5 (b W = 7 (c W = 4 8 0 7 (d W = 9 7 9 5 5 5.. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 5
(b W = 9 4 4 5 4 4 5 5 0 5. 4. Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a (b A = a a a (c A = a a. a 5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( (a A = 4 (b A = (c A = (d A =. 6. Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A jeśli ( a + (a A = a + 4 a + 4 (b A =. a 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli (a A = 4 (b A = i i i + i 4 (c A = 5 5 i 4 (d A = i 0 0. 0 0 8. W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania 4. 9. Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v C jeśli 6
( (a A = 4 5 ( (b A = ( (c A = ( 7 (d A = 7. 6 Układy równań liniowych. Rozwiąż układ równań { x + y = (a x y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = x + y + z = x + y + z =. Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = 4.. Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + y = a (a 8x y = 6 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 0z = 8. 4. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = (a 7x + ay = a x + y + az = (b x + ay + z = a ax + y + z = a. 7
7 Geometria analityczna w przestrzeni. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 B = ( C = ( a i wierzchołku E = ( a 5 4 8 nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 6 4 oraz v = (a 4 jest prosty (c wektory u = ( a v = ( są równoległe.. Podaj (a równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( B = (0 C = ( 0 5 x = + t + s (b równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = + t + s (c równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = + t + s y = t + s z = t + s (d równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + = 0 { x + y + z = 0 (e równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym x + y + z = 0 x = + t (f równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = + t y = z = + t oraz l : x = t (h równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m : y = z = + t w punkcie ich przecięcia.. Wyznacz odległość d(p π punktu P od płaszczyzny π jeśli (a P = ( π : x + y + z = 0 x = + t + s (b P = ( π : y = + s z = t + s. 4. Wyznacz odległość d(p l punktu P od prostej l jeśli x = + t (a P = ( 4 l : y = + t. (b P = ( 5 l : z = t { x + y + z + 5 = 0 x y z + = 0. 5. Wyznacz rzut prostopadły P punktu P = ( na x = + t (a prostą l : y = + t. z = t { x y z + = 0 (b prostą l : x y + z = 0 (c płaszczyznę π : x + y z + 4 = 0 x = + t s (d płaszczyznę π : y = + t + s z = t. l : x = s y = s z = 5 s; x = s y = + s z = s 8
a następnie odbicia symetryczne P punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn. 6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy (a prostymi l : z = t x = + t y = t (b płaszczyznami π : (c prostą l : 7. Wyznacz pole P x = + t + s y = t s z = t + s { x + y + z + = 0 x y + z + = 0 oraz m : z = s. (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( x = + s y = + s oraz π : y z = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0. (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = (. 8. Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = ( B = ( C = ( i D = ( (b równoległościanu rozpiętego na wektorach u = ( v = ( oraz w = ( (. 8 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A. Oblicz wysokość trójkąta ABC o podstawie BC jeśli A = ( B = ( 4 oraz C = (7.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i 5 ( i 50.. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x = x + 5 x + 4x 5 Zestaw B na sumę rzeczywistych ułamków prostych.. Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = ( 7 oraz C = 6 +.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( i 50 ( + i 00.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 6x + x + x + x +. 9 Drugie kolokwium Zestaw A. Wyznacz te wartości parametru p C dla których istnieje macierz odwrotna A do macierzy p 4 A = 4 8 a następnie podaj wzór na A. p 8 6 9
q x + y + z = + q. W zależności od parametru q C rozwiąż układ równań x + y + z = 6 x + y + z = 7. { x + y + z 6 = 0. Niech P = ( oraz prosta l będzie dana układem równań x + z = 0. prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l. Wyznacz rzut Zestaw B. Dla macierzy A = 0 0 wyznacz rząd r(a wartości i wektory własne. 0 x + λ y + z = 0 x + y + t = i λ. W zależności od parametru λ C określ ilość rozwiązań układu x + z + t = y + z + t =.. Wyznacz te wartości parametru p R dla których prosta l : jest prostopadła do płaszczy- zny π : x = + u + s y = u + s z = + u + s. symetryczne tego punktu względem płaszczyzny π. 0 Egzamin Zestaw A x = + t y = pt z = + t Ponadto wyznacz rzut punktu P = ( na płaszczyznę π oraz odbicie. Równanie z = ( + z rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.. Rozwiąż równanie macierzowe 0 ( T A =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu x + y + z = x + y = x + a y + z = + a. 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =. 5. Wyznacz { rzut prostopadły punktu P = ( na prostą x + y + z = 0 l :. x + z = 0. Zestaw B. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z = ( + z. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. T 0 (. Rozwiąż równanie macierzowe A T =. 0. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu 6x + y + z = 4x + y = x + a y + z = + a. 0
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A = 5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = ( względem płaszczyzny x + y + z + = 0. Zestaw C. Równanie z +(+iz+ i + = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej. 4. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie ABC jeśli A = ( B = ( C = (0 D = ( 4. y + z =. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań x + y = z trzema niewiadomymi x y z. x + z = 4 4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B = ( 4 5. W zależności od parametru a C określ rząd macierzy D a = Część II Odpowiedzi wskazówki.. a a 0 a 0 a 0 0 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna. (a b (b a (c a b (d. ( 7. (a a 4 = = 5 ( 0 (b a = = 0 ( 9 (c a = = 6 ( 99 (d a = = 99.. (a 4 n (b ( n (c ( + n n ( n n (d. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = ; prawdziwe zatem jest twierdzenie T. Następnie z prawdziwości twierdzeń T T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+ gdzie n N +..
