PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA I KRYTERIA WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 IV Liceum Ogólnoksztłcące im. Fryderyk Chopin w Ostrowie Wielkopolskim PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA I KRYTERIA WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Z MATEMATYKI I. Formy sprwdzni wiedzy i umiejętności Weryfikcj zdobytej wiedzy i uzysknych przez uczni n lekcjch mtemtyki umiejętności może mieć nstępujące formy: prce klsowe, sprwdziny testy dignostyczne próbne mtury krtkówki zdni domowe odpowiedzi ustne prc n lekcji ktywność prc projektow lub prc długoterminow II. Kryteri oceny poszczególnych form sprwdzni widomości i umiejętności orz obszrów ktywności uczni 1) Prce klsowe, sprwdziny i krtkówki nuczyciel oceni n podstwie oprcownej krtoteki, w której określ punktcję z dne zdni. Przyjmuje się przeliczenie procentowe n ocenę: % ocen niedostteczny dopuszczjący minus dopuszczjący dopuszczjący plus dostteczny minus dostteczny dostteczny plus

2 dobry minus dobry dobry plus brdzo dobry minus brdzo dobry brdzo dobry plus celujący minus celujący 2) Testy dignostyczne i próbne mtury oceni n podstwie oprcownej krtoteki, w której określ punktcję z dne zdni. Do dziennik zpisuje się wynik procentowy, który nie m wpływu n średnią wżoną. 3) Zdni domowe nuczyciel oceni biorąc pod uwgę liczbę popełnionych błędów, trudność zdni orz smodzielność wykonni. Z brk zdni domowego uczeń może otrzymć ocenę niedostteczny. 4) Odpowiedzi ustne nuczyciel oceni biorąc pod uwgę widomości i umiejętności z zkresu dnego dziłu, posługiwnie się językiem mtemtycznym, umiejętność wnioskowni, nlizowni, uogólnini i uzsdnini. 5) Prc n lekcji i ktywność mogą być ocenione przy pomocy plus lub minus lbo oceny. 6) Prcę projektową lub prcę długoterminową nuczyciel oceni zgodnie z ustlonymi przy rozpoczęciu relizcji projektu kryterimi. III. Ogólne kryteri ocen Ocen celujący Ocenę otrzymuje uczeń, który opnowł pełen zkres widomości przewidziny w podstwie progrmowej nuczni i potrfi: smodzielnie rozwiązywć zdni; wykzć się znjomością definicji i twierdzeń orz umiejętnością ich zstosowni w zdnich; posługiwć się poprwnym językiem mtemtycznym; smodzielnie zdobywć wiedzę; pomysłowo i oryginlnie rozwiązuje zdni; rozwij włsne uzdolnieni i zinteresowni mtemtyczne; 2 S t r o n

3 przeprowdzć rozmite rozumowni dedukcyjne. Ocen brdzo dobry Ocenę otrzymuje uczeń, który opnowł pełen zkres widomości przewidziny w podstwie progrmowej nuczni orz potrfi: sprwnie rchowć; smodzielnie rozwiązywć zdni; wykzć się znjomością definicji i twierdzeń orz umiejętnością ich zstosowni w zdnich; posługiwć się poprwnym językiem mtemtycznym; smodzielnie zdobywć wiedzę; przeprowdzć rozmite rozumowni dedukcyjne. Ocen dobry Ocenę otrzymuje uczeń, który opnowł widomości i umiejętności przewidzine w podstwie progrmowej, tkże potrfi: smodzielnie rozwiązć typowe zdni; wykzć się znjomością i rozumieniem poznnych pojęć i twierdzeń orz lgorytmów; posługiwć się językiem mtemtycznym, który może zwierć jedynie nieliczne błędy i potknięci; sprwnie rchowć; przeprowdzić proste rozumowni dedukcyjne. Ocen dostteczny Ocenę otrzymuje uczeń, który opnowł podstwowe widomości i umiejętności przewidzine w podstwie progrmowej, co pozwl mu n: wykznie się znjomością i rozumieniem podstwowych pojęć i lgorytmów; stosownie poznnych wzorów i twierdzeń w rozwiązywniu typowych ćwiczeń i zdń; wykonywnie prostych obliczeń i przeksztłceń mtemtycznych. Ocen dopuszczjący Ocenę otrzymuje uczeń, który opnowł podstwowe widomości i elementrne umiejętności przewidzine w podstwie progrmowej w tkim zkresie, że potrfi: smodzielnie lub z pomocą nuczyciel wykonywć ćwiczeni i zdni o niewielkim stopniu trudności; 3 S t r o n

4 wykzć się znjomością i rozumieniem njprostszych pojęć orz lgorytmów. Ocen niedostteczny Ocenę otrzymuje uczeń, który nie opnowł podstwowych widomości i umiejętności wynikjących z podstwy progrmowej nuczni orz: nie rdzi sobie ze zrozumieniem njprostszych pojęć, lgorytmów i twierdzeń; popełni rżące błędy w rchunkch; nie potrfi (nwet z pomocą nuczyciel, który miedzy innymi zdje pytni pomocnicze) wykonć njprostszych ćwiczeń i zdń; nie wykzuje chęci współprcy w celu uzupełnieni brków i nbyci podstwowej wiedzy i umiejętności. IV. Szczegółowe kryteri ocen Kls I poziom podstwowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności liczb rozróżni liczby pierwsze i liczby złożone porównuje liczby wymierne podje przykłd liczby wymiernej zwrtej między dwiem dnymi liczbmi orz przykłdy liczb niewymiernych zzncz n osi liczbowej dną liczbę wymierną przedstwi liczby wymierne w różnych postcich wyzncz przybliżeni dziesiętne dnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością (również przy użyciu klkultor) orz określ, czy dne przybliżenie jest przybliżeniem z ndmirem, czy z niedomirem wykonuje proste dziłni w zbiorch liczb cłkowitych, wymiernych i rzeczywistych oblicz wrtość pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej orz wrtość pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej wyłącz czynnik przed znk pierwistk włącz czynnik pod znk pierwistk wykonuje dziłni n pierwistkch tego smego stopni, stosując odpowiednie twierdzeni 1 usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu przeksztłc i oblicz wrtości wyrżeń zwierjących pierwistki kwdrtowe, stosując wzory skróconego mnożeni wykonuje proste dziłni n potęgch o wykłdnikch cłkowitych przedstwi liczbę w notcji wykłdniczej oblicz procent dnej liczby oblicz, jkim procentem jednej liczby jest drug liczb wyzncz liczbę, gdy dny jest jej procent posługuje się procentmi w rozwiązywniu prostych zdń prktycznych prwidłowo odczytuje informcje przedstwione n digrmch wykonuje dziłni n wyrżenich lgebricznych (w tym: stosuje wzory skróconego mnożeni 4 S t r o n

