Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004

Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie z miarą 3 σ-algebra.............................. 3 Przestrzeń mierzalna...................... 3 Zbiory borelowskie....................... 4 Algebry Boole a zbiorów................... 4 Dwie konwencje.......................... 5 Definicja miary.......................... 5 Przykłady............................. 6 Funkcje skończenie addytywne................ 6 Ciągłość z góry i ciągłość z dołu.............. 7 2 Funkcje mierzalne 9 Funkcje mierzalne........................ 9 Funkcje borelowskie...................... 9 Funkcje numeryczne....................... 10 3 Definicja całki według Lebesgue a 13 Definicja całki.......................... 13 Własności całki.......................... 14 Całka a równość prawie wszędzie.............. 14 Całka z funkcji o wartościach zespolonych....... 15 4 Całkowanie ciągów funkcyjnych 17 Tw. Lebesgue a o zbieżności monotonicznej........ 17 Lemat Fatou............................ 17 Tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej........ 18 Rozkład Hahna.......................... 18 Różniczkowanie pod znakiem całki.............. 19 5 Całka Riemanna a całka Lebesgue a 21 Całka Riemanna a całka Lebesgue a............ 21 Zupełność i uzupełnienie przestrzeni z miarą....... 21 i

ii Spis treści Miara Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a 22 6 Zagadnienie przedłużenia miary 23 Schemat konstrukcji miary.................. 23 Półpierścień zbiorów...................... 23 Addytywność na półpierścieniu................ 24 Twierdzenie o przedłużeniu miary.............. 24 Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego.. 24 7 Jednoznaczność i zupełność przedłużenia 27 π układy.............................. 27 λ układy.............................. 27 Lemat o λ i π układach.................... 28 Jednoznaczność przedłużenia................. 28 Zupełność F µ........................... 28 Twierdzenie o pokryciu mierzalnym............. 29 8 Miara Lebesgue a 31 Miara Lebesgue a na IR 1.................... 31 Produkt przestrzeni mierzalnych.............. 32 Produkt miar........................... 33 Miara Lebesgue a na IR d.................... 33 9 Twierdzenie Fubiniego 35 Twierdzenie Tonellego..................... 35 Twierdzenie Fubiniego..................... 35 Zmiana zmiennych w całce Lebesgue a........... 36 10 Przestrzenie funkcji całkowalnych 37 Przestrzeń L 1 (µ)......................... 37 Przestrzeń L 2 (µ)......................... 37 11 Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe 39 Przestrzenie L p (µ)........................ 39 Nierówność Minkowskiego................... 39 Nierówność Höldera...................... 40 Nierówność Jensena....................... 40 12 Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi 41 Podstawowe rodzaje zbieżności................ 41 Podstawowe zależności..................... 41

13 Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) 43 Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d )............. 43 Lemat Riemanna-Lebesgue a.................. 43 14 Charakterystyki zmiennych losowych 45 Słowniczek teorii prawdopodobieństwa......... 45 Rozkład zmiennej losowej................... 46 Dystrybuanta zmiennej losowej............... 46 Mediana i kwantyle....................... 47 15 Klasyfikacja rozkładów na prostej 49 Rozkłady dyskretne....................... 49 Rozkłady absolutnie ciągłe.................. 49 Ogólna postać rozkładu.................... 50 Przykłady............................. 50 16 Rozkłady wielowymiarowe 53 Wektory losowe......................... 53 Rozkłady łączne a rozkłady brzegowe........... 54 17 Niezależność stochastyczna 55 Niezależność............................ 55 Kryteria niezależności..................... 55 Niezależność zdarzeń...................... 56 Całka iloczynu niezależnych zmiennych losowych... 57 18 Charakterystyki wektorów losowych 59 Korelacja............................. 59 Wartość oczekiwana i macierz kowariancji........ 60 19 Istnienie procesów stochastycznych 63 Schemat Bernoullego...................... 63 Funkcje Rademachera...................... 63 Rozwinięcia dwójkowe...................... 63 Idea ogólna............................ 64 20 Prawa wielkich liczb 65 Słabe prawo wielkich liczb Markowa............ 65 Mocne prawo wielkich liczb.................. 66 Literatura 69

iv Spis treści

Wstęp Podobnie jak poprzednie wersje Repetytorium, niniejsze opracowanie nie jest ani skryptem, ani tym bardziej podręcznikiem, i nie może być traktowane jako źródło wiedzy w oderwaniu od semestralnego wykładu przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka. Należy podkreślić, że program przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka jest istotnie różny od programu tego przedmiotu dla kierunku Matematyka. Repetytorium pomyślane jest jako pomoc w przygotowaniu się do egzaminu ustnego. Repetytorium zawiera wszystkie definicje i sformułowania faktów i twierdzeń wymagane na egzaminie po semestrze zimowym roku akademickiego 2003/2004. W trakcie wykładu zasygnalizowałem, że znajomość niektórych dowodów nie będzie konieczna podczas egzaminu. Twierdzenia, fakty i lematy, które należy opanować wraz z dowodami, oznaczone są napisem Szczególną uwagę należy poświęcić rozwiązaniu zadań i wyjaśnieniu przykładów umieszczonych w Repetytorium. Adam Jakubowski 1

2 Wstęp

1. Przestrzenie z miarą σ-algebra 1.1 Definicja σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω nazywamy rodzinę F 2 Ω spełniającą następujące warunki. S0), Ω F. S1) Jeżeli A F, to również A c F. S2) Jeżeli A 1, A 2,... F, to j=1 A j F. 1.2 Przykłady 1. F = 2 Ω, F = {, Ω}. 2. Niech R = {A 1, A 2,..., A n } - skończone rozbicie przestrzeni Ω, tj. Ω = n j=1 A j i zbiory A j są parami rozłączne: A i A j =, jeśli i j. Wtedy F = {sumy rozłączne elementów rozbicia R} jest σ-algebrą. 3. Niech {F i ; i II} będzie rodziną σ-algebr podzbiorów zbioru Ω. Wówczas F = i II F i jest σ-algebrą. 4. Niech C 2 Ω będzie klasą zbiorów. Wówczas przekrój wszystkich σ- algebr podzbiorów Ω zawierających klasę C jest σ-algebrą. Nazywamy ją σ-algebrą generowaną przez klasę C i oznaczamy symbolem σ(c). Przestrzeń mierzalna 1.3 Definicja Przestrzenią mierzalną nazywamy parę (Ω, F), gdzie Ω jest niepustym zbiorem, a F jest σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. 1.4 Definicja Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech Ω 0 Ω. Niech F Ω 0 = {A Ω 0 ; A F}. Parę (Ω 0, F Ω 0 ) nazywamy podprzestrzenią mierzalną przestrzeni (Ω, F). 1.5 Fakt Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech Ω 0 Ω. Jeżeli F = σ(c), to F Ω 0 = σ(c Ω 0 ). 3

4 1. Przestrzenie z miarą Zbiory borelowskie 1.6 Definicja Podzbiory borelowskie IR 1 to elementy σ-algebry generowanej przez podzbiory otwarte (równoważnie: domknięte) prostej. σ-algebrę zbiorów borelowskich oznaczamy symbolem B 1. 1.7 Fakt Niech S 1 = {(, a] ; a IR 1 }, I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 }. Wtedy B 1 = σ(s 1 ) = σ(i 1 ). 1.8 Zadanie Pokazać, że Fakt 1.7 pozostaje prawdziwy, jeśli klasę S 1 zastąpić przez C = {(, q] ; q Q}. Algebry Boole a zbiorów 1.9 Definicja Algebrą Boole a zbiorów nazywamy rodzinę A spełniającą następujące warunki. A0), Ω A. A1) Jeżeli A A, to również A c A. A2) Jeżeli A, B A, to A B A. Najmniejszą algebrę zawierającą daną klasę zbiorów C nazywamy algebrą generowaną przez klasę C i oznaczamy przez a(c). 1.10 Zadanie Niech C będzie rodziną podzbiorów zbioru Ω. Określamy kolejne klasy pochodne. C 1 = C {, Ω} {C c ; C C}. C 2 = { skończone przekroje zbiorów z klasy C 1 }. C 3 = {sumy skończone rozłącznych elementów z klasy C 2 }. Pokazać, że C 3 = a(c). 1.11 Wniosek Jeżeli C jest skończona, to a(c) jest skończona. Jeżeli C jest przeliczalna, to a(c) jest przeliczalna.

