Poltechnka Gańska Wyzał Elektrotechnk Automatyk Katera Inżyner Systemów Sterowana eora sterowana Postawowe nformacje otyczące regulatorów PID Materały omocncze o ćwczeń laboratoryjnych 3 - Część 1 Oracowane: Kazmerz Duznkewcz, r hab. nż. Mchał Grochowsk, r nż. Robert Potrowsk, r nż. Gańsk
1. Wrowazene Projektując ukłay sterowana, w szczególnośc lnowe, staramy sę, aby zarojektowany ukła sterowana był stablny osaał ewne oatkowe własnośc, n. mał oowen zaas stablnośc, mał ożąane wartośc arametrów jakośc statycznej ynamcznej t. W welu wyakach owyższe warunk można sełnć włączając w strukturę sterowana oatkowe ukłay omocncze, męzy nnym regulatory. Parametry regulatorów rzemysłowych, buowanych jako ozelne urzązena lub stanowących mouły rogramowe sterownków PLC mogą być nastawane, zaś arametry nnych członów korekcyjnych, konstruowanych zwykle jako elementy wbuowane ukłaów sterowana ne mogą olegać welokrotnej nastawe. 2. Postawowe rozaje korekcj Chcąc uzyskać ooweną zmanę transmtancj ukłau regulacj można stosować nastęujące rozaje korekcj: korekcja szeregowa olega na włączenu w ogonym mejscu o ętl ukłau regulacj, szeregowo, wybranego członu korekcyjnego, korekcja olegająca na utworzenu oatkowych ętl wokół jenego lub klku członów ukłau: korekcja równoległa, korekcja w srzężenu zwrotnym. Rysunek 1 rzestawa struktury ukłaów regulacj uzyskwane z wymenonym rozajam korekcj. a). X (s) Korektor Obekt b). X (s) Korektor Obekt c). X (s) Y 1 (s) Obekt Korektor Rys. 1. Rozaje korekcj w ukłaach regulacj: a). korekcja szeregowa, b). korekcja równoległa, c). korekcja w srzężenu zwrotnym Korekcja szeregowa rzestawona na Rysunku 1a znalazła najszersze zastosowane w rzemysłowych ukłaach sterowana jenowymarowego. Korektor szeregowy takej struktury nazywany jest regulatorem.
3. Rozaje regulatorów Regulatory szeregowe człony korekcyjne, w których możlwe jest welokrotne nastawene jenego lub klku arametrów. Głównym zaanem regulatora, jak zresztą każego urzązena sterującego, jest wytwarzane w oarcu o sygnał uchybu sterowana e(t), sygnału sterującego obektem regulacj m(t), w sosób zaewnający jego zachowane zgone z rzyjętym wymaganam. Dzałane regulatorów oarte jest o rzetwarzane sygnału uchybu z wykorzystanem trzech elementarnych oeracj: wzmocnena oeracja P, całkowana oeracja I oraz różnczkowana oeracja D. Ogólna struktura tak załających regulatorów została rzestawona na Rysunku 2. P M P (s) I M I (s) M (s) Sygnał wyjścowy z regulatora jest ostac: D M D (s) Rys. 2. Schemat blokowy regulatora M s M s M s M s P I D (1) gze: M s skłaowa roorcjonalna o uchybu regulacj wytwarzana rzez blok P, MI P s skłaowa całkująca roorcjonalna o całk uchybu regulacj wytwarzana rzez blok I, M s skłaowa różnczkująca roorcjonalna o ochonej uchybu regulacj D wytwarzana rzez blok D. Dzałane roorcjonalne: Dzałane to zmnejsza uchyb regulacj w stane ustalonym, neznaczne wływa na skrócene czasu regulacj (zwększa rękość oowez) zwększa rzeregulowane. Dzałane całkujące: Dzałane to srowaza uchyb regulacj w stane ustalonym o zera, wyłużene czasu regulacj zwększa rzeregulowane wływa na Dzałane różnczkujące: Dzałane to ne wływa na uchyb regulacj w stane ustalonym, wływa na skrócene czasu regulacj zmnejsza rzeregulowane. Ze wzglęu na wykorzystane oszczególnych skłaowych w sygnale generowanym rzez regulator, raktyczne zastosowane znalazły nastęujące rozaje regulatorów: roorcjonalny P, roorcjonalno - całkujący PI, roorcjonalno - różnczkujący PD, roorcjonalno całkująco - różnczkujący PID.
