Karol Nogajewski. Wybrane aspekty nanotechnologii. Poziomy Landaua WIELKIE PODSUMOWANIE. Wydział Fizyki UW

Transkrypt

1 Wybrane aspekty nanotechnologii Karol Nogajewski WIELKIE PODSUMOWANIE Wydział Fizyki UW Poziomy Landaua Poszerzenie poziomów na skutek rozproszeń Γ / to jednocząstkowy (albo kwantowy) czas życia to NIE jest ten sam czas, który omawialiśmy w modelu Drudego (transportowy) Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Zwiększając pole magnetyczne kolejno zapełniamy poziomy Landaua. Można całkowicie zapełnić ty poziom ( ) i wtedy /, aż osiągniemy 1, czyli wszystkie elektrony będą na tym samym poziomie Landaua (tzw. limit kwantowy). Licząc 2 spiny: Każdy ze stanów na poziome Landaua zajmuje powierzchnię 2 Dla 1zaczynają się dziać ciekawe rzeczy (do których zaraz wrócimy!)

2 Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Poziomy Landaua Poziom Fermiego leży pomiędzy poziomami Landaua nie ma tam DOS, zmiana nie zmienia DOS stany nieściśliwe (incompressible) Poziom Fermiego leży wewnątrz poziomu Landaua duża DOS, zmiana mocno wpływan na DOS stany ściśliwe (compressible) Poziomy Landaua Poziom Fermiego w polu magnetycznym: Φ 2 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect

3 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji 1/. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji 1/. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. A. Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011) Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Henriques et al. Brazil. J. of Phys. 29, 707 (1999) K. Nogajewski et al., Appl. Phys. Lett. 99, (2011)

4 Kropki kwantowe Kropki kwantowe Clive Emary Theory of Nanostructures nanoskript.pdf Potencjał harmoniczny 2D Potencjał harmoniczny 2D 1 2 w kierunku i taka sama w 1 2 w kierunku i taka sama w Degeneracja? Degeneracja? 1, 0 (0,0) 1 (1,0) (0,1) 2 (2,0) (1,1) (0,2) 3 (3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

5 Potencjał harmoniczny 2D Kropki kwantowe Energy [ev] d+ p+ d 0 p- d- s n, m = 0,1,2... L = n m (elektron) Angular Momentum -L Adam Babiński Kropki kwantowe Kropki kwantowe Sami Siljamaki Helsinki University of Technology, dissertation Raymond et al. PRL 92, (2004)

6 Najwazniejsze wyniki Epoka NANO Nanotechnologia małe > duże tylko mniejsze Pakiet falowy ROZMIAR Kształt Wymiar 2D, 1D, 0D Przejścia fazowe Efekty powierzchniowe Właściwości fobowe i filowe Reaktywność chemiczna Struktura energetyczna Ograniczenia kwantowe (quantum confinement) Struktura krystaliczna Własności katalityczne Własności optyczne Właściwości magnetyczne Nadprzewodnictwo Właściwości mechaniczn

7 Pakiet falowy Δ Δ kg Js ev s J s ev s C Pasma w krysztale Pasma energetyczne Do optoelektroniki potrzebna jest przerwa prosta. W. R. Fahrner (Editor) Nanotechnology and Nanoelectronics

8 Studnia nieskończona Wewnątrz studni: Studnia nieskończona Wewnątrz studni:, 2 sin, 2 sin Studnia nieskończona Wewnątrz studni:, 2 sin 2 2 Bandgap engineering W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury: wybierając materiał kontrolując skład kontrolując naprężenie

9 Bandgap engineering Bandgap engineering Valence band offset Valence band offset: (powinowactwo) Su Huai Wei, Computational Materials Science, 30, (2004) W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury: wybierając materiał kontrolując skład kontrolując naprężenie Prawo Vegarda: dot. przerwy energetycznej stopu binarnego : 1 1 b tzw. bowing przerwy energetycznej Z Dridi et al. Semicond. Sci. Technol. 18 No 9 (September 2003) Bandgap engineering W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury: wybierając materiał kontrolując skład kontrolując naprężenie Valence band offset Satyam S. Parashari et al. Physica B 403 (2008) Bandgap engineering W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury: wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład kontrolując naprężenie Elabsy et al. Physica B 405 (2010)

10 Bandgap engineering W jaki sposób możemy zmieniać strukturę pasmową heterostruktury: wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład kontrolując naprężenie Studnia skończona Prosty przypadek był Studnia skończona TA SAMA masa w barierze i studni:

