Dr Marek Majewski Łódź, 25 kwietnia 2017 r. Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego. Autoreferat

Dr Marek Majewski Łódź, 25 kwietnia 2017 r. Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego Autoreferat Spis treści 1 Posiadane dyplomy i stopnie naukowe. 3 2 Dotychczasowe zatrudnienie. 3 3 Wskazanie osiągnięcia naukowego. 3 4 Szczegółowe omówienie osiągnięcia. 4 4.1 Wstęp....................................... 4 4.2 Istnienie i ciągła (gładka) zależność rozwiązań od sterowania......... 5 4.2.1 Zastosowanie twierdzenia o funkcji uwikłanej istnienie, jednoznaczność i gładka zależność rozwiązania od sterowania........ 6 4.2.2 Metoda wariacyjna z zastosowaniem granicy w sensie Kuratowskiego Painlevé.................................. 8 4.3 Istnienie rozwiązań optymalnych........................ 11 4.3.1 Zadanie Lagrange a zastosowanie ciągłej zależności i twierdzenia o półciągłości z dołu........................... 11 4.3.2 Zadanie Mayera osłabienie standardowego warunku wzrostu... 13 4.4 Sterowalność pewnych układów......................... 15 4.4.1 Sterowalność do zbioru zastosowanie metody do procesu powtarzalnego.................................. 15 4.4.2 Zasada bang bang i sterowania kawałkami stałe ciągłe układy Roessera................................. 18 5 Omówienie pozostałych wyników badań. 20 5.1 Spis pozostałych publikacji........................... 20 5.1.1 Publikacje naukowe w czasopismach znajdujących się w bazie Journal Citation Reports (JRC)....................... 21 5.1.2 Publikacje w czasopismach punktowanych według listy ministerialnej. 22 5.1.3 Publikacje w recenzowanych materiałach konferencyjnych...... 22

5.1.4 Krótkie abstrakty konferencyjne.................... 23 5.2 Zagadnienia rozważane w doktoracie istnienie i stabilność rozwiązań optymalnych................................... 24 5.3 Istnienie rozwiązań optymalnych dla różnych zadań typu Lagrange a.... 26 5.4 Istnienie rozwiązań dla zadania typu Mayera................. 28 5.5 Zadania optymalizacyjne z ułamkowymi układami różniczkowymi...... 28 5.6 Sterowalność do zbioru zastosowanie twierdzenia Poincaré Mirandy... 29 5.7 Algorytmy wyznaczania sterowań........................ 30 5.8 Istnienie i gładka zależność od sterowania zastosowanie twierdzenia o dyfeomorfizmie.................................. 30 5.9 Równania różniczkowe z pochodnymi ułamkowego rzędu........... 31 5.10 Komunikaty [M30] [M39]............................ 33 2

1 Posiadane dyplomy i stopnie naukowe. Dyplom magistra (kierunek matematyka), Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego, 26 czerwca 1997 roku. Tytuł rozprawy: Podstawowe własności układów Hamiltona i ich interpretacja fizyczna. Promotor: prof. dr hab. Stanisław Walczak. Stopień doktora nauk matematycznych w zakresie matematyki, Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego, 2 kwietnia 2003 roku. Tytuł rozprawy: Stabilność rozwiązań układów różniczkowych i układów sterowania. Promotor: dr hab. Dariusz Idczak. 2 Dotychczasowe zatrudnienie. 2003 do chwili obecnej: adiunkt w Katedrze Równań Różniczkowych i Informatyki, Wydział Matematyki i Informatyki UŁ. 2011 2012: starszy wykładowca (1/3 etatu), Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku. 1998 2003: asystent w Katedrze Równań Różniczkowych i Informatyki, Wydział Matematyki UŁ. 3 Wskazanie osiągnięcia naukowego. Osiągnięciem naukowym stanowiącym podstawę do ubiegania się o stopień doktora habilitowanego nauk matematycznych jest cykl publikacji zatytułowany: Wybrane układy sterowania i ich optymalizacja, w skład którego wchodzą następujące publikacje: [H1] M. Majewski, Control system defined by some integral operator. Opuscula Mathematica, Vol. 37, No. 2, 2017. (11p.) [H2] R. Kamocki, M. Majewski, On the continuous dependence of solutions to a fractional Dirichlet problem. The case of saddle points. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, Vol. 19, Issue 8, pp. 2557 2568, 2014. (IF 1.227, 25p.) [H3] R. Kamocki, M. Majewski, On the Existence and Continuous Dependence on Parameter of Solutions to Some Fractional Dirichlet Problem with Application to Lagrange Optimal Control Problem. Journal of Optimization Theory and Applications. DOI:10.1007/s10957-016-0954-6. (IF 1.160, 35p. dane z 2015) 3

[H4] D. Bors, M. Majewski, On Mayer problem for systems governed by second-order ODE, Optimization, Vol. 63, Issue 2, pp. 239 254, 2014. (IF 0.936, 25p.) [H5] D. Idczak, M. Majewski, A Generalization of the Poincaré Miranda Theorem with an Application to the Controllability of Nonlinear Repetitive Processes. Asian Journal of Control, Vol. 12, No. 2, pp. 168 176, 2010. (IF 0.578, 20p.) [H6] D. Idczak, M. Majewski, Bang bang Controls and Piecewise Constant ones for Continuous Roesser Systems. Multidimensional Systems and Signal Processing, Vol. 17, Issue 2, pp. 243 255, 2006. (IF 0.588, 20p.) W prezentowanym cyklu publikacji badane były następujące zagadnienia: 1. ciągła zależność rozwiązań układów sterowania od sterowań. 2. Istnienie rozwiązań zadań sterowania optymalnego. 3. Sterowalność układów. 4 Szczegółowe omówienie osiągnięcia. 4.1 Wstęp. Przez układy ze sterowaniem rozumiemy zwykle równania różniczkowe zwyczajne lub cząstkowe, równania całkowe a także różniczkowo całkowe, w których oprócz funkcji niewiadomej występuje parametr funkcyjny u. Układy te rozważa się z warunkami lokalnymi (brzegowymi, początkowymi), globalnymi itp. odpowiednio dobranymi do typu równania. W zastosowaniach układy sterowania opisują zwykle dynamikę jakiegoś zjawiska fizycznego, chemicznego, biologicznego, ekonomicznego lub technicznego i stanowią model matematyczny tego zjawiska. Funkcja niewiadoma występująca w równaniach opisuje stan obiektu, którego dynamikę badamy, natomiast parametr zwykle jest interpretowany jako czynnik zewnętrzny: siła sterująca, dawka leku, strategia itp. Stąd w literaturze używa się zazwyczaj terminu funkcja stanu dla określenia niewiadomej i sterowanie dla parametru funkcyjnego. Wśród podstawowych zagadnień badawczych dotyczących układów sterowania należy wymienić: 1 0. problem istnienia rozwiązania układu przy zadanym sterowaniu, 2 0. problem jednoznaczności rozwiązania układu przy zadanym sterowaniu, 3 0. problem zależności (ciągłej lub gładkiej) rozwiązania układu od sterowania, 4 0. problemy sterowalności (dokładnej, aproksymatywnej), 4

