Górnictwo i Geoin ynieria Rok 34 Zeszyt 3/1 2010 Marian Paluch* STATYCZNE UJÊCIE METODY PUNKTÓW MASOWYCH DO WYZNACZENIA SI OSIOWYCH W PRÊTACH KRATOWNICY P ASKIEJ Kratownice p³askie stosowane s¹ zarówno w budownictwie naziemnym, ak i podziemnym. Proektant takich konstrukci przy doborze przekroów poprzecznych prêtów musi znaæ si³y osiowe w nich dzia³a¹ce, przemieszczenia wêz³ów i si³y reakci podpór. W pracy omówiono metodê, która est bardzo wygodna do obliczeñ, mo e byæ ca³kowicie zautomatyzowana. Jest konkurencyna w stosunku do metody elementów skoñczonych. 1. Wprowadzenie Rozwa my kratownicê p³ask¹ (rys. 1 z³o on¹ z prêtów prostych po³¹czonych wêz³ami tak, aby osie prêtów przecina³y siê dok³adnie w wêz³ach, do których przynale ¹. Wêz³y s¹ przegubami idealnie g³adkimi. Obci¹ enie zewnêtrzne i podpory przy³o one s¹ w wêz³ach kratownicy. Rys. 1. Kratownica p³aska * AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ Górnictwa i Geoinzynierii 137
Przedstawiona na rysunku 1 kratownica sk³ada siê z piêciu wêz³ów i oœmiu prêtów. W wêz³ach A i B znadu¹ siê podpory przegubowe (³o yska sta³e. Jest ona uk³adem dwukrotnie statycznie niewyznaczalnym, gdy warunek na liczbê prêtów w kratownicy statycznie wyznaczalne ustala ich siedem p 2w32537, a mamy osiem prêtów, zaœ liczba reakci podporowych wynosi cztery, a do ich okreœlenia dysponuemy trzema równaniami równowagi. Zatem ( 87 ( 43 2 Podstawowe niewiadome, którymi bêdziemy siê pos³ugiwaæ przy wyznaczaniu si³ osiowych w prêtach kratownicy, to przemieszczenia punktów wêz³owych oraz si³y reakci podpór (rys. 2. Rys. 2. Przemieszczenia wêz³ów kratownicy Nale y zauwa yæ, e tam gdzie zadane s¹ przemieszczenia wêz³ów punkty A i B, nieznane s¹ si³y reakci i est ich tyle, ile wynosi liczba znanych przemieszczeñ. Z przemieszczeniami wêz³owymi zwi¹zane s¹ si³y osiowe w prêtach kratownicy. 138
2. Wyprowadzenie równañ metody punktów masowych Rozwa my prêt A i A kratownicy znadu¹cy siê pomiêdzy wêz³ami A i oraz A (rys. 3. Rys. 3. Konfiguraca pocz¹tkowa i koñcowa prêta AA i Konfiguraca pocz¹tkowa prêta A i A okreœlona est po³o eniem wêz³ów A i, A (por. [4, 5]. Prêt ulega deformaci, na któr¹ sk³ada siê translaca (równoleg³e przesuniêcie, rotaca (obrót np. wokó³ punktu A i i w³aœciwe odkszta³cenie (wyd³u enie b¹dÿ skrócenie. Konfiguracê koñcow¹ prêta okreœla¹ punkty A i, A. Na rysunku 3 wprowadzono oznaczenia: A i, A punkty wêz³owe dla prêta A i A li l d³ugoœæ pocz¹tkowa prêta A i A wersor odcinka ³¹cz¹cego punkty A i, A e i e i r ri x xi y yi ex e y l l l ex cos i ex sin i ey (cos i sin i e y (1 139
