W5. Rozkład Boltzmanna

Transkrypt

1 W5. Rozkład Boltzmanna Podstawowym rozkładem w klasycznej fizyce statystycznej jest rozkład Boltzmanna E /( kt ) f B ( E) Ae gdzie: A jest stałą normalizacyjną, k stałą Boltzmanna 5 k ev / K Został wprowadzony w celu określenia własności funkcji rozkładu prędkości cząsteczek gazu w równowadze termodynamicznej. Założenia: Identyczne, ale rozróżnialne cząstki. Można je sobie wyobrazić jako kule bilardowe o tych samych właściwościach, ale z wymalowanymi kolejnymi liczbami.

2 W5. Rozkład Bosego-Einsteina dla bozonów Falowe właściwości cząstek postulowane w mechanice kwantowej nie pozwalają na odróżnienie jednakowych cząstek, ze względu np. na rozmycie położenia. Np. jeżeli dwie cząstki o numerze 1 i 2 zbliżają się do siebie na odległość mniejszą niż fale de Broglie a, nie można stwierdzić, która z tych cząstek jest 1, a która 2. W 1924 r. Bose zauważył, że rozkład Boltzmanna nie pozwala poprawnie opisać zachowania fotonów. Ten nowy rozkład został uogólniony przez Einsteina na cząstki masywne i ma postać f BE 1 ( E) E /( kt ) e e 1 Cząstki, których rozkład opisywany jest powyższym wzorem nazywane są bozonami, np. foton.

3 W5. Rozkład Fermiego-Diraca dla fermionów Po odkryciu spinu i podaniu przez Diraca relatywistycznego równania falowego, Fermi i Dirac podali funkcję rozkładu dla dużych rozkładów jednakowych nierozróżnialnych cząstek f FD 1 ( E) E /( kt ) e e 1 Cząstki opisane powyższym równaniem są nazywane fermionami, np. elektrony. Różnica pomiędzy statystykami bozonów i fermionów istnieje wyłącznie przy dużych gęstościach kiedy ich funkcje zachodzą na siebie. W niskich gęstościach, obydwie statystyki redukują się do statystyki Boltzmanna, więc zarówno bozony i fermiony zachowują się jak cząsteczki klasyczne.

4 W5. Gęstość prawdopodobieństwa dla bozonów Rozważmy układ jednakowych cząstek 1 i 2, w stanach odpowiednio n i m. Rozwiązanie równania Schrödingera ma symetryczną postać: BE BE 1 ( n(1) m(2) n(2) m(1)) 2 1 ( n(1) n(2) n(2) n(1)) 2 2 n(1) n(2) 2 Zatem gęstość prawdopodobieństwa znalezienia obu cząstek w stanie n wynosi: BE BE 2 n n n n (1) (2) (1) (2) Występowanie bozonu w ustalonym stanie kwantowym zwiększa prawdopodobieństwo, że jednakowe bozony będą się znajdować w tym samym stanie. f BE 1 ( E) E /( kt ) e e 1

5 W5. Gęstość prawdopodobieństwa dla fermionów Rozważmy układ jednakowych cząstek 1 i 2, w stanach odpowiednio n i m. Rozwiązanie równania Schrödingera ma antysymetryczną postać: FD FD 1 ( n(1) m(2) n(2) m(1)) 2 1 ( n(1) n(2) n(2) n(1)) 0 2 Zatem gęstość prawdopodobieństwa znalezienia obu cząstek w stanie n wynosi: FD FD 0 Występowanie fermionów ustalonym stanie kwantowym uniemożliwia innemu jednakowemu fermionowi znalezienie się w tym stanie.

