Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Podstawy inżynierii sterowania Ćwiczenia laboratoryjne Laboratorium 3: Regulacja ciągła dr inż. Dominika Gołuńska dr inż. Szymon Łukasik

1. Regulatory ciągłe liniowe. Zadaniem regulatora w układzie regulacji automatycznej jest wytworzenie sygnału sterującego u(t), który oddziałuje na przebieg procesu. Sygnał u(t) jest sygnałem wyjściowym regulatora, natomiast sygnałem wejściowym regulatora w układzie regulacji jest sygnał uchybu regulacji ε(t). Sposób przetworzenia uchybu na sygnał sterujący nazywa się prawem regulacji. Regulatorami ciągłymi (o działaniu ciągłym lub analogowymi) nazywamy regulatory, w których sygnał wyjściowy zależy w sposób ciągły od sygnału wejściowego. Regulatory liniowe są opisywane równaniami różniczkowymi liniowymi. Wśród regulatorów ciągłych linowych wyróżnia się następujące typy: P, I, PI, PD i PID. 1.1. Regulator proporcjonalny P Realizuje on prawo regulacji (1.1) Jego transmitancja dana jest wzorem (1.2) u(t) = kε(t) (1.1) G R (s) = k (1.2) Poniżej przedstawiono odpowiedź skokową regulatora dla k=1,4. 2

1.2. Regulator całkujący I Prawo regulacji regulatora opisuje równanie (1.3) a transmitancję wzór (1.4). Jego odpowiedź skokową dla Ti =1,7 przedstawiono na rysunku poniżej. u(t) = 1 T i ε(t) dt (1.3) G R (s) = 1 T i s (1.4) 1.3. Regulator proporcjonalno-całkujący (PI) Prawo regulacji regulatora i jego transmitancja podane są wzorami (1.5) i (1.6). u(t) = k (ε(t) + 1 T i ε(t) dt) (1.5) G R (s) = k (1 + 1 T i s ) (1.6) Parametr T i nosi nazwę czasu zdwojenia lub czasu izodromu. Jest to czas, po którym wartość odpowiedzi regulatora na wymuszenie skokowe podwoi się w stosunku do wartości w chwili początkowej (0+), czyli czas, po którym wartość odpowiedzi części całkującej i proporcjonalnej zrównają się. 3

Na rysunku poniżej przedstawiono charakterystykę skokową regulatora dla k = 1,4 i Ti = 1,7. 1.4. Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD) Transmitancja tego regulatora (w wariancie rzeczywistym) zdefiniowana jest wzorem: G R (s) = k (1 + T ds Ts+1 ) (1.8) 4

Im mniejsze T tym bardziej działanie regulatora zbliża się do działania regulatora idealnego. Rysunek poniżej ilustruje odpowiedź skokową takiego regulatora dla k=1,4, T d =1,1 i T=0,7. 1.5. Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PD) Transmitancja tego regulatora (w wariancie rzeczywistym) zdefiniowana jest wzorem: G R (s) = k (1 + 1 T i s + T ds Ts+1 ) (1.9) a jego odpowiedź skokowa dla k=0,8, T i =8, T d =1,2 i T=0,3 pokazano na kolejnym rysunku. 5

2. Schemat układu regulacji. Jakość regulacji. Poniżej przedstawiono schemat układu regulacji układ zamknięty ze sprzężeniem zwrotnym. Zdefiniowano na nim następujące sygnały: r ( t ) - sygnał wielkości zadanej ( t ) - sygnał uchybu (błędu) regulacji u ( t ) - sygnał sterujący y ( t ) - sygnał odpowiedzi układu z ( t ) - sygnał zakłócenia. 6

Jednym ze sposobów oceny działania układów sterowania jest porównanie ich zachowania się (odpowiedzi) na wymuszenie skokowe tzn. ustalenie r(t) na pewną stałą wartość. Do tej oceny mogą służyć takie parametry odpowiedzi układu takie jak: czas regulacji, wartość ustalona, przeregulowanie, czas maksymalnego piku, uchyb ustalony, uchyb przejściowy, czas narastania odpowiedzi. Poniżej zaprezentowano przykładową odpowiedź układu sterowania na skokową zmianę r(t) oraz zdefiniowano podane wcześniej miary jakości regulacji. 7