5 dotyczące drugiej potęgi) wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: stosuje ogólny zpis liczb nturlnych przystych, nieprzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstwieni liczby nturlnej w postci k + r konstruuje odcinki o długościch niewymiernych usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu b c d wykonuje dziłni łączne n liczbch rzeczywistych zmieni ułmek dziesiętny okresowy n ułmek zwykły porównuje pierwistki bez użyci klkultor wykonuje dziłni łączne n potęgch o wykłdnikch cłkowitych oblicz, o ile procent jedn liczb jest większ (mniejsz) od drugiej rozwiązuje złożone zdni tekstowe, wykorzystując obliczeni procentowe oceni dokłdność zstosownego przybliżeni 2. JĘZYK MATEMATYKI dopuszczjący posługuje się pojęcimi: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony opisuje symbolicznie dne zbiory wyzncz iloczyn, sumę orz różnicę dnych zbiorów zzncz n osi liczbowej przedziły liczbowe wyzncz iloczyn, sumę i różnicę przedziłów liczbowych rozwiązuje proste nierówności liniowe zzncz n osi liczbowej zbiór rozwiązń nierówności liniowej A x R : x 4 x 1 4,1 zpisuje zbiory w postci przedziłów liczbowych, np. oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni elementrnych x, x równń i nierówności typu wyzncz błąd bezwzględny orz błąd względny przybliżeni wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: zzncz n osi liczbowej zbiory liczb spełnijących ukłd nierówności liniowych z jedną niewidomą wykonuje złożone dziłni n przedziłch liczbowych rozwiązuje nierówności liniowe przeksztłc wyrżeni lgebriczne, korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej 3. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu podje przykłdy funkcji liniowych opisujących sytucje z życi codziennego rysuje wykres funkcji liniowej dnej wzorem oblicz wrtość funkcji liniowej dl dnego rgumentu i odwrotnie wyzncz miejsce zerowe funkcji liniowej interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej wyzncz lgebricznie orz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór rgumentów, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie (ujemne) odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej włsności: dziedzinę, zbiór wrtości, miejsce zerowe, monotoniczność wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dne dw punkty wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dn prost 5 S t r o n

6 wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji liniowej z osimi ukłdu współrzędnych sprwdz lgebricznie i grficznie, czy dny punkt nleży do wykresu funkcji liniowej przeksztłc równnie ogólne prostej do postci kierunkowej i odwrotnie sprwdz, czy dne trzy punkty są współliniowe stosuje wrunek równoległości i prostopdłości prostych wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest prostopdły do wykresu dnej funkcji liniowej rozstrzyg, czy dny ukłd dwóch równń liniowych jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny rozwiązuje ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini i metodą przeciwnych współczynników określ liczbę rozwiązń ukłdu równń liniowych, korzystjąc z jego interpretcji geometrycznej wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: sprwdz, dl jkich wrtości prmetru funkcj liniow jest rosnąc, mlejąc, stł rysuje wykres funkcji przedziłmi liniowej i omwi jej włsności oblicz pole figury ogrniczonej wykresmi funkcji liniowych orz osimi ukłdu współrzędnych sprwdz, dl jkich wrtości prmetru dwie proste są równoległe, prostopdłe znjduje współrzędne wierzchołków wielokąt, gdy dne są równni prostych zwierjących jego boki rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi 4. FUNKCJE rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi sposobmi (wzorem, tbelką, wykresem, opisem słownym) poprwnie stosuje pojęci związne z pojęciem funkcji: dziedzin, zbiór wrtości, rgument, wrtość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji wyzncz dziedzinę funkcji określonej tbelą lub opisem słownym wyzncz dziedzinę funkcji dnej wzorem, wymgjącym jednego złożeni oblicz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem (w prostych przykłdch) oblicz wrtość funkcji dl różnych rgumentów n podstwie wzoru funkcji oblicz rgument odpowidjący podnej wrtości funkcji sprwdz lgebricznie położenie punktu o dnych współrzędnych względem wykresu funkcji dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji dnej wzorem z osimi ukłdu współrzędnych rysuje w prostych przypdkch wykres funkcji dnej wzorem y f ( x p) y q y f ( x p) q y f( x) sporządz wykresy funkcji:,,, y = f(x), n y f (x) podstwie dnego wykresu funkcji odczytuje z wykresu wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz rgument dl dnej wrtości funkcji n podstwie wykresu funkcji określ rgumenty, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, ujemne określ n podstwie wykresu przedziły monotoniczności funkcji wskzuje wykresy funkcji rosnących, mlejących i stłych wśród różnych wykresów stosuje funkcje i ich włsności w prostych sytucjch prktycznych wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: rozpoznje i opisuje zleżności funkcyjne w otczjącej ns rzeczywistości przedstwi dną funkcję n różne sposoby określ dziedzinę orz wyzncz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem, który wymg kilku złożeń n podstwie wykresu funkcji określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od wrtości prmetru m 6 S t r o n

