Dowód JEDNEGO ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ODNOSZĄCEGO SIĘ DO HYPERGEOMETRYCZNYCH FUNKCYJ PRZEZ DRA M. A. BARANIECKIEGO Przedstawiono na posiedzeniu Towarzystwa, dnia 2 grudnia 1875 roku. Fiinkcye, które daj^i się przedstawić za pomocę, hypergeometrycznego szeregu (1) (w obszarze jego zbieżności), nazywać będziemy hypergeometrycznemi funkcyami i oznaczać symbolem F(a, 8, Y, x), użytym pierwotnie przez Gauss'a {Disguisitiones rjenerales circa seriem, etc.), dla oznaczenia szeregu (1). Gdy wiele funkcyj, tak algebraicznych, jak i transcendentalnych, daje się przedstawić za pomocy szeregu (1), a tem samem sa funkcyami typu F(a, p, y, x), przy rozmaitych wartościach argumentów, to badanie ogólnych własności funkcyj hypergeometrycznych, wprowadzając możność ogólnego traktowania różnorodnych funkcyj, przedstawia dostatecznie uzasadniony interes naukowy. Rezultaty, t^ drog^ osiągnięte, znajdują już częste zastosowania, choćby np. w badaniu własności funkcyj sferycznych, tyle ważnych w teoryi atrakcyi i ciepła. Jedng z najważniejszych kwest3'j w teoryi hypergeometrycznych funkcyj jest, bezwarunkowo, wyznaczenie, dla jakich wartości zmiennej x funkcya F(a, (i, y, x) może być uważana za skończonij, ciągło i jednowartościow. T-^ kwesty^i, tak postawion^i (*), zajmował się p. L. W. Thome i rozwiązał (*) IJ. Rieinann {Abhandlungen der K. Gesel. der Wissenschaften zu Gottingen, tom VII), inaczej stawia zadanie, liczbie warunków, któremi obstawia rozpatrywane przez się funkcye, znajduje się ten, że funkcya może mieć, jako punkta przerwy lub rozgałęzienia, punkla a, b, c (odpowiednią zamiany zmiennej niezależnej mogące być sprowadzonemi do punktów O, j, 00). Te funkcye, jak Hiemann znajduje, koniecznie zadosyć czynią różniczkowemu równaniu liniowemu drugiego rzędu, bez niezależnego wyrazu i z racyonalnemiwspólczynnikami [Beitrtigo zvr Theorie der durch die Gauss sche Reihe darstcłlbaren Tunctionen, 7).
2 PAMIĘTNIK TOWARZYSTWA NACK ŚCJSLYCN W PARYŻU. TOM VIII. ją w LKYIy^ tomie dziennika Crelle'a (*), przy pomocy równania różniczkowego któremu funkcya F(a,p, y, ar) zadosyć czyni. Przytoczymy cały ten ustop. «Rozprzestrzenienie tej funkcyi po za koło zbieżności szeregu potęgowego(l) wyznacza się z liniowego równania, któremu ten szereg zadosyć czyni, mianowicie z równania tu znajduje zastosowanie następujące twierdzenie o równaniacłi różniczkowych z racyonalnemi współczynnikami, które to twierdzenie zawdzięczam odczytom p. WEiERSTRASs'a. Gdy dane jest równanie różniczkowe liniowe ns^ rzędu z racyonalnemi w^spółczynnikami i gdy około pewnego punktu zakreślimy koło, w obszarze którego te współczynniki pozostają ciągłemi, to danemu równaniu różniczkowemu zadosyć czyni jedna i tylko jedna funkcya, będąca jednowartościową i ciągłą funkcyą zmiennej i przybierająca, wraz ze swemi n 1 pierwszemi pochodnemi, oznaczone wartości w tym punkcie ((Na mocy tego twierdzenia, funkcya hypergeometrycznego szeregu może być po za wszystkie punkta koła zbieżności tego szeregu, prócz punktu a? = 1, rozprzestrzenioną, jako funkcya ciągła* jednowartościowa i taką pozostaje, dopóki zmienna nie przekracza pewnój, samej siebie nie przecinającej linii, poprowadzonej z punktu x=-\-i do nieskończoności. «Jeśli zaś funkcya rozprzestrzeniona będzie i po za tę linię, to, w ogólności, ustaje jej jesdnowartościowość, jak to wskazuje formuła p. Kummer'a (tom XV tego dziennika), którą F(a, p, y, x) wyraża się przez całki szczególne równania różniczkowego, zależące od (1 x) gdzie n albowiem ta formuła służy, dopóki (y a ji) nie jest liczbą całkowitą, a gdy przytem ani a ani (i nie są równe zeru lub odjemnej liczbie całkowitej, to B nie znika i punkt 1, jest punktem rozgałęzienia funkcyi.» Dotąd Thomó. Przywiedzione przezeii twierdzenie Weierstrass'a dowiedzione zostało w tymże LXYIym tomie Grelle'a przez p. Fuchs'a (***). Dowód ten jednak wymaga zupełnie odrębnego traktowania, mogącego być niedogodnem przy wykładzie teoryi hypergeometrycznych funkcyj, który należy (*) Uehei' die Ketteribruchenticickelmig der Gauss'sche^i Function F (a, 1, y, x), str. 322, 323. (* ) Zachowano, przez pp. Kummcr'a i Thome'go Gauss'owe oznaczenie jest z Legendre'owski^m w takim zwigzkii: (*") Zur Theorie der linearen Differenzialgleichungen mit teriiuderlichcn Coeffidenłen. Str. 122-125.
