11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j) macierzy A dla argumentu (i, j) oznaczamy przez a ij, a samą macierz zapisujemy jako A = [a ij ] 1 i m, 1 j n lub A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn Zbiór wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach oraz o wyrazach z ciała F oznaczamy przez M mn (F ) (lub M mn, gdy nie prowadzi to do niejednoznaczności). Dla macierzy A M mn (F ) funkcję R i = A {i} {1,...,n} nazywamy i tym wierszem macierzy A, zaś funkcję C j = A {1,...,m} {j} nazywamy j tą kolumną tej macierzy. Uwaga 1 i ty wiersz i j tą kolumnę macierzy A M mn można zapisać następująco a 1j a 2j [ R i = a i1 a i2... a in ], C j =. a mj i traktować jako wektory odpowiednio z F n oraz F m. Macierz A może być uważana za układ wektorów (R 1,..., R m ) z przestrzeni F n lub za układ wektorów (C 1,..., C n ) z przestrzeni F m. Zbiór M mn (F ) można więc utożsamić z F mn. Stwierdzenie 11.2 Zbiór M mn (F ), z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez skalar opisanymi jak w przestrzeni F mn, jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Układ macierzy (E ij ) i=1,...,m,,...,n, gdzie E ij = [δ ik δ jl ] 1 k m, 1 l n, jest bazą przestrzeni M mn (F ). Definicja 11.3 Macierz z przestrzeni M nn nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą jednostkową (stopnia n) nazywamy macierz I n = [δ ij ] 1 i,j n. Główną przekątną macierzy A = [a ij ] M nn nazywamy wektor (a 11, a 22,..., a nn ). Macierz kwadratową A = [a ij ] M nn nazywamy: macierzą diagonalną, gdy a ij = 0 dla i j, 1
macierzą górną trójkątną, gdy a ij = 0 dla i > j, macierzą dolną trójkątną, gdy a ij = 0 dla i < j. Definicja 11.4 Niech A = [a ij ] M mn, B = [b jk ] M np. Iloczynem macierzy A i B nazywamy taką macierz C = A B = [c ik ] M mp, że c ik = a ij b jk i = 1,..., m, k = 1,..., p. Uwaga 2 Macierz A można pomnożyć przez macierz B z prawej strony tylko wtedy, gdy ilość kolumn macierzy A jest równa ilości wierszy macierzy B. Istnienie iloczynu A B nie gwarantuje istnienia iloczynu B A. Nawet jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to na ogół A B B A, czyli nawet w zbiorze M nn mnożenie macierzowe nie jest przemienne. Bezpośrednio z definicji mnożenia macierzowego i stwierdzenia 10.4 wynika Wniosek 11.5 Jeżeli U, V, W są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru nad ciałem F o bazach odpowiednio A, B, C, zaś ϕ : V W i ψ : U V przekształceniami liniowymi, to M CA (ϕ ψ) = M CB (ϕ) M BA (ψ) Definicja 11.6 Niech B będzie bazą przestrzeni V F, przy czym dim V = n. Dla wektora v V macierz C B (v) M n1, której kolejnymi wyrazami są współrzędne wektora v w bazie B, nazywamy macierzą współrzędnych wektora v w bazie B. Przykład 11.7 1. Jeżeli V = F n i rozważamy w niej bazę kanoniczną E = (e 1,..., e n ), to C E ((v 1,..., v n )) = 2. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, B = (v 1,..., v n ) bazą V, a C = (w 1,..., w n ) bazą W, to C C (ϕ(v j )) jest j tą kolumną macierzy M CB (ϕ). Wniosek 11.8 Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, B = (v 1,..., v n ) bazą V, a C = (w 1,..., w n ) bazą W, to v 1. v n. M CB (ϕ) C B (v) = C C (ϕ(v)) dla v V. 2