7 n podstwie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązń nierówności: m, m, m, m dl ustlonej wrtości prmetru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązni równń i nierówności typu f(x) = g(x), f(x)<g(x), f(x)>g(x) szkicuje wykres funkcji spełnijącej podne wrunki 5. FUNKCJA KWADRATOWA 2 rysuje wykres funkcji x i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży do wykresu dnej funkcji kwdrtowej rysuje wykres funkcji kwdrtowej w postci knonicznej i podje jej włsności ustl wzór funkcji kwdrtowej w postci knonicznej n podstwie informcji o przesunięcich wykresu przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci knonicznej do postci ogólnej i odwrotnie oblicz współrzędne wierzchołk prboli znjduje brkujące współczynniki funkcji kwdrtowej, znjąc współrzędne punktów nleżących do jej wykresu rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni wyzncz lgebricznie współrzędne punktów przecięci prboli z osimi ukłdu współrzędnych określ liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od znku wyróżnik rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki sprowdz funkcję kwdrtową do postci iloczynowej, o ile możn ją w tej postci zpisć odczytuje miejsc zerowe funkcji kwdrtowej z jej postci iloczynowej rozwiązuje nierówności kwdrtowe wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji kwdrtowej w podnym przedzile wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: n podstwie od prmetru m, gdzie wykresu określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności y = f(x) jest funkcją kwdrtową rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do wyznczni wrtości njmniejszej i njwiększej funkcji kwdrtowej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń lub nierówności kwdrtowych znjduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązń nierówności kwdrtowych 6. PLANIMETRIA rozróżni trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwrtokątne stosuje twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie sprwdz, czy z trzech odcinków o dnych długościch możn zbudowć trójkąt uzsdni przystwnie trójkątów, wykorzystując cechy przystwni wykorzystuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni prostych zdń uzsdni podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństw zpisuje proporcje boków w trójkątch podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni elementrnych zdń sprwdz, czy dne figury są podobne oblicz długości boków figur podobnych posługuje się pojęciem skli do obliczni odległości i powierzchni przedstwionych z pomocą plnu lub mpy stosuje w zdnich twierdzenie o stosunku pól figur podobnych wskzuje w wielokątch odcinki proporcjonlne stosuje twierdzenie Pitgors wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego 7 S t r o n

8 oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dne są boki tego trójkąt rozwiązuje trójkąty prostokątne stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt: 2 1 P h 2 orz wzór n pole trójkąt równobocznego 3 P o boku : 4 wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów Kls I poziom rozszerzony 1. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb rozkłd liczby nturlne n czynniki pierwsze stosuje cechy podzielności liczb rozróżni liczby pierwsze i liczby złożone znjduje njwiększy wspólny dzielnik i njmniejszą wspólną wielokrotność liczb porównuje liczby wymierne podje przykłd liczby wymiernej zwrtej między dwiem dnymi liczbmi orz przykłdy liczb niewymiernych zzncz n osi liczbowej dną liczbę wymierną przedstwi liczby wymierne w różnych postcich wyzncz przybliżeni dziesiętne dnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością (również przy użyciu klkultor) orz określ, czy dne przybliżenie jest przybliżeniem z ndmirem, czy z niedomirem wykonuje proste dziłni w zbiorch liczb: cłkowitych, wymiernych i rzeczywistych oblicz wrtość pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej orz wrtość pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej wyłącz czynnik przed znk pierwistk włącz czynnik pod znk pierwistk wykonuje dziłni n pierwistkch tego smego stopni, stosując odpowiednie twierdzeni 1 usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu przeksztłc i oblicz wrtości wyrżeń zwierjących pierwistki kwdrtowe, stosując wzory skróconego mnożeni wykonuje proste dziłni n potęgch o wykłdnikch cłkowitych przedstwi liczbę w notcji wykłdniczej oblicz procent dnej liczby oblicz, jkim procentem jednej liczby jest drug liczb wyzncz liczbę, gdy dny jest jej procent posługuje się procentmi w rozwiązywniu prostych zdń prktycznych odczytuje prwidłowo informcje przedstwione n digrmch wykonuje dziłni n wyrżenich lgebricznych (w tym: stosuje wzory skróconego mnożeni dotyczące drugiej potęgi) wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: stosuje ogólny zpis liczb nturlnych: przystych, nieprzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstwieni liczby nturlnej w postci k + r 8 S t r o n

9 konstruuje odcinki o długościch niewymiernych usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu b c d wykonuje dziłni łączne n liczbch rzeczywistych zmieni ułmek dziesiętny okresowy n ułmek zwykły porównuje pierwistki bez użyci klkultor wykonuje dziłni łączne n potęgch o wykłdnikch cłkowitych wyprowdz i stosuje wzory skróconego mnożeni b 3 3 3, b oblicz, o ile procent jedn liczb jest większ (mniejsz) od drugiej rozwiązuje złożone zdni tekstowe, wykorzystując obliczeni procentowe oceni dokłdność zstosownego przybliżeni 2. JĘZYK MATEMATYKI posługuje się pojęcimi: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony opisuje symbolicznie dne zbiory wyzncz iloczyn, sumę orz różnicę dnych zbiorów zzncz n osi liczbowej przedziły liczbowe wyzncz iloczyn, sumę i różnicę przedziłów liczbowych rozwiązuje proste nierówności liniowe zzncz n osi liczbowej zbiór rozwiązń nierówności liniowej A x R : x 4 x 1 4,1 zpisuje zbiory w postci przedziłów liczbowych, np. oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni elementrnych x, x równń i nierówności typu wyzncz błąd bezwzględny orz błąd względny przybliżeni stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni równń 2x 3 3 x 4 1 i nierówności typu, wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: zzncz n osi liczbowej zbiory liczb spełnijących ukłd nierówności liniowych z jedną niewidomą wykonuje złożone dziłni n przedziłch liczbowych rozwiązuje nierówności liniowe przeksztłc wyrżeni lgebriczne, korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej wyzncz przedziły liczbowe określone z pomocą wrtości bezwzględnej wykorzystuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równń i nierówności z wrtością bezwzględną 3. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu podje przykłdy funkcji liniowych opisujących sytucje z życi codziennego rysuje wykres funkcji liniowej dnej wzorem oblicz wrtość funkcji liniowej dl dnego rgumentu i odwrotnie wyzncz miejsce zerowe funkcji liniowej interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej wyzncz lgebricznie orz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór rgumentów, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie (ujemne) odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej włsności: dziedzinę, zbiór wrtości, miejsce zerowe, monotoniczność 9 S t r o n

