Dr. inŝ. Ewa Szlachcic Katedra Automatyki, Mechatroniki i Systemów Sterowania. Przykładowe zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dr. inŝ. Ewa Szlachcic Katedra Automatyki, Mechatroniki i Systemów Sterowania. Przykładowe zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń"

Iwona Wojciechowska
4 lat temu
Przeglądów:

1 Wydział Elektroniki Kier: Automatyka i Robotyka Studia magisterskie II stopnia Dr. inŝ. Ewa Szlachcic Katedra Automatyki, Mechatroniki i Systemów Sterowania Przykładowe zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń Przykładowe zadania testowe dla problemów nieliniowych Lp Postać minimalizowanej funkcji celu f(x) f(x)=(x 1 ) +(x ) f(x) =x 1 -x 1 x +x f(x) =x 1 +x 1 x +0,5x -x 1 -x Funkcja z czterema minimami lokalnymi f(x)= x x 4 0.6x 1 0.6x Funkcja Rosenbrock a: min Zadania optymalizacji bez ograniczeń postaci: f ( x ) x R n f(x)=100(x - x 1 ) +(1-x 1 ) W pewnym zakresie zmiennych hesjan nie jest dodatnio określony. Dla niektórych wartości zmiennych moŝe być osobliwy. Przykładowy punkt startowy x 0 f(x 0 ) x 0 =[5 3] f(x 0 )=10,0 x 0 =[ 4] f(x 0 )=8,0 x 0 =[3 3] f(x 0 )=16,5 x 0 =[1 1] f(x 0 )=0.76 x 0 =[-1.; 1.0] f(x 0 )=4. Punkt optymalny: x f(x ) x =[,0;,0] f(x )=0 x =[0,0; 0,0] f(x )=0 x =[0,0; 1,0] f(x )=-0,5 x (i)=[ ± ; ±0.5567] f[x (i)]= i=1,..,4 dla 4 ćwiart. ukł. współrzędn. x =[1.0; 1.0] f(x )=0.0

6 Funkcja Zangwill a f(x)=(x 1 -x + x 3 ) +(-x 1 +x +x 3 ) +(x 1 +x -x 3 ) Trudna funkcja dla metody Nelder a-meade a (metody pełzającego simpleksu). x 0 =[100.0; -1.0 ;.5] f(x 0 )=976.75 x =[0.0; 0.

2 6 Funkcja Zangwill a f(x)=(x 1 -x + x 3 ) +(-x 1 +x +x 3 ) +(x 1 +x -x 3 ) Trudna funkcja dla metody Nelder a-meade a (metody pełzającego simpleksu). x 0 =[100.0; -1.0 ;.5] f(x 0 )= x =[0.0; 0.0; 0.0] f(x )=0.0 7 Funkcja Goldsteina-Price a z czterema minimami lokalnymi: f(x)=[1+(x 1 +x +1) (19-14 x 1 +3x 1-14x +6x 1 x +3x )][30+(x 1-3x ) (18-3x 1 +1x 1 +48x -36 x 1 x +7x )]. Punkt startowy jest punktem siodłowym. Hesjan w wielu punktach nie jest dodatnio określony. x 0 =[-0.4; -0.6] f(x 0 )=35.0 Punkt siodłowy f[x (3)]=30.0 Minimum globalne x =[0.0; -1.0] f(x )=3.0 3 minima lokalne: x (1)=[1.; 0.8] f[x (1)]=840.0 x ()=[1.8;

0.] f[x ()]=84.0 x (3)=[-0.6; - 0.4] 8 Funkcja celu szczególnie przeznaczona do testowania algorytmów genetycznych dla funkcji z jedną zmienną Max f(x)=exp[-log()(x-0.08) /0.

