INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA. Wykład IX

Transkrypt

1 INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA Wykład IX

2 PLAN Fizyka około 1900 roku Promieniowanie elektromagnetyczne Natura materii Równanie Schrödingera Struktura elektronowa atomu Oryginalne dokumenty nie pozostawiają wątpliwości, że około 1900 roku fizycy byli w większości przekonani o słuszności fizyki klasycznej i nie widzieli potrzeby nowej fizyki

3 Kiedy rozpoczynałem studia fizyczne u mego czcigodnego nauczyciela P. Jolly ego zasięgałem opinii na temat warunków i perspektyw moich studiów, przedstawił mi on fizykę jako naukę wysoko rozwiniętą, prawie całkowicie dojrzałą, która po ukoronowaniu jej osiągnięć przez odkrycie zasady zachowania energii miała już wkrótce przyjąć ostateczną postać. Wprawdzie w tym czy innym zakątku pozostaje jeszcze do zbadania i usunięcia jakiś pyłek czy pęcherzyk, ale jeśli chodzi o system jako całość, to jest on dość zabezpieczony, a fizyka teoretyczna wyraźnie zbliża się do osiągnięcia takiej doskonałości, jaka od stuleci jest właściwa geometrii. Max Planck, odczyt w Monachium

4 Pieter Zeeman, słynny fizyk holenderski, laureat Nagrody Nobla 1902 r., w wieku dojrzałym lubił opowiadać, że kiedy był młodym człowiekiem, to ostrzegano go, żeby nie studiował fizyki. Fizyka nie jest już dziedziną obiecującą -mówiono mu; jest ona skończona i nie ma tam miejsca na cokolwiek istotnie nowego. Musiało to być około roku Hendrik Casimir-HaphazardReality Wszystkie najważniejsze fundamentalne prawa i fakty w fizyce zostały już odkryte i tak dobrze ustalone, iż jest znikome prawdopodobieństwo, że zostaną one uzupełnione w wyniku nowych odkryć Przyszłych nowych prawd w fizyce trzeba będzie szukać na szóstym miejscu po przecinku. Albert A. Michelson(1894)

5 Mechanika kwantowa Koniec XIX wieku-większość podstawowych zjawisk fizyki klasycznej zostało wyjaśnionych Tylko kilka kwestii wymagało rozwiązania m.in. promieniowanie ciała doskonale czarnego, efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona Problemy te zostały rozwiązane przy pomocy nowej nauki-mechaniki KWANTOWEJ Poznanie struktury elektronowej atomu rozpoczniemy od spojrzenia na oddziaływanie promieniowania elektro-magnetycznego z materią

6 Promieniowanie elektromagnetyczne składowa pola elektrycznego składowa pola magnetycznego Parametry fali: długość (symbol lambda [m])-odległość pomiędzy dwoma kolejnymi pikami częstotliwość (symbol ni [Hz]) liczba cykli w jednostce czasu prędkość (u= [m/s]) Kierunek rozchodzenia fali

7 Fale elektromagnetyczne Cechą promieniowania elektromagnetycznego jest stała szybkość c w próżni c= m/s (do obliczeń m/s) =c, gdzie w [m] a w [Hz] Fale te ulegają interferencji, dyfrakcji i polaryzacji Długość fali [m] Promienio -wanie Gamma X Ultrafiolet Podczerwień Mikrofale Radiowe Częstotliwość [Hz]

8 Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ciało doskonale czarne- ciało pochłaniające (emitującego) wszystkie rodzaje promieniowania elektromagnetycznego bez względu na długość fali. Całkowita energia E wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o powierzchni 1m 2 w czasie 1s E σ 4 T Prawo Stefana-Boltzmana = Wm -2 K

9 Natężenie promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ilość energii emitowanej (absorbowanej) przez dane ciało zależy od temperatury i od długości fali W oparciu o klasyczną teorię promieniowania nie udało się wyjaśnić zależności natężenia promieniowania od długości fali Oczekiwana zależność Prawo Wiena max T= mk długość fali (nm) Prawo Rayleigha-Jeana E 8π kt 4 λ

