WYKŁAD Rozdzł : Wdomośc wstępe.. Istot, występowe zczee drgń Drgem zywmy przebeg czsowy dowolej welkośc fzyczej, p. przemeszcze tłok w cyldrze slk splowego, kąt obrotu wrk, tęże prądu w obwodze elektryczym lub dukcj mgetyczej w rdzeu elektromgesu, jeśl przebeg te chrkteryzuje sę tym, że welokrote przem rośe mleje, oscylując wokół pewej wrtośc średej stłej lub zmeej w czse. ypowy dośwdczle uzyskwy przebeg drgń przedstw elektrokrdogrm serc pokzy Rys... Alz tego przebegu drgń, ezleże od tego, jką welkość fzyczą przedstw, pozwl dgozowe wżych zm w fukcjoowu tego orgu, zrówo fzjologczych, jk chorobowych. Rys... Elektrokrdogrm człowek jko przykłd przebegu drgń Z powyższej defcj drgń wyk, że możemy meć do czye z drgm mechczym, elektryczym, mgetyczym welom ym rodzjm drgń, które mogą zleżeć od sebe wzjeme. Zjomość ch tury, zwązych z m zjwsk orz opsu mtemtyczego umożlwjącego lzę, ber szczególego zcze, zwłszcz w dobe szybkego rozwoju ukłdów mechtroczych, których stotą są sprzęże elektromgeto-mechcze wykjące z budowy tych systemów orz ch sterow. Drg występują powszeche w przyrodze, czego jbrdzej spektkulrym przykłdem są trzęse zem, turbulecje w tmosferze turle efekty kustycze. Występują też w mszych, pojzdch obektch ltjących, powodując zmęczee mterłów, hłs, strty eerg orz dyskomfort psżerów róże dysfukcje urządzeń, często trgcze ktstrofy. Drg mogą być róweż użytecze celowo wzbudze, p. w strumetch muzyczych, w urządzech dgostyczych, w rozmtych metodch drąże obróbk mterłów, 0
utwrdz zgłęb elemetów w gruce, wytwrz cepł w welu ych techologch. Js jest węc motywcj do poz tury, przyczy opsu drgń orz do byc umejętośc ch lzow wpływ ch przebeg. Przedmotem tego wykłdu są drg mechcze, węc zmee w czse przebeg przemeszczeń lub prędkośc cł lub ukłdów cł (mechzmów, mszy, pojzdów), trktowych modelowo jko ukłdy puktów mterlych brył sztywych gruce Mechk ogólej lub jko cł odksztłcle, ze z Wytrzymłośc mterłów w ujęcu sttyczym. Do lzowych przebegów drgowych zlczymy róweż zmee w czse sły wewętrze, w tym pręże w rozptrywych cłch odksztłclych, powodujące mędzy ym groźe w skutkch zmęczee mterłów. Kluczowe zczee w bdu drgń m określee relcj pomędzy przyczyą (procesem wzbudze lub wymusze) skutkem w postc zmeego w czse przebegu drgń. W ejszym kurse Drgń mechczych relcje te będą opse rówm różczkowym - zwyczjym dl ukłdów cł modelowo eodksztłclych orz rówm cząstkowym w przypdku rozptrywych cł odksztłclych, tkch jk pręty, struy, wły belk. Rozwązując te rów djąc terpretcje fzyczą otrzymym wykom, pozmy jwżejsze włścwośc drgń, p. zjwsko rezosu, by móc skutecze e wpływć... Modele ukłdów drgjących Ukłdem drgjącym zywmy pojedyńcze cło lub ukłd cł (mechzm, mszyę pojzd lub e urządzee, którego elemety wykoują ruchy powyżej określoe jko drg. Ukłdem drgjącym jest węc zrówo pojzd poruszjący sę po erówoścch drog, jk weżowec w czse trzęse zem orz most wszący poddy dzłu slego wtru boczego (jk com Brdge w USA podczs spektkulrej ktstrofy w roku 94). e podobe rzeczywste ukłdy drgjące choć ezwykle teresujące wże - e będą rozwże w rmch tego wykłdu. Przedmotem Drgń mechczych, podobe jk Mechk ogólej Wytrzymłośc mterłów, są modele cł ukłdów rzeczywstych możlwe proste, le tyle złożoe, by oddć jstotejsze teresujące s włścwośc ukłdu rzeczywstego. Modelowe ukłdu drgjącego poleg pomju cech drugorzędych mej stotych z puktu wdze przyjętego celu. Może to dotyczyć w szczególośc lczby stop swobody modelowego ukłdu, jeśl jego tur tej lczby z góry e rzuc. Jko przykłd moż podć modelowe pojzdu poruszjącego sę po