6 W5. Właściwości elektryczne ciał stałych Względna zmiana oporu właściwego przy wzroście temperatury o 1 0 C Materiał Opór właściwy [m] miedź 1.68* żelazo 9.61* węgiel (grafit) 3-60* Temperaturowy współczynnik oporu [1/ 0 C] METALE german 1-500* PÓŁPRZEWODNIKI krzem szkło * kwarc IZOLATORY

7 W5. Przewodnictwo elektryczne metali Klasyczna teoria elektronowa (Paul Drude 1900r.) Model swobodnych elektronów : - istnienie elektronów walencyjnych, czyli elektronów swobodnych (gaz elektronowy), - ruch chaotyczny elektronów, - zderzenia elektronów z jonami sieci krystalicznej. Średnia energia elektronów: Prędkość średnia kwadratowa v k : Średni czas między kolejnymi zderzeniami: 2 3 mv kt 3kT v k v 2 m t L v L k 3 m kt gdzie: k stała Boltzmanna, k = 1.38*10-23 J/K m masa elektronu, m = 9.11*10-31 kg L średnia droga swobodna

8 W5. Przewodnictwo elektryczne metali Ruch elektronów z punktu A do B: v d B B BB dryf, v d prędkość dryfu, v d << v k A Brak pola elektrycznego W obecności pola elektrycznego ła wywierana na elektron w polu elektrycznym: F = ma = ee a = ee / m Prędkość dryfu: v d a t 2 e 2m E t e 2m U d t gdzie: U różnica potencjałów na końcach przewodnika E natężenie pola elektrycznego d odległość BB

9 W5. Od czego zależy natężenie prądu? Elektrony w zewnętrznym polu elektrycznym uzyskują średnią prędkość dryfu (prędkość unoszenia) v d. Ilość ładunku Q przepływająca przez przewodnik w czasie dt = L /v d : dq nels n - koncentracja elektronów (ilość elektronów na jednostkę objętości) L długość, S pole przekroju poprzecznego przewodnika Natężenie prądu wynosi więc: I dq dt nels L vd nev d S

10 W5. Ile wynosi prędkość dryfu? Przykład: obliczmy średnią prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa w przewodniku miedzianym. Dane: przekrój S= 1 mm 2, natężenie prądu 1A, masa atomowa miedzi μ Cu = 63.8 g/mol, gęstość miedzi ρ Cu = 8.9 g/cm 3. I nev S v d d I nes Koncentracja nośników: na jeden atom Cu 1+ przypada jeden e - Cu CuAv N n Otrzymujemy: v d = m/s = mm/s

11 W5. Prawo Wiedemanna-Franza W niezbyt niskich temperaturach stosunek przewodności cieplnej do przewodności elektrycznej metali jest stały i wprost proporcjonalny do temperatury. Współczynnik proporcjonalności L jest niezależny od materiału. K LT gdzie: L - liczba Lorentza (współczynnik prawie jednakowy dla większości metali) K przewodność cieplna,, [W K -1 m -1 ] -- przewodność właściwa, [Ω -1 m -1 ] Teoretyczna wartość liczby Lorentza: L= W Ω/K 2 Wartości doświadczalne przyjmują wartości zbliżone, jednak np. L = W Ω K 2 for dla miedzi w temperaturze 0 C L = W Ω K 2 dla wolframu w temperaturze 100 C.

12 W5. Teoria pasmowa ciał stałych Model swobodnych elektronów Drudego pozwala dobrze opisać: ciepło właściwe, przewodności cieplną, przewodność elektryczną Model ten zawodzi: gdy staramy się wyjaśnić różnicę pomiędzy metalami i półmetalami, półprzewodnikami i izolatorami, wyjaśnić związek pomiędzy elektronami przewodnictwa, a elektronami walencyjnymi Każde ciało stałe zawiera elektrony, podstawowym pytaniem jest to jak te elektrony reagują na przyłożenie pola elektrycznego?

