. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W, u (, y) U W y W stneje przejśce z do y. Za pomocą grafu możemy opsywać (modelować) wszelkego rodzaju obekty rzeczywste (obekty fzyczne, zjawska, procesy tp.), które posadają pewne cechy (werzchołk grafu) pewne relacje mędzy cecham (łuk grafu). Typowe reprezentacje obektów rzeczywstych za pomocą grafów: Struktura sec dróg (werzchołk - masta lub skrzyżowana, łuk odcnk dróg); Struktura dowolnego systemu (werzchołk elementy systemu, łuk powązana mędzy elementam systemu); Mapa poltyczna śwata (werzchołk państwa, łuk sąsedztwo mędzy państwam); Struktura przedsęwzęca (werzchołk zdarzena, łuk - czynnośc); Problem przydzału np. pracownków do zadań (werzchołk pracowncy zadana do wykonana, łuk zdolność pracownka do wykonana zadana); Drzewo genealogczne (werzchołk osoby, łuk relacja typu rodzc-dzecko ).
Przykład grafu Rys.. Dla tego grafu mamy: W U {,,,, } {(, ), (,),(,),(,),(,) } Graf ten może opsywać np. strukturę sec dróg osedlowych, gdze werzchołkam grafu są skrzyżowana ( zakręty) dróg, a łuk wskazują odcnk drog kerunek jazdy mędzy dwoma sąsednm skrzyżowanam. Graf spójny to tak graf, w którym mędzy każdą parą werzchołków stneje marszruta (czyl cąg naprzemenny werzchołków łuków rozpoczynający sę w werzchołku początkowym (jeden z werzchołków pary) kończący sę w werzchołku końcowym (jako drug werzchołek pary), przy czym zwrot łuków ne gra rol). Graf antycyklczny (acyklczny) to tak, w którym ne można wyjść z dowolnego werzchołka powrócć do nego za pomocą drog (marszruty, w której kerunek łuków gra rolę).
Defncja sec Seć, to graf opsany loścowo, tzn. jest to tak graf, w którym zostały opsane pewne funkcje na werzchołkach (lub) na łukach. Przykład sec 8 Rys.. Mamy graf zdefnowany jak poprzedno: W U {,,,, } {(, ), (,),(,),(,),(,) } dodatkowo funkcję opsaną na każdym łuku, która opsuje np. długość łuku (czyl długość odcnka drog łączącego sąsedne skrzyżowana (zakręty)).
MODEL SIECIOWY PRZEDSIĘWZIĘCIA Rozważać będzemy przedsęwzęce jako wyodrębnony zbór czynnośc powązanych ze sobą technologą, tj. sposobem wykonana. Ową technologę nazywać będzemy strukturą, odwzorowane zaś przedsęwzęca projektem. Projekt przedstawać będzemy w postac tzw. sec czynnośc. DEFINICJA. Seć czynnośc to graf spójny acyklczny, który ma jeden werzchołek początkowy jeden werzchołek końcowy. Łuk sec reprezentują czynnośc, werzchołk zaś zadana. Przykład. Przedstawmy projekt wprowadzena nowego produktu na rynek. Przedsęwzęce take składa sę z czynnośc dotyczących sfery projektowana produkcj, jak równeż dzałań zwązanych z badanem rynku. Zestaw takch czynnośc przedstawono w tabel ponżej. Tabela. Czynnośc, j Nazwa czynnośc, a badane popytu na rynku, b nabyce surowców na prototypy, c wyprodukowane prototypów ocena ch jakośc, d nabyce surowców do produkcj,6 e wybór opakowań,7 f analza kosztów produkcj 8,9 g proces produkcj wyrobu 0, h wysyłka do sklepów 6,0 reklama zberane zamóweń,9 j nabyce opakowań 9,0 k pakowane wyrobu gotowego 7,8 l analza ekonomcznych parametrów decyzj po podjęcu produkcj
KONSTRUKCJA SIECI CZYNNOŚCI Do wykreślena sec czynnośc dla dowolnego projektu nezbędne są nformacje dotyczące czynnośc wchodzących w skład przedsęwzęca oraz ustalene kolejnośc ch występowana. Zasady tworzena sec czynnośc:. zdarzene początkowe ne ma czynnośc poprzedzających,. zdarzene końcowe ne ma czynnośc następujących,. dwa kolejne zdarzena mogą być połączone tylko jedną czynnoścą,. wszystke zdarzena w sec, z wyjątkem początkowego lub końcowego, pownny być początkem końcem co najmnej jednej czynnośc. Etapy konstruowana sec czynnośc:. ustalene lsty czynnośc,. ustalene zdarzena początkowego końcowego przedsęwzęca,. określene kolejnośc wykonywana czynnośc,. numerowane werzchołków.
