ALGEBRA IR WYK LADY IX I X (8. LISTOPADA I 5. GRUDNIA 01 R.) WERSJA OSTATECZNA RAFA L R. SUSZEK (KMMF) 5. Dzia lanie grupy na zbiorze Zasada symetrii jest bezsprzecznie jedn a z podstawowych zasad nowoczesnej fizyki, porz adkuj ac a w duchu prac Wignera strukturȩ teorii fizykalnych (w terminach tzw. teorii reprezentacji grup symetrii) i wyjaśniaj ac a za Noether g lȩboki sens matematyczny fizykalnych zasad zachowania. W po l aczeniu z zasad a lokalności prowadzi ona wprost do mechanizmu cechowania symetrii globalnych, fundamentalnego dla obowi azuj acego opisu teoretycznego (czȩści) oddzia lywań elementarnych, jak również dla modeli fizyki matematycznej stanowi acych rozwijane obecnie propozycje kwantowego opisu oddzia lywań grawitacyjnych. Punktem wyjścia do strukturalnego zrozumienia zasady symetrii jest wprowadzenie pojȩcia dzia lania grupy na zbiorze. Definicja 36. Przyjmijmy notacjȩ Def. 19. Niechaj X bȩdzie zbiorem i niech (G, φ, φ 1, φ 0 ) bȩdzie grup a. Lewostronne dzia lanie grupy G na zbiorze X to odwzorowanie λ G X X (g, x) g x spe lniaj ace nastȩpuj ace aksjomaty (wyrażone przez diagramy przemienne i równoważne zdania logiczne): (ldg1) (homomorficzność dzia lania) G G X id G λ G X φ id X G X λ (ldg) (trywialność dzia lania elementu neutralnego) X { } X φ0 id X G X pr λ g,h G x X g (h x) = φ (g, h) x ; λ X x X e x = x. Parȩ (X, λ) określamy mianem zbioru z dzia laniem lewostronnym G (lub też z angielska lewostronnym G-zbiorem). Prawostronne dzia lanie grupy G na zbiorze X to odwzorowanie ϱ X G X (x, g) x g spe lniaj ace nastȩpuj ace aksjomaty (wyrażone przez diagramy przemienne i równoważne zdania logiczne): (rdg1) (homomorficzność dzia lania) X G G ϱ id G X G id X φ X G ϱ X ϱ g,h G x X (x h) g = x φ (h, g) ; Wersja wstȩpna z 14 grudnia 01, 0:16 (GMT+1). 1
(rdg) (trywialność dzia lania elementu neutralnego) X { } id X φ 0 X G pr 1 ϱ X x X x e = x. Parȩ (X, ϱ) określamy mianem zbioru z dzia laniem prawostronnym G (lub też prawostronnym G-zbiorem). Jako prosty wniosek z powyższej definicji otrzymujemy Stwierdzenie 37. W notacji Def. 19 i 36 oznaczmy dla dowolnego g G λ g X X x g x, ϱ g X X x x g. Wówczas odwzorowanie dane wzorem λ G Map(X, X) g λ g jest homomorfizmem monoidu (G, φ, φ 0 ) w monoid (Map(X, X),, id X ) odwzorowań zbioru X w siebie (ze sk ladaniem odwzorowań oraz odwzorowaniem tożsamościowym jako elementem neutralnym). Homomorfizm ten określamy mianem lewostronnej realizacji (albo inaczej reprezentacji) grupy G na zbiorze X indukowanej przez dzia lanie λ. Analogicznie odwzorowanie dane wzorem ϱ G Map(X, X) g ϱ g jest homomorfizmem monoidu (G, φ opp, φ 0 ) w monoid (Map(X, X),, id X ). Homomorfizm ten określamy mianem prawostronnej realizacji (albo inaczej reprezentacji) grupy G na zbiorze X indukowanej przez dzia lanie ϱ. Notacja 4. O ile nie bȩdzie to prowadzi lo do nieporozumień, bȩdziemy czasem używać