ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ EWOLUCYJNYCH. Piotr Kokocki UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU

UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU Piotr Kokocki ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ EWOLUCYJNYCH Praca magisterska przygotowana na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Promotor : dr Aleksander Ćwiszewski TORUŃ 29

Spis treści Wstęp 4 Oznaczenia 8 1 Operatory liniowe 1 1.1 Ogólne własności operatorów liniowych................... 1 1.2 Własności spektralne operatorów liniowych zwartych............ 15 1.3 Własności spektralne operatorów liniowych o zwartych rezolwentach... 17 1.4 Generatory C półgrup............................ 21 1.5 Operatory wycinkowe............................. 26 1.6 Operatory eliptyczne rzędu drugiego..................... 3 2 Stopień topologiczny 35 2.1 Stopień topologiczny dla zaburzeń generatorów zwartych C półgrup.... 35 2.2 Stopień topologiczny dla zaburzeń operatorów wycinkowych........ 36 3 Zagadnienia różniczkowe z warunkiem poczatkowym 44 3.1 Istnienie i jednoznaczność rozwiązań..................... 45 3.1.1 Nieliniowe zaburzenia generatorów zwartych C półgrup...... 45 3.1.2 Nieliniowe zaburzenia operatorów wycinkowych.......... 47 3.2 Własności operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii............. 54 3.2.1 Zaburzenia nieliniowe generatorów zwartych C półgrup...... 54 3.2.2 Zaburzenia nieliniowych operatorów wycinkowych......... 6 4 Wzór indeksowy typu Krasnosielskiego 65 4.1 Wzór indeksowy dla zaburzeń generatorów zwartych C półgrup...... 65 4.2 Wzór indeksowy dla zaburzeń operatorów wycinkowych.......... 66 5 Zagadnienia okresowe 72 5.1 Metody uśredniania dla zaburzeń operatorów wycinkowych......... 73 5.2 Metody uśredniania względem jądra operatora liniowego.......... 83 5.3 Kryteria z warunkami typu Landesmana Lazera.............. 9 6 Dodatek 1 6.1 Stopień topologiczny dla pełnociągłych zaburzeń identyczności....... 1 6.2 Przestrzenie funkcyjne............................ 11 6.3 Twierdzenia o zwartości i zbieżności..................... 14 6.4 Nierówności.................................. 16 Literatura 16 2

Wstęp Nieliniowe równania ewolucyjne postaci (P ) u(t) = Au(t) + F (t, u(t)), t > gdzie A : X D(A) X jest operatorem liniowym określonym na przestrzeni Banacha X, zaś odwzorowanie ciągłe F : [, + ) X X jest nieliniowym i ciągłym zaburzeniem, stanowią abstrakcyjne sformułowanie bardzo wielu zagadnień zarówno z równań jak i układów równań różniczkowych cząstkowych, w tym modeli zjawisk przyrodniczych. Zazwyczaj A jest operatorem różniczkowym, zaś X stanowi odpowiednią przestrzeń funkcyjną. Tak jak w przypadku równań autonomicznych, dla opisu dynamiki istotne jest znalezienie rozwiązań stacjonarnych, to w równaniach nieautonomicznych bardzo ważne jest znajdowanie rozwiązań okresowych przy założeniu, że F jest T okresowe ( T > ) ze względu na czas. Jeśli przyjmiemy, że operator A jest generatorem C półgrupy, to przy dodatkowych założeniach dotyczących istnienia rozwiązań, z zagadnieniem (P ) można stowarzyszyć odwzorowanie Φ T : X X dane wzorem Φ T (x) := u(t ), gdzie u : [, + ) X jest rozwiązaniem zagadnienia (P ), z warunkiem początkowym u() = x. Powyższe odwzorowanie nosi nazwę operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii. Zauważmy, że jeśli F jest T okresowe i x X jest punktem stałym odwzorowania Φ T, to jest również początkiem rozwiązania okresowego powyższego zagadnienia. W przypadku równań różniczkowych zwyczajnych, jedną z technik znajdowania rozwiązań okresowych zagadnień nieautonomicznych jest metoda uśredniania, którą między innymi rozważali M. Furi i P. Pera w pracy [24], w przypadku gdy przestrzeń stanów jest skończenie wymiarowa. W przypadku nieskończenie wymiarowym, A. Ćwiszewski w pracach [16, 17] rozszerzył tę zasadę na zagadnienia postaci (P ), gdzie A jest generatorem zwartej półgrupy, zaś F jest odwzorowaniem ciągłym. Następnie, A. Ćwiszewski wraz z autorem, w pracach [18] i [19] rozszerzyli zasadę uśredniania w sytuacji, gdy A generuje C półgrupę kontrakcji, a zaburzenie F jest zwarte lub kontraktywne ze względu na miarę niezwartości. Idea metody uśredniania polega na rozważaniu rodziny zagadnień postaci (P λ ) u(t) = λau(t) + λf (t, u(t)), t > gdzie parametr λ jest z przedziału [, 1] oraz rodziny ( P ) u(t) = λau(t) + λ F (u(t)), t > gdzie F (x) = 1 T T F (s, x)ds dla x X. 4

Jeśli przez Φ λ T oznaczmy operator przesunięcia wzdłuż trajektorii dla zagadnienia (P λ), to przy założeniu, że A generuje zwartą C półgrupę i standardowych założeniach na F, odwzorowanie Φ λ T jest pełnociągłe dla dowolnego λ (, 1]. Zasada uśredniania mówi, że dla dowolnego otwartego i ograniczonego zbioru U X takiego, że / ( A + F )( U D(A)), istnieje dostatecznie małe λ > takie, że Φ λ T (x) x dla x U oraz deg(i Φ λ T, U) = deg( A + F, U), gdzie w powyższej równości deg oznacza odpowiedni stopień topologiczny. Wówczas, jest jasne, że wiedza dotycząca punktów stacjonarnych dla ( P ) prowadzi do rozwiązań okresowych dla (P λ ). Dowód zasady uśredniania składa się z dwóch zasadniczych etapów. W pierwszym wykazuje się, że dla dostatecznie małych λ >, istnieje homotopia łącząca Φ λ T z odwzorowaniem Φ λ T, które jest operatorem przesunięcia wzdłuż trajektorii dla zagadnienia co implikuje, że u(t) = λau(t) + λ F (u(t)), t > deg(i Φ λ T, U) = deg(i Φ λ T, U). Następnym etapem jest wykorzystanie wzoru indeksowego typu Krasnosielskiego, który mówi, że deg(i Φ 1 t, U) = deg( A + F, U) dla dostatecznie małych czasów t >, co kończy dowód, gdyż z autonomiczności wynika, że Φ λ T = Φ 1 λt. W pracy przedstawię metodę uśredniania dla zaburzeń operatorów wycinkowych (z ang. sectorial operators) oraz metodę uśredniania dla zagadnień z rezonansem, wraz z przykładem zastosowań do konkretnych równań różniczkowych cząstkowych. Narzędziem będzie wzór indeksowy Krasnosielskiego, który zostanie udowodniony dla autonomicznych zaburzeń operatorów wycinkowych. Motywacji dostarczy nam następujący przykład obejmujący szeroką klasę zagadnień różniczkowych u t = u + f(t, u) dla t, x Ω, gdzie Ω R n jest zbiorem otwartym, zaś f : R R n R jest odwzorowaniem ciągłym. Fakt, że zaburzenie nieliniowe jest zależne również od u nie pozwala na rozważanie tego równania na przestrzeni L 2 (Ω) i tym samym nie pozwala na zastosowanie poprzednich wyników. Następnie rozważmy zagadnienie z rezonansem postaci (P ε ) u(t) = Au(t) + εf (t, u(t)), t > gdzie ε [, 1] jest dodatkowym parametrem, A generuje zwartą C półgrupę oraz jest wartością własną A, zaś F jest ciągłym zaburzeniem. Zagadnienie (P ε ) było przedmiotem rozważań A. Schiaffino i K. Schmitt a w pracy [4], gdzie rozwiązań okresowych szukano za pomocą odpowiednich operatorów w przestrzeniach funkcji ciągłych o wartościach w X. 5

