Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję. P. Peebles Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2017
Własności stanów splątanych, algebra w przestrzeni stanów splątanych
mówimy że taki stan jest splątany. Każdy stan układu wielu stopni swobody, który nie da się przedstawić w postaci iloczynu prostego stanów dla pojedynczych stopni swobody nazywamy stanem splątanym Na przykładzie stanów dwucząstkowych: Stan, który może być zapisany jako iloczyn stanów czystych: ψ s = ψ 1 ψ 2 H s = H 1 H 2 jest stanem separowalnym ( nie jest stanem splątanym) Jeżeli to nie jest możliwe, tzn. w przestrzeniach H 1 oraz H 2 nie istnieją takie stany ψ 1 H 1 oraz ψ 2 H 2 iż pełny stan może być zapisany w postaci: ψ = ψ 1 ψ 2
Przykład dla dwóch podukładów: ψ = α +, + + β +, + γ, + + δ, Stan splątany: ψ ψ 1 2 Stan niesplątany: ψ = a + + b 1 ψ = c + + d 2 ψ ψ = ac +, + + ad +, + bc, + + bd, 1 2 α β = ac ad = c d γ δ = bc bd = c d α β = γ δ
Przykłady stanów niesplątanych: ψ = 1 6 +,+ + 17 42 +, + 1 2 2,+ + 17 56, ψ = αe iα 1 + A,+ B + βe iβ 1 + A, B + α 1 α 2 β 2 α 2 + β 2 e i(χ+α1) A,+ B + β 1 α 2 β 2 α 2 + β 2 e i(χ+β1) A, B gdzie: = ψ 1 ψ 2 ψ 1 = α 2 + β 2 e i(b 1 χ ) + A + 1 α 2 β 2 e ib 1 A ψ 2 = α α 2 + β 2 ei(d1+α1 β1) + B + β α 2 + β 2 eid1 B oraz: χ = b 1 + d 1 β 1
W dalszym ciągu bardzo często będziemy utożsamiać: + = + A,B = 0 A,B = 0 = A,B = 1 A,B = 1 Gdy łączymy układy A oraz B razem i dajemy im możliwość oddziaływania, stan czysty tego układu będzie opisany wektorem w przestrzeni H AB = H A H B z wektorami bazy w H A oraz w H B. Dla układów dwuwymiarowych (takie dla przejrzystości opisu będziemy na wykładzie rozpatrywać) bazę w H AB stanowią wektory: Gdy układ jest na przykład w stanie: i A j B N A N B Ψ AB = c ij i A j B i=1 j=1 0 A 0 B, 0 A 1 B, 1 A 0 B, 1 A 1 B. Ψ AB = 1 ( 2 0 0 + 1 1 ) Ψ A B A B A Ψ B wtedy nie ma sposobu aby jednoznacznie przypisać liczby kwantowe układowi A lub B oddzielnie.
Przypomnijmy jeszcze działanie operatorów w przestrzeni H AB : Twierdzenie spektralne działa w sposób: Nie wszystkie operatory w przestrzeni H AB są faktoryzowalne: O AB = A m B m C D m c m Mnożenie operatorów w przestrzeni H AB (przypominamy):
Iloczyn stanów mieszanych: ρ = ρ (1) ρ (2) nie ma korelacji pomiędzy podukładami. Mieszane układy separowalne. Jeżeli natomiast mamy: i ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) p i > 0 ; ; p i = 1 p to korelacje pomiędzy podukładami występują. Są to jednak korelacje klasyczne i taki stan dalej jest separowalnym stanem mieszanym. Stan mieszany jest stanem splątanym jeżeli nie istnieją lokalne stany oraz i prawdopodobieństwa, takie że stan można zapisać: ρ i (2) i p i > 0 ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) ρ i (1)
Zbadamy różnicę pomiędzy stanami separowalnymi i splątanymi, jak zobaczymy będą one znaczne. Zachowanie świata klasycznego i kwantowego dla stanów splątanych różni się od siebie znacznie bardziej niż dla stanów separowalnych Kryteria rozróżniania stanów wydają się proste. Sprawdzenie splątania dla stanów mieszanych nie jest jednak takie trywialne. Poszukujemy prostych kryteriów aby jednoznacznie odróżnić stany separowalne od splątanych: -- dla stanów czystych takie proste kryteria istnieją, -- dla stanów mieszanych nie ma jednego prostego kryterium dla dowolnej liczby cząstek Zajmiemy się też miarą splątania, czy można stwierdzić że jeden stan jest bardziej splątany od drugiego?