FUNKCYE HYPERGEOMETRYCZNE.. 3 uczynić jak najelementarniejszym,'aby z tę teoryą uczący się mogli wcześnie się zaznajamiać. Prócz tej jednak niedogodności, przytoczona metoda dowodzenia p. Tliomó wymaga wyprowadzenia ad hoc formuły Kummer'a. By obecnie ją wywieść, nie można się już uciekać do zbyt wyłącznego i długiego sposobu Kummer'a, i wypadnie, dla wyprowadzenia jój korzystać ze wskazówek Jacobi'ego, zawartych w jego pośmiertnej pracy Ueber die Differenzialgleichiing der- hypergeometrichen Reihe (*), a i w tym razie wywód ten będzie wymagał poszukiwań, nie będących w bezpośrednim związku z naszem głównem założeniem. Sposób dowodzenia Thomó'go wymaga, aby przytoczona formuła Kummer'a była przygodną, co obejmuje warunek, aby ani II(Y A P 1), ani n(a + P y 1) nie miały wartości nieskoiiczenie wielkich, co mianowicie zajdzie, ilekroć a -ł- p y będzie zerem lub liczbą całkowitą. A ten właśnie przypadek dość często miejsce mieć może, np. przy m zdążającćm do nieskończoności. Etc. Prowadząc sposobem p. Thomó'go dowód tej zasadniczćj własności funkcyi F(a, [i, y, x), musielibyśmy zupełnie oddzielnie wyprowadzać ciekawe związki między rozmaitemi hypergeometrycznemi funk- yami, gdy tymczasem, przy dowodzeniu, jakie tu będzie przeprowadzone, można nieznacznie przygotować wszystko to, co dla ustalenia tych związków będzie potrzebnem (**). Metoda, jaką podać zamierzamy, da się w następujący sposób streścić. Zbadać dla jakich wartości zmiennćj x całka ogólna równania (2) pozostaje skończoną, ciągłą i jednowartościową. Następnie, korzystając z niektórych związków, przy tóm badaniu otrzymanych, wykazać, jakie są warości zmiennćj dla których całka ogólna równania (2) może nie być skończoną, ciągłą i jednowartościową, a jego całka szczególna F(a, p, y, x) pozostaje już zawsze skończoną, ciągłą i jednowartościową. W ten sposób, wyłączywszy te ostatnie wartości z wartości, dla których całka ogólna może doznawać przerwy lub rozgałęzienia, rozwiążemy w zupełności nasze zadanie. C) LVI-ty tom dziennika Crellea, a także w trzecim tomie Jacobi mathemathische Werke. (**) Porów. tnoj rozprawę «O hipergeometryczeskich funkcjach». Moskwa 1873. (Rozilzial I i II.)