10 wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dne dw punkty wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dn prost wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji liniowej z osimi ukłdu współrzędnych sprwdz lgebricznie i grficznie, czy dny punkt nleży do wykresu funkcji liniowej przeksztłc równnie ogólne prostej do postci kierunkowej i odwrotnie sprwdz, czy dne trzy punkty są współliniowe stosuje wrunek równoległości i prostopdłości prostych wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest prostopdły do wykresu dnej funkcji liniowej rozstrzyg, czy dny ukłd dwóch równń liniowych jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny rozwiązuje ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini i metodą przeciwnych współczynników określ liczbę rozwiązń ukłdu równń liniowych, korzystjąc z jego interpretcji geometrycznej rozwiązuje grficznie ukłdy nierówności liniowych z dwiem niewidomymi wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: sprwdz, dl jkich wrtości prmetru funkcj liniow jest rosnąc, mlejąc, stł rysuje wykres funkcji przedziłmi liniowej i omwi jej włsności oblicz pole figury ogrniczonej wykresmi funkcji liniowych orz osimi ukłdu współrzędnych uzsdni n podstwie definicji monotoniczność funkcji liniowej sprwdz, dl jkich wrtości prmetru dwie proste są równoległe, prostopdłe znjduje współrzędne wierzchołków wielokąt, gdy dne są równni prostych zwierjących jego boki rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi opisuje z pomocą ukłdu nierówności liniowych zbiór punktów przedstwionych w ukłdzie współrzędnych rozwiązuje lgebricznie ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi określ włsności funkcji liniowej w zleżności od wrtości prmetrów występujących w jej wzorze rozwiązuje grficznie ukłd równń, w którym występuje wrtość bezwzględn rozwiązuje ukłdy równń liniowych z prmetrem 4. FUNKCJE rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi sposobmi (wzorem, tbelą, wykresem, opisem słownym) poprwnie stosuje pojęci związne z pojęciem funkcji: dziedzin, zbiór wrtości, rgument, wrtość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji wyzncz dziedzinę funkcji określonej tbelką lub opisem słownym wyzncz dziedzinę funkcji dnej wzorem, wymgjącym jednego złożeni oblicz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem (w prostych przykłdch) oblicz wrtość funkcji dl różnych rgumentów n podstwie wzoru funkcji oblicz rgument odpowidjący podnej wrtości funkcji sprwdz lgebricznie położenie punktu o dnych współrzędnych względem wykresu funkcji dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji dnej wzorem z osimi ukłdu współrzędnych rysuje w prostych przypdkch wykres funkcji dnej wzorem y f ( x p) y q y f ( x p) q y f( x) sporządz wykresy funkcji:,,, y = f(x), n y f (x) podstwie dnego wykresu funkcji y f x y f x y f x sporządz wykresy funkcji:,, mjąc dny wykres funkcji odczytuje z wykresu wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz rgument dl dnej wrtości funkcji n podstwie wykresu funkcji określ rgumenty, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, 10 S t r o n

11 ujemne określ n podstwie wykresu przedziły monotoniczności funkcji wskzuje wykresy funkcji rosnących, mlejących i stłych wśród różnych wykresów stosuje funkcje i ich włsności w prostych sytucjch prktycznych wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: rozpoznje i opisuje zleżności funkcyjne w otczjącej ns rzeczywistości przedstwi dną funkcję n różne sposoby określ dziedzinę orz wyzncz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem, który wymg kilku złożeń n podstwie definicji bd monotoniczność funkcji dnej wzorem n podstwie wykresu funkcji określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od wrtości prmetru m n podstwie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązń nierówności: m, m, m, m dl ustlonej wrtości prmetru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązni równń i nierówności typu: f(x) = g(x), f(x)<g(x), f(x)>g(x) szkicuje wykres funkcji spełnijącej podne wrunki szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonni kilku opercji, mjąc dny wykres funkcji 5. FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę niedostteczny, jeśli nie opnowł widomości i 2 y f x umiejętności n ocenę x rysuje wykres funkcji i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży do wykresu dnej funkcji kwdrtowej rysuje wykres funkcji kwdrtowej w postci knonicznej i podje jej włsności ustl wzór funkcji kwdrtowej w postci knonicznej n podstwie informcji o przesunięcich wykresu przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci knonicznej do postci ogólnej i odwrotnie oblicz współrzędne wierzchołk prboli znjduje brkujące współczynniki funkcji kwdrtowej, znjąc współrzędne punktów nleżących do jej wykresu rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni wyzncz lgebricznie współrzędne punktów przecięci prboli z osimi ukłdu współrzędnych określ liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od znku wyróżnik rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki sprowdz funkcję kwdrtową do postci iloczynowej, o ile możn ją w tej postci zpisć odczytuje miejsc zerowe funkcji kwdrtowej z jej postci iloczynowej rozwiązuje nierówności kwdrtowe wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji kwdrtowej w podnym przedzile stosuje wzory Viète do wyznczni sumy i iloczynu pierwistków równni kwdrtowego orz do określni znków pierwistków trójminu kwdrtowego bez wyznczni ich wrtości, przy czym sprwdz njpierw ich istnienie rysuje wykres funkcji y = f(x), gdy dny jest wykres funkcji kwdrtowej y = f(x) rozwiązuje proste równni i nierówności kwdrtowe z prmetrem wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: n podstwie wykresu określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od prmetru m, gdzie y = f(x) jest funkcją kwdrtową rozwiązuje równni dwukwdrtowe orz inne równni sprowdzlne do równń kwdrtowych przez podstwienie niewidomej pomocniczej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do wyznczni wrtości njmniejszej i njwiększej funkcji kwdrtowej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń lub nierówności kwdrtowych znjduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązń nierówności kwdrtowych 11 S t r o n