erówoścch drog. Aby pozć zjwsko rezosu drgń poowych, wystrczy jprostszy model o jedym stopu swobody. Bde kątowych drgń podłużych wymg modelu o dwóch stopch swobody, drgń kątowych podłużych poprzeczych modelu o co jmej trzech stopch swobody. Róże modelowe pojzdu trktowego jko ukłd cł sztywych w ruchu po erówoścch drog pokzo Rys... Rys.. Modelowe drgń poowych pojzdu jko ukłdu cł sztywych w ruchu po erówoścch drog; stope swobody: () s=, (b) s=, (c) s=4 W tym mejscu jeszcze bez wyjśe szczegółów leży zzczyć, że pojedycze cło odksztłcle, w którym ms rozłożo jest w sposób cągły, tke jk podt gęte belk czy odksztłcly skręte wł, leży trktowć jko ukłd o eskończee welu stopch swobody. k ukłd zywmy cągłym, w odróżeu od zych z Mechk ogólej ukłdów cł sztywych o skończoej lczbe stop swobody, zwych dlej ukłdm dyskretym. Z puktu wdze lczby stop swobody, modele ukłdów drgjących moż podzelć trzy poższe ktegore: ) ukłdy dyskrete (złożoe modelowo z puktów mterlych brył sztywych), b) ukłdy cągłe (cł odksztłcle lub ch ukłdy), c) ukłdy hybrydowe (zwerjące zrówo cł sztywe jk odksztłcle). Modelowe rzeczywstych ukłdów drgjących może róweż obejmowć rozmte uproszcze dotyczące ksztłtu elemetów, włścwośc mterłowych, włścwośc oporów ruchu lub ch zupełego pomęc, elowośc chrkteru wzbudze ych cech. Z modelowem wąże sę klsyfkcj drgń, o czym będze mow w dlszej częśc wykłdu..3. Modele oddzływń wzbudzjących drg Podobe jk rzeczywste ukłdy drgjące, modelowu podlegją oddzływ mechcze zleże od czsu (sły skupoe lub rozłożoe, momety pędowe),
powodujące te drg. Od modelu oddzływ zleży metod jką leży zstosowć w bdu drgń. Rele procesy F( wymuszjące drg mją stępujące modele: ) proces hrmoczy F( F s( t ), (.) gdze F ozcz mpltudę, - częstość kołową [rd/s], - fzę początkową procesu. Przypomjmy, że zwązek częstośc kołowej z okresem procesu hrmoczego jest stępujący: b) proces polhrmoczy, gdze F,, F( F s( t ), (.) są cągm lczb o terpretcj jk w pukce ), c) proces okresowy ehrmoczy, o okrese gdze F( F s( t ), (.3) F są cągm lczb wyzczym podstwe rzeczywstej fukcj F( F( t ), podstwe teor szeregów Fourer [4,6], d) proces skokowy F( F0 H (, (.4) gdze F 0 jest skokem sły F od pozomu 0 w chwl t 0 ( H( jest fukcją Hevsde [4]), e) proces mpulsowy F( J0 (, (.5) gdze J 0 jest mpulsem sły wymuszjącej w chwl t 0 ( ( jest dystrybucją Drc [4]). Nleży zzczyć, że przyczyą wywołującą drg może być e tylko sł lub momet bezpośredo dzłjące elemet ukłdu, le też zdy ruch pewego elemetu lub puktu ukłdu. ego typu wymuszee zywmy kemtyczym. k węc, wymusze podzelmy słowe (w tym poprzez momety) orz kemtycze (poprzez zde ruchy). Powyższ klsyfkcj, z wyjątkem pozycj d) e) dotyczy też procesów wymusze kemtyczego. 3