4 PAMIĘINIK TOWARZYSTWA NAUK ŚCISŁYCH W PARYŻU. TOM VI1T. ]>otrzeba zatóm zaj^ić się naprzód całkowaniem równania (2). Gdy całkowanie to, za pomocni różniczkowania przy dowolnym skaźniku, czego pierwsze zasady podał p. Liouville w XXI caliier dziennika Szkoły Politechnicznej (*), a które w zupełności można uskutecznić dopiero według wskazań, podanych przez p. Holmgren w memoarze, przedstawionym (1865 r.) Sztokholmskiej Akademii nauk (**), wymaga jeszcze należytego opracowania i uproszczenia tdj metody, to pozostaje, dla uskutecznienia tego całkowania, postępować mniej więcej it^ sama drogą, jakiój się trzymał Jacobi w wyżej wzmiankowanej pracy, która cała, z wyjątkiem 4, o i 8, jest poświęcona całkowaniu równania (2). W pierwszym rozdziale wskażemy, jak Jacobi, w różnych przypadkach, przedstawia całkę ogólną równania (2). W drugim rozdziale zajmiemy się wyznaczeniem, dla jakich wartości zmiennej niezależnej, każda z całek, służących, w różnych przypadkach, na wyrażenie całki ogólnej równania (2), pozostaje zawsze skończoną, ciągłą i jednowartościową. W trzecim zaś rozdziale rozpatrzymy, kiedy taką bywa hypergeometryczna funkcya F(a, 6, ). ROZDZIAŁ I 1. Całkując równanie (2) przez szeregi, jako całkę szczególną otrzymujemy szereg (1), który może być zsummówimy i przedstawiony całką (***) tak, że całka ( 5) jes-t całką szczególną równania (2), o czóm i wprost możemy się przekonać (jak to właśnie Jakobi robi) wstawiwszy ją w równanie (2), wraz z jej pierwszą i drugą pochodnemi względem x. Aby całka (4) miała znaczenie, potrzeba, aby pi y [i były dodatne, a jeśli są to ilości kompleksne, to aby ich rzc- (*) Memoire sur TinUgration de Tiąmtion a raicie de differentielles d 1'indkes quekonques. Całkowania jednak równania (2) według metody Liouville'a jest nieilluzyjnem tylko wtedy, kiedy argumenta a i % pierwiastki równania s^ liczbami calkowitemi. Om differentialkalkylen rned indiccs af livad natur som helst al' 11. J. Holmgren. C") Porównaj 1 rozprawy «Rozwinięcie na ułamek cingły stosunku»etc. («Pamiętnik», tom YIO. Tam także jest wyjaśniono, dlaczego argument ynie ma znaczenia zera, lub liczby całkowitej odjemnej.
FUMKCYE HYPERGEOMETRYCZNT;. 5 czywistc części były dodatne. Przy lem zastrzeżeniu, mamy następujące wyrażenie Iiypergeomelrycznej funkcyi : (o) Tak z wyrażenia (I), jak i z wyrażenia (3) dla hypergeometrycznej funkcyi F(a, [i, y, x) wypada że Dlatego też hypergeometryczną funkcyę F(a, B, y, x) możemy jeszcze określić, jako funkcyę zadosyć czyniącą równaniu (2) i dla x = i przybierającą wartość 1, zaś jej pierwsza pochodna, wartość 2. Jeśli w całce (4) uskutecznimy kolejno podstawienia to granice jej pozostaną niezmienione i otrzymamy kolejno (0) W tych całkach -podintegralne funkcyę są utworzone przez pewne potęgi czynników, zupełnie analogicznych z czynnikami podintegralnej funkcyi całki (4). Gałki te zatem, po pomnożeniu ich przez tenże sam czynnik mogą być, według wzoru (5) tak przedstawione Że zaś całki (6), po pomnożeniu ich przez stałę (7), są tylko przekształceniem całki (3), przedstawiającej hypergeometryczną funkcyę F(a, p, y, to otrzymaliśmy następujące trzy przekształcenia
(i PAWięTNlK TOWAKZYSIWA NAUK ŚCISLYCU W PARYŻU. TOM VIII. Euler'a : (8) (9) (10) \ / z których ostatnie może hyć z poprzedzającego wyprowadzone na zasadzie symetryczności tak równania (2), jak i szeregu (1) względem argumentów a i p, tak, iż oczywiście (11) Dlatego, jeżeli rzeczywiste części liczb p i y p nie są dodatne, lecz dodatne są rzeczywiste części liczb a iy a, to możemy w prawej stronie równości (o) wszędzie zamiast a stawić p, i wzajemnie, 3. Próbując, czy całka (12) nie czyni zadosyć równaniu (2) przy innych granicach, niż ^poprzednieo i 1, Jacobi znajduje, że granicami całki (12) mogą być tu jeszcze wartości z których pierwsza jest uwarunkowana tóm, żeby rzeczywista część liczby a h- 1 y była dodalna, gdy druga wymaga, aby dodatną była rzeczywista część liczby 1 a. W ogóle zatćm, całka ozna czona (12) zadosyć czyni równaniu (2), jeśli jako granice, brać będziemy) (13) przy warunku, żeby rzeczywiste części, odpowiadających tym granicom, liczb (14) były dodatne. 4. Wartości (13) możemy w taki sposób nadawać granicom C)Nova acta academics impeńalis petropolitancb (tomus XII. Specimen transformationis singularii serieruiii, ipag. 62) (**) Porównaj Kummer'a w XV-tym tomie dziennika CreUe'&, str. 35 i 5i.
