MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i ) 9, ( i +i ), (cos 5 + i sin 5 ) 5, ( p 3 i) 3. ) Wyznaczyć i narysować zbiór rozwiazań ¾ równania z 3 = 7, z 3 = i, z = 9i, z 4 =, z 4 =, z 3 = i p 3, z4 = i p 3, z 3 = + i, z 6 =, z 6 =. 3) Narysować zbiory P ;3 (3 + i), P ; ( i), P 4;5 (i), S 3 (), S ( i), S ( ), K( + i; ), K(i; 3), K( i; ). 4) Narysować zbiór tych liczb zespolonych z, które spe niaja¾ warunek a) < jz ij, b) jz + 3ij 3, c) Re z > ^ jz ij 3, d) < arg z 4 ^ jzj >, e) arg z < ^ Im z, f) Im( i z ) <, g) Re(z ), h) Im( z ) <, i) 4 arg(iz) 4, j) < arg(( + i)z) < 4 k) jz + ij jz 5 + ij, l) jzj = jz 5j. 5) Wyznaczyć Re z; Im z dla z = e + 4 i, e 6 i, e i, e 7 6 i, cos(i), cos( + i), cos( 3 i), sin( i), sin( 4 i), sin( 3 i), log(3i), log( + i), log( i p 3 ), log(e + ie p 3).
6) Wykazać, ze dla z; z ; z C, k zachoa¾ równości e z+z = e z e z, (e z ) k = e kz, je z j = e Re z, e z+ki = e z, sin(z + ki) = sin z, cos(z + ki) = cos z, cos z + sin z =. 7) Sprawić, czy podana funkcja f jest holomor czna na swojej ieinie naturalnej (wyznaczyć ta¾ iein ¾e). Jeśli tak, to wyznaczyć pochodna¾ funkcji f. a) f(z) = z Im z, b) f( + iy) = y + 3i + yi, c) f(z) = z z, d) f(z) = jzj + iz, e) f( + iy) = 3y i( + y ), f) f( + iy) = 3 iy 3 3y + 3i y, g) f(z) = i z. ) Wyznaczyć (o ile istnieje) funkcj ¾e holomor czna¾ f = u + iv taka, ¾ ze a) u(; y) = y + y, f() = i, b) v(; y) = +y, f(i) =, (y > ), c) u(; y) = e ( cos y y sin y), f() =, d) v(; y) = 4y y, e) u(; y) = (y + 3) y, f) u(; y) = 3 +y, ( > ), g) v(; y) = arctg( y ), ( > ), h) u(; y) = arccos( ), (y > ), i) v(; y) = ( +y ) 3 p +y, (y < ). 9) Dla podanego potencja u zespolonego f wyznaczyć pole si! E,! E oraz naszkicować linie si i linie ekwipotencjalne. a) f(z) = iz (pole sta e), b) f(z) = ( + i)z (pole sta e), c) f(z) = iq log z ( adunek q umieszczony w punkcie ), d) f(z) = pi z (dipol q w p., q w p. d, p = qd moment dipolowy, d > ("baro ma e")), e i ) f(z) = iz z (interpretacja zyczna=?).
) Obliczyć d) Re z, = ; + i, d) Im z, = i; i, d3) jzj, jzj = ^ Im z,(poczatek=) ¾ d4) e z, = ; + i, p) e z, =dowolna krzywa g adka ¾ aczaca ¾ z + i, p) e iz, = ; 5i, p3) p4) p5) p6) p7) (3z iz + i), =dowolna krzywa g adka ¾ aczaca ¾ z i, i z, jzj = ^ Re z, (poczatek=i) ¾, 3 (z i)4, jz ij = 7, (i cos z z), =dowolna krzywa g adka ¾ aczaca ¾ z, (+z) z 5, jz + ij =, p) sin(i z), = ; + i, p9) (z e iz i cos(z 3 )), z + 5 p) (z 5 log z), jz 7j =, p) p) sin z i z i, jz + 3j =, z 4, jz + 3ij =, p i =, 3
p3) p4) c) c) c3) c4) c5) c6) c7) c) c9) c) c) c) c3) c4) c5) z +9, jzj =, sin z+5iz z 4iz 4, jz + ij =, +z 3z z +i, jz j = 5, log z z+4i, jz + 5ij =, e z (z+)(z i), jz ij =, e z (z+)(z i), jz + j = 3, sin(z) z +9, jz ij =, cos (z) z +4, jz + 7ij = 6, z cos( z) (z+), jz + ij = 7, z (z i), jzj = 3, z (z i) 3, jz ij = 3, z (z i) 3, jz ij =, z 5 (z+i) 4, jzj = 3, (z +), jz + ij =, (z +) 3, jz ij = 4, e z (z 4), jz + j =, cos(z) (z 9), jz 3j =, 4
