O informatyce kwantowej
|
|
- Aleksandra Stefańska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
2 Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja Opis formalny obliczeń kwantowych Język Qubit Dwa qubity 3 Operacje kwantowe Bramki unitarne Bramki jednoqubitowe Bramki dwuqubitowe Obwody kwantowe Splątanie Pomiar 4 Algorytm Deustsch a 5 Model macierzy gęstości Macierz gęstości Operacje kwantowe na macierzach gęstości Ewolucja unitarna Rozszerzenie macierzy gęstości Usunięcie podsystemu Dowolna ewolucja układu kwantowego Pomiar macierzy gęstości Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 / 33
3 Motywacja Wstęp Motywacja Informatyka kwantowa jest to dziedzina wiedzy zajmująca się zastosowaniem praw mechaniki kwantowej do przesyłania i przetwarzania informacji. Poza czysto utylitarnym podejściem do badań w tej dziedzinie ważne są również (a może przede wszystkim) fundamentalne zagadnienia takie jak: czym jest informacja, jaka jest relacja informacji z materią, jakie są granice fizyczne możliwości przetwarzania i transmisji informacji. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
4 Wstęp Motywacja Zakres badań informatyki kwantowej Kwantowa teoria informacji: zagadnienia fundamentalne: entropia, splątanie, pojemność kanałów kwantowych, kwantowa korekcja błędów, protokoły kwantowe, kryptografia kwantowa, obliczenia kwantowe: modele obliczeń kwantowych, obwody kwantowe, algorytmy kwantowe, kwantowe języki programowania. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
5 Opis formalny obliczeń kwantowych Podstawowe definicje Język Przez ψ oznaczamy wektor ket z d wymiarowej przestrzeni Hilberta H d. ψ jest etykietą wektora. Przez ψ oznaczamy wektor dualny bra do wektora ψ. Iloczyn skalarny wektorów oznaczamy przez tzw. braket ψ φ = i ψ i φ i. ψ A φ oznacza iloczyn skalarny między ψ a A φ. Operatory liniowe działające na przestrzeni H d będziemy czasem oznaczać przez ket-bra ( x y ) ψ = x y ψ = y ψ x. Znakiem będziemy oznaczać iloczyn tensorowy. Zapisy ψ φ skracamy do ψ φ lub nawet ψφ. Znak A T transpozycję, A sprzężenie zespolone a A oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
6 Qubit Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Podstawową jednostką w informatyce kwantowej jest qubit, o którym mówimy, że jest to elementarny układ kwantowy mający dwa stany podstawowe. Definicja Qubit jest to zbiór wektorów o długości jeden w H. Mówimy, że dwa qubity są w tym samym stanie gdy różnią się o skalar zespolony o module 1 (czynniku fazowmym). W celu opisania stanu qubitu wybieramy bazę ortonormalną w dwu-wymiarowej przestrzeni Hilberta. Następujące wektory tworzą tzw. bazę obliczeniową: [ 1 0 = 0 ], 1 = [ 0 1 jest ona standardowa w obliczeniach kwantowych. Stan ψ qubitu jest zadany liniową kombinację wektorów bazowych gdzie α + β = 1 oraz α, β C. ], (1) ψ = α 0 + β 1, () Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
7 Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Zatem stan qubitu może być sparametryzowany przez trzy liczby rzeczywiste. ψ = e iγ ( cos θ 0 + eiφ sin θ 1 ), (3) gdzie γ, θ, φ R, a e iγ stanowi czynnik fażowy. Liczby rzeczywiste θ i φ mogą być interpretowane jako współrzędna punktu na trójwymiarowej sferze Blocha o promieniu jeden. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
8 Sfera Blocha Opis formalny obliczeń kwantowych Qubit Sfera Blocha jest wygodną reprezentacją graficzną qubitu. Rysunek: Sfera Blocha Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
9 Dwa qubity Opis formalny obliczeń kwantowych Dwa qubity Operacją matematyczną, która odpowiada złączeniu dwóch qubitów jest iloczyn tensorowy. Mając dane stany dwóch qubitów ψ i φ : ψ = [ ] α β = α 0 + β 1, φ = [ ] γ = γ 0 + δ 1, (4) δ ich łączny stan zapisujemy w taki sposób: αγ ψ φ = αδ βγ = αγ αδ βγ βδ 1 1, (5) βδ bądź w skrócie: αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11. (6) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