Operatory statystyczne można mieszać. Mając ten sam układ fizyczny w stanie ρ A lub ρ B z prawdopodobieństwami odpowiednio p oraz 1-p pełny operator statystyczny układu ma postać: Mieszanie nie splątanie Gdy ρ = Ψ Ψ A A A A p i i i ; i oraz ρ = Ψ Ψ B B B B p i i i ; i Wtedy mieszanina opisana operatorem ρ oznacza: Prawdopodobieństwo, że układ jest w A stanie ψ 1 Prawdopodobieństwo, że układ jest w B stanie ψ 1 Stany nie muszą być ortogonalne
Stany mieszane połączonych układów (stany niesplątane): Ale mogą też być bardziej ogólne niefaktoryzowalne operatory statystyczne : ρ = p ( ρ ρ ); gdzie p i = 1 AB i Ai Bi i i Możemy też utworzyć połączone operatory statystyczne ze stanów czystych: gdy to odpowiadający operator statystyczny ma postać (stan splątany): a ogólnie
Przypomnijmy reprezentacje macierzową operatorów w H AB. Operator O AB może być reprezentowany macierzą o kl Zwykle numerujemy wektory bazowe tak, że: Porządek LEKSYKOGRAFICZNY
Dla dwóch cząstek w dwóch stanach, porządek leksykograficzny: 0 A,0 B 1 AB 1 0 A,1 B 2 AB 2 1 A,0 B 3 AB 3 Wtedy: 1 A,1 B 4 AB 4 ψ = α 0 A,0 B + β 0 A,1 B + γ 1 A,0 B + δ 1 A,1 B α 1 AB + β 2 AB + γ 3 AB + δ 4 AB α 1 + β 2 + γ 3 + δ 4 ψ = α * 0 A,0 B + β * 0 A,1 B + γ * 1 A,0 B + δ * 1 A,1 B α * 1 AB + β * 2 AB + γ * 3 AB + δ * 4 AB
Wtedy stan czysty splątany wyrażony za pomocą operatora statystycznego: ψ ψ = α 2 0 A,0 B 0 A,0 B + αβ * 0 A,0 B 0 A,1 B + αγ * 0 A,0 B 1 A,0 B + αδ * 0 A,0 B 1 A,1 B + βα * 0 A,1 B 0 A,0 B + β 2 0 A,1 B 0 A,1 B + βγ * 0 A,1 B 1 A,0 B + βδ * 0 A,1 B 1 A,1 B + γα * 1 A,0 B 0 A,0 B + γβ * 1 A,0 B 0 A,1 B + γ 2 1 A,0 B 1 A,0 B + γδ * 1 A,0 B 1 A,1 B + δα * 1 A,1 B 0 A,0 B + δβ * 1 A,1 B 0 A,1 B + δγ * 1 A,1 B 1 A,0 B + δ 2 1 A,1 B 1 A,1 B α 2 1 AB 1 AB + αβ * 1 AB 2 AB + αγ * 1 AB 3 AB + αδ * 1 AB 4 AB + βα * 2 AB 1 AB + β 2 2 AB 2 AB + βγ * 2 AB 3 AB + βδ * 2 AB 4 AB + γα * 3 AB 1 AB + γβ * 3 AB 2 AB + γ 2 3 AB 3 AB + γδ * 3 AB 4 AB + δα * 4 AB 1 AB + δβ * 4 AB 2 AB + δγ * 4 AB 3 AB + δ 2 4 AB 4 AB I w bazie wektorów i AB ; i = 1,2,3,4 α 2 αβ * αγ * αδ * βα * β 2 βγ * βδ * ρ AB i,k i ( AB ψ ψ ) k AB = γα * γβ * γ 2 γδ * δα * δβ * δγ * δ 2