pojȩcia,,dzia lanie w odniesieniu do odwzorowania λ (wzgl. ϱ ). Obraz realizacji grupy daje siȩ opisać dużo precyzyjniej. Stwierdzenie 38. W notacji Def. 19 i 36 dowolna realizacja lewostronna (wzglȩdnie prawostronna) G na X jest homomorfizmem tejże grupy (wzglȩdnie grupy do niej przeciwnej) w grupȩ symetryczn a na X. I odwrotnie, każdy taki homomorfizm definiuje pewn a realizacjȩ grupy na G. Dowód: Każdy homomorfizm grup jest zarazem homomorfizmem odnośnych monoidów, jedyn a zatem nietrywialn a czȩści a powyższego stwerdzenia jest ta mówi aca o bijektywnym charakterze odwzorowań λ g i ϱ g dla dowolnego g G. Ich surjektywność jest prost a konsekwencj a tożsamości λ g λ g 1 = λ g g 1 = λ e = id X = ϱ e = ϱ g 1 g = ϱ g ϱ g 1, oto bowiem otrzymujemy dla dowolnego x X x = λ g λ g 1(x) Im λ g oraz x = ϱ g ϱ g 1(x) Im ϱ g. Injektywność odwzorowania λ g dla dowolnego g G stwierdzamy w bezpośrednim rachunku: λ g (x) = λ g (y) x = λ g 1 λ g (x) = λ g 1 λ g (y) = y, w którym x, y X s a dowolne. Analogiczny rachunek dowodzi injektywności ϱ g. Kolejny wynik pozwala nam ograniczyć siȩ w dalszych rozważaniach, bez jakiejkolwiek straty ogólności, do dzia lań lewostronnych 1. Oto bowiem 1 Odstȩpstwem od regu ly bȩdzie dyskusja wi azek g lównych o grupie strukturalnej G, co do których zwyczajowo zak lada siȩ, że tzw. w lókno typowe jest przestrzeni a z (regularnym) dzia laniem prawostronnym G.
Stwierdzenie 39. W notacji Def. 19 i 36 izomorfizm grup φ 1 (G, φ, φ 1, φ 0 ) (G, φ opp, φ 1, φ 0 ) indukuje kanoniczn a bijekcjȩ miȩdzy zbiorami Mor L (G, X) lewostronnych i Mor R (G, X) prawostronnych dzia lań grupy G na zbiorze X, dan a wzorem Dowód: Odwrotności a L φ 1 L φ 1 Mor L (G, X) Mor R (G, X) λ λ φ 1. jest odwzorowanie R φ 1 Mor R (G, X) Mor L (G, X) ϱ ϱ φ 1, por. Stw. 15 (ii). Przyk lad(y) 5. (1) Dzia lanie trywialne: λ G S X g id X. () Naturalne dzia lanie grupy symetrycznej S X na zbiorze X poprzez permutacje jego elementów: λ = id SX. (3) Dzia lanie grupy Z (z dodawaniem) na zbiorze R przez przesuniȩcia, λ = T Z S R n T n, gdzie T n R r r + n. Innym typem dzia lania tej samej grupy Z na tym samym zbiorze R jest odwzorowanie λ = ( 1) Z S R n ( 1) n, gdzie ( 1) n R r ( 1) n r. Przyk lady te dokumentuj a możliwość istnienia ca lkowicie różnych realizacji tej samej grupy na tym samym zbiorze. (4) Dzia lanie do l aczone grupy G na sobie: λ = Ad G Inn(G) S G. Elementy g, Ad h (g) G nazywamy (wzajem) sprzȩżonymi. Określenie to przenosimy także na podgrupy nazywaj ac podgrupȩ Ad g (H) podgrup a sprzȩżon a wzglȩdem podgrupy H G. (5) Dzia lanie (lewostronne) regularne grupy G na sobie: λ = l G S G g l g, gdzie l g G h g h. (6) Dzia lanie grupy symetrycznej S X na Map(X, Y ), dla dowolnej pary zbiorów X, Y, poprzez cofniȩcie wzglȩdem odwrotności permutacji, ( ) Inv S X S Map(X,Y ) σ (σ 1 ), (σ 1 ) Map(X, Y ) f f σ 1. Jego z lożenie z dzia laniem dowolnej grupy