Dwie konwencje 5 Dwie konwencje 1.12 Umowa IR + = {x IR 1 ; x 0}. IR + = IR + {+ }. Niech a IR +. Rozszerzamy zwykłe działania na zbiór IR +. 0 + = 0, a + = +, a 0, + + a = +, + a = +, a +. 1.13 Umowa Niech A 1, A 2,... Ω. Operacja j A j określona jest tylko dla zbiorów parami rozłącznych i oznacza zwykłą sumę j A j. Definicja miary 1.14 Definicja Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną. Miarą na (Ω, F) nazywamy funkcję µ : F IR + spełniającą następujące warunki. M0) µ( ) = 0. M1) Jeżeli A 1, A 2,... F są parami rozłączne, to µ( A j ) = µ(a j ). j=1 j=1 (własność σ-addytywności miary). 1.15 Definicja Miarę µ nazywamy probabilistyczną lub unormowaną, jeśli µ(ω) = 1. 1.16 Definicja Miara µ jest skończona, jeśli µ(ω) < +. 1.17 Definicja Miara µ jest σ-skończona, jeśli istnieją zbiory A 1, A 2,... F, takie że Ω = j=1 A j i µ(a j ) < +, j = 1, 2,.... 1.18 Definicja Trójkę (Ω, F, µ), gdzie (Ω, F) jest przestrzenią mierzalną, a µ jest miarą na (Ω, F), nazywamy przestrzenią z miarą.

6 1. Przestrzenie z miarą Przykłady 1. Niech Ω 0 Ω i niech F = 2 Ω. Określamy miarę liczącą elementy zbioru Ω 0 wzorem µ(a) = { #A Ω0 jeśli jest to zbiór skończony, + w przeciwnym przypadku. 2. Niech Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} będzie podzbiorem przeliczalnym zbioru Ω. Niech p 1, p 2,... IR +. Przyjmując z definicji 0, określamy µ(a) = {j ; ω j A} 1.19 Zadanie Obie funkcje określone powyżej sa miarami. Kiedy są one miarami probabilistycznymi, skończonymi, σ-skończonymi? p j. 1.20 Uwaga Udowodnimy później, że na (IR 1, B 1 ) istnieje dokładnie jedna miara l taka, że l((a, b]) = b a. Nazywamy ją miarą Lebesgue a. Funkcje skończenie addytywne 1.21 Definicja Skończenie addytywną nazywamy funkcję µ : F IR + spełniającą następujące warunki. FM0) µ( ) = 0. FM1) Jeżeli A, B F są rozłączne, to µ(a B) = µ(a) + µ(b). 1.22 Fakt Funkcja addytywna µ na F ma następujące własności: 1. Jeżeli A, B F, A B, to µ(a) µ(b). 2. Jeżeli A, B F, A B i µ(a) < +, to µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 3. Jeżeli A 1, A 2,..., A n F są parami rozłączne, to n n µ( A j ) = µ(a j ). j=1 j=1

Ciągłość z góry i ciągłość z dołu 7 4. (Własność subaddytywności) Dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n µ( A j ) µ(a j ). j=1 j=1 5. (Własność super-σ-addytywności) Jeżeli A 1, A 2,... F są parami rozłączne, to µ(a j ) µ( A j ). j=1 j=1 6. Jeżeli µ(ω) < +, to dla dowolnych A 1, A 2,..., A n F n n µ( A j ) = µ(a j ) j=1 j=1 µ(a i A j ) 1 i<j n + µ(a i A j A k ) 1 i<j<k n... + ( 1) n+1 µ(a 1 A 2... A n ). Ciągłość z góry i ciągłość z dołu 1.23 Fakt Niech µ : F IR + będzie miarą. Wówczas µ jest ciągła z góry, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące: A 1 A 2... i od pewnego miejsca mają miary skończone (µ(a j ) < + dla j j 0 ), to µ( j=1 A j ) = lim µ(a j ). j 1.24 Zadanie Podać przykład przestrzeni z miarą i zstępującego ciągu zbiorów A j, dla którego lim j µ(a j ) > µ( j=1 A j ). 1.25 Fakt Niech µ : F IR + będzie skończoną funkcją addytywną (µ(ω) < + ). Następujące warunki są równoważne: (i) µ jest miarą. (ii) µ jest ciągła z góry.

8 1. Przestrzenie z miarą (iii) µ jest ciągła z góry na zbiorze pustym, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są zstępujące: A 1 A 2... i j=1 A j =, to lim µ(a j ) = 0. j 1.26 Fakt Niech µ : F IR + będzie funkcją addytywną. Następujące warunki są równoważne: (i) µ jest miarą. (ii) µ jest sub-σ-addytywna, tzn. dla dowolnych A 1, A 2,... F µ( A j ) µ(a j ). j=1 j=1 (iii) µ jest ciągła z dołu, tzn. jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są wstępujące: A 1 A 2..., to µ( A j ) = lim µ(a j ). j j=1

2. Funkcje mierzalne Funkcje mierzalne 2.1 Definicja Funkcję f : (Ω, F) IR 1 nazywamy mierzalną, jeśli dla każdego a IR 1 {f a} = {ω ; f(ω) a} F. 2.2 Fakt Funkcja f : (Ω, F) IR 1 jest mierzalna wtedy, i tylko wtedy, gdy dla każdego B B 1 f 1 (B) F, tzn. f 1 (B 1 ) F. A w dowodzie: 2.3 Lemat f 1 (σ(c)) = σ(f 1 (C)). 2.4 Fakt Funkcja na (Ω, F) przyjmująca przeliczalny zbiór wartości jest mierzalna dokładnie wtedy, gdy dla każdego x IR 1 f 1 ({x}) F. W szczególności, funkcja charakterystyczna zbioru A Ω, określona wzorem { 1 jeśli ω A; I A (ω) = 0 jeśli ω A, jest mierzalna, wtedy i tylko wtedy, gdy A F. 2.5 Uwaga Często spotykane są również inne oznaczenia funkcji charakterystycznej zbioru A, np. I(A), 1I A lub χ A. Funkcje borelowskie 2.6 Definicja Mierzalną funkcję f : (IR 1, B 1 ) IR 1 nazywamy funkcją borelowską. 2.7 Zadanie Każda funkcja niemalejąca określona na IR 1 jest borelowska. 9

10 2. Funkcje mierzalne 2.8 Zadanie Każda funkcja ciągła określona na IR 1 jest borelowska. 2.9 Zadanie Złożenie funkcji mierzalnej z funkcją borelowską jest funkcją mierzalną. 2.10 Zadanie Suma, różnica, iloczyn itp. funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Funkcje numeryczne 2.11 Definicja Określamy prostą rozszerzoną IR 1 = IR 1 {, + }, B 1 = σ(b 1, { }, {+ }). W rozszerzonej prostej określamy w naturalny sposób działania (np. 0 ( ) = 0 (+ ) = 0), z wyjątkiem operacji +(+ ), + +( ) itp., które pozostają symbolami nieoznaczonymi. 2.12 Wniosek Odwzorowanie f : (Ω, F) IR 1 jest mierzalne dokładnie wtedy, gdy {f a} F dla każdego a IR 1. (Takie odwzorowanie nazywamy funkcją mierzalną numeryczną.) 2.13 Wniosek Niech f 1, f 2,... będzie ciągiem mierzalnych funkcji numerycznych określonych na (Ω, F). Funkcje numeryczne (sup n są mierzalne. f n )(ω) := sup{f n (ω) ; n IN}, (inf f n )(ω) := inf{f n (ω) ; n IN}, n 2.14 Wniosek Funkcje numeryczne (lim inf n są mierzalne. f n )(ω) := lim inf n f n (ω), (lim sup n f n )(ω) := lim sup f n (ω), n 2.15 Wniosek Granica punktowa ciągu mierzalnych funkcji numerycznych jest mierzalną funkcją numeryczną.