5 0. problemy obserwowalności, stabilizowalności i inne. Często układ sterowania rozważany jest wraz z pewnym funkcjonałem J, zwanym funkcjonałem kosztu albo wskaźnikiem jakości, zależnym od pary rozwiązanie sterowanie (czasami od jednej z tych funkcji). Wówczas możemy rozważać zagadnienie sterowania optymalnego, polegające na znalezieniu pewnego sterowania oraz zwykle odpowiadającego mu rozwiązania układu będących argumentu minimum funkcjonału J. Jest to odpowiednik klasycznego zadania ekstremalnego rozważanego w skończonym wymiarze, polegającego na znalezieniu maksimum lub minimum funkcji J na zbiorze argumentów spełniających określone warunki. W przypadku zagadnień sterowania optymalnego jest to zwykle zbiór par rozwiązanie sterowanie spełniających układ sterowania oraz czasami pewne dodatkowe warunki. Początek rozwoju teorii sterowania i teorii sterowania optymalnego należy datować na drugą połowę dwudziestego wieku. Szczegółowa literatura z tego zakresu jest niezwykle bogata. Jej główne pozycje, stanowiące bardzo dobre podsumowanie klasycznych wyników, a także szeroki wybór znakomitych przykładów zastosowań to monografie [Pontryagin et al., 1962], [Lee, Markus, 1967], [Berkovitz, 1974], [Macki, Strauss, 1982], [Cesari, 1983], zaś z pozycji polskich autorów: [Zabczyk, 1991], [Klamka, 1991], [Górecki, 1993], [Kaczorek, 1993] W przedłożonym cyklu publikacji badane były zagadnienia 1 0 4 0, a także problemy sterowania optymalnego dla zadań z funkcjonałami całkowymi typu Lagrange a i punktowymi typu Mayera. 4.2 Istnienie i ciągła (gładka) zależność rozwiązań od sterowania. Problemy istnienia, jednoznaczności i ciągłej lub gładkiej zależności rozwiązań równania będącego modelem pewnego zjawiska od występujących w nim parametrów są bardzo istotne z praktycznego punktu widzenia. W klasycznym dziele [Courant, Hilbert, 1989] czytamy: Problem matematyczny, który ma odpowiadać fizycznej rzeczywistości powinien spełniać następujące warunki: 1. jego rozwiązanie powinno istnieć, 2. jego rozwiązanie powinno być jednoznacznie określone, 3. rozwiązanie powinno być zależne w sposób ciągły od danych (...) Trzeci warunek, szczególnie trafny, jest niezbędny, jeśli opis matematyczny ma odzwierciedlać zjawisko obserwowalne w naturze. Dane w naturze nie mogą być postrzegane jako ściśle ustalone proces ich pomiaru jest zawsze obarczony pewnymi błędami. W przedłożonym cyklu publikacji w/w zagadnienia badane były zasadniczo w trzech pracach [H1] [H3]. 5

Warto też zwrócić uwagę, że ciągła zależność rozwiązań od sterowania może być wykorzystana do badania istnienia rozwiązań optymalnych dla zadań Lagrange a (lub innych), których argumenty są rozwiązaniami rozważanego równania. Zostało to zrobione dla zadania z problemem Dirichleta w pracy [H3], zaś propozycje takiego podejścia dla zadań z równaniem Volterry (rozważanym w pracy [H1]) były przeze mnie prezentowane między innymi na konferencji DSA w Łodzi w czerwcu 2016 roku. 4.2.1 Zastosowanie twierdzenia o funkcji uwikłanej istnienie, jednoznaczność i gładka zależność rozwiązania od sterowania. W pracy [H1] badany był układ sterowania opisany następującym nieliniowym równaniem całkowym Volterry x(t)+ t 0 V (t,τ,x(τ),u(τ))dτ = 0, t I := [0,1]. (1) Rozwiązań równania (1) poszukujemy w zbiorze H 1 = H 1 (I,R n ) takich funkcji absolutnie ciągłych x : I R n, że x(0) = 0 oraz pochodna ẋ jest całkowalna z kwadratem, tzn. ẋ L 2 (I,R n ). O sterowaniach u zakładamy, że są z przestrzeni U := L ( I,R k). Głównym narzędziem wykorzystanym w pracy jest następujące twierdzenie o globalnej funkcji uwikłanej pochodzące z pracy [Idczak, 2014], będące w istocie uogólnieniem twierdzenia o globalnym dyfeomorfizmie z pracy [Idczak et al., 2012]. Twierdzenie 1 Niech X,Y będą rzeczywistymi przestrzeniami Banacha, H rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Jeśli, F : X Y H jest odwzorowaniem klasy C 1 oraz (a) różniczka F x (x,y) : X H jest bijekcją dla dowolnych (x,y) X Y, (b) funkcjonał f : X x 1 2 F (x,y) 2 R spełnia warunek Palais Smale a dla dowolnych y Y, to istnieje dokładnie jedna funkcja λ : Y X taka, że równania F (x,y) = 0 oraz λ(y) = x są równoważne w zbiorze X Y. Powyższa funkcja λ jest klasy C 1 oraz jej różniczka wyraża się wzorem λ (y) = [F x (λ(y),y)] 1 F y (λ(y),y) dla y Y. Głównym wynikiem pracy [H1] jest istnienie (przy odpowiednich założeniach zob. założenia (A1) (A3) w pracy [H1]), dla ustalonego dowolnie sterowania u U, dokładnie jednego rozwiązania (trajektorii)x u H 1 oraz ciągła różniczkowalność odwzorowaniau u x u H 1 (zob. Theorem 3.4 w [H1]). Dowód polega na zastosowaniu powyższego 6

Twierdzenia 1 o funkcji uwikłanej do operatora F : H1 L ( I,R k) H 1 określonego wzorem F (x,u)(t) := x(t)+ t 0 V (t,τ,x(τ),u(τ))dτ. Tego typu podejście stosowane było także, w przypadku innych typów równań, w pracach [Idczak et al., 2012], [Idczak, 2014], [Bors, 2015], [Galewski, Koniorczyk, 2015], [Galewski, Koniorczyk, 2016]. Podstawową trudnością tej metody jest sprawdzenie warunku (PS), czyli założenia (b). Nowością zaproponowaną w prezentowanej pracy jest zastosowanie tzw. normy Bieleckiego przy sprawdzaniu założenia (b). Otóż, przestrzeń H 1 jest tu rozważana z normą ( 1 x m := 0 ) 1 e mt ẋ(t) 2 2 dt, (2) gdzie x H 1 i m 0 jest ustaloną stałą. Łatwo zauważyć, że dla dowolnych m 1,m 2 0 normy m1, m2 są równoważne (w szczególności, każda z norm jest równoważna klasycznej normie przestrzeni H1 ). Oczywiście, norma (2) jest wyznaczona przez iloczyn skalarny x,y m := 1 0 e mt ẋ(t),ẏ(t) R n dt. W konsekwencji H1 z powyższym iloczynem jest przestrzenią Hilberta. Aby wykazać, że spełnione jest założenie (b) Twierdzenia 1 wykazuje się najpierw koercytywność odpowiedniego funkcjonału. Rozważenie przestrzeni H1 z normą Bieleckiego, z odpowiednio dobranym m pozwala na pozbycie się restryktywynego założenia, jakie pojawiało się we wszystkich w/w pracach. Chodzi tu o ograniczenie normy funkcji występującej w warunku wzrostu na funkcję podcałkową badanego równania. Na przykład, w pracy [Idczak et al., 2012], gdzie badane jest równanie różniczkowo całkowe x (t) = t 0 Φ(t,τ,x(τ))dτ = y(t), jest to ograniczenie postaci 2 a L 2 (P,R) 2, gdzie a jest funkcją występującą w następującym warunku wzrostu istnieją funkcje a,b L 2( ) P,R + 0 takie, że dla p.w. (t,τ) P, x R n, (tutaj P := {(t,τ) [0,1] [0,1] : τ t}.) Φ(t,τ,x) a(t,τ) x +b(t,τ) Zastosowanie w pracy [H1] normy Bieleckiego pozwoliło w istotny sposób poszerzyć klasę badanych równań (por. Remark 2.3 w pracy [H1]). Warto też podkreślić, że otrzymana ciągła różniczkowalność odwzorowania U u x u H 1 może być wykorzystana przy konstrukcji aproksymacji rozwiązania równania 7

