PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 3 4 6 7 8 9 3 4 D B C C D D B C A D B D A C D D C C B D B D A D B Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (-)... Rozwiąż nierówność: x 3x 4 Rozwiązanie x 4x 3x x x Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x x. 4 ( ) 9, 3, 3 3 x, x. ( ) ( ) Możemy również obliczyć pierwiastki trójmianu kwadratowego x x, rozkładając go na czynniki liniowe x lub x x lub x Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y x x, z którego odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności x ; Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym zakończy lub błędnie poda zbiór rozwiązań nierówności,

Str.3 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. ( x )( x ) i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... p. gdy poda zbiór rozwiązań nierówności: x ; lub ; lub ( x i x ), poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Zadanie 7. (-)... Zbiorem wartości funkcji f ( x) a( x 3)( x ) jest przedział 3 ; Wyznacz współczynnik a oraz zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Rozwiązanie (I sposób rozwiązania) Miejscami zerowymi funkcji f są liczby x x 3. Pierwszą współrzędną wierzchołka x x paraboli jest p, a drugą współrzędną wierzchołka jest q 3. W, 3 f 3, a 3 3, a 3, więc 4 a. Postać kanoniczna funkcji: f ( x) x 3. (II sposób rozwiązania) Zapisujemy wzór funkcji w postaci ogólnej f ( x) a( x x 6), f ( x) ax ax 6a,

Str.4 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Wiemy, że q 3, czyli 3, 4a a 4 a 6a, a, a 3, 4a a. Postać kanoniczna funkcji: f ( x) x 3. Schemat oceniania (I sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy współrzędne wierzchołka paraboli p, q 3 oraz zapisze warunek pozwalający na wyznaczenie współczynnika a (np. f 3 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu współczynnika a i konsekwentnie do obliczonej wartości a wyznaczy postać kanoniczną. Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze wzór funkcji f ( x) x 3. (II sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze trójmian kwadratowy w postaci ogólnej f ( x) ax ax 6a oraz warunek q 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze wzór funkcji f ( x) x 3.

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Zadanie 8. (-)... Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Poprowadzono dwie proste: prostą k prostopadłą do boku AC przechodzącą przez punkt C oraz prostą p prostopadłą do boku BC przechodzącą przez punkt B. Proste k i p przecinają się w punkcie D (tak jak na rysunku). Uzasadnij, że 8. Dowód Prosta k jest prostopadła do odcinka AC, prosta p jest prostopadła do odcinka CB. (I sposób rozwiązania) Zauważmy, że kąt ostry ACB 8 oraz BCD 9 ACB. BCD 9 8 BCD 9 Trójkąt DBC jest prostokątny więc BCD CDB 9 (II sposób rozwiązania) 9 9 8, co należało uzasadnić. Zauważmy, że kąt ostry BCD 9, zatem BCA 9 BCD. BCA 9 9 Suma kątów wewnętrznych trójkąta ABC wynosi (III sposób rozwiązania) Poprowadźmy wysokość CS trójkąta ABC. BCA 8, więc 8, co należało uzasadnić.

Str.6 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Łatwo zauważyć, że ACS 9, SCB 9 oraz BCD 9. ACD 9, ACS SCB BCD 9, 9 9 9 9, więc 8, co należało uzasadnić. (IV sposób rozwiązania) Dorysujmy prostą l równoległą do prostej k, która przechodzi przez punkt A. Powstał w ten sposób trójkąt ABE (rysunek poniżej) Zauważmy, że kąty CDE oraz FED są naprzemianległe wewnętrzne (rysunek poniżej), więc FED, stąd BEA 8. Prosta l jest prostopadła do AC, a zatem EAB 9, prosta p jest prostopadła do BC, więc EBA 9 (rysunek poniżej). Suma kątów wewnętrznych trójkąta AEB wynosi 8, więc 9 9 8 8, 8, co należało uzasadnić.

Str.7 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Schemat punktowania (I sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że kąt ostry ACB 8 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy uzasadni, że 8. (II sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze, że kąt ostry BCD 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy uzasadni, że 8. (III sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy poprowadzi wysokość CS trójkąta ABC oraz zapisze, że ACS 9, SCB 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, gdy poprowadzi wysokość CS trójkąta ABC oraz zapisze, że BCD 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy uzasadni, że 8. (IV sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy poprowadzi prostą l równoległą do prostej k oraz zapisze, że BEA 8 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, gdy poprowadzi prostą l równoległą do prostej k oraz zapisze, że EAB 9 oraz EBA 9 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy uzasadni, że 8.