FUNKCYE HYFERGEOMETKYCZNE. 7 całek (15) żeby liczby a^ i b^ były albo obie większe, albo obie mniejsze, niż liczby o, i b^, W ten sposób otrzymamy trzy następujące układy granic : działu, objętego liczbami O i 1, to układ granic I odpowiada przypadkowi, gdy szukamy całek dla wartości x < +1 i wtedy, w drugiśj całce, należy wziąć + oc lub co stosownie do tego, czy wartość o? jest dodatną, czy też odjemną. Podobnie, układ granic III odnosi się do wartości a; > + 1 i X <0. Układ zaś granic II odnosi się do x > O, tak większych jak i mniejszych od jedności. Wskutek tego, jeśli w całce Z tego skematu widoczna, że, gdy w układzie I wielkość - ma się znajdować zewnątrz przejc (16) t. j, w jednej z całek (15), traektorya całkowania jest linia prosta flx. b^, to nie ma na tćj linii punktów i b^, granic drugiej całki (15), któreby mogły być punktami przerwy lub rozgałęzienia całki (16). Ponieważ na płasczyznie współrzędnych zmiennej x, kompleksne wartości zmiennćj x znajdują się zewnątrz prostej łączącśj dwie którekolwiek z granic O, 1 i± oo, to te całki oznaczone, przy pomocy których przedstawimy całkę ogólną dla wartości x, leżących zewnątrz osi odciętych, mogą tracić znaczenie, jeśli je zechcemy odnieść do wartości x, odpowiadających punktom osi odciętych. Lecz całki, mające znaczenie dla rzeczywistych wartości zmiennej a.', nie tracą gc dlajej kompleksnych wartości. Dlatego potrzeba we wszystkich przypadkach, jakie przedstawiać mogą argumenty a, p i y, wyprowadzić dwie całki oznaczone, odnoszące się do rzeczywistych wartości zmiennej x. Prócz tego, gdy całki, odnoszące się do odjemnych Nvartości x, mogą być przedstawiane całkami układu I i III, t. j. całkami odnoszącemi się odpowiednio także i do wartości x < \ i -ł- J? > 1, zaś całki układu II nie mają znaczenia dhi wartości x < O, to utworzywszy dwie całki, odnoszące się do a:<-f-l, i dwie doa^>-f-l, możemy, za pomocą dwóch z tych całek, nienależących do całek układu granic II, przedstawić całkę ogólną dla wartości x < 0. Widzimy więc, że należy tylko wj-- znaczyć całkę ogólną dla dodatnych rzeczywistych wartości.r, z tem jednak, żeby w liczbie czterech całek (z których dwiema wyraża się całka ogólna dla x < -ł-1, a dwiema dla x > -ł-1) znajdowały ię, dwie nie tracąc znaczenia dla odjemnych wartości zmiennej x.
8 PAMięTNlK TOWAUzySTWA NAUK ŚCISŁYCH W RAUYŻU. TOM VIII. Te sześć całek typu (16) są : V P 11" IP III'' IIP każda z nicli traci znaczenie, jeżeli nie są wypełnione warunki wymagane przez jej granice. Zamianą zmiennćj niezależnśj sprowadza Jacobi te całki do takich, w których granicami są O i 1. a mianowicie "" (17) (18) (lo? (20) (21) 5. Gałki te mają znaczenie, lub też je tracą, stosownie do tego, czy odpowiednie każdej całce dwie z liczb (14) mają rzeczywiste części dodatne, lub nie. Oznaczymy rzeczywiste części liczb u, [i i Y przez i y^. Jeśli argumenta a, p i y zadosyć czynią warunkom, niezbędnym dlatego, aby dwie całki (lo), które nazwiemy A i B, miały znaczenie, to dla tych wartości zmiennej dla których one pozostają skoiiczonemi, ciągłemi i jednowartościowemi, całka ogólna równania (2) będzie (22) gdzie Gj i G^ są stałe całkowania.
