Dariusz Uciński. Wykład 4

Podobne dokumenty
Równania różniczkowe zwyczajne analityczne metody rozwiazywania

Analiza wymiarowa i równania różnicowe

Kinematyka: opis ruchu

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Centralne twierdzenie graniczne

Ciągi liczbowe wykład 3

Równania różniczkowe. Dariusz Uciński. Wykład 7. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Równania różniczkowe metody numeryczne

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Analiza Matematyczna część 5

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Technika regulacji automatycznej

Wprowadzenie do technik analitycznych Metoda najmniejszych kwadratów

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Zadania o liczbach zespolonych

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona

Szereg i transformata Fouriera

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Automatyka i robotyka

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Metodologia modelowania

Ciagi liczbowe wykład 4

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ANALIZA HARMONICZNA DŹWIĘKU SKŁADANIE DRGAŃ AKUSTYCZNYCH DUDNIENIA.

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

MODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Dr. inŝ. Ewa Szlachcic Katedra Automatyki, Mechatroniki i Systemów Sterowania. Przykładowe zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych

f = 2 śr MODULACJE

1 Pochodne wyższych rzędów

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Analityczne metody detekcji uszkodzeń

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Rozkłady wielu zmiennych

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 1 WSTEP KINEMATYKA - OPIS RUCHU DYNAMIKA - OPIS ODDZIAŁYWAŃ. Piotr Nieżurawski.

Technika regulacji automatycznej

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Kinematyka: opis ruchu

Siła elektromotoryczna

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

Modelowanie układów dynamicznych

Statystyka matematyczna i ekonometria

Zastosowania pochodnych

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Fotonika. Plan: Wykład 3: Polaryzacja światła

Równania różniczkowe zwyczajne

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Analiza Matematyczna MAEW101

Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia / 35

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR MATEMATYKA - poziom rozszerzony klasa I

Ćwiczenie 3: Wprowadzenie do programu Matlab

Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transkrypt:

Umiejętność modelowania Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Wykład 4

Plan 1 2

Istotne pytania o przebiegu y(t) 1 Co dzieje się dla dużych t? 2 Co dzieje się dla małych t? 3 Czy istnieja wartości t, w których y osiaga maksimum lub minimum? 4 Czy istnieja wartości t, dla których y = 0? 5 Czy jesteśmy zainteresowani wszystkimi wartościami t, czy tylko pewnym zakresem, np. t > 0 lub t 1 < t < t 2?

Typowe przebiegi Liniowy y(t) = y 0 + at

Typowe przebiegi Nieograniczony wzrost y(t) = y 0 exp(at)

Typowe przebiegi Wzrost do wartości granicznej y(t) = y 0 (1 exp( at))

Typowe przebiegi Spadek do wartości granicznej y(t) = (y 0 b) exp( at) + b

Typowe przebiegi Proste maksimum y(t) = at bt 2

Typowe przebiegi Maksimum z następujacym zanikiem y(t) = at exp( bt)

Typowe przebiegi Oscylacje y(t) = a sin(ωt)

Typowe przebiegi Zanikajace oscylacje y(t) = a exp( bt) sin(ωt)

Plan 1 2

Typowe przebiegi Przykład Jezeli teraz liczebość kultury bakterii to 100 organizmów, a populacja podwaja się co 5 minut, jakiego wyrażenia użyć do zamodelowania ewolucji liczebności tej populacji? Rozwiazanie Jeżeli założymy y(t) = y 0 exp(at), to dla t = 0 mamy y(0) = y 0 exp(a 0) = y 0 = 100 Dla t = 5 mamy y(5) = 200 = 100 exp(a 5), skad 2 = exp(5a) = a = 1 ln 2 0.139 5 Możliwym modelem jest więc y(t) = 100 exp(0.139t).

Typowe przebiegi Przykład Jezeli teraz liczebość kultury bakterii to 100 organizmów, a populacja podwaja się co 5 minut, jakiego wyrażenia użyć do zamodelowania ewolucji liczebności tej populacji? Rozwiazanie Jeżeli założymy y(t) = y 0 exp(at), to dla t = 0 mamy y(0) = y 0 exp(a 0) = y 0 = 100 Dla t = 5 mamy y(5) = 200 = 100 exp(a 5), skad 2 = exp(5a) = a = 1 ln 2 0.139 5 Możliwym modelem jest więc y(t) = 100 exp(0.139t).

