Uogólnion wktory własn m Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do wartości własnj λ4 macirzy A 4 5 3 3 Wktory własn do wartości własnj λ4: M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5- m 3 dt( A λ I) ( 3 λ )( 4 λ ) λ 3 λ λ 4 oraz,, 3 4 3 3 v + 3 4 4 Wybiramy v T a drugi wktor znajdujmy jako ortogonalny do v v v + v 3 T A więc do potrójnj wartości własnj λ4 istniją tylko dwa wktory własn. Jst to przyczyna z powodu którj ni potrafimy zdiagonalizować macirzy A. m
Uogólnion wktory własn Znajdzimy traz uogólniony wktor własny rzędu do wartości własnj λ4: ( A I) 4 3 4 ( A I) 4 3 4 4 3 np. Natomiast ni istnij uogólniony wktor własny rzędu 3 do wartości własnj λ4, poniważ musiałyby zachodzić jdnoczśni warunki: 3 ( A I) 3 4 3 A I 4 3 3 4 4 czyli składowa 4 wktora musiałaby być jdnoczśni równa zro i różna od zra, co jst nimożliw. M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-3
Ciągi uogólnionych wktorów własnych,,... ( A I) j - λ j+ gdzi j m-, m-,..., Dfinicja: Ciągim gnrowanym przz uogólniony wktor własny rzędu m stowarzyszony z wartością własną λ nazywamy zbiór wktorów okrślony przz: Przykład: Znajdź ciąg gnrowany przz uogólniony wktor własny rzędu do wartości własnj λ4 z poprzdnigo przykładu. A wic gnrowany ciąg ma postać m M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-4 m { } m m- A I 4 T { } T {, } ( ),( ) Twirdzni: Jśli jst uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do j wartości własnj λ, wtdy okrślon rlacją (*) jst uogólnionym wktorm własnym rzędu j do tj samj wartości własnj. m Dowód: Mamy m A I oraz ( A I) λ m λ m ( A I) m j ( A I) j λ j+ λ j m m A λ I j A λ I m j u.w.w. j m ( A I) λ ( A λ I) rzędu j j m (*)
Ciągi uogólnionych wktorów własnych Twirdzni: Każdy ciąg uogólnionych wktorów własnych jst układm wktorów liniowo nizalżnych. Dowód (indukcyjny): Dla ciągu o długości uogólniony wktor własny jst po prostu wktorm własnym, a więc, dlatgo M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-5 c c Załóżmy, ż wszystki ciągi zawirając dokładni k- wktorów są liniowo nizalżn i rozważmy ciąg złożony z k wktorów. Chcmy pokazać, ż c + c +... + c c c... c k k k k - k k Mnożymy od lwj strony przz (A-λI) k-. Dla wszystkich j < k zachodzi: ( A I) k ( A I) k j c ( A I) j ( A I) k j - λ j j c j - λ - λ j c j - λ k Stąd mamy c k ( A I) - λ k k ( A I) c k al - λ k A więc zachodzi ck k - +... + c k-,..., c c... c Al układ wktorów jst ciągim o długości k-, który z założnia jst zbiorm wktorów liniowo nizalżnych. A więc mamy k k
Baza kanoniczna Dfinicja: Bazą kanoniczną dla macirzy A stopnia n nazywamy układ n liniowo nizalżnych uogólnionych wktorów własnych złożony całkowici z ciągów (tzn. ż jśli uogólniony wktor rzędu m pojawia się w bazi to równiż w bazi występuj cały ciąg gnrowany przz tn wktor). Uwaga: Najprostszą bazą kanoniczną (jśli istnij) jst baza złożona z liniowo nizalżnych wktorów własnych (ciągów o długości ). Taka baza istnij zawsz kidy wartości własn macirzy są różn. ( 3 5 ) Przykład: Znajdź bazę kanoniczną dla macirzy Wartości własn i wktory własn dan są przz: λ : u A 4 ( 5) : u λ T A więc baza kanoniczna macirzy A to ( 5 ),( ) { T} M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-6