Stan czysty niesplątany wyrażony przy pomocy operatora statystycznego: ψ = ψ A ψ B ψ A = a 0 A + b 1 A ψ B = c 0 B + d 1 B ψ = ψ A ψ B = ( a 0 A + b 1 A ) ( c 0 B + d 1 ) B = ac 0 A,0 B + ad 0 A,1 B + bc 1 A,0 B + bd 1 A,1 B Korzystamy z relacji : ψ ψ = ( ψ A ψ )( B ψ A ψ ) B = Gdzie: ψ A ψ A ψ B ψ B = ρ A ρ B ρ A = ψ A ψ A a 2 ab * ba * b 2 ρ B = ψ B ψ B c 2 cd * dc * d 2
Wtedy: ψ 2 2 a 11 a 12 2 = a 13 a 14 2 ψ = ρ A ρ B a 2 ab * ba * b 2 c 2 cd * dc * d 2 α = ac β = ad γ = bc δ = bd a 11 2 = a 12 2 = α 2 β 2 a 2 c 2 a 2 cd * ab * c 2 ab * cd * a 2 dc * a 2 d 2 ab * dc * ab * d 2 ba * c 2 ba * cd * b 2 c 2 b 2 cd * ba * dc * ba * d 2 b 2 dc * b 2 d 2 γ 2 δ 2 = a 13 2 a 14 2 α 2 αβ * αγ * αδ * βα * β 2 βγ * βδ * γα * γβ * γ 2 γδ * δα * δβ * δγ * δ 2 αγ * = acb * c * = ab * c 2 Stan mieszany jest niesplątany, gdy jego operator statystyczny jest iloczynem prostym operatorów
ψ ψ = α 2 00 00 + αβ * 00 01 + αγ * 00 10 + αδ * 00 11 + βα * 01 00 + β 2 01 01 + βγ * 01 10 + βδ * 01 11 + γα * 10 00 + γβ * 10 01 + γ 2 10 10 + γδ * 10 11 + δα * 11 00 + δβ * 11 01 + δγ * 11 10 + δ 2 11 11 Obliczmy zredukowany operator statystyczny dla stanu A: 0 B ψ ψ 0 B = α 2 0 0 + αγ * 0 1 + γα * 1 0 + γ 2 1 1 1 B ψ ψ 1 B = β 2 0 0 + βδ * 0 1 + δβ * 1 0 + δ 2 1 1 ρ A = (α 2 + β 2 ) 0 0 + (αγ * + βδ * ) 0 1 + (γα * + δβ * ) 1 0 + (γ 2 + δ 2 ) 1 1 Oraz operator statystyczny dla stanu B: 0 A ψ ψ 0 A = α 2 0 0 + αβ * 0 1 + βα * 1 0 + β 2 1 1 1 A ψ ψ 1 A = γ 2 0 0 + γδ * 0 1 + δγ * 1 0 + δ 2 1 1 ρ B = (α 2 + γ 2 ) 0 0 + (αβ * + γδ * ) 0 1 + (βα * + δγ * ) 1 0 + ( β 2 + δ 2 ) 1 1
ψ ψ = α 2 00 00 + αβ * 00 01 + αγ * 00 10 + αδ * 00 11 + βα * 01 00 + β 2 01 01 + βγ * 01 10 + βδ * 01 11 + γα * 10 00 + γβ * 10 01 + γ 2 10 10 + γδ * 10 11 + δα * 11 00 + δβ * 11 01 + δγ * 11 10 + δ 2 11 11 0 B ψ ψ 0 B = α 2 0 0 + αγ * 0 1 + γα * 1 0 + γ 2 1 1 ψ ψ = α 2 00 00 + αβ * 00 01 + αγ * 00 10 + αδ * 00 11 + βα * 01 00 + β 2 01 01 + βγ * 01 10 + βδ * 01 11 + γα * 10 00 + γβ * 10 01 + γ 2 10 10 + γδ * 10 11 + δα * 11 00 + δβ * 11 01 + δγ * 11 10 + δ 2 11 11 1 B ψ ψ 1 B = β 2 0 0 + βδ * 0 1 + δβ * 1 0 + δ 2 1 1