.4. Klsyfkcj drgń Isteje wele klsyfkcj drgń, wyróżjących ktegore według rozmtych kryterów. Pożej podjemy jwżejsze z tych kryterów odpowdjące m typy drgń. Kryterum źródeł eerg: ) drg swobode jedyym źródłem eerg są wruk początkowe, poprzez które jedorzowo wprowdz jest do ukłdu eerg potecjl ketycz; eerg t zostje zchow lub jest rozprsz w wyku prcy sł oporów ruchu, b) drg wymuszoe eerg jest dostrcz do ukłdu w wyku prcy sł wymuszjących, jedocześe jest rozprsz skutek oporów ruchu, przy czym może dojść do zrówowżoego blsu eerg, co prowdz do drgń wymuszoych ustloych, c) drg wymuszoe prmetrycze źródłem eerg są wywołe przez czyk zewętrze lub wewętrze okresowe zmy prmetrów ukłdu, które mogą prowdzć do rst drgń, le też do drgń ustloych przy zrówowżoym blse eergetyczym; przykłdem mogą być drg whdł o okresowo zmeym momece bezwłdośc względem os obrotu, d) drg smowzbude eerg dostrcz jest do ukłdu z stejącego stłego źródł w wyku prcy sł ezleżych jwe od czsu (ych ż wymusze słowe, kemtycze prmetrycze), le zleżych od beżącego położe prędkośc elemetów ukłdu; przykłdem są drg stru strumetów smyczkowych, którym eerg dostrcz prc sły trc smyczk po strue, stłym źródłem eerg jest muzyk poruszjący smyczkem. Kryterum stop swobody (jk w modelowu ukłdów): ) drg ukłdów dyskretych, b) drg ukłdów cągłych, c) drg ukłdów dyskreto-cągłych (hybrydowych). Kryterum lowośc rówń: ) drg lowe, b) drg elowe. Kryterum prwdopodobeństw dl zmeych, wymuszeń prmetrów: ) drg determstycze wszystke welkośc ukłdu wzbudze są zdetermowe, b) drg losowe przyjmej jed welkość jest zmeą lub procesem losowym. 4
.5. Skłde drgń hrmoczych Rozptrzmy jperw problem sumow lgebrczego drgń hrmoczych. Iteresuje s, jke włścwośc m drge będące sumą skłdków hrmoczych s( t )... s( t ) Rozptrzymy stępujące przypdk szczególe. ) Skłdk hrmocze mją tę smą częstość Przyjmemy.... Wówczs: s( t ). (.6) gdze s( t ) ( s t cos cost s ) As( t ), (.7) A Wosek cos s orz s Sum dowolej lczby drgń hrmoczych o jedkowej częstośc tg. (.8) cos jest drgem hrmoczym o tej smej częstośc orz o mpltudze fze początkowej zleżej od mpltud fz początkowych skłdków, w sposób pokzy powyżej. b) Skłdk hrmocze mją róże częstośc, le częstośc te są współmere Współmerość częstośc drgń ozcz, że steją tke lczby turle... p, k k k k k,... k, że: gdze p jest pewą lczbą rzeczywstą. Korzystjąc z tej włścwośc możemy stwerdzć, że okresy drgń skłdowych spełją wruek:... p k k k k k... k,. (.9) p Ozcz to, że steje wspóly okres dl wszystkch drgń skłdowych, który jest też okresem ch sumy. Jest o jmejszą wspólą welokrotoścą okresów drgń skłdowych. Wosek Jeśl w cągu częstośc drgń skłdowych, steje choćby jed pr częstośc,... ewspółmerych, to drge sumrycze x ( jest eokresowe. 5