C i i k¹t nachylenia prêta A i A do osi Ox globalnego uk³adu wspó³rzêdnych Oxy Ei E modu³ sprê ystoœci pod³u ne Younga prêta A i A Ai A pole przekrou poprzecznego prêta A i A Ei Ai sztywnoœæ prêta A i A na rozci¹ganie (œciskanie Ei Ai l l modu³ sztywnoœci prêta A i A na rozci¹ganie (œciskanie i N i N i wielkoœæ si³y osiowe w prêcie A i A si³a osiowa w prêcie A i A N N e N i i i i i i ex (cos,sin (2 e y u i, u wektory przemieszczeñ wêz³ów A i, A ex ui uiex wiey ( ui, wi e y ex u u ex w ey ( u, w e y (3 ui u ui ( u ui ex ( w wi ey ex (4 ( u ui, w wi e We wzorach (1, (2, (3, (4 wersory e x, e y stanowi¹ bazê uk³adu wspó³rzêdnych Oxy. Wykorzystu¹c rysunek 3 i twierdzenie Pitagorasa, mo emy dla obu konfiguraci prêta A i A napisaæ nastêpu¹ce zale noœci y [( x xi ( u ui ] [( y yi ( w wi ] ( ll ( x xi 2 ( y yi 2 l 2 2 2 2 (5 Odemu¹c stronami równoœci (5 i dziel¹c przez 2l otrzymuemy wzór na nieliniowe wyd³u enie prêta A i A (por. [2] ( l l 2l 2 ( u u 2l x x 2 i yi l y i l ( u u i ( w wi ( w wi 2l 2 (6 140
Poniewa rozwa ania przeprowadzamy dla liniowe teorii sprê ystoœci (uk³ad Clapeyrona, to w równaniu (6 mo emy pomin¹æ wyrazy drugiego rzêdu. S¹ nimi ( l, ( u ui, ( w wi 2l 2l 2l 2 2 2 Zatem wyd³u enie prêta A i A est równe: x xi y ui l ( u ui ( w wi l l cos ( u u sin i ( w w i i i u (cos i,sin i w ui w i (7 Wykorzystu¹c zwi¹zek fizyczny Hooke a E, (8 w którym mamy N i, l A l (9 dostaemy wyra enie wi¹ ¹ce wyd³u enie prêta z si³¹ osiow¹ w nim dzia³a¹c¹ Ni l N i l (10 C i Z porównania zale noœci (7 i (10 otrzymuemy wyra enie na wielkoœæ si³y osiowe N i w prêcie A i A u ui Ni Ci lci (cos i,sin i w w (11 i Wykorzystu¹c wzory (1 i (4, nietrudno zauwa yæ, e wyra enie u (cos i,sin i w ui w i wystêpu¹ce w (11 est iloczynem skalarnym wektorów e i i u i. 141
Zatem mamy Ni Ci ei ui (12 oraz N N e C ( e u e C ( e e u i i i i i i i i i i i C i D i u i C i i u u i D ( (13 e i, e i We wzorze (13 wykorzystano poêcie diady ako iloczynu zewnêtrznego wersorów D i e i e i (cos e sin e (cos e sin e y i x i y i x i 2 i i i 2 i i i cos cos sin sin cos sin ( d e e ( d e e i i i i e i e (14 Wzór (13 z wykorzystaniem (14 wi¹ e si³ê w prêcie kratownicy z przemieszczeniem ego wêz³ów. Kratownica est w równowadze, gdy e wszystkie wêz³y s¹ w równowadze. Zatem dla i-tego wêz³a kratownicy, w którym schodzi siê k prêtów musi byæ spe³nione równanie równowagi si³ k Ci D i ( u ui Fi 0 (15 We wzorze (15 F i est sum¹ si³ zewnêtrznych przy³o onych do i-tego wêz³a, zaœ numerem kolenego prêta wychodz¹cego z tego wêz³a. Po rozpisaniu równañ (15 dla wszystkich wêz³ów kratownicy i rozwi¹zaniu ich otrzymuemy wielkoœci przemieszczeñ wêz³owych i si³ reakci podporowych. Na te podstawie ze wzoru (11 wyznaczamy si³y osiowe w poszczególnych prêtach kratownicy. Uêcie dynamiczne równania (15 wyprowadzone z zasady d Alemberta mo na znaleÿæ w pracy [1]. Tam te przyêto nazwê metody ako metoda punktów masowych. 