Przykład. Opsane wyżej postępowane zlustrujemy przykładem budowy sec przedsęwzęca dotyczącego przygotowana wystawy.. Ustalene lsty czynnośc. W zadanu tym można wyodrębnć następujące czynnośc: A wybór lokalzacj wystawy, B przygotowane eksponatów, C przygotowane terenu wystawy, D przygotowane stosk, E dostawa eksponatów, F przygotowane obsług stosk (ustalene składu osobowego szkolene), G urządzene stosk wystawowych, H otwarce wystawy.. Ustalene zdarzena początkowego końcowego przedsęwzęca; Zdarzenem początkowym jest podjęce decyzj o urządzenu wystawy, a zdarzenem końcowym otwarce wystawy.. Określene kolejnośc wykonywana czynnośc. Należy dla każdej czynnośc ustalć: - czynnośc poprzedzające, czyl te, które pownny być zakończone przed rozpoczęcem danej czynnośc, - czynnośc równoległe, tzn. te, które mogą być wykonywane jednocześne z czynnoścą rozpatrywaną, - czynnośc następujące, tzn. te, które pownny sę rozpocząć po rozpatrywanej czynnośc. 6
Powązana mędzy czynnoścam dla rozpatrywanego przedsęwzęca przedstawono w tablcy.. Tabela. Czynnośc Czynnośc bezpośredno: poprzedzające następujące A (wybór lokalzacj wystawy) - C, F B (przygotowane eksponatów) - E C (przygotowane terenu wystawy) A D D (przygotowane stosk) C G E (dostawa eksponatów) B G F (przygotowane obsług stosk) A H G (urządzene stosk wystawowych) E, D H H (otwarce wystawy) F, G -. Numerowane werzchołków. Przy numerowanu werzchołków sec (zdarzeń) należy uwzględnć, że następują one w określonej kolejnośc oraz to, że zdarzene będące początkem czynnośc pownno meć numer mnejszy nż zdarzene, które jest końcem tej czynnośc. Strzałka wskazująca kolejność wykonywana czynnośc pownna węc prowadzć od zdarzena o numerze mnejszym do zdarzena o numerze wększym. Uporządkowane werzchołków zgodne z powyższą zasadą można uzyskać za pomocą algorytmu porządkowana warstwowego. Seć czynnośc rozpatrywanego przedsęwzęca przedstawono na rysunku.. Rys.. B A C E F D G 6 H 7 7
ANALIZA SIECI Z FUNKCJĄ CZASU Rozważmy przedsęwzęce opsane secą czynnośc, która spełna następujące warunk:. jest grafem prostym,. werzchołk są ponumerowane,,,...n, w tak sposób, że jeżel poprzedza j, to <j (przypomnjmy, że ten drug warunek oznacza, że każdy następnk ma numer wększy od poprzednka),. każdej czynnośc przedsęwzęca (reprezentowanej w sec przez łuk) przyporządkujemy neujemną lczbę t j, którą nterpretujemy jako czas wykonana czynnośc,j, gdze reprezentuje początek czynnośc, a j jest wydarzenem końcowym. Rozważmy zbór śceżek pełnych, tj. prowadzących od wydarzena początkowego do wydarzena końcowego, oznaczmy go przez S, przy czym zbór ten jest nepusty skończony. S s, s s, gdze: Na rys.. mamy trzy śceżk pełne, { } s s s {,,,,, }, {,,,,,,, }, {,,,,, }., Rys.. 8
