Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 007. 3. Krysicki W., Włodrski L.: Anliz mtemtyczn z zdnich i, Wydwnictwo Nukowe PWN, Wrszw, 008. PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f(x)=x+b, gdzie, b - są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz wolny. Dziedziną funkcji jest zbiór R, wykresem - lini prost równoległ do osi OX, gdy przecinjąc oś OX, gdy. 0. 0 =, lbo Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tngensowi kąt α - kąt nchyleni prostej do osi OX. Wyrz wolny b jest rzędną punktu przecięci się wykresu z osią OY (rys.) Rys. Przykłd. Nszkicowć wykres funkcji: ) y =, b) y = x -4. Inne włsności funkcji liniowej
. Funkcj liniow jest monotoniczn w cłej swojej dziedzinie: rosnąc gdy, mlejąc gdy >0<0 i stł gdy. 0=. Funkcj liniow niestł przyjmuje kżdą wrtość rzeczywistą. 3. Funkcj liniow niestł rozptrywn w przedzile domkniętym osiąg wrtość njmniejszą n jednym, wrtość njwiększą n drugim końcu przedziłu. 4. Jeżeli funkcj jest liniow, to przyrost wrtości funkcji jest proporcjonlny do przyrostu jej rgumentu. Tkże n odwrót: Jeżeli dziedziną funkcji jest R i przyrost wrtości funkcji jest proporcjonlny do przyrostu jej rgumentu, to funkcj jest liniow. Współczynnik proporcjonlności wynosi wtedy.. Funkcje kwdrtowe Funkcją kwdrtową (trójminem kwdrtowym) nzywmy funkcję określoną wzorem gdzie 0,b, c są dnymi liczbmi. y x bx c, Dziedziną funkcji jest zbiór R. Wykresem trójminu kwdrtowego jest prbol, której rmion (głęzie) skierowne są w dół, jeżeli >0, orz skierowne w górę, jeżeli <0. Osią symetrii prboli jest b prost równoległ do osi OY i przechodząc przez wierzchołek W, który m współrzędne xw, y w f ( xw), gdzie 4 o rzędnej c (rys.5). b 4c ozncz wyróżnik trójminu. Prbol przecin oś OY w punkcie Położenie prboli względem osi OX, związne jest z liczbą rozwiązń równni zleży od wyróżnik Δ : x bx c 0 i. Gdy Δ>0 prbol przecin oś w punktch o odciętych stnowiących pierwistki tego równni: b b x, x. Trójmin kwdrtowy możn wtedy przedstwić w tzw. postci iloczynowej: y ( x x)( x x).
b. Gdy Δ=0 prbol dotyk swoim wierzchołkiem oś w punkcie o odciętej x0, stnowiącej tzw. pierwistek podwójny równni. Postcią iloczynową trójminu jest wtedy: y x x 3. Gdy Δ<0 prbol nie przecin osi, równnie nie m pierwistków. ( 0). Przykłd. Nszkicowć wykresy funkcji: ) y x x 4 6, b) y x x, c) y x x 4 5. Przykłd 3. Podć postć iloczynową trójminów: ) y x x 8 6, b) y x x 3 6 3. Przykłd 4. Wyznczyć pierwistki równni bez obliczni wyróżnik: ) Przykłd 5. Rozwiązć nierówność: ) x x3 0,b) x 4 0, c) x 4x 0, b) x x 0. x 9 0. 3. Wielominy Wielominem stopni n nzywmy funkcję określoną wzorem n y W( x) x x x, n n n 0 gdzie n - jest dną liczbą nturlną lub zerem, n 0, n,,, 0 - są dnymi liczbmi rzeczywistymi zwnymi współczynnikmi wielominu. Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. Kżdą liczbę, dl której W()=0 nzywmy pierwistkiem wielominu. Wielomin stopni n może posidć co njwyżej n pierwistków. Metody wyznczni pierwistków wielominu W(x) (pierwistków równni W(x)=0). Metod sprowdzjąc wielomin do postci iloczynu czynników liniowych lub kwdrtowych o Δ>0. Wykorzystuje się w niej tzw. grupownie wyrzów i wzory skróconego mnożeni.. Metod polegjąc n "odgdywniu" pierwistków. Powołujemy się w niej n nstępujące twierdzenie: Pierwistkmi cłkowitymi wielominu o współczynnikch cłkowitych mogą być jedynie dzielniki wyrzu wolnego. 3. Metod "kombinown" łącząc obie powyższe i opierjąc się n twierdzeniu Bezout: Jeżeli liczb jest pierwistkiem wielominu W(x), to wielomin możn przedstwić w postci W(x)=(x-)*P(x), gdzie P(x) jest wielominem otrzymnym przez podzielenie W(x) przez x-. Pozostłymi pierwistkmi wielominu W(x) są wówczs pierwistki wielominu P(x). Przykłd 6. Rozwiązć równnie 3 x x x 0. 3 Przykłd 7. Rozwiązć równnie: x 7x 6 0. 3