c) Przypdek dwóch skłdków hrmoczych o zblżoych częstoścch Precyzując te przypdek, złożymy, że: x s t s ( ) t, gdze, cost. (.0) ( Uwg Przyjęt zerowość fzy początkowej perwszego skłdk uprszcz oblcze, le e zme ogólośc rozwżń, poewż zchowe jest przesuęce w fze obu skłdków. Przeksztłcjąc wzór (.0), otrzymujemy: s t gdze: A( Fukcje s t cos( t ) cost s( t ) cos( t ) s t s( t ) cost A( s t (, cos( t ) s( t ) A( (, tg ( (.) s( t ). (.) cos( t ) są wolozmeym okresowym fukcjm czsu, przedstwjącym zmeą mpltudę fzę początkową drgń Wosek. Okres obu tych fukcj wyos /. Sum drgń hrmoczych o zblżoych częstoścch jest drgem zblżoym do hrmoczego, chrkteryzującym sę wolozmeą mpltudą fzą początkową. Zjwsko flow mpltudy drgń ze jest pod zwą dude (Rys..3). Moż je często zobserwowć jko efekt kustyczy kłd sę dźwęku emtowego przez dw źródł, p. slk smolotu o edele zsychrozowej prędkośc obrotowej. Rys..3. Przebeg mpltudy drgń w przypdku dude Wrto zuwżyć, że drge x ( jko sum drgń hrmoczych o zblżoych częstoścch, może być drgem okresowym, jeśl częstośc eokresowym, jeśl wruek te e jest spełoy. Przykłd.. są współmere lub 6
Wyzczyć zmeą w czse mpltudę drgń będących sumą drgń hrmoczych o jedkowej mpltudze zerowej fze początkowej. Zuwżmy jperw, że postć sumowych drgń może być zrówo susow, jk kosusow, to jest x ( s t s( ) t lub x ( cost cos( ) t. Przyjmując postć susową korzystjąc z wzoru (.), otrzymujemy: A( cos( s( Dl postc kosusowej mmy jperw ( cos( ) 4cos t cos. () t cost s t s t cost cost cost s t s t cost (b) orz, jk dl postc susowej: t A( cos( s( cos. (c) Wykres fukcj A( wrz z przebegem drgń pokzo Rys..4. Rys..4. Sum drgń hrmoczych o zblżoej częstośc jedkowej mpltudze Koec Przykłdu.. Oprócz lgebrczego sumow drgń (zchodzących w tym smym keruku) rozwż sę róweż ch sumowe geometrycze w przypdku, kedy zchodzą w kerukch prostopdłych. Ogrczjąc sę do płszczyzy, p. Oxy formułujemy problem stępująco. Współrzęde prostokąte puktu P płszczyźe Oxy są drgm hrmoczym: s( t ), y( bs( t ). (.3) Jk jest tor puktu P płszczyźe Oxy? Problem te był rozwży w kemtyce puktu mterlego w kurse Mechk ogólej [MO] wązuje bezpośredo do 7
wykorzyst oscyloskopu w rejestrcj bdu sygłów elektryczych. Skłde drgń w kerukch prostopdłych jest też podstwą bd drgń płszczyźe fzowej, o czym będze mow w dlszych wykłdch. Jke ztem włścwośc może meć trjektor puktu o współrzędych prostokątych (.3), obserwow p. ekre oscyloskopu? Przede wszystkm leży zuwżyć, że jeśl częstośc są współmere, to steje wspóly okres obu fukcj pukt P po tym okrese wrc do swego położe początkowego ( kżdego ego zjmowego trjektor). Ozcz to, że trjektor jest krzywą zmkętą, po której pukt otwrtą, po której pukt P porusz sę okresowo tm z powrotem. Przykłd. P krąży, lub N cewk odchyljące oscyloskopu podwe są sygły cost orz y( cost. Jką krzywą jest trjektor obserwow ekre? Problem poleg zlezeu krzywej y y(x) poprzez elmcję czsu z rówń sygłów. Dokomy tego, wykorzystując wzory trygoometrycze: t s t cos t 4x y cost cos. () rjektor obserwow ekre oscyloskopu jest węc prbolą pokzą Rys..5. Rys..5. Prbol jko trjektor obserwow ekre oscyloskopu w Przykłdze. Pukt P ( x, y) porusz sę po trjektor tm z powrotem, zczyjąc z położe początkowego (,) powrcjąc do tego położe po kżdym okrese [s]. Koec Przykłdu.. Dlsze rozwż dotyczące sumow drgń zchodzących w kerukch prostopdłych ogrczymy do przypdku drgń hrmoczych o jedkowej częstośc, le przesuętych względem sebe w fze. Moż je zpsć stępująco: 8
