W 1916r. Einstein rozszerzył swoją koncepcję kwantów światła, przypisując im pęd. Fotonowi o energii ħω odpowiada pęd p ħω/c /λ Efekt Comptona 193r. - rozpraszanie promieni X 1keV- kilka MeV na elektronac pokazuje, że zarówno energia, jak i pęd przekazywane są przez fotony. p θ p 1 a 45 b p e I 5 rozpraszanie bez zmiany λ ze wzrostem λ 4 3 9 1 tł o 6,5 7, 7,5 bez zmiany λ ze wzrostem λ 135 λpm E E 1 1 + mec E 1 1,7,8 λ nm cos θ
Dualizm korpuskularno falowy Doświadczenie Younga jeszcze raz: dyfrakcja i interferencja światła na dwóc szczelinac w którym jako detektora używamy fotopowielacza z przelicznikiem elektronicznym. W doświadczeniu mierzymy kat odcylenia promieniowania od kierunku początkowego i liczbę zliczeń w określonym przedziale czasu, wskazaną przez przelicznik. Liczba ta zależy od położenia fotopowielacza. W jasnyc prążkac jest duża, a w ciemnyc prążkac mała. fotomnożnik wiązka światła laserowego lewa szczelina prawa szczelina obie szczeliny
Fotony,obraz.nb
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia fotonu a amplituda fali elektromagnetycznej Aby powyższe doświadczenie opisać, musimy wziąć pod uwagę obie natury promieniowania: 1.Nie sposób zrozumieć, dlaczego powstają poszczególne impulsy w fotopowielaczu, bez uwzględnienia korpuskularnej natury promieniowania..nie można zrozumieć, dlaczego powstają prążki bez uwzględnienia natury falowej. Musimy wiec powiązać oba sposoby określenia natężenia światła: Jasno jest tam, gdzie jest duże prawdopodobieństwo znalezienia fotonów Nr,t Jasno jest tam, gdzie jest duża wartość kwadratu natężenia pola elektrycznego [Er,t] Stąd musi zacodzić związek: Nr,t ~ [Er,t].
język korpuskularny pęd fotonu p r energia fotonu E f tłumaczenie r p r k E f ħω język falowy wektor falowy k r częstość kołowa ω gęstość prawdopodobieństwa znalezienia fotonu r, t natężenie światła N r, t E r, t kwadrat funkcji falowej E r, t N r [ ] [ ]
Podstawowe wzory mecaniki relatywistycznej E mc p mv m m /1-v /c 1/ Wynika stąd, że E/p c /v oraz v m cp c + p 4 A zatem E c m c + p m c + c p m c + c p Foton jest cząstką o zerowej masie spoczynkowej, czyli v c oraz E cp Ponieważ E ħω, zaś p ħk, więc ω ck zależność dyspersyjna dla fotonu
Hipoteza de Broglie a W 194r. Luis de Broglie wysunął ipotezę, że właściwości falowe mają wszystkie mikroobiekty np. elektrony, protony, traktowane wcześniej jako cząstki. Przyjął on, że dla cząstek z niezerową masą spoczynkową obowiązują analogiczne wzory jak dla fotonu: E ħω, zaś Fale związane z cząstkami o niezerowej masie spoczynkowej nazywamy falami de Broglie. E r c m + c p r r p k ħω ħ zależność dyspersyjna dla fal de Broglie: ω ħ
Zależność długości fali od energii kinetycznej cząstki 1mm 1 3 1μm 1 6 3 k B T λ, m 4,K 3K elektron foton m c proton neutron Warunek wzmocnienia dla interferencji: sin α n λ d 1nm 1 9 1pm 1 1 1fm 1 15 elektron p α n He H odległości między atomami w kryształac średnice jąder d 1μm, λ~,1nm, wtedy przy odległości ekranu L1m, prążki co 1 μm 1 18 1 1 1 3 mev 1 1 3 1 6 1 9 1 1 kev MeV GeV TeV E K, ev
dlugosc fali m 1-7 1-1 1-13 1-16 1-19 1-1 -5 1-8 elektron foton He p, n, H fulereny człowiek o masie 5kg 1-31 1-1 1 1 5 1 8 1 11 1 14 energia kinetyczna ev
Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla elektronów a dyfrakcja elektronów na dwóc szczelinac b Warunki eksperymentu: folia miedziana ze szczelinami o długości 5μm, szerokości.3μm i odległości między środkami 1 μm. Dyfrakcja elektronów o energii kinetycznej 5keV, czyli λ.5nm.
Powstawanie obrazu interferencyjnego dla wiązki elektronów w doświadczeniu z dwiema szczelinami. Elektrony przepuszczane jeden po drugim. Ekran typu jak w telewizorac uderzenie elektronu powoduje powstanie błysku świetlnego
Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla neutronów N N 5 5, μm 4 4, μm Dyfrakcja na jednej szczelinie λnm Dyfrakcja na dwóc szczelinac λnm
Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla atomów elu źródło atomów szczelin a 5μm szczeliny 1μm d8μm detektor atomów a m L 1,95m
Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla fulerenów Fulereny z pieca z v1m/s, czyli λ.5 pm Siatka z SiN, szczeliny szerokości 5nm i odległości 1nm. odległości między maksimami.3mm na ekranie w odległości 1.5m.