W pracy zastosuję podejście oparte na operatorze przesunięcia wzdłuż trajektorii, co pozwoli na pominięcie stosowanych przez autorów niewygodnych założeń i uzyskanie wyników w formie wygodnej do zastosowań. Podejście to, wydaje się być również prostsze. Uzyskane wyniki znajdują zastosowania w badaniu równań parabolicznych z rezonansem przy użyciu tzw. warunków typu Landesmana Lazera. Mianowicie, H. Brezis i L. Nirenberg w pracy [11] rozpatrywali zagadnienia paraboliczne postaci u t = u + λ k u + f(t, u) w (, T ] Ω u(t, x) = na [, T ] Ω u(, x) = u(t, x) w [, T ] Ω, gdzie T >, zaś λ k jest pewną wartością własną operatora, gdzie jest operatorem Laplace a z warunkami brzegowymi Dirichleta. Jeden z głównych rezultatów ich pracy mówi, że jeśli spełniona jest wersja warunku typu Landesmana Lazera dla równań parabolicznych, to powyższe zagadnienie ma rozwiązanie (rozumiane w pewnym sensie). Wykorzystując otrzymane wcześniej wyniki dotyczące metod uśredniania w sytuacji rezonansu, udowodnimy rezultat korespondujący z twierdzeniem Brezisa Nirenberga. Zaletą tego podejścia jest fakt, że otrzymane metody pozwolą na dokładne wyliczenia stopnia topologicznego operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii, co może mieć znaczenie, na przykład przy badaniu ilości rozwiązań. Niniejsza praca zorganizowana jest w następujący sposób w Rozdziale 1 wprowadzimy i omówimy podstawowe pojęcia i fakty związane z operatorami liniowymi, które będziemy wykorzystywać w dalszej części pracy; w Rozdziale 2 naszkicujemy teorię stopnia topologicznego dla zaburzeń generatorów zwartych C półgrup, po czym skonstruujemy ten niezmiennik topologiczny dla przypadku zaburzeń operatorów wycinkowych; w Rozdziale 3 będziemy rozpatrywać zagadnienia początkowe, w przypadku gdy prawa strona równania jest nieliniowym zaburzeniem generatora zwartej C półgrupy, jak i w przypadku, gdy prawa strona jest nieliniowym zaburzeniem operatora wycinkowego, zaś same zaburzenie jest określone na przestrzeni ułamkowej wyznaczonej przez operator wycinkowy. Następnie podamy twierdzenia mówiące o ciągłej zależności słabych rozwiązań w zależności od parametru i warunku początkowego, jak również udowodnimy zwartość operatorów przesunięcia wzdłuż trajektorii; w Rozdziale 4 podamy ogólną wersję wzoru typu Krasnosielskiego dla zaburzeń generatorów zwartych C półgrup, po czym udowodnimy wersję tego wzoru dla zaburzeń operatorów wycinkowych; w Rozdziale 5 zajmiemy się zasadą uśredniania dla nieautonomicznych zaburzeń operatorów wycinkowych, w dowodzie której użyjemy udowodnionego w poprzednim rozdziale wzoru Krasnosielskiego. Ponadto będziemy rozważać metody uśredniania względem jądra operatora liniowego, które posłużą nam do szukania rozwiązań okresowych zagadnień z rezonansem. 6

Zdaniem autora do najważniejszych wyników tej pracy należą konstrukcja stopnia topologicznego dla zaburzeń operatorów wycinkowych, czyli Twierdzenie 2.8, wersja wzoru indeksowego Krasnosielskiego dla zaburzeń operatorów wycinkowych, czyli Twierdzenie 4.3 i Twierdzenie 4.4, zasada uśredniania dla nieautonomicznych zaburzeń operatorów wycinkowych, czyli Twierdzenie 5.3, zasada uśredniania względem jądra operatora liniowego wraz ze wzorem indeksowym, czyli Twierdzenie 5.8, twierdzenia dotyczące zagadnień okresowych z rezonansem wraz ze wzorem indeksowymi, czyli Twierdzenie 5.13 i Twierdzenie 5.15. W tym miejscu autor składa podziękowania Panu dr Aleksandrowi Ćwiszewskiemu za liczne dyskusje, okazaną życzliwość oraz za cenne porady dotyczące zagadnień poruszanych w tej pracy. 7

Oznaczenia Przez C i R będziemy oznaczać odpowiednio ciała liczb zespolonych i rzeczywistych. Jeśli z C, to przez re z oznaczamy część rzeczywista liczby zespolonej z, zaś przez im z jej część urojona. Moduł liczby zespolonej z będziemy oznaczać jako z := ( re z) 2 + ( im z) 2. Argumentem liczby zespolonej z, z nazywamy zbiór arg (z) := {ϕ R z (cos ϕ + i sin ϕ) = z}, podczas gdy argumentem głównym jest funkcja Arg : C \ {} ( π, π] dana jako Arg (z) := arg (z) ( π, π]. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Jeśli dane są zbiór A X, punkt x X oraz liczba r >, to B(x, r) := {y X d(x, y) < r}, D(x, r) := {y X d(x, y) r}, O ε (A) := {y X istnieje x A takie, że d(x, y) ε}, dist(x, A) := inf d(x, y). y A Ponadto przez cl A (cl X A) lub A będziemy oznaczać domknięcie zbioru A względem przestrzeni X, zaś przez A ( X A) będziemy rozumieć brzeg zbioru A względem tej przestrzeni. Jeśli (X, d 1 ), (Y, d 2 ) są przestrzeniami metrycznymi takimi, że X jest zwarta, to przez C(X, Y ) będziemy rozumieć przestrzeń metryczna funkcji ciagłych daną jako zbiór wraz z metryka jednostajna C(X, Y ) := {u : X Y u jest funkcją ciągłą } d (u, v) := sup d 2 (u(x), v(x)). x X Niech teraz (X, ) będzie przestrzenią unormowaną nad ciałem K, gdzie K = C lub K = R. Jeśli dane są zbiory A, B X oraz skalar λ K, to A + B := {x + y x A, y B}, λ A := {λ x x A}. Jeśli M, N są dwiema podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni X takimi, że M N = {}, to przez M N oznaczamy sumę prosta przestrzeni M i N. Jeśli dodatkowo U M oraz V N są podzbiorami tych przestrzeni, to przyjmujemy U V := U + V. Uwypukleniem domkniętym zbioru A X nazywamy zbiór conva := {B X B jest zbiorem domkniętym wypukłym oraz A B}. 8

Niech A : X D(A) X będzie operatorem liniowym. Wówczas przyjmujemy, że KerA := {x X Ax = }, Im A := {Ax x D(A)}. Ponadto przez przestrzeń operatorów ograniczonych rozumiemy zbiór wraz z normą L(X) := {B : X X B jest ciągłym operatorem liniowym } B := sup Bx. x 1 Załóżmy teraz, że na przestrzeni X mamy dodatkowo określony iloczyn skalarny (, ), który wyznacza wyjściową normę. Jeśli N X jest podprzestrzenią X, to możemy określić dopełnienie ortogonalne przestrzeni N jako N := {x X (x, y) =, y N}. 9

1 Operatory liniowe W tym rozdziale opiszemy najważniejsze elementy teorii operatorów. Zaczniemy od podania podstawowych definicji, a następnie omówimy własności spektralne zwartych operatorów liniowych, które następnie przeniesiemy na przypadek dowolnych, niekoniecznie ograniczonych, operatorów liniowych o zwartych rezolwentach. Ważną klasą operatorów, na której będą opierać się nasze rozważania będą stanowić generatory C półgrup wśród, których wyróżniamy operatory wycinkowe wyznaczające skalę przestrzeni ułamkowych. Na koniec omówimy przykłady operatorów liniowych jakimi będą dla nas symetryczne operatory eliptyczne drugiego rzędu. 1.1 Ogólne własności operatorów liniowych Niech X będzie przestrzenią Banacha z normą nad ciałem K = C lub R oraz niech A : X D(A) X będzie operatorem liniowym, być może nieograniczonym, na przestrzeni X. Wykresem operatora A będziemy nazywać podprzestrzeń liniową przestrzeni X X daną jako Γ(A) = {(x, y) X X x D(A), y = Ax}. Powiemy, że operator A jest domknięty, jeśli Γ(A) X X jest domkniętą podprzestrzenią. Na przestrzeni liniowej D(A) zdefiniujmy normę wykresowa D(A) wzorem x D(A) := x + Ax dla x D(A). Nietrudno zauważyć, że D(A) z normą D(A) jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy operator A jest domknięty. Dodatkowo, jeśli operator A jest domknięty i jest bijekcją, działającą z D(A) do X, to norma 1 dana wzorem x 1 := Ax dla x D(A) jest równoważna z D(A). Rzeczywiście, z twierdzenia Banacha o domkniętym wykresie mamy, że A 1 : X X jest operatorem ciągłym, czyli A 1 x A 1 x dla x X. Dlatego, dla x D(A) x 1 x D(A) = x + Ax A 1 Ax + Ax = ( A 1 + 1) x 1, co dowodzi równoważności powyższych norm. Niech H będzie teraz przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym (, ) : H H K, zaś A : D(A) H operatorem liniowym takim, że D(A) H jest gęstą podprzestrzenią. Przez operator hilbertowsko sprzężony lub po prostu sprzężony z operatorem A będziemy rozumieć operator liniowy A : H D(A ) H taki, że D(A ) := {x H istnieje y H takie, że (Az, x) = (z, y) dla z D(A)}, A x := y, gdzie y jest jak w definicji D(A ). 1