Baza kanoniczna Znajdowani ciągów gnrowanych przz uogólnion wktory własn do wilokrotnych wartości własnych macirzy kwadratowj A stopnia n: oznaczamy krotność wartości własnj λ przz m i znajdujmy najmnijszą całkowitą liczbę dodatnią p dla którj rząd macirzy (A-λI) p jst równy n-m, k dla każdj wartości znajdujmy liczbę uogólnionych wktorów własnych rzędu k okrślonych przz: N k p k rz( A λ I) rz( A λ I) znajdujmy uogólniony wktor własny rzędu p i konstruujmy ciąg gnrowany przz tn wktor (każdy z tych wktorów nalży do bazy kanonicznj). zmnijszamy wartość każdj z liczb N k o jśli wszystki N k są równ zro, wtdy procdura znajdowania wktorów bazy kanonicznj jst zakończona, w przciwnym wypadku przchodzimy do następngo kroku. znajdujmy uogólniony wktor własny rzędu k, liniowo nizalżny od wszystkich wczśnij znalzionych uogólnionych wktorów własnych, do wartości własnj λ, gdzi k jst największą wartością dla którj N k ni jst równ zro. Wktor tn dołączamy do bazy i wracamy do punktu poprzdnigo. M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-7 k
Znajdowani bazy kanonicznj Przykład: Znajdź bazę kanoniczną dla macirzy A. 4 Wartości własn macirzy A to λ4 (o krotności 5) oraz 4 A 4 pojdyncza wartość własna λ7. 4 Dla wartości własnj λ4 mamy: n 6, m 5 oraz n-m 4 7 szukamy najmnijszj liczby p takij z rz(a-4i) p n-m A - 4I A - 4I 3 A - 4I 3 9 7 rz(a-4i) 4 rz(a-4i) rz(a-4i) 3 dla każdj liczby k p 3 znajdujmy liczbę uogólnionych wktorów własnych rzędu k: 3 N rz( A I) rz( A I) 3 4 4 N rz( A I) rz( A I) 4 4 4 N rz( A I) rz( A I) 4 4 6 4 M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-8
Znajdowani bazy kanonicznj znajdujmy uogólniony wktor rzędu p3. Nich 3 3 ( A - 4I) 3 6 ( A - 4I) np T 3 3 3 Wktor 3 gnruj pozostał wktory ciągu: ( A - 4I) ( ) T A - 4I 3 T 3 4 5 6 T obniżamy wszystki wartości N k o otrzymując: N 3, N i N. y y y y y y y ( A - 4I) y y3 y6 np T y A - 4I y y lub y5 Wktor gnruj pozostał wktory ciągu: y A - 4I y 3 4 5 6 znajdujmy uogólniony wktor własny rzędu. Nich T y T obniżamy wszystki wartości N k o otrzymując: N 3, N i N, a więc zostały znalzion już wszystki wktory bazy kanonicznj do wartości własnj λ4. Ostatnim wktorm bazy kanonicznj jst wktor do wartości własnj λ7. Jst to wktor własny, który możmy wybrać jako z ( ) T Płna baza kanoniczna dla macirzy A to zbiór wktorów {,,, y, y, z } M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-9 3
Macirz modalna Dfinicja: Macirzą modalną M dla macirzy A nazywamy macirz tgo samgo stopnia co macirz A, którj kolumnami są wktory bazy kanonicznj macirzy A. Uwaga: Macirz modalna jst odwracalna (zbudowana z wktorów liniowo nizalżnych). Uwaga: Macirz modalna M ni jst jdnoznaczna. Będzimy stosować konwncję, ż: wszystki ciągi o długości poprzdzają dłuższ ciągi, wktory każdgo z ciągów dłuższych niż umiszczamy obok sibi, przy czym rząd wzrasta od lwj do prawj. Przykład: Znajdź macirz modalną M dla macirzy A z poprzdnigo przykładu. Baza kanoniczna dla macirzy A składa się z jdngo ciągu o długości 3: ( ) ( ) ( ) T y ( ) y ( ) z ( ) T T T T 3 T z jdngo ciągu o długości : i z jdngo ciągu o długości : Macirz modalna M ma wic postać: M z y y 3 M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-
M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5- Postać kanoniczna Jordana Dfinicja: Klatką Jordana nazywamy macirz kwadratową którj lmnty diagonaln są taki sam, lmnty bzpośrdnio nad diagonalą są równ, a wszystki pozostał lmnty to : J λ λ λ λ λ λ λ λ λ Dfinicja: Mówimy, ż macirz jst w postaci kanonicznj Jordana jśli jst macirzą diagonalną lub ma jdną z następujących postaci blokowych (D macirz diagonalna): D J J J k 3 J J J J k Uwaga: Elmnty diagonaln macirzy D mogą być różn. Uwaga: Choć każda klatka Jordana musi mić jdnakow lmnty na diagonali, to różn klatki Jordana J i (i,, k) mogą mić różn lmnty diagonaln.
