MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc problemów rozwązwae c w eektw sposób. Cecą carakterstczą MN jest zastąpee zwkle bardzo pracocłoc oblczeń m metodam zwkle wmagającm zastosowau artmetczc dzałań. Ostate dekad odzaczał sę damczm rozwojem MN szczególe w dzedze zastosowań żerskc co bło kosekwecją esłcae szbkego rozwoju przemsłu komputerowego. Metod klascze e komputerowe W erze przedkomputerowej w zastosowaac żerskc stosowao zasadczo trz róże podejśca w rozwązwau problemów żerskc:. Zajdowae rozwązaa problemu stosując aaltcze dokłade metod. Te rozwązaa bł często bardzo użtecze pozwalał a dogłębe wejrzee w ses problemu cz zacowae sstemu. Jedak rozwązaa aaltcze są zae dla ograczoej klas zagadeń. Zwkle ograczają sę do lowc zagadeń eskomplkowac geometr ograczoc do D. Moża powedzeć że aaltcze rozwązaa mają ograczoe zastosowae praktcze poeważ wększość problemów jest elowa odos sę do złożoc geometr opsu procesów.. Metod gracze stosował wkres omogram... Cocaż metod gracze pozwalał a rozwązwae awet złożoc problemów to e bł zbt dokłade. Dodatkowo bez zastosowaa komputerów bł trude do użca.. Wkorzstae kalkulatorów suwaków. Ręcze oblczea są czasocłoe ucążlwe podate a błęd. W erze przedkomputerowej ajwęcej czasu pośwęcao a rozwązwae problemu rozwązwae rówań algebraczc rówań różczkowc Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA a zacze mej czasu pośwęcao a samo ormułowae problemu terpretacje wków. Wkało to z aktu trudośc otrzmwaa rozwązań w tc czasac. Obece komputer metod umercze dostarczają alteratwe rozwązae dla metod tradcjc. Wkorzstując komputer e jesteśm zmusze do czea welu założeń upraszczającc. Cocaż metod aaltcze są stale bardzo wartoścowe dla zarówo rozwązwaa problemów jak opsu zacowaa sstemu to metod umercze staową alteratwę dla zwększea możlwośc rozwązwaa złożoc problemów. W końcowm eekce węcej czasu moża pośwęcć a ormułowae problemu terpretacje wku. RÓWNANIA RÓŻNICZKOW ZWYCZAJN zagadea początkowe Rówae różczkowe azwam zwczajm gd mam do czea z pocodm tlko jedej zmeej ezależej. Będzem rozważać rówaa różczkowe perwszego rzędu: d d lub ukad rówańórówań d d d d Μ d d Κ Κ Κ. z warukem początkowm: 0 0 Κ Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Będzem rozważać w tm rozdzale metod całkowaa rówań różczkowc z grup metod Rugego-Kutt dla którc wzór ogól jest postac: φ.. gdze jest krokem całkowaa ukcj a φ acleem keruku poszukwaa kolejego puktu rozwązaa rs. Rs.. Gracza terpretacja metod R-K MTODA ULRA ulera-caucego metoda stczc Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 4 W metodze ulera aclee jest wrażoe przez perwszą pocodą ucj tak węc możem apsać: φ.4.5 Tak węc perwsza pocoda ukcj to zacz prawa stroa rówaa różczkowego wzacza przblżo keruek owego puktu. Jest to tzw. predktor. Rs.. Odległość mędz predktorem a rozwązaem dokładm staow błąd. PRZYKŁAD Rozpatrzm rówae różczkowe postac: d d 0 85 Zajdź rozwązae dla przedzału od 0 do 4 waruku początkowego 0 kroku całkowaa 05 Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 5 Rozwązae: 05 0 0 0 0 05 0 05 85 05 55 a podst. wzoru.7 00 85 85 4 doklade 4 0 85 4 05 05 405 005 8505 875 Błąd całkowt procetow w pukce 0 c c k k 875 55 05 6% 05 55 doklade c doklade 00% 05;55 05 [ 05 05 0 05 85] 05 5 875 Rs.. Wk 0 85 Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 6 0 7595 668 85 0 4964 58 0 7595 56 008 04 04 9 608 05 875 5 59 06 99 088 75 07 095-006 758 08 4-0844 7 09 795-8 688-5 55 8495-64 65 675-676 008 50995-64 0 4 55-468 878 5 875-5 75 6 07-097 6 7 0595-0646 508 8 979-084 48 9 96995 00 4098 05 4 06995 0898 47 79 84 5598 595 646 688 4 507 97 858 5 7875 5 05 6 955 468 75 7 0995 64 58 8 475 676 78 9 7495 64 40508 4 5 45 Wk 0 85 05 875 5 55-5 5875 5 875-5 55 05 45 5 7875 5 475 4 5 5875 Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 7 d d 05 4 4 0 85 0 85 Y 7 6 5 4 0 Metoda ulera 0 05 5 5 5 X Rozw. dokłade 0 05 Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 8 Poprawee dokładośc moża osągąć p. przez zmejszee kroku. Rs. 5. Zależość mędz welkoścą kroku lczbą kroków a dokładoścą rozwązaa. Rs. 4. Oszacowae błędu w metodze ulera W aalze umerczej wróżam zasadczo dwa tp błędów: błęd zaokragleń wkające z wkowaa dzałań artmetczc błąd metod dskretzacj. Określm te błąd dla metod ulera. Dowolą ukcję moża przedstawć za pomocą rozwęca w szereg Talora. Gd ozaczm ukcję przez mam:!! Κ R.6 gdze R Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk 9 Poeważ asze rówae różczkowe ma postać zatem możem apsać: Wdać z rówaa.8 że błąd metod ulera wos: a błąd przblżo wos: PRZYKŁAD Wzaczć błąd metod ulera dla welomau z poprzedego zadaa. 4 0 4 6.9 4 6 4 k wzoru ze Oblczam poszczególe błęd metod dla pocodej w pukce 0! R ξ.7 < < ξ 0!! Κ.8 0! k Κ.9! A.0
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA 0 k k k 4 60 4 0 0 05 0 4 05 05 6 4 05 005 4 5 Całkowt błąd rów jest sume błędów od poszczególc pocodc: 5 05 005 05 k W te sposób oszacowalśm całkowt błąd w pukce 0 e zając dokładego rozwązaa. Zwróćm uwagę że błąd te jest rów dokłade błędow otrzmaemu podczas rozwązwaa zadaa w przkładze wżej. W celu zmejszea błędu w metodze ulera moża uwzględć we wzorze a aclee wraz wższego rzędu. Przpatrzm sę jak to będze w przpadku wrazu II rzędu. I tak mam:. k.! Oblczm.. Perwsza pocodą musm wzaczć jak dla ukcj uwkłaej. Mam: d. d Druga pocoda ma postać: d d d d d.4 d Wdać że oblczee pocodc wmaga dużego akładu prac tak sposób poprawea dokładośc metod ulera e jest stosowaa w praktce. Poltecka Pozańska Mcał Płotkowak Adam Łodgowsk