G na X prowadzi do realizacji tejże grupy na Map(X, Y ), szczególnie istotnej w kontekście fizykalnym (w którym najczȩściej zbiór X jest nośnikiem dodatkowej struktury, np. struktury topologicznej lub różniczkowej, jak to ma miejsce choćby w przypadku czasoprzestrzeni, na której dzia la grup a izometrii, albo też wi azki pól rozważanego modelu dynamiki, na której to wi azce dzia la grupa symetrii teorii pola). (7) Dzia lanie grupy R/πZ U(1) na p laszczyźnie R C przez obrót o środku (0, 0), wedle definicji R R/πZ S C [θ] R θ, R θ C z e iθ z. W opisie kartezjańskim otrzymujemy znajome formu ly: R (R θ (z)) = e iθ z + e iθ z = cos θ R(z) + sin θ I(z), I (R θ (z)) = cos θ I(z) sin θ R(z), = (cos θ i sin θ) (R(z) + i I(z)) + (cos θ + i sin θ) (R(z) i I(z)) które możemy przedstawić zwiȩźle w zapisie macierzowym: ( R(R θ(z)) I(R θ (z)) ) = ( cos sin θ θ cos sin θ θ ) ( R(z) I(z) ). Zapis ten ilustruje ci ag izomorfizmów grup R/πZ U(1) SO(, R). (8) Naturalne dzia lanie grupy obrotów w przestrzeni R 3 o środku w punkcie o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0) ogranicza siȩ do dowolnej -sfery o środku w tymże punkcie. (9) Dzia lanie grupy warkoczy na... 3
Zgodnie z ogóln a logik a wyk ladu dyskusjȩ wstȩpn a zakończymy opisem odwzorowań miȩdzy nośnikami reprezentacji grupy, zgodnych z t a struktur a. Definicja 37. Przyjmijmy notacjȩ Def. 19 i 36 i niech (X (α), λ (α) ), α {1, } bȩd a zbiorami z dzia laniem lewostronnym grupy G. Odwzorowanie lewostronnie G-ekwiwariantne (albo inaczej lewostronne G-odwzorowanie wzglȩdnie lewostronny G-homomorfizm) (X (1), λ (1) ) w (X (), λ () ) to odwzorowanie f X (1) X () spe lniaj ace aksjomat (wyrażony przez diagram przemienny i równoważne zdanie logiczne): G X (1) λ (1) id G f X (1) G X () λ () X () f (g,x) G X (1) f λ (1) g (x) = λ () g f(x). (lge) Jeśli f jest przy tym bijekcj a, to mówimy o G-ekwiwariantnym izomorfizmie zbiorów z dzia laniem lewostronnym. Odwzorowanie prawostronnie G-ekwiwariantne definiujemy analogicznie. Przyk lad(y) 6. (1) Niechaj (0,0) bȩdzie zbiorem trójk atów na p laszczyźnie o jednym z wierzcho lków w punkcie (0, 0). Na zbiorze tym grupa GL(, R) odwracalnych przekszta lceń liniowych punktów p laszczyzny dzia la w naturalny sposób: obrazem punkt trójk ata o wspó lrzȩdnych (x, y) wzglȩdem dzia lania macierzy ( a c d b ) GL(, R) jest punkt p laszczyzny o wspó lrzȩdnych (a x+b y, c x+d y). Odwzorowanie A (0,0) R >0 przyporz adkowuj ace trójk atowi jego pole powierzchni jest GL(, R)-ekwiwariantne wzglȩdem rzeczonego dzia lania na (0,0) i nastȩpuj acego dzia lania na R >0 : GL(, R) R >0 R >0 (( a c d b ), r) (a d b c) r. () Dla pary grup (G (α), φ (α), φ (α) 1, φ (α) 0 ), α {1, } dowolny komomorfizmy χ G (1) G () jest odwzorowaniem G (1) -ekwiwariantnym wzglȩdem dzia lania do l aczonego, przy czym χ (G (1), Ad) (G (), Ad (χ id G ())), Ad G (1) G (1) G (1) (g, h) Ad