13 W5. Teoria pasmowa ciał stałych Poziomy energetyczne elektronów w kryształach tworzą pasma energetyczne, rozdzielone obszarami energii, w których nie ma dozwolonych stanów energetycznych Obszary zabronione nazywane są przerwami energetycznym lub obszarami wzbronionymi Z punktu widzenia własności elektrycznych ciał stałych największe znaczenie mają pasma najbardziej oddalone od jądra atomowego: E Zdolność do przewodzenia elektryczności zależy od prawdopodobieństwa obsadzenia pasma przewodnictwa. pasmo przewodnictwa pasmo energii zabronionej niższe pasma dozwolone pasmo walencyjne

14 W5. Rozkład Fermiego-Diraca f Opisuje prawdopodobieństwo, że przy danej temperaturze T obsadzony zostanie poziom o energii E dla idealnego gazu elektronów: ( 1 E) e ( E ) / kt 1 gdzie: k stała Boltzmanna, µ - jest zależna od temperatury dla T=0 K µ= E F E F energia Fermiego energia najwyższego obsadzonego poziomu

15 W5. Rozkład Fermiego-Diraca T >>0K prawdopodobieństwo obsadzenia poziomów powyżej E F wzrasta T=0K - brak elektronów w paśmie powyżej E F T >0K poziomy powyżej E F obsadzone z pewnym prawdopodobieństwem

16 W5. Metale, izolatory i półprzewodniki w modelu pasmowym

17 W5. Półprzewodniki samoistne - pierwiastki IV grupy układu okresowego (półprzewodniki atomowe), np., Ge - szerokość pasma wzbronionego E g < 2eV - w temperaturze 0 K brak elektronów w paśmie przewodzenia zły przewodnik, - w wyższych temperaturach elektrony dzięki energii termicznej przechodzą do pasma przewodzenia wiązania kowalencyjne między atomami -pary elektronów są współdzielone w porównywalnym stopniu przez oba atomy tworzące to wiązanie., w niskich temperaturach wszystkie elektrony związane w pary, brak swobodnych nośników, więc półprzewodnik zachowuje się jak izolator, po dostarczeniu energii (np. przez absorpcję fotonu lub termicznej) w paśmie przewodnictwa pojawiają się elektrony, a w paśmie walencyjnym dziury, koncentracja elektronów i dziur jest jednakowa n i = p i

18 W5. Półprzewodniki domieszkowane zawierają domieszkę (1 atom domieszki na 10 6 atomów sieci) pierwiastka III lub V grupy układu okresowego, III IV V - półprzewodnik typu n (donorowy) zawiera domieszkę pierwiastka V grupy, przez co zwiększa się przewodnictwo elektronowe, Sb - półprzewodnik typu p (akceptorowy) zawiera domieszkę pierwiastka III grupy, przez co zwiększa się przewodnictwo dziurowe, B

19 W5. Półprzewodniki typu n dodatkowy elektron domieszkowany atomem z V grupy układu okresowego (N, P, As, Sb) Sb 4 z elektronów walencyjnych donora tworzą wiązania, piąty elektron jest słabo związany z rdzeniem jonu w półprzewodnikach typu n nośnikami większościowymi są elektrony ( w paśmie przewodnictwa) potrzeba więc znacznie mniejszej energii E d (w porównaniu z przerwą energetyczną E g ), żeby wzbudzić ten elektron do pasma przewodnictwa energia jonizacji domieszki E d < 0.1eV

20 W5. Półprzewodniki typu p dodatkowa dziura (niedobór elektronu) B domieszkowany atomem z III grupy układu okresowego (B, Al, Ga) atom akceptora tworzy 3 wiązania kowalencyjne, czwarte wiązanie jest nie wysycone powstaje dziura w półprzewodnikach typu p nośnikami większościowymi są dziury (w paśmie walencyjnym) do zapełnienia dziury wystarczy niewielkiej energii E a (w porównaniu z przerwą energetyczną E g ), żeby wyrwać elektron z sąsiedniego wiązania, w którym powstaje nowa dziura energia jonizacji domieszki E d < 0.1eV

21 W5. Złącza n-p Złącze n-p jest wytwarzane w monokrysztale przez niejednorodne domieszkowanie Do jednej części wprowadza się domieszki akceptorowe wytwarzające obszar p, w których nośnikami większościowymi są dziury, do drugiej części domieszki donorowe wytwarzające obszar n (nośnikami większościowymi są elektrony)