3. Przyk³ad obliczeniowy Praktyczne zastosowanie metody punktów masowych przedstawiono na przyk³adzie kratownicy z rysunku 1. Do obliczeñ przyêto P = 10 kn i ednakowy dla wszystkich prêtów modu³ sztywnoœci prêtów C i 200 kn/m. l 142
Pos³ugu¹c siê rysunkiem drugim, na którym zaznaczono numery wêz³ów, piszemy dla nich równania (15, zaczyna¹c od wêz³ów o nieznanych przemieszczeniach Wêze³ 1 C1BD1B ( ub u1 C12D12( u2 u1 C D ( u u C D ( u u F 13 13 3 1 1 A 1 A Wêze³ 2 A 1 1 0 C D ( u u C D ( u u 23 23 3 2 2 A 2 A A 2 C D ( u u C D ( u u F 21 21 1 2 2B 2B B 2 2 0 (16 Wêze³ 3 C D ( u u C D ( u u 3A 3A A 3 31 31 1 3 C D ( u u F 32 32 2 3 3 0 Wêze³ A C D ( u u C D ( u u A1 A1 1 A A2 A2 2 A C D ( u u F A3 A3 3 A A 0 Wêze³ B (17 C D ( u u C D ( u u F B2 B2 2 B B1 B1 1 B B 0 Wystêpu¹ce we wzorach (16, (17 diady ma¹ nastêpu¹ce elementy: ( d i 1 0 1B 0 0, (,, d 05 05 i 12 05, 05,, ( d i 13 0 0 0 1, ( 064, 048, d i 1 A 048, 036, 036, 048, ( d i 23 048, 064,, ( d i 2 A 1 0 0 0, ( d i 21 ( d i 12, ( d 0 0 i 2B 0 1,, ( d 05 05 i 3 A 05, 05,, ( d i 31 ( d i 13, ( di ( di 32 23 (18 ( d ( d, ( d ( d, ( d ( d i A1 i 1A i A 2 i 2A ( d ( d, ( d ( d i B 2 i 2B i B1 i 1B i A 3 i 3A 143
Si³y zewnêtrzne przy³o one do wêz³ów F1 ( 0, 15, F2 ( 20, 0, F3 ( 10, 0 FA ( H A, VA, FB ( HB, VB (19 Wektory przemieszczeñ wêz³owych to u1 ( u1, w1, u2 ( u2, w2, u3 ( u3, w3 ua (,, 00 ub (, 00 (20 Podstawia¹c (18, (19, (20 do (16 i (17, otrzymuemy nastêpu¹cy uk³ad równañ 200 1 0 u1 05 05 2 0 0,, u u1 w1 05, 05, w2 w1 0 0 u3 u1 0,64 0, 48 u1 0 0 1w3 w 1 048 036,, w1 15 036, 048, u3 u2 1 0 200 048, 064, u2 w3 w 2 0 0 w2 05, 05, u1 u2 0 0 2 20 u 05, 05, w1 2 0 1 w w2 0 05, 05, u3 0 0 1 200 05, 05, u u3 w3 0 1 w1 w3 036, 048, u2 u3 10 048, 064, w2 w3 0 (21 064, 048, 1 1 0 200 u 048, 036, u2 w1 0 0 w2 05, 05, u3 H A 05, 05, w3 V A u 200 0 0 2 1 0 u1 0 1w2 0 0 H B w1 V b (22 Ich ostateczna postaæ to 214, u1 0, 5u2 0, 02w1 0, 5w2 0 0, 02u1 0, 5u2 186, w 1 0, 5w2 w3 0, 075 05, u1 186, u2 036, u3 05, w1 002, w2 048, w3 01, 05, u1 002, u2 048, u3 05, w1 214, w2 064, w3 0 0,36u2 0, 86u3 0, 48w2 0, 02w3 0, 05 0, 48u2 0, 02u3 w1 0,64w2 214, w3 0 (23 144