Str.8 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Zadanie 9. (-)... Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność Rozwiązanie Z założenia wynika, że x i y. (I sposób) 4x 3y 3 4. 3y x xy Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: 4x 3y 3 4 / 3xy, (wyrażenie 3xy ) 3y x xy 4x 9y xy 39 4x xy 9y 39 x 3y 39 Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc lewa strona tej nierówności jest sumą x 3y i liczby dodatniej 39, więc to dowodzi, że nierówność 4x 3y 3 4 jest spełniona dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y. 3y x xy dwóch liczb: nieujemnej To kończy dowód. (II sposób) Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: 4x 3y 3 4 / 3xy, (wyrażenie 3xy ) 3y x xy 4x 9y xy 39 4x xy 9y 39 Potraktujmy tę nierówność jako zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą x. Wyznaczmy wyróżnik trójmianu. ( y ) 4 4 (9y 39) 44y 44y 64 64 64 dla dowolnych y R, więc nierówność 4x xy 9y 39 jest spełniona przez 4x 3y 3 wszystkie liczby rzeczywiste x i y, a zatem nierówność 4 jest spełniona przez 3y x xy wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste x i y. To kończy dowód.

Str.9 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Schemat oceniania (I sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy doprowadzi nierówność do postaci 3y 39 x, Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełny dowód. (II sposób rozwiązania) Zdający otrzymuje... p. gdy doprowadzi nierówność do postaci 4x xy 9y 39 i prawidłowo wyznaczy wyróżnik trójmianu kwadratowego y 64, gdy doprowadzi nierówność do postaci 9y xy 4x 39 i prawidłowo wyznaczy wyróżnik trójmianu kwadratowego x 44. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełny dowód. Zadanie 3. (-)... Ze zbioru {, 7, 9,,, 4} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich dwóch liczb, których iloczyn jest większy od. Rozwiązanie (I sposób rozwiązania) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary różnych liczb ze zbioru {, 7, 9,,, 4} 6 3 Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, których iloczyn jest większy od. A 9, 4,,,, 4,,,, 4, 4, 9, 4,, 4, A 8 Obliczamy prawdopodobieństwo korzystając z definicji klasycznej prawdopodobieństwa (II sposób rozwiązania) P ( A) A 8 P ( A) 3 4

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, których iloczyn jest większy od. Zbiór zdarzeń elementarnych można zilustrować tabelą 6 na 6 i zaznaczyć zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A. Łatwo zauważyć, że 3 i A 8, więc (III sposób rozwiązania) 8 P ( A) A 3 Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że iloczyn liczb będzie większy od ). 4 Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 8 4 P ( A) 8. 6 3 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych 6, gdy wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, gdy zapisze liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A 8, narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie).

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Zdający otrzymuje... p. Uwaga. gdy wyznaczy prawdopodobieństwo zdarzenia 8 P ( A). 3. jeżeli zdający poda prawdopodobieństwo zdarzenia A większe od, to za całe zadanie otrzymuje p,. jeżeli zdający pominie jedno zdarzenie sprzyjające zdarzeniu A lub pominie jedną istotną gałąź 7 drzewa i otrzyma P ( A), to otrzymuje za całe rozwiązanie p. 3 Zadanie 3. (-)... Trzy liczby, x 3, x y są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb wynosi. Wyznacz wartości x oraz y. Rozwiązanie Liczby, x 3, x y, których suma wynosi są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc Po rozwiązaniu powyższego układu otrymujemy: x 3 x y x 3 x y x 3 3x y 6 3x y 4 x y Schemat oceniania Zdający otrzymuje... p. Zdający gdy zapisze układ równań (którego rozwiązanie doprowadzi do wyznaczenia szukanych x 3 x y x 3 x y wartości x oraz y ) np. lub x y r x 3 x y x 3 x 3 r i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy wartości x. y

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Zadanie 3. (-)... Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC, którego pole jest równe 6 3. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeżeli ściana boczna o największym polu tworzy z podstawą kąt o mierze 6. Rozwiązanie Wykonajmy odpowiedni rysunek i wprowadźmy oznaczenia: a krawędź podstawy ostrosłupa, h wysokość ostrosłupa, h wysokość ściany bocznej ostrosłupa o największym polu, P 6 a 3 6 4 a 8 a 3 Trójkąt ADS jest trójkątęm prostokątnym, w którym AD, zatem AD 4 3. 3 3 Korzystając z funkcji trygonometrycznych wyznaczamy h oraz h. tg AS AD h 3 4 3 h