(1) w oparciu o pewne metody numeryczne (np. metodę gradientową). W tej sytuacji zaproponowane osłabienie założenia, o jak się wydaje technicznym charakterze, może mieć istotne znaczenie. 4.2.2 Metoda wariacyjna z zastosowaniem granicy w sensie Kuratowskiego Painlevé. W podejściu wariacyjnym rozwiązań układu sterowania poszukuje się jako punktów krytycznych (punktów siodłowych lub punktów minimum) odpowiedniego funkcjonału działania F. Jest to klasyczna metoda wariacyjna stosowana do badania wybranych równań różniczkowych. Uruchamiając sterowanie bada się następnie zależność punktów krytycznych (rozwiązań) od parametru funkcyjnego sterowania u. Problem polega jednak na tym, że na ogół w zagadnieniach wariacyjnych punkt krytyczny funkcjonału działania F nie jest jednoznaczny, a co za tym idzie rozwiązań badanego równania różniczkowego może być wiele. Jak zatem rozumieć ciągłą zależność rozwiązań od parametru? Stosujemy tu podejście oparte na pojęciu granicy górnej ciągu zbiorów punktów krytycznych (rozwiązań), które zostało zaproponowane przez S. Walczaka w pracy [Walczak, 1995] i jest rozwijane przez jego uczniów, do których mam przyjemność się zaliczać. Granicą górną (w sensie Kuratowskiego Painlevé) ciągu zbiorów (V k ) w przestrzeni topologicznej nazywamy zbiór LimSupV k wszystkich punktów skupienia wszystkich ciągów (v k ) takich, że v k V k. Odnosząc to do omawianej sytuacji, jeżeli przez u 0 oznaczymy parametr graniczny, zaś przez V 0 odpowiadający mu zbiór punktów krytycznych odpowiedniego funkcjonału działania, to o ciągłej zależności w powyższym sensie mówimy, jeśli dla dowolnego ciągu parametrów (u k ) zbieżnego do u 0 (w sensie topologii przestrzeni sterowań) odpowiadający mu ciąg zbiorów V k punktów krytycznych funkcjonału działania spełnia warunek LimSupV k V 0. (3) W przypadku prac [H2] [H3] powyższa granica będzie rozumiana w słabej topologii pewnej przestrzeni refleksywnej. Co więcej, w tych pracach zbiory punktów krytycznych są wspólnie ograniczone. Pozwala to na następującą interpretację: jeśli zaburzymy graniczny układ sterowania (odpowiadający sterowaniu u 0 ) poprzez zmianę sterowania tak, że ciąg zaburzeń (u k ) zbiega do u 0, to dowolny(!) ciąg (v k ) punktów krytycznych funkcjonałów działania odpowiadających parametrom u k ma punkt skupienia, który jest punktem krytycznym granicznego funkcjonału działania (czyli odpowiadającemu niezaburzonemu parametrowi u 0 ). Jeżeli zbiory punktów krytycznych pokrywają się z rozwiązaniami układu (miedzy innymi dzięki zastosowaniu lematu du Bois Reymonda), to powyższa własność dotyczy mocnych rozwiązań układu. W tym miejscu trzeba podkreślić, że własność ta nie wynika z definicji granicy górnej, lecz jest konsekwencją ograniczoności zbioru wszystkich punktów krytycznych i refleksywności przestrzeni. Warto też dodać, że 8

takie rozumienie ciągłej zależności pokrywa się z klasyczną ciągłą zależnością, w sytuacji jednoznaczności punktów krytycznych (rozwiązań). Jak wspomniałem podejście to jest znane i z powodzeniem stosowana od kilkunastu lat. Wspólnie z R. Kamockim zastosowaliśmy ją w pracach [H2] [H3] do problemów Dirichleta z pochodną ułamkową w sensie Riemanna Liouville a. Podstawowe koncepcje rachunku różniczkowego i całkowego ułamkowego rzędu należy datować na wiek dziewiętnasty i wiązać z takimi nazwiskami jak Riemann, Abel, Dirichlet czy Liouville. Centralne miejsce w rachunku ułamkowym zajmuje całka Riemanna Liouville a z funkcji f na przedziale [a, b] rzędu α > 0 definiowana (w wersji lewostronnej) jako ( I α a+ f ) (x) := 1 x f(η) Γ(α) a (x η) 1 αdη. Tego typu całka pojawia w tzw. równaniu całkowym Abela z niewiadomą funkcją f (por. [Samko et al., 1995]) postaci g(y) = 1 y f(η) Γ(α) a (y η) 1 αdη. (4) Niels Abel badając problem tautochrony, czyli krzywej, po której punkt materialny zsuwa się do najniższego jej punktu pod wpływem stałej siły grawitacji w takim samym czasie niezależnie od punktu startowego, wyprowadził jej równanie wiążąc je z następującym równaniem całkowym (zob. [Miller, Ross, 1993]) T = 1 2g y 0 h (η) dη, (y η) 1 2 w którym y oznacza drugą współrzędną punktu startowego, h długość drogi jaką przebywa punkt materialny mierzoną wzdłuż poszukiwanej krzywej od punktu startowego, zaś T czas ruchu (zob. Rysunek 1). Jest to więc szczególny przypadek równania (4), w którym α = 1, lewa strona jest funkcją stałą g(y) T 2g, zaś niewiadomą funkcja 2 π h. W ostatnim czasie nastąpił gwałtowny wzrost zainteresowania równaniami różniczkowych o pochodnych ułamkowych. Wiąże się to z pewnymi zastosowaniami pochodnych ułamkowych np. przy opisie tzw. superkondensatorów (zob. np. [Sierociuk, 2007]), czy dyfuzji anomalnej (zob. [Pękalski, Sznajd Weron, 2007]). Podejmowane są próby przenoszenia rezultatów klasycznych na przypadek równań z pochodnymi ułamkowymi. Z uwagi na globalny charakter pochodnej Riemanna Liouville a nie zawsze jest to możliwe (np. pojawia się problem różniczkowania złożenia). Ciekawą dyskusję dotyczącą perspektyw rozwoju tej dziedziny można znaleźć w [Machado et al., 2016]. W pracy [H2] rozważamy następujący układ { f x1 (t,x,d α a+x,y,d β a+y,u) = D α b f x 2 (t,x,d α a+x,y,d β a+y,u) z warunkami brzegowymi f y1 (t,x,d α a+x,y,d β a+y,u) = D β b f y 2 (t,x,d α a+x,y,d β a+y,u) { I 1 α a+ x(a) = x(a) = x(b) = 0, I 1 β a+ y(a) = y(a) = y(b) = 0. 9

Rysunek 1: Tautochrona, źródło: [Miller, Ross, 1993] Symbole Da+, α Db α, Dβ a+, D β b oznaczają tu pochodne w sensie Riemanna Liouville a (lewostronną i prawostronną odpowiednio) rzędów α,β (0,1] na przedziale [a,b] 1. Ściślej, o rzędach pochodnej zakładamy, że α,β ( 1,1). Funkcjami niewiadomymi są 2 tu x,y, zaś funkcja u U := {u L ([a,b],r m ) : u(t) M}, gdzie M R m jest ustalonym zbiorem wypukłym i ograniczonym, jest sterowaniem. Zastosowana metoda wariacyjna polega w pierwszym kroku na zdefiniowaniu, dla ustalonego u U, funkcjonału F u (x,y) = b a f(t,x(t),d α a+x(t),y(t),d β a+y(t),u(t))dt, określonego na przestrzeni H α 0 ([a,b],r n 1 ) H β 0 ([a,b],r n 2 ), gdzie H0 α ([a,b],r n 1 ) = { x Ia+( α L 2 ([a,b],r n 1 ) ) : x(b) = 0 }, { H β 0 ([a,b],r n 2 ) = y Ia+( β L 2 ([a,b],r n 2 ) ) } : y(b) = 0, (I α a+(l 2 ), I β a+(l 2 ) oznaczają obrazy przestrzenil 2 wyznaczone za pomocą operatora całki Riemanna Liouville a) i wykazaniu istnienia jego punktów siodłowych (zob. Proposition 2 w [H2]). Głównym narzędziem wykorzystanym w tej części pracy jest twierdzenie 1 Mówimy, że funkcja x posiada lewostronną pochodną w sensie Riemanna Liouville a Da+x α rzędu α na przedziale [a,b], jeśli funkcja Ia+ 1 α x jest absolutnie ciągła na przedziale [a,b], wtedy (Da+x)(t) α 1 d := Γ(1 α) dt t a x(τ) (t τ) αdτ dla p.w. t [a,b]. Mówimy, że funkcja x posiada prawostronną pochodną w sensie Riemanna Liouville a Db α x rzędu α na przedziale [a,b] jeśli funkcja I 1 α b x jest absolutnie ciągła na przedziale [a,b]; przez tę pochodną rozumiemy funkcję d dt (I1 α b x), tzn. (D α b x)(t) := 1 Γ(1 α) ( d b dt ) x(τ) t (τ t) αdτ, dla p.w. t [a,b]. 10