FUNKCYE HYPERF.TOMKTRYRZNE. G Ponieważ lewa strona równania (2) jest symetryczna względem argumentów a i [i, to możemy ten z nich, którego rzeczywista cześć jest większą, nazwać p, tak, że w tym i następującym przyjmujemy Mg nie większe od Sf,. W ten sposób Jacobi liczbę wszystkich możliwych tu-przypadków zredukował do dziewięciu. Z pierwszych dwóch nierówności wypada, że są wypełnione w tym przypadku warunki dla granic O l. Warunkom zaś dla pozostałych granic, t. j. (23) zadosyć się tu stanie tylko dla wartości 1 < «o< -+-1, a zatem O < fi^ < y^ < 1 h- ao< 2. Z tego wypa<la, że w'arunki (23) nie są wypełnione dla wszystkich, w naszym i)rzypadku możliwych, wartości argumentów a, p, i y; skutkiem tego, możemy tu całkę (1(3) wziąć tylko między granicami 0 i 1, tak, że z sześciu całek (Ki) możemy tu wziąć tylko całkę 1", która, jakeśmy widzieli ( 4), nie odnosi się do wartości x {. tutaj, oprócz warunków dla granic O i I, wypełniony jest jeszcze warunek dla granicy - to jest 1 a^ > O, dla wszystkich, w tym przypadku możliwych, wartości argumentów a, p i y. Zadosyć uczynienie czwartemu warunkowi Avymagałoby znowu ograniczenia wartości tych argumentów : O > a, > 1, a skutkiem tego j ^^ < % < To < i + «o Nadając więc całce (16) granice O, 1, możemy przy pomocy całek l'' i 11^ wyrazić całkę ogólną, odnoszącą się do wartości x < 1, zaś przy pomocy całek II'' i III wyrazić całkę ogólną odnoszącą się do wartości x > 1. JL jeżeli w tym przypadku',zamiast wyznaczenia granic dla całki (16), będziemy je wyznaczać dla całki to trzecia, czwarta i druga z nierówności założenia wskazują, że są wypełnione warunki dla granic O, 1 i ± 00 tój całki. Pierwsza zaś nierówność założenia nie dozwala, dla wszystkich, w tym przypadku możliwych, wartości argumentów «, p i y wziąć, jako jednę z granic ilości i Widzimy Jb więc, że, dla utworzenia całki ogólnej należy z sześciu całek typu (16) wziąć dla JC < 1 całki I\) i zaś dla a.' > 1 całki 11%) i IIP(,); gdzie wskazówka (a) oznacza, że w całkach (16) argumenty a i p są między sobą przemieszczone. Prowadząc podobne rozumowanie i w pozostałych [sześciu przypadkach, dochodzimy do rczul
10 PAMIĘTNIK TOWARZYSTWA NAUK ŚCISŁYCH W PARYŻU, TOM VIII. tatów, które dla wszystkich dziewięciu, możemy w ten sposób zestawić 6. Zt d widzimy, że w przypadku 1, 4, 5, 7 i 9 albo ani jedna z sześciu całek typu (16) nie zatrzymuje znaczenia dla niektórych wartości zmiennćj albo t<^ż pozostaje niedosyć całek, aby można było przez nie wyrazić całkę ogólną postaci (22) równania różniczkowego (2) dla wszystkich wartości zmiennśj x. Dla tych przypadków, za pomocą pewnćj ogólnśj metody (*), Jacobi wyprowadził następujące całki zastępujące ten niedostatek.^ W przypadku li'"", dla wartości x <i (24) \ x gdzie n jest liczbą całkowitą, dostatecznie wielką, aby 1 (yo «o w) > O; dla wartości zaś.r > ł odirowiedniemi całkami będą (25) (26) W przypadku dla wartości x <i (27) zaś dla a- > 1 (28) (') Ti) metoda wyłożona w 2 i ł9 memoaru JacoWego.
KUNKCYE HYPERGEOMETRYCZNE. 1 W przypadku dla wartości x < i. (29) (30) zaś dla wartości x> niedostającą całkę możemy przedstawić całką (29), biorąc w niej tylko, jako górną granicę, H-oo i zacłiowując tenże sam warunek dla całkowitej n. W przypadku TY'", dla wartości x<i, (31) zaś dla wartościx> i (32) Nakoniec, w przypadku dla wartości ^ < 1 (33) zaś dla wartości x'> i (34) (35) ROZDZIAŁ II 7. Zajmijmy sie teraz wyznaczeniem, dla jakich wartości zmiennej x każda z całek, któremi może być, przy rozmaitych argumentach «, p i y, przedstawiona całka ogólna równania pozostaje już zawsze funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową zmiennój x.
PAMIĘINIK TOWARZYSTWA NAUK ŚCISŁYCH W PARYŻU. TOM V]I1. Całka (4) P jest summą funkcyj zmiennśj z którycli każda jest już zawsze skończona, ciągła i jednowartościowa dla wszystkich punktów płasczyzny zmiennćj za wyłączeniem linii łączącej punkta - i oc, które to punkta, przy niektórych wartościach wykładnika a, mogą być punktami rozgałęzienia, albo też punktami przerwy tych funkcyj. Że zaś całkowanie odbywa się między granicami O i 1, to i przyjmuje wartości od 1 do oo, tak że pewna linia, siebie samćj nie przecinająca, a łącząca punkt 1 z oc, będzie geometryczneni miejscem wszystkich możliwych punktów rozgałęzienia lub przerwy wszystkich elementów naszej całki, jeżeli tylko te elementy uważamy jako funkcye zmiennćj ar. Całka zatem nasza je«t już zawsze funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich punktów płasczyzny zmiennej ar, nie leżących na pewnej, samej siebie nie przecinającej linii, poprowadzonej z punktu -+- i do oc. Jeżeli zaś całkowanie uskutecznimy po prostej 0.. 1, to ta linia jest prostą -i- 1...