Fizyka Materii Skondensowanej Transport, równanie Boltzmana Wydział Fizyki UW Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl Domieszki idefekty dziury elektrony Nośniki: + Domieszki: Akceptory (typ p) Donory (typ n) Półprzewodniki Be B C N O Mg Al Si P S Jonowość II III IV V VI Zn Ga Ge As Se Cd In Sn Sb Te Jonowość Projekt: POKL 04.0.0 00 00/0 00 "Chemia, fizyka i biologia na potrzeby społeczeństwa XXI wieku: nowe makrokierunki studiów I, II i III stopnia" Grupa IV: diament, Si, Ge Grupy III V: GaAs, AlAs, InSb, InAs... Grupy II VI: ZnSe, CdTe, ZnO, SdS... Domieszki i defekty W jaki sposób kontrolować koncentrację nośników? W półprzewodnikach spotykamy szereg odstępstw od idealnej struktury kryształu: defekty struktury kryształu, luki, atomy w położeniu międzywęzłowym, dyslokacje powstałe np. w procesie wzrostu. obce atomy (domieszki) wprowadzane intencjonalnie lub wskutek zanieczyszczeń (poziom czystości) Wskutek ich występowania pojawiają się między innymi: stany dozwolone w przerwie wzbronionej na skutek odstępstw od potencjału idealnej sieci ładunki przestrzenne w izolatorach ekranowanie przez swobodne nośniki Stany domieszkowe dzielimy na: głębokie potencjał krótkozasięgowy, zlokalizowany głównie w obszarze jednej komórki elementarnej np. luka, domieszka izoelektronowa (o tej samej wartościowości co macierzysty atom np. N w InP). płytkie głownie potencjał długozasięgowy kulombowski Domieszki i defekty W jaki sposób kontrolować koncentrację nośników? Defekty odstępstwa od idealnej periodycznej struktury kryształu Klasyfikacja defektów: ze względu na zawartość obcych atomów: rodzime (niezawierające obcych atomów) i niesamoistne (np. domieszki) ze względu na wymiar: punktowe luki (np. V Ga, V As w GaAs), atomy międzywęzłowe (np. Ga i ), atomy antypodstawieniowe (np. As w miejscu Ga: As Ga ), obce atomy podstawieniowe, tzn. domieszki (np. Si Ga ) kompleksy defektów punktowych, np. pary Frenkla V A A i liniowe (np. dyslokacje), defekty powierzchniowe (np. granice ziaren) defekty objętościowe (np. wytrącenia) M. Baj 203 06 02 3 203 06 02 4
Domieszki i defekty W jaki sposób kontrolować koncentrację nośników? Defekty odstępstwa od idealnej periodycznej struktury kryształu Klasyfikacja defektów: ze względu na ich aktywność elektryczną: donory (ewentualnie wielokrotne np. As Ga w GaAs jest podwójnym donorem), akceptory, domieszki izoelektronowe (np. N P w GaP czy C Si w krzemie) ze względu na charakter (w szczególności lokalizację) funkcji falowej elektronu związanego przez defekt: płytkie (wodoropodobne, opisywane w przybliżeniu masy efektywnej, gdzie potencjał wiążący jest wolnozmienny kulombowski), długozasięgowy Głębokie mające stany zlokalizowane leżące w przerwie energetycznej, i/lub stany rezonansowe, zdegenerowane z kontinuum stanów pasmowych, ale pomimo tego mające w dużym stopniu charakter zlokalizowany np. luki, domieszki metali przejściowych, tzw. centra DX w związkach półprzewodnikowych A II B VI i A III B V czy izoelektronowe domieszki N w GaAs lub GaP. Potencjał wiążący jest w dużym stopniu krótkozasięgowy. M. Baj 203 06 02 5 Domieszki i defekty W jaki sposób kontrolować koncentrację nośników? Defekty odstępstwa od idealnej periodycznej struktury kryształu Klasyfikacja defektów: wprowadzają stany zlokalizowane zarówno w przerwie jak i stany rezonansowe determinują własności elektryczne półprzewodników mogą mieć bardzo poważny wpływ na niektóre własności optyczne (np. wydajność rekombinacji promienistej) prowadzą do powstawania obszarów ładunku przestrzennego (także w izolatorach) mogą mieć istotny, niepożądany wpływ na funkcjonowanie przyrządów półprzewodnikowych np. dyslokacje M. Baj 203 06 02 6 Płytkie stany domieszkowe Stan donorowy stowarzyszony ze sferycznym pasmem przewodnictwa z minimum w punkcie : Atom domieszki o wartościowości o jeden większej niż atom podstawiany np. Si Ga w GaAs staje się źródłem potencjału kulombowskigo zmodyfikowanego stałą dielektryczną kryształu, wywołanego dodatkowym protonem w jądrze. Dodatkowy elektron będący w paśmie przewodnictwa odczuwa ten potencjał. Jego stany są opisane równaniem masy efektywnej. Potencjał domieszki głównie kulombowski ekranowany statyczną stałą dielektryczną : 4 Część krótkozasięgową potencjału zaniedbujemy (przynajmniej na razie) Równanie masy efektywnej na funkcję enwelopy Φ : 2 Δ 4 Φ 0 Φ Płytkie stany domieszkowe Równanie masy efektywnej na funkcję enwelopy Φ (przypomnienie z wykładu 9): ΔV 2 Ψ Ψ gdzie V potencjał periodyczny sieci, U potencjał wolnozmienny (dodany), V potencjał periodyczny sieci, energie dla 0. Rozwiązaniami dla tego pasma są funkcje Ψ Φ,, gdzie, rozwiązanie dla 0 i, Jest to tzw. równanie masy efektywnej: 2 Δ Φ 0 Φ gdzie 0 jest energią minimum pasma przewodnictwa. 203 06 02 7 203 06 02 8 2
