Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski

Matematyka w Instytucie Akustyki Maciej Radziejewski

Prowadzący: Dr Maciej Radziejewski Zakład Algebry i Teorii Liczb, Wydział Matematyki i Informatyki UAM p. B2-10 (ew. B2-46). WWW: http://matematykaaku.weebly.com

Wiadomości wstępne Podstawowe zbiory liczbowe: N liczby naturalne, tj. 1, 2, 3,... Z liczby całkowite Q liczby wymierne R liczby rzeczywiste C liczby zespolone 1. Konwencje W zbiorze R wyróżniamy szczególne podzbiory zwane przedziałami. Przedział otwarty: przedział domknięty: (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b] = {x R : a x b} i przedział lewo- lub prawo-stronnie domknięty: gdzie a, b R. Wprowadza się też symbole: [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, + wielkość większa od każdej liczby rzeczywistej wielkość mniejsza od każdej liczby rzeczywistej Mamy więc np.: Spójniki logiczne: (, + ) = R, [, + ] = R {, + }. koniunkcja czyli i (czasami zastępowane też przecinkiem albo np. ciągiem równości) alternatywa czyli lub negacja czyli nieprawda, że... implikacja czyli jeżeli..., to... równoważność czyli... wtedy i tylko wtedy, gdy... (ozn. także iff ) Często w połączeniu ze zbiorami stosuje się tzw. kwantyfikatory:, dla każdego...,..., kwantyfikator ogólny,, istnieje takie..., że..., kwantyfikator szczegółowy. Np. zapis oznacza, że A B, natomiast że A B. a B a A a B, a A 3

3. FUNKCJE 4 2. Zbiory Zbiory oznaczamy zwykle dużymi literami: A, B, C, X, Y itp. Relacje: a A a należy do zbioru A A B zbiór A zawiera się (jest podzbiorem) zbioru B Operacje na zbiorach: A B przekrój, część wspólna A B suma A \ B różnica Zbiór pusty oznaczamy, a np. zbiór złożony z liczb 3, 5 i 7 to {3, 5, 7}. Stosujemy też specjalne oznaczenie na podzbiór innego zbioru zadany warunkiem, np. {a A : a / B} czytamy: zbiór takich a A, że a / B (w tym przypadku będzie to zbiór A \ B). Zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), gdzie a należy do zadanego zbioru A, natomiast b do zadanego zbioru B, oznaczamy A B i nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B. Podobnie, jeśli A 1,..., A n są zbiorami, to ich iloczyn kartezjański składa się z odpowiednich n-ek uporządkowanych: W szczególności oznaczamy A 1... A n = {(a 1,..., a n ) : a 1 A 1,..., a n A n }. A n = A A. }{{} n razy Np. R 2 to płaszczyzna dwuwymiarowa, R 3 przestrzeń trójwymiarowa. Ćwiczenie 1. W jakiej sytuacji mogą nam się przydać wektory z przestrzeni R 88200? Zapis 3. Funkcje f : A B oznacza, że f jest funkcją ze zbioru A do B. Dla określenia funkcji należy podać jej dziedzinę (tu: zbiór A), przeciwdziedzinę (tu: zbiór B) i dla każdego argumentu a A należy określić, dokładnie jedną, wartość f(a) B. Funkcje można określać pomiędzy dowolnymi zbiorami. Jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są podzbiorami R, to funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą. Dla takich funkcji możemy sporządzać wykresy. Dla wizualizacji (sporządzania wykresów) funkcji rzeczywistych polecam pakiet R: www.r-project.org Wykres funkcji sinus tworzymy np. poleceniem: plot (sin, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25)) gdzie parametry xlim i ylim oznaczają końce przedziałów, który chcemy pokazać na wykresie. Nieco ładniejszy opis osi uzyskujemy wpisując: plot (sin, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25), xaxt="n") axis(1, at=c(0,pi,2*pi), labels=c("0","π","2π")) Wykres funkcji f : R R, f(x) = sin(3x) tworzymy poleceniami: f<-function(x){ sin (3*x) } plot (f, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25)) przy czym ostatnią linię można znów zastąpić przez:

3. FUNKCJE 5 sin (x) -3-2 -1 0 1 2 3 0 π 2π x Rysunek 1. Wykres funkcji sinus plot (f, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25), xaxt="n") axis(1, at=c(0,pi,2*pi), labels=c("0","π","2π")) Wykres funkcji g : R R, g(x) = 2x x 2 tworzymy poleceniami: g<-function(x){ 2*x-x*x } plot (g, xlim=c(-1, 3)) Można też uniknąć definiowania nowej funkcji pisząc: plot (function(x){2*x-x*x}, xlim=c(-1, 3)) Ćwiczenie 2. Zdefiniować w pakiecie R funkcję g jak wyżej i funkcję h : R R, h(x) = abs(x). Sporządzić wykresy złożeń h g i g h. Ćwiczenie 3. Obejrzeć powiększenie fragmentu wykresu funkcji h g w pobliżu punktu x = 2.5 zadając odpowiednio mały przedział w argumencie xlim. Wyniki można porównać z powiększeniem w pobliżu punktu x = 2. Ćwiczenie 4. Formuły

3. FUNKCJE 6 f (x) -3-2 -1 0 1 2 3 0 π 2π x Rysunek 2. Wykres funkcji sin(3x) s<-function(x){ x0<-x; x<-123*x*x+37*x+73*x*x*x+41*x*x*x*x; x<-x-floor(x)-0.5; x<-(2*x)^5*10; floor(x0)-floor(x) } plot (function(x){(x-s(x))^2*sin(exp(x*x+10*x))}, xlim=c(4,10), ylim=c(1,100), n=1000000, cex=0.005, type="p") tworzą wykres, który nie wygląda jak wykres funkcji. Dlaczego? Jak będzie wyglądał mały fragment tego wykresu w powiększeniu?

3. FUNKCJE 7 Rysunek 3. Wykres, który nie wygląda jak wykres funkcji

ROZDZIAŁ 1 Liczby rzeczywiste Ten rozdział, podobnie jak część wiadomości wstępnych, nie został wprowadzony do tych notatek. 8

ROZDZIAŁ 2 Liczby zespolone 1. Wiadomości podstawowe Liczbami zespolonymi nazywamy wyrażenia postaci a + bi, gdzie a, b R, a symbol i oznacza tzw. jednostkę urojoną. Przyjmujemy przy tym i 2 = 1. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy C. Dla a, b, c, d R mamy: a + bi = c + di a = c b = d. Tak więc liczba zespolona wyznaczona jest przez dwa parametry rzeczywiste. Jednostkę urojoną wprowadził do matematyki w XVI w. Rafael Bombelli, natomiast zapisu a + bi użył w 1831 r. Carl Friedrich Gauss. 1.1. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Interpretację geometryczną liczb zespolonych podał Carl Friedrich Gauss. W interpretacji tej liczbe z = a + bi przypisuje się wektor (lub punkt) o współrzędnych (a, b) na płaszczyźnie. Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i urojoną Rysunek 1. Układ współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej 9

1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 10 a) b) Rysunek 2. Przykład dodawania liczb zespolonych W interpretacji W. Hamiltona liczbę z = a + bi utożsamiamy po prostu z parą uporządkowaną liczb rzeczywistych (a, b). Jeśli punkty na płaszczyźnie utożsamimy z takimi parami, to te dwie interpretacje będą identyczne. Definicja 1. Jeśli z = a + bi, a, b R, to liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy Re z. Liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy Im z. Liczby zespolone postaci z = a + 0i, a R, utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi: a + 0i = a. Liczby zespolone postaci z = 0 + bi, b R, nazywamy liczbami czysto urojonymi i zapisujemy po prostu jako bi. 1.2. Działania na liczbach zespolonych. Działania w zbiorze liczb zespolonych określone są tak, żeby były zgodne z: działaniami na liczbach rzeczywistych, prawami łączności i przemienności dodawania i mnożenia, prawem rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz wzorem i 2 = 1. Tak więc: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i oraz (a + bi)(c + di) = = ac + (ad + bc)i + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. Dodawanie liczb zespolonych odpowiada dodawaniu wektorów. Jest ono łączne i przemienne, a elementem neutralnym tego działania jest 0. Każdy element z C posiada element przeciwny. Dla z = a + bi elementem przeciwnym jest z = a bi. W ten sposób określamy w C odejmowanie (jako dodawanie elementu przeciwnego).