3 0.] f[x ()]=84.0 x (3)=[-0.6; - 0.4] 8 Funkcja celu szczególnie przeznaczona do testowania algorytmów genetycznych dla funkcji z jedną zmienną Max f(x)=exp[-log()(x-0.08) /0.854 ] sin 6 (5Π(x 3/4-0.05)) x [0 1] Pięć nierówno rozlokowanych optimów lokalnych o róŝnych wartościach funkcji 9 Zmodyfikowana funkcja Himmelblau a x [-5 5] Cztery identycznej wartości

4 f(x)= (x 1 +x -11) +(x 1 +x -7) -00 minima lokalne 10 Funkcja celu szczególnie przeznaczona do testowania algorytmów genetycznych Max f(x)=exp[-log()(x-0.08) /0.854 ] sin 6 (5Π(x 3/4-0.05)) x [0 1] Pięć nierówno rozlokowanych optimów lokalnych o róŝnych wart. funkcji 11 Funkcja Ackley a f = i n i= 1 n i= 1 n n 1 ( ) 1 x 0exp 0. x exp cos( π x ) Dla n= i 30 x 30 dla i=1...n i Jedno minimum globalne: x=0.0 f(x)=-0-e

5 1 Funkcja Rastrigina Minima lokalne są umieszczone na siatce prostokątnej: f n [ x i x i ] ( x) = cos ( 18 ) Dla n= i= 1 1 x 1 i dla i=1...n Jedno minimum globalne: x=0. f(x)=-n

6 13 Funkcja testowa Geem a = 4x1.1x1 + x1 + x1x 4x + 4x 3 Six-hump Camel-back function 4 Dowolny punkt startowy 6 minimów lokalnych. w tym dwa globalne: I min. Glob. x=( ; ) II min. Glob. x=( ; ) f(x)=f(x)=

14 = sin( x1)sin( x )exp( ( x1 + x )) Dwa minima w II i IV ćwiartce układu współrz 15 = x1 exp( ( x1 + x )) NaleŜy obliczyć minimum i maksimum funkcji 16 Funkcja celu szczególnie przeznaczona do

7 14 = sin( x1)sin( x )exp( ( x1 + x )) Dwa minima w II i IV ćwiartce układu współrz 15 = x1 exp( ( x1 + x )) NaleŜy obliczyć minimum i maksimum funkcji 16 Funkcja celu szczególnie przeznaczona do testowania algorytmów genetycznych ( ) 6 = sin π x+ x R Jedno minimum i jedno maksimum 17 Funkcja = x exp( ( x + x )) + ( x x Przykład z Demos Matlab ) / 0 x x :1 : : [ 6; 1,7] [ 1; 7,0] Rozw. Przy pomocy GA x =[-0,675; 0,0] f(x)=- 0,40554 Funkcja Michalewicza wielomodalna funkcja posiadająca n! globalne

18 lokalnych minimów Funkcja trudna dla algorytmów optymalizacji lokalnej minimum: f(x)=-4.687 (n=5); x(i)=???, i=1:n. f(x)=-9.66 (n=10); x(i)=???, i=1:n. 19 Funkcja wielomodalna funkcja posiadająca n!

8 18 lokalnych minimów Funkcja trudna dla algorytmów optymalizacji lokalnej minimum: f(x)= (n=5); x(i)=???, i=1:n. f(x)=-9.66 (n=10); x(i)=???, i=1:n. 19 Funkcja wielomodalna funkcja posiadająca n! lokalnych minimów Funkcja trudna dla algorytmów optymalizacji lokalnej [x,y]: (0:0.1:pi) z=(- (exp(0.1x/pi)).abs(sin(4x)).(exp(0.1y/pi)).abs(sin(3y))); Ciekawe wizualizacje w 3D i D nieliniowych, wielomodalnych funkcji testowych dwuwymiarowych ( m.in. podane w powyŝszej tabeli) moŝna zobaczyć na stronie: lub na stronie: Jedną funkcję oznaczoną - trzeba wybrać do ilustracji działania algorytmu optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń w projekcie.

Podobne dokumenty

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń