MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07

Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 zad Odp. A C D D B B C C A C D C B B D B B D A D B C A A A Zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 6. (0 ) Rozwiąż nierówność ( x ) x 3( x )( x ) II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. > +. 3 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5). Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na zapisaniu zbioru rozwiązań nierówności. Realizacja pierwszego etapu I sposób Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej x + > 0. Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x +. Możemy to zrobić na kilka sposobów: obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= 0 ( ) = i stąd x 0 = = oraz x 0+ = = stosujemy wzory Viète a: x x = oraz x + x = 0, stąd x = oraz x = zapisujemy postać iloczynową trójmianu ( x )( x+ ), z której odczytujemy pierwiastki: x =, x =.

Uwaga Postać iloczynową możemy też otrzymać, zauważając, że po obu stronach nierówności występuje ten sam czynnik ( x ) ( x ) x ( x ). Wtedy nierówność możemy przekształcić równoważnie 3 + > 0, 3 x x > 0. ( )( ) II sposób Przekształcamy nierówność do postaci równoważnej x <, a następnie korzystamy z własności wartości bezwzględnej, otrzymując x <. Zaznaczamy na osi liczbowej te liczby x, które są oddalone od 0 o : x =, x =. Realizacja drugiego etapu Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: (, ) lub (, ) x lub < x <. Schemat punktowania rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, czyli obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x =, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności. Uwaga Akceptujemy sytuację, gdy zdający jedynie zaznaczy oba pierwiastki na osi liczbowej, y np. - 0 x lub x realizując pierwszy etap popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki, a wyznaczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. o popełni błędy rachunkowy przy przekształcaniu nierówności, przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiąże nierówność, o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np.: x + x = i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, o błędnie zapisze nierówność, np. x > i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (, ) lub (, ) x, lub ( x > i x < ) 3

sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x >, x < poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów Uwaga Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu (, ) x =, x = i zapisze, np. x, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. x Zadanie 7. (0 ) Kąt α jest ostry i spełniona jest równość ( sinα cosα). II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 7 sinα + cosα =. Oblicz wartość wyrażenia 6. Trygonometria. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin α + cos α =, tg α = sin α oraz sin(90 α ) = cos α (6.). cosα Przykładowe rozwiązanie 7 Ponieważ obie strony równości sinα+ cosα = są liczbami dodatnimi, więc po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy równość równoważną Stąd sin α+ sinαcosα+ cos α =. 3 sinαcosα =. Z drugiej strony w zadaniu należy obliczyć wartość wyrażenia 7 ( ) sinα cosα = sin α sinαcosα+ cos α = sinαcosα. sin cos = =. Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy Otrzymujemy zatem ( α α) 3 6 zapisze, że równość sinα+ cosα = jest równoważna równości 3 sinαcosα =

zapisze, że ( ) Schemat oceniania sinα cosα = sinαcosα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że ( sinα cosα) =. Rozwiązanie (II sposób) 7 7 Z podanej równości sinα+ cosα = wyznaczamy sinα = cosα i podstawiamy do tożsamości sin α+ cos α =. Otrzymujemy równanie 7 cos cos α + α =, czyli 7 7 cosα+ cos α =. Rozwiązujemy zatem równanie kwadratowe cos α 7 cosα+ = 0. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie równania jest równy 3 Δ= 7 =. 7+ 7 Stąd wynika, że równanie ma dwa rozwiązania cosα = oraz cosα =. Oba rozwiązania są liczbami dodatnimi i mniejszymi od jedności. 7+ 7 7 + 7 Jeśli cosα =, to sinα = =. 7 7 7 7 + Jeśli cosα =, to sinα = = Zatem, w pierwszej sytuacji 7 7+ ( sinα cosα) = = =. A w sytuacji drugiej 7+ 7 ( sinα cosα) = = =. Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy rozwiąże równanie 3 cos α 7 cosα+ = 0 : cosα = 7+ oraz cosα = 3 7 5

rozwiąże równanie sin α 7 sinα+ = 0 dla i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. 3 7+ sinα = oraz sinα = 7 Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że ( sinα cosα) =. Rozwiązanie (III sposób) Rysujemy trójkąt prostokątny, oznaczamy długości jego boków oraz miarę kąta ostrego (zobacz rysunek). a c b α Zauważamy najpierw, że równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa a + b = c można zapisać w postaci równoważnej a b + =. c c 7 a b 7 Podaną w treści zadania równość sinα+ cosα = zapisujemy w postaci + = c c i podnosimy obie jej strony (są to liczby dodatnie) do potęgi drugiej. Otrzymujemy równość równoważną a a b b 7 + + =, c c c c a b czyli, po uwzględnieniu równości + =, równość c c a b 3 =. c c a b a a b b a b Z drugiej strony ( sinα cosα) = = + =. c c c c c c c c Zatem ( ) a b sinα cosα = = 3 =. c c 6