Funkcje numeryczne 11 2.16 Definicja Funkcję mierzalną nazywamy prostą, jeśli przyjmuje skończenie wiele wartości. 2.17 Wniosek Funkcja f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) jest prosta dokładnie wtedy, gdy istnieją liczby x 1, x 2,..., x m takie, że f 1 ({x j }) F, j = 1, 2,..., m, oraz m f(ω) = x j I f 1 ({x j })(ω). j=1 2.18 Wniosek Każda funkcja postaci m j=1 a j I Aj, gdzie A j F i a j IR 1 jest funkcja prostą. 2.19 Uwaga Rozważmy następujący przykład. Niech A, B F, A B i niech a b, b i a, b 0. Wówczas f = ai A + bi B = ai A\B + (a + b)i A B + bi B\A + 0I (A B) c. Funkcja prosta może więc posiadać wiele reprezentacji postaci m j=1 a j I Aj. 2.20 Twierdzenie Jeżeli f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) jest funkcja mierzalną, to istnieje ciąg f n funkcji prostych punktowo zbieżny do f. Jeżeli f jest nieujemna, to istnieje monotoniczny ciąg nieujemnych funkcji prostych punktowo zbieżny do f (0 f n f). Jeżeli f jest ograniczona, to istnieje ciąg funkcji prostych jednostajnie zbieżny do f.

12 2. Funkcje mierzalne

3. Definicja całki według Lebesgue a Definicja całki 3.1 Definicja Niech f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) będzie funkcją numeryczną i niech µ będzie miarą na (Ω, F). Będziemy określać całkę w sensie Lebesgue a funkcji f względem miary µ stopniowo, w kolejnych krokach rozszerzając definicję całki na coraz obszerniejsze klasy funkcji. Innymi słowy, całkę będziemy definiować przez indukcję mierzalną. Krok 1. Jeżeli f jest funkcją charakterystyczną zbioru, tzn. f = I A, A F, to f dµ := µ(a). Krok 2. Jeżeli f jest nieujemną funkcją prostą, tzn. f = m j=1 a j I Aj, a j 0, A j F, j = 1, 2,..., m, to m f dµ := a j µ(a j ). j=1 Uwaga: trzeba pokazać, że definicja nie zależy od reprezentacji funkcji prostej. Krok 3. Jeżeli f jest nieujemną funkcją numeryczną, to f dµ := sup{ s dµ ; 0 s f, s funkcja prosta }. f dµ := f + dµ Krok 4. Niech f + (ω) = max{f(ω), 0} i f (ω) = max{ f(ω), 0}. Jeżeli f + dµ < + lub f dµ < +, to f dµ ( IR 1 ). 3.2 Definicja Mówimy, że funkcja numeryczna f jest całkowalna, jeśli f + dµ < + i f dµ < + (równoważnie: f dµ < + ). W takim przypadku f dµ IR 1. 3.3 Uwaga Określona wyżej całka f dµ oznaczana będzie (w zależności od potrzeb) również symbolami Ω f(ω) µ(dω), Ω f(ω) dµ(ω) itp. 13

14 3. Definicja całki według Lebesgue a Własności całki 3.4 Twierdzenie Całka z numerycznych funkcji nieujemnych ma następujące własności. 1. Jeżeli 0 f g, to f dµ g dµ. 2. Jeżeli f 0, to f dµ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy µ{f > 0} = 0. 3. Jeżeli f, g 0 i a, b IR +, to (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ. 3.5 Twierdzenie Całka z numerycznych funkcji całkowalnych ma następujące własności. 1. Jeżeli f jest całkowalna, to µ{ f = + } = 0. 2. Jeżeli f, g są całkowalne i a, b IR 1, to całkowalna jest funkcja af +bg i ma miejsce równość (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ. 3.6 Fakt Jeżeli f 0, to funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ jest miarą na (Ω, F). Jeżeli f jest całkowalna, to funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ jest σ-addytywna na F. A A 3.7 Uwaga Określona wyżej funkcja zbioru A f dµ oznaczana będzie (w zależności od potrzeb) również symbolami A f(ω) µ(dω), A f(ω) dµ(ω) itp. Całka a równość prawie wszędzie 3.8 Uwaga Niech f i g będą funkcjami numerycznymi na (Ω, F). Oznaczmy N f = {ω ; f(ω) = + }, N g = {ω ; g(ω) = + }. Jeżeli f i g są całkowalne, to na mocy Twierdzenia 3.5, p. 1, µ(n f ) = µ(n g ) = 0. Wynika stąd, że na zbiorze N f N g suma f + g może nie być określona (np. może być postaci + + ( )). Jest jednak określona µ-prawie wszędzie, tzn. wszędzie poza zbiorem miary µ zero.

Całka z funkcji o wartościach zespolonych 15 3.9 Definicja Mówimy, że pewna własność (np. równość dwóch funkcji lub skończoność wartości funkcji) ma miejsce µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór N F, µ(n) = 0, taki że rozważana własność ma miejsce już dla wszystkich ω / N. (Np. f n f 0 µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór Ω 0 F taki, że µ(ω c 0 ) = 0 i dla każdego ω Ω 0, f n (ω) f 0 (ω)). 3.10 Fakt Jeżeli f = g µ-prawie wszędzie i f jest całkowalna, to g też jest funkcją całkowalną i f dµ = g dµ. 3.11 Wniosek Całka jest funkcją klasy funkcji równych prawie wszędzie. Całka z funkcji o wartościach zespolonych 3.12 Uwaga O całkowaniu funkcji o wartościach zespolonych. Jeśli zauważyć, że można utożsamić C z IR 2, mierzalność funkcji f : (Ω, F) (C, B C ) oznacza jednoczesną mierzalność części rzeczywistej Rf i części urojonej If. Z definicji, f : (Ω, F) (C, B C ) jest całkowalna, jeśli całkowalne są Rf i If, i wtedy f dµ := Rf dµ + i If dµ. Można pokazać, że tak określona całka ma zwykłe własności, tzn. jest liniowa i f dµ f dµ.

16 3. Definicja całki według Lebesgue a

4. Całkowanie ciągów funkcyjnych Tw. Lebesgue a o zbieżności monotonicznej 4.1 Uwaga Wszystkie ciągi funkcji numerycznych rozważane w tym paragrafie sa określone na wspólnej przestrzeni z miarą (Ω, F, µ). 4.2 Twierdzenie (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli 0 f 1 f 2..., to lim f n dµ = lim f n dµ. n n 4.3 Twierdzenie (O całkowaniu szeregów o wyrazach nieujemnych) Jeżeli f 1, f 2,... 0, to f j dµ = f j dµ. j=1 j=1 W szczególności, szereg j=1 f j zbieżny jest szereg j=1 fj dµ. jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, gdy 4.4 Wniosek Jeżeli j=1 fj dµ < +, to szereg funkcyjny j=1 f j jest zbieżny µ-prawie wszędzie. Lemat Fatou 4.5 Twierdzenie (Lemat Fatou) Jeżeli f 1, f 2,... 0, to lim inf n f n dµ lim inf n 17 f n dµ.