-f- co. 8. Co się tyczy całki (17) P to do całki możemy odnieść to wszystko, cośmy o całce w poprzedzającym rozbieranej powiedzieli, z tem tylko; że wykładnikowi a tamtój całki odpowiada tu wykładnik y S i. Że zaś, przy niektórych wartościach argumentu y, czynnik całki może mieć punkt a-= O punktem przerwy lub l Ozgałęzienia, to, połączywszy punkt ar = 0 z oc pewną linią, nieprzecinającą tak samćj siebie, jak i linii łączącćj punkt H- 1 z oo, widzieliśmy wszystkie te punkta płasczyzny zmiennej x, dla których całka P może doznawać przerwy lub rozgałęzienia. Tak, że, w ogóle, całka IMestjuż.zawsze funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny zmiennćj ar, prócz punktów dwóch linij, łączących każdy z punktów O i -ł- 1 zoc i nieprzecinających tak każda samćj siebie, jak i jedna drugiej. Jeżeli całkowanie odbywa się według prostej 0...-4-1 i jeżeli punkt ar = O połączymy linią prostą z-f- oo, to wtedy całka jest funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny zmiennśj a>, prócz punktów prostej O...-f- cc. Możemy także punkt O połączyć prostą z _ oc i wtedy prosta 0...-t- oc będzie zastąpiona dwiema prostemi oc...0 i -t- ]... -ł-.^9. W całce (18) II'
FUNKCYĘ HYPERGEOMETRYCZNE. 13 stać się może zerem dla wartości skutkiem tego, ciągowi wartości dla M od O do 1 odpowiada ciąg wartości dla x od O do oo i całka II", jest funkcya skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny prócz punktów samśj siebie przecinającej linii poprowadzonój z punktu O do 8, a jeżeli całkowanie odbywa się po prostej 0...-ł- l to tą linią jest prosta 0... oc. Całka (19) II" może mieć prócz tego jeszcze punkt krytyczny a: = 1, tak, że całka IP pozostaje skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny zmiennej prócz punktów, dwóch lak samych siebie jak i jedna drugiej nieprzecinających, linij, poprowadzonych z punktów O i 1 do oo. Jeśli całkujemy po prostej 0.. J i jeżeli punki x 1 połączymy linią prostą z -+- x to wtedy całka II'' jest skończona, ciągła i jednowartościowa we wszystkich punktach płasczyzny zmiennej a, prócz punktów dwóch prostych oo...0 i + 1.,. -f- oc. Jeśliśmy zaś punkt x 1 połączyli prostą z ao to te dwie linie zastąpi prosta oc,.. -t- 1. 10. Podobnem rozumowaniem odnajdziemy, że całka (20) III" pozostaje skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny zmiennej x, nie leżących na dwóch liniach, nieprzecinających tak samych siebie, jak i jedna drugiej, poprowadzonych jedna z punktu O do punktu 1, a druga z punktu O do x. Jeśli całkujemy po prostej i punkt x=() połączymy prostą z H- oo, to te dwie linie zastąpi prosta 0...H- x ; jeśli zaś punkt : x = 0 połączymy prostą z oc, to odpowiednią linią będzie prosta oc.,.4- ł. Co się zaś tyczy całki (2!) III'' to zauważmy, że po wniesieniu czynnika'ar"" pod znak całkowania, całka ta da się zastąpić całką która pozostaje skończoną, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich wartości zmiennej x, nie odpowiadających na jej płasczyznie punktowi pewmej, samej siebie nie przecinającej, linii, łączącćj punkta O i 1. Jeśli całkowanie odbywa się po prostej, to tą linią jest prosta 0... -f 1. 11. W podobny sposób możemy roztrząsać całki 6, uprzednio jednak trzeba odpowiednią zamianą zmiennej niezależnej wyrazić każdę z ow7ch całek za pomocą całki ze stałemi granicami. Tak całka (24) podstawieniem
u PAMIĘTNIK TOWANZYSTWA NAUK ŚCISŁYCH W PARYŻU. TOM V1]I. może być zastąpiona przez całkę która jest funkcyą zmiennej x skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkicli punktacłi płasczyzny nie odpowiadającycłi punktom pewnej, samej siebie nic przecinającej, linii, poprowadzonej z punktu O do nieskończoności, które to punkta mogą niekiedy być punktami przerwy lub rozgałęzienia naszśj całki. Jeśli całkowanie odbywa się po prostćj, to owa linia jest prostą cc...0 Całki (25) i (26) podstawieniem dadzą się zastąpić przez całki które pozostają skończone dla wszystkicli wartości zmiennśj x, prócz odpowiadających punktom dwóch, samych siebie i jedna drugiśj nieprzecinających linij, jednój, łączącej punkta O i 1, a drugiej, poprowadzonej z punktu 1 do nieskończoności. Gdy będziemy całkować po prostej, to pierwsza z tych linij zamieni się na prostę 0... 1, a gdy całki te mają się ( 6) odnosić do wartości ^ > d, to jeśli wystawimy sobie punkt -f- 1 połączony linią prostą z oc, to wtedy całki te pozostają skończonemi, ciągłemi i jednowartościowemi we wszystkich punktach płasczyzny prócz punktów prostej 00.. 1. Całka (27) w skutek podstawienia zamienia się na całkę która zostaje skończoną, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich wartości ic, prócz punktów linij, łączących punkta + 1 i O z nieskończonością. Gdy ta całka ma się odnosić do a; < H- 1, to, całkując po prostój i łącząc prostą punkt z oo, poprzednie linie zastępujemy dwiema prostemi oo...oi-f-l...-ł-oo. Aby nie powtarzać więcćj tych samych wyrażeń, co do dalszych całek przez skrócenie wymienimy tylko przy każdej podstawienie, całkę w którą przez to podstawienie ona przechodzi, linie, które należy wyłączyć z płasczyzny zmiennej, a także te linie, w jakie poprzednie przechodzą, w razie całkowania po prostej i łączenia pozostałych punktów krytycznych liniami prostemi z oc. Całka (28); linie, łączące O z 1 i O z oo; prosta oo... -t- 1.