Str.3 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 cos AD DS 4 3 h h 8 3 Wyznaczamy pola wszystkich ścian bocznych. P ACS P ACS a h 8 P ABS 48 P BCS a h 88 P BCS 3 3 3 Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. P C P P P ACS P ABS P BCS P C 6 3 48 48 3 3 P C 48 3 96 Wyznaczamy objętość ostrosłupa ostrosłupa. V P 3 P h V 6 3 V 64 3 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający wykona poprawnie rysunek, na którym zaznaczy kąt i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, wyznaczy długość krawędzi podstawy a 8. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający wyznaczy długość krawędzi podstawy a 8 oraz długość wysokości h ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,

Str.4 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 wyznaczy długość krawędzi podstawy a 8 oraz długość wysokości ściany bocznej h 8 3 ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3p. Zdający wyznaczy długość krawędzi podstawy a 8, długość wysokości h ostrosłupa oraz długość wysokości ściany bocznej h 8 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, Rozwiązanie prawie pełne... 4p. Zdający wyznaczy objętość ostrosłupa V 64 3 i wysokośc ściany bocznej h 8 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błedy, wyznaczy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa P C 48 3 96 i na tym zakończy lub dalej popełnia błedy, rozwiąże zadanie do końca, ale z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... p. Zdający wyznaczy objętość ostrosłupa V 64 3 oraz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa P 48 3 96. C Zadanie 33. (-4)... Dane są punkty A (9,8), B (3, ), C (6,), D (,3). Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem oraz oblicz jego pole. Rozwiązanie Wykonajmy pomocniczy rysunek Uzasadnimy, że czworokąt ABCD jest trapezem. Wyznaczmy współczynnik kierunkowy a AB prostej AB. yb y aab x x B A A

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 8 6 a AB 3 9 a AB Wyznaczmy współczynnik kierunkowy a prostej CD. CD yd yc acd xd xc 3 a CD 6 4 a CD Współczynniki kierunkowe prostych AB i CD są równe, więc proste te są równoległe, a zatem czworokąt ABCD jest trapezem. Można również uzasadnić, że czworokąt ABCD jest trapezem stosując rachunek wektorowy. Wyznaczmy współrzędne wektorów AB i DC. AB [ 3 9, 8] [, 6] DC [ 6, 3] [ 4, ] Sprawdzamy warunek równoległości wektorów: AB DC ( ) ( 4) ( 6) 4 4 Wektory AB i DC są równoległe, więc czworokąt ABCD jest trapezem. Wyznaczamy długości odcinków AB i CD. AB ( xb xa) ( yb ya ) AB ( 3 9) ( 8) ( ) ( 6) 44 36 8 AB 6 CD ( xd xc ) ( yd yc ) CD ( 6) (3 ) 4 6 4 CD

Str.6 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 (I sposób obliczenia pola trapezu ABCD ) Wyznaczamy równanie prostej AB. y y A a AB( x xa) y 8 ( x 9) y x 3 x y 7 Wysokość obliczamy wykorzystując wzór na odległość ponktu C od prostej AB. Obliczamy pole trapezu ABCD. h P AB CD h P 6 P 44

Str.7 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 (II sposób obliczenia pola trapezu ABCD ) Wyznaczamy równanie prostej AB. y x 3 Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt C. y x b 6b b 3 y x 3 Wyznaczamy współrzędne punktu E rozwiązując układ równań: y x 3 y x 3 x 3 x 3 x 7 4x 6 9 x 9 y 3 y 7,6 3 y,4 x 3,8 y,4 4 E (3, )

Str.8 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Obliczamy długość wysokości h CE. C (6,) h 4 6 3 h 484 6 Obliczamy pole trapezu ABCD. h P AB CD h P (III sposób obliczenia pola trapezu ABCD ) 6 P 44 Pole trapezu możemy obliczyć wykonując działanie P P P P P P FGHK BKC CHD DGA AFB P 37 9 4 6 9 8 P 9 P 9 47 P 44 7 Schemat oceniania (I i II sposób) Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem.