1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 11 Rysunek 3. Interpretacja geometryczna mnożenia liczb zespolonych Mnożenie zespolone również ma interpretację geometryczną. Jest ono łączne i przemienne, a elementem neutralnym tego działania jest 1. Ćwiczenie 5. Jaka będzie długość wektora odpowiadającego iloczynowi zw dla zadanych liczb zespolonych z i w? Co można powiedzieć o kącie, jaki ten wektor tworzy z dodatnią częścią osi rzeczywistej? Odwrotność elementu a + bi, a + bi 0, obliczamy podobnie jak przy usuwaniu niewymierności kwadratowych z mianownika ułamka: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i. W ten sposób możemy też dzielić przez liczby zespolone (mnożąc przez odwrotność). Łatwo sprawdzić, że spełnione jest również prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Możemy więc krótko powiedzieć, że zbiór liczb zespolonych z działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem. 1.3. Moduł i argument. Definicja 2. Niech z = a + bi, a, b R. Modułem liczby z nazywamy liczbę z = a 2 + b 2. Argumentem z 0 nazywamy każdą liczbę φ R taką, że cos φ = Re z z sin φ = Im z z. Argument jest funkcją wielowartościową, określoną z dokładnością do wielokrotności 2π. Oznaczamy go arg z. Jedyną wartość argumentu z przedziału ( π, π] nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy Arg z. Moduł liczby jest długością jej wektora, a argument to kąt, jaki wektor ten tworzy z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Moduł różnicy z w jest równy odległości punktów z i w. Ćwiczenie 6. Narysować kilka przykładowych liczb na płaszczyźnie zespolonej i zaznaczyć na rysunku ich argumenty i moduły. Istnienie φ spełniającego warunki z powyższej definicji wynika stąd, że ( ) 2 ( ) 2 Re z Im z + = 1. z z

1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 12 Z kolei jednoczesne określenie wartości cos φ i sin φ wyznacza φ jednoznacznie, z dokładnością do wielokrotności 2π. Ze względu na niejednoznaczność argumentu wygodnie będzie wprowadzić skrótowy zapis zwany kongruencją albo przystawaniem modulo : Definicja 3. Dla a, b, c R mówimy, że a b (mod c), jeśli istnieje k Z takie, że a = b + kc. Tak więc możemy napisać: arg(1 + i) π 4 (mod 2π), arg(1 + i) = π + 2kπ, k Z, 4 Arg(1 + i) π 4 (mod 2π) a także Arg(1 + i) = π 4. Możemy teraz wyraźnie sformułować wcześniejsze obserwacje dotyczące modułu i argumentu iloczynu liczb zespolonych. Stwierdzenie 1. Dla z, w C mamy Stwierdzenie 2. Dla z, w C \ {0} mamy zw = z w. arg zw arg z + arg w (mod 2π). Zatem mnożenie zespolone polega na dodawaniu argumentów i mnożeniu modułów. Jeśli ustalimy liczbę zespoloną w C, to przekształcenie f : C C, f(z) = wz (mnożenie przez ustaloną liczbę) będzie złożeniem obrotu o kąt arg w wokół 0 z jednokładnością o skali w i środku w punkcie 0. 1.4. Operacja sprzężenia. Definicja 4. Liczbą sprzężoną do liczby z = a + bi, a, b R, nazywamy liczbę z = a bi. Ćwiczenie 7. Jakim przekształceniem płaszczyzny zespolonej jest operacja sprzężenia? Stwierdzenie 3. Dla z C mamy Jeśli z 0, to z = z. arg z arg z (mod 2π). Stwierdzenie 4. Dla z C mamy: z + z = 2 Re z, z z = 2i Im z, z z = z 2, z = z. Stwierdzenie 5. Operacja sprzężenia jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, tzn. dla z, w C mamy Mamy też 0 = 0, 1 = 1. z + w = z + w, zw = z w

2. POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ 13 a) b) Rysunek 4. Sposób rysowania okręgu na papierze w kratkę za pomocą kilku liczb zespolonych o równych modułach Zauważmy, że wyprowadzając wcześniej wzór na odwrotność liczby zespolonej różnej od zera, pomnożyliśmy licznik i mianownik ułamka przez sprzężenie mianownika. Ostateczny wynik możemy też zapisać krócej za pomocą sprzężenia: Wynika stąd: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2 = Wniosek 1. Dla z C \ 0 mamy: 1 z = 1 z, ( ) 1 arg arg z z (mod 2π). z z 2. 2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej Każdą liczbę zespoloną można wyrazić w postaci: z = r(cos φ + i sin φ), gdzie r 0, φ R. Jest to tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej. Istotnie, dla z = a + bi 0 (a, b R) niech r = z, φ arg z (mod 2π). Z definicji modułu i argumentu mamy: ( a r(cos φ + i sin φ) = z z + i b ) = a + bi. z Z kolei dla z = 0 wystarczy wziąć r = z = 0 i dowolne φ R.

3. PIERWIASTKI I POTĘGI W C 14 Twierdzenie 1. Dla każdej liczby zespolonej z C istnieją r 0 i φ R takie, że z = r(cos φ + i sin φ). Co więcej, jeśli powyższa równość jest spełniona dla pewnych r 0 i φ R, to r = z, a w przypadku z 0 również φ arg z (mod 2π). Z powyższego twierdzenia oraz z własności modułu i argumentu otrzymujemy prosty przepis na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Wniosek 2. Niech r 1, r 2 0, φ 1, φ 2 R. Wtedy: r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) Wniosek 3 (Wzór de Moivre a). Niech r 0, φ R, n Z. Wtedy: (r(cos φ + i sin φ)) n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) Ćwiczenie 8. (poza programem) Pewien student zaimplementował algorytm mający służyć obliczaniu argumentu zadanej liczby zespolonej z, różnej od zera. Algorytm polegał na wielokrotnym powtórzeniu dwóch czynności: sprawdzenie czy Im z 0 podstawienie z z 2 Wyniki wszystkich sprawdzeń zapisywano w tabeli. Na podstawie tych wyników obliczano argument początkowej wartości z. Jak mógł działać taki algorytm? Jaki problem wiąże się z takim podejściem? Dla jakich z algorytm prawdopodobnie poda niewłaściwą wartość argumentu? Jak można poprawić ten algorytm? Czy zamiast warunku Im z 0 lepiej byłoby użyć Im z > 0 czy trzeba dodać jeszcze inne sprawdzenia? Czy wartość modułu z ma znaczenie dla działania tego algorytmu? 3. Pierwiastki i potęgi w C 3.1. Algebraiczna domkniętość ciała C. Ten podrozdział, podobnie jak inne, w których nie wpisałem treści, został omówiony na wykładzie. Omówiliśmy tu własność algebraicznej domkniętości oraz wzory na pierwiastki równania drugiego stopnia i liczbę tych pierwiatsków w zależności od wartości wyróżnika. 3.2. Pierwiastki i pierwiastki z jedynki. Twierdzenie 2. Niech w C, w 0. Równanie z n = w posiada dokładnie n rozwiązań zespolonych. Są one postaci: z k = n ( ( arg w w cos n + 2kπ ) ( arg w + i sin n n + 2kπ )), k = 0,..., n 1. n Tak więc punkty z 0,..., z n 1 tworzą wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu n w. Mamy więc n pierwiastków n-tego stopnia z każdej liczby zespolonej różnej od 0. W szczególności, pierwiastki n-tego stopnia z jedynki tworzą wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu 1, którego jeden z wierzchołków jest w punkcie 1. 3.3. Potęga zespolona o podstawie dodatniej. Definicję potęgi o podstawie dodatniej możemy rozszerzyć na wykładniki zespolone. Rozpoczynamy od funkcji wykładniczej o podstawie e. Definicja 5. Dla z = a + bi, a, b R, niech Dla x > 0 i z jak wyżej niech e z = e a (cos b + i sin b). x z = e z ln x = e a ln x (cos(b ln x) + i sin(b ln x)). Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście rozszerzenie pojęcia potęgi, tzn. że tak określona potęga: jest zgodna z potęgą określoną wcześniej dla wykładników rzeczywistych, zachowuje wymienione wcześniej własności potęgi rzeczywistej (oprócz dodatniości).