g (h), por. Przyk l. 19 (), jak również wzglȩdem dzia lania lewostronnego regularnego, przy czym χ (G (1), l) (G (), l (χ id G ())), l G (1) G (1) G (1) (g, h) g h, por. Przyk l. 5 (5). W tym ostatnim przypadku konkretnym przyk ladem jest automorfizm antypodalny α U(1) u u na okrȩgu jednostkowym U(1) S 1. (3) Niechaj (G, φ, φ 1, φ 0 ) bȩdzie grup a, (k, A, M, P, Inv, 0, 1) zaś dowolnym cia lem, traktowanym jako zbiór z trywialnym dzia laniem λ 0 G k k (g, k) k. Funkcje klas grupy G o wartościach z cia la k s a definiowane jako odwzorowania G-ekwiwariantne f (G, Ad) (k, λ 0 ). Konkretnym przyk ladem takiej funkcji jest znak permutacji sign S X Z/Z. Elementarnej charakteryzacji odwzorowań G-ekwiwariantnych dostarcza Stwierdzenie 40. Odwrotność dowolnego bijektywnego odwzorowania G-ekwiwariantnego jest także odwzorowaniem G-ekwiwariantnym. 4
Dowód: Przyk ladaj ac odwrotność f do obu stron równości f λ (1) g (x) = λ () g f(x), zapisanej dla dowolnych g G oraz x X (1) i definiuj acej odwzorwanie G-ekwiwariantne, otrzymujemy λ (1) g (x) = id X (1) λ (1) g (x) = f 1 f λ (1) g (x) = f 1 λ () g f(x), skoro jednak dla każdego x X (1) istnieje, i to dok ladnie jedno, y X () o w lasności a przy tym X () = f(x (1) ), to wnioskujemy, że dla dowolnych g G i y X (). λ (1) x = f 1 (y), g f 1 (y) = f 1 λ () g (y) Dalszej charakteryzacji tych odwzorowań dokonamy po wprowadzeniu dodatkowych pojȩć. Zbadamy teraz anatomiȩ dzia lania grupy na zbiorze zarówno od strony grupy, jak i od strony zbioru, po to by sklasyfikować w naturalny sposób typy dzia lań i ostatecznie powi azać obie sk ladowe opisu w terminach teorii mocy. Zaczniemy dyskusjȩ od strony grupy. Definicja 38. W notacji Def. 19 i 36 stabilizator (lub grupa izotropii) elementu x X nośnika dzia lania grupy G to zbiór G x = { g G g x = x }. Przyk lad(y) 7. (1) Ca la grupa G jest stabilizatorem dowolnego elementu nośnika reprezentacji trywialnej. () Stabilizatorem elementu x X wzglȩdem naturalnego dzia lania S X jest zbiór wszystkich tych permutacji σ elementów X, których nośnik nie zawiera x. I tak, np., supp(σ) = { x X σ(x) x }, (S 3 ) 1 = {id {1,,3}, (3)} Z. (3) Stabilizatorem dowolnego elementu R wzglȩdem dzia lania T z Przyk l. 5 (3) jest grupa trywialna. Stabilizatorem każdego elementu r 0 wzglȩdem dzia lania ( 1) z tego samego przyk ladu jest podgrupa Z Z. W przypadku r = 0 stabilizatorem wzglȩdem tego dzia lania jest pe lna grupa Z. (4) Stabilizator elementu g G wzglȩdem dzia lania do l aczonego Ad z Przyk l. 5 (4) określamy mianem centralizatora x i oznaczamy jako C G (g) = { h G Ad h (g) = g }. Ogólniej, dla dowolnego podzbioru H G definiujemy centralizator S jako podgrupȩ C G (S) = { g G h H Ad g (h) = h }. (5) Stabilizatorem dowolnego punktu x -sfery o środku w punkcie o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0) wzglȩdem (ograniczenia) dzia lania grupy obrotów z Przyk l. 5 (8) jest podgrupa obrotów (p laskich) wokó l osi przechodz acej przez x oraz przez punkt o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0). (6) Stabilizatorem dowolnego wierzcho lka n-k ata foremnego wzglȩdem dzia lania jego grupy symetrii D n jest podgrupa (izomorficzna z) Z generowana przez odbicie symetryczne wzglȩdem dwusiecznej k ata przy tymże wierzcho lku. Mamy oczywiste Stwierdzenie 41. Stabilizator dowolnego elementu nośnika dzia lania grupy jest podgrup a tej ostatniej. Ponadto Stwierdzenie 4. W notacji Def. 19, 3 i 36 zachodzi tożsamość Ker λ = G x. x X Przyk lad(y) 8. (1) Ker λ = G dla trywialnego dzia lania λ grupy G na dowolnym zbiorze. 5
() J adro naturalnego dzia lania S X na X jest trywialne. (3) Ker T = {0} oraz Ker ( 1) = Z dla dzia lań T i ( 1) grupy Z na R z Przyk l. 5 (3). (4) Ker Ad = Z (G) dla dzia lania do l aczonego grupy G na sobie z Przyk l. 5 (4). Dzia lanie regularne z Przyk l. 5 (5) ma j adro trywialne. W nastȩpnej kolejności zajmiemy siȩ relacjami, jakie dzia lanie grupy wprowadza w nośniku realizacji. W tym celu bȩdziemy potrzebować dodatkowego pojȩcia, które określa Definicja 39. W notacji Def. 19 i 36 orbita elementu x X wzglȩdem dzia lania λ to zbiór G x = { λ g (x) g G }. Przyk lad(y) 9. (1) Orbit a elementu x X wzglȩdem dzia lania trywialnego grupy G na X jest singleton {x}. () Orbit a elementu x X wzglȩdem naturalnego dzia lania S X na X jest X. (3) Zbiór { r, r} jest orbit a dzia lania ( 1) grupy Z na R z Przyk l. 5 (3). (4) Orbitȩ elementu g G wzglȩdem dzia lania do l aczonego grupy G na sobie z Przyk l. 5 (4) określamy mianem klasy sprzȩżoności g i oznaczamy jako C(g) = { Ad h (g) h G }. (5) Orbit a elementu g G wzglȩdem dzia lania regularnego grupy G na sobie z Przyk l. 5 (5) jest G. Orbit a tegoż g G wzglȩdem dzia lania regularnego podgrupy H na grupie G, l H G G (h, g) h g, jest warstwa prawostronna Hg. (6) Orbit a elementu z C wzglȩdem dzia lania R grupy R/πZ z Przyk l. 5 (7) jest okr ag z U(1). (7) Orbit a dowolnego punktu x R 3 wzglȩdem naturalnego dzia lania grupy obrotów w R 3 (wzglȩdem punktu o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0)) jest -sfera o środku w punkcie o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0) i promieniu x. Możemy już teraz wys lowić Stwierdzenie 43. W notacji Def. 19 i 36 relacja na X x, y zadana, jak nastȩpuje: jest relacj a równoważności. wzglȩdem tego dzia lania. x λ y x G y, Dzia lanie grupy zadaje zatem rozk lad nośnika na sumȩ roz l aczn a orbit Dowód: (1) x = e x G x x λ x. () x λ y g G x = g y g 1 x = g 1 (g y) = (g 1 g) y = e y = x y λ x. (3) ( x λ y y λ z ) g1,g G ( x = g 1 y y = g z ) x = g 1 (g z) = (g 1 g ) z x λ z. Wprowadzenie pojȩć stabilizatora i orbity pozwala w naturalny sposób sklasyfikować dzia lania grupy na zbiorze. Definicja 40. W notacji Def. 19, 36, 38 i 39 oraz Stw. 43 dzia lanie λ nazywamy trywialnym, jeśli