ρ A = (α 2 + β 2 ) 0 0 + (αγ * + βδ * ) 0 1 + (γα * + δβ * ) 1 0 + (γ 2 + δ 2 ) 1 1 ρ B = (α 2 + γ 2 ) 0 0 + (αβ * + γδ * ) 0 1 + (βα * + δγ * ) 1 0 + ( β 2 + δ 2 ) 1 1 Zredukowane macierze gęstości Stany z możliwym splątaniem α 2 + β 2 αγ * + βδ *!ρ A = γα * + δβ * γ 2 + δ 2 Macierze gęstości dla stanów bez splątania ρ A a 2 ab * ba * b 2!ρ B = α 2 + γ 2 αβ * + γδ * βα * + δγ * β 2 + δ 2 ρ B c 2 cd * dc * d 2 ρ 11 ρ 22 = ρ 12 ρ 21 ============================================================= α = ac β = ad γ = bc δ = bd (αγ * + βδ * )(γα * + δβ * ) (α 2 + β 2 )(γ 2 + δ 2 ) α 2 γ 2 + αγ * δβ * + βδ * γα * + β 2 δ 2 Spełnione dla stanu niesplątanego αγ * δβ * + βδ * γα * = α 2 δ 2 + β 2 γ 2
Będziemy często używać częściowych operatorów rzutowych określonych w sposób: Zobaczmy jak działają częściowe operatory rzutowe: N A ( 1 A B P ) k Ψ AB = c ij 1 A i=1 N B j=1 N A i A P k B j B = c ik i A k B = Ψ A k B i=1 gdzie: N A Ψ A = c ik i=1 i A Dla porównania gdy: wtedy Stan podukładu A zmienia się (stan splątany), lub nie zmienia się (stan niesplątany)
Przykłady Niech: Wtedy zachodzi: Można mówić o układzie zupełnym częściowych operatorów rzutowych, zachodzi bowiem: Tr(A B)=TrA TrB Wykonując pomiary w stanie splątanym na podukładach A lub B, prawdopodobieństwa otrzymania określonego wyniku będą obliczane w sposób:
Podobnie dokonując pomiaru na układach w splątanych stanach czystych, stany po pomiarze wyznaczamy w sposób: Ogólny operator statystyczny dla stanów splątanych ma postać (dla dwóch splątanych układów fizycznych): ρ AB = ( )( k A l ) B = ρ ijkl ρ ijkl i A j B i, j,k,l ( i A k A ) j B l B i, j,k,l ( ) Gdy dokonano pomiaru na podukładzie B i otrzymano wartość m, operator statystyczny przyjmuje postać = ρ ijkl i A k A ijkl ρ AB ρ AB = (1A P m B )ρ AB (1 A P m B ) Tr{ρ AB (1 A P m B )} ( ) P m B j B l B P m B i ( ) ρ imim = = ρ imkm i A k A ik ρ imim i Sprawdzić na ćwiczeniach ( ) m B m B ( )
Aby otrzymać operator statystyczny np. podukładu A gdy jest on splątany z drugim podukładem B obliczamy ślad po podukładzie B: ρ A = Tr B {ρ AB } ρ ijkl i A k A i, j,k,l ( ) Tr j B l B ( ) = = ( ρ i ijkl A k A )δ = ρ jl ijkj i A k A i, j,k,l i, j,k ( ) = N A = A ρ i,k i A k A i,k gdzie N B ρ A i,k = ρ ijkj j N A!ρ A = A ρ i,k i A k A i,k Zredukowany operator statystyczny podukładu A