Uchyb ( t ) jest to różnica między wartością sygnału zadanego a wartością odpowiedzi układu. Formalnie uchyb rozkłada się na uchyb przejściowy (dynamiczny) d i uchyb ustalony (statyczny) u ( czyli = d + u ). Uchyb ustalony jest to różnica między sygnałem zadanym a odpowiedzią układu w stanie ustalonym. Czas regulacji (czas ustalania się odpowiedzi) tu jest to czas mierzony od chwili zadziałania wymuszenia na układ (zmiany sygnału zadanego lub zakłócenia) do chwili, gdy bezwzględna wartość uchybu przejściowego zmaleje trwale poniżej δ jego maksymalne bezwzględnej wartości. Najczęściej przyjmuje się δ równe 2 lub 5%. Gdy wymuszeniem jest sygnał zadany, czas regulacji wyznacza się również w sposób równoważny jako czas od zmiany sygnału zadanego do chwili, gdy odpowiedź układu nie różni się od wartości ustalonej w sposób trwały o więcej niż δ (odpowiedź wchodzi trwale w "korytarz" ±δ wokół wartości ustalonej. Przeregulowanie κ jest to bezwzględna wartość stosunku uchybów ε 1 do ε 0, gdzie ε 0 jest największą wartością uchybu przejściowego, a ε 1 największą wartością uchybu przejściowego o znaku przeciwnym niż ε 0. Przeregulowanie podawane jest często w procentach. W przypadku, gdy wymuszeniem jest sygnał zadany przeregulowanie można wyznaczyć ze wzoru κ = y max y u y u 100% (2.1) Ze względu na pewną ilość wymienionych wyżej parametrów odpowiedzi skokowej układu, od decyzji projektanta systemu będzie zależało, który przebieg wielkości regulowanej uzna on za najlepszy. W dalszej części opracowania, aby możliwe było jakieś porównanie tych przebiegów, założy się, że powinny one mieć takie samo przeregulowanie. Wtedy można umówić się, że lepszy będzie ten przebieg dla którego czas regulacji jest krótszy. 3. Dobór nastaw regulatora metodą Zieglera-Nicholsa Metoda Zieglera-Nicholsa jest jedną z prostych metod określania parametrów regulatora. Istotną zaletą tej techniki jest to że nie wymaga ona dokładnej znajomości transmitancji operatorowej G(s) obiektu regulacji. Ponadto nastawy Zieglera-Nicholsa zawsze zapewniają stabilność układu. Przebieg metody Zieglera-Nicholsa: 1. Nastawić regulator na działanie proporcjonalne ( Ti ) ( Td 0 ) 2. Zwiększamy k tak aby doprowadzić układ do granicy stabilności ( niegasnące oscylacje ) i z przebiegu y(t) zmierzyć okres oscylacji Tosc. i k kryt. 8

T osc. k kryt 3. Stosujemy nastawy: Regulator P PI PID Nastawy k 0, 5k kryt k 0, 45k kryt, Ti 0, 85Tosc k 0, 6k kryt, Ti 0, 5Tosc, Td 0, 12Tosc 4. Realizacja ćwiczenia instrukcja do sprawozdania. Celem laboratorium jest zapoznanie się z regulacją ciągłą oraz ze sposobem jest działania dla typowych zastosowań, jak np. sterowanie silnikiem obwzcowzbudnym prądu stałego, dobór nastaw regulatora dla sztucznego układu II rzędu. Część I Obserwacja charakterystyk skokowych regulatorów ciągłych w kombinacjach PI, PD, PID. Opierając się na znajomości transmitancji operatorowej regulatorów, proszę w pakiecie Matlab/Simulink zbudować poszczególne regulatory, podać na ich wejście sygnał skokowy oraz ustawić parametry podane przez prowadzącą zajęcia. W sprawozdaniu, proszę umieścić zrzut modelu realizującego dany regulator oraz wykres będący odpowiedzią tego regulatora na wymuszenie skokowe. Proszę pamiętać, aby wykres funkcji jednostkowej również był widoczny na wykresie charakterystyki czasowej każdego regulatora. Następnie, z zamieszczonych wykresów charakterystyk czasowych regulatorów PI, PD, PID, należy odczytać wartości parametrów dedykowanych dla poszczególnego regulatora, tj. Kp,Ti,Td. Część II Obserwacja przebiegu wielkości regulowanej na wymuszenie skokowe. Należy połączyć układ zgodnie ze schematem zamkniętego układu regulacji. Sygnał regulatora należy podać na wejście obiektu inercyjnego II rzędu. Proszę ustawić parametry podane przez prowadzącą zajęcia. 9