3 Przykłd 8. Znleźć pierwistki wielominu W( x) x 3x 4. Uwg. Jeżeli w rozkłdzie wielominu n czynniki liniowe lub kwdrtowe o 0<Δ czynnik x występuje dokłdnie k rzy, to liczbę nzywmy pierwistkiem k-krotnym. Uwg. Kolejne kroki przy szkicowniu wykresu wielominu niezbędnego do znlezieni rozwiązń nierówności wielominowych (lgebricznych):. Nnosimy n oś OX wszystkie pierwistki wielominu (zznczjąc ich krotność).. Przez nniesione punkty prowdzimy linię tk, by - przecinł on oś w przypdku pierwistk nieprzystej krotności, - dotykł osi lecz jej nie przecinł w przypdku, gdy pierwistek jest przystej krotności. - leżł w przedzile x mx ; powyżej osi OX, gdy współczynnik n jest dodtni ( x mx ozncz njwiększy z pierwistków) i poniżej w przeciwnym przypdku. Przykłd 9. Rozwiązć nierówność: 4 3 x x x x 7 0 0. 4. Funkcje wymierne Funkcją wymierną nzywmy funkcję postci Px ( ) y, gdzie P(x) i Q(x) są wielominmi. Qx ( ) Dziedziną funkcji jest zbiór { x, x,, x k }, gdzie x, x,, x k są wszystkimi różnymi między sobą pierwistkmi wielominu Q(x). funkcj postci Szczególnym przypdkiem funkcji wymiernej jest funkcj zwn funkcją homogrficzną. Jest to x b y, gdzie, b, c, d są dnymi liczbmi spełnijącymi wrunki: c 0, d bc 0. cx d Dziedziną funkcji jest zbiór są: symptotą poziomą - prost przy zmiennej x), symptotą pionową - prost d c, wykresem - krzyw zwn hiperbolą, której symptotmi y (równnie to powstje przez podzielenie współczynników stojących c d x (równnie to otrzymujemy przyrównując minownik c do zer). Hiperbol jest symetryczn względem punktu przecięci się symptot (rys.6.). 4
Przykłd 0. Nszkicowć wykres funkcji Rys. 6. x y x. 5. Funkcje potęgowe Funkcję postci y x, gdzie 0 jest dną liczb rzeczywistą, nzywmy funkcją potęgową. Dziedzin tej funkcji i jej włsności zleżą od wykłdnik α. Jeżeli jest on liczbą nturlną (α=n), to dziedziną funkcji jest zbiór R, przy tym dl n przystych jest to funkcj przyst, dl nieprzystych - nieprzyst. Wykresy niektórych funkcji o wykłdnikch nturlnych przedstwione zostły n rys.7. Funkcj postci y n x n x Rys. 7., gdzie n jest liczb nturlną, jest dl nieprzystych n określon w zbiorze R, dl przystych - tylko w przedzile 0, ). N rys.8. przedstwione zostły dw wykresy funkcji tego typu. Rys. 8 5
6. Funkcje wykłdnicze Funkcją wykłdniczą nzywmy funkcję postci wrunek 0. Wykresy niektórych funkcji wykłdniczych przedstwione zostły n rys.9. x y, gdzie jest dną liczbą rzeczywistą spełnijącą Rys. 9. Dziedziną kżdej funkcji wykłdniczej jest zbiór R, przeciwdziedziną przedził (0; ). Funkcj jest monotoniczn: rosnąc gdy >, mlejąc gdy < (jest więc funkcją różnowrtościową). Szczególnie wżną rolę w nlizie mtemtycznej odgryw funkcj y e x Uwg. Konsekwencją monotoniczności funkcji wykłdniczych są nstępujące równowżności, które wykorzystujemy przy rozwiązywniu równń i nierówności wykłdniczych:, x x x x x x dl x x, x x dl. Równni lub nierówności, w których niewidom występuje tylko w wykłdniku potęgi nzywmy wykłdniczymi. Aby rozwiązć tkie równnie lbo nierówność nleży (wystrczy):. Przedstwić wyrżeni po obu stronch równni lub nierówności jko potęgi o tej smej podstwie.. Uwolnić się od podstw (zmienijąc znk nierówności w przypdku podstwy z przedziłu (0;). 3. Rozwiązć otrzymne równnie lub nierówność. Przykłd. Rozwiązć równni lub nierówności: ) x 3 8, b) 3 3 3 x 3, c), d) x4 3 4x 3. 6