Pomiary dokonujemy zawsze na podukładzie, wtedy odpowiednie operatory rzutowe mają postać (dla pomiarów na A): Wtedy prawdopodobieństwa otrzymania danego wyniku pomiaru można obliczać na dwa sposoby: Wykorzystując zredukowany operator statystyczny: 1 2 N A Tr{!ρ A P A n }= Tr{ ρ A i,k i A k A P A n }= N A lub pełny operator statystyczny: i,k = A ρ i,n Tr{ i A n A = A ρ i,n δ i,n = i N B N A = ρ A n,n ρ njnj j i W obydwu metodach obliczania otrzymujemy ten sam wynik Pr(n) = N B ρ njnj j Pr(n) = Tr ( ρ AB (P A n 1 B ))
Tr[ρ AB (P n A 1 B ) = Tr ρ ijkl i A k A j B l B (P A n 1 B ) = i, j,k,l = A ρ ijkl Tr i A k A P n i, j,k,l Tr j l B B 1 B = Tr(A B)=TrA TrB = ρ ijkl δ k,n Tr i A n A i, j,k,l Tr j l B B = N B = ρ ijkl δ k,n δ i,n δ j,l = ρ njnj i, j,k,l j=1 Tr ϕ ψ = ψ ϕ
Kryteria splątania stanów (dla stanów czystych). Mamy splątane dwa stany. Opisuje je operator statystyczny: ρ AB = ρ ijkl i A j B k A l B ρ ijkl ijkl ijkl ( i A k A ) j B l B ( ) Obliczamy stany podukładów A i B: ρ A Tr B [ρ AB ] = N B ρ A i,k = ρ ijkj j N A ρ A B i,k i A k A!ρ B Tr A [ρ AB ] = ρ j,l i,k j,l ρ AB N A ρ B j,l = ρ ijil Operator statystyczny (dla stanu czystego) opisuje układ splątany tylko wtedy gdy podukłady ρ A i ρ B są w stanach mieszanych. i N B j B l B ρ AB splątane Tr( ρ A ) 2 < 1 N A ρ A ρ A i,k < 1 k,i i,k=1 Tr( ρ B ) 2 < 1 N B ρ B ρ B j,l < 1 l, j j,l=1
Rozrzut wyników pomiaru jest mierzony średnim odchyleniem standardowym obliczanym w sposób 2 ΔA= A A 2 ψ ψ ψ Tylko w niewielu stanach rozrzut ΔA znika. Wtedy możemy zadać pytanie i uzyskać jednoznaczną odpowiedź. Istnieje mnóstwo pytań, na które, dla danego stanu ψ nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Sytuacja jest zupełnie odmienna w porównaniu z fizyką klasyczną. Tutaj znajomość położenia i pędu punktu materialnego pozwala jednoznacznie przewidzieć wartość każdej obserwabli. Wiele różnych podukładów może być reprezentowanych przez ten sam operator statystyczny. Ale jedynie ten operator decyduje o wynikach różnych pomiarów. Żadne różnice w podukładach, poza tym co reprezentuje operator statystyczny, nie będą więc możliwe do eksperymentalnej weryfikacji. Koherentna superpozycja stanów może prowadzić do efektów interferencyjnych, probabilistyczna mieszanka nigdy nie da takich efektów. Rozpatrzmy dwa stany: ψ A = 1 ( 2 0 + 1 ) ψ B = 1 ( 2 0 1 ) Prawdopodobieństwo, że mierząc obserwablę A otrzymamy wartość 1 wynosi ( P 1 = 1 1 ) P1 = 1 2 Tak będzie, niezależnie czy układ jest w stanie A czy B.