W szczególności, jeżeli A jest bazą przestrzeni V, to M BA C A (v) = C B (v) dla v V. Uwaga 3 Jeżeli ϕ : R n R m jest przekształceniem liniowym, zaś A jego macierzą w bazach kanonicznych, to ϕ(v) = A v, jeżeli utożsamić wektor v z macierzą C E (v) zgodnie z przykładem 11.7. Stwierdzenie 11.9 Dla dowolnych macierzy A M mn, B, B M np, C M pq i a F spełnione są warunki: 1. A (B C) = (A B) C 2. A (B + B ) = (A B) + (A B ) oraz (B + B ) C = (B C) + (B C) 3. A I n = A oraz I m A = A 4. a(a B) = (aa) B = A (ab) Dowód: Niech A = [a ij ], B = [b jk ], B = [b jk ], C = [c kl]. 1. Jeżeli D = B C = [d jl ] M nq oraz E = A B = [e ik ] M mp, to p d jl = b jk c kl oraz e ik = a ij b jk. Zatem macierze A (B C) i (A B) C mają te same wyrazy o indeksie il, gdzie i = 1,..., m, l = 1,..., q, gdyż p p p a ij d jl = a ij b jk c kl = a ij b jk c kl = a ij b jk c kl = 2. Wyraz o indeksie ik macierzy A (B + B ), gdzie i = 1,..., m, k = 1,..., n, wynosi (a ij (b jk + b jk)) = a ij b jk + a ij b jk, co dowdzi pierwszej równości; druga jest analogiczna. 3. Wyraz o indeksie ik macierzy A I n, gdzie i = 1,..., m, k = 1,..., n, wynosi a ij δ jk = a ik 1 = a ik i jest równy wyrazowi macierzy A o tym samym indeksie. Analogicznie I m A = A. 3 p e ik c kl.
4. Wyraz o indeksie ik, gdzie i = 1,..., m, k = 1,..., p, jest taki sam w każdej z macierzy, bo wynosi a a ij b jk = ((aa ij )b jk ) = (a ij (ab jk )). Definicja 11.10 Przestrzeń liniową (V, F, +, ) wraz działaniem, które jest wewnętrzne w zbiorze V, nazywamy algebrą (z jednością) nad ciałem F, gdy trójka (V, +, ) jest pierścieniem (z jednością) oraz spełniony jest warunek v,w V a F a (v w) = (a v) w = v (a w). Wniosek 11.11 Dla n N przestrzeń liniowa M nn (F ) wraz z działaniem mnożenia macierzowego stanowi algebrę z jednością nad ciałem F. Definicja 11.12 Macierz kwadratową A M nn (F ) nazywamy macierzą nieosobliwą (lub odwracalną), jeżeli istnieje macierz A 1 M nn (F ) taka, że A A 1 = A 1 A = I n. Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych stopnia n o wyrazach z ciała F oznaczmy przez GL(n, F ) i nazywamy ogólną grupą liniową stopnia n nad F. Przykład 11.13 1. Macierz [a] M 11 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy a 0. Wówczas [a] 1 = [ 1 a ]. [ ] a b 2. Macierz M c d 22 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy [ ] 1 [ ] a b d b ad bc 0. Wówczas = ad bc ad bc. c d c ad bc a ad bc Wniosek 11.14 Zbiór GL(n, F ) z działaniem mnożenia macierzowego stanowi grupę. Dowód: Zgodnie z definicją macierzy nieosobliwej i stwierdzeniem 11.9 wystarczy pokazać, że mnożenie macierzowe jest działaniem wewnętrznym w zbiorze GL(n, F ). Tak jest w istocie, bo dla A, B GL(n, F ) zachodzi równość (A B) 1 = B 1 A 1, zatem A B GL(n, F ). Stwierdzenie 11.15 1. Macierz izomorfizmu jest nieosobliwa. 2. Macierz przejścia od bazy do bazy jest nieosobliwa. 4