Płytkie stany domieszkowe Rozwiązanie jak dla przeskalowanego atomu wodoru. Energie stanów związanych:, np. dla GaAs: 0,067, 2,6 5,7 mev energia jonizacji donora względem dna pasma przewodnictwa Płytkie stany domieszkowe efektywny promień Bohra: co dla GaAs daje 00 Å, co stanowi około 20 stałych sieci GaAs efektywny promień Bohra: Pełna funkcja falowa: Ψ Φ co dla GaAs daje 00 Å, co stanowi około 20 stałych sieci GaAs Ψ nieruchoma paczka falowa zbudowana ze stanów z okolicy 0 Φ wolnozmienna enwelopa szybkozmienna funkcja Blocha 203 06 02 9 203 06 02 0 Płytkie stany domieszkowe Wolnozmienna enwelopa paczka falowa zrobiona z funkcji Blocha z małego obszaru wokół (stan zlokalizowany w przestrzeni ) Równanie masy efektywnej dopuszcza rozwiązania stowarzyszone z innymi lokalnymi minimami pasma przewodnictwa pod każdym z bocznych minimów (np. w punkcie czy ) mogą być stany wodoropodobne, które należy traktować jak stany wzbudzone. Płytkie stany domieszkowe Wolnozmienna enwelopa paczka falowa zrobiona z funkcji Blocha z małego obszaru wokół (stan zlokalizowany w przestrzeni ) Równanie masy efektywnej dopuszcza rozwiązania stowarzyszone z innymi lokalnymi minimami pasma przewodnictwa pod każdym z bocznych minimów (np. w punkcie czy ) mogą być stany wodoropodobne, które należy traktować jak stany wzbudzone. Część krótkozasięgowa potencjału domieszki wprowadza poprawkę do energii stanów ( central cell corrections ), zależną od atomu domieszki (tzw. przesunięcie chemiczne, chemical shift ), istotną tylko dla wodoropodobnych stanów typu : Δ Ψ Ψ Potencjalnie możliwe związanie dodatkowego elektronu: (powinowactwo elektronowe wodoru 0,75 0,055 ) Ibach, Luth 203 06 02 203 06 02 2 3
Płytkie stany domieszkowe Równanie masy efektywnej dopuszcza rozwiązania stowarzyszone z innymi lokalnymi minimami pasma przewodnictwa pod każdym z bocznych minimów (np. w punkcie czy ) mogą być stany wodoropodobne, które należy traktować jak stany wzbudzone. Stan donorowy stowarzyszony z bocznym minimum pasma przewodnictwa powierzchnie stałej energii elipsoidy obrotowe z minimum w : 2 Równanie masy efektywnej na Φ : 2 4 Φ Φ Symetria hamiltonianu walcowa będzie częściowo zniesiona degeneracja stanów wodoropodobnych. Jeśli np. chcemy znaleźć stan podstawowy, możemy zastosować metodę wariacyjną z funkcją próbną postaci (W. Kohn, J.M. Luttinger, Physical Review 98, 95 (955) ): Φ,, / exp / 203 06 02 3 Płytkie stany domieszkowe Minimów jest 6 (a więc można byłoby oczekiwać 6 krotnej degeneracji, ale to w krysztale niemożliwe!) potencjał krótkozasięgowy sprzęga stany pod różnymi dolinami rozszczepienie (tzw. valley orbit coupling), 6 krotna degeneracja zniesiona (+2+3) + przesunięcie chemiczne funkcje falowe są odpowiednimi (reprezentacje nieprzywiedlne grupy :,, ) kombinacjami funkcji z różnych dolin podobna sytuacja w innych półprzewodnikach z minimum pasma przewodnictwa poza punktem (np. Ge, GaP ) 203 06 02 4 Płytkie stany domieszkowe Akceptory w półprzewodnikach o strukturze diamentu i blendy cynkowej znacznie bardziej skomplikowana sytuacja: degeneracja pasm w punkcie pofałdowanie powierzchni izoenergetycznych ( warping ) nie da się wprowadzić prostego tensora masy efektywnej dla pasm walencyjnych, nie da się zastosować przybliżenia masy efektywnej w najprostszej postaci Literatura: W. Kohn, D. Schechter, Physical Review 99, 903 (955) A. Baldereschi, N.O. Lipari, Physical Review B 8, 2697 (973) A. Baldereschi, N.O. Lipari, Physical Review B 9, 527 (974) 203 06 02 5 203 06 02 6 4