18 4. Całkowanie ciągów funkcyjnych Tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej 4.6 Twierdzenie (Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej) Przypuśćmy, że f n f 0 µ-prawie wszędzie. Jeżeli istnieje funkcja g całkowalna i taka, że dla każdego n IN f n g µ-prawie wszędzie, to: 1. f 0 jest całkowalna; 2. f n dµ f 0 dµ. 4.7 Zadanie Podać przykład ciągu funkcyjnego f n na [0, 1], który jest zbieżny wszędzie do f 0 0, ale dla którego lim n 1 0 f n(x) dx 0. (całka oznacza zwykłą całkę Riemanna) 4.8 Uwaga Przypomnijmy definicję miary liczącej w szczególnym przypadku Ω 0 = Ω = IN. Niech F = 2 IN. Określamy miarę liczącą elementy podzbiorów zbioru IN wzorem { #A jeśli jest to zbiór skończony, Λ(A) = + w przeciwnym przypadku. Można łatwo pokazać, że na przestrzeni (IN, 2 IN, Λ) funkcje mierzalne to ciągi liczbowe {a n }, funkcje mierzalne numeryczne to ciągi przyjmujące również wartości + i, a ciąg {a n } jest całkowalny względem miary Λ dokładnie wtedy, gdy n=1 a n < +, przy czym a n dλ(n) = a n. IN n=1 4.9 Zadanie Niech dla każdego n IN będzie dany szereg zbieżny k=1 a n,k. Przypuśćmy, że dla każdego k IN, lim n a n,k = a k. Na podstawie twierdzeń Lebesgue a o zbieżności monotonicznej i majoryzowanej, podać dwa kryteria dla zbieżności Rozkład Hahna lim a n,k = a k. n k=1 k=1 4.10 Fakt Niech f będzie mierzalna i całkowalna na (Ω, F, P ). Wówczas funkcja zbioru F A f dµ := fi A dµ =: µ f (A), jest σ-addytywna. A

Różniczkowanie pod znakiem całki 19 4.11 Uwaga Jeżeli f = f + f, to µ f (A) = µ f +(A) µ f (A), gdzie µ f + i µ f są już miarami skończonymi. Przy tym µ f +(A) = µ f (A {f 0}), µ f (A) = µ f (A {f < 0}). Jest to przykład tzw. rozkładu Hahna. 4.12 Twierdzenie (Rozkład Hahna) Jeżeli ν jest ograniczoną funkcją σ-addytywną na (Ω, F), to istnieje zbiór B F oraz miary skończone ν + i ν, takie że dla każdego A F ν(a) = ν + (A) ν (A), ν + (A) = ν(a B), ν (A) = ν(a B c ). Różniczkowanie pod znakiem całki 4.13 Twierdzenie (O różniczkowaniu pod znakiem całki) Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech f : (a, b) Ω IR 1 spełnia następujące warunki. 1. Dla każdego t (a, b) funkcja f(t, ) jest mierzalna na (Ω, F) i całkowalna względem miary µ, tak że określona jest funkcja (a, b) t F (t) = f(t, ω) dµ(ω). 2. Dla prawie wszystkich ω Ω funkcja f(, ω) jest różniczkowalna na całym odcinku (a, b). 3. Istnieje funkcja całkowalna g : (Ω, F, µ) (IR 1, B 1 ) spełniająca dla µ-p.w. ω warunek sup f (s, ω) t g(ω). s (a,b) Wówczas funkcja F jest różniczkowalna na (a, b) i dla t 0 (a, b) df f dt (t 0) = t (t 0, ω) dµ(ω).

20 4. Całkowanie ciągów funkcyjnych

5. Całka Riemanna a całka Lebesgue a Całka Riemanna a całka Lebesgue a 5.1 Twierdzenie (Całka Riemanna a całka Lebesgue a) Niech f : [a, b] IR 1 będzie ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna. Wówczas istnieje funkcja borelowska f, prawie wszędzie na [a, b] (względem miary Lebesgue a) równa f i całkowalna względem miary Lebesgue a, przy czym [a,b] f dl = b a f(x) dx. (Po lewej stronie mamy całkę Lebesgue a po zbiorze [a, b], a po prawej całkę Riemanna). Co więcej, f jest l-prawie wszędzie ciągła na [a, b], tzn. l{x [a, b] ; f nie jest ciągła w x} = 0. 5.2 Zadanie Podać przykład funkcji całkowalnej w sensie Riemanna na zbiorze niezwartym, która nie jest całkowalna w sensie Lebesgue a na tym zbiorze. 5.3 Zadanie Podać przykład, że twierdzenie Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej nie jest prawdziwe dla całki Riemanna. Zupełność i uzupełnienie przestrzeni z miarą 5.4 Uwaga Jeżeli f jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to jest równa prawie wszędzie funkcji borelowskiej, i wydaje się naturalne, żeby przyjąć b f dl = f(x) dx. [a,b] Jednak f nie musi być mierzalna względem σ-algebry zbiorów borelowskich. Powstaje pytanie, czy potrafimy umiejscowić całkowanie takich funkcji w ramach rozwiniętego formalizmu. Okazuje się, że tak. Pomocna okazuje się obserwacja, że takie funkcje spełniają warunek z poniższego twierdzenia, są więc mierzalne względem pewnego naturalnego rozszerzenia σ-algebry B 1. 21 a

22 5. Całka Riemanna a całka Lebesgue a 5.5 Twierdzenie Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech F będzie rodziną zbiorów postaci B N, gdzie B F, a N jest zbiorem µ-zerowym, tzn. istnieje nadzbiór C zbioru N, który jest mierzalny i ma miarę zero: N C, C F, µ(c) = 0. Wówczas F jest σ-algebrą. Co więcej, funkcja f jest mierzalna względem F dokładnie wtedy, gdy f = g + h, gdzie g jest funkcją F-mierzalną, a funkcja h ma następującą własność: istnieje zbiór C F taki, że µ(c) = 0 oraz (tzn. zbiór {h 0} jest µ-zerowy). C {ω ; h(ω) 0}. 5.6 Definicja Jeżeli (Ω, F, µ) jest przestrzenią z miarą, to przestrzeń (Ω, F, µ), gdzie F jest określona wyżej, a rozszerzenie miary µ jest zadane wzorem µ(b N) := µ(b), nazywamy uzupełnieniem przestrzeni (Ω, F, µ). Jeżeli F = F, to mówimy, że przestrzeń (Ω, F, µ) jest zupełna. Miara Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a 5.7 Definicja Rozważmy przestrzeń (IR 1, B 1, l) (która nie jest przestrzenią zupełną). Elementy σ-algebry uzupełnionej B 1 nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a i oznaczamy L 1. Miarę rozszerzoną na L 1 nadal będziemy oznaczać l = l 1. 5.8 Uwaga Zbiorów lebegowskich jest 2 c (bo istnieje zbiór borelowski mocy c, który ma miarę Lebesgue a zero), ale przy założeniu pewnika wyboru można pokazać istnienie zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue a. 5.9 Wniosek Miara Lebesgue a na IR 1 jest jedyną miarą zupełną określoną na σ-algebrze podzbiorów IR 1 i spełniającą związek: l((a, b]) = b a, a < b, a, b IR 1. 5.10 Wniosek Funkcja ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna jest mierzalna w sensie Lebesgue a.

6. Zagadnienie przedłużenia miary Schemat konstrukcji miary Nasz schemat konstrukcji miar będzie następujący: 1. Na pewnej klasie (półpierścieniu) zbiorów R 2 Ω, mamy zadaną, na ogół w naturalny sposób, funkcję µ 0 : R IR +, która jest σ- addytywna na R. 2. Za pomocą funkcji µ 0 konstruujemy miarę zewnętrzną µ, określoną na wszystkich podzbiorach zbioru Ω. 3. Stosujemy konstrukcję Caratheodory ego, która wyróżnia σ-algebrę F µ zbiorów µ -mierzalnych. Miara zewnętrzna µ na F µ jest już σ- addytywna, tzn. jest już miarą. 4. Korzystając z σ-addytywności µ 0 na R sprawdzamy, że (a) R F µ, a więc i σ(r) F µ. (b) µ = µ 0 na R, a więc µ = µ σ(r) jest przedłużeniem funkcji µ 0 do miary µ na σ(r). 5. Stosując lemat o λ- i π-układach uzyskujemy jednoznaczność przedłużenia µ 0 do µ. 6. Korzystając z twierdzenia o pokryciu mierzalnym wnioskujemy, że przestrzeń (Ω, F µ, µ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (Ω, σ(r), µ). Półpierścień zbiorów 6.1 Definicja Półpierścieniem zbiorów nazywamy rodzinę R 2 Ω spełniającą następujące warunki. SR0) R. SR1) Jeżeli A, B R, to A B R. SR2) Jeżeli A, B R, A B, to istnieją parami rozłączne elementy C 1, C 2,..., C m R takie, że m B \ A = C j. j=1 23