W sec czynnośc każdej śceżce pełnej s k przyporządkowany jest jednoznaczne czas wykonana śceżk: (.) t( ) s k t j, j s k DEFINICJA. Czasem realzacj projektu określonym przez czas trwana czynnośc będzemy nazywal czas t : (.) t ma t( sk ) s S k Dalej wprowadzmy stotne dla naszej analzy pojęce śceżk krytycznej. Podstawę analzy stanow bowem metoda śceżk krytycznej (ang. Crtcal path method - CPM). DEFINICJA. Śceżką krytyczną w sec czynnośc nazywamy śceżkę pełną, dla której czas trwana jest najdłuższy. Borąc pod uwagę powyższe defncje, można powedzeć, że możlwe najkrótszy termn realzacj przedsęwzęca określony jest przez czas śceżk krytycznej, tj. śceżk pełnej, która w przedsęwzęcu ma określony najdłuższy czas. W sense organzacj dzałań oznacza to, że ne można zrealzować przedsęwzęca wcześnej (przy założenu stałej struktury, jak czasu wykonywana czynnośc) zanm ne wykona sę najdłuższego, w sense czasu, cągu następujących po sobe czynnośc. W naszym przypadku mamy: t ( s ) 6, t ( s ) 9, t ( s ) 7. Śceżką krytyczną jest śceżka s :,,,,,,,. Czas wykonywana czynnośc zgodne z tą śceżką określa możlwy najkrótszy termn zakończena przedsęwzęca. 9
Wygenerowane śceżek pełnych oblczene czasu w dużych secach o skomplkowanej strukturze, w tzw. secach gęstych, ne jest sprawą prostą, a poza tym ne umożlwa uzyskana odpowedz na pytane, jak pownny być uporządkowane w czase poszczególne czynnośc. Zatem nezbędne jest wyznaczene planu wykonana zadań w czase, czemu służy procedura wyznaczana charakterystyk dla zdarzeń czynnośc. Przedstawmy je w kolejnośc, najperw dla zdarzeń, a potem dla czynnośc. Charakterystyk dla zdarzeń DEFINICJA. Najwcześnejszy możlwy termn zastnena zdarzena określony jest wzorem: (.) t 0 ma{ t 0 t }, j j + j <, 0 gdze t oznacza najwcześnejszy możlwy termn wystąpena -tego zdarzena bezpośredno poprzedzającego zdarzene j-te. Uwaga: t 0 0. DEFINICJA. Najpóźnejszy uszczalny termn zastnena -tego zdarzena, t, wyznaczony jest następująco: t mn t t, j (.) { j j} <, j gdze t j oznacza najpóźnejszy uszczalny termn zastnena j-tego zdarzena, następującego po -tym zdarzenu, przy czym t <, lub 0 n t n t n t. Uwaga Najwcześnejszy najpóźnejszy termn zdarzena końcowego są sobe równe, gdyż zdarzene to ne ma następnków. 0
DEFINICJA.6 Luz czasowy L dowolnego zdarzena -tego określamy w następujący sposób: (.6) L t t. 0 Uwaga Luz czasowy zdarzena wskazuje, le może opóźnć sę termn zastnena zdarzena bez wpływu na termn zakończena realzacj projektu. Charakterystyk dla czynnośc DEFINICJA.7 Najwcześnejszy możlwy termn rozpoczęca czynnośc,j wyznacza najwcześnejszy możlwy termn zajśca zdarzena początkowego tej czynnośc. DEFINICJA.8 Najpóźnejszy uszczalny termn rozpoczęca czynnośc określony jest przez różncę t t. j j DEFINICJA.9 Najwcześnejszy możlwy termn zakończena czynnośc,j 0 wyrażony jest przez sumę t + t. j DEFINICJA.0 Najpóźnejszy uszczalny termn zakończena czynnośc,j określa najpóźnejszy termn zajśca zdarzena końcowego tej czynnośc. DEFINICJA. Zapas całkowty Z c określony jest za pomocą równana: 0 (.7) Zc t j t tj. Uwaga Stanow on rezerwę czasu, który może być wykorzystany dodatkowo na wykonane danych czynnośc, bez wpływu na termn realzacj projektu.