s(, y( bs( t ). Elmując czs, korzystmy z zleżośc trygoometryczych: (.4) b b y bs t cos bcost s xcos b x s. (.5) Podosząc wyrżee (.5) strom do kwdrtu, otrzymujemy: y b y b x x cos Rówe (.6) przedstw krzywą II stop. Jej wyróżk b 4 s 0. (.6) cos (.7) jest mejszy lub rówy zeru, co ozcz, że krzyw t jest typu elptyczego w zleżośc od kąt przesuęc fzowego, może być: ) elpsą o środku w początku ukłdu współrzędych osch obrócoych względem os ukłdu, jeśl cos 0 ; dl cos 0 elps t m ose rówoległe do os ukłdu b b b) prostą y x, gdy cos lub prostą y x gdy cos. O xy,.6. Alz hrmocz drgń okresowych Alz hrmocz drgń okresowych (ogólej wszystkch procesów okresowych, w tym tych, które mogą wzbudzć drg) poleg przedstweu okresowej fukcj czsu w postc sumy procesów hrmoczych o różych częstoścch, mpltudch fzch początkowych. Alze hrmoczej służy prt mtemtyczy szeregów Fourer [3,9]. Wykorzystmy w tym wykłdze ektóre rezultty teor szeregów Fourer, w sposób ewymgjący głębszych przypomeń lub studów. Proces (ekoecze cągły) x ( o zdym okrese moż przedstwć w postc eskończoego szeregu skłdowych procesów hrmoczych (zwych hrmokm), w stępujący sposób: gdze 0 cos t b s t, (.8) jest częstoścą podstwową procesu częstoścą jego perwszej hrmok, 0 jest wrtoścą średą procesu, rozumą jko śred cłkow: 9
lczby [3,9]: b 0 t 0 ) dt (.9) wyzcz sę z wzorów zych jko wzory Euler do szeregów Fourer 0 cos t dt, b s t dt. (.0) Poszczególe hrmok w szeregu Fourer (.8) moż przedstwć w forme zwerjącej mpltudę fzę początkową: gdze Szereg Fourer przyjmuje postć: 0 cos t b s t A s t, (.) A b, tg b. (.) 0 A s ( t ). (.3) Wykem lzy hrmoczej procesu lub drgń okresowych jest wdmo mpltudowoczęstoścowe orz wdmo fzowo-częstoścowe. Wdm (czej spektr) są to dgrmy przedstwjące mpltudy kolejych hrmok ch fzy początkowe odpowdjące częstoścom tych hrmok. Poszczególe hrmok chrkteryzują sę tym, ze ch częstośc są welokrotoścm częstośc podstwowej /. Powoduje to, że prążk wdm procesu okresowego leżą w rówych odległoścch od sebe. Nektóre z ch mogą meć wysokość zerową. Ogóly chrkter wdm drgń okresowych pokzo Rys..6. Rys..6. Wdmo mpltudowo-częstoścowe () fzowo-częstoścowe (b) drgń okresowych Przykłd.3 Zleźć wdmo mpltudowo-częstoścowe procesu okresowego, przedzłm stłego, pokzego Rys..7. 0
Rys..7. Proces okresowy z Przykłdu.3 Z Rys..7 wyk, że okres fukcj wyos. W przedzle czsu odpowdjącym okresow, fukcję tę opsujemy stępująco: 3 dl 0 t x (. () 3 dl t Częstość podstwow tej fukcj wyos / /. Fukcję przedstwmy w postc szeregu Fourer (.8). Wrtość średą 0 współczyk, b oblczmy podstwe wzorów Euler: b 3 / 0 ( ) ( ) x t dt dt dt, 0 0 3 / (b) 3 / 3 / 3 cos ( ) cos s s 3 0 / s tdt tdt t t, 0 3 / (c) 3 / 3 / 3 s tdt ( ) s tdt cost cos 0 t 3 / cos. (d) 0 3 / Perwszych 8 współczyków, orz mpltud A b pokzo w bel.. b b... Numer hrmok 3 4 5 6 7 8-0 /3 0 -/5 0 /7 0 b /3 0 /5 /3 /7 0 A /3 0 /5 /3 /7 0