Wobec założenia D(A) = H, operator sprzężony A jest poprawnie określony. Powiemy, że operator A jest samosprzężony (odpowiednio symetryczny), jeśli A = A (odpowiednio A A ), przy czym inkluzje rozumiane są w sensie wykresów. Nietrudno zauważyć, że jeśli D(A) = H oraz A : D(A) H jest ograniczony, to symetryczność operatora A automatycznie implikuje jego samosprzężoność. Ponadto jeśli A : D(A) H jest gęsto określonym, niekoniecznie domkniętym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta H, to A jest już operatorem domkniętym. Wynika stąd, że operator samosprzężony jest zawsze domknięty. Lemat 1.1 Jeśli operator liniowy A : H D(A) H, gdzie H przestrzenia Hilberta H, jest gęsto określony, symetryczny oraz Im (λi A) = X dla pewnej liczby λ R, to jest samosprzężony. Dowód. Zgodnie z definicją operatora sprzężonego mamy, że (λv Av, u) = (v, λu A u) dla v D(A), u D(A ). (1.1) Wynika stąd, że λi A jest różnowartościowy. Istotnie, jeśli λw A w = dla pewnego w D(A ), to korzystając z (1.1) mamy, że (λv Av, w) = dla v D(A). Zgodnie z założeniem możemy wybrać v D(A) takie, że λv Av = w. Stąd (w, w) = (λv Av, w) = i w konsekwencji w =. Niech teraz u D(A ). Istnieje u D(A) taki, że λu Au = λu A u. Skoro A A, mamy wtedy λu A u = λu A u, co w związku z różnowartościowością operatora λi A implikuje, że u = u i Au = A u. Dlatego (u, A u) A i w konsekwencji A = A. Niech teraz X będzie przestrzenią Banacha nad ciałem K = C i niech, tak jak poprzednio, A: D(A) X będzie operatorem liniowym. Zbiorem rezolwenty operatora A nazywamy zbiór ϱ(a) := {λ C λi A: D(A) X jest bijekcją oraz (λi A) 1 L(X)}. Dla λ ϱ(a) będziemy oznaczać R(λ : A) := (λi A) 1 : X X. Nietrudno sprawdzić, że zachodzi następująca tożsamość rezolwenty (λi A) 1 (µi A) 1 = (µ λ)(λi A) 1 (µi A) 1 dla λ, µ ϱ(a). Przez spektrum (widmo) operatora A, będziemy rozumieć dopełnienie zbioru rezolwenty w płaszczyźnie zespolonej σ(a) := C \ ϱ(a). W spektrum σ(a) operatora A możemy wyróżnić trzy wzajemnie rozłączne zbiory: spektrum punktowe σ p (A), spektrum ciągłe σ c (A) i spektrum residualne σ r (A) zdefiniowane odpowiednio jako σ p (A) := {λ σ(a) λx Ax = dla pewnego x } σ c (A) := {λ σ(a) Ker(I A) =, Im (I A) X jest gęsty, Im (I A) X} σ r (A) := {λ σ(a) Ker(I A) =, Im (I A) X nie jest gęsty }. 11

W przypadku gdy operator A jest domknięty, można sprawdzić, że σ(a) = σ p (A) σ c (A) σ r (A). Niech X będzie przestrzenią Banacha nad ciałem K = R oraz niech A : D(A) X będzie operatorem liniowym. W tym przypadku również możliwe jest rozpatrywanie zespolonego spektrum i zbioru rezolwenty operatora A. Przedstawioną poniżej metodę można znaleźć między innymi w [3] lub [2]. Dla rzeczywistej przestrzeni Banacha X zdefiniujmy przestrzeń liniową X C nad ciałem liczb zespolonych C w następujący sposób. Przyjmujemy, że X C := X X wraz z działaniami + : X C X C C oraz : C X C C danymi jako (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) dla (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) X C, (α + βi) (x, y) := (αx βy, αy + βx) dla α + βi C, (x, y) X C. Przestrzeń X C będziemy nazywać kompleksyfikacja rzeczywistej przestrzeni liniowej X. Dowolny element (x, y) X C będziemy formalnie oznaczać przez x + yi. Zauważmy, że X jest w naturalny sposób podprzestrzenią liniową przestrzeni X C, w tym sensie że, istnieją odwzorowania i, j, gdzie j : R C jest monomorfizmem ciał, zaś i: X X C jest odwzorowaniem różnowartościowym takie, że i(x + y) = i(x) + i(y) dla x, y X, i(λ x) = j(λ) j(x) dla λ R, x X. W naszym przypadku odwzorowania i oraz j są dane jako i(x) := x (= x + i) oraz j(λ) := λ (= λ + i). Na przestrzeni X C określamy normę x + yi C := sup sin θx + cos θy. (1.2) θ [ π,π] W przypadku gdy H jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta wraz z iloczynem skalarnym (, ) : H H R, normę kompleksyfikacji można zdefiniować w bardziej naturalny sposób. W tym celu kładziemy x + yi C := x 2 + y 2 dla x + yi H C. (1.3) Nietrudno sprawdzić, że (1.3) zadaje normę na H C, która pochodzi od iloczynu skalarnego (, ) C : H C H C C danego wzorem (x 1 + y 1 i, x 2 + y 2 i) C := (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) (x 1, y 2 )i + (y 1, x 2 )i, dla (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) H C i ponadto normy zadane przez wzory (1.2) i (1.3) są równoważne. Niemniej jednak należy pamiętać, że w przypadku dowolnej przestrzeni Banacha, wzór (1.3) nie zadaje normy ponieważ nie jest spełniony warunek jednorodności. Warto również odnotować, że jeśli X z normą jest przestrzenią Banacha, to jej kompleksyfikacja X C z normą C również okazuje się być przestrzenią Banacha. 12

Jeśli X jest przestrzenią liniową nad ciałem K = R oraz F X jest jej skończenie wymiarową podprzestrzenią, to w naturalny sposób F C jest podprzestrzenią X C. Ponadto jeśli zbiór {e 1, e 2,..., e k }, gdzie k = dim F jest bazą przestrzeni F, to zbiór jest bazą przestrzeni F C. Wynika stąd, że {e 1 + e 1 i, e 2 + e 2 i,..., e k + e k i} dim R F = dim C F C. (1.4) Niech teraz A: D(A) X będzie operatorem liniowym. Definiujemy operator liniowy A C : X C D(A C ) X C jako D(A C ) := {x + yi X C x, y D(A)} A C (x + yi) := Ax + Ayi. Nietrudno sprawdzić, że odwzorowanie A C jest operatorem liniowym na X C, który będziemy nazywać kompleksyfikacja operatora A. Jeśli założymy, że B : X X jest operatorem ograniczonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X, to B C jest również operatorem ograniczonym na przestrzeni X C oraz B C C = B, gdzie B C C = sup Bz C. z C 1 Podobnie, jeśli B : X X jest zwartym operatorem, to zwarty jest również operator B C. Jeśli A : H D(A) H jest operatorem samosprzężonym określonym na rzeczywistej przestrzeni Hilberta H, to jego kompleksyfikacja A C jest również operatorem samosprzężonym. W dalszym ciągu zakładamy, że A: D(A) X jest operatorem liniowym określonym przestrzeni Banacha X nad ciałem K = R. Przez zespolony zbiór rezolwenty operatora A : D(A) X określonego na rzeczywistej przestrzeni Banacha X będziemy rozumieć ϱ(a) := ϱ(a C ). Podobnie przez spektrum zespolone operatora A rozumiemy σ(a) := σ(a C ), zaś przez zespolone spektrum punktowe operatora A rozumiemy σ p (A) := σ p (A C ). Przez rzeczywisty zbiór rezolwenty operatora A będziemy rozumieć ϱ R (A) := {λ R λi A: D(A) X jest bijekcją oraz (λi A) 1 L(X)}. Dopełnieniem tego zbioru na osi rzeczywistej jest rzeczywiste spektrum operatora A określone jako σ R (A) := R \ ϱ R (A). 13