Dlaczego operator statystyczny jest konieczny: Przypuścimy, że wiemy iż układ jest przygotowany w stanie A i B z równym prawdopodobieństwem. Układ nie może być w stanie czystym, mamy bowiem Musimy mieć do dyspozycji operator statystyczny. p coh 1 = Tr( Ψ coh Ψ coh P ) 1 = 0 Innym powodem wprowadzenia operatora statystycznego jest zjawisko splątania. Załóżmy, że mamy układ w stanie splątanym: ( ) 1 ( 2 0 + 1,1 ) B A B Ψ AB = 1 2 0 A 0 B + 1 A 1 B 1 B Nie można wtedy powiązać z podukładami A i B żadnego stanu czystego. Wyobraźmy sobie, że separujemy podukłady A i B i wykonujemy pomiar na podukładzie A lub na podukładzie B mierząc obserwable, które pozwalają nam stwierdzić czy układ jest w stanie 0 lub w stanie 1 (np. pomiar dla obserwabli B): Na ćwiczeniach
Po takich pomiarach układ AB będzie odpowiedni w stanach: Na ćwiczeniach A to oznacza, że układ A jest w stanie 0 A lub 1 A, w każdym przypadku z prawdopodobieństwem 50%. Gdy nie znamy wyniku pomiaru w podukładzie B, musimy przyjąć, że układ jest w stanie mieszanym: ρ A = 1 ( 2 0 0 A A + 1 A 1 A ). Jest to dokładnie zredukowany operator statystyczny, otrzymamy go bezpośrednio obliczając stan podukładu A:
!ρ A = Tr ( B Ψ AB Ψ ) AB = 1 2 Tr ({ 0 B A 0 B + 1 A 1 B }{ 0 A 0 B + 1 A 1 b }) = = 1 2 Tr ( 0 B A 0 A 0 B 0 B + 0 A 1 A 0 B 1 B + 1 A 0 A 1 B 0 B + 1 A 1 A 1 B 1 ) B =!ρ A = 1 ( 2 0 0 A A + 1 A 1 ) A Inny przykład Co się stanie gdy B zdecyduje się zbadać czy jego układ jest w stanie określonych w sposób: y B x B = 1 ( 2 0 + 1 ) y B B B = 1 ( 2 0 1 ) B B x B lub B dokonuje pomiarów, dla których operatory rzutowe mają postać: Obliczyć na ćwiczeniach Obydwa prawdopodobieństwa są równe
Stany układu AB po takich pomiarach będą równe: X: Ψ AB ( ) Ψ AB = 1 A B ( P x ) 1 ( 2 0 0 + 1 1 A B A B ) =! 1 A P x B 1 A 0 A P B x 0 B +1 A 1 A P B x 1 B 0 A ( 0 B + 1 ) B + 1 A ( 0 B + 1 ) B! Stany układu A po takich pomiarach :! 1 ( 2 0 + 1 A A ) ( 0 B + 1 B ) Y: Ψ AB! ( 1 A B P ) y Ψ AB = ( 1 A B P ) 1 ( y 2 0 0 + 1 1 ) = A B A B 1 A 0 A P B y 0 B +1 A 1 A P B y 1 B 0 A ( 0 B 1 ) B + 1 A ( 0 B + 1 ) B! 1 ( ) 2 0 A + 1 A 1 ( ) 2 0 A 1 A! 1 ( 2 0 1 A A ) ( 0 B 1 B ) A więc zredukowany operator statystyczny będzie równy
Widzimy, że dwie różne sytuacje pomiarowe doprowadzają nas do tego samego stany podukładu A Niezależnie od tego czy w podukładzie B mierzymy obserwable: o stanach własnych: 0 B 1 B x B = 1 ( 2 0 + 1 ) B B czy też o stanach własnych: y B = 1 ( 2 0 1 ) B B podukład A zawsze będzie w stanie mieszanym opisanym takim samym operatorem statystycznym:!ρ A = 1 ( 2 0 0 A A + 1 A 1 ) A
1. Rozkład Schmidta Mamy stan: ψ = N N A B c ij i A j B i=1 j=1 N A i A = A U B ik k A j B = U jm k=1 N A k=1 m B ψ = N N A B i=1 j=1 c ij N A A U ik k=1! k A N B m=1 U B jm!m B ψ = N N N A,N A B B A B U ik c ij U jm ka m B i=1 j=1 k,m=1
ψ = N A i=1 N B j=1 N A,N B ( U AT ) ki c ij k,m=1 U jm B ka m B Tak więc w nowej bazie: gdzie: N A,N ψ = B c km ka m B k,m=1 c km = N A i=1 N B ( U AT ) B ki c ij U jm j=1 Gdy N A = N B, dla dowolnej macierzy c zawsze istnieją takie dwie macierze unitarne U A oraz U B takie, że λ k!c km = λ k δ km gdzie, zwane współczynnikami Schmidta, są rzeczywiste i dodatnie oraz jednoznacznie określone.