/defektowych w stanie równowagi termodynamicznej Obsadzanie stanów (nie tylko zlokalizowanych domieszek czy defektów, ale także stanów pasmowych) elektronami oznacza wymianę cząstek (elektronów) pomiędzy rezerwuarem i rozważanym podukładem. Wielki zespół kanoniczny (podukład wymienia cząstki i energię z otoczeniem) Prawdopodobieństwo termodynamiczne (nieunormowane) znalezienia podukładu w stanie, w którym znajduje się cząstek (elektronów) i w którym energia podukładu wynosi (jest to całkowita energia, obejmująca wszystkie cząstek):, potencjał chemiczny. Suma statystyczna: Suma statystyczna: Średnie statystyczne: Przykład: elektron swobodny obsadzający (lub nie) stan elektronowy o danym i danym spinie: możliwe 2 stany podukładu: 0; 0 ; średnia liczba cząstek podukładu: 0, (rozkład Fermiego Diraca) 203 06 02 7 203 06 02 8 Przykład: elektron swobodny obsadzający (lub nie) stan elektronowy o danym i dowolnym spinie: możliwe 4 stany podukładu: 0; 0 ; (spin ) ; (spin ) 2; 2(spin ) średnia liczba cząstek podukładu: 0 2 2 2, (rozkład Fermiego Diraca x2) Przykład donor (pomijamy stany wzbudzone) elektron swobodny obsadzający (lub nie) stan elektronowy o danym i dowolnym spinie: możliwe 3 stany podukładu: 0; 0 ; (spin ) ; (spin ) (podwójna degeneracja ze względu na spin) 2; 2(spin ) NIE bierzemy pod uwagę (stan wzbudzony ze względu na oddziaływanie kulombowskie) średnia liczba cząstek podukładu: 0 2 W ogólności, dla stanu o degeneracji, który może być obsadzony jednym elektronem 203 06 02 9 203 06 02 20 5
Przykład donor (pomijamy stany wzbudzone) stan ładunkowy realizowany na sposób: stan ładunkowy 0 realizowany na 2 sposoby (spin lub ): 2 energia poziomu donorowego Ε / koncentracja donorów, Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu donorowego: 2 koncentracja obsadzonych donorów (donorów neutralnych ) 2 203 06 02 2 Stosunek prawdopodobieństw znalezienia domieszki/defektu z elektronami i z elektronami: : : koncentracja domieszek, liczba cząstek w stanie i najniższe spośród wszystkich energii podukładu odpowiednio z i elektronami Przy podnoszeniu poziomu Fermiego zapełniają się kolejne poziomy domieszkowe / tzw. energia poziomu domieszkowego/ defektowego numerowana stanami ładunkowymi i, tzw. degeneracje stanów podukładu z i elektronami DYGRESJA 203 06 02 22, tzw. degeneracje stanów podukładu z i elektronami Degeneracje i uwzględniają możliwość występowania wielu różnych stanów podukładu odpowiadających tej samej liczbie cząstek (w tym stanów wzbudzonych):,,,,,, i, są degeneracjami odpowiednio stanu podstawowego podukładu z elektronami oraz stanów wzbudzonych z energiami wyższymi od stanu podstawowego o, (energie wzbudzeń) Tak definiowane degeneracje na ogół zależą od temperatury Przykład donor (pomijamy stany wzbudzone) stan ładunkowy realizowany na sposób: stan ładunkowy 0 realizowany na 2 sposoby (spin lub ): 2 energia poziomu donorowego Ε / koncentracja donorów, Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu donorowego: 2 koncentracja obsadzonych donorów (donorów neutralnych ) 2 DYGRESJA 203 06 02 23 DYGRESJA 203 06 02 24 6
Równanie neutralności ENERGIA ELEKTRONÓW pasmo puste poziom donorowy poziom akceptorowy pasmo pełne x E D E A E g /2 0 -E g /2 E F Koncentracja nośników w półprzewodniku niesamoistnym Rozważmy półprzewodnik, w którym: koncentracja akceptorów koncentracja donorów koncentracja neutralnych akceptorów koncentracja neutralnych donorów koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa koncentracja dziur w paśmie walencyjnym Z warunku neutralności kryształu: 203 06 02 25 Jeśli zarówno donory jak i akceptory są płytkie, a gaz elektronowy i dziurowy nie jest zdegenerowany, to:,,, (czyli praktycznie wszystkie domieszki są zjonizowane). Δ Δ 2 4 Δ Δ 2 4 Δ Jeżeli Δ 0 (półprzewodnik typu dla typu rozważanie są symetryczne) i Δ, (w =300K: (Ge) < 0 3 cm 3, (Si) < 0 cm 3, (GaAs) < 0 0 cm 3 ): koncentracja nośników większościowych jest określona przez efektywną koncentrację domieszek, koncentracja nośników mniejszościowych może być bardzo mała (np. Si). 203 06 02 26 Kompensacja półprzewodniki kompensowane zawierające zarówno donory jak i akceptory w odpowiednio wysokich temperaturach koncentracja nośników większościowych dana przez efektywną koncentrację domieszek koncentracja centrów rozpraszających (ładunków): współczynnik kompensacji stosunek koncentracji domieszek mniejszościowych do większościowych: dla typu dla typu w półprzewodnikach silnie kompensowanych ( ) silne fluktuacje potencjału elektrostatycznego pochodzącego od domieszek, lokalizacja związana z nieporządkiem, efekty perkolacyjne, itp. Równanie neutralności niska temperatura, obszar jonizacji termicznej domieszek ENERGIA ELEKTRONÓW pasmo puste poziom donorowy pasmo pełne E D E g /2 0 -E g /2 E F Niska temperatura, obszar jonizacji termicznej domieszek Rozważmy półprzewodnik, w którym: 0 koncentracja akceptorów koncentracja donorów koncentracja neutralnych akceptorów koncentracja neutralnych donorów koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa 0 koncentracja dziur w paśmie walencyjnym Z warunku neutralności kryształu: x 203 06 02 27 203 06 02 28 7