Aby możliwe było porównanie przebiegów wielkości regulowanej dla układu z użyciem regulatora PI, PD i PID proszę umieścić wszystkie trzy odpowiedzi na jednym wykresie. Przestawione przebiegi należy porównać ze względu na czas regulacji, uchyb ustalony, przeregulowanie (wnioski!). Część III - Dobór nastaw regulatora PID dla sztucznego układu II rzędu. Opierając się na układzie zrealizowanym w części II, proszę dobrać nastawy dla układu z regulatorem PID, aby uzyskać lepszy przebieg wielkości regulowane. W tym celu należy zestawić na jednym oscyloskopie i porównać wykres przebiegu wielkości regulowanej z początkowymi nastawami regulatora PID z części II oraz po dokonanym przez Państwa doborze nastaw ( + wnioski!). Uwaga! Ze względu na pewną ilość parametrów do oceny jakości regulacji, od Państwa decyzji zależy, który przebieg wielkości regulowanej uznacie za najlepszy. Część IV - Układ sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego z regulatorem PID Wstęp Przedmiotem rozważań jest układ automatycznej regulacji (UAR) o strukturze przedstawionej na poniższym rysunku: Rys.1. Schemat układu regulacji. Jest to klasyczny układ sterowania o szeregowym połączeniu obiekt - regulator w torze głównym systemu. Układ o takiej strukturze zapewnia stabilne sterowanie obiektem pod warunkiem poprawnego dobrania typu i współczynników wzmocnienia regulatora. Omawiany układ będzie zawierał: - Regulator PID, którego strukturę przybliża schemat blokowy: 10

Rys. 2. Schemat blokowy regulatora Zawiera on współczynniki wzmocnień części regulatora Kp(proporcjonalnej), Ti(całkującej) oraz Td(różniczkującej). - Silnik jako obiekt regulacji. Przykładowym obiektem będzie silnik obcowzbudny prądu stałego o następujących danych znamionowych i stałych: P N=22kW, U N=440V, I N=56,2A, M N=120Nm, K e=2,62vs/rad, K m=2,62nm/a, R t=0,465ω, L t=0,015h, J b=2,7kgm 2 /s 2, n N=1500obr/min, ω N=157rad/s Założono stały strumień wzbudzenia. Obecność w modelu znamionowych wartości napięcia i prądu magnesującego jest wyrażona poprzez wartości stałych: elektrycznej K e oraz mechanicznej K m. Schemat blokowy silnika przedstawia się następująco: Rys.3. Schemat blokowy silnika 11

1. Silnik solo wymuszenie skokowe Aby zbadać dynamikę samego silnika, jako obiektu regulacji, należy na podstawie powyższego schematu utworzyć w pakiecie MATLAB/Simulink schemat blokowy silnika i zapisać go w pliku o nazwie mg.mdl. Utworzony schemat realizuje program Matlaba o nazwie silnik_solo.m: %Obiekt regulacji-silnik clear clc Rt = 0.465; Lt = 0.015; Km = 2.62; Jb = 2.7; ster = [0.0, 1.0, 0.0 %pierwsza kolumna - czas 0.5, 1.0, 0.0 %druga kolumna - zasilanie 1.0, 1.0, 0.0 %trzecia kolumna - obciążenie 1.5, 1.0, 0.0 2.0, 1.0, 0.0 2.5, 1.0, 0.0 3.0, 1.0, 0.0 3.5, 1.0, 0.0]; [t,x,y]=sim('mg', 1.5, [], ster); %zainicjowanie symulacji plot(ster(:,1), ster(:,2), '.-', t, y); grid axis([0, 1.5, -0.2, 1.8]); title('przebiegi w silniku - wymuszenie skokowe') xlabel('czas [s]') ylabel('prad obroty obciazenie') X=[0.60, 0.60, 0.30]; %opis wykresów Y=[1.05, 0.45, 0.70] text(x(1), Y(1), 'wymuszenie skokowe') text(x(2), Y(2), 'predkosc silnika') text(x(3), Y(3), 'prad silnika') Rys.5. Przebiegi napięcia zasilającego, prądu silnika, prędkości silnika w układzie otwartym wymuszenie skokowe. 12

W zapisanym powyżej programie zrealizowano nie tylko samą symulację, ale również opisy uzyskanych wykresów. Należy zauważyć, że wymuszenia, czyli sygnały sterujące, związane z portami wejściowymi In1 i In2, zapisane zostały w programie w formie macierzy ster. Macierz ta jest jednym z argumentów głównej procedury symulacyjnej sim. Dzięki takiej formie zapisu wymuszenia, zachodzi możliwość łatwej programowej realizacji różnych prostych sygnałów zadających. W omawianym przykładzie w macierzy ster zapisano, że Uz=1 oraz moc=0. W wyniku wykonania programu powstały wykresy na rys.5. 2. Silnik w UAR z regulatorem PID Rysunek 6 przedstawia wykonany w oknie edycyjnym Simulinka schemat blokowy zamkniętego układu sterowania prędkością silnika. Schemat ten, zapisany został pod nazwą uar.mdl. Aby schemat był bardziej czytelny, obiekt regulacji - silnik z pliku mg.mdl, umieszczono w bloku subsystem. Wyjścia tego bloku stanowią: prąd (Out1) oraz prędkość obrotowa wału silnika (Out2). Ustawiona wartość Step1: Step time=0.001. Rys.6. Schemat blokowy zamkniętego układu sterowania prędkością silnika. Jako regulator zastosowano, dostępny w bibliotekach Simulink, blok regulatora PID Controller, w którego okienku dialogowym wpisano symbole współczynników Kp, Ti, Td. W układzie na rys.6 występują dwa bloki generujące sygnał wejściowy. Step1 wytwarza skok jednostkowy, który jest sygnałem sterującym w UAR prędkości. Blok Step2 przewidziany został do generacji sygnału symulującego mechaniczne obciążenie silnika, jednak zgodnie z uczynionym na wstępie założeniem, wszystkie badania symulacyjne zostaną przeprowadzone w warunkach idealnego biegu jałowego. Oznacza to, że sygnał wejściowy bloku Step2 będzie równy zero. Warto zapamiętać, że zachodzi tu jednak możliwość łatwego rozszerzenia programu badań symulacyjnych o przypadki uwzględniające niezerową wartość m obc. 13

CEL ĆWICZENIA Przykładowe badania symulacyjne zamkniętego układu sterowania zostaną przeprowadzone w aspekcie doboru nastaw regulatora PID. Problem doboru nastaw regulatora PID sprowadzić można do określenia wartości jego współczynników: Kp, Ti, Td. Jest to, w sposób oczywisty, związane ze strukturą regulatora. ZADANIE NR 1. Najprostszym przypadkiem jest układ UAR z regulatorem proporcjonalnym (P). Program uarp.m demonstruje działanie takiego układu dla trzech arbitralnie wybranych wartości współczynnika Kp. %Badanie UAR z regulatorem P clear clf; Rt = 0.465; Lt = 0.015; Km = 2.62; Jb = 2.7; Ti = 0; Td = 0; hold on; for Kp = [?,?,?]; %przyjęte na próbę trzy wartości współczynnika Kp [t,x,y] = sim('uar',1); plot (t,y(:,2)); end axis ([0,1,0,1.5]); title('uar predkosci - regulator P'); xlabel ('t[s]') ylabel('predkosc obrotowa') grid X=[0.52, 0.52, 0.52]; Y=[0.46,0.7, 0.93]; text(x(1),y(1),'k=?') text(x(2),y(2),'k=?') text(x(3),y(3),'k=?') hold off Proszę uruchomić program uarp.m i dokonać analizy otrzymanego wykresu, na którym pokazano trzy otrzymane przebiegi prędkości silnika. Należy zwrócić uwagę na dosyć znaczną różnicę pomiędzy wartością zadaną (skok jednostkowy), a prędkością rzeczywistą silnika. Proszę również wskazać zależność pomiędzy trzema rozpatrywanymi wartościami Kp, a zmniejszaniem tej różnicy bądź też wystąpieniem przeregulowania prędkości. Oceniając wizualnie wyniki symulacji, proszę dokonać wyboru takiej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora P, która zapewnia najkorzystniejszy, zdaniem oceniającego, przebieg prędkości silnika. ZADANIE NR 2. Dalsze badania symulacyjne dotyczą UAR prędkości silnika z regulatorem proporcjonalno-całkującym (PI): %Badanie UAR z regulatorem PI clear clf; Rt = 0.465; Lt = 0.015; 14