Teraz kryterium jest proste: --- jeżeli tylko jedno λ k jest różne od zera układ jest w stanie separowalnym, --- jeżeli więcej niż jedno jest różne od zera stan układu jest splątany, 2. Drugie kryterium - własność zredukowanej macierzy gęstości wtedy: oraz: N N N = N A = N B N k N ( ) ρ A Tr B [ρ AB ] = Tr B ψ ψ = λ k 2 ka k A λ k ψ ψ = λ k λ (! i ka k! )( B ia! i! ) B = λ k λ (! i ka ia! ) k! B ib! k=1 i=1 N i=1 ( ) ψ = λ k! ka! k B!ρ B Tr A [ρ AB ] = Tr A ψ ψ = λ m 2 m N k=1 N i=1 ( m B m ) B ( )
Gdy którakolwiek ze zredukowanych macierzy opisuje stan czysty stan układu nie jest splątany. Gdy jedna z macierzy opisuje stan mieszany, stan pełny układu znajduje się w stanie splątanym. Widać, że kryterium rozkładu Schmidta dla stanu splątanego jest równoważne kryterium stanu mieszanego lub czystego dla zredukowanej macierzy gęstości Dla stanów czystych rozkład Schmidta stanowi warunek konieczny i wystarczający splątania stanów
Dla stanów mieszanych takie eleganckie kryterium nie istnieje, w szczególności stopień zmieszania zredukowanych macierzy gęstości nie mówi nic o splątaniu. Dla stanów mieszanych wprowadzono inne kryteria splątania: -- świadkowie splątania (entanglement witnesses), -- pozytywne mapy (positive maps) -- kryterium Peresa (PPT dodatniej częściowej transpozycji) dla układu AB dwóch qubitów (2 2) lub qubit qutrit (2 3) (twierdzenie Horodeckich) -- kryterium ujemności (miara splątania)
Kryterium częściowej transpozycji {Positive Partial Transpose (PPT)} ρ T B ρ ( i ijkl A k A ) ( j B l B ) T = i, j,k,l ρ T B = ( ρ i ijkl A k A ( ) l B j B ) i, j,k,l Jeżeli ma ujemne wartości własne (nie jest operatorem dodatnim) to początkowy stan ρ był stanem splątanym. Dla separowalnego stanu mieszanego i ρ = p i ρ i (1) ρ i (2) ρ T 1 ρ T 2 zarówno jak i są dodatnio określone Na ćwiczeniach - Pokazać jak to pracuje dla stanów czystych
ρ = p ( ρ (1) ) ( ρ (2)) mµ,nν i i mn i µν i ( ρ T ) 1 nµ,mν = p ( ρ (1) ) i i nm ( ρ (2)) i µν i ( (1) ρ ) T (1) Macierz i ma takie same wartości własne jak ρ i. Kryterium ujemności (Negativity) Dla danego operatora statystycznego tworzymy ρ T 1 ρ T 2 lub ρ T znajdujemy wartości własne takiego.