12 stosuje wzory Viète do obliczni wrtości wyrżeń zwierjących sumę i iloczyn pierwistków trójminu kwdrtowego, np. x 1 x2 rozwiązuje równni i nierówności kwdrtowe z prmetrem o wyższym stopniu trudności 6. PLANIMETRIA rozróżni trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwrtokątne stosuje twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie sprwdz, czy z trzech odcinków o dnych długościch możn zbudowć trójkąt uzsdni przystwnie trójkątów, wykorzystując cechy przystwni wykorzystuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni prostych zdń uzsdni podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństw zpisuje proporcje boków w trójkątch podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni elementrnych zdń sprwdz, czy dne figury są podobne oblicz długości boków figur podobnych posługuje się pojęciem skli do obliczni odległości i powierzchni przedstwionych z pomocą plnu lub mpy stosuje w zdnich twierdzenie o stosunku pól figur podobnych wskzuje w wielokątch odcinki proporcjonlne rozwiązuje proste zdni, wykorzystując twierdzenie Tles stosuje twierdzenie Pitgors wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dne są boki tego trójkąt rozwiązuje trójkąty prostokątne stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt: 2 1 P h 2 orz wzór n pole trójkąt równobocznego 3 P o boku : 4 podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º odczytuje z tblic wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt ostrego znjduje w tblicch kąt ostry, gdy zn wrtość jego funkcji trygonometrycznej oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny sinus lub cosinus kąt rozróżni czworokąty: kwdrt, prostokąt, romb, równoległobok, trpez orz zn ich włsności wykorzystuje w zdnich wzory n pol czworokątów wykorzystuje funkcje trygonometryczne do obliczni obwodów i pól podstwowych figur płskich wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo: przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów wyprowdz wzór n jedynkę trygonometryczną orz pozostłe związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt przeksztłc wyrżeni trygonometryczne, stosując związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny tngens lub cotngens kąt 1 P b sin stosuje podczs rozwiązywni zdń wzór n pole trójkąt stosuje twierdzeni o związkch mirowych podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu stosuje włsności podobieństw figur podczs rozwiązywni zdń problemowych orz zdń 2 12 S t r o n

13 wymgjących przeprowdzeni dowodu stosuje włsności czworokątów podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu 7. GEOMETRIA ANALITYCZNA oblicz odległość punktów w ukłdzie współrzędnych wyzncz współrzędne środk odcink, mjąc dne współrzędne jego końców oblicz odległość punktu od prostej wyzncz środek i promień okręgu, mjąc jego równnie opisuje równniem okrąg o dnym środku i przechodzący przez dny punkt określ, ile punktów wspólnych mją prost i okrąg przy dnych wrunkch oblicz pole figury stosując zleżności między okręgmi stycznymi w prostych przypdkch określ, ile punktów wspólnych mją prost i okrąg przy dnych wrunkch opisuje koło w ukłdzie współrzędnych sprwdz, czy punkt nleży do dnego okręgu (koł) podje, w prostych przypdkch, geometryczną interpretcję rozwiązni ukłdu nierówności stopni drugiego sprwdz, czy wektory mją ten sm kierunek i zwrot wykonuje dziłni n wektorch stosuje dziłni n wektorch do bdni współliniowości punktów stosuje dziłni n wektorch do podziłu odcink wyzncz współrzędne punktów w dnej jednokłdności wyzncz współrzędne punktów w dnej symetrii osiowej lub środkowej rozpoznje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni zdń stosuje wzory n odległość między punktmi i środek odcink do rozwiązywni zdń dotyczących równoległoboków sprwdz, czy dne równnie jest równniem okręgu wyzncz wrtość prmetru tk, by równnie opisywło okrąg stosuje równnie okręgu w zdnich stosuje ukłdy równń drugiego stopni do rozwiązywni zdń z geometrii nlitycznej stosuje dziłni n wektorch orz ich interpretcję geometryczną w zdnich opisuje ukłdem nierówności przedstwiony podzbiór płszczyzny stosuje włsności jednokłdności w zdnich wykorzystuje dziłni n wektorch do dowodzeni twierdzeń Kls II poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy podobne w sumie lgebricznej dodje, odejmuje i mnoży sumy lgebriczne przeksztłc wyrżeni lgebriczne, uwzględnijąc kolejność wykonywni dziłń przeksztłc wyrżenie lgebriczne z zstosowniem wzorów skróconego mnożeni stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni dziłń n liczbch postci b c rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni 13 S t r o n