H A 200[, 0 64u1 u2 0, 5u3 0, 48w1 0, 5w3] V A 200[ 0, 48u1 05, u3 036, w1 05, w3] HB 200u1 VB 200w2 (24 Uk³ad równañ (23 ma nastêpu¹ce rozwi¹zanie u1 0, 00727 m u1 : w1 0, 05458 m u2 0, 04634 m u2 : w2 00, 1740 m u3 0, 02808 m u3 : w3 0, 04084 m (25 Wstawia¹c (25 do równañ (24, otrzymuemy si³y reakci podporowych H V A A 8, 546 kn 11520, kn H B 1454, kn VB 3, 480 kn Ze wzoru (11 obliczamy si³y osiowe w prêtach analizowane kratownicy u1 N A1 200(,; 0 8 0, 6 7, 713 kn w1 u2 N A 2 200(; 10 9, 268 kn w2 3 3 200 1 1 u N A ; 97, 47 kn 2 2 w3 u1 N 1B 200(; 10 1454, kn w1 200 1 1 u2 u1 N 12 ; 10, 783 kn 2 2 w2 w1 u3 u1 N 13 200(; 01 2, 748 kn w3 w1 u2 N B 2 200(; 01 3, 480 kn w2 u3 u2 N 23 200( 0608, ;, 5180, kn w3 w2 145
Znak minus przy sile osiowe oznacza œciskanie prêta. Na rysunku 4 zestawiono wszystkie si³y dzia³a¹ce na analizowan¹ kratownicê. Rys. 4. Si³y osiowe w prêtach kratownicy Bardzo wa nym przyk³adem zastosowania metody punktów masowych est wyznaczenie si³ pod³u nych w prêtach zginane ramy, gdy w ednym wêÿle schodz¹ siê wiêce ni dwa prêty (rys. 5. Rys. 5. P³aska rama z obci¹ eniem 146
Przedstawiona na rysunku 5 rama est szeœciokrotnie statycznie niewyznaczalna, zaœ ednokrotnie kinematycznie niewyznaczalna. Zatem do e rozwi¹zania, a wiêc sporz¹dzenia wykresów momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych, wygodnie est zastosowaæ metodê przemieszczeñ nale ¹c¹ do edne z podstawowych metod mechaniki budowli (por. [4, 6]. Na podstawie te metody obliczono dla zadane ramy, poddane obci¹ eniu ak na rysunku 5, wartoœci momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych. Wykresy M i Q podano na rysunku 6. Rys. 6. Wykres momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych w ramie 147
Teraz nale y postawiæ pytanie, ak wyznaczyæ si³y pod³u ne w prêtach ramy. Pytanie to est wa ne, poniewa w wêÿle nr 1 schodz¹ siê cztery prêty. Rozwa a¹c ego równowagê, mo emy napisaæ dwa równania równowagi przy czterech niewiadomych si³ach pod³u nych, którymi s¹ si³y w prêtach 1-A, 1-B, 1-C, 1-D. Mamy zatem do wyznaczenia cztery si³y pod³u ne. Aby e wyznaczyæ, zastosuemy metodê punktów masowych. W tym celu wytnimy myœlowo wêze³ nr 1 i zaznaczmy wszystkie si³y w nim dzia³a¹ce (rys. 7. Rys. 7. Równowaga wêz³a nr 1 Na rysunku 7 zaznaczono nieznane si³y pod³u ne N 1, N 2, N 3 i N 4. Pozosta³e si³y dzia³a¹ce na ten wêze³ zastêpuemy si³¹ równowa n¹ F 1 zaczepion¹ w tym punkcie. Sk³adowe F 1x, F 1y si³y s¹ nastêpu¹ce F F 1x 1 y 4, 385199, 2, 880, 8 3, 674 kn 3, 674, F 976, 288, 06, 8, 032 kn 1 8, 032 Na rysunku 8 zaznaczono sk³adowe przemieszczenia wêz³a nr 1. Przemieszczenie wêz³a nr 1 okreœla wektor u 1 u 1 u u 1x 1 y Modu³y sztywnoœci prêtów s¹ nastêpu¹ce C C 1 A 1C 025,, C 4 02,, C 5 1D 1B 025,, 4 3 148