teraz znaczna część donorów będzie neutralnych (energie liczone od dna pasma przewodnictwa): 2 2 do policzenia obsadzenia pasma przewodnictwa możemy użyć rozkładu Boltzmanna: 2 / 2 Co wobec daje: 2 2 ln 2 2 Równanie neutralności ENERGIA ELEKTRONÓW pasmo puste poziom donorowy poziom akceptorowy pasmo pełne E D E A E g /2 0 -E g /2 E F x 203 06 02 29 203 06 02 30 dla półprzewodników skompensowanych w niskich temperaturach energia aktywacji termicznej wynosi, a nie jeśli domieszek jest dużo, tak, że funkcje falowe związanych na nich elektronów się przekrywają energie jonizacji maleją, tworzą się pasma domieszkowe 0.26 przy koncentracjach domieszek rzędu: 0.26 zachodzi przejście fazowe niemetal metal (tzw. przejście Motta) P.P. Edwards, M.J. Sienko, J. Am. Chem. Soc. 03, 2967 (98) 203 06 02 3 203 06 02 32 8
Transport Jednoelektronowe równanie Schrödingera: 2 Jeśli potencjał jest periodyczny, to dobrymi rozwiązaniami są funkcje Blocha:,, exp Wektor falowy (a więc i kwazipęd ) jest dobrą liczbą kwantową. Prędkość grupowa elektronu: Ze względu na symetrię pasm: (ogólniej ), jeśli funkcja rozkładu zależy tylko od energii (w równowadze termodynamicznej), to nie ma żadnych przepływów (transportu). 203 06 02 33 203 06 02 34 Transport Jeśli mamy dodatkowy potencjał (np. pole elektryczne), to NIE MA symetrii translacyjnej przestaje być dobrą liczba kwantową, stany blochowskie nie są już funkcjami własnymi hamiltonianu (chociaż zawsze rozwiązań możemy poszukiwać w postaci ich kombinacji liniowej w ogólności zależnej od czasu) zmiana przejścia pomiędzy stanami blochowskimi, stany o określonym nie są już stanami własnymi hamiltonianu Pola skalarne i wektorowe Równania Schrodingera w polu i : 2,,,,, Pęd kanoniczny Równanie ciągłości albo:, 2 Ψ, Suma: pęd kinetyczny, 2 Ψ Ψ ΨΨ Ψ, Ψ, Ψ Ψ 203 06 02 35 203 06 02 36 9
Pola skalarne i wektorowe, 2 Wybieramy cechowanie, Rozwiązania STACJONARNE w postaci funkcji Airy:, 203 06 02 37 2 / / 2 Pola skalarne i wektorowe, Wybieramy cechowanie, 2 Rozwiązania STACJONARNE w postaci funkcji Airy: A gdzie jest ruch elektronu w polu??? Funkcja falowa rozwiązanie przypomina fale stojące! funkcja tuneluje w barierę, zanika szybciej dla rosnącego potencjału, oscyluje dla tym szybciej im, czyli rośnie energia kinetyczna cząsteczki Dodanie stałej do potencjału ZMIENIA funkcje falowe! 203 06 02 38 Lokalna gęstość stanów Gęstość stanów (ogólnie) można zdefiniować jako:, ~ 2 2 Efekt Frantza Kieldysha w polu elektrycznym przejścia optyczne zachodzą w niższych enegiach bo przerwa energetyczna się rozmywa przez tunelowanie do niej stanów: Transport Jeśli mamy dodatkowy potencjał (np. pole elektryczne), to NIE MA symetrii translacyjnej przestaje być dobrą liczba kwantową, stany blochowskie nie są już funkcjami własnymi hamiltonianu (chociaż zawsze rozwiązań możemy poszukiwać w postaci ich kombinacji liniowej w ogólności zależnej od czasu) zmiana przejścia pomiędzy stanami blochowskimi, stany o określonym nie są już stanami własnymi hamiltonianu, funkcje te dla mogą być lokalnie przybliżane przez sin lub cos z ~ Podczas ruchu paczki falowej zrobionej z funkcji Airy takie będzie ulegało zmianie, co odpowiada przejściom pomiędzy funkcjami Blocha numerowanymi różnymi k, jeśli rozwiązania problemu poszukiwaliśmy w bazie funkcji Blocha 203 06 02 39 203 06 02 40 0