24 6. Zagadnienie przedłużenia miary 6.2 Uwaga Może nie istnieć najmniejszy półpierścień zawierający daną klasę zbiorów C. 6.3 Przykład Rodzina jest półpierścieniem generatorów B 1. I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 } Addytywność na półpierścieniu 6.4 Definicja Niech µ 0 : R IR + będzie określona na półpierścieniu R. Mówimy, że µ 0 jest addytywna, jeśli µ( ) = 0 i dla każdego układu parami rozłącznych elementów A 1, A 2,..., A m R, takiego że m j=1 A j R, ma miejsce równość m m µ 0 ( A j ) = µ 0 (A j ). j=1 Mówimy, że funkcja µ 0 jest σ-addytywna na R, jeśli µ( ) = 0 i dla każdego układu parami rozłącznych elementów A 1, A 2,... R, takiego że j=1 A j R, ma miejsce równość j=1 µ 0 ( A j ) = µ 0 (A j ). j=1 j=1 Twierdzenie o przedłużeniu miary 6.5 Twierdzenie Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na półpierścieniu R. Wówczas istnieje miara µ określona na σ(r), taka że µ(a) = µ 0 (A), A R (tzn. funkcję µ 0 można rozszerzyć z R do miary na σ(r)). Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego 6.6 Definicja Miarą zewnętrzną na Ω nazywamy funkcję µ : 2 Ω IR + spełniającą następujące warunki. MZ0) µ ( ) = 0. MZ1) Jeżeli A B, to µ (A) µ (B). MZ2) Jeżeli A 1, A 2,... Ω, to µ ( A j ) µ (A j ). j=1 j=1

Miara zewnętrzna i konstrukcja Caratheodory ego 25 6.7 Definicja Niech µ będzie miara zewnętrzną na Ω. Zbiór A Ω nazywamy µ -mierzalnym, jeśli dla każdego zbioru E Ω µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ). Rodzinę zbiorów µ -mierzalnych oznaczać będziemy symbolem F µ. 6.8 Twierdzenie (Caratheodory) Jeżeli µ jest miarą zewnętrzną na Ω, to F µ jest σ-algebrą, a µ obcięta do F µ jest miarą. 6.9 Fakt Niech C 2 Ω, C. Niech η : C IR + będzie takie, że η( ) = 0. Określamy µ (A) = inf{ η(c j ) ; A C j, C j C}. j=1 (Kres dolny wzięty jest po wszystkich przeliczalnych pokryciach zbioru A elementami klasy C. Jeżeli takie pokrycie zbioru A nie istnieje, to z definicji µ (A) = + ). Funkcja µ określona powyżej jest miarą zewnętrzną na Ω. 6.10 Uwaga Niech R będzie półpierścieniem. Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na R. Funkcja zbioru j=1 µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R} j=1 j=1 jest miarą zewnętrzną. W istocie, σ-addytywność funkcji µ 0 pozwala ograniczyć się w powyższej definicji do przeliczalnych pokryć sumami parami rozłącznych elementów R: µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R, A i A j =, i, j IN}. j=1 j=1

26 6. Zagadnienie przedłużenia miary

π układy 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia 7.1 Definicja π-układem nazywamy klasę podzbiorów zbioru Ω zamkniętą ze względu na przekroje skończone. 7.2 Przykłady 1. Półpierścień jest π-układem. W szczególności rodzina I 1 = {(a, b] ; a < b, a, b IR 1 } jest π-układem generatorów σ-algebry B 1. 2. Rodzina S 1 = {(, a] ; a IR 1 } jest π-układem generatorów σ- algebry B 1. λ układy 7.3 Definicja λ-układem nazywamy klasę podzbiorów Λ zbioru Ω spełniającą następujące warunki. LU0) Λ. LU1) Jeżeli A, B Λ i A B, to B \ A Λ. LU2) Jeżeli A 1, A 2,... Λ są parami rozłączne, to j=1 A j Λ. Najmniejszy λ-układ zawierający daną klasę zbiorów C oznaczać będziemy λ(c). 7.4 Przykłady 1. Niech µ i ν będą dwiema skończonymi miarami na (Ω, F). Wówczas rodzina Λ µ,ν = {A F ; µ(a) = ν(a)} jest λ-układem. 2. Jeśli µ i ν są miarami probabilistycznymi, to Ω Λ µ,ν. 27

28 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia Lemat o λ i π układach 7.5 Twierdzenie Jeżeli C jest π-układem, to λ(c) też jest π-układem. Jeżeli ponadto Ω C, to λ(c) = σ(c). 7.6 Uwaga Twierdzenie 7.5 zwykle nazywane jest lematem Dynkina o λ- i π-układach. W istocie udowodnione zostało ono przez Wacława Sierpińskiego już w latach dwudziestych. Jednoznaczność przedłużenia 7.7 Wniosek Jeżeli C jest π-układem generatorów σ-algebry F, a µ i ν sa miarami probabilistycznymi równymi na C, to µ = ν na F. 7.8 Wniosek Jeżeli C jest π-układem generatorów σ-algebry F, a µ i ν sa miarami skończonymi równymi na C, przy czym µ(ω) = ν(ω), to µ = ν na F. 7.9 Zadanie Podać przykład dwóch miar nieskończonych, dla których nie jest prawdziwy Wniosek 7.8. 7.10 Wniosek Niech σ-algebra F będzie generowana przez π-układ C. Niech µ i ν będą miarami na (Ω, F). Przypuśćmy, że miara µ jest σ-skończona względem C, tzn. istnieją zbiory C 1, C 2,... C, takie że Ω = j=1 C j i µ(c j ) < +, j = 1, 2,.... Jeżeli µ = ν na C, to µ = ν na F. Zupełność F µ Niech R będzie półpierścieniem. Niech µ 0 : R IR + będzie σ-addytywna na R. Funkcja zbioru µ (E) = inf{ µ 0 (A j ) ; E A j, A j R, A i A j =, i, j IN}. j=1 j=1 jest miarą zewnętrzną. Wiemy już, że µ jest przedłużeniem funkcji µ 0 z półpierścienia R do miary na σ-algebrze F µ σ(r). Pytamy o strukturę elementów F µ.

Twierdzenie o pokryciu mierzalnym 29 Twierdzenie o pokryciu mierzalnym 7.11 Twierdzenie Niech µ (E) < +. Wówczas istnieje zbiór F σ(r) (nazywany pokryciem mierzalnym E), taki że E F i µ (F ) = µ (E). 7.12 Wniosek Jeżeli E F µ, µ (E) < +, to istnieją zbiory F, C σ(r) oraz N C, takie że E = F N i µ (C) = 0. 7.13 Wniosek Jeżeli µ 0 : R IR + jest σ-skończona, to (Ω, F µ, µ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (Ω, σ(r), µ ).

30 7. Jednoznaczność i zupełność przedłużenia

8. Miara Lebesgue a Miara Lebesgue a na IR 1 8.1 Fakt Niech l 0 : I 1 IR + będzie długością odcinka: Funkcja l 0 jest σ-addytywna na I 1. l 0 ((a, b]) = b a. 8.2 Twierdzenie Istnieje dokładnie jedna miara l określona na σ-algebrze L 1 podzbiorów IR 1 o następujących własnościach: (i) l((a, b]) = b a, a < b, a, b IR 1. (ii) (IR 1, L 1, l) jest uzupełnieniem przestrzeni (IR 1, B 1, l). Proszę podać twierdzenia, z których korzysta się w konstrukcji miary Lebesgue a. 8.3 Definicja Miarę l, o której mowa w powyższym twierdzeniu, nazywamy miarą Lebesgue a, a elementy σ-algebry L 1 zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a. 8.4 Zadanie Wskazać nieprzeliczalny zbiór o mierze Lebesgue a zero. Wywnioskować stąd, że moc σ-algebry L 1 zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a wynosi 2 c. 8.5 Umowa Dla liczby rzeczywistej r i podzbioru E IR 1 określamy: E + r = {x + r ; x e}, r E = {r x ; x E}. 8.6 Fakt Niech E L 1. Dla dowolnego r IR 1, zbiory E + r i r E są mierzalne w sensie Lebesgue a i mają miejsce równości l(e + r) = l(e), l(r E) = r l(e). 31

