dr Bartłomiej Roici atedra Maroeonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nau Eonomicznych UW
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Solowa z postępem technologicznym by do modelu Solowa włączyć postęp technologiczny musimy wrócić do funcji producji i założyć, że zależy ona nie tylo od ilości apitału i pracy ale taże od wydajności pracy. Mamy zatem: Y f(, L) gdzie oznacza wydajność pracy, zaś L L jest jednostą wydajności pracy W tym przypadu nałady siły roboczej mierzone są w jednostach wydajności, zaś wielość producji zależy od ilości apitału oraz od ilości jednoste wydajności. Przyjmijmy, że wydajność pracy rośnie w stałym tempie równym x, podczas gdy populacja zwięsza się w tempie n. Widać zatem, że liczba jednoste wydajności rośnie w tempie n + x (patrz własności logarytmów).
Przyrost apitału na jednostę efetywnej pracy dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zmiana zasobu apitału w gospodarce w tym podejściu (gdzie apitał jest definiowany jao apitał na jednostę wydajności) będzie równa: gdzie Dowód: soro to zatem zwięszenie x (przy innych zmiennych costant) prowadzi do spadu ale jednocześnie powoduje wzrost oraz y, tóre w stanie ustalonym rosną w tempie x. Soro to. zatem w stanie ustalonym x n sf x n i t ) ( ) ( ) ( / + + + δ δ L L sf I δ δ ),, ( n x sf L L L L L L L L L t L t ) ( ) ( 2 2 δ x 0
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Model jest najprostszą wersją endogenicznych modeli wzrostu, w tórych długooresowy wzrost jest możliwy nawet bez postępu technologicznego. Utrzymuje on podstawowe założenia modelu Solowa, jedna zgodnie z jego założeniami funcja producji przyjmuje postać: Y gdzie apitał zawiera w sobie również czynni ludzi (apitał ludzi) W postaci per capita otrzymujemy zatem: y Podobnie ja w modelu Solowa przyrost apitału jest równy: iδn sf( ) ( δ + n)
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Wzrost gospodarczy w modelu Stopa wzrostu producji jest proporcjonalna do stopy wzrostu apitału i analogicznie do modelu Solowa wyraża się wzorem: γ sf(, ) / i/ ( δ + n) ( δ n) + Jeżeli jedna do powyższego wzoru podstawimy funcję producji to oazuje się, że model ten przewiduje nieograniczony, dodatni wzrost gospodarczy zawsze gdy s>(δ+n): s γ / i/ ( δ + n) ( δ + n) s( δ + n)
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Wzrost gospodarczy w modelu (2) Widać wyraźnie, że dla s>(δ+n) będziemy mieć zawsze dodatnią stopę wzrostu, niezależnie od ilości apitału w gospodarce. Co więcej, utrzymanie dodatniej stopy wzrostu jest możliwe nawet jeżeli nie ulega zmianom. Model ten poazuje również, że gospodari z wyższą stopą oszczędności i poziomem technologicznym zawsze będą miały wyższą stopę wzrostu. zatem bra jest tutaj możliwości dla wystąpienia procesu onwergencji. γ 0
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II onwergencja Pojęcie to opisuje zależność pomiędzy początowym poziomem dochodu (apitału w gospodarce) a wysoością stopy wzrostu. Model neolasyczny przewiduje bowiem, że im więcej jest apitału per capita w gospodarce tym niższa jest stopa wzrostu producji per capita. Jeśli mamy do czynienia z dwoma gospodarami, tóre różnią się jedynie początowym zasobem apitału, to ta tóra jest biedniejsza powinna rozwijać się szybciej niż ta bogatsza. Mielibyśmy wtedy do czynienia z onwergencją absolutną. W pratyce jedna raje mogą się różnić zarówno stopą oszczędności, technologią, stopą wzrostu populacji czy stopą deprecjacji. Powoduje to, iż model neolasyczny nie przewiduje zawsze szybszego wzrostu w biedniejszych rajach. Możliwe jest jedna wtedy wystąpienie onwergencji warunowej, tóra oznacza że ażdy raj dąży do swojego stanu ustalonego.
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Przyłady rozszerzenia modelu Model Romera Model Lucasa Model z wydatami rządowymi Połączenie modelu i modelu Solowa
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Romera Romer (1986) wprowadza do funcji producji efety zewnętrzne, przyjmuje ona wtedy postać: κ α 1α η Y L κ κ where to zagregowany apitał oraz Rozwiązując dla producji per capita otrzymujemy: y α η κ α η α+ η L η Przyjmując, że n0 stopa wzrostu w tym modelu może być wyrażona jao: sl η δ gdzie α +η 1 To oznacza, że stopa wzrostu jest pozytywnie sorelowana z wielością populacji nosi to nazwę efetu sali.