11 Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: 2 V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu (równanie przestaje być hermitowskie). Trzeba to zrobić inaczej, np.: 2 1 Warunki zszycia na granicy heterostruktur muszą być zmodyfikowane (z rozważań na temat zachowania ładunku prądy płynące przez złącze wtedy ): 1 1 V z Studnia skończona Wewnątrz studni: 2 2 2, cos sin Bariera: 2 exp Warunki zszycia: 1 1 sin 2 cos 2 exp Studnia skończona INNA masa w barierze i studni: Struktury niskowymiarowwe,,,, exp exp,, exp,

12 Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego energia cząstki ~ 2 cos 4, ~ 1 exp, Potencjał harmoniczny Potencjał harmoniczny A e 2 1 A e exp 2 wielomiany Hermite a 2! /

13 Potencjał kulombowski 2D NAJPIERW: Potencjał kulombowski 3D w półprzewodniku o stałej dielektrycznej, masie efektywnej : ev Komentarz o paśmie walencyjnym Obecność studni zmieni a symetrię kryształu (np. studnia kwantowa na kierunku [001] odpowiada ciśnieniu jednoosiowemu przyłożonemu prostopadle do warstwy). Trzeba rozwiązać równanie (Chemla 1983): Komentarz o paśmie walencyjnym Obecność studni zmieni a symetrię kryształu (np. studnia kwantowa na kierunku [001] odpowiada ciśnieniu jednoosiowemu przyłożonemu prostopadle do warstwy). Trzeba rozwiązać równanie (Chemla 1983): Komentarz o paśmie walencyjnym Obecność studni zmieni a symetrię kryształu (np. studnia kwantowa na kierunku [001] odpowiada ciśnieniu jednoosiowemu przyłożonemu prostopadle do warstwy). Trzeba rozwiązać równanie (Chemla 1983): Wynika z tego, że dziury ciężkie mają lekką masę na płaszczyźnie, natomiast dziury lekkie mają ciężką masę PoLDS

14 Kropki kwantowe Quantum Dot 0 cgs 0 1 X e Sferyczne kropki kwantowe Przerwa energetyczna w sferycznych kropkach kwantowych [Brus, L. E. J. Phys. Chem. 1986, 90, 2555, Brus. L. E. J. Chem. Phys. 1984, 80, 4403] Sferyczne kropki kwantowe Przerwa energetyczna w sferycznych kropkach kwantowych [Brus, L. E. J. Phys. Chem. 1986, 90, 2555, Brus. L. E. J. Chem. Phys. 1984, 80, 4403] średnica Lokalizacja kwantowa (quantum localization): mniejsza cząstka więcej wektorów potrzebnych do opisu stanu nośnika. Czyli cząstka w studni! ZWIĘKSZA energie przerwy 2 2 Część kulombowska oddz. z uwzględnieniem polaryzacji (sfera) OBNIŻA energię. Potencjał obliczony dla funkcji w postaci Ψ ( 1) : Ψ sin

15 Sferyczne kropki kwantowe Przerwa energetyczna w sferycznych kropkach kwantowych [Brus, L. E. J. Phys. Chem. 1986, 90, 2555, Brus. L. E. J. Chem. Phys. 1984, 80, 4403] Sferyczne kropki kwantowe medicine/gallery/pictures/scientific pictures.php Przerwa energetyczna CdSe Sferyczne kropki kwantowe Sferyczne kropki kwantowe Luminescent quantum dots for multiplexed biological detection and imaging W. Chan et al. Current Opinion in Biotechnology 2002, 13:

16 Sferyczne kropki kwantowe In vivo molecular and cellular imaging with quantum dots Xiaohu Gao Current Opinion in Biotechnology 2005, 16: Studnie 2D i 3D Druty kwantowe Marc Baldo MIT OpenCourseWare Publication May 2011 Marc Baldo MIT OpenCourseWare Publication May

17 Rachunek zaburzeń z czasem Szczególne rozwiązania równania Schrödingera, 2,,, Potencjał niezależny od czasu 2 Potencjał niezależny od czasu Najprostszy przypadek:, / 0 dla 0 dla 0 i Potencjał harmoniczny 2D Szkic dowodu Funkcja Blocha nośnika w krysztale:: Ψ,,, Dla elektronu: Ψ,,, Dla dziury: Ψ,,, /,/, Dipolowe przejścia optyczne międzypasmowe: /,/, 0 t Ψ Ψ,,,,, Potencjał harmoniczny 2D CB VB p p s s PL Intensity Zależność od mocy pobudzania widm fotoluminescencji otrzymanych w temperaturze bliskiej temperatury ciekłego helu (ok. 5 K) dla licznego (wielomilionowego) zbioru kropek kwantowych InAs/GaAs. PODSUMOWANIE złota reguła Fermiego Prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu: 0 Przejścia są możliwe tylko do stanów 0 Przejścia są możliwe tylko do stanów 2 2 Zaburzenie w postaci fali elektromagnetycznej