Ponadto rzeczywistym spektrum punktowym nazywamy zbiór σ p,r (A) := {λ R λx Ax dla pewnego x X}. Jak nietrudno się przekonać, dla operatora liniowego A : D(A) X określonego na rzeczywistej przestrzeni Banacha X jego rzeczywiste i zespolone zbiory rezolwenty są ze sobą powiązane. Jeśli λ ϱ R (A), to również λ ϱ(a) = ϱ(a C ) oraz R(λ : A C ) = R(λ : A) C. (1.5) Niech teraz X będzie przestrzenią Banacha nad ciałem K = C lub R. Izomorfizmem przestrzeni X będziemy nazywać dowolne odwzorowanie B : X X, które jest liniowe, ciągłe i odwracalne. Symbolem G(X) będziemy oznaczać zbiór wszystkich izomorfizmów przestrzeni X. Jeśli B G(X), to B 1 L(X), co jest konsekwencją twierdzenia Banacha o odwzorowaniu odwrotnym. Przydatny będzie następujący Lemat 1.2 [23] Niech przestrzeń X będzie taka jak powyżej. Wówczas (a) zbiór G(X) jest otwarty w L(X), (b) jeśli B L(X) jest operatorem ograniczonym takim, że B < 1, to operator I B jest odwracalny, (c) odwzorowanie B B 1 określone na G(X) o wartościach w przestrzeni L(X) jest ciagłe. Niech λ ϱ(a). Zauważmy, że wtedy λi A = (I (λ λ)r(λ : A))(λ I A) (1.6) dla dowolnego λ K. Z punktu (b) Lematu 1.2 wynika, że jeśli λ K jest takie, że λ λ < ε := R(λ : A) 1, to operator I (λ λ)r(λ : A) jest odwracalny. Z równości (1.6) mamy, że jeśli λ λ < ε, to λ ϱ(a) oraz R(λ : A) = R(λ : A)(I (λ λ)r(λ : A)) 1. (1.7) Wynika stąd, że ϱ(a) K jest zbiorem otwartym, a ponadto z punktu (c) Lematu 1.2 i równości (1.7) wnosimy, że odwzorowanie λ R(λ : A) określone na B(λ, ε ) K o wartościach w L(X) jest ciągłe. Podsumowując mamy następujące Stwierdzenie 1.3 Jeśli A : D(A) X jest operatorem liniowym określonym na przestrzeni Banacha X nad ciałem K = C lub R, to (a) zbiór rezolwenty ϱ(a) jest otwarty w K, (b) odwzorowanie λ R(λ : A) określone na ϱ(a) o wartościach w L(X) jest ciagłe. Uwaga 1.4 Można sprawdzić, że odwzorowanie λ R(λ : A) określone na ϱ(a) o wartościach w L(X) jest również analityczne. 14

1.2 Własności spektralne operatorów liniowych zwartych W bieżących rozważaniach będziemy zakładać, że X jest przestrzenią Banacha nad ciałem K = C lub R. Powiemy, że operator liniowy T : X X określony na przestrzeni X jest zwarty, jeśli obraz domkniętej kuli jednostkowej T (B(, 1)) jest zbiorem relatywnie zwartym. Nietrudno zauważyć, że jeśli operator liniowy T jest zwarty, to jest również ograniczony. Naszym celem będzie charakteryzacja spektrum operatora zwartego oraz opis jego przestrzeni własnych, której dostarcza teoria Riesza-Schaudera. Zaczniemy od sformułowania twierdzenia o postaci widma operatora zwartego, którego dowód można znaleźć w [13], [31] lub [12]. Twierdzenie 1.5 Załóżmy, że dim X = i T : X X jest operatorem zwartym. Wtedy (a) σ(t ), (b) σ(t ) {} = σ p (T ) {}, (c) zbiór σ(t ) {} jest skończony albo σ(t ) {} składa się z wyrazów pewnego ciagu zbieżnego do. Przejdziemy teraz do charakteryzacji przestrzeni własnych operatorów zwartych. Nietrudno zauważyć, że dla dowolnej liczby całkowitej n 1 zachodzą następujące inkluzje Ker(I T ) n Ker(I T ) n+1 oraz Im (I T ) n+1 Im (I T ) n. Dla dowolnego λ K przez N(T ) λ, R(T ) λ X będziemy rozumieć przestrzenie określone jako N(T ) λ := Ker(λI T ) n, R(T ) λ := Im (λi T ) n. n=1 n=1 Dowód poniższego Twierdzenia można znaleźć w [31] lub [12] Twierdzenie 1.6 Niech T : X X będzie operatorem liniowym zwartym oraz niech λ K będzie taka, że λ. Wtedy (a) dla dowolnej liczby całkowitej n 1 przestrzeń Im (λi T ) n jest domknięta, (b) Ker(λI T ) = wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λi T ) = X, (c) dim N(T ) λ <, (d) przestrzeń X rozkłada się na sumę prosta X = N(T ) λ R(T ) λ. Niech λ σ p (T ) będzie elementem spektrum punktowego operatora zwartego T : X X określonego na zespolonej przestrzeni Banacha X. Przez krotność geometryczna wartości własnej λ będziemy rozumieć n(t ) geo λ := dim C Ker(λI T ), natomiast przez jej krotność algebraiczna będziemy rozumieć n(t ) alg λ := dim C N(T ) λ. 15

Na mocy punktu (c) Twierdzenia 1.6 mamy, że dim N(T ) λ <, co pokazuje, że zarówno krotność geometryczna jak i algebraiczna są liczbami skończonymi. Jeśli z kolei λ σ p (T ) jest wartością własną operatora zwartego T : X X określonego na rzeczywistej przestrzeni Banacha X, to przez krotność geometryczną wartości własnej λ będziemy rozumieć n(t ) geo λ := n(t C ) geo λ, natomiast przez jej krotność algebraiczną będziemy rozumieć n(t ) alg λ := n(t C ) alg λ. Jak wcześniej odnotowaliśmy, T C : X C X C jest operatorem zwartym, jeśli T : X X jest zwarty, a zatem powyższe definicje mają sens. Wniosek 1.7 Jeśli T : X X jest zwartym operatorem liniowym określonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X, zaś λ σ p,r (A), to n(t ) geo λ = dim R Ker(λI T ), (1.8) n(t ) alg λ = dim R N(T ) λ. (1.9) Dowód. Skoro λ jest liczbą rzeczywistą, dla dowolnej liczby całkowitej n 1 mamy (λi T C ) n = ((λi T ) n ) C. Dlatego Ker(λI T C ) n = Ker((λI T ) n ) C = (Ker(λI T ) n ) C. (1.1) Zatem z (1.4), dla dowolnego n 1 dim C Ker(λI T C ) n = dim R Ker(λI T ) n. Kładąc w powyższej równości n := 1 otrzymujemy (1.8). Ponadto zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 1.6 istnieją n, n 1 1 takie, że Sprawdzimy teraz, że N(T C ) λ = Ker(λI T C ) n oraz N(T ) λ = Ker(λI T ) n 1. Ker(λI T C ) n = (Ker(λI T ) n 1 ) C. (1.11) Jeśli z (Ker(λI T ) n 1 ) C, to zgodnie z (1.1) mamy, że z Ker(λI T C ) n 1 N(A C ) λ. Jeśli z := x+iy Ker(λI T C ) n, to z (Ker(λI T ) n ) C, co w konsekwencji implikuje, że x, y Ker(λI T ) n N(T ) λ. Dlatego z (Ker(λI T ) n 1 ) C, co dowodzi powyższej równości. Zatem, na podstawie (1.11) mamy, że n(t ) alg λ = dim C Ker(λI T C ) n = dim R Ker(λI T ) n 1 = dim R N(T ) λ, skąd otrzymujemy (1.9). 16