r) r) r3) r4) r5) r6) r7) r) r9) r) r) r) z(z +4), jzj = 3, (z e z3 + eiz z ), jz j = 4, e iz z, jz j = 5, z 5 z 3, jzj = 7, z 4 +, + y =, (z ) (z+), + y = + y, (sin(z ) + e i z ), jzj = 3, sin( z ), jzj = 3, (z cos( 3i z )), jzj =, sin z, jzj =, (z 4 e 3 z 5 ), jzj =, (z 7 cos( +i z 4 )), jzj = 4. ) Obliczyć a) + 4 + d, a) a3) a4) d ( +), ( +a ) d, (a > ), d ( +a )( +b ), (a > b > ), 5
a5) a6) b) b) b3) b4) b5) b6) c) c) c3) c4) d +4+, d ( 4 + +9), cos +4 d, sin +4+ d, cos 5 4 + d, cos ( +a ) d, (a > ), sin ( +a ) d, (a > ), cos ( +a )( +b ) d, (a > b > ), d sin +a d (+cos ),, (a > ), sin a+b cos d, (a > b > ), cos 5 4 cos( ) d, ( R). ) Wyznaczyć transformat ¾e Laplace a orygina u f(t) = (t)h(t) dla h(t) = a) 7 t + 3t t 3 a) t 5 3t 4 + t 3t + a3) 5 sin t 3 cos t a4) sin(5t) + cos(3t) a5) te t t e 3t + t 3 e t + e 5t a6) e t cos(3t) + e 3t sin(4t) + e 7t a7) ch(t) 3sh(t) 6
a) e t cht + e t sht a9) t sin t a) t cos(t) a) tch(t) a) e 3t sh(4t) a3) sin 3t a4) cos t a5) a6) a7) t t t e cos d e 5 d e 3 sin()d 3) Naszkicować wykres orygina u f i wyznaczyć jego transformat ¾e Laplace a. < t < a) f(t) = < t < t > < t < a) f(t) = 3t < t < 3 < t t < a3) f(t) = t t > >< a4) f(t) = > >< a5) f(t) = > < a6) f(t) = t < t < t < t < t < t > t < < t < < t < t > t < 3 t < t < t > ) Wyznaczyć transformat ¾e odwrotna¾ do transformaty Laplace a obrazu F (s) = a) s a) (s+) 3 a3) (s ) 3 a4) s +4 7
a5) 3s s +9 a6) s +s a7) 4s s +3s a) s + s 3 +s a9) s 5 s +s+ a) s (s +s+5)(s ) a) 4s +5s+36 s (s +6s+3) a) s s+ (s+)(s +4) a3) 3s+5 s +s+ a4) s (s +) a5) s (s +4) a6) s s(s +s+) a7) s s+5 (s +4) a) (s +6s+3) 4) Stosujac ¾ metod ¾e operatorowa¾ rozwiazać ¾ poni zsze zagadnienia poczatkowe ¾ dla równań i uk adów równań ró zniczkowych liniowych. a) + = () = a) + = cos t () = 3 = e a3) 3t () = a4) + = t () = 3 a5) = t () = ; () = a6) + + = t () = ; () = a7) + = cos t () = ; () = a) + 4 + 3 = e t () = ; () = a9) + = sin t () = ; () =
a) a) + = e t () = ; () = ; () = (4) + 4 = t () = ; () = ; () = ; () = < = + y u) y = y + () = y() = < + y y = e t u) + y + y = 5 () = y() = < = y u3) y = + y () = y() = < + y = 3t u4) y = 4 () = ; y() = 3 < = + y u5) y = 4y () = y() = >< = y z y u6) = + y z > = + z () = ; y() = ; z() = >< = y + z y u7) = 3 + z z > = 3 + y () = ; y() = ; z() = 5) Wyznaczyć transformat ¾e Laplace a podanych sygna ów t a) y(t) = (t) sin s cos(t s)ds 9
t a) y(t) = (t) a3) y(t) = (t) a4) y(t) = (t) a5) y(t) = (t) a6) y(t) = (t) t t t t cos s sin(t s)ds (t s) 4 cos sds (s 3)e t s ds s 3 (t s) ds sin(3s)e 3(s t) ds a7) 3(t) (t ) + 5(t 5) a) (t) + 7((t)) ((t)) + 4((t)) a9) (t) + ((t 3)) 3((t 4)) + ((t )) a) (t) ((t)t ) a) (t ) ((t) sin t) a) (t ) [(t 7) + 5(t)] a3) ((t 4)) ((t 7 ) sin(t 7 )) a5) (t ) ((t) cos(t)) a6) ((t)e 3t ) ((t) cos(5t)) a7) ((t 3)) (4) ((t)t) a) ((t 5) sin(t )) ((t )(t ) 3 )) a9) [(t ) (t 4)] [ (t) + 3(t )] a) (t ) [(t) t (t s) sin 4sds] (oczywiście ró zniczkowanie nale zy rozumieć w sensie dystrybucyjnym) 6) Korzystajac ¾ z twierenia Borela wyznaczyć transformat ¾e odwrotna¾ do F (s) = (o ile zachoi konieczność zmudnego ca kowania mo zna pozostawić wynik w postaci ca ki splotowej) a) s +s = s s+ a) s 3 +s = s s + a3) s s+3 = (s ) s+3 a4) s 9! a5) (s +! ) (! > ) s a6) (s +! ) (! > ) a7) e s (s + )