14 rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki przedstwi trójmin kwdrtowy w postci iloczynowej rozwiązuje równni wyższych stopni, korzystjąc z definicji pierwistk i włsności iloczynu wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń kwdrtowych rozwiązuje równni wyższych stopni, stosując zsdę wyłączni wspólnego czynnik przed nwis rozwiązuje zdni tekstowe z zstosowniem wykresu lub wzoru wielominu 2. FUNKCJE WYMIERNE wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne stosuje zleżność między wielkościmi odwrotnie proporcjonlnymi do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współczynnik proporcjonlności podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu szkicuje wykres funkcji x, gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) q szkicuje wykresy funkcji x x p orz i odczytuje jej włsności wyzncz symptoty wykresu powyższych funkcji dobier wzór funkcji do jej wykresu wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej skrc i rozszerz proste wyrżeni wymierne wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych (proste przypdki) i podje odpowiednie złożeni rozwiązuje proste równni wymierne wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną szkicuje wykres funkcji x w podnych przedziłch wyzncz współczynnik tk, by funkcj x spełnił podne wrunki q wyzncz wzory funkcji x x p orz spełnijących podne wrunki wyzncz dziedzinę wyrżeni wymiernego, korzystjąc z prostych równń kwdrtowych wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych i podje odpowiednie złożeni przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych rozwiązuje równni wymierne wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonlne do rozwiązywni zdń tekstowych dotyczących prędkości 3. FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMY Uczeń otrzymuje ocenę niedostteczny, jeśli nie opnowł widomości i oblicz potęgi o wykłdnikch wymiernych zpisuje dną liczbę w postci potęgi o wykłdniku wymiernym umiejętności n ocenę 14 S t r o n

15 zpisuje dną liczbę w postci potęgi o dnej podstwie uprszcz wyrżeni, stosując prw dziłń n potęgch (proste przypdki) porównuje liczby przedstwione w postci potęg (proste przypdki) wyzncz wrtości funkcji wykłdniczej dl podnych rgumentów sprwdz, czy punkt nleży do wykresu funkcji wykłdniczej wyzncz wzór funkcji wykłdniczej i szkicuje jej wykres, znjąc współrzędne punktu nleżącego do jej wykresu szkicuje wykres funkcji wykłdniczej, stosując przesunięcie o wektor i określ jej włsności szkicuje wykres funkcji, będący efektem jednego przeksztłceni wykresu funkcji wykłdniczej i określ jej włsności oblicz logrytm dnej liczby stosuje równości wynikjące z definicji logrytmu do prostych obliczeń wyzncz podstwę logrytmu lub liczbę logrytmowną, gdy dn jest jego wrtość rozwiązuje równni wykłdnicze, stosując logrytm oblicz logrytm iloczynu, ilorzu i potęgi, stosując odpowiednie twierdzeni o logrytmch wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: uprszcz wyrżeni, stosując prw dziłń n potęgch porównuje liczby przedstwione w postci potęg odczytuje rozwiązni nierówności n postwie wykresów funkcji wykłdniczych podje odpowiednie złożeni dl podstwy logrytmu lub liczby logrytmownej podje przybliżoną wrtość logrytmów dziesiętnych z wykorzystniem tblic stosuje twierdzenie o logrytmie iloczynu, ilorzu i potęgi do uzsdnieni równości wyrżeń wykorzystuje włsności funkcji wykłdniczej i logrytmu do rozwiązywni zdń o kontekście prktycznym 4. CIĄGI wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym lub słownie wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtość podje przykłdy ciągów monotonicznych, których wyrzy spełniją dne wrunki uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny, mjąc dne jego kolejne wyrzy wyzncz wyrz 1 n ciągu określonego wzorem ogólnym podje przykłdy ciągów rytmetycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny (proste przypdki) wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny (proste przypdki) stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego (proste przypdki) określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego podje przykłdy ciągów geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz stosuje monotoniczność ciągu geometrycznego do rozwiązywni prostych zdń stosuje włsności ciągu rytmetycznego lub geometrycznego do rozwiązywni prostych zdń oblicz wysokość kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz oprocentownie lokty (proste przypdki) wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki 15 S t r o n

16 bd monotoniczność ciągów rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące monotoniczności ciągu wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny lub geometryczny sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu geometrycznego określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego w zdnich rozwiązuje zdni związne z kredytmi dotyczące okresu oszczędzni i wysokości oprocentowni stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdń 5. TRYGONOMETRIA podje definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30, 45, 60 oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym odczytuje z tblic wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt ostrego znjduje w tblicch kąt ostry, gdy dn jest wrtość jego funkcji trygonometrycznej rozwiązuje trójkąty prostokątne w prostych zdnich oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny sinus, cosinus kąt podje związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt stosuje zleżności między funkcjmi trygonometrycznymi do uprszczni wyrżeń zwierjących funkcje trygonometryczne stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni prostych zdń osdzonych w kontekście prktycznym zzncz kąt w ukłdzie współrzędnych wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego końcowym rmieniu określ znki funkcji trygonometrycznych dnego kąt oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135 wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdń prktycznych o podwyższonym stopniu trudności rozwiązuje trójkąty prostokątne oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny tngens kąt uzsdni związki między funkcjmi trygonometrycznymi stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym kątem nchyleni prostej do osi OX 6. PLANIMETRIA podje i stosuje wzory n długość okręgu, długość łuku, pole koł i pole wycink koł określ wzjemne położenie okręgów, mjąc dne promienie tych okręgów orz odległość ich środków oblicz pol figur, stosując zleżności między okręgmi (proste przypdki) określ liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu przy dnych wrunkch stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni prostych zdń rozpoznje kąty wpisne i środkowe w okręgu orz wskzuje łuki, n których są one oprte stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisnym, oprtych n tym smym łuku (proste przypdki) podje różne wzory n pole trójkąt 16 S t r o n