1.3 Własności spektralne operatorów liniowych o zwartych rezolwentach W dalszym ciągu będziemy zakładać, że X jest przestrzenią Banacha nad ciałem K = C lub R z normą. Niech A : D(A) X będzie operatorem liniowym na przestrzeni X. Powiemy, że A ma zwarte rezolwenty, jeśli ϱ(a) i dla każdego λ ϱ(a) operator liniowy R(λ : A) jest zwarty. Jako uwagę możemy odnotować fakt, że jeśli operator R(λ : A) jest zwarty dla pewnego λ ϱ(a), to jest on zwarty dla dowolnego elementu ze zbioru rezolwenty. Jest to prosta konsekwencja tożsamości rezolwenty. Dla każdego naturalnego n 1 przez n ta potęgę operatora A będziemy rozumieć operator liniowy A n : D(A n ) X określony indukcyjnie dla dowolnego n 2 jako D(A n ) := {x D(A n 1 ) A n 1 x D(A)}, A n x := AA n 1 x, x D(A n ). Uwaga 1.8 Załóżmy, że dane jest λ ϱ(a) oraz n 1. Wtedy, nietrudno sprawdzić, że (λi A)D(A n+1 ) = D(A n ), co można zapisać jako R(λ : A)D(A n ) = D(A n+1 ). Podobnie jak poprzednio, dla dowolnego λ K przez N(A) λ, R(A) λ X będziemy rozumieć przestrzenie określone jako N(A) λ := Ker(λI A) n, R(A) λ := Im (λi A) n. n=1 Odnotujmy teraz następujące kluczowe zależności Lemat 1.9 Niech A : D(A) X będzie operatorem liniowym. Ponadto niech ρ ϱ(a) oraz niech λ ρ. Wówczas (a) Ker(λI A) n = Ker((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n ), (b) Im (λi A) n = Im ((I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n ), dla dowolnej liczby całkowitej n 1. Dowód. Zaczniemy od wykazania, że ( ) I (ρ λ)(ρi A) 1 n (ρi A) n x = (λi A) n x oraz (1.12) (ρi A) n ( I (ρ λ)(ρi A) 1) n x = (λi A) n x dla x D(A n ). (1.13) Aby to zrobić, zauważmy najpierw, że ( I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n x = n k= n=1 ( ) n ( 1) k (ρ λ) k (ρi A) k x (1.14) k 17

dla x X. Jeśli teraz x D(A n ), to z równości (1.14) i Uwagi 1.8 otrzymujemy, że ( I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n x D(A n ) oraz (ρi A) ( n I (ρ λ)(ρi A) 1) n ( ) n x = (ρi A) n n ( 1) k (ρ λ) k (ρi A) k x k k= n ( ) n = ( 1) k (ρ λ) k (ρi A) n k x k k= = ((ρi A) (ρ λ)i) n x = (λi A) n x, co kończy dowód równości (1.13). Powołując się teraz na (1.14), otrzymujemy ( I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n (ρi A) n x = = n ( n k n ( n k k= k= ) ( 1) k (ρ λ) k (ρi A) k (ρi A) n x ) ( 1) k (ρ λ) k (ρi A) n k x = ((ρi A) (ρ λ)i) n x = (λi A) n x, co z kolei kończy dowód równości (1.12). Korzystając z równości (1.13) oraz z faktu, że odwzorowanie (ρi A) n : D(A n ) X jest różnowartościowe, dla dowolnego n 1, otrzymujemy Ker(λI A) n = Ker(ρI A) n ( I (ρ λ)(ρi A) 1) n = Ker ( I (ρ λ)(ρi A) 1) n, co dowodzi punktu (a) naszego lematu. Aby dowieść punktu (b) zauważmy, że na mocy Uwagi 1.8 Im (ρi A) n = (ρi A) n D(A n ) = (ρi A) n 1 D(A n 1 ) =... = (ρi A)D(A) = X, co w połączeniu z równością (1.12) implikuje, że Im ( I (ρ λ)(ρi A) 1) n = ( I (ρ λ)(ρi A) 1 ) n (ρi A) n D(A n ) = (λi A) n D(A n ) = Im (λi A) n. Opierając się na Twierdzeniu 1.6 i Lemacie 1.9 możemy wywnioskować następujące Twierdzenie 1.1 Niech A : D(A) X będzie operatorem liniowym o zwartych rezolwentach. Wtedy (a) Im (λi A) n jest domknięta podprzestrzenia przestrzeni X, (b) Ker(λI A) = wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λi A) = X, (c) dim N(A) λ <, 18

(d) przestrzeń X rozkłada się na sumę prosta X = N(A) λ R(A) λ. Poniższy wniosek opisuje postać spektrum operatora mającego zwarte rezolwenty Wniosek 1.11 Jeśli operator liniowy A : D(A) X ma zwarte rezolwenty, to σ(a) = σ p (A). Ponadto zbiór σ p (A) jest skończony lub składa się z wyrazów ciagu (λ n ) takiego, że λ n + przy n +. Dowód. Niech µ σ(a). Udowodnimy, że Ker(µI A). Gdyby Ker(µI A) =, to na mocy punktu (b) Twierdzenia 1.1 mielibyśmy, że Im (µi A) = X. Wobec tego, że operator A jest domknięty, oznaczałoby to, że µ ϱ(a), co jest sprzecznością. Dlatego σ(a) σ p (A), czyli σ(a) = σ p (A). Niech ρ ϱ(a). Sprawdzimy, że σ p (A) = {ρ µ 1 µ σ p ((ρi A) 1 )}. (1.15) Rzeczywiście, kładąc λ := ρ µ 1, z punktu (a) Lematu 1.9 otrzymujemy, że jeśli µ σ p ((ρi A) 1 ), to µ oraz Ker((ρ µ 1 )I A) = Ker(µI (ρi A) 1 ), czyli ρ µ 1 σ p (A). Podobnie, jeśli weźmiemy µ σ p (A), to korzystając ponownie z punktu (a) Lematu 1.9, dla λ := µ mamy, że (ρ µ) 1 σ p ((ρi A) 1 ), a skoro µ = ρ ((ρ µ) 1 ) 1 = ρ λ 1, mamy w konsekwencji µ {ρ λ 1 λ σ p ((ρi A) 1 )}. W ten sposób otrzymaliśmy równość (1.15). Z punktu (c) Twierdzenia 1.5 i równości (1.15) otrzymujemy, że σ p (A) jest skończony lub jest ciągiem, którego normy są rozbieżne do nieskończoności. Niech A : D(A) X będzie operatorem określonym na zespolonej przestrzeni Banacha X, który ma zwarte rezolwenty. Wówczas krotność geometryczna i algebraiczna zespolonej wartości własnej λ operatora A definiujemy odpowiednio jako oraz n(a) geo λ := dim C Ker(λI A) n(a) alg λ := dim C N(A) λ. Punkt (c) Twierdzenia 1.1 zapewnia nam, że zarówno krotność geometryczna jak i algebraiczna zespolonej wartości własnej λ jest liczbą skończoną. Podobnie jeśli operator liniowy A : D(A) X ma zwarte rezolwenty i jest określony na rzeczywistej przestrzeni Banacha X, to krotność geometryczną i algebraiczną jego wartości własnej λ σ p (A) określamy jako oraz n(a) geo λ n(a) alg λ := n(a C ) geo λ (1.16) := n(a C ) alg λ. (1.17) Nietrudno zauważyć, że operator A C również ma zwarte rezolwenty, co uzasadnia poprawność powyższych definicji. 19