Ky Fana. Aby wykazać, że punkty krytyczne typu siodłowego są rozwiązaniami (zob. Theorem 4.6 w [H2]) korzystamy z ułamkowej wersji klasycznego lematu du Bois Reymonda uzyskanego przez D. Idczaka (zob. [Idczak, 2011]). Kolejnym wynikiem pracy i drugim krokiem metody jest zastosowanie pojęcia granicy górnej w sensie Kuratowskiego Painlevé dla sformułowania własności ciągłej zależności rozwiązań od sterowania (Theorem 5.2 i 5.3 w [H2]). Kluczowym założeniem jest tu odpowiednie podparcie kwadratowe funkcji f, niezależne od parametru u (zob. założenie (A3) w [H2]). Pozwala ono uzyskać wspólne ograniczenie wszystkich punktów siodłowych i dzięki refleksywności przestrzeni uzyskać żądaną własność (3) granicy górnej w słabej topologii. Podstawowe trudności związane z zastosowaniem metody tkwiły w osobliwych własnościach pochodnej ułamkowego rzędu. Kluczowym elementem jest tutaj zdefiniowanie dziedziny funkcjonału działania. Zwróćmy uwagę, że pochodna ułamkowa w sensie Riemanna Liouville a jest definiowana dla funkcji z klasy funkcji całkowalnych. Pojawia się więc problem z punktowym warunkiem brzegowym. Trafnym rozwiązaniem jest rozważenie jako dziedziny funkcjonału działania iloczynu obrazów I α a+(l 2 ) I β a+(l 2 ). Okazuje się, że dla p > 1 i γ (1/p,1) funkcja I γ a+ϕ jest ciągła na (a,b] o ile ϕ L p (stąd w naszym przypadku zakładamy, że α,β (1/2,1). Co więcej, lim t a+ (I γ a+ϕ)(t) = 0, więc funkcję tę można w sposób ciągły przedłużyć na punkt a. Jako pierwszy zauważył ten fakt L. Bourdin w pracy [Bourdin, 2013]. Można powiedzieć, że przestrzenie H α 0 i H β 0 są ułamkowymi odpowiednikami klasycznej przestrzeni H 1 0. Okazuje się nawet, że jeśli α,β (1/2,1), to słaba zbieżność w tych przestrzeniach implikuje zbieżność jednostajną (por. [Bourdin, 2013]). 4.3 Istnienie rozwiązań optymalnych. Kolejnym zagadnieniem badanym przy rozważaniu układów ze sterowaniem jest problem istnienia rozwiązań optymalnych. W przedłożonym cyklu prac badane były dwa problemy. Problem Lagrange a, w którym całkowy funkcjonał kosztu zależy od pary (rozwiązanie, sterowanie) oraz problem Mayera, w którym wskaźnik jakości zależy od stanu obiektu w końcach rozważanego przedziału czasowego. 4.3.1 Zadanie Lagrange a zastosowanie ciągłej zależności i twierdzenia o półciągłości z dołu. W pracy [H3] badany jest następujący problem Lagrange a przy warunkach L(u,x) := b a L(t,x(t), ( D α a+x ) (t),u(t))dt min (5) f x ( t,x(t), ( D α a+ x ) (t),u(t) ) +D α b f y ( t,x(t), ( D α a+ x ) (t),u(t) ) = 0, (6) 11

x H α,p 0 := { x I α a+(l p ) : x(a) = x(b) = 0 }, p > 1, α > 1 p, (7) u U K := {u L : u(t 1 ) u(t 2 ) K t 1 t 2 dla p.w. t 1,t 2 [a,b]}. (8) Innymi słowy, poszukujemy minimum funkcjonału L na zbiorze par (x,u) H α,p 0 U K takich, że x jest rozwiązaniem (6) odpowiadającym parametrowi u (K > 0 jest ustaloną liczbą). Pierwszym zagadnieniem wymagającym rozstrzygnięcia jest problem istnienia rozwiązań zadania Dirichleta dla równania (6). Równanie (6), przy ustalonym sterowaniu u ma strukturę wariacyjną jest równaniem Eulera Lagrange a dla funkcjonału działania J u (x) = b a f(t,x(t),(d α a+x)(t),u(t))dt rozważanego na H α,p 0. Stosujemy tu metody wariacyjne podobne do tych z pracy [H2]. Najpierw uzyskujemy, przy odpowiednich założeniach, istnienie i wspólną ograniczoność punktów krytycznych typu minimum dla funkcjonałuj u (Theorem 4.1 w [H3]) oraz istnienie rozwiązań zadania Dirichleta dla równania (6) będących punktami minimum (Theorem 4.2 z [H3]). Przy mocniejszym założeniu dotyczącym wypukłości funkcji f dostajemy, że innych rozwiązań jak punkty minimum nie ma, więc również i zbiór rozwiązań jest wspólnie ograniczony (Theorem 4.3, [H3]). Podstawowa różnica w odniesieniu do pracy [H2] polega na tym, że uzyskane punkty krytyczne, to punkty minimum. Ich istnienie otrzymujemy przy pomocy pewnej wersji twierdzenia Weirstrassa. Założona koercytywność funkcjonału daje ograniczoność ciągów minimalizujących funkcjonału działania (i ich słabą zwartość dzięki refleksywności dziedziny), zaś sam funkcjonał jest słabo (ciągowo) półciągły z dołu. postać Warto zauważyć, że dla f postaci f(t,x,y,u) = 1 2 y 2 +F(t,x), równanie (6) przybiera ( D α b D α a+x ) (t)+f x (t,x(t)) = 0, zaś w klasycznym przypadku tj. dla α = 1, w którym zachodzi D α b Dα a+x = ẍ dostajemy równanie Problem istnienia rozwiązań równania ẍ(t) = F x (t,x(t)). ( D α b D α a+x ) (t)+f x (t,x(t)) = u(t) był badany między innymi w pracy [Torres, 2014], gdzie autor określa powyższe równanie mianem fractional forced pendulum. Liniowy przypadek tego równania, ( D α b D α a+x ) (t) = λx(t) opisuje tzw. ułamkowy oscylator (por. [Agrawal, 2002], [Beleanu, Trujillo, 2008], [Klimek, 2010], [Torres, 2014]), który może być zastosowany do opisu procesu opróżniania silosu (zob. [Leszczyński, Błaszczyk, 2011]). 12