10 Max Planck, grudzień 1900 Potrafię opisać za pomocą równania rozkład energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego Rewolucyjna hipoteza Plancka: Energia jest kwantowana energia może być oddawana lub pobierana tylko w postaci określonych (dyskretnych) porcji-zwanych KWANTEM ENERGII Kwant energii ma wielkość h a układ może przekazywać energię jedynie jako całkowite wielokrotności kwantu: E=nh gdzie: n-liczba całkowita (1,2,3 ), h-stała Plancka (wyznaczona eksperymentalna) h= Js, - częstotliwość promieniowania emitowanego lub absorbowanego

11 Natężenie promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Równanie Plancka h c 1 E 8π 5 hc λ kt e 1 Prawo Rayleigha-Jeana E 8π kt 4 λ Oczekiwana zależność długość fali (nm)

12 Fotony i efekt fotoelektryczny W 1905r, Einstein zaproponował, że promieniowanie elektromagnetyczne wykazuje własności materii i że porcje światła zwane fotonami wykazują charakterystyczną energię określoną równaniem: gdzie: E fotonu hc λ h-stała Plancka, -częstotliwość promieniowania, -długość fali hν Anoda światło elektrony Katoda Promieniowanie nadfioletowe metal fotoelektrony

13 Liczba wybitych elektronów Fotony i efekt fotoelektryczny Progowa częstotliwość g Większa intensywność Mniejsza intensywność częstotliwość Praca wyjścia w=h g elektronu e Energia kinetyczna e E fotonu = w + 1/2m e u

14 Dualistyczna natura światła L. de Broglie ( ) Dla światła: Dla cząstki: Tak więc Światło zachowuje się tak jak gdyby miało naturę zarówno falową jak i korpuskularną E hν 2 E mc mc p h c λ h λ Z każdą cząstką o pędzie p (p=mu) związana jest fala o długości określonej relacją de Broglie a Charakteryzuje falę λ h p Charakteryzuje cząstkę

15 Falowe własności elektronów Doświadczenia potwierdzające słuszność teorii de Broglie a przeprowadzili Davisson i Germer w 1927 roku oraz Thomson w 1928 roku Elektrony mogą ulegać dyfrakcji i interferencji

16 Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera d Ni =0.215nm 2 p ev ba 2m Z dyfrakcji d sin 0.165nm h p Wzór de Broglie h 2meV ba 0.167nm

17 Falowe własności elektronów Doświadczenia potwierdzające słuszność teorii de Broglie a przeprowadzili Davisson i Germer w 1927 roku oraz Thomson w 1928 roku Elektrony mogą ulegać dyfrakcji i interferencji DUALIZM KORPUSKULARNO - FALOWY wymaga przyjęcia, że obiekty MIKROŚWIATA czasem zachowują się jak fale a czasami zachowują się jak CZĄSTKI

18 WYGLĄD nie jest kategorią obiektywną WYGLĄD jest pochodną tego JAK oglądamy Warunkiem koniecznym jest możliwość zarejestrowania obrazu UKŁAD OPTYCZNY OBRAZ 26

19 Aby fala odbiła się od obiektu, jej długość musi być około 2 razy mniejsza niż wymiar obiektu 1 <D 1 /2 2 >D 2 /2 1 2 D 1 D 2 odbicie ugięcie

20 Aby zobaczyć elektron (zarejestrować obraz) należy go oświetlić falą o długości ok m Fala taka jest równoważna strumieniowi fotonów o energii: E f h v h c λ J którym zgodnie ze wzorem Einsteina odpowiada masa m f E c f kg Masa elektronu około kg

21 Gdyby elektron miał masę 1kg to. 22 tony foton elektron Zatem obrazu elektronu nie zarejestrujemy To nie jest problem techniczny To nie jest możliwe w sensie fizycznym