Schemat punktowania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy skorzysta z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie a b 7 prostokątnym i zapisze, że równość + = jest równoważna równości a b 3 = c c zapisze, że ( sinα cosα) = a b c c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. c Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy i zapisze, że ( sinα cosα) =. c Zadanie 8. (0 ) Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. B Udowodnij, że jeżeli AD V. Rozumowanie i argumentacja. A D C = BD, to CD = BD. 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych (7.). Przykładowe rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. B α α A α D C 7

Trójkąt ACB jest prostokątny i odcinek BD zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego ABC. Stąd wynika, że CBD = DBA = α. Z równości AD = BD wynika, że trójkąt ADB jest równoramienny, więc DBA = ADB = α. Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa 90, zatem 3α = 90, a stąd α = 30. Wynika stąd, że trójkąt prostokątny CBD jest połową trójkąta równobocznego, a z własności tego trójkąta wynika, że CD = BD, co należało wykazać. Uwaga Możemy też zauważyć, że CD BD = sinα = sin 30 =, skąd CD = BD. Schemat punktowania rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy wywnioskuje, że CBD = DBA oraz DBA = DAB i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 9. (0 ) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność ( ) 00 5, 5 < 6. V. Rozumowanie i argumentacja.. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (.5). Przykładowe rozwiązanie (I sposób) Nierówność powyższą zapisujemy w postaci równoważnej (( ) ) 5 5, 5 < 6. Wystarczy zatem pokazać, że (, 5) < 6. Zauważamy, że ( ) ( ) A to kończy dowód. 3 8 6 6, 5 = = = 5 < 6. Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. ( ) 5 gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej ( ) lub dalej popełni błędy. 5, 5 < 6 i na tym poprzestanie Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie. 8

Rozwiązanie (II sposób) 00 3 5 Nierówność powyższą zapisujemy w postaci równoważnej < 6. 00 3 5 5 Zatem < 3. 00 00 5 Ponieważ > 0 i 3 > 0, więc po pomnożeniu obu stron powyższej nierówności przez 00 otrzymujemy nierówność równoważną 5 3 75 5 3 <. Mamy zatem 3 5 5 5 5 5 ( 3 ) < ( ), czyli 7 < 3. To kończy dowód, bo 7 < 3. Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. 75 5 3 < i na tym gdy przekształci nierówność ( ) 00 5, 5 < 6 do postaci równoważnej zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie. Uwagi. Jeżeli zdający wykonuje po prawej stronie nierówności przekształcenia z wykorzystaniem przybliżeń, np. ( ) ( ) 5 50 00 6,5,57, to może otrzymać maksymalnie punkt.. Zdający może próbować zapisać prawą stronę nierówności w postaci potęgi o wykładniku równym 00. Może wtedy skorzystać równości zawierających ułamki okresowe: 8 = 3, (7) oraz 3, (7) =, (85). 3 Zadanie 30. (0 ) Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( ) n jest równa 30. Ponadto a 30 = 30. Oblicz różnicę tego ciągu. a, określonego dla n, III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3). Przykładowe rozwiązanie Zapisujemy wzór na sumę 30 początkowych wyrazów ciągu ( ) n w zadaniu a + an Sn = n, zatem a z wykorzystaniem danych 9

a + 30 a + 30 = a + 30 = a = 8 30 = 30 Ponieważ a 30 = 30 mamy 30 = a + 9r stąd 30 = 8 + 9r 58 = 9r r = a jest równa. Różnica ciągu ( ) n Schemat punktowania rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wyraz pierwszy ciągu ( a n ): a = 8. Zdający otrzymuje... pkt a : r =. gdy obliczy różnice ciągu ( ) n Zadanie 3. (0 ),, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5 losujemy bez zwracania dwa razy Ze zbioru liczb { } po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę ( ab, ), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par ( ab, ) takich, że iloczyn III. Modelowanie matematyczne. ab jest liczbą parzystą. 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (0.3). Przykładowe rozwiązanie (I sposób) W zbiorze {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5} jest siedem liczb parzystych i osiem nieparzystych. Losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Z wylosowanych liczb tworzymy pary. W wyniku losowania możemy otrzymać: obie wylosowane liczby są parzyste; takich par jest 7 6 =, jedna z wylosowanych liczb jest parzysta, a druga nieparzysta; takich par jest 8 7 + 7 8 =, obie wylosowane liczby są nieparzyste; takich par jest 7 8 = 56. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą parzystą, gdy co najmniej jedna z nich jest parzysta. Zatem par liczb ( ab, ), wylosowanych ze zbioru {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5}, których iloczyn jest liczbą parzystą jest + = 5. 0