Postać kanoniczna Jordana Twirdzni: Każda macirz kwadratowa A jst podobna do jakijś macirzy J będącj w postaci kanonicznj Jordana, a transformacja podobiństwa okrślona jst przz macirz modalną M dla macirzy A: - A MJM,,..., r Dowód: (dla pojdynczgo ciągu o długości r złożongo z wktorów ) Każdy z wktorów (i,,, r) jst uogólnionym wktorm własnym rzędu i macirzy i A do tj samj wartości własnj λ. r A λ I r A r λ r ( A I) A λ + r λ r A r λ r A 3 λ 3 + ( A λ I) 3 A 3 λ 3 ( A λ I) A r λ r + r A λ Poniważ jst wktorm własnym, więc dodatkowo mamy: A λ Korzystając z powyższych związków otrzymujmy: AM A[,, 3,..., r] [ A, A, A 3,..., A r] A MJM λ, λ +, λ +,..., λ +,,,..., J MJ [ ] [ ] 3 r r 3 r M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5- -
Postać kanoniczna Jordana Przykład: Znajdź macirz J w postaci kanonicznj Jordana, która jst podobna do macirzy A z poprzdnich przykładów. 4 4 A 4 4 M ( z 3 y y ) 4 7 7 Macirz w postaci kanonicznj [ ] 4 7 - J M AM J 4 Jordana znajdujmy stosując J 4 transformację podobiństwa: 4 Uogólniony wktor z 4 odpowiadający wartości własnj 7 gnruj macirz diagonalną [7] Ciąg wktorów {,, 3} o długości 3 odpowiadający wartości własnj 4 gnruj klatkę Jordana J, natomiast ciąg wktorów { y, y } odpowiadający tj samj wartości własnj 4 gnruj klatkę Jordana J. M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-3
Postać kanoniczna Jordana Przykład: Znajdź postać kanoniczną Jordana dla macirzy: 5 4 4 3 Macirz A ma dwi różn wartości własn: 3 5 λ (krotność m 4) n-m A 8 8 7 λ - (krotność m ) n-m 4 8 8 9 5 3 rz(a-i) 4 N 3 rz A I rz A I 3,, rz(a-i) 3 N rz( A I) rz( A I) 4 3 rz(a-i) 3 N rz( A I) rz( A I) { y } 6 4 rz(a+i) 4 { z N ( ) rz( A + I) rz( A + I) } { } 3 6 4 { t } J J J J 3 J 4 M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-4
Funkcj macirzy W przypadku macirzy diagonalizowalnych okrśliliśmy funkcj macirzy przz: ( λ ) ( λ ) Do dfinicji funkcji macirzy dających się przdstawić w postaci kanonicznj Jordana można wykorzystać rozwinięci funkcji w niskończony szrg Taylor a: n d f z n ( f λ f z z λ f λ + f λ )( z λ ) + z λ +... n n n! dz zλ! λ ( k ) f A Sf D S S diag f I,..., f I S Dla pojdynczj klatki Jordana dfiniujmy: - - f λ J I J I ( J I ) f λ f f f ( J I ) 3 λ + λ λ + λ + λ +...! 3! Dfiniujmy macirz N JλI, dla którj mamy: N, N,..., N k - M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-5
Funkcj macirzy ( k A więc ) ( k ) f λ f λ f λ f λ f ( λ )!!!! k k! ( k ) ( k ) 3 f λ f λ f λ f ( λ )!! ( k )! ( k )! λ 3 ( k ) ( k ) 4 3 k i f f f i ( J) f λ λ λ λ f f N!! ( k )! ( k )! i i 4 3 λ f ( λ ) f ( λ )!! f ( λ)! Dla dowolnj macirzy kwadratowj A mamy ( k ) f A Mf J M M diag f J I,..., f J I M - - gdzi J i oznaczają różn klatki Jordana, natomiast M to macirz modalna sprowadzająca przz transformację podobiństwa macirz A do postaci kanonicznj Jordana. Uwaga: Aby istniała funkcja f (A) muszą istnić wszystki nizbędn pochodn (,,..., k i λ λ ) ( λ ) f f f i i i M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-6
M. Przybyciń Matmatyczn Mtody Fizyki I Wykład 5-7 Funkcj macirzy Przykład: Znajdź A gdzi macirz A dana jst przz: A 4 4 4 4 4 7 J M AM - 7 4 4 4 4 4 Najpirw obliczymy J : M J / 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Traz możmy już znalźć A : A J M M - 4 3