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Lucasa Lucas wprowadza do modelu Romera zmianę, zgodnie z tórą: W efecie funcja producji przyjmuje postać: κ y α α η κ η α+ η Równanie stopy wzrostu wygląda w tym przypadu następująco: α+ η1 s ( δ + n) i zależy od sumy α+η Możemy mieć zatem tutaj 3 przypadi: dla dla dla α + η < 1 α +η 1 α +η > 1 gospodara zachowuje się ta ja w modelu Solowa gospodara zachowuje się ta ja w modelu możliwe jest 1 steady state, jedna jest ono niestabilne
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model z udziałem rządu Wprowadzenie do modelu rządu zamiast czynnia pracy wpływa na modyfiację funcji producji, tóra przyjmuje postać: Y G α 1α Rozwiązując dla producji per capita otrzymujemy: y α 1 α g 1 Załadając, że stopa opodatowania to otrzymujemy równanie stopy wzrostu: α1 1α s(1τ) g ( δ + n) Z powyższego jednoznacznie wynia, że stopa wzrostu jest pozytywnie sorelowana z g zaś negatywnie z τ. Poziom opodatowania masymalizujący stopę wzrostu wynosi w tym modelu: τ τ 1α
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Połączenie modelu Solowa z modelem Połączenie modelu Solowa z modelem sutuje powstaniem funcji producji w postaci: Y + B L α 1α oraz α y + sb W tym przypadu równanie stopy wzrostu wygląda następująco: s+ sb α1 ( δ + n) s > ( δ + n) Model ten wyazuje pozytywną stopę wzrostu dla. Zarazem jedna rańcowy produt apitału jest malejący. W efecie w długim oresie stopa wzrostu jest stała, podobnie ja w modelu. W przypadu gdy mamy s < ( δ + n) wtedy występuje jedno steady state, zaś model zachowuje się ta ja model neolasyczny.
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 1. Rozważmy dwa raje, i BB, charateryzujące się taą samą funcją producji. Załóżmy, ze początowo w obu rajach poziom apitału pracy i technologii jest identyczny, a poziom apitału na 1 zatrudnionego jest niższy niż w stanie ustalonym. W raju stopa oszczędności jest równa 20%, a w raju BB wynosi 25%. W obu rajach tempo przyrostu naturalnego równa się 3% rocznie, stopa deprecjacji apitału wynosi 5%, zaś tempo postępu technicznego to 3%. Zgodnie z przewidywaniami modelu Solowa: a) tóry z rajów, jeśli w ogóle, ma początowo wyższą stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego. Dlaczego? b) tóry z rajów, jeśli w ogóle, ma wyższa stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonym. Dlaczego? c) Jaie jest tempo wzrostu PB w stanie ustalonym w obu rajach?
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 2. Maestro Roite otrzymał od ministra gospodari w raju o wdzięcznej nazwie Canibalia zadanie obliczenia stopy wzrostu PB per capita. Dane jaie otrzymał od ministra wyglądają następująco: Funcja producji ma postać Y 2/3 (L) 1/3 Stopa oszczędności wynosi 0.24, stopa deprecjacji 0.03, stopa przyrostu naturalnego 0.01, zaś tempo postępu technicznego 0.02. Dodatową informacją jest to, iż 48000, 15 a L 50 Maestro Roite spędził ila bezsennych nocy ślęcząc nad zadaniem ale niestety nie udało mu się nic wymyślić. Dodatowo dobił go psychicznie telefon od ministra, tóry zażyczył sobie aby poazać mu co się stanie ze stopą wzrostu PB per capita gdy nastąpi import nowych technologii prowadzący do wzrostu parametru do 320/9 oraz zwięszenia tempa postępu technicznego do 0.03. Dlatego też postanowił dać powyższe zadanie do rozwiązania swoim studentom z nadzieją, że uchronią go oni od niechybnej śmierci w uchni ministra...
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 3. Funcja producji wyrażona w ategoriach na 1 zatrudnionego ma postać: y h α 1α gdzie h apitał ludzi na 1 zatrudnionego. Stopa oszczędności wynosi s, zaś oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizycznego, tórego stopa deprecjacji wynosi d. apitał ludzi jest aumulowany podczas uczestnictwa w procesie producji dlatego h B, gdzie B jest parametrem. Zarówno n ja i x (postęp techniczny) wynoszą zero. Wyprowadź wzór na wartość łącznej producji Y. Oblicz wielość całowitych oszczędności w gospodarce, pamiętając że stopa oszczędności wynosi s. Uwzględniając fat, że oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizycznego, oblicz tempo wzrostu zasobu całowitego apitału fizycznego, ludziego H, oraz całowitej producji Y. Jai będzie wpływ wzrostu s na tempo wzrostu całowitej producji w omawianej gospodarce. Porównaj otrzymany wyni z wpływem wzrostu s w modelu Solowa z neolasyczną funcją producji y α. Z czego wynia różnica?