DEFINICJA. Zapas swobodny Z s określony jest równanem: 0 0 (.8) Zs t j t tj Uwaga Wykorzystane tego zapasu ne ma wpływu na zapasy zwązane z czynnoścam należącym do danej śceżk. DEFINICJA. Zapas warunkowy Z w określony jest następująco: (.9) Zw t j t tj Uwaga Ta rezerwa czasu może być wykorzystana bez zmnejszana zapasów poprzednch, określonych dla danej śceżk. DEFINICJA. Zapas nezależny Z n oblcza sę według wzoru: 0 (.0) Zn t j t tj Uwaga Wykorzystane tej rezerwy ne ma wpływu na zapas jakejkolwek nnej czynnośc. Można wykazać, że dla czynnośc należących do śceżk krytycznej wszystke zapasy są równe zeru. Tym samym wydłużene jakejkolwek czynnośc krytycznej o jednostkę powoduje opóźnene termnu realzacj projektu o jednostkę. W przypadku występowana jednej śceżk, każde skrócene czasu trwana jednej z czynnośc krytycznych o jednostkę powoduje skrócene o jednostkę czasu realzacj projektu. Wyznaczone termny zajśca zdarzeń, termny rozpoczęca zakończena czynnośc składają sę na plan wykonana zadań w czase realzacj projektu zwany harmonogramem.
Przykład. Dla przykładowej sec przedstawonej na rys.. harmonogramy dotyczące zdarzeń czynnośc zawarto w tabelach... Tabela. Zdarzena 0 t 0 8 9 t 0 8 9 L 0 0 0 0 0 Np. dla zdarzena 0 0 t ma { t + t} t mn t t, t t 0 L t t 0 { } mn {, 8 } Tabela. Czynnośc Czas trwana Zapas czasu j t j Z c Z s Z w Z n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Np. dla czynnośc, 0 t t t 8 Z c Z s 0 0 t 8 0 t 8 t t Z n t t. Z harmonogramów tych wynka, że wszystke zdarzena należą do śceżk krytycznej, o czym nformują nas ch luzy czasowe. Śceżkę krytyczną tworzą np. czynnośc:,,,,,,,. Ich zapasy czasu są zerowe.
PROBLEMY DRÓG EKSTREMALNYCH Defncja drog ekstremalnej Droga ekstremalna w sec jest to cąg naprzemenny werzchołków łuków w grafe, rozpoczynający sę w werzchołku początkowym p kończący sę werzchołku końcowym k, charakteryzujący sę tym, że długość drog (merzona, jako suma długośc łuków wchodzących w jej skład) jest najmnejsza lub najwększa spośród nnych dróg z p do k w sec (w drodze ważny jest zwrot łuków). Seć standardowa dla problemu dróg ekstremalnych: (.) S G,, { l} gdze: l : U R l(u) koszt gałęz u U; U(µ( p, k )) zbór gałęz drog µ( p, k ) z werzchołka p do k ; p k F µ (, ) l u - koszt drog µ( p, k ). (.) ( ) ( ) u U ( µ ( p, k )) Defncja problemu wyznaczana drog ekstremalnej: w sec S znaleźć taką drogę µ D ( p, k ), dla której p k p k (.a) F( µ (, )) mn F( µ (, )) p k p k lub µ (, ) D( p k p k (.b) F( µ (, )) ma F( µ (, )) p k p k gdze ( p k ) µ (, ) D( D, - zbór wszystkch dróg prostych w G z p do k.,, ) )