17 oblicz pole trójkąt, dobierjąc odpowiedni wzór (proste przypdki) rozwiązuje zdni dotyczące okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny lub równoboczny rozwiązuje zdni związne z okręgiem opisnym n trójkącie podje wzory n pole równoległoboku, rombu i trpezu wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów (proste przypdki) oblicz odległość punktów w ukłdzie współrzędnych oblicz odwód wielokąt, mjąc dne współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór n odległość między punktmi do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współrzędne środk odcink, mjąc dne współrzędne jego końców rysuje figury symetryczne w dnej symetrii osiowej konstruuje figury symetryczne w dnej symetrii środkowej określ liczbę i wskzuje osi symetrii figury wskzuje środek symetrii figury znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii osiowej względem osi ukłdu współrzędnych znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii środkowej względem środk ukłdu współrzędnych stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni prostych zdń wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: stosuje wzory n długość okręgu, długość łuku okręgu, pole koł i pole wycink koł do obliczni pól i obwodów figur oblicz pole figury, stosując zleżności między okręgmi stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisnym, oprtych n tym smym łuku orz wnioski z tego twierdzeni do rozwiązywni zdń o większym stopniu trudności stosuje różne wzory n pole trójkąt i przeksztłc je wykorzystuje umiejętność wyznczni pól trójkątów do obliczni pól innych wielokątów rozwiązuje zdni związne z okręgiem wpisnym w dowolny trójkąt i opisnym n dowolnym trójkącie stosuje włsności środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów stosuje wzór n odległość między punktmi orz środek odcink do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni trudniejszych zdń Kls II poziom rozszerzony 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielominów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczynników zpisuje wielomin w sposób uporządkowny oblicz wrtość wielominu dl dnego rgumentu; sprwdz, czy dny punkt nleży do wykresu dnego wielominu wyzncz sumę, różnicę, iloczyn wielominów i określ ich stopień szkicuje wykres wielominu będącego sumą jednominów stopni pierwszego i drugiego określ stopień iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni podje współczynnik przy njwyższej potędze orz wyrz wolny iloczynu wielominów, bez wykonywni mnożeni wielominów oblicz wrtość wielominu dwóch (trzech) zmiennych dl dnych rgumentów stosuje wzory n kwdrt i sześcin sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do wykonywni dziłń n wielominch orz do rozkłdu wielominu n czynniki stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów rozkłd wielomin n czynniki, stosując metodę grupowni wyrzów i wyłączni wspólnego czynnik poz nwis dzieli wielomin przez dwumin x sprwdz poprwność wykonnego dzieleni w( x) p( x) q( x) r zpisuje wielomin w postci 17 S t r o n

18 sprwdz podzielność wielominu przez dwumin x bez wykonywni dzieleni określ, które liczby mogą być pierwistkmi cłkowitymi lub wymiernymi wielominu sprwdz, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu i wyzncz pozostłe pierwistki wyzncz pierwistki wielominu i podje ich krotność, mjąc dny wielomin w postci iloczynowej znjąc stopień wielominu i jego pierwistek, bd, czy wielomin m inne pierwistki orz określ ich krotność rozwiązuje proste równni wielominowe wyzncz punkty przecięci się wykresu wielominu i prostej szkicuje wykres wielominu, mjąc dną jego postć iloczynową dobier wzór wielominu do szkicu wykresu rozwiązuje nierówności wielominowe, korzystjąc ze szkicu wykresu lub wykorzystując postć iloczynową wielominu opisuje wielominem zleżności dne w zdniu i wyzncz jego dziedzinę wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: wyzncz współczynniki wielominu, mjąc dne wrunki stosuje wielominy wielu zmiennych w zdnich różnych typów n n stosuje wzór: rozkłd wielomin n czynniki możliwie njniższego stopni stosuje rozkłd wielominu n czynniki w zdnich różnych typów nlizuje i stosuje metodę podną w przykłdzie, by rozłożyć dny wielomin n czynniki ( x p)( x q) sprwdz podzielność wielominu przez wielomin bez wykonywni dzieleni wyzncz ilorz dnych wielominów wyzncz resztę z dzieleni wielominu, mjąc określone wrunki porównuje wielominy rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące pierwistków wielokrotnych rozwiązuje równni i nierówności wielominowe szkicuje wykres wielominu, wyznczjąc jego pierwistki stosuje nierówności wielominowe do wyznczeni dziedziny funkcji zpisnej z pomocą pierwistk wykonuje dziłni n zbiorch określonych nierównościmi wielominowymi rozwiązuje zdni z prmetrem opisuje z pomocą wielominu objętość lub pole powierzchni bryły orz określ dziedzinę powstłej w ten sposób funkcji 2. FUNKCJE WYMIERNE wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne i stosuje tką zleżność do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współczynnik proporcjonlności podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu szkicuje wykres funkcji x i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) przesuw wykres funkcji x, gdzie 0 o wektor i podje jej włsności podje współrzędne wektor, o jki nleży przesunąć wykres funkcji x g( x) q x p wykres (w prostych przypdkch tkże w podnym zbiorze), gdzie 0 dobier wzór funkcji do jej wykresu przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej w prostych przypdkch wyzncz symptoty wykresu funkcji homogrficznej wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego, gdzie 0, by otrzymć 18 S t r o n

19 oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej skrc i rozszerz wyrżeni wymierne wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych w prostych przypdkch i podje odpowiednie złożeni rozwiązuje proste równni wymierne rozwiązuje, również grficznie, proste nierówności wymierne wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych wyzncz ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni prostych równń i nierówności wymiernych wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną wyzncz równni osi symetrii i współrzędne środk symetrii hiperboli opisnej równniem przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej szkicuje wykresy funkcji homogrficznych i określ ich włsności wyzncz wzór funkcji homogrficznej spełnijącej podne wrunki rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji homogrficznej y f (x) y f ( x ) y f ( x ) szkicuje wykresy funkcji,,, gdzie y f (x) jest funkcją homogrficzną i opisuje ich włsności wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych i podje odpowiednie złożeni przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych rozwiązuje równni i nierówności wymierne rozwiązuje ukłdy nierówności wymiernych wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji wymiernej stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równń i nierówności wymiernych zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory punktów spełnijących określone wrunki 3. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zzncz kąt w ukłdzie współrzędnych, wskzuje jego rmię początkowe i końcowe wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego końcowym rmieniu określ znki funkcji trygonometrycznych dnego kąt oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135, 225 określ, w której ćwirtce ukłdu współrzędnych leży końcowe rmię kąt, mjąc dne wrtości funkcji trygonometrycznych wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni prostych zdń zmieni mirę stopniową n łukową i odwrotnie odczytuje okres podstwowy funkcji n podstwie jej wykresu szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych w dnym przedzile i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując przesunięcie o wektor i określ ich włsności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi ukłdu współrzędnych orz symetrię względem początku ukłdu współrzędnych i określ ich włsności y f (x) orz y f (x) y f (x) jest funkcją trygonometryczną i określ szkicuje wykresy funkcji, gdzie ich włsności stosuje tożsmości trygonometryczne dowodzi proste tożsmości trygonometryczne, podjąc odpowiednie złożeni oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, znjąc wrtość funkcji sinus lub cosinus wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów z zstosowniem wzorów n funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów stosuje wzory n funkcje trygonometryczne kąt podwojonego wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych dnych kątów z zstosowniem wzorów redukcyjnych rozwiązuje proste równni i nierówności trygonometryczne 19 S t r o n