Geometria analityczna na płaszczyźnie. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c π (d ϕ = 7 π. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = π (d ϕ = π 4.. (a h = 0 (b h =.
( 4. (a P 0 = ϕ = π (b P 0 = ( 4 ϕ = π 6. 5. (a (x + (y = 5 (b (x + + (y = 6. 6. (a (x + (y + = 9 (b (x + + (y + = 0.
7. (a y = y = 5 x = x = (b y = y = y = x + 4 y = x 4. Liczby zespolone. (a z = 5 + 5 i (b z = 4 + 4 i.. (a półpłaszczyzna y 4
(b prosta y = x (c zbiór będący sumą prostych prostych y = y = (d prosta y = x 5
( 4 (e okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu.. (a z = + i (b z = i (c z = i (d z = (e z = + i. 4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z spełniających trzy warunki: Re(z 0 Im(z oraz z i (przesunięta o wektor (0 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 ( π (b arg(z 4 π ( π 4 π czterech kątów. ( 5π 4 π ( 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz 6
(c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} (d arg(z kątów. ( 0 π ( π 4 π ( π 5π ( π 4 4 7π co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech 4 5. (a P = 7
(b P = π. 6. (a z { + i } i (b z { 4 + i 4 i} (c z { 5 + i 5 i} (d z { 5 5 i 5 + 5 } i. 7. (a w 0 = + w = w = (b w 0 = + i w = + i w = i (c w 0 = + i w = ( + + (d w 0 = + + i w = Wskazówka: cos π = (e w 0 = + cos ( π 6 + i w = w = i 8. (a z = z = i z = z = i i w = ( + + + i w = = + 6. + i. = + sin π = (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = + i z = + i z = i z = i. Wielomiany i funkcje wymierne. (a I(x = x x + R(x = 5 i. 8
(b I(x = x + x R(x = x + 0.. (a W (x = (x + (x ( x + x + (b W (x = (x (x + (x + x +.. (a R(x = x + (b R(x = 6x + 4. 4. (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + (z + + i(z + i. 5. (a f(x = x + x + 4 + x + x (b f(x = x + x + + x + x (c f(x = x + x + + x + (d f(x = x + + x + + x +. 6. (a f(x = x + x 5 + x + 4 (b f(x = x + (x + + x. Macierze i wyznaczniki ( 0. (a A = 0 0 ( 0 (b A = (c A = (.. (a W = (b W = (c W = (d W = 0.. (a W = (b W = 5. 4. (a a C \ {0 } (b a C \ { } 5 5 (c a C \ { }. ( 4 5. (a A 5 5 = (b A = (c A = (d A = 0 0 0 0 0 4 0 0. 9
6. (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ { 4} wtedy A = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {} wtedy A = 7. (a r(a = (b r(a = (c r(a = (d r(a =. ( a (a (a+4 a a+ (a (a+4 a a a 0 a 0 a. 8. (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = dla a {0 } (b r(b = dla a C \ { } r(b = dla a = r(b = dla a =. (c r(c = 4 dla a C \ { } r(c = dla a = r(c = dla a =. ( 9. (a wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na ( ( przykład v = wartości własnej λ = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4 gdzie C \ {0} na przykład v = ( 4 ( (b wartości własnej λ = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} na przykład ( ( v = wartości własnej λ = odpowiadają wektory własne postaci gdzie ( C \ {0} na przykład v = ( (c wartości własnej λ = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C \ {0} ( ( i na przykład v = wartości własnej λ i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( + i = + i ( (d wartości własnej λ = +i odpowiadają wektory własne postaci gdzie C\{0} ( ( 5 + i na przykład v = wartości własnej λ 5 + i = i odpowiadają wektory własne postaci ( ( gdzie C \ {0} na przykład v ( 5 i =. 5 i Układy równań liniowych. (a x = y = (b x = y = 0 z = (c x = y = z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { } układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4 y = 0 a dla a = nieskończenie x = 4 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 0
. (a a = lub a = (b a =. 4. (a Dla a C\{4} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 4 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ } układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. Geometria analityczna w przestrzeni. (a a = (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 (b x z = 0 (c x + y z + = 0
(d (e (f x = + t + s y = t z = s x = + t y = t z = + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 4 (dla t = i s = a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = + t (h y =. z = t.. (a d(p π = (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p π =. 4. (a d(p l = 6 (b d(p l =. 5. (a P = ( P = ( ( 4 (b P = 5 ( (c P = 5 ( P = 4 5 P = ( 0 4 (d P = ( 4 P = (0 0 7. 6. (a ϕ = π (b ϕ = π (c ϕ = π 6. 7. (a P = 6 (b P = 4 6 (c P = 6. 8. (a V = (b V = 5.