Kolejnym wynikiem pracy [H3] jest ciągła zależność rozwiązań (punktów krytycznych) od parametru. Tu podobnie jak w pracy [H2] wyrażamy ją za pomocą własności granicy górnej ciągu zbiorów w sensie Kuratowskiego Painlevé. Stwierdzamy więc, że jeśli u k u 0 wl, to granica górna ciągu zbioru punktów krytycznych funkcjonałuj uk jest niepusta i jest zawarta w zbiorze punktów krytycznych funkcjonału J u0 (zob. Theorem 4.4, [H3]). Ostatnim wynikiem pracy jest twierdzenie o istnieniu rozwiązań optymalnych dla zadania Lagrange a (5) (8) Theorem 5.1. Jego dowód oparty jest na ciągłej zależności i twierdzeniu Arzelà Ascoli. Rozważając ciąg minimalizujący (u k,x k ) dla funkcjonału L dzięki twierdzeniu Arzelà Ascoli możemy przyjąć, że ciąg(u k ) jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji u 0, zaś ciągła zależność pozwala założyć, że również (x k ) jest słabo zbieżny do pewnej funkcji x 0 będącej rozwiązaniem zadania Dirichleta odpowiadającemu sterowaniu u 0. Wreszcie, z przyjętych założeń o funkcjonale L i dzięki zastosowaniu twierdzenia o półciągłości z dołu funkcjonału całkowego (por. [Olech, 1977]) dostajemy optymalność pary (u 0,x 0 ). 4.3.2 Zadanie Mayera osłabienie standardowego warunku wzrostu. Praca [H4] dotyczy następującego problemu optymalnego I(x,u) = g(x(0),x(t),ẋ(0),ẋ(t)) min (9) przy warunkach ẍ(t) = f (t,x(t),u(t)) dla p.w. t [0,T], (10) (x(0),x(t),ẋ(0),ẋ(t)) B, (11) u U := {u L ([0,T],R m ) : u(t) M dla p.w. t [0,T]}, (12) gdzie M R m jest zwarty, B R 4n domknięty. Naturalnie pierwszym wynikiem niezbędnym do uzyskania istnienia rozwiązań optymalnych jest istnienie rozwiązań dla problemu różniczkowego { ẍ(t) = f (t,x(t),ũ(t)) x(0) = x 0, x(t) = x T (13) z ustalonym parametrem ũ. Podobnie jak w pracach [H2] [H3] stosujemy tu metodę wariacyjną aby wykazać istnienie punktów krytycznych funkcjonału działania określonego na przestrzeni funkcji absolutnie ciągłych H 1 0 ([0,T],R n ) z całkowalną z kwadratem pochodną spełniających jednorodne warunki brzegowe. Do warunków niejednorodnych, występujących w równaniu, przechodzimy wykorzystując odpowiednie podstawienie. W efekcie otrzymujemy istnienie i jednoznaczność rozwiązań układu (13) dla ustalonego parametru u. Ponadto, wykazano wspólną ograniczoność wszystkich rozwiązań układu (13) odpowiadających różnym sterowaniom u U oraz spełniających warunki brzegowe z wartościami x 0, x T z pewnej ustalonej z góry kuli (zob. Theorem 3.2 w [H4]). 13

Głównym wynikiem pracy jest istnienie rozwiązań optymalnych dla zadania (9) (12) (zob. Theorem 4.2 w [H4]). Najpierw przekształcamy zadanie (9) (12) do zadania I(x,v,u) = g(x(0),x(t),v(0),v(t)) min (14) z warunkami { ẋ(t) = v(t) v(t) = f (t,x(t),u(t)) (15) u U, (x,v) H 2 ([0,T],R n ) H 1 ([0,T],R n ). Rozważając ciąg minimalizujący ( x k,v k,u k) dla tego zadania wnosimy, dzięki twierdzeniu Arzelà Ascoli oraz twierdzeniu Dunforda Pettisa, o istnieniu pary funkcji (x 0,v 0 ) k takiej, że x k x 0, v k v 0, v k v 0 oraz ẋ 0 = v 0. Następnie, dzięki twierdzeniu o domknięciu dla pola orientorowego [Cesari, 1983, 10.6.ii] i twierdzeniu o funkcji uwikłanej dla multifunkcji dostajemy, że para (x 0,v 0 ) jest rozwiązaniem zadania różniczkowego (15) dla odpowiedniego sterowania u 0. W końcu, dzięki półciągłości z dołu funkcjonału I dostajemy, że (x 0,u 0 ) jest rozwiązaniem zadania (9) (12). Oczywiście istotne jest tu założenie odpowiedniej koercytywności funkcji g (por. założenie (A6) w [H4]). Ważnym osiągnięciem pracy jest osłabienie, w stosunku do klasycznych wyników, założenia wzrostu funkcji f. Standardowym założeniem nakładanym zwykle na prawą stronę układu (15) w zadaniu Mayera jest założenie postaci xv +vf(t,x,u) C(1+ v 2 + x 2 ). Pozwala ono na uzyskanie oszacowania a priori niezbędnego do zastosowania lematu Fillipova o istnieniu rozwiązania optymalnego (zob. [Cesari, 1983, 9.2.i]. W niniejszej pracy udało się wyeliminować to założenie pozwalając na szybszy niż kwadratowy wzrost w nieskończoności prawej strony równania (15) (por. Example 5.1 w [H4]). Oszacowanie a priori udaje się uzyskać dzięki założonej koercytywności funkcji g (por. założenie (A6) w [H4]). W pracy zamieszczono również przykład ilustrujący zastosowanie uzyskanego wyniku do modelu obiektu ze zmienną masą (zob. Example 5.2 w [H4]). Jest to układ sterowania rakietą z N silnikami o zmniejszającej się (na skutek wyrzutu) masie. Ruch rakiety opisany jest równaniem N m(t) v(t) = (v i (t) v(t))ṁ i (t)+f ext, (16) i=1 gdzie v i (t) jest prędkością wyrzutu masy m i (t) z i tego silnika, v(t) i m(t) odpowiednio prędkością i masą całkowitą rakiety, zaś f ext siłą zewnętrzną. W szczególnym przypadku, gdy N = 1 i relatywna prędkość emitowanej masy jest stała tzn. v 1 v = c < 0, równanie (16) ma postać tzw. równania Ciołkowskiego m(t) v(t) = cṁ(t). 14

Rozważając siłę zewnętrzną f ext (m,x) = ( 4x+4x 3 )m, gdzie x(t) jest położeniem rakiety, a za sterowanie przyjmując u(t) = ṁ(t) m(t), dostajemy następujący układ sterowania Za funkcjonał kosztu przyjmujemy ẍ(t) = cu(t) 4x(t)+4(x(t)) 3. I(x,u) = (x(1) 1) 2 + ( ẋ(1) 1 2) 2 min. W ten sposób dostajemy zadanie optymalizacyjne polegające na dosterowaniu rakiety ze stanu początkowego x(0) = 0, ẋ(0) = 1 w czasie t = 1 możliwie najbliżej położenia x(1) = 1 i prędkości ẋ(1) = 1. Istnienie rozwiązania tego zadania można uzyskać z 2 zastosowaniem wyników z [H4]. 4.4 Sterowalność pewnych układów. Wyniki uzyskane w pracach [H5] [H6] dotyczą zagadnienia sterowalności układu do zbioru, zasady bang bang oraz pewnego wyniku o sterowalności aproksymatywnej. Do zbadania sterowalności do zbioru zastosowana została metoda oparta na twierdzeniu Poincaré Mirandy. Pierwszy wynik (wpółautorski z D. Idczakiem i S. Walczakiem) z zastosowaniem tej idei był prezentowany przeze mnie na konferencji POSTA 06 w Grenoble w 2006 roku i został opublikowany w pracy [M13]. Praca [H5] włączona do cyklu wydaje się być najciekawszym, z matematycznego punktu widzenia, zastosowaniem tej idei. 4.4.1 Sterowalność do zbioru zastosowanie metody do procesu powtarzalnego. Koncepcja procesu powtarzalnego została wprowadzona po raz pierwszy we wczesnych latach 70 tych jako wynik prac prowadzonych w Uniwersytecie w Sheffield w Wielkiej Brytanii nad modelowaniem procesu urabiania węgla za pomocą tzw. kombajnów ścianowych (long wall coal cutting) oraz procesu walcowania (metal rolling) (zob. [Rogers et al., 2007]). Jest to proces, którego dynamika jest zdefiniowana niejako dwuwymiarowo. Dotyczy ona zarówno zmian wzdłuż pewnego skończonego pasa [0, α], jak również powtórzeń tych zmian oznaczanych drugą zmienną, na ogół dyskretną (kombajn ścianowy urabia węgiel przesuwając się w sposób ciągły wzdłuż ściany, by następnie powtórzyć ten proces wykonując uprzednio skokowe przesunięcie na głębokość urobku). W pracy [H5] badany jest następujący nieliniowy proces powtarzalny { d z dt k+1(t) = f 1 (t,z k+1 (t),w k (t),u k+1 (t)), (17) w k+1 (t) = f 2 (t,z k+1 (t),w k (t),u k+1 (t)) 15