20 posługuje się tblicmi lub klkultorem do wyznczeni kąt, przy dnej wrtości funkcji trygonometrycznej wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 315, 1080 stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdń oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów wyzncz kąt, mjąc dną wrtość jednej z jego funkcji trygonometrycznych szkicuje wykres funkcji okresowej stosuje okresowość funkcji do wyznczni jej wrtości wykorzystuje włsności funkcji trygonometrycznych do obliczeni wrtości tej funkcji dl dnego kąt y f (x) orz y f x y f (x) jest funkcją trygonometryczną szkicuje wykresy funkcji, gdzie i określ ich włsności n podstwie wykresów funkcji trygonometrycznych szkicuje wykresy funkcji, będące efektem wykonni kilku opercji orz określ ich włsności oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, znjąc wrtość funkcji tngens lub cotngens stosuje wzory n funkcje trygonometryczne kąt podwojonego do przeksztłcni wyrżeń, w tym również do uzsdnini tożsmości trygonometrycznych stosuje związki między funkcjmi trygonometrycznymi do rozwiązywni trudniejszych równń i nierówności trygonometrycznych 4. CIĄGI wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym orz ciągu określonego rekurencyjnie wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtość podje przykłdy ciągów monotonicznych, których wyrzy spełniją dne wrunki uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny, mjąc dne jego kolejne wyrzy bd, w prostszych przypdkch, monotoniczność ciągu bd monotoniczność sumy i różnicy ciągów wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym wyzncz wzór ogólny ciągu będącego wynikiem wykonni dziłń n dnych ciągch w prostych przypdkch podje przykłdy ciągów rytmetycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny (proste przypdki) oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego podje przykłdy ciągów geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny (proste przypdki) oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego oblicz wysokość kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz, oprocentownie lokty i okres oszczędzni (proste przypdki) bd n podstwie wykresu, czy dny ciąg m grnicę i w przypdku ciągu zbieżnego podje jego grnicę bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od liczby o podną wrtość orz ile jest większych (mniejszych) od dnej wrtości (proste przypdki) podje grnicę ciągów n q dl q 1;1 orz 1 k n dl k > 0 20 S t r o n

21 rozpoznje ciąg rozbieżny n podstwie wykresy i określ, czy m on grnicę niewłściwą, czy nie m grnicy oblicz, grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeń o grnicch ciągów zbieżnych i rozbieżnych (proste przypdki) n podje twierdzenie o rozbieżności ciągów: q dl q > 0 orz n k dl k > 0 sprwdz, czy dny szereg geometryczny jest zbieżny oblicz sumę szeregu geometrycznego w prostych przypdkch wymgne n ocenę dopuszczjący i dostteczny orz dodtkowo orz dodtkowo: wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki bd monotoniczność ciągów rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności związne ze wzorem rekurencyjnym ciągu rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące monotoniczności ciągu bd monotoniczność iloczynu i ilorzu ciągów sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny i geometryczny stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdń określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego rozwiązuje zdni związne z kredytmi dotyczące okresu oszczędzni i wysokości oprocentowni stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego w zdnich stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w zdnich bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od liczby o podną wrtość orz ile jest większych (mniejszych) od dnej wrtości oblicz, grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeń o grnicch ciągów zbieżnych i rozbieżnych stosuje wzór n sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywni zdń, również osdzonych w kontekście prktycznym 5. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY uzsdni w prostych przypdkch, że funkcj nie m grnicy w punkcie oblicz grnice funkcji w punkcie, korzystjąc z twierdzeń o grnicch (proste przypdki) oblicz grnice jednostronne funkcji w punkcie (proste przypdki) oblicz grnice niewłściwe jednostronne w punkcie i grnice w punkcie (proste przypdki) oblicz grnice funkcji w nieskończoności (proste przypdki) wyzncz równni symptot pionowych i poziomych wykresu funkcji (proste przypdki) sprwdz ciągłość nieskomplikownych funkcji w punkcie oblicz pochodną funkcji w punkcie, korzystjąc z definicji (proste przypdki) stosuje interpretcję geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznczeni współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicz kąt, jki t styczn tworzy z osią OX (proste przypdki) korzyst ze wzorów (c)' = 0, (x)' = 1, (x 2 )' = 2x orz (x 3 )' = 3x 2 do wyznczeni funkcji pochodnej orz wrtości pochodnej w punkcie stosuje pochodną do wyznczeni prędkości orz przyspieszeni poruszjących się cił (proste przypdki) korzyst, w prostych przypdkch, z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji podje ekstremum funkcji, korzystjąc z jej wykresu wyzncz ekstrem funkcji stosując wrunek konieczny istnieni ekstremum uzsdni, że dn funkcj nie m ekstremum (proste przypdki) wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji w przedzile domkniętym i stosuje do rozwiązywni prostych zdń zn i stosuje schemt bdni włsności funkcji 21 S t r o n