Wdmo mpltudowo-częstoścowe fukcj pokzo Rys..8. Rys..8. Wdmo mpltudowo-częstoścowe fukcj z Przykłdu.3.7. Budowe rówń ruchu ukłdów drgjących Przedmotem szego zteresow w tym kurse drgń mechczych będą dymcze rów ruchu modelowych ukłdów złożoych z puktów mterlych brył sztywych, chrkteryzujących sę skończo lczą stop swobody jk już wemy zywych ukłdm dyskretym, tkże rów wybrych modelowych cł odksztłclych w postc prętów, stru włów belek, trktowych jko ukłdy cągłe. Sttycze rów przemeszczeń wyżej wymeoych ukłdów cągłych (z wyjątkem stru) ze są Czytelkow z kursu Wytrzymłośc mterłów [9]. Budując ch dymcze rów (rów drgń), wykorzystmy podstwowe złoże hpotezy przyjęte w Wytrzymłośc mterłów dl kżdego z tych elemetów. Budow rówń ruchu poprzedz lzę ch drgń będze zprezetow w odpowedej częśc wykłdu. W tym mejscu ztem skocetrujemy sę budowe rówń ruchu ukłdów dyskretych. Ze względu podstwowy zkres tego wykłdu jego rolę pozome studów I stop, rekomedowe stępujące metody ukłd rówń ruchu ukłdów dyskretych: ) Metod bezpośredego zstosow II prw Newto Isteje wele ukłdów drgjących, wet o welu stopch swobody, które moż podzelć elemety w postc puktów mterlych, do których moż wprost zstosowć II prwo Newto, uwzględjąc wszystke sły dzłjące te elemety, w tym sły zewętrze czye, rekcje opory ruchu orz sły wewętrze wszelkej możlwej tury, w tym w podtych elemetch sprężystych tłumących, którym połączoe są pukty mterle. Rówe ruchu gdze -tego elemetu m postć []: m x F x, x,..., x, x,..., x, ), (,..., ), (.4) ( t m orz x ozczją msę współrzędą -tego puktu mterlego, F jest sumą wszystkch sł odpowdjących współrzędej x, zleżą ogóle od wszystkch
współrzędych ch pochodych orz od czsu. Wyrżee (.4) jest ukłdem sprzężoych rówń różczkowych zwyczjych, ogóle elowych ejedorodych. Omwjąc bezpośrede wykorzyste prw Newto do budowy rówń ruchu ukłdu drgjącego, leży zuwżyć, że elemety sprężyste, trktowe jko bezmsowe, mogą być e tylko sprężym lowym obrotowym, które są już ze Czytelkow z kursu mechk ogólej [], le też mogą meć chrkter belek, rm, prętów, włów, płyt lub ych elemetów, których sprężyste przemeszcze pod dzłem sł sttyczych potrfmy wyzczć podstwe wedzy z kursu Wytrzymłośc mterłów. Współczyk sztywośc kżdego tkego elemetu moż oblczyć jko stosuek sły do wywołego przez tę słę sttyczego przemeszcze. Bezmsowe elemety sprężyste o sztywoścch szeregowo, otrzymując elemet zstępczy o sztywośc k k z k moż łączyć rówolegle lub, jk pokzo Rys..9. Rys..9. Łączee bezmsowych elemetów sprężystych: ) rówoległe, b) szeregowe W połączeu rówoległym obydw elemety mją jedkowe wydłużee, tke jk elemet zstępczy, sł F w elemece zstępczym jest rów sume sł w elemetch skłdowych, F, F. Wyk stąd sztywość elemetu zstępczego w połączeu rówoległym: F F F k k ( k k ) kz k k. (.5) Dw elemety sprężyste połączoe szeregowo przeoszą jedkową słę F F F, sum ch wydłużeń stow wydłużee elemetu zstępczego zstępcz:. Stąd sztywość F F F. (.6) k k k k k k z Zuwżmy, reguły łącze spręży w ukłdch mechczych są tke sme, jk reguły łącze kodestorów w obwodch elektryczych. Przykłd.4. z 3