Oprócz sił zewnętrznych, które powodują uporządkowane przejścia pomiędzy stanami blochowskimi istnieją też przyczyny nieuporządkowanych przejść pomiędzy tymi stanami rozproszenia Co może rozpraszać elektrony? wszelkie niedoskonałości sieci (potencjał rozpraszający V) domieszki, defekty (punktowe, liniowe dyslokacje, ) sztywne rozpraszacze, potencjały niezależne od czasu nieporządek stopowy w kryształach mieszanych (rozpraszanie stopowe) międzypowierzchnie (interface roughness) fonony fluktuujące rozpraszacze inne elektrony (rozpraszanie elektron elektron) fluktuujące rozpraszacze etc. Zachowanie kwazipędu Zachowanie energii,, gdzie i kwazipędi energia pochłoniętej/emitowanej kwazicząstki Jeśli w rozproszeniu nie uczestniczy żadna kwazicząstka (np. fonon) lub jej energia jest w bilansie do zaniedbania (w porównaniu z i średnią energią układu elektronów), to rozproszenie jest elastyczne (lub w przybliżeniu elastyczne). Przy rozproszeniach wewnątrzpasmowych, jeśli pasmo jest sferyczne, to: Rozproszenia elastyczne np. na potencjałach domieszek i defektów Prawdopodobieństwo rozproszenia elektronu ze stanu, do stanu, :,,, ~,, gdzie potencjał rozpraszający 203 06 02 4 203 06 02 42 Rozproszenia nieelastyczne np. na fononach (lub innych kwazicząstkach). W przybliżeniu często traktuje się rozpraszanie na fononach akustycznych jako elastyczne (bo energie fononów akustycznych są niewielkie). Nawet rozpraszanie na fononach optycznych często opisuje się przy założeniu, że rozproszenia są w przybliżeniu elastyczne (w odpowiednio wysokich temperaturach, w których ). Punkt wyjścia potencjał ściśle periodyczny. Rozwiązania blochowskie stany własne hamiltonianu jednoelektronowego stany odpowiadają ściśle określonej energii Δ 0 i żyją nieskończenie długo, gdzie Δ i droga swobodna jest nieskończona elektron elektron też nieelastyczne, możliwe tylko dla elektronów z okolicy poziomu Fermiego, istotne z punktu widzenia procesów relaksacji fazy funkcji falowej Czas kwantowy, średnia droga swobodna Każde rozpraszanie prowadzi do tego, że czas życia w danym stanie kwantowym (tzw. czas kwantowy ) jest skończony i poszerzenie Δ 0. Średnia droga swobodna: Przykład: oscylacje Shubnikova de Haasa w 2DEG H. Ibach, H. Lüth, Solid State Physics 203 06 02 43 H. Ibach, H. Lüth, Solid State Physics 203 06 02 44
Przykład: oscylacje Shubnikova de Haasa w 2DEG Gęstość stanów oscyluje w funkcji energii. Amplituda oscylacji zależy od pola (bo separacja pików gęstości stanów, jest proporcjonalna do ), ale i od. W funkcji pola magnetycznego oscyluje gęstość stanów na poziomie Fermiego, co przekłada się na oscylacje magnetooporu (efekt Shubnikova de Haasa): Przykład: oscylacje Shubnikova de Haasa w 2DEG A. Renfer, University of Basel, 2009 Δ 4 cos 4 sinh exp Dla 0 sinh 2 / H. Ibach, H. Lüth, Solid State Physics 203 06 02 45 203 06 02 46 Poziomy Landaua Poszerzenie poziomów na skutek rozproszeń Γ / to jednocząstkowy (albo kwantowy) czas życia to NIE jest ten sam czas, który omawialiśmy w modelu Drudego (transportowy) Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Zwiększając pole magnetyczne kolejno zapełniamy poziomy Landaua. Można całkowicie zapełnić ty poziom ( ) i wtedy /, aż osiągniemy, czyli wszystkie elektrony będą na tym samym poziomie Landaua (tzw. limit kwantowy). Licząc 2 spiny: 2 2 2 2 Każdy ze stanów na poziome Landaua zajmuje powierzchnię 2 Dla zaczynają się dziać ciekawe rzeczy (do których zaraz wrócimy!) 203 06 02 47 203 06 02 48 2
Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Poziomy Landaua Poziom Fermiego leży pomiędzy poziomami Landaua nie ma tam DOS, zmiana nie zmienia DOS stany nieściśliwe (incompressible) Poziom Fermiego leży wewnątrz poziomu Landaua duża DOS, zmiana mocno wpływan na DOS stany ściśliwe (compressible) 203 06 02 49 203 06 02 50 Poziomy Landaua Poziom Fermiego w polu magnetycznym: Φ 2 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_09.pdf 203 06 02 5 203 06 02 52 3
Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji /. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji /. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. http://groups.physics.umn.edu/zudovlab/content/sdho.htm 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. A. Nainani et al. Solid State Electronics 62 (20) 38 4 203 06 02 53 203 06 02 54 Czas kwantowy, średnia droga swobodna Każde rozpraszanie prowadzi do tego, że czas życia w danym stanie kwantowym (tzw. czas kwantowy ) jest skończony i poszerzenie Δ 0. Średnia droga swobodna: Czas transportowy (czas relaksacji pędowej), średnia droga swobodna W makroskopowych przepływach elektronów (np. prąd elektryczny) liczy się nie sam fakt rozproszenia, ale jak w rozproszeniu zmienia się pęd (wektor falowy). Niskokątowe rozproszenia mają mniejszy wpływ na relaksację pędu niż wysokokątowe (rozproszenia elektron elektron nie dają wkładu do ): Ω cos Ω gdzie kąt (elastycznego) rozproszenia. Przeważnie. 