5. MODUŁ JAKO ODLEGŁOŚĆ 15 Rysunek 5. Pierwiastki stopnia 3 z jedynki Istotnie, dla wszystkich x, y > 0, z, w C mamy: x z+w = x z x w, (x y ) z = x yz, (xy) z = x z y z. W odróżnieniu od potęgi rzeczywistej, wartości potęgi zespolonej nie muszą być dodatnie. Mogą mieć dowolny argument. Mamy jednak: x z 0 dla wszystkich x > 0, z C. Ćwiczenie 9. Niech z, w C, z = a + bi, w = c + di, a, b, c, d R. Proszę sprawdzić tożsamość: e z+w = e z e w Z jakimi tożsamościami trygonometrycznymi jest ona związana? 4. Okresowość funkcji wykładniczej 5. Moduł jako odległość Stwierdzenie 6. Dla każdego z C mamy z 0. Przy tym z = 0 z = 0. Stwierdzenie 7 (Nierówność trójkąta). Dla z, w C mamy Stwierdzenie 8. Dla z, w C mamy z + w z + w. z + w z w.

ZADANIE DOMOWE 16 Zadanie domowe Podać oznaczenie i wzór na: moduł, argument, część rzeczywistą, część urojoną i liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = x+yi dla x, y R, Dla wybranych pięciu z poniższych tożsamości zespolonych, poza pierwszą i dwoma ostatnimi, napisać (obok tożsamości) NIE, jeśli prawo nie zachodzi, TAK, jeśli prawo zachodzi dla wszystkich z 1, z 2 C, albo TAK, dla z 1, z 2 0, jeśli takie założenie jest potrzebne. Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) Im(z 1 ) Im(z 2 ) z 1 z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 arg z 1 z 2 arg z 1 arg z 2 (mod 2π) arg z 1 arg z 1 arg z 2 (mod 2π) z 2 Uwaga! Powyższe przykłady mają pokazać tylko formę pytania egzaminacyjnego, natomiast nie wyczerpują treści. Prawa, z których trzeba będzie skorzystać w tej części zadania, obejmują: własności Re, Im, modułu, argumentu, sprzężenia i odwrotności, a dokładniej związku tych funkcji z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz ich związków między sobą. Wiadomo, że niektóre operacje, np. dzielenie albo argument, określone są tylko dla niezerowych liczb zespolonych. Podane na wykładzie prawo arg z 1 z 2 arg z 1 + arg z 2 (mod 2π) jest prawdziwe dla wszystkich z 1, z 2 C \ {0}, należy więc przy nim wpisać TAK, dla z 1, z 2 0. Podobnie będzie z ostatnią z podanych wyżej przykładowych tożsamości (jej prawdziwość wynika z tego właśnie prawa oraz ze związków argumentu ze sprzężeniem i odwrotnością). W przedostatniej tożsamości możemy uprościć lewą stronę korzystając z tych właśnie praw. Otrzymamy arg z 1 arg z 2 (modulo 2π), co zwykle nie jest równe arg z 1 arg z 2, możemy więc wpisać NIE.

ZADANIE DOMOWE 17 Rysunek 6.