Ki >Kfv;> i;yi 1 r.r,r(;mkii!vf:zni'. ' Całka (29) (*); (36) inie, łączące punkla O i IJz oo proste x...oi -4-l...-+-oc. Całka (30); linia, łącząca punkt I z oc ; prosta -f-1,., + oo. Całka (31); linia, łącząca punkt -ł- 1 z oc ; prosta h- 1.,.-+- oo. Całka (32); linie, łączące punkta O i -f-1 oraz -f-1 z oo; prosta oo...-+-1. Całka (33); linie, łącząco O i -f-1 z x ; proste oo...0i -f-l...-foc. (*) Całka (29), gdy za górną granicę weźmiemy + oc, odpowiada wartościom o; > 1 w 5-tym przypadku Wtedy ta całka, temże samćm podstawieniem gdyż tu mianownik jest już dodatny, gdy poprzednio byl odjemny) przechodzi w całkę (36). Odpowiednie linie są : linie, łączące punkta O i 1 z oo ; prosta oc.., 4-1.
łfi R/M:ĘRMK TOWAUZYSTWA NAUK ŚLI??.YCH W PARYŻU. TOM vnt. Całki (3'0 i (35); linie, łączące punkta O i -ł- I z oc ; prosta oc... -f- 1. ROZDZIAł-. III 12. Z badań poprzedzającego rozdziału widzimy, że każda z dwóch całek szczególnych, za pomocą których może być przedstawiona całka ogólna równania (2) przy wszelkich wartościach argumentów a, p i T pozostaje zawsze funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową we wszystkich punktach płasczyzny zmiennćj x, prócz jednej, albo też dwóch z pomiędzy następujących trzech linij, nieprzecinających (każda) tak samych siebie, jak i jedna drugiej; jednćj, łączącej punkt O z punktem -f- 1, drugiej, łączącej punkt Oz x, i trzeciej, łączącej punkt -f 1 z 30. Tak że, w ogóle, trzema krytycznemi (osobliwemi) punktami są punkta O, + 1, x. Jeżeli całkowanie odbywa się po prostej, to te trzy linie mogą być następującemi prostemi: J) 0. 2 ) 3; OC...0. 13. Gdy hypergeometryczna funkcyą, według określenia, może być przedstawiona za pomocą szeregu (i), dopókąd on nie przestaje być zbieżnym, t. j. a ten szereg jest zbieżnym dla wartości x, mających moduł mniejszy od jedności, to funkcyą F (a, p, y, x) jest dla tych wartości, a tem samem w punkcie x = 0 i około niego, funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową. Ponieważ tedy punkt x = O nie jest krytycznym punktem funkcyi F (a,ri,y,x'), to ta funkcyą nie może doznawać przerwy hib rozgałęzienia w punktach tych z powyżej wzmiankowanych linij, któro łączą punkt x=0 z innemi krytycznemi punktami jakiejkolwiek całki równania (2). Dlatego, z powyższych trzech linij należy wyłączyć od punktu = 0 do punktu x=-\- \, jak również linię, idącą od punktu a?=odo nieskończoności (ta linia nie przechodzi przez j)unkt = Tym sposobem pozostaje tylko linia, łącząca punkt x = -ą- i z nieskończonością. Gdy owe linie są w poprzednim paragrafie wyliczonemi prostemi, to wypada wyłączyć 00... O i O... + I, tak że pozostaje tylko prosta -f- I... + cc. proste
FUNKCYE HYPERGEOUliTRYCZNE. 17 Widzimy zatem, że hypergeometryczna funkcya F(a, p, y, x)(*) pozostaje zawsze skończony, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich wartości zmiennej nie odpowiadających na płasczyznie x u punktom pewnej, samój siebie nieprzecinającój linii, poprowadzonej z punktu x=-h 1 do x, którą można zastąpić prostą + 1... -ł- oo. 14. Że punkt -+-1 może być istotnie punktem krytycznym funkcyi F(a, p, y, x), objaśnią najlepiej przykłady. Tak jakoż, dlaa? = H-l, funkcya F(l, l,2,x) niema wartości skończonój. Jak tylko na płasczyznie zmiennój x z punktu = 1 poprowadzimy samej