Stwierdzenie 1.12 Jeśli operator liniowy A : D(A) X określony na rzeczywistej przestrzeni Banacha X ma zwarte rezolwenty, zaś λ σ p,r (A), to n(a) geo λ = dim R Ker(λI A), (1.18) n(a) alg λ = dim R N(A) λ. (1.19) Dowód. Niech n 1 będzie liczbą całkowitą. Korzystając z tego, że λ jest liczbą rzeczywistą otrzymujemy, że (λi A C ) n = ((λi A) n ) C, co oznacza, że Ker(λI A C ) n = Ker((λI A) n ) C = (Ker(λI A) n ) C. (1.2) To z kolei implikuje, że dla dowolnego n 1 mamy dim C Ker(λI A C ) n = dim R Ker(λI A) n. (1.21) Gdy n = 1, to z równości (1.21) otrzymujemy (1.18). Aby sprawdzić równość (1.19) zauważmy, że zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 1.1 istnieją liczby n, n 1 1 takie, że Sprawdzimy, że N(A C ) λ = Ker(λI A C ) n oraz N(A) λ = Ker(λI A) n 1. Ker(λI A C ) n = (Ker(λI A) n 1 ) C. (1.22) Rzeczywiście, jeśli z (Ker(λI A) n 1 ) C, to zgodnie z (1.2) mamy, że z Ker(λI A C ) n 1, a zatem z N(A C ) λ. Jeśli zaś z := x + iy Ker(λI A C ) n, to z (Ker(λI A) n ) C i w konsekwencji x, y Ker(λI A) n N(A) λ. Dlatego z (Ker(λI A) n 1 ) C. Łącząc (1.21) z (1.22) mamy, że n(a) alg λ = dim C Ker(λI A C ) n = dim R Ker(λI A) n 1 = dim R N(A) λ, co dowodzi równości (1.19). Stwierdzenie 1.13 Jeśli liniowy operator A : H D(A) H określony na rzeczywistej przestrzeni Hilberta H jest symetryczny, to (a) σ p (A) R C; (b) Ker(λI A) n = Ker(λI A) n+1 dla λ σ p,r (A) oraz n 1. Dowód. (a) Niech λ C będzie takie, że λz A C z = dla pewnego z H C, z. Wtedy, jak łatwo dostrzec, operator A C jest również symetryczny oraz λ z 2 C = (A C z, z) C = (z, A C z) C = (A C z, z) C = λ z 2 C. Stąd λ = λ i w konsekwencji im λ =. (b) Sprawdzimy najpierw, że Ker(λI A) = Ker(λI A) 2. (1.23) Wiemy, że Ker(λI A) Ker(λI A) 2. Zatem niech x D(A 2 ) będzie takie, że (λi A) 2 x =. Operator A jest symetryczny więc (λy Ay, x) = (y, λx Ax) dla x, y D(A). (1.24) 2

Dokonując w (1.24) podstawienia y = λx Ax D(A) otrzymujemy, że = ((λi A) 2 x, x) = (λx Ax, λx Ax) = λx Ax 2, (1.25) skąd mamy, że x Ker(λI A). Niech teraz x Ker(λI A) n+1, gdzie n 2. Wtedy (λi A) n 1 x Ker(λI A) 2, a stąd zgodnie z (1.23) mamy, że (λi A) n 1 x Ker(λI A). Dlatego x Ker(λI A) n, co implikuje, że Ker(λI A) n+1 Ker(λI A) n i kończy dowód naszego stwierdzenia. Z powyższego stwierdzenia wynika, że w przypadku operatora symetrycznego o zwartych rezolwentach krotność geometryczna i algebraiczna dowolnej wartości własnej jest taka sama. 1.4 Generatory C półgrup Niech X będzie przestrzenią Banacha nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z normą. Przez C półgrupę ograniczonych operatorów liniowych będziemy rozumieć rodzinę {S(t): X X} t 1 ograniczonych operatorów liniowych taką, że oraz S() = I, S(t + s) = S(t)S(s) dla t, s lim S(t)x = x dla x X. t + Dla ustalonej C półgrupy {S(t)} t definiujemy operator A : X D(A) X, gdzie oraz D(A) := { x X lim t + S(t)x x t Ax := lim t + S(t)x x t dla } istnieje x D(A). Tak określony operator A nazywamy generatorem C półgrupy {S(t)} t. Będziemy mówić również, że {S(t)} t jest półgrupą generowaną przez operator A. Można udowodnić (patrz [38], Corollary 1.2.5), że jeśli operator liniowy A jest generatorem pewnej C półgrupy, to jest on domknięty i gęsto określony. Poniższe twierdzenie stanowi zestawienie pomocnych faktów dotyczących relacji między półgrupami a ich generatorami. Twierdzenie 1.14 [38, Theorem 1.2.4] Niech {S(t)} t będzie C półgrupa generowana przez operator A. Wtedy (a) istnieja stałe ω R oraz M 1 takie, że 1 Dla uproszczenia, często będziemy pisać w skrócie {S(t)} t lub S S(t) Me ωt dla t, (1.26) 21

(b) jeśli x X, to S(s)x ds D(A) dla t > oraz ( ) A S(s)x ds = S(t)x x, (c) jeśli x D(A), to S(t)x D(A) dla t oraz (d) jeśli x D(A) oraz t > s, to S(t)x S(s)x = d S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax, dt s S(τ)Ax dτ = s AS(τ)x dτ. Jeśli oszacowanie w punkcie (a) powyższego twierdzenia przyjmuje postać S(t) 1 dla t, to będziemy mówić, że {S(t)} t jest półgrupa kontrakcji. Warto wspomnieć, że w przypadku C półgrupy {S(t)} t spełniającej oszacowanie (1.26), istnieje możliwość wprowadzenia na przestrzeni X normy równoważnej z w taki sposób, aby stała M z oszacowania półgrupy w nowej normie równa jeden. W tym celu na przestrzeni X, definiujemy funkcję : X [, + ) wzorem x := sup e ωt S(t)x dla x X. (1.27) t Nietrudno zauważyć, że jest poprawnie zdefiniowaną normą na przestrzeni X, która dodatkowo jest równoważna z wyjściową normą, co wynika to z następującego oszacowania x x M x dla x X. Ponadto nietrudno zauważyć, że dla dowolnego t półgrupa {S(t)} t spełnia nierówność S(t)x e ωt x dla x X. (1.28) Rzeczywiście, jeśli t, to S(t )x = sup t e ωt S(t)S(t )x = e ωt sup e ω(t+t) S(t + t )x t = e ωt sup t t e ωt S(t)x e ωt x. W dalszych rozważaniach przez {S A (t)} t będziemy oznaczać C półgrupę generowaną przez operator A. Ponadto dla dowolnych stałych M 1 oraz ω R przyjmujemy K(M, ω) := {A : D(A) X A generuje C półgrupę taką, że S A (t) Me ωt dla t }. 22

Uwaga 1.15 Niech operator liniowy A : D(A) X będzie taki, że A generuje C półgrupę {S A (t)} t. Wówczas (a) dla dowolnych liczb rzeczywistych b oraz a > mamy, że S bi+aa (t) = e bt S A (at) dla t. Istotnie, zauważmy, że rodzina operatorów {e bt S A (at)} t jest C półgrupą. Niech à : D(Ã) X będzie jej generatorem. Nietrudno sprawdzić, że e bt S A (at)x x t = ae bt S A(at)x x at + ebt 1 x dla t. t Zatem, jeśli x D(Ã), to x D(A) oraz Ãx = aax+bx, czyli à aa bi. Podobnie nietrudno sprawdzić, że jeśli x D(A), to x D(Ã) oraz Ãx = aax + bx, a zatem mamy też, że aa bi à i w konsekwencji aa bi = Ã. (b) Operator A C jest generatorem C półgrupy {S AC (t)} t oraz S AC (t) = S A (t) C dla t. Aby to sprawdzić, zauważmy najpierw, że rodzina operatorów {S A (t) C : X C X C } t jest C półgrupą na X C. Niech à : D(Ã) X C będzie jej generatorem. Trzeba dowieść, że à = A C. W tym celu zauważmy, że S A (t) C z z t = S A(t)x x t + S A(t)y y i, (1.29) t dla z X C, z = x + yi. Niech z D(Ã). Wtedy S A (t) C z z Ãz = lim, (1.3) t + t co wobec równości (1.29) oznacza, że istnieją granice S A (t)x x lim t + t oraz S A (t)y y lim. (1.31) t + t Stąd mamy, że x, y D(A) oraz Ãz = Ax Ayi = A Cz i dlatego à A C. Niech teraz z D(A C ). Wtedy istnieją x, y D(A) takie, że z = x + yi. Zatem istnieją granice (1.31), co w połączeniu z równością (1.29) implikuje, że S A (t) C z z lim t + t S A (t)x x S A (t)y y = lim + lim t + t t + t i = Ax Ayi. Dlatego z D(Ã) oraz Ãz = Ax Ayi = A Cz. Otrzymana równość dowodzi, że A C à i w konsekwencji à = A C. Poniżej podajemy Twierdzenie, które pełni zasadniczą rolę w charakteryzacji C półgrup i ich generatorów. 23