dla k N {0}, p.w. t [0,α] (α > 0 jest ustaloną długością pasa), wraz z warunkami początkowymi { z k (0) = d k, dla k N, w 0 (t) = h(t), dla p.w. t [0,α], gdzie z k (t) R, w k (t) R, u k (t) R; punkty d k R, k N oraz funkcja h : [0,α] R są ustalonymi danymi początkowymi. Funkcja u k ( ) nazywa się sterowaniem wzdłuż pasa k, z k ( ) trajektorią wzdłuż pasa k, zaś w k ( ) odpowiedzią wzdłuż pasa k. Funkcje (u 1 ( ),u 2 ( ),...) : [0,α] R, (z 1 ( ),z 2 ( ),...) : [0,α] R nazywane są odpowiednio sterowaniem i trajektorią. Przestrzeń R := R R... rozważamy z naturalnymi działaniami algebraicznymi i klasyczną (produktową) topologią Tikhonova τ. Warto zauważyć, że układ (17) można równoważnie zapisać (odpowiednio definiując funkcje g i ) w nieco wygodniejszej postaci d z dt 1(t) = g 1 (t,z 1 (t),u 1 (t)) d z dt 2(t) = g 2 (t,z 1 (t),z 2 (t),u 1 (t),u 2 (t)) d z dt 3(t) = g 3 (t,z 1 (t),z 2 (t),z 3 (t),u 1 (t),u 2 (t),u 3 (t))... (18) przy warunkach z k (0) = d k, k N. Układ (18) rozważamy w przestrzeniac([0,α],r) funkcjiz( ) = (z 1 ( ),z 2 ( ),...) : [0,α] R takich, że z i ( ) AC([0,α],R), i N, gdzie AC([0,α],R) jest klasyczną przestrzenią funkcji absolutnie ciągłych x : [0,α] R z normą postaci x AC = x(0) + α d x(t) 0 dt dt. Jako przestrzeń sterowań rozważamy przestrzeń L 1 ([0,α],Ω Ω...), gdzie Ω R jest ustalonym niepustym zbiorem, rozumianą jako przestrzeń funkcji u( ) = (u 1 ( ),u 2 ( ),...) : [0,α] Ω Ω... takich, że u i ( ) L 1 ([0,α],R), i N. Przestrzenie AC([0,α],R) oraz L 1 ([0,α],Ω Ω...) (po ich utożsamieniu z przestrzeniami i=1ac([0,α],r) oraz i=1 L1 ([0,α],Ω), odpowiednio) będziemy rozważać z produktowymi topologiami Tikhonova. Ze względu na trójkątną strukturę układu (18), przy standardowych założeniach (warunek Lipschitza), łatwo jest przenieść klasyczne wyniki dotyczące układów zwyczajnych na układ (18) otrzymując odpowiednie twierdzenie o istnieniu, jednoznaczności i ciągłej zależności od sterowania rozwiązań tego układu (zob. Theorem 5 w [H5]) Główny wynik pracy [H5] (Theorem 7) to warunek wystarczający sterowalności układu (18) do zbioru typu P = [m 1,M 1 ]...[m k,m k ]... R. Dokładniej, układ (18) jest sterowalny do zbioru P, jeśli dla dowolnego punktu z P istnieje sterowanie u( ) L 1 ([0,α],Ω Ω...) takie, że rozwiązanie z u ( ) układu odpowiadające sterowaniu u( ) spełnia warunek z u (α) = z. Dowód głównego wyniku polega na zastosowaniu następującego uogólnienia twierdzenia Poincaré Mirandy 16

Twierdzenie 2 Niech Q := [ L,L] [ L,L]..., gdzie L > 0 jest ustaloną liczbą, będzie przedziałem w R = R R... Jeśli funkcja ciągła f = (f 1,f 2,...) : Q R spełnia warunek f i (x) 0 dla dowolnych x Q i := {x = (x 1,x 2,...) Q; x i = L}, f i (x) 0 dla dowolnych x Q + i := {x = (x 1,x 2,...) Q; x i = L}, dla i N, to istnieje przynajmniej jeden punkt x Q taki, że f(x ) = 0. Jeśli teraz odwzorowanie Φ : L 1 ([0,α],Ω Ω...) u( ) = (u 1 ( ),u 2 ( ),...) z u (α) = (z u 1(α),z u 2(α),...) R przyporządkowuje sterowaniu u( ) wartość jednoznacznego rozwiązania z u ( ) układu, to odpowiedź na pytanie o sterowalność układu do punktu z polega na rozstrzygnięciu, czy istnieje rozwiązanie abstrakcyjnego równania Φ(u( )) = z. (19) Jeśli ustalimy sterowaniau (i) ( ) L 1 ([0,α],Ω Ω...) postaciu (i) ( ) = (0,...,0,u i ( ),0,...) i rozważymy zbiór U = {u( ) = i=1 β iu (i) ( ) : β = (β 1,β 2,...) R}, to, ograniczając się do zbioru U, równanie (19) możemy zastąpić równaniem ϕ(β 1,β 2,...) = z, gdzie ϕ(β 1,β 2,...)) = Φ ( i=1 β iu (i) ( ) ) i zastosować twierdzenie Poincaré Mirandy. Jak zostało wspomniane, główny wynik pracy [H5] to warunek wystarczający sterowalności do przedziału P = [m 1,M 1 ]...[m k,m k ]... Przy ustalonych sterowaniach u (i) ( ) L 1 ([0,α],Ω Ω...) postaci u (i) ( ) = (0,...,0,u i ( ),0,...) wyznacza się liczby m i,m i jako odpowiednie minima i maksima funkcji ϕ obcinanej do pewnego domkniętego i ograniczonego przedziału P. Metoda ma również tę zaletę, że rozważając różne sterowania u (i) ( ) i różne zbiory P dostajemy całe przedziały [m 1,M 1 ]...[m k,m k ]..., do których możemy dosterować układ (18). Zostało to dostrzeżone przez inżynierów, czego wyrazem jest nagroda The Kybernetes Research Award for Outstanding Paper Contributed to the WOSC 14th World Congress of Cybernetics and Systems, przyznana współautorskiej z D. Bors pracy [M03] dotyczącej innego układu sterowania, ale wykorzystującej tę samą ideę. Oryginalna wersja twierdzenia Poincaré Mirandy, pochodząca z książki [Piccini et al, 1984] dotyczy wektorowej funkcji ciągłej określonej na kostce w R n. Twierdzenie 2 jest więc jego uogólnieniem na przypadek funkcji określonej na kostce będącej 17