Wyzczyć sztywość zstępczą elemetów sprężystych w postc sprężyy o sztywośc k s orz belk wsporkowej o długośc l sztywośc gętej EI [9], w połączech pokzych Rys..0. Rys..0. Połącze sprężyy belk wsporkowej: ) rówoległe, b) szeregowe Njperw leży określć sztywość elemetu belkowego w odeseu do ugęc jej swobodego końc f pod dzłem pewej próbej sły F. Sztywość tę wyzczymy podstwe wedzy z wytrzymłośc mterłów, dotyczącej zleżośc ugęc belk wsporkowej od jej obcąże słą końcu: 3 Fl F 3EI f kb. () 3EI f 3 l Sztywośc zstępcze połączeń rówoległego szeregowego (Rys..0,b) wyoszą węc: rówoległe: k Z k s k b k s 3EI l 3EI s 3 s b, szeregowe : k l 3 Z k k 3 s b k s 3 k k k, (b) EI l gdze E ozcz moduł Youg, I jest geometryczym mometem bezwłdośc przekroju względem os obojętej prężeń. Koec Przykłdu.4. Uwg W przypdku drgń w ruchu obrotowym względem stłej os, odpowede rów ruchu, wykjące z prw zmeośc krętu względem os obrotu, zstosowego do kżdego z cł z osob, mją postć logczą do (.4): gdze J orz J M,,...,,,,...,, ), (,..., s), (.7) ( s s t ozczją msowy momet bezwłdośc względem os obrotu orz kąt obrotu -tej bryły, obrotu. M jest sumą mometów dzłjących tę bryłę, względem jej os 4
b) Metod rówń Lgrge Rów Lgrge (II rodzju) są ze z kursu mechk ogólej [], z którym skoordyowy jest te wykłd. Ne będzemy ztem ch wyprowdzć szczegółowo kometowć. Ogrczymy sę do pod ch rekomedowej postc oprtej eerg ketyczej, eerg potecjlej orz dysypcyjej fukcj Rylegh, ogrczjąc sę do przypome sposobu korzyst z ch. Rów Lgrge mją stępującą postć: gdze E, E k p, D d dt Ek q Ek q E p q D Q q (,..., s), (.8) ozczją odpowedo eergę ketyczą, eergę potecjlą dysypcyją fukcję Rylegh [], s jest lczbą stop swobody ukłdu, q orz Q ozczją współrzęde uogóloe orz odpowdjące m sły uogóloe wymuszjące drg (epotecjle edysypcyje). Rów Lgrge (.8) po wykou wszystkch ezbędych opercj mtemtyczych stją sę ukłdem rówń różczkowych zwyczjych, ogóle elowych ejedorodych. W dlszych wykłdch rów te będzemy rozwązywć, stosując stdrdowe metody ltycze terpretując fzycze otrzyme wyk. Budow rówń Lgrge, po podjęcu decyzj o modelu fzyczym ukłdu drgjącego, obejmuje stępujące etpy. ) Przyjęce współrzędych uogóloych w lczbe rówej lczbe stop swobody ukłdu. ) Zbudowe eerg ketyczej ukłdu w jego możlwym ruchu wyrżee jej przez współrzęde prędkośc uogóloe. 3) Zbudowe wyrże eergę potecjlą ukłdu w jego chwlowym położeu w czse ruchu wyrżee jej przez współrzęde uogóloe. 4) Zbudowe wyrże dysypcyją fukcję Rylegh wyrżee jej przez współrzęde prędkośc uogóloe. 5) Wyzczee wszystkch sł uogóloych odpowdjących przyjętym współrzędym. 6) Wykoe różczkowń przewdzych w wyrżeu (.8) końcowe sformułowe rówń ruchu Lgrge. W przypdku, gdy bezmsowe elemety sprężyste łączące pukty mterle ukłdu drgjącego są elemetm belkowym lub rmowym, wygode jest w budowe rówń ruchu zstosowe uogóloej dymkę metody sł, stosowej w wytrzymłośc mterłów 5
do oblcz sttyczych przemeszczeń w rmch. Ne omwmy tej metody, odsyłjąc Czytelk do ltertury uzupełjącej []. Pyt sprwdzjące do Wykłdu. Jke jest zczee drgń w budowe mszy?. Jke włścwośc m drge będące sumą: s00t s 0t? 3. Co to jest wdmo drgń okresowych jk sę je otrzymuje? 4. Klsyfkcj drgń ze względu źródło eerg. 5. Jk ops włścwośc mją drg hrmocze? 6. Co to jest proces skokowy? 7. N czym poleg lz hrmocz drgń? 8. Jk jest wruek okresowośc sumy lgebrczej drgń hrmoczych? 9. Jke są reguły łącze bezmsowych elemetów sprężystych w ukłdch drgjących? 0. Jką postć mją rów Lgrge II rodzju do czego służą? 6