Twierdzenie 1.16 [38, Theorem 1.5.3](Hille-Yosida) Operator liniowy A jest generatorem C półgrupy {S(t)} t spełniajacej oszacowanie S(t) Me ωt wtedy i tylko wtedy, gdy (i) A jest domknięty oraz D(A) jest zbiorem gęstym w przestrzeni X, (ii) zbiór rezolwenty ϱ(a) operatora A zawiera (ω, + ) oraz R(λ : A) n M/(λ ω) n dla λ > ω, n 1. Wprowadźmy teraz następujące definicje. Powiemy, że półgrupa {S(t)} t jest równociagła, jeśli dla dowolnego t > i dowolnego ograniczonego zbioru B X rodzina funkcji {S( )x} x B jest równociągła w punkcie t ; półgrupa {S(t)} t jest zwarta, jeśli dla dowolnego t > operator S(t) jest zwarty; rodzina półgrup {S λ } λ [,1] jest zwarta, jeśli dla dowolnego zbioru ograniczonego V X i dowolnego t > zbiór S λ (t)(v ) jest relatywnie zwarty w X. λ Λ W celu scharakteryzowania półgrup zwartych, bardzo wygodnie jest posługiwać się następującym Twierdzeniem Brezisa-Pazy ego Twierdzenie 1.17 [38, Theorem 2.3.2] Niech {S(t)} t będzie C półgrupa generowana przez operator A. Wówczas {S(t)} t jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest równociagła oraz operator A ma zwarte rezolwenty. Wprowadźmy teraz pojęcie zbieżności wykresowej Definicja 1.18 Niech (A n ) K(M, ω) będzie ciągiem operatorów. Powiemy, że ciąg (A n ) zbiega względem wykresu do A K(M, ω), co oznaczamy jako A n G A przy n, jeśli dla każdego λ > ω oraz dowolnego x X mamy (λi + A n ) 1 x (λi + A ) 1 x przy n. Uwaga 1.19 Z Twierdzenia Hille a - Yosidy wiemy, że jeśli A jest generatorem C półgrupy spełniającej dla pewnych stałych ω oraz M 1 oszacowanie S A (t) Me ωt, to (ω, + ) ϱ( A). Definicja 1.2 Powiemy, że rodzina operatorów {A(λ)} λ [,1] K(M, ω) jest G ciagła, jeśli A(λ n ) G A(λ ), przy n +, dla dowolnego ciągu (λ n ) [, 1] takiego, że λ n λ, przy n +. Ważną konsekwencją zbieżności wykresowej operatorów jest następujące twierdzenie Twierdzenie 1.21 [3, Proposition III.3.18] Jeśli A G n A oraz x n x, to S An (t)x n S A (t)x dla dowolnego t, jednostajnie ze względu na t ze zwartych podzbiorów przedziału [, + ). 24

Na koniec odnotujmy jeszcze następującą wersje twierdzenia spektralnego dla C półgrup Twierdzenie 1.22 [29, Theorem 16.7.2] Niech {S A (t)} t będzie C półgrupa na zespolonej przestrzeni Banacha X, generowana przez operator A. Wtedy e tσp(a) σ p (S A (t)) e tσp(a) {} dla t >. Ponadto, jeśli λ σ p (A), to ( ) Ker(e λt I S A (t)) = span Ker(λ k,t I A), (1.32) gdzie λ k,t = λ + (2kπ/t)i dla k Z. Uwaga 1.23 Jeśli A : H D(A) H jest gęsto określonym, samosprzężonym operatorem liniowym na rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni Hilberta H takim, że A generuje C półgrupę {S A (t)} t, to zgodnie z [38, Corollary 1.1.6] operator S A (t) jest również samosprzężony dla dowolnego t. Uwaga 1.24 Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Banacha oraz niech A : D(A) X będzie operatorem samosprzężonym o zwartych rezolwentach takim, że A generuje zwartą C półgrupę {S A (t)} t taką, że k Z S A (t) Me ωt dla t dla pewnych stałych M >, ω R. Wówczas na mocy Wniosku 1.11, punktu (a) Stwierdzenia 1.13 i Twierdzenia 1.16 mamy, że spektrum operatora A tworzy ciąg (λ k ) jego wartości własnych taki, że ω < λ 1 < λ 2 <... < λ k <.... Zauważmy, że przy ustalonym t > e λ 1t > e λ 2t >... > e λ kt >... jest ciągiem niezerowych wartości własnych operatora S A (t) oraz Istotnie, z Twierdzenia 1.22, mamy Ker(λ k I A) = Ker(e λ kt I S A (t)) dla k 1. (1.33) e tσp(a C) σ p (S AC (t)) e tσp(a C) {} dla t >. (1.34) Skoro z punktu (b) Uwagi 1.15 mamy, że σ p (S A (t)) = σ p ((S A (t)) C ) = σ p (S AC (t)) dla t > oraz e tσp(a) = e tσp(a C), na mocy (1.34) otrzymujemy e tσp(a) σ p (S A (t)) e tσp(a) {} dla t >, a stąd mamy, że (e λ kt ) jest ciągiem niezerowych wartości własnych operatora S A (t) dla dowolnego t >. Z kolei, z Twierdzenia 1.22 i punktu (b) Uwagi 1.15, dla dowolnego całkowitego k 1 i t >, mamy Ker(e λ kt I S A (t)) C = Ker(e λ kt I S AC (t)) = Ker(λ k I A C ) = Ker(λ k I A) C, skąd wynika (1.33). 25

1.5 Operatory wycinkowe Definicja 1.25 Niech A : D(A) X będzie gęsto określonym i domkniętym operatorem liniowym na przestrzeni Banacha X. Powiemy, że operator A jest wycinkowy, jeśli istnieją stałe M >, a R oraz < δ < π takie, że spełnione są następujące warunki 2 (a) zbiór rezolwenty ϱ(a) operatora A zawiera Σ a,δ, gdzie Σ a,δ = {λ C \ {a} δ < Arg(λ a) π} {a}, (b) R(λ : A) M/ λ a dla λ Σ a,δ, λ a. Jeśli X jest przestrzenią liniową nad ciałem R, to przez punkt (b) rozumiemy R(λ : A C ) C M/ λ a dla λ Σ a,δ, λ a. Uwaga 1.26 Jeśli A : D(A) X jest operatorem wycinkowym takim, że re σ(a) > 2, to istnieją liczby a >, < δ < π oraz M 2 > takie, że operator A spełnia punkty (a) i (b) Definicji 1.25 ze stałymi a := a, δ := δ i M := M. Istotnie, zgodnie z założeniem istnieją liczby a R, < δ < π oraz M > takie, że 2 spełnione są warunki (a) i (b) Definicji 1.25. Jeśli a >, to nasz lemat jest udowodniony. Jeśli a, to zgodnie z założeniami istnieje stała c > taka, że σ(a) {λ re λ > c}. Wobec tego, że Σ a,δ ϱ(a), gdzie δ (, π/2), otrzymujemy, że istnieją liczby c > a > oraz δ (δ, π/2) takie, że Σ a,δ cl Σ a,δ ϱ(a). Pokażemy, że istnieje stała M > taka, że R(λ : A) M / λ a dla λ Σ a,δ, λ a. (1.35) Skoro a > a oraz δ (δ, π/2), mamy więc, że zbiór Σ a,δ \ Σ a,δ jest ograniczony. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że jest zawarty w kuli domkniętej D(, R) C o promieniu R >. Niech R = max(r, a + 1). Na mocy punktu (b) Stwierdzenia 1.3 odwzorowanie λ (λi A) 1, określone na zbiorze ϱ(a) o wartościach w L(X), jest ciągłe, więc powołując sie na zwartość zbioru D(, R ) cl Σ a,δ ϱ(a) możemy wybrać liczbę M 1 > taką, że Stąd wynika, że (λi A) 1 M 1 dla λ D(, R ) Σ a,δ. (1.36) (λi A) 1 M 1 2R M 1 λ a 1 (1.37) dla λ ϱ(a) B(, R ). Ponadto, jeśli λ R, to λ a λ a λ a + a a λ a 2 re σ(a) = inf{ re λ λ σ(a)} = 1 + a a λ a 1 + a a := K, 26