Welkość nastawająca m Regulator całkujący I ne znalazł zastosowana, oneważ jego obecność w ukłaze regulacj ogarsza właścwośc ynamczne tego ukłau. Regulator różnczkujący D ne jest stosowany, oneważ jego obecność w ukłaze regulacj ograncza sę tylko o rzebegów rzejścowych. a). Regulator roorcjonalny P Sygnał wyjścowy z regulatora P jest ostac: gze: k wsółczynnk wzmocnena. m t t k e (2) ransmtancja oeratorowa regulatora P ma ostać: s G r k (3) 1 Zakres roorcjonalnośc X 1% k rocentowa, w stosunku o ełnego zakresu, zmana welkośc uchybu regulacj e, otrzebna o wywołana ełnego zakresu zmany welkośc m. X (s) G r (s) = k M (s) k k > Rys. 3. Charakterystyka skokowa regulatora P Czas t Im(ω) k > Rys. 4. Charakterystyka amltuowo fazowa regulatora P (charakterystyka Nyqust a) k Re(ω)
Welkość nastawająca m a). L (ω) [B] 2 log k k > b). φ (ω) [ra] Rys. 5. Charakterystyk logarytmczne regulatora P (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy b). Regulator roorcjonalno całkujący PI Sygnał wyjścowy z regulatora PI jest ostac: m t gze: stała czasowa całkowana. t k e t e 1 ransmtancja oeratorowa regulatora PI ma ostać: (4) 1 G r s k 1 (5) s Czas zwojena czas otrzebny na to, aby rzy skokowym wymuszenu oanym na wejśce regulatora PI, część sygnału wyjścowego tego regulatora, wywołana całkowanem, stała sę równa rugej częśc sygnału wyjścowego wywołanej załanem roorcjonalnym, zęk czemu sumaryczny sygnał wyjścowy z regulatora staje sę o czase wukrotne wększy nż w chwl oczątkowej. X (s) G r (s) = k (1+1/s ) M (s) 2 k k α tg α = k / Rys. 6. Charakterystyka skokowa regulatora PI Czas t
Im(ω) k ω Re(ω) Rys. 7. Charakterystyka amltuowo fazowa regulatora PI (charakterystyka Nyqust a) a). L (ω) [B] 2 B/ek 2 log k b). φ (ω) [ra] 1/ 1/ π/4 π/2 Rys. 8. Charakterystyk logarytmczne regulatora PI (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy c). Iealny regulator roorcjonalno różnczkujący PD Sygnał wyjścowy z ealnego regulatora PD jest ostac: e m t k e t (6) t gze: stała czasowa różnczkowana. t ransmtancja oeratorowa ealnego regulatora PD ma ostać: G r s k 1 s (7) Czas wyrzezena czas otrzebny na to, aby rzy lnowo narastającym wymuszenu oanym na wejśce regulatora PD, sygnał zwązany z załanem roorcjonalnym zrównał sę z sygnałem ochozącym o załana różnczkującego.
Welkość nastawająca m X (s) G r (s) = k (1+s ) M (s) k Rys. 9. Charakterystyka skokowa ealnego regulatora PD Czas t Im(ω) k ω Re(ω) Rys. 1. Charakterystyka amltuowo fazowa ealnego regulatora PD (charakterystyka Nyqust a) a). L (ω) [B] + 2 B/ek 2 log k b). φ (ω) [ra] 1/ π/2 π/4 1/ Rys. 11. Charakterystyk logarytmczne ealnego regulatora PD (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy ). Iealny regulator roorcjonalno całkująco różnczkujący PID Sygnał wyjścowy z ealnego regulatora PID jest ostac: m t k e t e t t 1 e (8) t ransmtancja oeratorowa ealnego regulatora PID ma ostać: 1 G r s k 1 s (9) s