22 Mikroświata, czyli świata obiektów o rozmiarach mniejszych niż m Nie możemy sobie wyobrazić (pojęcie obrazu nie ma sensu) ROZUMIEĆ MAKROŚWIAT- umieć przewidzieć jego zachowanie, jego reakcję na jakiś bodziec, ale także WYOBRAZIĆ je sobie ROZUMIEĆ MIKROŚWIAT umieć przewidzieć jego zachowanie, jego reakcję na jakiś bodziec

23 Czasami opisujemy zachowanie obiektów MIKROŚWIATA wykorzystując równania, które opisują zachowanie się cząstek MAKROSKOPOWYCH Wtedy mówimy, że obiekty mikroświata zachowują się jak CZĄSTKI (a nie że są cząstkami!!!) Czasami opisujemy zachowanie obiektów MIKROŚWIATA wykorzystując równania fal w przestrzeniach MAKROSKOPOWYCH Wtedy mówimy, że obiekty mikroświata zachowują się jak FALE (a nie że są FALAMI!!)

24 Dualistyczna natura światła

25 Zasada Nieoznaczoności W 1920 roku N. Bohr i W.Heisenberg rozpatrzyli hipotetyczny eksperyment: Jak dokładnie można określić zachowanie cząstek elementarnych? Rozważano dwie zmienne : położenie cząstki (x) i jej pęd (p) Wynik: Nie jest możliwe równoczesne określenie z dowolnie dużą precyzją pędu i położenia p x h/(4) Gdzie p- nieoznaczoność p, x- nieoznaczoność x (pierwiastek ze średniego kwadratowego odchylenia pędu (położenia) od jego wartości średniej) Istnieją pary wielkości fizycznych, których RÓWNOCZEŚNIE nie można zmierzyć z absolutną dokładnością p x h/(4) E t h/(4)

26 Budowa atomu Jak sporządzić jego model? Jak opisać ruch elektronu (elektronów) w atomie? Skoro elektron to cząstka materialna..... to należy stworzyć jego mechaniczny model (Newton) czyli podać jego równanie ruchu, to znaczy... Poruszający się elektron zachowuje się jak fala... Można go więc opisać, znajdując parametry fali: - amplitudę (energię ruchu falowego) - długość fali MECHANIKA FALOWA MECHANIKA KWANTOWA

27 Mechanika kwantowa opiera się na dwóch prawach Dualizm korpuskularno-falowy (de Broglie a) Zasada nieoznaczoności Heisenberga p xh/(4) 1. Zgodnie z teorią falową światła natężenie promieniowania (ilość energii przenoszona przez przekrój o powierzchni jednostkowej) jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali świetlnej 2. Zgodnie z teorią kwantową światła natężenie promieniowania jest wprost proporcjonalne do liczby przepływających kwantów λ Kwadrat amplitudy fali świetlnej jest wprost proporcjonalny do liczby kwantów promieniowania h p Dla elektronu kwadrat amplitudy fali de Broglie a jest wprost proporcjonalny do prawdopodobieństwa napotkania elektronu

28 Funkcja falowa Podstawowy postulat mechaniki kwantowej: Stan układu złożonego z N cząstek określa funkcja falowa Ψ (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2,.. x N, y N, z N, t) gdzie x k, y k, z k współrzędne k-tej cząstki H Przepisem pozwalającym znaleźć funkcję falową w każdym przypadku jest tzw. równanie Schrödingera, które jest podobne do równania fali w akustyce H Ψ E c Ψ Erwin Schrödinger, Nobel operator Hamiltona (hamiltonian), którego postać jest jednoznacznie określona przez wyrażenie na energię całkowitą układu E c Rozwiązać powyższe równanie, to znaczy znaleźć taką funkcję Ψ(x,y,z) i taką wartość E c, dla których równanie to jest spełnione