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 4. Porównaj ewolucję producji oraz producji na 1 zatrudnionego (sporządź wyres lny względem czasu) w modelu Solowa bez postępu technicznego oraz w modelu przed i po następujących zdarzeniach (załadamy, że wyjściowo znajdujemy się w steady state): Wzrost tempa przyrostu naturalnego Spade stopy oszczędności Wzrost (jednorazowy) wartości parametru Spade liczby ludności w wyniu emigracji Spade zasobu apitału fizycznego na sute atastrofy
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 5. Załóżmy, że funcja producji ma postać Y α (N) 1-α. Stopa oszczędności dana jest przez s, stopa deprecjacji równa jest d, tempo wzrostu liczby ludności wynosi n, a tempo wzrostu technologii wynosi g. Proszę wyorzystać poznane teorie wzrostu do analizy poniższych zagadnień. a) W latach 80 tych i na początu lat 90-tych Japonia charateryzowała się jedną z najwyższych stóp oszczędności wśród rajów rozwiniętych. W późniejszych latach stosune onsumpcji do dochodu wzrósł, co spowodowało spade stopy oszczędności. Ja zmiana ta wpłynie na poziom i tempo wzrostu producji na jednostę pracy efetywnej, producji na głowę oraz na poziom onsumpcji na jednostę pracy efetywnej w rótim oresie (po zmianie) i w długim oresie? W odpowiedzi proszę umieścić co najmniej wyres modelu Solowa oraz ścieżę wzrostu onsumpcji. W odpowiedzi proszę rozważyć wszystie warianty. b) Japonia niedawno została doświadczona przez bardzo silne trzęsienia ziemi, w wyniu tórego znaczna część apitału została zniszczona. Proszę na odpowiednim wyresie przedstawić róto i długooresowe onsewencje tego atalizmu dla producji na jednostę pracy efetywnej. c) Załóżmy teraz, że w Japonii funcja producji per capita ma postać: y 1-α α, gdzie α, czyli poziom technologii zależy od poziomu apitału na głowę (oznacza to również, że technologia nieoniecznie rośnie w tempie x). Proszę naszicować funcję producji na jednostę pracy oraz omówić onsewencje spadu stopy oszczędności dla tempa wzrostu producji na jednostę pracy - czy różnią się one od tych, jaie zaobserwowano w puncie a)?
dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Zadanie 6. Przyjrzyjmy się dwóm gospodarom Polsi oraz Francji. Załóżmy, że mogą być one opisane identycznymi funcjami producji: Y 1-α α N 1-α ; również stopa oszczędności s, stopa deprecjacji d, oraz tempo wzrostu liczby ludności n są taie same. Jedyną różnicą pomiędzy gospodarą Polsi a Francji jest poziom PB per capita Polsa ma znaczenie niższy poziom PB na głowę niż Francja (uwaga: gospodari nie muszą znajdować się w steady state). a) Proszę porównać ewolucję PB per capita w gospodarce polsiej i francusiej, przy założeniu, że i) technologia jest stała, ii) technologia równa jest α. b) Rozważmy ponownie gospodari Polsi i Francji. Załóżmy, że obie gospodari osiągnęły stan długooresowej równowagi. W obu rajach technologia była na pewnym stałym poziomie. W obu rajach prowadzono pewne zmiany w prawie patentowym. W Polsce, w wyniu tych zmian, nastąpił jednorazowy so technologiczny, po czym technologia ustabilizowała się na nowym, wyższym poziomie. We Francji technologia zaczęła systematycznie rosnąć, a więc pojawił się trwały postęp techniczny równy g. Proszę omówić onsewencje tych zmian dla produtu na jednostę pracy efetywnej oraz produtu na jednostę pracy w rótim i długim oresie. c) Załóżmy teraz, że w Polsce funcja producji może być zapisana jest wzorem Y(c) α (N) 1-α gdzie c jest to odsete fatycznie wyorzystywanego w procesie producji apitału, gdzie 0<c<1. Proszę wyprowadzić wzór na wartość dochodu na jednostę pracy efetywnej w stanie równowagi stacjonarnej. Ja wzrost c wpłynie na stan równowagi stacjonarnej oraz na tempo wzrostu produtu na jednostę pracy efetywnej w długim oresie?