Typowe przebiegi Przykład Należy zamodelować średnia dzienna liczbę godzin słonecznych w pewnym miejscu. Jeżeli startujesz z zimowego minimum, gdy dziennie słońce świeci średnio y min godzin, a t jest liczba dni od tej chwili, to odpowiednim modelem może być Jakie wartości wziać za b i ω? Rozwiazanie y(t) = y min + b sin 2 (ωt) Okresem sin 2 (ωt) = 1 2 [1 cos(2ωt)] jest π/ω = 365 dni, sk ad ω = π 365 0.0086

Typowe przebiegi Przykład Należy zamodelować średnia dzienna liczbę godzin słonecznych w pewnym miejscu. Jeżeli startujesz z zimowego minimum, gdy dziennie słońce świeci średnio y min godzin, a t jest liczba dni od tej chwili, to odpowiednim modelem może być Jakie wartości wziać za b i ω? Rozwiazanie y(t) = y min + b sin 2 (ωt) Okresem sin 2 (ωt) = 1 2 [1 cos(2ωt)] jest π/ω = 365 dni, sk ad ω = π 365 0.0086

Typowe przebiegi Rozwiazanie c.d. Wartość y max w letnim szczycie odpowiada ωt = π/2, tzn. y = y max = y min + b skad b = y max y min. Szukanym modelem jest więc y(t) = y min + (y max y min ) sin 2 (0.0086t)

Plan 1 2

Względne wielkości czynników Notacja x O(10) oznacza x jest rzędu 10 lub x jest wyrażone raczej w dziesiatkach niż w setkach. Mamy 1 x = x 1 O(10 1 ) x 2 O(10 2 ) czyli wyrażenie y = 1 x + x 2 jest suma członów o rzędach wielkości O(10 1 ) oraz O(10 2 ). Zastępujac więc oryginalne wyrażenie przez y = x 2 bład względny powinien być rzędu 10 3. Przykładowo, dla x = 8 zachodzi 1/x + x 2 = 64.125 oraz x 2 = 64, czyli bład względny wynosi 0.125/64.125 0.002.

Względne wielkości czynników Notacja x O(10) oznacza x jest rzędu 10 lub x jest wyrażone raczej w dziesiatkach niż w setkach. Mamy 1 x = x 1 O(10 1 ) x 2 O(10 2 ) czyli wyrażenie y = 1 x + x 2 jest suma członów o rzędach wielkości O(10 1 ) oraz O(10 2 ). Zastępujac więc oryginalne wyrażenie przez y = x 2 bład względny powinien być rzędu 10 3. Przykładowo, dla x = 8 zachodzi 1/x + x 2 = 64.125 oraz x 2 = 64, czyli bład względny wynosi 0.125/64.125 0.002.

Względne wielkości czynników Wyrażenie y = można więc zastapić prostszym ( ) 1 1 x + x 2 exp x + x 2 y = x exp(x 2 ) Inna wygodna konwencja: Jeżeli to można powiedzieć, że z = 1 + xy 2 +x 2 z = 1 + xy 2 z = 1 + x 2 (x małe) (y małe) (przybliżenia pierwszego rzędu)

Względne wielkości czynników Wyrażenie y = można więc zastapić prostszym ( ) 1 1 x + x 2 exp x + x 2 y = x exp(x 2 ) Inna wygodna konwencja: Jeżeli to można powiedzieć, że z = 1 + xy 2 +x 2 z = 1 + xy 2 z = 1 + x 2 (x małe) (y małe) (przybliżenia pierwszego rzędu)

Względne wielkości czynników Podobnie, z = 1 (x i y małe) jest przybliżeniem pierwszego rzędu, a z = 1 + x 2 (x i y małe) przybliżeniem drugiego rzędu. Przydatnym może być szereg Maclaurina, np. y = 1 1 + x = (1 + x) 1 = 1 x + x 2 x 3 +... skad y = 1 x (x małe)

Względne wielkości czynników Podobnie, z = 1 (x i y małe) jest przybliżeniem pierwszego rzędu, a z = 1 + x 2 (x i y małe) przybliżeniem drugiego rzędu. Przydatnym może być szereg Maclaurina, np. y = 1 1 + x = (1 + x) 1 = 1 x + x 2 x 3 +... skad y = 1 x (x małe)

Względne wielkości czynników Podobnie, z zależności wynika y = cos x = 1 x 2 2 + x 4 y = 1 x 2 2 (x małe) 24 +...

Plan 1 2

Względne wielkości czynników Przykład Wielkość można zapisać w postaci y = exp( x) 1 x y = (1 x) 1 exp( x) ( = (1 + x + x 2 +... ) 1 + x 2 2 (x małe) 1 x + x 2 2 +... )

Względne wielkości czynników Przykład Wielkość y = 1 + a sin(ωx) + a 2 ω 2 cos(ωx) można zapisać w postaci skad y = 1 + a(ωx 1 6 ω3 x 3 +... ) + a 2 ω 2 (1 1 2 ω2 x 2 +... ) y = 1 + a 2 ω 2 + aωx y = 1 + a sin(ωx) y = 1 + aωx (x małe) (a małe) (ω małe)

Względne wielkości czynników Przykład Wielkość y = 1 + a sin(ωx) + a 2 ω 2 cos(ωx) można zapisać w postaci skad y = 1 + a(ωx 1 6 ω3 x 3 +... ) + a 2 ω 2 (1 1 2 ω2 x 2 +... ) y = 1 + a 2 ω 2 + aωx y = 1 + a sin(ωx) y = 1 + aωx (x małe) (a małe) (ω małe)