29 CO TO JEST OPERATOR?..to PRZEPIS mówiący o tym co mamy zrobić z funkcją, na którą operator działa d operator różniczkowania po zmiennej x: D^ ^ D(2x x Wyrażenie na energię, a równanie Schrödingera E c =E kin +E pot 2 2 x 2 2 y 2 2 3x 2 z 2 3 ) 2 2x 9x Wykonanie powyższej operacji na funkcji falowej powinno dać jako wynik tę samą funkcję pomnożoną przez odpowiadającą jej wartość energii. 2 Ψ E Ψ c dx Jest to tzw. operator Laplace a (laplasjan)

30 Okazało się, że rozwiązać to równanie jest znacznie łatwiej jeżeli w miejsce KARTEZJAŃSKIEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH będziemy posługiwali się SFERYCZNYM UKŁADEM WSPÓŁRZĘDNYCH...po przekształceniu rozwiązaniem równania Schrödingera: 2 Ψ będzie funkcja: E Ψ = (r,,f) c Jeżeli funkcja jest zapisana we współrzędnych sferycznych to można ją przedstawić w postaci iloczynu: nlm (r,,f) = R nl (r) lm (,f) część radialna część kątowa

31 Liczby kwantowe Funkcję falową elektronu,, opisującą rozkład prawdopodobieństwa napotkania elektronu w jakimkolwiek atomie nazywamy: Zaczynamy od atomu wodoru: ORBITALEM ATOMOWYM Funkcja falowa (r,,f) zależy od trzech parametrów liczbowych n, l, m, co zanotujemy jako nlm (r,,f) Parametry te zwane liczbami kwantowymi muszą spełniać pewne warunki aby funkcja falowa miała sens: n= 1,2,3 Główna liczba kantowa l=0,1,2 (n-1) -l, -(l-1),...,l-1,l Orbitalna liczba kwantowa Magnetyczna liczba kwantowa

32 Przykładowe zestawy liczb n = 1 l = 0 m = 0 l = 0 m = 0 n = 2 m = -1 l = 1 m = 0 m = 1 powłoka podpowłoki orbitale Poboczna liczba kwantowa ma oznaczenia literowe: l s p d f g Sharp principal diffuse fundamental

33 O liczbach kwantowych cd Warunki jakie muszą być spełnione aby rozwiązania równania Schrödingera (w części radialnej i kątowej) były funkcjami porządnymi: 1. Energia całkowita elektronu może przyjmować tylko wartości: h h 2π E πm e 2ε h n o 4 e 2 2 const 2 n 2. Moment pędu elektronu może przyjmować tylko wartości: M l(l 1)h 3. Moment pędu może mieć tylko określone orientacje w przestrzeni; składowa zetowa M z (w kierunku osi z) przyjmować może tylko wartości M z m h Kiedy funkcja jest porządna? n=1,2,3 Główna liczba kwantowa l=0,1,2 (n-1) Poboczna liczba kwantowa m: -l, -(l-1) 0 (l-1), l Magnetyczna liczba kwantowa ciągła, jednoznaczna, znikająca w nieskończoności

34 Orbitale atomu wodoru-część radialna Radialna gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu P=r 2 R 2 Stan podstawowy Promień Bohra a 0 ; promień Bohra 1s 2s 2p 3s 3p 3d nlm (r,,f) = R nl (r) Y lm (,f) Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości od jądra zawartej pomiędzy r a r+dr (tj. pomiędzy dwiema współśrodkowymi kulami o promieniach r i r+dr): P=r 2 R 2 dr liczba maksimów części radialnej orbitalu wynosi zawsze n-l wysokość maksimów rośnie z r

35 Orbitale atomu wodoru-część kątowa nlm (r,,f) = R nl (r) Y lm (,f) 1s 2s 3s

36 Orbitale atomu wodoru (typu p) -część kątowa

37 Orbitale atomu wodoru (typu d)-część kątowa