ρ T λ i = λ i λ i Następnie obliczamy (Negativity) N[ρ] = i ( λ λ ) i i Gdy N[ρ] > 0 stan jest splątany
Związek pomiędzy zredukowanymi operatorami statystycznymi ρ A oraz ρ B a pełnym operatorem ρ AB. ρ A ρ B Pełny stan ρ AB czysty mieszany Obydwa czyste tak nie Jeden czysty drugi mieszany Obydwa mieszane nie tak tak tak L. E. Ballentine; Quantum Mechanics, A Modern Development, World Scientific, 2015
Jak operatory statystyczne ρ A oraz ρ B decydują o splątaniu pełnego operatora. ρ AB ρ A ρ B ρ AB splątany niesplątany Czysty, czysty czysty nie tak Czysty, mieszany, mieszany nie tak Mieszany, mieszany, czysty, tak nie Mieszany, mieszany, mieszany tak tak L. E. Ballentine; Quantum Mechanics, A Modern Development, World Scientific, 2015
Przejście ze stanu niesplątanego w stan splątany na skutek ewolucji w czasie. Początkowy faktoryzowalny stan może na skutek ewolucji czasowej przejść w stan splątany. Załóżmy, iż stan początkowy ma postać: Przyjmijmy też, iż Hamiltonian w naszej bazie przyjmuje kształt: H 1MeV = Wtedy operator ewolucji U(t,0) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Ht i U(t,0) = e = cos 1MeV t i H 1MeV 1MeV t sin H 1MeV 2 = 1
Po czasie t spełniającym warunek: U t = ( h ),0 4 MeV 1MeV t = ih= = π 2 i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i 0 A,0 B 1 AB 1 Przy oznaczeniach wektorów bazowych: 0 A,1 B 2 AB 2 1 A,0 B 3 AB 3 Wtedy: Ψ AB (0) = 1 ( 2 1 + 2 + 3 + 4 ) 1 A,1 B 4 AB 4 i Ψ AB (0) = 1 2 1 1 1 1
Stan po czasie t: ψ AB () t = U(t,0) ψ (0) AB A więc: i Ψ AB (t) = 1 2 i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i 1 1 1 1 = 1 2 i i i i Czyli: Ψ AB (t) Jak łatwo widać jest to stan splątany: α β = 1 γ δ = 1 ψ = α +, + + β +, + γ, + + δ, α β = γ δ
Powstały stan jest stanem splątanym. Jak się o tym przekonać? Sprawdźmy ślad kwadratu zredukowanego operatora statystycznego. Pełny operator statystyczny ma postać: Zredukowany operator statystyczny dla podukładu A: Korzystamy z twierdzenia (dla stanów czystych): Tr{( ρ A ) 2 } = 1 2 < 1 0 A Gdy zredukowany operator statystyczny opisuje stan mieszany to układ początkowy był w stanie splątanym Podukład A jest w stanie mieszanym, a więc pełny układ AB był splątany
Wnioski: Ewolucja unitarna może zmienić splątanie stanów. Ze stanu niesplątanego może dać w konsekwencji stan splątany. Możliwa jest też ewolucja odwrotna ze stanu splątanego w stan niesplątany Ewolucja unitarne nie zmieni mieszania stanów. Stan czysty przejdzie w stan czysty, stan mieszany w dowolnej późniejszej chwili czasu pozostanie mieszany
Więcej o splątaniu Załóżmy, że układ jest w stanie mieszanym opisanym operatorem: Nie wiemy czy układ jest w stanie 00 czy też 11, ale wiemy tylko jedno, A i B są w takim samym stanie, co formalnie oznacza, że: Niech teraz układ będzie w stanie splątanym czystym:
Wtedy także formalnie mamy: Gdzie widać różnicę pomiędzy stanem czystym i mieszanym. Rozważmy zbiór operatorów rzutowych: Obliczmy wtedy wartości średnie:
Niech x oraz y będą wektorami bazy. Tworzymy dwie ich unormowane kombinacje. W jakich okolicznościach standardowe pomiary jednoznacznie rozróżnią stany ψ c oraz ψ d? Mierzymy jakieś ortogonalne operatory rzutowe (dwa bo przestrzeń jest dwuwymiarowa): P 1 = ϕ ϕ P 2 = 1 P 1 Aby spełnić pierwszy warunek musimy wybrać: Chcemy tak wybrać φ aby zachodziło: Warunek jest spełniony gdy I w konsekwencji:
Aby eksperymentalnie rozróżnić układy w dwóch stanach, musi zachodzić: Ψ c Ψ d = 0 Przykład wzięty z wykładów Hideo Mabuchi, Caltech ze strony Internetowej http://minty.caltech.edu/ Ph195/entrypage.htm Możemy rozróżnić dwa układy gdy są w stanach ortogonalnych. WNIOSEK: Żadne pomiary nie rozróżnią dwóch nieortogonalnych stanów. Przygotowując stany układów wkładamy więcej informacji niż możemy odzyskać. Czemu tak się dzieje? Jest to jedno z najważniejszych pytań we współczesnych badaniach teorii kwantowej.
Dziękuję za uwagę 54