Welkość nastawająca m X (s) M (s) G r (s) = k (1+1/s +s ) k α tg α = k / Rys. 12. Charakterystyka skokowa ealnego regulatora PID Czas t Im(ω) k ω Re(ω) Rys. 13. Charakterystyka amltuowo fazowa ealnego regulatora PID (charakterystyka Nyqust a) a). L (ω) [B] 2 B/ek + 2 B/ek 2 log k b). φ (ω) [ra] 1/ 1/ π/2 π/2 1 1 / Rys. 14. Charakterystyk logarytmczne ealnego regulatora PID (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy W raktyce ne jest możlwe uzyskane różnczkowana w ełnym zakrese częstotlwośc. W zwązku z tym możlwe o zrealzowana regulatory mają nercję ogranczającą częstotlwoścowo efekt różnczkowana tym samym otrzymujemy: rzeczywsty regulator PD rzeczywsty regulator PID. e). Rzeczywsty regulator roorcjonalno różnczkujący PD Sygnał wyjścowy z rzeczywstego regulatora PD jest ostac: t mt k et e gze: stała czasowa nercyjnośc członu różnczkującego. (1)
Welkość nastawająca m ransmtancja oeratorowa rzeczywstego regulatora PD ma ostać: s G r s k 1 (11) s 1 X (s) G r (s) = k (1+s /(s+1)) M (s) k (1+ /) k Rys. 15. Charakterystyka skokowa rzeczywstego regulatora PD Czas t Im(ω) ω k k (1+ /) Re(ω) Rys. 16. Charakterystyka amltuowo fazowa rzeczywstego regulatora PD (charakterystyka Nyqust a) a). L (ω) [B] 2 log k (1+ /) 2 log k b). φ (ω) [ra] 1/( + ) 1/ 1 1/ Rys. 17. Charakterystyk logarytmczne rzeczywstego regulatora PD (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy f). Rzeczywsty regulator roorcjonalno całkująco różnczkujący PID Sygnał wyjścowy z rzeczywstego regulatora PID jest ostac: m t k e t e 1 t t e (12)
Welkość nastawająca m ransmtancja oeratorowa rzeczywstego regulatora PID ma ostać: 1 s G r s k 1 (13) s s 1 X (s) G r (s) = k (1+1/s +s /(s+1)) M (s) k (1+ /) k α tg α = k / Rys. 18. Charakterystyka skokowa rzeczywstego regulatora PID Czas t Im(ω) ω k k(1+ /) Re(ω) Rys. 19. Charakterystyka amltuowo fazowa rzeczywstego regulatora PID (charakterystyka Nyqust a) a). L (ω) [B] 2 log k (1+ /) 2 log k b). φ (ω) [ra] 1/ 1/ 1/τ π/2 π/2 1 / 1 2 Rys. 2. Charakterystyk logarytmczne rzeczywstego regulatora PID (charakterystyk Boe a): a). moułu, b). fazy W rzestawonych regulatorach, welkośc: czyl stałe welkośc ające sę nastawać. k, to tzw. nastawy regulatorów, Rozważając nastawy regulatorów musmy amętać, że mają one swoje zakresy nastaw, ogranczena nastaw zależność (nterakcję) nastaw.
Zakres nastaw rzezał zmennośc nastaw anym regulatorze. k,, który można ustawć w Ogranczena nastaw w rzyaku ewnych struktur regulatorów neozwolone jest nastawane owolnych wartośc nastaw, mmo że znajują sę one w zakrese, n. czasam ne można zrealzować nastaw, które ne sełnają nerównośc 4. Zależność (nterakcja) nastaw w rzyaku ewnych struktur regulatorów ne można wyorębnć elementów, które bęą nezależne wływały na nastawy k,. Ustawene jenej z welkośc wływa na ozostałe. 4. Dobór nastaw regulatorów W raktyce zachoz koneczność wyboru regulatora oraz jego nastaw, la anego obektu regulacj, zakłóceń wymagań ukłau regulacj. a). Perwsza metoa Zeglera Ncholsa Ogólne obekty regulacj mogą być ozelone na ukłay statyczne astatyczne. ransmtancję obektów statycznych można aroksymować transmtancją oeratorową ostac: K G s e s 1 s (14) natomast transmtancję obektów astatycznych można aroksymować transmtancją oeratorową ostac: ' K s K s G s e e (15) s s gze: K zastęczy wsółczynnk roorcjonalnośc obektu, zastęcza stała czasowa obektu, zastęcze oóźnene obektu. Parametry K, wyznacza sę na ostawe oowez obektu na wymuszene skokowe.