18 PODSUMOWANIE złota reguła Fermiego Szybkość zmian czyli prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu ze stanu początkowego do końcowego dane jest wzorem: 2 oddziaływanie z polem gęstość stanów końcowych Zaburzenie nie musi być w postaci fali elektromagnetycznej THE ARTICLE THE ARTICLE jakie są to kropki, jakich energii luminescencji się spodziewamy? jaką metodą otrzymano te kropki? Jak je przygotowano do eksperymentu i dlaczego było to konieczne? dlaczego pomiary są w temperaturach helowych? Jakie są skale energii? w jaki sposób opisane są procesy zachodzące w kropkach? Czy umiesz przeczytać hamiltonian słowami? jakiej energii używamy do pobudzania? co się zmienia z mocą pobudzania? widmo emisyjne opisane jest złotą regułą Fermiego o co chodzi? dlaczego niektóre linie gasną, a inne się pojawiają jak świecimy coraz mocniej? dlaczego jest mowa o sztucznych atomach? Jaki jest czas życia (rozpadu?) takiego atomu? Jak wygląd szereg promieniotwórczy sztucznych atomów? o jakie ukryte symetrie chodzi w artykule? do czego można by wykorzystać obserwowane efekty?

19 THE ARTICLE THE ARTICLE Experiment Calculations C B Be Li He H Gęstość stanów Gęstość stanów Ilość stanów na jednostkę energii (zależy od ilości wymiarów) Gęstość stanów w przestrzeni o wymiarach (w jednostkowej objętości) Przypadek 3D Dla pasma sferycznego i parabolicznego: 1 2 / 2 kula Fermiego T=0 K k y k x / 2 L y

20 Domieszki i defekty Domieszkowanie ENERGIA ELEKTRONÓW pasmo puste poziom donorowy poziom akceptorowy pasmo pełne x E D E A E g /2 0 -E g /2 E F Koncentracja nośników w półprzewodniku niesamoistnym Rozważmy półprzewodnik, w którym: N A koncentracja akceptorów N D koncentracja donorów p A koncentracja neutralnych akceptorów n D koncentracja neutralnych donorów n c koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa p v koncentracja dziur w paśmie walencyjnym Z warunku neutralności kryształu: n c +(N A p A )= p v + (N D n D ) n c + n D = (N D N A )+ p v + p A Konstrukcja diagramów pasmowych Złącze metal półprzewodnik ( ) typ n Bariera Shotky ego Electrical properties of materials Solymar, Walsh Konstrukcja diagramów pasmowych Złącze metal półprzewodnik ( ) Bariera Shottky ego Konstrukcja diagramów pasmowych typ n Przesuwamy tymczasowe linie w i w, a następnie łączymy ze sobą w miejscu heterozłącza. Pojawiające się nieciągłości dopełniają szkic heterozłącza

21 Studnia trójkątna Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Domieszkowanie półprzewodników Zasada zachowania ładunku Szerokość złącza 2 Jeśli np. (domieszkowanie na typ ) wtedy: i Szerokość tym większa im mniej jest donorów. (w przypadku jest odwrotnie!) 2 gęstość ładunków / 2 / Np. 10 cm 3 dla typowego 0.3V mamy 180 nm. Jeśli uwzględnimy, że zmiana ładunku jest bardziej stopniowa 1 m Tunelowanie bariera obszar 1 obszar / / / 1/ W drugą stronę: 0 1/ / / 1/ Tunelowanie Przykłady:

22 Tunelowanie Przykłady: Tunelowanie Poziomy nieskończonej anty studni! 4 4 sin 1 sin sinh 1 4 sinh profil Lorentza Tunelowanie

23 Kwant przewodnictwa Kwant przewodnictwa Dla metali i :,,,, 2, 2 2 Wzór Landauera (Landauer formula) gdy mamy do czynienia z wieloma kanałami przewodnictwa 38,7 2, 2, 2 Opór jest skończony nawet dla idealnego przewodnika! to suma różnych pełnych kanałów przewodnictwa np. dwa różne spiny dają 2 38,7 25,8 Ω Dla dostajemy prawo Ohma. Kwant przewodnictwa (w simensach) Kwant przewodnictwa Kwant przewodnictwa 2, 2 38,7 2 B. J. van Wees et al. Quantized conductance of point contacts in a two dimensional electron gas Phys. Rev. Lett. 60, (1988) M. A. Topinka et al. Coherent branched flow in a two dimensional electron gas Nature 410, 183 (2001)