g G λ g = id X, tj. wszystkie orbity dzia lania s a jednoelementowe; przechodnim (lub tranzytywnym), jeśli x,y X x λ y, tj. zbiór X jest pojedyncz a orbit a G x = X (dowolnego) swojego elementu x X; wolnym, jeśli g,h G g x = h x g = h, tj. x X G x = {e}, co oznacza, że x X odwzorowanie λ g nie ma punktów sta lych dla g G {e}, a wtedy określamy X mianem przestrzeni jednorodnej; wiernym (lub efektywnym), jeśli g,h G ( g h x X g x h x ), czyli Ker λ = {e}, a wtedy grupa G jest kanonicznie izomorficzna z podgrup a Im λ S X ; regularnym, jeśli jest ono przechodnie i wolne, a wtedy określamy X mianem G-torsora lub g lównej przestrzeni jednorodnej. Przyk lad(y) 30. 6
(1) Ograniczenie dzia lania grupy na zbiorze do j adra tego dzia lania jest dzia laniem trywialnym. W szczególności dzia lanie do l aczone grupy przemiennej na sobie jest tego typu. () Dzia lanie grupy alternuj acej na zbiorze n-elementowym jest przechodnie dla każdego n 3, por. Stw. 48. Tego typu jest też dzia lanie grupy diedralnej rzȩdu n na zbiorze wierzcho lków n- k ata foremnego. To samo dotyczy (indukowanego) dzia lania lewostronnego regularnego grupy G na zbiorze warstw G/H wzglȩdem podgrupy H G. (3) Antypodalne dzia lanie grupy odbić wzglȩdem punktu o wspó lrzȩdnych (0, 0, 0) R 3 (izomorficznej z Z ) na dowolnej -sferze o środku w tym punkcie jest wolne. Tȩ w lasność ma również dzia lanie regularne dowolnej grupy na sobie. (4) Dzia lanie do l aczone grupy G na sobie z Przyk l. 5 (4) jest wierne wtedy i tylko wtedy, gdy Z (G) = {e}. Podobnie, (indukowane) dzia lanie lewostronne regularne grupy G na zbiorze warstw G/H wzglȩdem podgrupy H G jest tego typu wtedy i tylko wtedy, gdy g G ghg 1 = {e}. (5) Zbiór izomorfizmów Iso(G (1), G () ) pomiȩdzy dowolnymi dwiema grupami G (1) i G () jest torsorem grupy Aut(G (1) ) wzglȩdem dzia lania prawostronnego ϱ Iso(G (1), G () ) Aut(G (1) ) Iso(G (1), G () ) (χ, α) χ α. Jest on zarazem torsorem grupy Aut(G () ) wzglȩdem dzia lania lewostronnego λ Aut(G () ) Iso(G (1), G () ) Iso(G (1), G () ) (α, χ) α χ. W bezpośredniej konsekwencji Stw. 8 i 30 oraz Tw. 3 wyprowadzamy Stwierdzenie 44. Przyjmijmy notacjȩ Def. 19, 3 i 9 oraz Przyk l. 5 (1). Istnieje kanoniczny monomorfizm grup G/Ker λ S X, który indukuje wierne dzia lanie grupy ilorazowej na X wed lug wzoru λ G/Ker λ X X (gker λ, x) g x. Dostajemy ponadto Stwierdzenie 45. Stabilizatory elementów z tej samej (dowolnej) orbity dzia lania grupy s a jej podgrupami wzajem sprzȩżonymi, a wiȩc w szczególności izomorficznymi. Dowód: Z jednej strony x X Ad g (h) (g x) = (g h g 1 g) x = g (h x) = g x, (g,h) G G x a zatem Ad g (G x ) G g x. Z drugiej strony x X Ad g 1(h) x = (g 1 h g) x = g 1 (h (g x)) = g 1 (g x) = x, (g,h) G G g x a zatem Ad g 1(G g x ) G x G g x Ad g (G x ). Ostatecznie wiȩc G g x = Ad g (G x ). Zgromadzone dotychczas fakty i pojȩcia stanowi a podstawȩ do sformu lowania