Wniosek 11.16 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi wymiaru skończonego nad ciałem F. Niech A, B będą bazami przestrzeni V, C, D bazami przestrzeni W, zaś ϕ : V W przekształceniem liniowym. Wówczas M DA (ϕ) = M DC M CB (ϕ) M BA. W szczególności, gdy ϕ jest endomorfizmem przestrzeni V, to M AA (ϕ) = M 1 BA M BB(ϕ) M BA. Definicja 11.17 Macierzą transponowaną do macierzy A = [a ij ] M mn nazywamy macierz A T = [a ji ] M nm. Macierz kwadratową A nazywamy: macierzą symetryczną, gdy A T = A, macierzą antysymetryczną (lub skośnie symetryczną), gdy A T = A. Stwierdzenie 11.18 Dla dowolnych macierzy A, A M mn, B M np i a F spełnione są warunki: 1. (A + A ) T = A T + A T 2. (aa) T = aa T 3. (A B) T = B T A T 4. ( A T ) T = A 5. jeżeli m = n i macierz A jest nieosobliwa, to ( A T ) 1 = ( A 1 ) T Dowód: Niech A = [a ij ] M mn, A = [a ij ] M mn, B = [a jk ] M np, a F. Wówczas: 1. Wyraz o indeksie ji macierzy (A + A ) T jest równy a ji + a ji. 2. Wyraz o indeksie ji macierzy (aa) T jest równy aa ji. 3. Wyraz o indeksie ki macierzy (A B) T jest równy n b kj a ji. 4. Wynika z definicji. 5. Wynika z (3) i faktu I T = I. Wniosek 11.19 Zbiór macierzy symetrycznych (odp. antysymetrycznych) stopnia n tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni M nn (F ). 5
Definicja 11.20 Określmy dla k, l = 1,..., m, k l, a F \ {0}, b F funkcje s kl, r a k, pb kl działające z M mn(f ) do M mn (F ) następująco: s kl zamienia w macierzy wiersz k ty z l tym miejscami, r a k p b kl mnoży k ty wiersz przez a, dodaje do k tego wiersza wiersz l ty pomnożony przez b. Każdą z powyższych funkcji nazywamy operacją elementarną na wierszach. Macierze S kl = s kl (I m ), R a k = ra k (I m), P b kl = pb kl (I m) nazywamy macierzami elementarnymi stopnia m. Stwierdzenie 11.21 Dla k, l = 1,..., m, k l, a F \ {0}, b F oraz macierzy A M mn (F ) spełnione są warunki: 1. s kl (A) = S kl A, 2. r a k (A) = Ra k A, 3. p b kl (A) = P b kl A. Dowód: 1. S kl = [δ qi δ qk δ ki δ ql δ li + δ ql δ ki + δ qk δ li ] 1 q,i m. Zatem wyraz o indeksie qj macierzy S kl A jest równy m (δ qi δ qk δ ki δ ql δ li + δ ql δ ki + δ qk δ li )a ij i=1 = a qj δ qk a kj δ ql a lj + δ ql a kj + δ qk a lj = a lj a kj a qj gdy q = k gdy q = l gdy q k, q l 2. Rk a = [δ qi + (a 1)δ qk δ ki ] 1 q,i m. Zatem wyraz o indeksie qj macierzy Rk a A jest równy { m aakj gdy q = k (δ qi + (a 1)δ qk δ ki )a ij = a qj + (a 1)δqka kj = gdy q k i=1 3. Pkl b = [δ qi + bδ qk δ li ] 1 q,i m. Zatem wyraz o indeksie qj macierzy Pkl b A jest równy { m akj + ba (δ qi + bδ qk δ li )a ij = a qj + bδqka lj = lj gdy q = k gdy q k i=1 a qj a qj 6
Wniosek 11.22 Macierze elementarne są nieosobliwe: 1. (S kl ) 1 = S kl, 2. (R a k ) 1 = R a 1 k, 3. (P b kl ) 1 = P b kl. 7