Istota fizyczna funkcji falowej dla fal de Broglie a Dla fotonu: Natężenie światła monocromatycznego: -w języku falowym jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej -w języku korpuskularnym jest proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia fotonu Dla cząstki z niezerową masą spoczynkową: zakłada się, że kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki P r, t : r r r * r P, t Ψ, t Ψ, t Ψ, t Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dv w okolicy punktu o położeniu opisanym wektorem r dane jest wyrażeniem: r r P, t dv Ψ, t dv W ramac opisu Scrödingera przyjmuje się, że jeżeli cząstka istnieje, to prawdopodobieństwo znalezienia jej gdziekolwiek jest równe jedności. r r 1 P r, t dv Ψ r, t dv
Przypomnijmy, że dla fal de Broglie a E ω oraz p k. W 196r. Erwin Scrödinger zaproponował równanie falowe dla fal de Broglie a w przybliżeniu nierelatywistycznym. Ψ, t Ψ, t i m t najprostsze rozwiązanie równania Scrödingera to fala płaska Ψ, t Ae i k ωt fala płaska to fala, dla której linie jednakowego wycylenia są liniami prostymi m ik Ae i k ωt i iω Ae i k ωt k m ω a stąd zależność dyspersyjna ω k k m ω E ma sens energii nierelatywistycznej, bo spełnia związek p m E
Rozwiązaniem jest zatem cząstka-fala o całkowitej energii równej jej energii kinetycznej. Jeśli cząstka miałaby jeszcze energię potencjalną V, to równanie Scrödingera należy zmodyfikować do postaci: t t i t V t m Ψ Ψ + Ψ,,, Jeśli w jakimś miejscu w przestrzeni mamy V V, to wstawiając do r. Scrödingera rozwiązanie w postaci fali płaskiej, poszukujemy innego kk 3 pędu, energii kinetycznej dla ustalonego ω energii całkowitej. E V m k + ω 3 1 3 V E m k
Często poszukujemy rozwiązań r. Scrödingera odpowiadającyc ustalonej energii całkowitej E czyli ustalonej częstości kołowej ω w postaci: Ψ, t ψ e iωt Wstawienie do r. Scrödingera daje: m d ψ d + V ψ Eψ Jest to tzw. równanie Scrödingera bez czasu. Dla stanu o ustalonej energii mamy: P,t Ψ,t Ψ*,t ψe -iωt ψ*e iωt ψ ψ* i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki nie zależy od czasu. Stan taki nazywamy stacjonarnym.
Język używany w mecanice kwantowej Operator - coś, co działa na funkcje falową coś, co wykonuje operację na funkcji falowej Operatory oznacza się zwykle symbolami z daszkiem np. Â - operator energii kinetycznej Tˆ ˆ T m - operator energii potencjalnej Vˆ Vˆ V d d - operator Hamiltona ˆ ˆ ˆ d Ĥ H T + V + V m d - operator pędu pˆ pˆ i d d - operator położenia ˆ ˆ
Jeśli dla operatora  spełnione jest równanie ˆ a A ψ ψ gdzie a jest pewną liczbą rzeczywistą, to mówimy wtedy, że: 1. a jest wartością własną operatora Â. ψ jest funkcją własną operatora Â. ik e ψ Np. operator Hamiltona działając na falę płaską produkuje energię całkowitą E: ˆ E V d d m V d d m H ψ ψ + ψ ψ + ψ ik ik ik e m p e m k e d d m T ˆ ψ zaś operator energii kinetycznej energię kinetyczną: Tˆ
Jeżeli w różnyc obszarac przestrzeni energia potencjalna opisana jest różnymi wzorami, to otrzymane różne funkcje falowe w poszczególnyc obszarac musimy zszyć na granicac. Warunki ciągłości: Funkcja falowa na granicac różnyc obszarów 1. musi być ciągła. musi posiadać ciągłe pocodne. Stąd: r r Ψ1, t Ψ, t dla Ψ r r 1, t Ψ, t dla, gdzie określa położenie granicy obszarów.
Próg potencjału 1 3 Obraz korpuskularny: 1. E>V działające siły zmniejszają energię kinetyczną i elektron z prawdopodobieństwem 1 przedostaje się do obszaru 3.. E<V działające siły w obszarze zawracają elektron i nie może on dostać się do obszaru 3. Model matematyczny obszar 1 obszar 3 Obraz mecaniki kwantowej: Zakładamy, że wszędzie czyli stała energia całkowita Ψ, t ψ e iωt ψ 1 1. E>V ik1 ik1 Ae + Be 1 k1 me ik3 1 Ce k3 m E V ψ 3 ψ ψ. E<V ik1 ik1 1 Ae + Be 3 Ce κ 1 κ 1 k1 me m V E Funkcje falowe elektronu w pobliżu progu a E,5V a E,95V
Zjawisko tunelowe bariera potencjału Energia potencjalna Funkcja falowa elektronu Natężenie prądu tunelowego dla ustalonego napięcia jest wykładniczą funkcją odległości Id A ep-αd w szerokim zakresie d Mikroskop tunelowy Obraz powierzcni krzemu otrzymany przy pomocy mikroskopu tunelowego dzięki uprzejmości K. Karpierza
Nieskończona studnia potencjału Obraz korpuskularny: Dla każdego E> elektron może przebywać w studni z prawdopodobieństwem niezależnym od Obraz mecaniki kwantowej: Zakładamy, że wszędzie czyli stała energia całkowita Ψ, t ψ e iωt Fizyka kwantowa w obszarze < i >L: ψ 1 ψ 3 w obszarze <<L z warunków brzegowyc mamy skwantowanie k oraz energii k n π n L π ψ n An sin n L E n k m n
Studnia potencjału o skończonej głębokości Energia potencjalna Energie stanów dla studni nieskończonej i skończonej Funkcje falowe i gęstość prawdopodobieństwa Trzec najniższyc stanów studni skończonej