a). y(t) K*u b). y(t) K*u t α la K = 1 α = arctg K*u Rys. 21. Wyznaczene arametrów K, : a). obektu statycznego, b). obektu astatycznego Baana Zeglera Ncholsa okazały, że ooweź skokowa wększośc ukłaów sterowana ma kształt zblżony o tego z Rysunku 21. Można ją otrzymać z anych ekserymentalnych lub ynamcznej symulacj obektu. W erwszej metoze Zeglera - Ncholsa wyboru regulatora jego nastaw oera sę na kwaratowym wsółczynnku zankana równym w rzyblżenu,25 (Rysunek 22). Oznacza to, że omnująca skłaowa rzejścowa zanka o jenej czwartej swojej wartośc maksymalnej o jenym okrese oscylacj. t Rys. 22. Charakterystyka czasowa kwaratowego wsółczynnka zankana Zegler Nchols symulacyjne baal różne obekty regulacj strol arametry regulatorów, aż o uzyskana oowez rzejścowych zankających o 25% orzenej wartośc w jenym okrese. ym sosobem uzyskal on konkretne wartośc K nastaw w zależnośc o rozaju regulatora ( a ): Dla regulatora P: 1 k a. Dla regulatora PI: k,9 a, 3. Dla regulatora PID: k 1,2 a, 2,,5. Perwsza metoa Zeglera Ncholsa aje obre rezultaty, gy sełnony jest nastęujący warunek:
,15,6 (16) b). Druga metoa Zeglera Ncholsa Jest to najbarzej znana, ekserymentalna metoa wyboru regulatora jego nastaw. Sosób ostęowana jest nastęujący: Zakłaa sę, że any jest obekt regulacj, którego os matematyczny ne mus być znany. Do obektu regulacj ołącza sę regulator. Wyłącza sę całkujące różnczkujące załane regulatora (tzn. nastawa sę maksymalną wartość stałej czasowej całkowana mnmalną wartość stałej czasowej różnczkowana ) n. la jenostkowego wymuszena skokowego, stonowo zwększa sę wsółczynnk wzmocnena k regulatora, ochoząc o grancy stablnośc. W stane oscylacj netłumonych merzy sę ch okres osc ukła regulacj, merzy sę wartość wsółczynnka wzmocnena. Nastęne, otwerając k kr, rzy którym te oscylacje wystęują. Otrzymaną wartość k zel sę rzez 2 uzyskując tym samym k,5k. kr Wartość tę rzyjmuje sę jako ocelową. Przy określonym rozaju wymuszena okonuje sę rejestracj welkośc wyjścowej obektu w celu zastosowana rzyjętego wskaźnka jakośc. Gy rzebeg wyjścowy ne sełna stawanych wymagań, wówczas w celu jego orawy okonuje sę rzełączena regulatora z P na PI lub PID. W zależnośc o rozaju regulatora należy rzyjąć: Dla regulatora P: k,5k. osc Dla regulatora PI: k,45k kr,. 1,2 osc Dla regulatora PID: k,6k,,5,. 8 kr kr osc kr Druga metoa Zeglera Ncholsa oarta jest na wykorzystanu tylko wóch arametrów: osc k kr, charakteryzujących grancę stablnośc anego ukłau regulacj. Ne jest to zatem metoa barzo okłana, ale rosta zaewnająca stablną racę zamknętego ukłau regulacj. Zastosowane tej metoy wymaga orowazena ukłau regulacj o netłumonych oscylacj, ale ne ma otrzeby entyfkacj ynamk obektu regulacj. Metoa ta zaewna obre tłumene zakłóceń, ale aje mały zaas fazy uże rzeregulowane la skokowych zman wartośc zaanej. c). Inne metoy Wyberając regulator jego nastawy można to zrobć wykorzystując różne krytera jakośc, n.: % rzeregulowana, 2% rzeregulowana, mnmum całk kwaratu uchybu regulacj t.
Nastawy regulatorów la obektów statycznych osanych zależnoścą (14) la trzech kryterów zostały rzestawone w tabel 1. Nastawy regulatorów la obektów astatycznych osanych zależnoścą (15) la tych samych kryterów rzestawono w tabel 2. Rozaj regulatora K abela 1. Nastawy regulatorów la obektów statycznych ( a ) Przeregulowane=% Mnmum czasu reg. t r Przeregulowane=2% Mnmum czasu reg. t r K K K P,3/a,7/a PI,6/a,8 +,5,7/a +,3 1/a +,35 PID,95/a 2,4,4 1,2/a 2,,4 1,4/a 1,3,5 Rozaj regulatora Mn abela 2. Nastawy regulatorów la obektów astatycznych ( b ) Przeregulowane=% Mnmum czasu reg. t r Przeregulowane=2% Mnmum czasu reg. t r K K K P,37b,7b PI,46b 5,75,7b 3, 1b 4,3 PID,65b 5,,23 1,1b 2,,37 1,36b 1,6,5 Mn e e 2 2 t t t t Bblografa Mazurek, J., Vogt H., Żyanowcz W. (22). Postawy automatyk. Ofcyna Wyawncza Poltechnk Warszawskej.