Defncja problemu wyznaczana drog ekstremalnej w sec jako zadana PLB: Przyjmjmy oznaczena: N zbór numerów werzchołków grafu G, N W ; / p k Q N, - zbór numerów werzchołków grafu z pomnęcem { } p oraz k ; c j długość łuku u(, j) U ; 0, gdy j +, c j jeśl z do j brak przejśca (dla zadań na mn), jeśl z do j brak przejśca (dla zadań na ma) wartosc w przecwnym przypadku j zmenna decyzyjna bnarna, j, 0, jeżel łuk u(,j) należy do drog ekstremalnej w przecwnym przypadku Sformułowane zadana optymalzacj: (.) cj j mn ( ma) N j N przy ogranczenach: (.), (.6), (.7) j N j N j N j sj jt j N, j j 0, Q { 0, }, N j N
Przykład. Dla sec z rys.. wyznaczyć drogę najdłuższą z werzchołka s do t. Mamy następujące zadane optymalzacj: ma przy ogranczenach: j + + + + + + + + 0 0 0 { 0, },,, j, Rozwązując to zadane (np. Solver em z arkusza Ecel) otrzymujemy: Stąd droga optymalna (najdłuższej długośc) jest następująca: 0 0 a jej długość wynos: + 0 + + 0 + + 9 6
Sec acyklczne algorytm programowana dynamcznego wyznaczana drog ekstremalnej µ p k I I I (, )? w G W, U, P p Ω ( ) - zbór werzchołków osągalnych z p w G I ; k ( ) p k X Ω( ) Π( ) wystąpć w µ ( p, k ); X ne stneje ( p, k ) Π - zbór werzchołków, z których w G I osągalny jest k ; - zbór werzchołków, które mogą µ ; G X, U, P - podgraf generowany przez X W; W, W,, - warstwy w G; p k 0 W k W0 ; WK X W X - zbór tzw. stanów uszczalnych w -tym etape; U u U : y X, u, y P - zbór tzw. sterowań uszczalnych dla stanu X; ( ) m( µ )- lczba łuków w drodze µ; Funkcje etapowe: F ( u) l( u) + F ( y(, u) ), 0,, K, + K ( ) ( ) u U ( ) ( ) ( ) F etr l u + F+ y, u przy czym y(, u) y X :, u, y(, u) P u ( ) u F (, u ) F ( ) :, K K przy czym X j ; FK 0; u K. j ( ) ( ) 7
ALGORYTM 0. Przedstawć graf G w układze warstwowym (konstruując etapy);. Wyznaczyć X dla każdego etapu, K ;. Dla każdego werzchołka określć zbór ( ), : K U ;. Dla każdego werzchołka wyznaczyć F () oraz u () (są to cechy werzchołka ). Jeżel 0, to przejśce do pkt., w przecwnym przypadku : powtórz punkt ;. Konec algorytmu. Długość drog ekstremalnej określa F ( p ), a drogę ekstremalną wyznaczają cechy u (), począwszy od werzchołka X początkowego p, zgodne z wyrażenem (, u ( )), s,, m( µ ) s y s s, +. Dendryt dróg ekstremalnych dla problemu dróg ekstremalnych przyjąć k dowolne; Antydendryt dróg ekstremalnych zamana łuków na przecwne skerowane. 8
PRZYKŁAD W sec S wyznaczyć najdłuższą drogę z p do k. S 9 6 7 6 W 0 W W W W p, k, µ ma (,)? p Ω Ω,,,,,6,7 Π X U U ( ) () { } k ( ) Π() {,,,,,6 } 0 X Ω( ) Π( ) {,,,,, 6} {}, X {,}, X { 6}, X { }, X { }, () { u,, u,, u, }, U ( ) { u,6, u,}, U () { u,} ( ) { u, u }, U (), U () 6 { u, u },, Wartość poszczególnych funkcj etapowych F ( ) przedstawa tabela. 6 - nr etapu 0 y F ( ) 0 6 u ( ) u, u 6, u, u, u,, u ( ) ( ) 6, 6, np. dla 6 mamy F ( 6) ma ma oraz u ( ) { ma } [ ( ) ( ( ))] l u + F y 6, u u u6,, u6, { l( u ) + F (), l( u ) + F () } 6, { +, + 0} Z przeprowadzonych w tabel wylczeń wynka, że długość najdłuższej drog µ ma (,) wynos F ( µ ( )) ma, F0 ( ). Droga najdłuższa jest następująca (z p do k ): u, u, u,. 6, 9