a) e 5s (s 3s + ) a9) s 3 +s +5s a) (s +)(s +4s+3) 7) Niech a ; a ; ; a n ; b ; b ; ; b m R i niech () y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = b m (m) + + b + b. Jak wiadomo (p. odp. twierenie), dla ka zdej dystrybucji (wymuszenia) D + istnieje dok adnie jedna (odpowiedź) dystrybucja y D + taka, ze zachoi równość () - fakt ten b ¾eiemy zapisywać symbolicznie 99K y. Wykazać, ze je zeli 99K y, 99K y, 99K y, R, t >, to 6.) + 99K y + y 6.) () 99K (y) 6.3) ( t ) 99K ( t y) (uk ad LTI - linear time-invariant system ) ) Wykazać, ze je zeli h D+ jest odpowieia¾ impulsowa¾ uk adu () (czyli (t) = 99K h) oraz H jest transmitancja¾ operatorowa¾ uk adu (), to ( (n) + a n (n ) + + a + a ) h = b m (m) + + b + b, Lfhg = H oraz dla ka zdej dystrybucji D + 99K h. 9) Dla podanego uk adu LTI wyznaczyć transmitancj ¾e operatorowa¾ H(s) oraz odpowiedź impulsowa¾ h(t). Je zeli uk ad jest stabilny, to wyznaczyć transmitancj ¾e widmowa¾ b h(!) = H(i!) i widmo amplitudowe (wzmocnienie uk adu) M(!) = jh(i!)j. Wykonujac ¾ ró zniczkowanie dystrybucyjne dokonać bezpośredniego sprawenia, ze istotnie h jest odpowieia¾ impulsowa. ¾ (Propozycja dodatkowa korzystajac ¾ np. z programu Geogebra narysować wykresy h; M (oczywiście, o ile h jest dystrybucja¾ regularna).) ¾ a) y + ay = b (a > ; b R) a) y 3y = a3) y + y = 3 + a4) y +! y = (! > ) a5) y +! y = (! > ) a6) y = a7) y = + 3 + a) y + 3y + y = a9) y + 3y + y =
a) y + y + y = a) y + y + 5y = a) y + y + 5y = + a3) y y = a4) y y y + y = a5) y + 3y + y + y = + + a6) y + 3y + y + y = + a7) y + 3y + y + y = a) y = a9) y (4) + 5y + 4y = + 4 a) y (4) + 5y + 4y = ) Dla uk adów z zadania 9) wyznaczyć odpowiedź na wymuszenie (t) = j) (t) j) U (t t ) (t > ; U R) j3) (t)t j4) ((t) (t )) j5) ((t) (t ))t j6) (t) sin(!t) (! > ) j7) (t ) sin(t ) j) U (t t ) (t > ; U R) j9) [(t t )] (t > ) j) [(t)] j) [(t)] + 3(t) j) [(t)t] j3) [(t) sin(t)] j4) [(t) cos(t)] j5) (t)e t j6) (t) +t j7) (t) cos 5 t j) (t) ln( + 3 p jtj) (w przypadku konieczności zmudnego ca kowania (lub wr¾ecz niewykonalnego w klasie funkcji elementarnych) wynik mo zna pozostawić w postaci ca ki splotowej w mo zliwie najprostszej postaci) ADANIA DODATKOWE ) Niech w obwoie jednooczkowym z "liniowymi elementami R; L lub C" w ¾ aczone b ¾eie źród o napi¾ecia, którego przebieg opisuje e D+. Sprawić, czy poprawnie zosta o napisane równanie, w którym wejściem jest e, a wyjściem spadek napi¾ecia u na wskazanym elemencie lub prad ¾ i w obwoie. Wyznaczyć transmitancj ¾e operatorowa¾ H(s), odpowiedź impulsowa¾ h(t), transmitancj ¾e widmowa¾ b h(!) = H(i!) i widmo amplitudowe (wzmocnienie uk adu) M(!) = jh(i!)j. Wyznaczyć odpowiedź uk adu na wymuszenie a) e(t) = U (t) (U R)
b) e(t) = U ((t) (t t )) (t > ; U R) c) e(t) = (t)u sin(!t) (U R) d) e(t) = (t)u e t (U R; > ).) RC (u = u C ).) RL (u = u L ) u + RC u = RC e i + RC i = R e u + R L u = e i + R L i = L e.3) RLC (u = u C ) (u = u L ) u + R L u + LC u = LC e u + R L u + LC u = e i + R L i + LC i = L e. (w.3 proponuj ¾e dobrać konkretne "wygodne" wartości wspó czynników RLC tak, aby "obejrzeć" trzy przypadki - gdy wyró znik mianownika transmitancji jest dodatni,ujemny, równy zero) 3