iloczynem kartezjańskim przeliczalnej liczby przedziałów skończonych. Zarówno sformułowanie Twierdzenia 2 jak i jego dowód oparty na zastosowaniu twierdzenia Tikhonova o punkcie stałym są oryginalnymi wynikami pracy [H5]. Praca [H5] zawiera również dwa interesujące przykłady rachunkowe. Pierwszy z nich (Example 1) ilustruje zastosowanie Twierdzenia 2 do badania istnienia rozwiązań pewnego równania różnicowego, które może być traktowane jako układ przeliczalnie wielu równań algebraicznych z przeliczalną liczbą niewiadomych. Drugi przykład, żmudny rachunkowo, dotyczy sterowalności pewnego nieliniowego procesu powtarzalnego. 4.4.2 Zasada bang bang i sterowania kawałkami stałe ciągłe układy Roessera. Praca [H6] dotyczy zagadnień sterowalności następującego układu { z 1 x = A 11(x,y)z 1 +A 12 (x,y)z 2 +f 1 (x,y,u 1 ) z 2 y = A 21(x,y)z 1 +A 22 (x,y)z 2 +f 2 (x,y,u 2 ) dla p.w. (x,y) P := [0,1] [0,1] R 2, z warunkami brzegowymi (20) z i (x,0) = 0, z i (0,y) = 0, x,y [0,1], i = 1,2, gdzie z 1 (x,y) R n 1, z 2 (x,y) R n 2, u 1 (x,y) R r 1, u 2 (x,y) R r 2, A 11 (x,y) R n 1 n 1, A 12 (x,y) R n 1 n 2, A 21 (x,y) R n 2 n 1, A 22 (x,y) R n 2 n 2, f 1 : P R r 1 R n 1, f 2 : P R r 2 R n 2, n 1, n 2, r 1, r 2 N. Układ (20) nazywany jest w pracy układem Roessera, gdyż jest on ciągłym, nieliniowym ze względu na sterowanie odpowiednikiem klasycznego dyskretnego układu Roessera postaci { w 1 (i+1,j) = A 11 (i,j)w 1 (i,j)+a 12 (i,j)w 2 (i,j)+b 1 (i,j)u 1 (i,j) w 2 (i,j +1) = A 21 (i,j)w 1 (i,j)+a 22 (i,j)w 2 (i,j)+b 2 (i,j)u 2 (i,j) dla i, j N {0}, mającego szerokie zastosowanie techniczne (zob. [Roesser, 1975], [Kaczorek, 1985]). Ciągłe układy Roessera znajdują zastosowanie przy opisie pewnych procesów chemicznych (zob. [Vasilyev, 1981]). Układ (20) rozważany jest w przestrzeni AC = AC n 1 AC n 2 trajektorii, gdzie AC n i = {z i : P R n i : istnieje l i L 1 (P,R n i ) taka, że z i (x,y) = x y 0 0 l i (s,t)dsdt dla (x,y) P}, i = 1,2. Każda z funkcji z i jest więc funkcją absolutnie ciągłą dwóch zmiennych (w sensie definicji przyjętej w pracy [Walczak, 1987]) spełniającą jednorodne warunki brzegowe postaci z i (x,0) = z i (0,y) = 0 dla x,y [0,1], i = 1,2. 18

Jako zbiór parametrów (u 1,u 2 ) przyjmujemy zbiór U = U r 1 y U r 2 x, gdzie U r 1 y := {u 1 : P R r 1 : istnieje k 1 L 1 (P,R r 1 ) taka, że u 1 (x,y) = oraz y 0 k 1 (x,t)dt dla p.w. x [0,1], y [0,1]} (21) U r 2 x := {u 2 : P R r 2 : istnieje k 2 L 1 (P,R r 2 ) takie, że u 2 (x,y) = x 0 k 2 (s,y)dt dla p.w. y [0,1], x [0,1]}. (22) W pracy używamy określenia sterowanie w odniesieniu do pary funkcji (k 1,k 2 ) wyznaczającej jednoznacznie (z dokładnością do zbioru miary zero) parametry u 1,u 2. Taki wybór przestrzeni rozwiązań i sterowań jest podyktowany koniecznością rozważania wartości trajektorii w punktach przedziału P. Naturalnymi przestrzeniami rozwiązań i sterowań dla układu (20) są bowiem odpowiednio przestrzenie funkcji (z 1,z 2 ) : P R n 1 R n 2 takich, że z 1 jest absolutnie ciągła ze względu na x, z 2 absolutnie ciągła ze względu na y oraz przestrzeń funkcji całkowalnych (u 1,u 2 ) : P R r 1 R r 2 (por. np. [Idczak, 1996]). Wówczas jednak, jedyne co można powiedzieć o punktowym zachowaniu się rozwiązań ze względu na obie zmienne to ich mierzalność. Układy postaci (20), lub ich szczególne przypadki (np. układy autonomiczne, liniowe również ze względu na parametry), były badane między innymi w pracach: [Idczak, 1995], gdzie podano warunki wystarczające punktowej sterowalności; [Idczak, 1997], gdzie sformułowano zasadę maksimum dla układu autonomicznego z całkowym funkcjonałem kosztu oraz [Idczak, Walczak, 2001], gdzie badano problem sterowania optymalnego dla zadania z układem autonomicznym. W pracy [H6] wykazano istnienie i własność ciągłej zależności rozwiązań od sterowania zarówno dla układu postaci (20), jak i jego szczególnej postaci { z 1 x = A 11(x,y)z 1 +A 12 (x,y)z 2 +B 1 (x,y)u 1 z 2 y = A 21(x,y)z 1 +A 22 (x,y)z 2 +B 2 (x,y)u 2 (23) (zob. Theorem 4, Theorem 10, Theorem 11 w [H6].) Głównym wynikiem pracy jest zasada bang bang dla układu (23) (por. Theorem 7 w [H6]. Jeżeli dla dowolnych zbiorów M 1 R r 1, M 2 R r 2 zdefiniujemy zbiór U M 1,M 2 := U r 1,M 1 y U r 2,M 2 x, gdzie indeksy M 1,M 2 oznaczają, że wartości sterowań funkcji k 1,k 2 wyznaczających elementy zbiorów U r 1 y, U r 2 x w definicjach (21) (22) należą dla p.w. argumentów do zbiorów M 1, M 2 odpowiednio, to możemy zdefiniować zbiór osiągalności dla układu (20) jako A M 1,M 2 (1,1) := {(z 1 u(1,1),z 2 u(1,1)) R n 1 R n 2 : u = (u 1,u 2 ) U M 1,M 2 }. 19

Zasada bang bang orzeka, że zbiory osiągalności są identyczne dla zbiorów M 1,M 2 i ich powłok wypukłych. Jest to bardzo ważna własność, gdyż pozwala ona na wybór sterowań osiągających skrajne wartości (np. jeżeli zbiory M 1,M 2 są kostkami, to możemy ograniczyć się do wyboru sterowań mogących przyjmować wartości z wierzchołków tych kostek). Interpretując fizycznie sterowanie jako moc silnika sterującego pewnym obiektem, w takim przypadku moglibyśmy powiedzieć, że np. sterowanie przyjmuje wartości maksymalny gaz maksymalny hamulec ; tłumaczy to nazwę zasady. W dowodzie zasady bang bang korzysta się z pewnej wersji twierdzenia o funkcji uwikłanej dla odwzorowania wieloznacznego (zob. Theorem 5 w [H6]) zaczerpniętej z książki [Kisielewicz, 1991] oraz pojęcia całki Aumanna, którą dla funkcji h : P R m R n mierzalnej ze względu na (x,y) P i ciągłej ze względu na u R m oraz zbioru M R m definiujemy jako { h(x,y,m)dxdy := ϕ(x,y)dxdy : ϕ L 1 (P,R n ) oraz ϕ(x,y) h(x,y,m) P P dla p.w. (x,y) P}. Drugim, nie mniej ważnym z punktu widzenia zastosowań wynikiem jest twierdzenie dotyczące zbioru osiągalności w klasie sterowań kawałkami stałych (zob. Theorem 12 w [H6]). Wynik ten dotyczy układu nieliniowego względem parametru tj. układu (20), stąd konieczne było najpierw zbadanie istnienia i ciągłej zależności rozwiązań od parametru dla takiego układu (zob. Theorem 10 i Theorem 11 w [H6]), co uzyskano przy założeniu subliniowego, względem zmiennej sterującej, wzrostu odpowiednich pochodnych cząstkowych części nieliniowej równania. Mówiąc nieprecyzyjnie, wynik dotyczący zbioru osiągalności głosi, że jeśli możliwe jest osiągnięcie przez układ pewnego stanu przy pomocy sterowań całkowalnych, to dysponując sterowaniami kawałkami stałymi możemy zbliżyć się do tego stanu dowolnie blisko. Klasa sterowań kawałkami stałych jest istotna z punktu widzenia zastosowań, ze względu na to że łatwiej jest zbudować sterowniki, które przełączają parametry pomiędzy stałymi wartościami. Konstrukcja algorytmu wyznaczania aproksymacji sterowania całkowalnego za pomocą ciągu sterowań kawałkami stałymi została zaproponowana przeze mnie podczas konferencji nds 2005 w Wuppertalu i została opublikowana w recenzowanych materiałach [M20]. Twierdzenie Theorem 12 z pracy [H6] wynika natychmiast z twierdzenia o aproksymacji funkcji całkowalnej funkcjami kawałkami stałymi, które zostało udowodnione w przypadku funkcji dwóch zmiennych w pracy D. Idczaka ([Idczak, 2002]). 5 Omówienie pozostałych wyników badań. 5.1 Spis pozostałych publikacji. Oprócz prac [H1] [H6] na mój dorobek składają się następujące publikacje: 20