203 06 02 55 Czas transportowy (czas relaksacji pędowej), średnia droga swobodna W makroskopowych przepływach elektronów (np. prąd elektryczny) liczy się nie sam fakt rozproszenia, ale jak w rozproszeniu zmienia się pęd (wektor falowy). Niskokątowe rozproszenia mają mniejszy wpływ na relaksację pędu niż wysokokątowe (rozproszenia elektron elektron nie dają wkładu do ): Ω cos Ω gdzie kąt (elastycznego) rozproszenia. Przeważnie Ruchliwość czas transportowy : Przykład: GaAs, m 0,067, 0meV, 2,3 0 m/s. 300 K, materiał objętościowy: 4000 cm 2 /Vs, 0,5 ps, 35 nm 2. K, 2DEG: 0 cm 2 /Vs, 400 ps, 90μm 203 06 02 56 4
Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Rozproszenia mogą prowadzić do przypadkowych zmian fazy funkcji falowej elektronu, a więc zaniku jej spójności fazowej, co z kolei uniemożliwia efektywną interferencję. Spójność fazową niszczą rozproszenia nieelastyczne. W relaksacji fazy nie biorą udziału sztywne rozpraszacze, a tylko fluktuujące (rozpraszanie na fononach, rozpraszanie elektron elektron, rozpraszanie na domieszkach z wewnętrznymi stopniami swobody ) Przykład efekt Aharonova Bohma Elektron poruszający się z punktu do punktu 2 po pewnej drodze, na której nie znika potencjał wektorowy ( ) doznaje przesunięcia fazowego: 203 06 02 57 Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład efekt Aharonova Bohma Elektron poruszający się z punktu do punktu 2 po pewnej drodze, na której nie znika potencjał wektorowy ( ) doznaje przesunięcia fazowego: Δ Φ Różnica faz pomiędzy dwiema różnymi drogami jest proporcjonalna do strumienia pola przez powierzchnię rozpiętą przez obie drogi 203 06 02 58 Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład efekt Aharonova Bohma Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład efekt Aharonova Bohma Δ Φ Różnica faz pomiędzy dwiema różnymi drogami jest proporcjonalna do strumienia pola przez powierzchnię rozpiętą przez obie drogi. Zachodzi interferencja fal elektronowych poruszających się po obu drogach. Prawdopodobieństwo transmisji jest okresowe z polem z okresem: Φ 2 cos Φ φ Amplituda maleje jak ~exp / ( czas przelotu przez interefromentr) 203 06 02 59 H. Ibach, H. Lüth, Solid State Physics 203 06 02 60 5
Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład efekt Aharonova Bohma S. Pedersen et al., Physical Review B, 6, 5457 (2000) Średnia droga swobodna 6 μm transport bez rozproszeń (balistyczny) 203 06 02 6 Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 2 słaba lokalizacja Przypadkowo rozłożone rozpraszacze (elastyczne) umożliwiają wystąpienie rozpraszania do tyłu, którego prawdopodobieństwo jest zwiększone ze względu na interferencję konstruktywną pomiędzy dwiema drogami odpowiadającymi ruchom w przeciwne strony. Prowadzi to do zwiększenia całkowitego prawdopodobieństwa rozpraszania do tyłu, a więc zmniejszenia przewodności elektrycznej. Pole magnetyczne wprowadza przesunięcia fazowe pomiędzy obu drogami, co, ze względu na uśrednienie wkładów bardzo wielu możliwych tego typu par trajektorii, gasi efekt ujemny magnetoopór. 203 06 02 62 H. Ibach, H. Lüth, Solid State Physics Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 2 słaba lokalizacja 2DHG w Si/SiGe QW Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 2 słaba lokalizacja 2DHG w Si/SiGe QW V. Senz et al., Physical Review B, 6, R5082 (2000) V. Senz et al., Physical Review B, 6, R5082 (2000) 203 06 02 63 203 06 02 64 6
Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 3 uniwersalne fluktuacje przewodności (UCF) Przypadkowo rozłożone rozpraszacze (elastyczne) wyznaczają różne możliwe trajektorie elektronowej paczki falowej. Interferencje pomiędzy tymi trajektoriami prowadzą do zależności całkowitej przewodności od parametru mogącego modyfikować tę interferencję (np. pola magnetycznego). Zmiany te są w pełni powtarzalne. Szczegółowy obraz aperiodycznych zależności zależy jednak od rozkładu domieszek: ogrzanie i ponowne schłodzenie próbki może zmieniać szczegóły zależności domieszki mogą trochę przedyfundować. Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 3 uniwersalne fluktuacje przewodności (UCF) S. Alagha et al., Journal of Applied Physics, 08, 3704 (200) 203 06 02 65 203 06 02 66 Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Przykład 3 uniwersalne fluktuacje przewodności (UCF) podsumowanie Czas kwantowy, średnia droga swobodna Czas transportowy (czas relaksacji pędowej), średnia droga swobodna Czas relaksacji fazy (czas koherencji fazowej), długość relaksacji fazy (długość koherencji fazowej) Jeśli to: S. Alagha et al., Journal of Applied Physics, 08, 3704 (200) Gdzie / stała dyfuzji 203 06 02 67 203 06 02 68 7
Transport Skale długości: Długość fali de Broglie a elektronu (na poziomie Fermiego) : 2 Dla metalu i 0eV 0,4nm Dla półprzewodnika 0,067 (GaAs) i 0meV 47nm Łatwiej jest uzyskać efekty uwięzienia kwantowego w półprzewodnikach niż w metalach! Długość magnetyczna Promień orbity cyklotronowej najniższego poziomu Landaua: 2 2 2 W polu T dostajemy 26 nm Transport Skale długości: Rozmiary układu (kropki kwantowej), dla których efekty ładowania pojedynczymi elektronami mogą być widoczne Energia ładowania pojedynczym elektronem: 2 Pojemność wyspy (krążka) o promieniu otoczonej materiałem o stałej dielektrycznej : 8 Aby móc obserwować efekty związane z ładowaniem pojedynczym elektronem (np. tzw. blokadę kulombowską), energia ładowania nie może być dużo mniejsza od ( ):. dla = 0, = 300 K: 4 nm 2. dla = 0, = 4 K: 300 nm Energia cyklotronowa Dla półprzewodnika 0,067 (GaAs) w T.7meV 203 06 02 69 203 06 02 70 Transport Skale długości: Transport elektronów przez kropki kwantowe układ, w którym efekty ładowania muszą być widoczne Transport Układy makro i mezoskopowe, reżimy trasportu: http://marcuslab.harvard.edu/papers/kouwenhovenreview.pdf T. Heinzel, Mesoscopic Electronics in Solid State Nanostuctures, VILEY VCH, 2007 203 06 02 7 203 06 02 72 8
Transport dyfuzyjny Dyfuzyjny transport elektronowy rozmiary układów (metale bądź półprzewodniki) dużo większe od średniej drogi swobodnej:, Problem wielu cząstek metody fizyki statystycznej Będziemy używać funkcji rozkładu prawdopodobieństwa obsadzeń stanów elektronowych. W równowadze była to funkcja rozkładu Fermiego Diraca, teraz musi być to inna funkcja, w ogólności może explicite zależeć od wektora falowego (niekoniecznie tylko poprzez energię, jak to było w przypadku funkcji ), położenia (dopuszczamy zależność od położenia takich parametrów jak np. temperatura gradient temperatury) i ewentualnie od czasu:,, Transport dyfuzyjny Dyfuzyjny transport elektronowy rozmiary układów (metale bądź półprzewodniki) dużo większe od średniej drogi swobodnej:, Problem wielu cząstek metody fizyki statystycznej Będziemy używać funkcji rozkładu prawdopodobieństwa obsadzeń stanów elektronowych.,, Jeśli w jakiś sposób potrafilibyśmy znaleźć taką funkcję rozkładu, to bylibyśmy w stanie policzyć rozmaite przepływy, np. (3D): gęstość prądu elektrycznego, 4,, gęstość strumienia energii (elektronowy wkład do transportu ciepła):, 4,, Przepis na znalezienie funkcji rozkładu,, podał Boltzmann R. Stępniewski. 203 06 02 73 203 06 02 74 Jeśli nie ma rozproszeń, to podczas ruchu w przestrzeni fazowej wszystkie te elektrony, które w czasie Δznalazły się elemencie przestrzeni fazowej opisanej współrzędnymi Δ,Δ, w czasie były w elemencie przestrzeni fazowej o współrzędnych,. Stąd wniosek, że: Δ, Δ,Δ,, Δ Δ Δ0 Ponieważ Δ Δ i Δ Δ/ dostajemy 0 Jeśli jednak są rozproszenia, to część elektronów opuszcza rozpatrywany element przestrzeni fazowej (ulegają rozproszeniom ze stanów zawartych w tym elemencie na zewnątrz niego), zaś część do niego wchodzi (rozproszenia do stanów zawartych w tym elemencie). Wtedy prawa strona powyższego równania nie równa się zeru (tzw. człon zderzeniowy) Co można zapisać w postaci: R. Stępniewski. 203 06 02 75 Co można zapisać w postaci: gdzie człon dryfowy: człon zderzeniowy: Dla rozproszeń w obrębie jednego pasma: częstość zderzeń przeprowadzających, elektron ze stanu do jakiegokolwiek, częstość zderzeń przeprowadzających elektron do stanu z jakiegokolwiek 203 06 02 76 9