24 Kwant przewodnictwa Kwant przewodnictwa R.M. Westervelt, M. A. Topinka et al. Physica E 24 (2004) R.M. Westervelt, M. A. Topinka et al. Physica E 24 (2004) Kwant przewodnictwa Blokada Kulombowska Kropka zachowuje się jak mały kondensator o energii ~ 0 M. A. Topinka et al. Nature 410, 183 (2001)

25 Blokada Kulombowska and presentations/teaching/undergraduate%20courses/vy305 molecular architecture and evolution offunctions/presentations/presentations 2007/seminar 2/P2.pdf Pola skalarne i wektorowe Równania Schrodingera w polu i : 1 2,,,,, Lokalna gęstość stanów Gęstość stanów (ogólnie) można zdefiniować jako:, ~ 2 2 Efekt Frantza Kieldysha w polu elektrycznym przejścia optyczne zachodzą w niższych enegiach bo przerwa energetyczna się rozmywa przez tunelowanie do niej stanów: Pęd kanoniczny Równanie ciągłości albo:,, 2 Ψ Suma: pęd kinetyczny, 2 Ψ Ψ ΨΨ Ψ, Ψ, Ψ Ψ

26 Efekt Halla Efekt Halla Biorąc / W przypadku efektu Halla,0,0 : 1 1 Tensor przewodnictwa: Tensor oporności: Pełny tensor przewodnictwa Pełny tensor oporności stała Halla Jednorodne pole magnetyczne Rozwiązanie w cechowaniu Landaua: 1 2,,,,, Cechowania Landaua: pole 0,0, (niestety wyróżnia kierunek) 0,, 0 czyli Przyjmujemy, że w płaszczyźnie nie ma innego potencjału 1 2 co daje: 2 2 Ślad siły Lorentza Potencjał paraboliczny!

27 Jednorodne pole magnetyczne Symetria względem odwrócenia czasu (time reversal invariance, T symmetry): jeśli rozwiązaniem równania Schrodingera jest funkcja Ψ, to rozwiązaniem musi być także Ψ tylko w przypadku hamiltonianu rzeczywistego. Dla pola magnetycznego musimy także odwrócić kierunek pola magnetycznego: Ψ, Ψ, (musimy odwrócić znak pędu kinetycznego,. Urojona wartość brak symetrii względem odwrócenia czasu co daje: Potencjał w funkcji jest niezależny od pozostałych zmiennych (faktoryzacja) rozważamy więc problem 2D Jednorodne pole magnetyczne Przypadek 2D Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 2 Funkcje falowe to funkcje oscylatora (wzdłuż, rozmiaru rzędu / 2) i fali biegnącej (wzdłuż ) dziwne, prawda? Dlaczego? Energia nie zależy od wektora stany o różnym maja tą samą energię, są więc zdegenerowane (a więc dowolna ich kombinacja nie zmienia energii). Gęstość stanów redukuje się ze stałej do serii dyskretnych wartości danych przez równanie na są to tzw. poziomy Landaua. Pełna energia (łącznie z potencjałem wiążącym w kierunku ): 1, 2, 3 Ślad siły Lorentza Potencjał paraboliczny! 1 2 Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp , 2, Poziomy Landaua Poziom Fermiego w polu magnetycznym: Φ 2 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji 1/. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. A. Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011)

28 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Kwantowy (całkowity) efekt Halla (IQHE) Integer Quantum Hall effect (IQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany Kwantowy ułamkowy efekt Halla (FQHE) Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 Semiconductor_Devices/semiconductor_devices.html Kwantowy ułamkowy efekt Halla (FQHE) Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 Stromer, Nobel Lecture

29 Oscylacje Weissa Oscylacje Weissa 4. W jaki sposób światło zmieniało koncentrację nośników? 5. Jakiego światła użyto w eksperymencie? Czy było ono absorbowane, w której warstwie? 6. Jak przebiegał eksperyment? Co było mierzone? Co się zmieniało? W jakim zakresie? 7. Na jakiej zasadzie mogła działać przesłona (shutter), której autorzy pracy używali do modulowania wiązki laserowej? Czy poza zapobieganiem fluktuacjom wzoru interferencyjnego na powierzchni próbki, modulowanie oświetlenia laserowego mogło mieć jeszcze jakiś inny korzystny wpływ na przebieg eksperymentu?