Rozwiązanie (II sposób) Schemat oceniania W zbiorze {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5} jest siedem liczb parzystych i osiem nieparzystych. Losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Z wylosowanych liczb tworzymy pary ( ab, ). Szukamy tych par, których iloczyn składników jest liczbą parzystą. Zatem: wybieramy te pary ( ab, ), w których pierwsza z wylosowanych liczb jest parzysta, a druga nieparzysta; takich par jest 7 8 = 56, ab,, w których jedna wylosowana liczba jest parzysta, wybieramy te pary ( ) a druga jest liczbą ze zbioru {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5}, różną od pierwszej liczby z tej pary; takich par jest 7 7 = 98. Zatem par liczb ( ab, ), wylosowanych ze zbioru {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5}, których iloczyn jest liczbą parzystą jest 56 + 98 = 5. Uwaga Zbiór wszystkich utworzonych par lub tylko par odpowiadających warunkom zadania możemy też zapisać w tabeli, gdzie symbol, użyty w tabeli, oznacza parę liczb, której iloczyn jest liczbą parzystą. 3 5 6 7 8 9 0 3 5 3 5 6 7 8 9 0 3 5 Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy: wyznaczy liczbę par, w których obie wylosowane liczby są parzyste: 7 6 =

zaznaczy w tabeli lub wypisze wszystkie pary utworzone z liczb parzystych i poda ich ilość: wyznaczy liczbę par, w których wylosowano liczbę parzystą i nieparzystą: 7 8 = zaznaczy w tabeli lub wypisze wszystkie pary, w których jedna z liczb jest liczbą parzystą, a druga nieparzystą, i poda ich ilość: wyznaczy liczbę par, w których wylosowano jako pierwszą liczbę parzystą, a jako drugą nieparzystą ( pierwszą nieparzystą, a drugą parzystą): 7 8 = 56 ( 8 7 = 56 wyznaczy liczbę par, w których jedna wylosowana liczba jest parzysta, a druga jest liczbą ze zbioru {,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,, 5}, różną od pierwszej liczby z tej pary; takich par jest 7 7 = 98. Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy liczbę par, w których iloczyn składników jest liczbą parzystą: 5. Uwaga Jeżeli zdający wypisze lub zaznaczy w tabeli wszystkie pary liczb spełniające warunki zadania, ale pominie jeden z elementów przy zliczaniu (na jakimkolwiek etapie rozwiązania) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkt.

Zadanie 3. (0 ) Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość 6. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku : 3. Oblicz pole tego trapezu. III. Modelowanie matematyczne. G0. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G0.7). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.). Przykładowe rozwiązanie (I sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Przekątne w trapezie są prostopadłe i dzielą się w stosunku : 3, zatem pole trapezu to suma dwóch trójkątów: o wysokości x i podstawie 5 x oraz o wysokości 3x i podstawie 5 x. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przekątnych trapezu. x + 3x = ( ) ( ) 6 x + 9x = 6 3x = 6 Stąd x =. Zatem x =. Przekątne maja długość 5. Obliczamy pole trapezu P = 5 + 3 5 = 5 5 = 5. 3

Rozwiązanie (II sposób) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Schemat oceniania h E Przekątne w trapezie są prostopadłe i dzielą się w stosunku : 3. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przekątnych trapezu. x + 3x = ( ) ( ) 6 x + 9x = 6 3x = 6 Stąd x =. Zatem x =. Przekątne mają długość 5. Wyznaczamy długości podstaw i wysokość trapezu, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ AB CD AB = ( 3 ) = 36 = 6, CD = ( ) = 6 = i EB = = oraz ( ) ( ) BC = + 3 = 6. 6 6 + h, więc pole trapezu jest równe P = 5 = 5. Zatem = ( 6) = 5 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zapisze długości przekątnych (lub ich odcinków) w zależności od jednej zmiennej, np.: 5 x, lub odcinków x i 3x. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy x : x =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający zapisze pole trapezu jako funkcję jednej zmiennej, np.: P= x 5x+ 3x 5x obliczy długość przekątnych trapezu : 5,

obliczy długości podstaw oraz wysokość trapezu: AB = 6, CD =, h = 5. Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy pole trapezu: P = 5. Zadanie 33. (0 ) Punkty A = (, 8) i B = (, 8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AB = AC. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y = x 7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta. IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.). Przykładowe rozwiązanie (I sposób) Niech C = ( x, y). Ponieważ prosta AD jest wysokością trójkąta ABC, więc podstawa BC jest zawarta w prostej prostopadłej do prostej AD. Prosta BC jest więc określona równaniem postaci y= x+ b. Ponieważ punkt B leży na prostej BC, więc otrzymujemy równość 8= 8+ b, skąd wynika, że b = 0. Proste AD i BC przecinają się w punkcie D, więc współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań y= x+ 0 y = x 7 5 8 Rozwiązujemy ten układ równań i otrzymujemy D =,. Ponieważ punkt D jest 5 5 środkiem odcinka BC, więc jego współrzędne spełniają równania x + 5 y 8 8 = i =, 5 5 gdzie x i y to współrzędne punktu C. Rozwiązujemy obydwa równania i otrzymujemy odpowiedź 38 C =, 5 5. 5

Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. Zdający wyznaczy równanie prostej, w której zawarty jest podstawa BC tego trójkąta y= x+ 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze układ równań pozwalający obliczyć współrzędne punktu D y= x+ 0 i y = x 7 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania..3 p. Zdający obliczy współrzędne punktu D D 5 8 =, 5 5 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne.. p. Zdający obliczy współrzędne szukanego wierzchołka C tego trójkąta 38 C =, 5 5. Uwaga Jeśli zdający rozpatruje trójkąt równoramienny ABC, w którym AC BAC = 90, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. = BC zakłada, że Rozwiązanie (II sposób) Zbudujemy układ równań: okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB oraz prosta BC. Rozwiązaniem tego układu są dwa punkty: dany punkt B oraz szukany punkt C. Ponieważ promień AB tego okręgu jest równy 6, więc równanie okręgu jest następujące: ( x ) ( y ) + + + 8 = 6. Prosta AD jest wysokością trójkąta ABC, zatem podstawa BC jest zawarta w prostej prostopadłej do prostej AD. Prosta BC jest więc określona równaniem postaci y= x+ b. Ponieważ punkt B leży na prostej BC, więc otrzymujemy równość 8= 8+ b, skąd wynika, że b = 0. Mamy zatem układ równań ( x ) ( y ) + + + 8 = 6 i y= x+ 0. Po podstawieniu wyrażenia y= x+ 0 do pierwszego równania w miejsce zmiennej y otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą ( x ) ( x) + + 8 = 6. Wykonujemy wskazane działania i porządkujemy to równanie do postaci: 5x 08x+ 53 = 0. 6

Wyróżnik Δ trójmianu 5x 08x+ 53 jest dodatni i równy 0, zatem równanie ma dwa rozwiązania: 08 + 3 08 3 76 38 x = = i x = = =. 0 0 0 5 Jeśli x =, to y = 8 + 0 = 8 i to są współrzędne danego punktu B. 38 76 Jeśli x =, to y = + 0 = i to są współrzędne szukanego punktu C. Zatem 5 5 5 38 C =, 5 5. Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. Zdający: wyznaczy równanie prostej, w której zawarta jest podstawa BC trójkąta ABC y= x+ 0 zapisze równanie ( x ) ( y ) + + + 8 = 6 okręgu o środku w punkcie A i promieniu AB i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze układ równań ( x ) ( y ) + + + 8 = 6 i y= x+ 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 p. Zdający zapisze równanie kwadratowe 5x 08x+ 53 = 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne.. p. Zdający obliczy współrzędne szukanego wierzchołka C tego trójkąta 38 C =, 5 5. Uwaga Jeśli zdający rozpatruje trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = BC zakłada, że BAC = 90, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. 7

Zadanie 3. (0 5) Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA B C D jest romb ABCD. Przekątna AC tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30, a przekątna BD jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. D A B C D A C IV. Użycie i tworzenie strategii. Przykładowe rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. B 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami (9.) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami (9.) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6). D A B C h 8 D 30 d c A 5 E a a B Trójkąt prostokątny ACC to połowa trójkąta równobocznego, więc AC 3 AC AC = oraz CC =, czyli h C 8

8 3 8 c = = 3 oraz h = =. Trójkąt prostokątny BDD to połowa kwadratu, więc BD = DD, czyli d = h=. Przekątne rombu są prostopadłe i punkt ich przecięcia dzieli każdą z nich na połowy. Zatem trójkąt ABE jest prostokątny, a jego przyprostokątne mają długości AE = c = 3 = 3, BE = d = =. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE otrzymujemy AB = AE + BE, ( ) a = 3 + = 6. Stąd a =. Pole podstawy graniastosłupa jest równe PABCD = cd = 3 = 8 3. Ponieważ a = h=, więc ściana boczna jest kwadratem o polu 6. Zatem pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe Pc PABCD Pb 8 3 6 6 3 6 6 ( 3 ) = + = + = + = +. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający obliczy długość przekątnej AC podstawy graniastosłupa: AC = 3 obliczy wysokość graniastosłupa: h = zapisze, że BD = DD. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy długość przekątnej BD podstawy graniastosłupa: BD =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy pole podstawy graniastosłupa: P ABCD = 8 3. Rozwiązanie prawie pełne... p. Zdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa: a = pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: P c = 6 3 + 6. 9