32 8. Miara Lebesgue a 8.7 Fakt Przy założeniu pewnika wyboru istnieje podzbiór IR 1, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue a. 8.8 Uwaga Miarę Lebesgue a na IR d można skonstruować w sposób podobny jak l, bezpośrednio stosując twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności przedłużenia do d-wymiarowej objętości V d ((a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ]) = Π d i=1(b i a i ). Wybierzemy odmienną drogę, szczególnie ważną dla teorii prawdopodobieństwa. Produkt przestrzeni mierzalnych 8.9 Definicja Niech (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ) będą przestrzeniami mierzalnymi. 1. Prostokątem mierzalnym nazywamy zbiór postaci A 1 A 2, gdzie A 1 F 1, A 2 F 2. Rodzinę prostokątów mierzalnych oznaczamy F 1 F 2. 2. Produktem σ-algebr F 1 i F 2 nazywamy σ-algebrę podzbiorów Ω 1 Ω 2 generowaną przez prostokąty mierzalne. Oznaczamy tę σ-algebrę symbolem F 1 F 2. Mamy więc z definicji: F 1 F 2 = σ(f 1 F 2 ). 3. Produktem przestrzeni mierzalnych (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ) nazywamy przestrzeń (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ). 8.10 Lemat Prostokąty mierzalne tworzą półpierścień (generatorów σ-algebry F 1 F 2 ). 8.11 Twierdzenie Niech (Ω 1, F 1, µ 1 ) i (Ω 2, F 2, µ 2 ) będą przestrzeniami z miarą. 1. Istnieje miara ν na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) spełniająca warunek ν(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 ) µ 2 (A 2 ), A 1 F 1, A 2 F 2. 2. Jeżeli µ 1 i µ 2 są σ-skończone, to miara ν jest jedyna.

Produkt miar 33 Produkt miar 8.12 Definicja Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Produktem miar µ 1 i µ 2 nazywamy jedyną miarę µ 1 µ 2 na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) zadaną wzorem µ 1 µ 2 (A 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 ) µ 2 (A 2 ), A 1 F 1, A 2 F 2. Przestrzeń (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2, µ 1 µ 2 ) nazywamy produktem przestrzeni z miarą (Ω 1, F 1, µ 1 ) i (Ω 2, F 2, µ 2 ). 8.13 Uwaga Produkt zupełnych przestrzeni z miarą nie musi być przestrzenią zupełną. Miara Lebesgue a na IR d 8.14 Definicja Miarą Lebesgue a na IR d nazywamy uzupełnienie miary produktowej l d = l 1 l 1 l 1. Miara Lebesgue a na IR d zadana jest na σ-algebrze L d podzbiorów IR d mierzalnych w sensie Lebesgue a, która określona jest jako uzupełnienie σ-algebry produktowej L 1 L 1 L 1 względem miary produktowej. 8.15 Uwagi 1. Miarę Lebesgue a na IR d oznaczać będziemy tym samym symbolem l d, co produkt l 1 l 1 l 1. 2. Można pokazać, że uzupełniając przestrzeń produktową (IR d, d B 1, l d ) również otrzymujemy miarę Lebesgue a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a na IR d (tutaj punktem wyjściowym jest produkt niezupełnych przestrzeni z miarą (IR 1, B 1, l)). 3. σ-algebrę produktową d B 1 = B 1... B 1 oznaczać będziemy B d. Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku d = 1, B d jest generowana przez podzbiory otwarte IR d. Dlatego σ-algebrę B d nazywamy σ-algebrą podzbiorów borelowskich IR d. 8.16 Zadanie Pokazać, że rodzina S d = {(, a 1 ] (, a 2 ] (, a d ] ; a j IR 1, j = 1, 2,..., d} jest π układem generatorów B d. 8.17 Zadanie Pokazać, że rodzina I d = {(a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ] ; a i < b i, a i, b i IR 1, i = 1, 2,..., d} jest półpierścieniem generatorów B d.

34 8. Miara Lebesgue a

9. Twierdzenie Fubiniego Twierdzenie Tonellego 9.1 Umowa Dla funkcji numerycznej f : (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ) (IR 1, B 1 ) określamy cięcia: f ω 1 ( ) = f(ω 1, ) : (Ω 2, F 2 ) (IR 1, B 1 ), f ω2 ( ) = f(, ω 2 ) : (Ω 1, F 1 ) (IR 1, B 1 ). 9.2 Twierdzenie Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Niech f będzie nieujemną funkcją numeryczną na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ). Wówczas Ω 1 Ω 2 f d(µ 1 µ 2 ) = = Twierdzenie Fubiniego Ω 1 Ω 2 ( ) f ω 1 (ω 2 ) dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 ) Ω ( 2 ) f ω2 (ω 1 ) dµ 1 (ω 1 ) dµ 2 (ω 2 ). Ω 1 9.3 Twierdzenie Niech µ 1 i µ 2 będą σ-skończonymi miarami na przestrzeniach mierzalnych odpowiednio (Ω 1, F 1 ) i (Ω 2, F 2 ). Niech f będzie funkcją numeryczną na (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 ). Jeżeli f d(µ 1 µ 2 ) < +, to istnieją całki iterowane ( ) f ω 1 (ω 2 ) dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 ), Ω 2 Ω 1 ( ) f ω2 (ω 1 ) dµ 1 (ω 1 ) dµ 2 (ω 2 ), Ω 1 Ω 2 są one równe, i ich wspólna wartość wynosi Ω 1 Ω 2 f d(µ 1 µ 2 ). 9.4 Uwaga W twierdzeniu Fubiniego założenie o całkowalności funkcji f można sprawdzić stosując twierdzenie Tonellego. 9.5 Umowa Podobnie, jak w przypadku d = 1, d-wymiarowa całka w sensie Riemanna pokrywa się z całką w sensie Lebesgue a, jeśli tylko funkcja i zbiór 35

36 9. Twierdzenie Fubiniego po którym całkujemy są dostatecznie regularne (np. gdy funkcja jest ciągła i ograniczona). Dlatego będziemy używać standardowych oznaczeń V f dl d = V f(x) dx, gdzie x = (x 1, x 2,..., x d ) i dx = dx 1 dx 2... dx d. Zmiana zmiennych w całce Lebesgue a 9.6 Twierdzenie Niech V będzie zbiorem otwartym w IR d i niech f : V IR 1 będzie funkcją mierzalną. Jeżeli T : U T U = V jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych (tzn. odwzorowanie T jest klasy C 1, jest różnowartościowe i det DT (x) 0 dla x U), to całki V f(y) dy i U f(t (x)) det DT (x) dx istnieją jednocześnie, i jeśli istnieją, to są równe: f(y) dy = f(t (x)) det DT (x) dx. V U 9.7 Uwaga Z tzw. twierdzenia Sarda wynika, że twierdzenie o zmianie zmiennych pozostaje prawdziwe przy następujących słabszych założeniach. 1. T jest klasy C 1. 2. T jest różnowartościowe na zbiorze {x ; det DT (x) 0}.