Km = 2.62; Jb = 2.7; Kp =???; Td = 0; hold on; for Ti = [?,?,?]; %przyjęte na próbę trzy wartości współczynnika Ti [t,x,y] = sim('uar',1); plot (t,y(:,2)); end axis ([0,1,0,1.5]); title('uar predkosci - regulator PI'); xlabel ('t[s]') ylabel('predkosc obrotowa') grid X=[0.52, 0.38, 0.23]; Y=[0.80,1.05, 1.4]; text(x(1),y(1),'ti=?') text(x(2),y(2),'ti=?') text(x(3),y(3),'ti=?') hold off Proszę uruchomić powyższy program uarpi.m i w miejsce Kp zaznaczone na żółto wpisać wartość współczynnika wzmocnienia wyselekcjonowaną w zadaniu nr 1. Dalsze obliczenia prowadzone są dla trzech, również arbitralnie dobranych, wartości współczynnika części całkującej regulatora Ti. Należy ponownie przeanalizować otrzymane przebiegi prędkości silnika, zaznaczając na wstępie co dało dołączenie do regulatora części całkującej. Po dokonaniu oceny uzyskanych przebiegów, należy wybrać najkorzystniejszy (uzasadniając odpowiedź warto wziąć pod uwagę sposób ustalania się prędkości). ZADANIE NR 3. Do tej pory, posługując się metodą symulacji komputerowej, określone zostały takie wartości współczynników Kp i Ti, które zapewniają pożądany kształt przebiegu prędkości silnika prądu stałego. Wprowadzamy do istniejącego regulatora PI część różniczkującą, czyli konstruujemy regulator PID. Mając na uwadze informacje na temat regulatorów ciągłym, proszę odpowiedzieć na pytanie: Jak wprowadzenie regulatora wyposażonego w część D wpłynie na UAR? Co wyeliminuje? Program do obliczeń i symulacji UAR z regulatorem PID przedstawiono poniżej. Działając zgodnie z zastosowanym już wcześniej schematem, należy uruchomić plik uarpid.m, wpisać w miejsce znaków zapytania ustalone wartości Kp i Ti, a następnie przeprowadzić badania dla trzech, próbnie dobranych, wartości współczynnika wzmocnienia części różniczkującej regulatora Td. %Badanie UAR z regulatorem PID clear clf; Rt = 0.465; Lt = 0.015; Km = 2.62; Jb = 2.7; Kp =???; Ti =???; 15

hold on for Td = [?,?,?]; %przyjęte na próbę trzy wartości współczynnika Td [t,x,y] = sim('uar',1); plot (t,y(:,2)); end axis ([0,1,0,1.5]); title('uar predkosci - regulator PID'); xlabel ('t[s]') ylabel('predkosc obrotowa') grid X=[0.07, 0.21, 0.35]; Y=[0.8,0.8, 0.8]; text(x(1),y(1),'td=?') text(x(2),y(2),'td=?') text(x(3),y(3),'td=?') hold off Po dokonaniu oceny otrzymanych wykresów, należy wybrać najkorzystniejszy przebieg prędkości (odpowiedź proszę uzasadnić). ZADANIE NR 4. Powracając do UAR z regulatorem PID, którego parametry zostały już ręcznie dobrane, raz jeszcze przytoczony zostanie przebieg prędkości oraz nie zaprezentowany poprzednio przebieg prądu. W tym celu proszę tworzyć program uarpid2.m raz uzupełnić trzymane w wyniku zadań wartości Kp, Ti raz Td. %Badanie UAR z regulatorem PID clear clf; Rt = 0.465; Lt = 0.015; Km = 2.62; Jb = 2.7; Kp =???; Ti =???; Td =???; hold on [t,x,y]=sim('uar',1); plot(t,y(:,1),t,y(:,2)*10); title('silnik w UAR prędkości'); xlabel ('t[s]') ylabel('predkosc prad') text(0.42,10.4,'predkosc*10') text(0.42, 0.7,'prad') grid hold off 16

UWAGA!!! Po każdym zadaniu, proszę skomentować uzyskane wyniki. Sprawozdania proszę wysłać drogą elektroniczną na adres osoby prowadzącej zajęcia najpóźniej do dnia poprzedzającego kolejne ćwiczenia laboratoryjne. 17