siebie nie przecinającą linię do nieskończoności, od pewnej wartości naszśj funkcyi, odpowiadającej jakiemukolwiek, na tćj linii nie leżącemu, punktowi płasczyzny do innej wartości podobnej, będziemy mogli (nieprzekroczywszy owej linii) dojść, nie doznając przerwy albo rozgałęzienia. Podobnie funkcya mieć będzie linię punktów przerwy lub rozgałęzienia, wychodzącą z punktu = 1 do = czyli dwie linie (nie przecinające tak samych siebie, jak i jedna drugiej) : jednę, łączącą punkta x= Ą- i i x=zę), drugą zaś łączącą punkta.r = 1 z x = Q. Tak, że, jeżeli całkowanie odbywa się po prostej, to te linie zamieniają się na prostę 1...-ł- 1. Weźmy jeszcze taki przykład. Przy nieskończenie wzrastającćm k, jest ta funkcya (**) ma doznawać przerwy na linii od ^ = -l-1 do nieskończoności, czyli od x=k do nieskończoności. Lecz, gdy /c jest nieskończenie wielkie, to nasza funkcya e^ jest skończoną, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich skończonych wartości x. 15. Można jeszcze w taki sposób bezpośrednio dowieść, że hypergeometryczna lunkcya F(x, fi, y,a) pozostaje zawsze skończoną, ciągłą i jednowartościową dla rzeczywistych odjemnych wartości zmiennej X. Wyprowadzone w 2' przekształcenia Euler'a (8) i (9) otrzymane były z porównania całek, które mają znaczenie tylko przy niektórych wartościach argumentów a, p i y. Łatwo sprawdzić przygodność tych formuł i wtedy, kiedy owym warunkom dla całek nie staje się zadosyć. (*) Ta funkcya może być niekiedy racyonalną funkcyj zmiennój x i wtedy jest skończoną, ciągłą i jednowartościową dla wszystkich skończonych wartości x, Np. przy n całkowitem i odjemnóm (**) Równanie różniczkowe (-i), któremu ta hypergeometryczna funkcya zadosyć czyni, jest
18 PAMięiNlK TOWARZYSTWA NAUK ŚG1SL\CH W PARYŻU. TOM YlIT. Funkcya y = F («, [i, y, a-), mogącą być przedstawioną dla wartości zmiennej mniejszy od \, za pomocą szeregu mających moduł («) zadosyć czyni równaniu Przyjmijmy (O wtedy równanie {b) przejdzie w następujące: {d) Czyniąc w tem równaniu i dzieląc, następnie, jego wyrazy przez (1 s)"', otrzymujemy Ażeby wszystkie współczynniki w tem równaniu były podzielne przez (1 s), t. j. żeby ono mogło być sprowadzonem do takiego równania, jak równanie (6), należy liczbie m dać taką wartość, aby współczynnik przy - był wielokrotnością ilości i s. To będzie mieć miejsce, gdy liczbie m damy jedno z dwóch wartości Dla pierwszej z tych wartości, równanie (/>) przejdzie w i-ównanie zkąd widoczna, że temu równaniu zadosyć czyni hypergeometryczną funkcya mogąca być dla wartości s, mających moduł mniejszy od 1, przedstawioną zbieżnym szeregiem czyli szeregiem (/ ) Zat^m, na zasadzie związków [c] i {d), otrzymujemy t. j. formułę (8). Formułę zaś (9) otrzymamy w podobny sposób, przy m = p.
FUNKCYK HYPERGEOMETRIXZ."<E, 19 Gdy fankcya (17) Zadosyć czyni równaniu różniczkowemu (b) i gdy lo funkcya (g), dópóki szereg jest zbieżnym, przedstawia hypergeometryczną funkcyę F (ot, y, x), według jej określenia, danego w A ponieważ szereg 2, t. j. szereg (f) jest zbieżnym dla wartości l < 5 < 1; zaś ciągowi wartości s od l do + 1 odpowiada na mocy związku (c), ciąg wartości ar od do 00, to łiypergeometryczna funkcya F (a, [i, y, x) jest funkcyą skończoną, ciągłą i jednowartościową dla w^szystkich odjemnych wartości zmiennej x.