7. Funkcje logrytmiczne Logrytmem liczby dodtniej b przy podstwie, gdzie 0, nzywmy wykłdnik potęgi, do której nleży podnieść, by otrzymć b. Ztem przy powyższych złożenich log b c c b. Przykłd. Obliczyć wrtości logrytmów: ) log 3, b) Włsności logrytmów log, c) 3 log 9, d) log.. Kżdą liczbę t możn zmienić n logrytm o dnej podstwie, (0< ) korzystjąc z zleżności: t t log.. Kżdą liczbę dodtnią m możn przedstwić w postci potęgi o dnej podstwie, (0< ) m log m. 3. Dl dowolnych liczb dodtnich x, y i dowolnego n przy dnej podstwie, (0< ), zchodzą wzory: b ) log ( x y) log x log y, b) log x log x log y, c)log x blog x. y Funkcją logrytmiczną nzywmy funkcję postci spełnijącą wrunek 0<. Wykresy niektórych funkcji logrytmicznych przedstwione zostły n rys.0. y log x, gdzie jest dną liczbą zwną podstwą, Rys. 0. Dziedziną kżdej funkcji logrytmicznej jest przedził (0; ), zbiorem wrtości zbiór R. Funkcj jest monotoniczn: rosnąc gdy >, mlejąc gdy < (w obu przypdkch jest więc różnowrtościow). Uwg. Konsekwencją monotoniczności funkcji logrytmicznej są nstępujące równowżności, zchodzące dl dodtnich rgumentów, wykorzystywne przy rozwiązywniu równń i nierówności logrytmicznych: log log. log log x x dl,. x x x x x x x x dl 7
Równni lub nierówności, w których niewidom występuje tylko w wyrżenich logrytmownych nzywmy logrytmicznymi. Aby rozwiązć tkie równnie lub nierówność nleży (wystrczy):. Wyznczyć dziedzinę równni lub nierówności zkłdjąc, że wszystkie wyrżeni logrytmowne zwierjące niewidomą są dodtnie.. Obie strony zpisć w postci logrytmów o identycznych podstwch (wykorzystując włsność.). 3. Uwolnić się od logrytmów zmienijąc ewentulnie znk w przypdku nierówności i podstwy z przedziłu (0;). 4. Rozwiązć otrzymne równnie lub nierówność, nstępnie odrzucić rozwiązni nie nleżące do dziedziny. Przykłd 3. Rozwiązć równni lub nierówności: ) log ( x ) 3, b) log ( x). Przykłd 4. Wyznczyć w postci y f ( x) funkcję odwrotną do y f ( x). Nszkicowć wykresy obu funkcji: ) f( x) 3 x f ( x) log ( x )., b) 8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Niech x ozncz mirę kąt skierownego TOM n płszczyźnie TOY (rys..). Rys.. Funkcje trygonometryczne określmy wtedy nstępująco: sin x y, cos x t, tg x y, ctg x t. r r t y Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstwione zostły n rys.. 8
Rys.. Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór R. Funkcje te są ogrniczone, bowiem dl kżdego x mmy: sin x orz cos x. k k Funkcj tngens określon jest n przedziłch ;, funkcj cotngens - n przedziłch k;( k ), gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą. Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstwowym funkcji sinus i cosinus jest liczb π, co ozncz, że dl kżdego x zchodzą wrunki: sin( x ) sin x, cos( x ) cos x. Okresem podstwowym funkcji tngens i cotngens jest liczb π. Ozncz to, że dl x pochodzących z odpowiedniego zbioru mmy: tg( x ) tg x, ctg( x ) ctg x. Funkcj cosinus jest przyst, tzn. cos( x) cos x dl kżdego x. Pozostłe funkcje trygonometryczne są nieprzyste, tzn. dl odpowiednich x zchodzą wzory: sin( x) sin x, tg( x) tg x, ctg( x) ctg x. Funkcje trygonometryczne y sin x, y cos( x), y tg( x), y ctg x. nie są funkcjmi różnowrtościowymi w swoich nturlnych dziedzinch. Są jednk różnowrtościowe odpowiednio n zbiorch: ich przeciwdziedzinmi są odpowiednio: ;, [0; ], ;, (0; ) ;, ;,,. Dl tk zwężonych funkcji trygonometrycznych istnieją więc funkcje odwrotne. Funkcje te nzywmy funkcjmi cyklometrycznymi odpowiednio: rcus sinus, rcus cosinus, rcus tngens, rcus cotngens. Mmy ztem y rcsin x x sin y, y rccos x x cos y, y rctg x x tg y, y rcctg x x ctg y. 9
Przykłd 5. Obliczyć: ) 3 rcsin, b) rcsin( ) c) Wykresy funkcji cyklometrycznych przedstwione zostły n rys.3. rccos, d) rctg 3. Rys. 3. Uwg. Funkcje, które możn otrzymć z funkcji stłych, wielominów, funkcji potęgowych, wykłdniczych, logrytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych wykonując skończoną liczbę dziłń typu: dodwnie, odejmownie, mnożenie, dzielenie i skłdnie funkcji nzywmy funkcjmi elementrnymi (w szerszym sensie). Funkcj błędu Guss funkcj nieelementrn, któr występuje w rchunku prwdopodobieństw, sttystyce orz w teorii równń różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniown jko 0