Str.9 zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem oraz wyznaczy długości podstaw trapezu AB 6, CD. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3p. Zdający uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem, wyznaczy długości podstaw trapezu AB 6, 4 CD oraz wyznaczy współrzędne punktu E (3, ), uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem, wyznaczy długości podstaw trapezu AB 6, CD, wyznaczy równanie prostej AB i zapisze, że zastosuje wzór na odległość punktu C (lub D ) od prostej AB. Rozwiązanie pełne... 4p. Zdający wyznaczy pole trapezu ABCD ( P 44 ) oraz uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem. Uwaga. Jeżeli zdający nie uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem, ale obliczy jego pole korzystając z faktu, że jest on trapezem, to za całe rozwiązanie może otrzymać maksymalnie punkty.. Jeżeli zdający nie uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem, obliczy jego pole popełniając błąd rachunkowy oraz korzysta z faktu, że jest on trapezem, to za całe rozwiązanie może otrzymać maksymalnie punkt. Schemat oceniania (III sposób) Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, naszkicuje odpowiedni rysunek, zapisze, że pole trapezu możemy obliczyć wykonując działanie P P P P P P i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. FGHK BKC CHD DGA AFB Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem i zapisze, że pole trapezu możemy obliczyć wykonując działanie P PFGHK PBKC PCHD PDGA PAFB i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, obliczy pole trapezu popełniając błąd rachunkowy i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3p. uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem i obliczy pole trapezu popełniając błąd rachunkowy, obliczy pole czworokąta P 44, ale nie uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem. (w tej metodzie licząc pole zdający nie korzysta z faktu, że czworokąt ABCD jest trapezem) Rozwiązanie pełne... 4p. Zdający uzasadni, że czworokąt ABCD jest trapezem oraz obliczy jego pole P 44.

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Zadanie 34. (-4)... Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC ma długość r 4, a stosunek długości przyprostokątnych AC : AB wynosi :. Na przeciwprostokątnej BC obrano punkt D, zaś na przyprostokątnej AB punkt E tak, że odcinki BC i DE są prostopadłe. Wyznacz długość odcinka AE, jeśli stosunek pola czworokąta AEDC do pola trójkąta EBD jest równy 3 :. Rozwiązanie Wykonajmy pomocniczy rysunek. Skoro stosunek długości przyprostokątnych AC : AB wynosi : wprowadźmy następujące oznaczenia: AC x, AB x, gdzie x. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa łatwo wyznaczyć długośc odcinka BC w zależności od x. BC AB AC x BC x BC 69x BC 3x Korzystając ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny otrzymujemy. AC AB BC r x x 3x 4 x Znamy zatem długości boków trójkąta ABC : AC, AB 4, BC 6. P ABC AB AC 4 P ABC P ABC (I sposób wyznaczenia długości odcinka AE ) Zauważmy, że BDE ~ ABC (cecha podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt ), więc DE : DB : EB wynosi :: 3. Wprowadźmy następujące oznaczenia: DE m, DB m, EB 3m, gdzie m.

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Stosunek pól czworokąta AEDC oraz trójkąta EBD jest równy 3 :, więc P BDE PABC Wyznaczmy długośc odcinka BE. P BDE P BDE P BDE 48 BD DE m m 3m m 3m 48 8 m 8 6 BE 3m AE AB BE 6 AE 4 6 AE (II sposób wyznaczenia długości odcinka AE ) PAEDC 3 PEBD, więc P P Zauważmy, że Schemat oceniania EBD BDE ~ ABC w skali k. k k ABC EB k BC 6 BE AE AB BE 6 AE 4 6 AE

Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zdający zapisze wszystkie związki pozwalające na obliczenie długości boków trójkąta ABC, AC AB BC (np.: AC x, AB x, BC AB AC, 4 ) zauważy, że BDE ~ ABC i zapisze, że k zauważmy, że BDE ~ ABC i zapisze, ze DE : DB wynosi :. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy pole trójkąta P ABC oraz zauważy, że BDE ~ ABC. obliczy długości boków trójkąta ABC : AC, AB 4, BC 6. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3p. Zdający obliczy długości boków trójkąta ABC : AC, AB 4, BC 6oraz zapisze, że BDE ~ ABC w skali k i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, obliczy długości boków trójkąta ABC : AC, AB 4, BC 6 oraz zapisze, że P BDE 3m oraz PBDE 48i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, 6 obliczy BE i na tym zakończy. Rozwiązanie pełne... 4p. 6 Zdający obliczy AE. Uwaga. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje za całe rozwiązanie 3p.