kilku istotnych stwierdzeń, które szczegó lowo charakteryzuj a dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie 10. (O klasyfikacji orbit) Przyjmijmy notacjȩ Def. 19, 5, 36, 38 oraz 39 i rozważmy, dla dowolnego elementu x X, zbiór warstw G/G x z dzia laniem [l] G (G/G x ) G/G x (g, hg x ) (g h)g x. Istnieje kanoniczny G-ekwiwariantny izomorfizm st ad też zachodzi tożsamość G/G x G x, G = G x G x. W szczególności wiȩc moc dowolnej orbity w skończonym zbiorze z dzia laniem grupy skończonej jest dzielnikiem mocy tejże grupy. 7
Dowód: Poż adane odwzorowanie ma postać f x G/G x G x gg x g x. Jest ono dobrze określone, gdyż dla dowolnego reprezentanta h gg x możemy zapisać h = g k dla pewnego k G x, a w takim razie g x = g (k x) = (g k) x = h x. Jego G-ekwiwariantność sprawdzamy w bezpośrednim rachunku: f x [l](h, gg x ) = f x ((h g)g x ) = (h g) x = λ(h, g x) = λ (h, f x (gg x )). Ponieważ zaś jest ono jawnie surjektywne, przeto pozostaje pokazać, że jest injekcj a, czego dowodzimy, jak nastȩpuje: f x (gg x ) = f x (hg x ) g x = h x (h 1 g) x = x h 1 g G x g hg x gg x = hg x. Ostatnia czȩść tezy dowodzonego twierdzenia jest w świetle powyższego bezpośrednim nastȩpstwem Cor., oto bowiem na mocy (3.) dostajemy G = G x (G G x ) = G x G x. Twierdzenie powyższe znajduje bezpośrednie zastosowanie w nastȩpuj acym wyniku, wykorzystywanym w rozważaniach natury enumeracyjnej (prowadzonych w terminach teorii mocy) dotycz acych zbiorów z dzia laniem grup skończonych. Stwierdzenie 46. (Lemat Cauchy ego Frobeniusa, zwany też Lematem (nie od) Burnside a) Przyjmijmy notacjȩ Def. 19 i 36, a ponadto oznaczmy przez X/G = { G x x X } zbiór orbit dzia lania grupy G na zbiorze X i przez X g = { x X g x = x } zbiór punktów sta lych odwzorowania λ g. Wówczas zachodzi tożsamość Dowód: Wykorzystuj ac Stw. 43 zapiszemy X g = g G g G a dalej wobec Stw. 45 = g G czyli też na mocy Tw. 10 X g = G X/G = X g. g G (G x) g = { g G g y = y } = y G x y G x G x = { (g, y) G (G x) g y = y } G x G x, G y, y G x g G X g = G = G X/G. W podsumowaniu niniejszej czȩści wyk ladu dokonamy abstrakcji fundamentalnych cech dzia lania przechodniego, które z jednej strony określaj a strukturȩ grupy w odwo laniu do w lasności dowolnego elementu nośnika dzia lania, z drugiej zaś ustalaj a swego rodzaju uniwersalny model zbioru z dzia laniem przechodnim. Zaczniemy od przestudiowania tego pierwszego aspektu. 8
Stwierdzenie 47. (Lemat Frattiniego) Przyjmijmy notacjȩ Def. 19, 1, 31, 36 i 38. Jeśli ograniczenie dzia lania grupy G na zbiorze X do podgrupy H G jest dzia laniem przechodnim, to wówczas dla dowolnego elementu x X zachodzi relacja G = H G x. Jeśli ponadto ograniczenie to jest dzia laniem wolnym, to jest G = H G x. Dowód: Ustalmy (dowolnie) x X. Przechodniość dzia lania H implikuje dla dowolnego g G istnienie pewnego h H spe lniaj acego warunek g x = h x, co oznacza h 1 g G