przy czym ostatnia nierówność jest konsekwencją tego, że λ R a + 1. Zatem jeśli λ Σ a,δ \ D(, R ), to λ Σ a,δ oraz (λi A) 1 M λ a 1 KM λ a 1. (1.38) Przyjmując M = max(km, 2R M 1 ), dowodzimy poprawności uwagi. Stwierdzenie 1.27 Niech H będzie rzeczywista przestrzenia Hilberta oraz niech A : D(A) H będzie gęsto określonym i samosprzężonym operatorem liniowym. Załóżmy ponadto, że operator A jest ograniczony z dołu, czyli istnieje liczba m R taka, że Wtedy (a) operator A jest wycinkowy, (b) re σ(a) m. (Ax, x) m x 2 dla x D(A). (1.39) Dowód. Punkt (a) powyższego lematu stanowi treść Stwierdzenia 1.3.3 z [14], gdzie jest zamieszczony wraz z dowodem. Pokażemy wiec, że re σ(a) m. Aby to zrobić, sprawdzimy, że λ ϱ(a), jeśli tylko re λ < m. W tym celu zauważmy, że dla dowolnego λ C oraz z H C, z = x + yi mamy re (A C z λz, z) C = re (Ax + Ayi, x + yi) C re (λ(z, z) C ) = (Ax, x) + (Ay, y) re (λ(z, z) C ) m( x 2 + y 2 ) re λ z 2 C = (m re λ) z 2 C. Korzystając z nierówności Schwarza, wnioskujemy, że λz A C z C (m re λ) z C dla z H C, λ C. (1.4) Niech λ C będzie taka, że re λ < m. Wtedy Ker(λI A C ) =. Rzeczywiście, jeśli λz A C z = dla pewnego z H C, to korzystając z (1.4) otrzymujemy, że z =. Udowodnimy teraz, że Im (λi A C ) jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni H C. Niech (z n ) D(A C ) będzie taki, że λz n A C z n y, gdy n. Wtedy ciąg (y n ), gdzie y n = λz n A C z n dla n 1 spełnia warunek Cauchy ego. Korzystając z (1.4) mamy również, że ciąg (x n ) H C spełnia warunek Cauchy ego. Zatem istnieje x H C takie, że x n x, gdy n. Operator A jest samosprzężony, a wiec i domknięty. Dlatego x D(A C ) oraz λx A C x = y i w konsekwencji y Im (λi A C ). Kończy to dowód domkniętości obrazu operatora λi A C. Niech teraz y Im (λi A C ). Wtedy (λz A C z, y) =, dla z D(A C ), czyli w szczególności (A C z, y) = (z, λy) dla z D(A C ). Oznacza to, że y D(A C ) oraz A C y = λy. W konsekwencji y Ker(λI A C) ponieważ z założeń mamy, że A = A, a więc A C = A C. Korzystając po raz kolejny z (1.4), otrzymujemy, że y =. Wnioskujemy dalej, że Im (λi A C ) =, co implikuje, że Im (λi A C ) = H C ponieważ jak wcześniej udowodniliśmy Im (λi A C ) jest podprzestrzenią domkniętą. Wobec tego, że A C jest domknięty mamy, że λ ϱ(a). 27

Twierdzenie 1.28 Jeśli A : D(A) X jest operatorem wycinkowym, to A jest generatorem równociagłej C półgrupy {S A (t)} t takiej, że S A (t) M e at dla t (1.41) dla pewnej stałej M 1, gdzie stała a jest taka, jak w Definicji 1.25. Uwaga 1.29 Fakt, że w powyższym twierdzeniu A jest generatorem C półgrupy spełniającej oszacowanie (1.41), jest udowodniony w [38] (Theorem 1.7.7). Aby uzasadnić, że półgrupa {S A (t)} t jest równociągła, powołujemy się na oszacowanie (1.41) i Theorem 2.5.2 (d) z [38], które mówi, że jeśli operator A spełnia warunki (a), (b) z Definicji 1.25 oraz S A (t) M e at dla t, to półgrupa {S A (t)} t jest różniczkowalna. Z kolei jeśli {S A (t)} t jest różniczkowalna, to jest równociągła, co jest treścią Lematu 2.4.2 z [38]. Wniosek 1.3 Jeśli A : D(A) X jest operatorem wycinkowym takim, że re σ(a) >, to A jest generatorem równociagłej C półgrupy {S A (t)} t takiej, że dla pewnych stałych M 1 oraz ω >. S A (t) M e ωt, (1.42) Dowód. Zgodnie z Uwagą 1.26 istnieją stałe a >, δ (δ, π/2) oraz M > takie, że punkty (a) i (b) Definicji 1.25 spełnione są ze stałymi a := a, δ := δ i M := M. Z Twierdzenia 1.28 otrzymujemy, że istnieje stała M 1 taka, że S A (t) M e a t dla t. Kładąc ω := a otrzymujemy tezę. Definicja 1.31 Niech A : D(A) X będzie operatorem wycinkowym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X takim, że re σ(a) >. Dla dowolnej liczby α > potęga ułamkowa operatora A rzędu α będziemy nazywać operator A α dany wzorem A α := 1 Γ(α) t α 1 S A (t) dt. (1.43) Przypominamy, że w powyższej definicji odwzorowanie Γ: (, + ) R jest funkcją Eulera daną wzorem Γ(x) := t x 1 e t dt dla x >. Zgodnie z Wnioskiem 1.3, półgrupa {S A (t)} t jest równociągła, skąd wynika, że odwzorowanie t t α 1 S A (t) L(X), określone na (, + ), jest ciągłe. W związku z nierównością (1.42) dowodzi to, że całka niewłaściwa z powyższej definicji jest zbieżna w topologii jednostajnej operatorów, a zatem A α jest elementem przestrzeni L(X). Na mocy Lemma 2.6.6 z [38], określony w ten sposób operator A α jest różnowartościowy, 28

dla dowolnej liczby α >. Daje nam to możliwość zdefiniowania dodatnich potęg ułamkowych operatora A w następujący sposób. Jeśli α >, to definiujemy operator liniowy A α : D(A α ) X jako D(A α ) := Im (A α ) Jeśli α =, to kładziemy A α = A := I. A α x := (A α ) 1 x dla x D(A α ) Definicja 1.32 Dla operatora wycinkowego A oraz dowolnej liczby α definiujemy przestrzeń unormowaną (X α, α ), gdzie X α := D(A α ) oraz u α := A α u dla x X α. Nietrudno zauważyć, że dla dowolnej liczby α operator A α, jako odwrotność operatora domkniętego, jest również domknięty, co implikuje, że przestrzeń X α jest przestrzenią Banacha. Rodzinę (X α, α ) α nazywamy skala przestrzeni ułamkowych wyznaczonych przez operator A. Poniższe twierdzenie stanowi zestawienie najważniejszych własności operatorów wycinkowych i ich potęg ułamkowych (dla dowodu patrz [38, Theorem 2.6.8] oraz [38, Theorem 2.6.13]). Twierdzenie 1.33 Niech A będzie operatorem wycinkowym takim, że re σ(a) >. Wówczas (a) jeśli α, to S A (t)x X α dla każdego t > ; (b) jeśli x D(A α ), to S A (t)a α x = A α S A (t)x dla t ; (c) istnieja liczby c >, M α > takie, że dla t > A α S A (t) L(X) oraz A α S A (t) M α t α e ct ; (d) jeśli α, β R, to dla dowolnego x D(A γ ), gdzie γ = max(α, β, α + β), mamy A α+β x = A α A β x. Uwaga 1.34 Niech A : D(A) X będzie operatorem wycinkowym takim, że re σ(a) >. Wtedy rodzina {S A (t) X α : X α X α } t jest C półgrupą na przestrzeni X α. Istotnie, na mocy punktu (a) Twierdzenia 1.33 mamy, że S A (t)x α X α dla dowolnego t. Zatem operator S A (t) X α jest poprawnie określony dla każdego t oraz S A () X α = I X α, S A (t + s) X α = S A (t) X αs A (s) X α dla t, s. Korzystając z punktu (b) tego samego twierdzenia, dla dowolnego t oraz x X α mamy, że S A (t)x α = A α S A (t)x = S A (t)a α x S A (t) A α x = S A (t) x α, a zatem dla dowolnego t operator S A (t) X α jest ograniczony. Korzystając ponownie z punktu (b) Twierdzenia 1.33, dla dowolnego x X α mamy, że lim S A(t) X αx x α = lim Aα S A (t)x A α x = lim S A(t)A α x A α x =, t + t + t + co dowodzi, że rodzina {S A (t) X α} t jest C półgrupą na X α. 29