22 W5. Zjawiska na złączach Rozważmy złącze typu p-n: - w półprzewodniku typu p jest przewaga dziur, natomiast w półprzewodniku typu n przewaga elektronów - w chwili złączenia materiałów elektrony przenikają do obszaru p i rekombinują z dziurami - ruch nośników większościowych tworzy prąd dyfuzji I dyf, ruch nośników mniejszościowych tworzy prąd unoszenia (dryfu) I dryf I dyfuzji I dryfu - wskutek rekombinacji po stronie p powstają jony ujemne, a po stronie n jony dodatnie; w obszarze złącza powstaje ładunek przestrzenny - z powstaniem ładunku przestrzennego o szerokości d 0 wiąże się kontaktowa różnica potencjałów V 0 V 0 V x d 0 - stan równowagi złącza

23 W5. Dioda półprzewodnikowa Po przyłożeniu do złącza p-n różnicy potencjałów: a) kierunek przewodzenia - połączenie części p z biegunem dodatnim, a części n diody z biegunem ujemnym spowoduje obniżenie bariery potencjału w porównaniu ze stanem równowagi złącza i zwiększenie prądu dyfuzji b) kierunek zaporowy - połączenie odwrotne spowoduje zwiększenie bariery potencjału w porównaniu ze stanem równowagi złącza i zmniejszenie prądu dyfuzji

24 W5. Charakterystyka prądowo-napięciowa Złącze n-p ma własności prostujące: Jeżeli przyłożymy napięcie w jednym kierunku to popłynie duży prąd W przeciwnym kierunku - mały prąd Jeżeli napięcie przyłożone do złącza jest zmienne, wtedy płynie prąd tylko dla jednego kierunku napięcia następuje prostowanie prądu

25 W5. Charakterystyka prądowo-napięciowa prąd przy zaporowej polaryzacji złącza jest mały (10-8 A) i w niewielkim stopniu zależny od napięcia prąd przy polaryzacji przewodzenia pojawia się przy wartości V i gwałtownie rośnie ze wzrostem napięcia

26 W5. Dioda świecąca (LED) światło - na złączu p-n elektron z pasma przewodnictwa rekombinuje z dziurą z pasma walencyjnego; uwalnia się przy tym energia równa wielkości przerwy energetycznej E g - energia ta może rozchodzić się w postaci drgań sieci ( w kryształach i Ge) lub wyemitowanego kwantu promieniowania (w kryształach GaAs, GaP) = hc/e g gdzie: długość fali, h stała Plancka, c prędkość światła w próżni

27 Moc (mw) W5. Dioda świecąca (LED) Rozkład promieniowania - większość energii emitowana jest w obszar o kącie rozwarcia ±20 0. Dodatkowo stosuje się też soczewki kolimujące. Charakterystyka prądowoenergetyczna

28 W5. Laser półprzewodnikowy 100% odbicia obszar złącza + - częściowe odbicie Emisja światła - w obszarze złącza p-n na wyższych poziomach energetycznych (pasmo przewodnictwa) znajduje się więcej elektronów niż na niższych (pasmo walencyjne) powstaje INWERSJA OBSADZEŃ - elektron przechodząc ze stanu wyższego do niższego emituje foton, co może spowodować lawinowe procesy emisji wymuszonej - aby wzmocnić generację światła wewnątrz kryształu, obszar ten zamknięty jest płasko-równoległymi powierzchniami odbiciowymi (rezonator)

29 W5. Ogniwo fotowoltaiczne - złącze typu p-n umieszczone jest między dwoma przewodzącymi zaciskami - promienie słoneczne powodują wybijanie elektronów, które przemieszczają się pod wpływem potencjału złącza i generują przepływ prądu

30 W5. Pytania na zaliczenie 1. Klasyczna teoria elektronowa model Drudego (główne założenia i ograniczenia ) 2. Prawo Wiedemanna-Franza 3. Rozkład Fermiego-Diraca 4. Teoria pasmowa 5. Półprzewodniki samoistne 6. Półprzewodniki domieszkowe typu n i p 7. Gdzie zastosowane są zjawiska na złączach typu n-p?