Pierwsze kolokwium Zestaw A. h = 4.. z = i.. f(x = x + x x + x + 5. Zestaw B π. 6.. z = + i.. f(x = x + + x + x + x +. Drugie kolokwium Zestaw A. Macierz A jest odwracalna dla p C \ {} wtedy A = 0 p p. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla q C \ { } postaci p 4 p 4 0 p 4 p+ 8p 6 8p 6 x = + t Dla q = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 5 t z = t gdzie t C. Dla q =. Rzutem jest P = układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. ( 5 7 a odległość d(p l = 6. x = +q y = +8q +q z = q +q..
Zestaw B. Rząd r(a = wartościami własnymi są liczby λ = oraz λ =. Wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t s t s gdzie t s C t + s 0 a wektory własne dla wartości własnej λ = są postaci v = t t t gdzie 0 t C.. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla λ C \ { i i} nieskończenie wiele rozwiązań dla λ = i oraz jest sprzeczny dla λ = i.. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny dla p =. Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę π jest P = ( 8 P = 7. ( 6 7 a odbiciem symetrycznym 6 Egzamin Zestaw A. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = 5 4 + 4 i z = 5 4 4 i.. A = 0 ( T (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = =. 0 0 0. Wyznacznik macierzy głównej W = a zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 4
x = t 5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład y = z = t ( 0. a jej wektorem kierunkowym u = Płaszczyzna do której należy punkt P i która jest prostopadła do l ma równanie x z = 0. ( Poszukiwanym rzutem jest P =. Zestaw B. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg a potem rozwiązać równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są liczby z = z = 5 4 + 4 i z = 5 4 4 i.. Można choć niekoniecznie wykorzystać wzór (X Y T = Y T X T. 0 ( T Wtedy A = (zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie 0 0 A = =. 0 0 0. Wyznacznik macierzy głównej W = 4a 4 zatem dla a C \ { } układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Użycie rozumowania : jeśli W = W x = W y = W z = 0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania. Dla a = układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = λ(λ ( λ. Wartościami własnymi są λ = 0 λ = λ = a wektory własne są odpowiednio postaci 0 v = v = v = 0 gdzie C \ {0}. 5. Prosta do której należy punkt P i która jest prostopadła do danej płaszczyzny ma na przykład równanie x = + t ( y = + t Rzutem punktu P na daną płaszczyznę jest P = 5 a poszukiwanym odbiciem z = t. ( symetrycznym P = 7. 5
Zestaw C. = = { i i}. Rozwiązaniami są liczby z = z = i.. Równaniem płaszczyzny podstawy π jest x y + = 0. Wysokość h = d(d π =.. Macierz główna A = 0 0 0 jej odwrotność A = Kolumna niewiadomych X = A 4 = Formułujemy odpowiedź: x = y = 0 z =. 0. 4. Wielomian charakterystyczny w(λ = (λ + (λ 5 stąd wartościami własnymi są λ = λ = 5. ( 4 Dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = ( dla wartości własnej λ wektory własne są postaci v = w obu przypadkach C \ {0}. 5. Wyznacznik det (D a = 4a 4 zatem dla a C \ { } rząd r (D a = 5. Oddzielnie sprawdzając r (D = 4 r (D = 4.. 6