równanie różniczkowo całkowe, nieliniowe, w ogólnym przypadku niemożliwe do rozwiązania. Opis za pomocą równania Boltzmana jest opisem kwaziklasycznym ma zastosowanie, gdy paczkę falową elektronu można w przybliżeniu traktować jak cząstkę klasyczną (wymaga podania zmiennych i 6 niezależnych wymiarów). W stanie stacjonarnym 0 W szczególności długość fali de Broglie a elektronu musi spełniać następujące warunki:, gdzie typowy rozmiar dla danego problemu zmiana energii wywołana działaniem siły zewnętrznej na drodze musi być mała w porównaniu ze średnią energią, gdzie średnia droga swobodna Pola (elektryczne, magnetyczne i tp). muszą być zapisane klasycznie, np. (przypadek niezdegenerowany) (dla degeneracji) R. Stępniewski. 203 06 02 77 równanie różniczkowo całkowe, nieliniowe, w ogólnym przypadku niemożliwe do rozwiązania. Opis za pomocą równania Boltzmana jest opisem kwaziklasycznym ma zastosowanie, gdy paczkę falową elektronu można w przybliżeniu traktować jak cząstkę klasyczną (wymaga podania zmiennych i 6 niezależnych wymiarów). W stanie stacjonarnym 0 W szczególności długość fali de Broglie a elektronu musi spełniać następujące warunki:, gdzie typowy rozmiar dla danego problemu zmiana energii wywołana działaniem siły zewnętrznej na drodze musi być mała w porównaniu ze średnią energią, gdzie średnia droga swobodna Pola (elektryczne, magnetyczne i tp). muszą być zapisane klasycznie, np. (przypadek niezdegenerowany) (dla degeneracji) Przykład: w polu elektrycznym o natężeniu :, dla GaAs z 0 mev 50 nm powyższy warunek daje: 2 0 V/cm silne pole jak na przewodzące próbki makroskopowe, ale niezbyt silne z punktu widzenia układów w skali mikro (np. przyrządów półprzewodnikowych) 203 06 02 78,, Człon zderzeniowy równania Boltzmanna (tutaj, dla uproszczenia, pomijamy ewentualną zależność od położenia ),,, :,,, częstość zderzeń przeprowadzających elektron ze stanu do jakiegokolwiek częstość zderzeń przeprowadzających elektron do stanu z jakiegokolwiek,,, Równanie różniczkowo całkowe, nieliniowe, w ogólnym przypadku niemożliwe do rozwiązania w pewnych warunkach można je spróbować zlinearyzować: Zakładamy, że funkcja rozkładu jest bliska stanowi równowagi i zakładamy specjalną postać, gdzie jest funkcją wektorową zależną tylko od energii. Jest to równowazne przyjęciu, że (np. przykładamy pole i kula Fermiego przesuwa się o ). ( ) 203 06 02 79 203 06 02 80 20
Dostajemy,, Dla pasma parabolicznego i sferycznego 4, 4, Właściwości, : Zakładamy, że proces rozpraszania jest izotropowy (nie zawsze!) Zderzenia są elestyczne, Θ,, gdzie kąt między i. Całkujemy w zmiennych sferycznych (składowa po wycałkowaniu po daje 0) R. Stępniewski. 203 06 02 8 203 06 02 82 2 Θ, cos sin Θ, 2 cos sin to czas relaksacji po wyłączeniu przyczyny zaburzenia funkcji rozkładu: 0 zmaleje razy W tym przybliżeniu równanie Boltzmana ma postać: 0 Gdzie. 0 Θ, 2 cos sin Czas relaksacji: Zależy od energii. Nie zależy od rodzaju i wielkości zaburzenia, zależy tylko od energii nośnika (elektronu lub dziury) jest więc dobrym parametrem charakteryzującym dany materiał Dla różnych mechanizmów ta zależność może być różna Jeśli istnieje szereg niezależnych mechanizmów rozpraszania, to: M. Baj 203 06 02 83 203 06 02 84 2
0 Θ, 2 cos sin Podumowanie: Rozwiązanie otrzymaliśmy przy założeniach: rozproszenia można uważać za elastyczne i nie wyprowadzają poza pasmo Rozproszenia są izotropowe Pasmo jest sferyczne Złożony problem rozwiązania nieliniowego równania różniczkowo całkowego (równania Boltzmanna) został sprowadzony do 2 rozdzielnych problemów: znalezienia zależności czasu relaksacji od energii rozwiązania liniowego równania różniczkowego W ogólności zależności dla różnych mechanizmów rozpraszania mogą być skomplikowane (np.: B.M. Askerov, Electron transport phenomena in semiconductors, World Scientific 994, D. K. Ferry, Semiconductor transport, Taylor & Francis 2000). Dla pasma parabolicznego w wielu przypadkach czas relaksacji daje się opisać zależnością potęgową od energii:, ~ Czynnik, zalezy od temperatury z powodu: wyłączenia we wzorze opisującym dodatkowej zależności np. poprzez liczbę fononów Jeśli półprzewodnik jest niezdegenerowany i można stosować rozkład Boltzmanna, to ~ i zależy od temperatury wyłącznie poprzez czynnik, 203 06 02 85 M. Baj 203 06 02 86 M. Baj R. Stępniewski. 203 06 02 87 203 06 02 88 B.M. Askerov, Electron transport phenomena in semiconductors 22