10. Przestrzenie funkcji całkowalnych Przestrzeń L 1 (µ) 10.1 Definicja Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Określamy przestrzeń funkcji całkowalnych. L 1 (Ω, F, µ) = L 1 (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f dµ < + }. Niech f g oznacza, że f = g µ-prawie wszędzie. Relacja jest relacją równoważności w L 1 (µ). Określamy przestrzeń L 1 (µ) jako przestrzeń ilorazową L 1 (µ)/. 10.2 Lemat Niech f 1 = f dµ. Nieujemna funkcja 1 jest półnormą na przestrzeni L 1 (µ), tzn. spełnia następujące dwa warunki. 1. f + g 1 f 1 + g 1, f, g L 1 (µ). 2. a f 1 = a f 1, f L 1 (µ), a IR 1. 10.3 Uwaga Funkcja 1 nie jest na ogół normą, gdyż f 1 = 0 pociąga jedynie f = 0 µ-prawie wszędzie. Stąd jednak wynika, że określając funkcję 1 : L 1 (µ) IR + wzorem [f] 1 = f 1, definiujemy normę na L 1 (µ). 10.4 Twierdzenie Przestrzeń (L 1 (µ), 1 ) jest zupełna (tzn. każdy ciąg Cauchy ego w normie 1 jest zbieżny). Przestrzeń ta jest więc tzw. przestrzenią Banacha. Przestrzeń L 2 (µ) 10.5 Definicja Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą. Określamy przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem. L 2 (Ω, F, µ) = L 2 (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f 2 dµ < + }. Podobnie jak w przypadku przestrzeni L 1, określamy L 2 (µ) jako przestrzeń ilorazową L 2 (µ)/, gdzie f g dokładnie wtedy, gdy f = g µ-prawie wszędzie. 37

38 10. Przestrzenie funkcji całkowalnych 10.6 Lemat Niech f, g = f g dµ i f 2 = f 2 dµ. Funkcja f, g jest formą dwuliniową i symetryczną, a 2 jest półnormą na przestrzeni L 2 (µ). Tak więc określając [f], [g] = f, g otrzymujemy iloczyn skalarny na przestrzeni L 2 (µ). 10.7 Uwaga Dla funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach zespolonych iloczyn skalarny w L 2 (µ) zadajemy wzorem f, g = fg dµ. 10.8 Twierdzenie Przestrzeń (L 2 (µ), 2 ) jest zupełna (jest więc przestrzenią Hilberta). 10.9 Przykład Jeżeli µ jest miarą Lebesgue a na IR d, to odpowiednie przestrzenie funkcyjne oznaczamy symbolami L 1 (IR d ) i L 2 (IR d ). Podobnie, jeśli rozważamy miarę Lebesgue a na podzbiorze A IR d, piszemy L 2 (A), np. L 2 (0, 1), L 2 (0, 2π) itp. 10.10 Zadanie Pokazać (wskazując odpowiednie przykłady), że L 1 (IR 1 ) L 2 (IR 1 ) i L 2 (IR 1 ) L 1 (IR 1 ). 10.11 Przykład Niech Λ będzie miarą liczącą na IN. Przestrzeń L 1 (Λ) = {f : IN IR 1 ; j=1 f(j) < + } oznaczamy przez l 1. Podobnie, przestrzeń L 2 (Λ) = {f : IN IR 1 ; j=1 f(j) 2 < + } oznaczamy przez l 2. 10.12 Zadanie Pokazać, że l 1 l 2, i że l 2 l 1. 10.13 Zadanie Pokazać, że jeśli µ jest miarą skończoną, to L 2 (µ) L 1 (µ).

11. Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe Przestrzenie L p (µ) 11.1 Definicja Przestrzeń L p (µ), 0 < p < +, dla przestrzeni z miarą (Ω, F, µ) określamy jako L p (µ) = {f : (Ω, F) (IR 1, B 1 ) ; f p dµ < + }. Podobnie jak w przypadku przestrzeni L 1 i L 2, określamy L p (µ) jako przestrzeń ilorazową L p (µ)/, gdzie f g wtedy, gdy f = g µ-prawie wszędzie. 11.2 Uwagi 1. Dla 0 < p < 1, przestrzenie L p (µ) są zupełnymi przestrzeniami metrycznymi z metryką d p (f, g) = f g p dµ. 2. Dla 1 p < +, przestrzenie L p (µ) są zupełnymi przestrzeniami unormowanymi (przestrzeniami Banacha) z normą określoną wzorem ( f p = f p dµ) 1/p. Fakt, że tak określona funkcja spełnia nierówność trójkąta nie jest oczywisty. Nierówność Minkowskiego 11.3 Fakt Niech p [1, ). Jeżeli f p, g p < +, to f + g p f p + g p. 39

40 11. Przestrzenie L p (µ) i nierówności całkowe Nierówność Höldera 11.4 Fakt Niech p, q > 1 będą takie, że 1 p + 1 q = 1. Dla dowolnych funkcji numerycznych na (Ω, F, µ) ( f g dµ ) 1/p ( f p dµ g q dµ) 1/q. 11.5 Wniosek Jeżeli f L p (µ) i g L q (µ), gdzie 1/p + 1/q = 1, to f g L 1 (µ). 11.6 Uwaga Można pokazać, że nierówność Höldera wynika z nierówności Jensena. Nierówność Jensena 11.7 Fakt Niech φ : IR 1 IR 1 będzie funkcją wypukłą. Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (IR 1, B 1 ) taką, że x dµ(x) < +. Wówczas φ( x dµ(x)) φ(x) dµ(x). 11.8 Wniosek Jeżeli µ jest miarą probabilistyczną na IR 1 i 0 < p r < +, to ( ) r ( ) p. x p dµ(x) x r dµ(x)

12. Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi Podstawowe rodzaje zbieżności Ciągi funkcji mierzalnych rozważane w trakcie niniejszego wykładu są określone na wspólnej przestrzeni z miarą (Ω, F, µ). 12.1 Definicja Mówimy, że f n f 0 µ-prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór Ω 0 F taki, że µ(ω c 0 ) = 0 i dla każdego ω Ω 0, f n (ω) f 0 (ω). 12.2 Definicja Ciąg f n jest zbieżny do f 0 według miary, jeśli dla każdego ε > 0 µ{ω ; f n (ω) f 0 (ω) > ε} 0, gdy n +. Zapisujemy: f n µ f 0. 12.3 Definicja Zbieżność w L p, 0 < p < +, to zbieżność w przestrzeni L p (µ). Tak więc f n L p f 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f n f 0 p dµ 0, gdy n +. Podstawowe zależności 12.4 Fakt Jeżeli µ jest miarą skończoną, to zbieżność w L r, r > 0 pociąga zbieżność w L p, 0 < p r. 12.5 Fakt Zbieżność w L p, 0 < p < +, pociąga zbieżność według miary. 12.6 Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego według miary, ale nie w L 1. 12.7 Fakt Jeżeli miara µ jest skończona, to zbieżność µ-prawie wszędzie pociąga zbieżność według miary µ. 41

42 12. Rodzaje zbieżności funkcji mierzalnych i relacje między nimi 12.8 Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego µ-prawie wszędzie, który nie jest zbieżny według miary µ. 12.9 Zadanie Podać przykład ciągu zbieżnego według miary, ale nie prawie wszędzie. 12.10 Twierdzenie (Riesza-Fischera) Ciąg zbieżny według miary zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie. 12.11 Wniosek Każdy podciąg ciągu zbieżnego według miary zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie. 12.12 Twierdzenie (Wersja tw. Lebesgue a o zbieżności majoryzowanej) Przypuśćmy, że f n f 0 według miary µ. Jeżeli istnieje funkcja g L 1 (µ) taka, że dla każdego n IN f n g µ-prawie wszędzie, to: 1. f 0 jest całkowalna; 2. f n dµ f 0 dµ. 12.13 Wniosek Niech µ będzie miarą skończoną. Wówczas ciąg {f n } jest zbieżny według miary do f 0 wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podciągu {f nk } ciągu {f n } można znaleźć podciąg {f nkl } zbieżny do f 0 prawie wszędzie.

13. Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) Tak naprawdę był to wykład XXI! Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d ) 13.1 Twierdzenie W przestrzeniach L p (IR d ) funkcje gładkie (klasy C ) są gęste, tzn. dla każdej funkcji f L p (IR d ) i każdego ε > 0 istnieje funkcja f ε klasy C, całkowalna z p-tą potęgą, taka że IR d f(x) f ε (x) p dx < ε. Podstawowym narzędziem w dowodzie Twierdzenia 13.1 jest następujące 13.2 Twierdzenie (Lebesgue a) Niech f L p (IR d ). Wówczas funkcja IR d y g f (y) := f(x + y) f(x) p dx IR d jest jednostajnie ciągła na IR d. W szczególności IR d f(x + y) f(x) p dx 0, gdy y 0. Lemat Riemanna-Lebesgue a 13.3 Wniosek (Riemanna-Lebesgue a) Niech f L 1 (a, b). Wówczas b lim f(x)e 2iπnx dx = 0. n a 43

44 13. Gęstość funkcji gładkich w L p (IR d )

14. Charakterystyki zmiennych losowych Słowniczek teorii prawdopodobieństwa 14.1 Definicja Przestrzenią probabilistyczną nazywamy przestrzeń (Ω, F, P ) z miarą probabilistyczną (P (Ω) = 1). Elementy przestrzeni Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi, elementy σ-algebry F nazywamy zdarzeniami, a miarę P nazywamy prawdopodobieństwem. 14.2 Definicja Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy funkcję mierzalną X : (Ω, F) (IR 1, B 1 ). 14.3 Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, określonej na przestrzeni (Ω, F, P ), nazywamy całkę X względem P (jeśli istnieje). Zachowując tradycję oznaczamy EX := Ω X dp. 14.4 Definicja Momentem absolutnym rzędu p > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X) = E X p. 14.5 Definicja Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X) = Var (X) := E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. 14.6 Definicja Odchyleniem standardowym całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D(X) := Var (X) = E(X EX) 2. 45

46 14. Charakterystyki zmiennych losowych Rozkład zmiennej losowej 14.7 Definicja Niech X będzie zmienną losową na (Ω, F, P ). Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną P X na (IR 1, B 1 ) daną wzorem P X (A) := P X 1 (A) = P (X A). 14.8 Twierdzenie (O zmianie miary) Niech X : (Ω, F, P ) (IR 1, B 1 ) będzie zmienną losową o rozkładzie P X. Niech f : (IR 1, B 1 ) (IR 1, B 1 ) będzie funkcją borelowską. Wartość oczekiwana Ef(X) istnieje dokładnie wtedy, gdy istnieje całka IR 1 f(x) dp X (x). Jeśli te całki istnieją, to są równe: Ef(X) = f(x) dp X (x). IR 1 14.9 Wniosek Mają miejsce równości EX = x dp X (x), m p (X) = x p dp X (x), Var (X) = x 2 dp X (x) ( x dp X (x)) 2, itp. 14.10 Zadanie Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (IR 1, B 1 ). Wskazać zmienną losową X o rozkładzie P X = µ. 14.11 Definicja Miary probabilistyczne na (IR 1, B 1 ) nazywamy rozkładami na IR 1. 14.12 Uwaga Jeżeli µ jest rozkładem na IR 1, to fakt, że zmienna losowa X ma rozkład µ zapisujemy często w postaci X µ. Dystrybuanta zmiennej losowej 14.13 Definicja 1. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : IR 1 [0, 1] zadaną wzorem F X (x) = P (X x), x IR 1.

Mediana i kwantyle 47 2. Dystrybuantą rozkładu µ na IR 1 nazywamy funkcję F µ : IR 1 [0, 1] zadaną wzorem F µ (x) = µ((, x]), x IR 1. 14.14 Uwaga Oczywiście dystrybuanta zmiennej losowej jest dystrybuantą rozkładu tej zmiennej, jest więc w istocie funkcją rozkładu zmiennej losowej. Dlatego wystarczy badać tylko dystrybuanty rozkładów na IR 1. 14.15 Twierdzenie Niech µ i ν będą rozkładami na IR 1. Jeżeli F µ = F ν, to µ = ν. 14.16 Twierdzenie Niech µ będzie rozkładem na IR 1. Dystrybuanta F µ ma następujące własności: 1. F µ jest funkcją niemalejącą; 2. F µ jest prawostronnie ciągła; 3. lim x F µ (x) = 0, lim x + F µ (x) = 1. 14.17 Definicja Dystrybuantą nazywamy funkcję F : IR 1 [0, 1] spełniającą warunki 1.-3. z poprzedniego twierdzenia. 14.18 Twierdzenie Niech F będzie dystrybuantą. Istnieje dokładnie jeden rozkład µ na IR 1 taki, że F = F µ. Proszę podać kroki dowodu z odwołaniem się do odpowiednich twierdzeń teorii miary. Mediana i kwantyle 14.19 Definicja Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P (X x 1/2 ) 1/2, P (X x 1/2 ) 1/2. 14.20 Definicja Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P (X x p ) p, P (X x p ) 1 p. 14.21 Zadanie Przypuśćmy, że znamy dystrybuantę F X zmiennej losowej X. Jak znaleźć medianę i kwantyle tej zmiennej?

48 14. Charakterystyki zmiennych losowych

15. Klasyfikacja rozkładów na prostej Rozkłady dyskretne 15.1 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... IR 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P (X = x j ) = p j, j = 1, 2,.... 15.2 Fakt Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : IR 1 IR 1 Ef(X) = f(x) P X (dx) = f(x i )P (X = x i ) = f(x i )p i, i=1 i=1 przy czym całka istnieje dokładnie wtedy, gdy i=1 f(x i ) p i < +. 15.3 Fakt P X {x} = P (X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P (X = x). Rozkłady absolutnie ciągłe 15.4 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), jeśli dla każdego A B 1 P (X A) = A p(x) dx. (Wtedy p(x) 0 l-prawie wszędzie i p(x) dx = 1). 15.5 Fakt Gęstość rozkładu absolutnie ciągłego jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości l-prawie wszędzie. 15.6 Uwaga Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] 49

50 15. Klasyfikacja rozkładów na prostej Może się więc zdarzyć, że IR 1 F (x) dx < 1 (przykład!). Jeżeli IR 1 F (x) dx = 1, to rozkład odpowiadający dystrybuancie F jest absolutnie ciągły z gęstością p(x) = F (x). 15.7 Fakt Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji borelowskiej f : IR 1 IR 1 Ef(X) = f(x) P X (dx) = + f(x)p(x) dx, przy czym całka istnieje dokładnie wtedy, gdy + f(x) p(x) dx < +. Ogólna postać rozkładu 15.8 Definicja Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy, jeśli rozkład X jest ciągły (tzn. P (X = x) = 0 dla każdego x IR 1 ) oraz istnieje zbiór B B 1 miary Lebesgue a 0 taki, że P (X B) = 1. 15.9 Twierdzenie (Lebesgue a o rozkładzie) Niech µ będzie rozkładem na IR 1. Istnieją liczby α 1, α 2, α 3 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1, oraz rozkłady µ 1 - dyskretny, µ 2 - absolutnie ciągły i µ 3 - osobliwy, takie, że µ = α 1 µ 1 + α 2 µ 2 + α 3 µ 3. Przykłady 15.10 Przykłady rozkładów dyskretnych. 1. Rozkład zdegenerowany w punkcie C IR 1 albo miara delta Diraca δ C : P (X = C) = 1. 2. Rozkład 0 1 lub Bernoullego: P (X = 1) = p = 1 P (X = 0). 3. Rozkład dwumianowy: ( ) N P (X = k) = p k (1 p) N k, k = 0, 1, 2,..., N. k 4. Rozkład Poissona: P (X = k) = e λ λk, k = 0, 1, 2,.... k!

Przykłady 51 5. Rozkład geometryczny: P (X = k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,.... 15.11 Przykłady rozkładów absolutnie ciągłych. 1. Rozkład jednostajny na odcinku (a, b): p(x) = 1 b a I (a,b)(x). 2. Rozkład normalny N (m, σ 2 ) z parametrami m IR 1 i σ 2 > 0: p(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2. 3. Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. p(x) = λe λx I (0,+ ) (x). 4. Rozkłady gamma z parametrami α, λ > 0: p(x) = αλ Γ(λ) xλ 1 e αx I (0,+ ) (x). 5. Rozkład χ 2 z n stopniami swobody (χ 2 n), to rozkład gamma z parametrami α = n/2, λ = 1/2. 15.12 Zadanie Pokazać, że jeśli X N (0, 1), to X 2 χ 2 1. 15.13 Zadanie Niech zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x). Jakie warunki musi spełniać funkcja f : IR 1 IR 1, aby zmienna losowa f(x) miała rozkład absolutnie ciągły? Znaleźć postać gęstości. 15.14 Zadanie Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje rozkładów wymienionych w przykładach 15.10 i 15.11.