Rys. 8. Przemieszczenia wêz³ów ramy Dla wêz³a nr 1 piszemy równanie równowagi (15 C D ( u u C D ( u u C D ( u u 1A 1A A 1 1B 1B B 1 1C 1C C 1 C D ( u u F 1D 1D D 1 1 0 Wystêpu¹ce w tym równaniu diady ma¹ elementy ( d i 1 0 1 A 0 0, ( d i 1B 0 0 0 1, 036, 048, ( d i 1C 048, 064,, ( d i 1D 0 0 0 1 Wstawia¹c e do równania równowagi otrzymuemy: 025 1 0 u1 x 025 0 0 u1 x,, 0 0 u1 0 1 y u 1 y 036, 048, u1 x 1 02, 048 064,, u 0 0 u 1 y 3 0 1 u 1x 1 y 3, 674 1 8, 032 149
Po wykonaniu zaznaczonych dzia³añ otrzymuemy dwa równania o niewiadomych u 1x, u 1y 0, 322u 0 096 3 674 1 1x, u1y, 0, 096u1x 0, 711u1y 8, 032 1 u u 1x 1 y 8, 379 10165, Teraz z równañ (11 wyznaczamy wartoœci si³ pod³u nych, a w prêtach ramy N N N N N 8, 379 025, ( 10 ; 209, kn 10165, N 8, 379 0, 25( 0; 1 254, kn 10165, N 8, 379 02,(,; 0608, 263, kn 10165, N 1 3 01 837, 9 (; 339, kn 10165, 1A 1 1B 2 1C 3 1D 4 Wykres si³ pod³u nych dla rozwa ane ramy podano na rysunku 9. Rys. 9. Wykres si³ pod³u nych w ramie 150
4. Podsumowanie Ju po tych przyk³adach widaæ, e przedstawiona metoda punktów masowych œwietnie nadae siê do obliczeñ si³ osiowych w kratownicach p³askich i si³ pod³u nych w z³o onych ramach, gdzie schodz¹ siê w wêÿle wiêce ni dwa prêty. Jest ona bardzo prosta i skuteczna. Pozwala wyznaczyæ przemieszczenia wszystkich wêz³ów kratownicy, si³ reakci podpór i si³ osiowych w poszczególnych prêtach kratownicy. Przy wiêksze liczbie prêtów szczególnie w uk³adzie statycznie niewyznaczalnym proces obliczeñ mo na zautomatyzowaæ. Wydae siê, e omówiona w ninieszym artykule metoda est metod¹ konkurencyn¹ w stosunku do metody elementów skoñczonych. LITERATURA [1] Böhm F.: Fahrzeugdynamik bei Berücksichtigung elastischer und plastischer Deformationen sowie Reibung, VDI Berichte Nr. 1007, 1992, s. 801 807 [2] Jakubowicz A., Or³oœ Z.: Wytrzyma³oœæ materia³ów, WNT, Warszawa, 1984 [3] Gawêcki A.: Podstawy mechaniki konstrukci prêtowych, Politechnika Poznañska, Poznañ, 1985 [4] Paluch M.: Podstawy mechaniki budowli podrêcznik akademicki dla studentów wy szych szkó³ technicznych, Wyd. 2. Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki AGH, Kraków, 2004 [5] Paluch M.: Podstawy teorii sprê ystoœci i plastycznoœci z przyk³adami, Wydawnictwo Politechniki Krakowskie, Kraków, 2006 [6] Pietrzak J., Rakowski G., Wrzeœniowski K.: Macierzowa analiza konstrukci, PWN, Warszawa Poznañ, 1986