5.1.1 Publikacje naukowe w czasopismach znajdujących się w bazie Journal Citation Reports (JRC). [M01] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with Goursat Darboux problem, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 13, 1, pp. 29 44, 2003. (6p.) [M02] M. Majewski, On the Existence of Optimal Solutions ta an Optimal Control Problem, Journal of Optimization Theory and Application, 128, 3, pp. 635 651, 2006. (20p.) [M03] D. Bors, M. Majewski, On the controllability to the interval of the system governed by a hyperbolic equation, Kybernetes, 38, 7/8, pp. 1182 1190, 2009. (10p.) [M04] M. Majewski, Stability Analysis of an Optimal Control Problem for a Hyperbolic Equation, Journal of Optimization Theory and Applications, 141, 1, pp. 127 146, 2009. (20p.) [M05] D. Idczak, M. Majewski, Existence of optimal solutions of two directionally continuous linear repetitive processes, Multidimensional Systems and Signal Processing, 23, 1, pp. 155 162, 2012. (20p.) [M06] D. Idczak, M. Majewski, Fractional fundamental lemma of order α ( n 1,n) 2 with n N, n 2, Dynamic Systems and Applications, 21, pp. 251 268, 2012. (15p.) [M07] D. Bors, M. Majewski, On the existence of an optimal solution of the Mayer problem governed by 2D continuous counterpart of the Fornasini Marchesini model, Multidimensional Systems and Signal Processing, 24, 4, pp. 657 665, 2013. (20p.) [M08] R. Kamocki, M. Majewski, Fractional linear control systems with Caputo derivative and their optimization, Optimal Control Applications and Methods, 36, 6, pp. 953 967, 2014. (30p.) [M09] D. Idczak, R. Kamocki, M. Majewski, S. Walczak, Existence of optimal solutions to Lagrange problems for Roesser type systems of the first and fractional orders, Applied Mathematics and Computation, 266, pp. 809 819, 2015. (40p.) [M10] M. Majewski, S. Walczak, On a fractional Dirichlet problem of a higher order, Dynamic Systems and Applications, 24, pp. 479 490, 2015. (15p.) [M11] M. Bartkiewicz, M. Majewski, S. Walczak, On 2D integro differential systems. Stability and sensitivity analysis, Multidimensional Systems and Signal Processing. DOI:10.1007/s11045-016-0442-z (30p.) 21

5.1.2 Publikacje w czasopismach punktowanych według listy ministerialnej. [M12] D. Idczak, M. Majewski, Nonlinear Positive 2D Systems and Optimal Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 294, pp. 329 336, 2003. (10p.) [M13] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, On controllability of nonlinear systems described by ordinary differential equations, Positive systems, Lecture Notes in Control and Inform. Sci., 341, Springer, Berlin, pp. 287 294, 2006. (10p.) [M14] D. Bors, S. Walczak, M. Majewski, Optimal Control Systems with Constrains on Unbounded Sets, Intech, pp. 197 206, 2010. 5.1.3 Publikacje w recenzowanych materiałach konferencyjnych. [M15] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, Stability analysis of one and two dimensional continuous systems with parameters. Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems MTNS 2000, Perpignan, France, 19 23 June, 2000. [M16] M. Majewski, Istnienie rozwiązań optymalnych i ich stabilność dla pewnych problemów ze sterowaniem. XIV Krajowa Konferencja Automatyki. Zielona Góra 24 27 czerwca, 2002. [M17] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, 2 D continuous control systems. A guide tour. Proceedings of the 8th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, Szczecin, Poland, 2 5 September, 2002. [M18] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, N dimensional continuous systems with the Darboux Goursat and Dirichlet boundary data. Proceedings of the 9th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems, Dubrovnik, Croatia, 15 18 September, 2002. [M19] D. Idczak, M. Majewski, Controllability of Goursat Darboux systems some numerical results. Preprints of the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Rupublic, 2005. [M20] M. Majewski, On an algorithm for construction a piecewise constant control for a continuous Roesser system. Proceedings of the Fourth International Workshop on Multidimensional (nd) Systems (nds 2005), Wuppertal, Germany, 10 13 July, 2005. [M21] D. Bors, M. Majewski, S. Walczak, Controllability of one dimensional and two dimensional systems, Proceedings of the 2007 International Workshop on Multidimensional (nd) Systems (nds 2007), Aveiro, Portugal, 27 29 June, 2007. 22

[M22] M. Majewski, On a nonlinear two directionaly continuous repetitive process, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems MTNS 2010, Budapest, Hungary, 2010. [M23] M. Majewski, Existence of optimal solutions of two directionally continuous repetitive process under convexity assumption, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems MTNS 2010, Budapest, Hungary, 2010. [M24] D. Idczak, M. Majewski, Fractional du Bois Reymond lemma of orderα ( n 1,n), 2 Electronic Proceedings of the International Workshop on Multidimensional (nd) Systems (nds 2011), Poitiers, France, 2011. [M25] R. Kamocki, M. Majewski, On a Fractional Dirichlet Problem, 17th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR2012), Międzyzdroje, Poland, 27 30 August, 2012. [M26] D. Idczak, R. Kamocki, M. Majewski, Fractional continuous Roesser model with Riemann Liouville derivative, Proceedings of the 8th International Workshop on Multidimensional Systems (nds2013), Erlangen, Germany, 9 11 September, 2013. [M27] D. Idczak, R. Kamocki, M. Majewski, On a fractional continuous counterpart of Fornasini Marchesini model, Proceedings of the 8th International Workshop on Multidimensional Systems (nds2013), Erlangen, Germany, 9 11 September, 2013. [M28] D. Idczak, M. Majewski, Compactness of fractional embeddings for boundary value problems. 18th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR2013), Międzyzdroje, Poland, August 26 29, 2013, pp. 599 603. DOI:10.1109/MMAR.2013.6669978. [M29] M. Majewski, Existence of optimal solutions to Lagrange and Bolza problems for fractional Dirichlet problem via continuous dependence, 19th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR2014), Międzyzdroje, Poland, September 2 5, 2014, pp. 152 158. DOI:10.1109/MMAR.2014.6957341. 5.1.4 Krótkie abstrakty konferencyjne. [M30] D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak, Stabilność i istnienie rozwiązań optymalnych dla pewnych problemów optymalnych, Materiały Trzydziestej Ogólnopolskiej Konferencji Zastosowań Matematyki, Zakopane Kościelisko, Polska, 2001. [M31] M. Majewski, S. Walczak, Optimal control systems with constraints defined on unbounded sets, Book of abstracts, 23rd IFIP TC 7 Conference on System Modelling and Optimization, Cracow, Poland, 23 27 July, 2007. 23