x g h G x, sk ad też wynika pierwsza z dowodzonych relacji. Jeśli dzia lanie H na X jest ponadto wolne, tj. dla dowolnego x X zachodzi H x = {e}, to otrzymujemy dodatkowy warunek H G x H x = {e}, co w sumie odtwarza definicjȩ iloczynu roz l acznego H i G x. Mamy też oczywiste Corollarium 4. Przyjmijmy notacjȩ Def. 19, 5, 36, 38 i 39 oraz Tw. 10. Ilekroć dzia lanie grupy G na zbiorze X jest przechodnie, spe lniona jest równość X = (G G x ). Na koniec opiszemy uniwersaln a postać zbioru z dzia laniem przechodnim. Twierdzenie 11. (O ekwiwariantnym izomorfizmie zbiorów z dzia laniem) Przyjmijmy notacjȩ Def. 19 oraz Przyk l. 6 (). Dowolny zbiór z dzia laniem przechodnim grupy G jest G-ekwiwariantnie izomorficzny z par a (G/H, [l]), w której H G jest pewn a podgrup a, natomiast [l] jest naturalnym dzia laniem indukowanym przez l na zbiorze warstw, [l] G (G/H) G/H (g, hh) (g h)h. Dowolny zbiór z dzia laniem wolnym tejże grupy jest G-ekwiwariantnie izomorficzny z par a (G S, l id S ), w której S jest pewnym zbiorem. Jeśli dzia lanie G na zbiorze jest regularne, to wówczas zbiór tej jest G-ekwiwariantnie izomorficzny z par a (G, l). Dowód: W pierwszym przypadku przechodniość λ, któr a można wys lowić zdaniem X = G x, prawdziwym dla dowolnego x X, pozwala zastosować wprost Tw. 10, co prowadzi do oczywistego wyboru G-ekwiwariantnego izomorfizmu zbiorów z dzia laniem: f x G/G x X gg x g x. Podgrup a, o której mowa w treści twierdzenia, jest zatem H = G x. W drugim przypadku, tj. dla dzia lania wolnego λ, wybieramy (dowolnie) po jednym elemencie z każdej z orbit dzia lania G, na jakie rozwarstwia siȩ X. Otrzymujemy w ten sposób zbiór Nastȩpnie odwzorowujemy zbiór G S X/G S X/G = { y G x G x X/G y G x G x }. w X wedle przepisu f SX/G G S X/G X (g, y G x ) g y G x. I tym razem proponowane odwzorowanie jest jawnie surjektywne i G-ekwiwariantne jak w tezie twierdzenia, a przy tym injektywne, bowiem f SX/G (g, y G x ) = f SX/G (h, y G z ) g y G x = h y G z y G z = (h 1 g) y G x G y G x, co jednak oznacza wobec definicji zbioru S X/G koniunkcjȩ równości y G z = y G x h 1 g = e, które pozwalaj a podsumować nasz rachunek jednym zdaniem: f SX/G (g, y G x ) = f SX/G (h, y G z ) (g, y G x ) = (h, y G z ). Tak oto odwzorowanie f SX/G zadaje poż adany G-ekwiwariantny izomorfizm miȩdzy (G S X/G, l id SX/G ) i (X, λ). 9
Tezȩ dotycz ac a dzia lania regularnego otrzymujemy jako szczególny przypadek ostatniej konstrukcji. * * * Literatura uzupe lniaj aca: G ladkie wprowadzenie do ksi ażki Romana w kontekście ostatnich wyk ladów daje podrȩcznik Armstronga [Arm88]. Literatura [Arm88] M.A. Armstrong, Groups and Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1988. Address: Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Wydzia l Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, ul. Hoża 74, PL-00-68 Warszawa, Poland E-mail address: suszek@fuw.edu.pl 10