10 Rejestry kwantowe Opis formalny obliczeń kwantowych Rejestry kwantowe N-qubitowy rejestr kwantowy jest opisywany przez wektory w przestrzeni H N = C C... C. (7) Zazwyczaj wybieramy w tej przestrzeni naturalną bazę ortonormalną (obliczeniową) { x i } N 1 i=0, gdzie x i są ciągami binarnymi o długości N. Stan ψ rejestru jest zatem opisany przez wektor w bazie obliczeniowej: ψ = N 1 i=0 gdzie współczynniki a i spełnianiają równanie: N 1 i=0 a i x i, (8) a i = 1. (9) Zatem odrzucając globalną fazę, stan N-qubitowego rejestru kwantowego jest opisany przez N 1 liczb zespolonych. Możemy to porównać do N-bitowego rejestru klasycznego, który jest opisany N liczbami naturalnymi. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
11 Bramki kwantowe Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stany kwantowe (czyste) to wektory zespolone o długości jeden. Operacje, które przeprowadzają stany w stany nazywamy bramkami kwantowymi. Są one reprezentowane przez macierze unitarne t.j. UU = I. Przejścia między stanami są obliczane poprzez pomnożenie stanu z lewej strony przez macierz unitarną: ψ 1 = U ψ 0. (10) Łatwo zauważyć, że obliczenia kwantowe są odwracalne Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
12 Bramki jednoqubitowe Operacje kwantowe Bramki kwantowe Istnieją cztery bramki jednobitowe Identyczność , Negacja , Reset , Set Bramek jednoqubitowych istnieje nieskończenie wiele. Stanowią one nadzbiór bramek klasycznych. Możemy zapisać bramki klasyczne w języku macierzy. Identyczność (I) i negacja (N ot) są prawidłowymi operacjami kwantowymi: I = [ ], Not = [ ]. (11) Reset (P 0 ) i set (P 1 ) mogą być zapisane jako macierze rzutowe: [ ] [ ] P 0 =, P =, (1) 0 1 jednakże nie są one operacjami unitarnymi i zatem nie mogą być stosowane wprost w informatyce kwantowej. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
13 Operacje kwantowe Bramki kwantowe Pierwszą bramką, którą wprowadzimy, która nie ma odpowiednika klasycznego jest bramka Hadamarda: H = 1 [ ] 1 1. (13) 1 1 Ta bramka przekształca stan 0 w 1 ( ) oraz stan 1 w 1 ( 0 1 ). Inna bramka w informatyce kwantowej, to: [ ] 1 0 Z =, (14) 0 1 która przekształca 0 w siebie samego, a 1 w 1. Zbiór wszystkich bramek jednoqubitowych może być sparametryzowany czterema liczbami rzeczywistymi α, β, γ, δ w następujący sposób: U(α, β, γ, δ) = e iα [ e iβ 0 0 e iβ ] [ cos( γ ) sin( γ ) ] [ sin( γ ) cos( γ ) e iδ 0 0 e iδ ]. (15) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
14 Bramka CNOT Operacje kwantowe Bramki kwantowe Najbardziej popularną bramką dwuqubitową jest bramka CN ot. Pierwszy qubit nazywamy kontrolnym, drugi docelowym. Jeżeli qubit kontrolny jest w stanie 1 to wyjście qubitu docelowego jest negowane. Zachowanie tej bramki można podać przez poniższe równanie: CNot x, y = x, x y, (16) gdzie oznacza dodawanie modulo. W zapisie macierzowym bramka CN ot wygląda następująco: CNot = (17) CNot jest odpowiednikiem bramki XOR z tą różnicą, że drugi bit jest kopiowany na drugie wyjście. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
15 Splątanie Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stan kwantowy, który opisuje pojedynczy qubit nie jest zbytnio interesujący. Ciekawe zjawiska pojawiają się gdy mamy do dyspozycji dwa qubity. Weźmy stan dwuqubitowy 00. Wpierw aplikujemy bramkę Hadamarda H na pierwszym qubicie: H I 00 = 1 ( ). (18) bramkami kwantowymi Potem aplikujemy bramkę CN ot: CNot 1 ( ) = 1 ( ) = Φ +. (19) Teraz weźmy oba qubity α 0 + β 1 i γ 0 + δ 1, ich iloczyn Kroneckera wynosi: (α 0 + β 1 ) (γ 0 + δ 1 ) = αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11. (0) Jeżeli będziemy chcieli zapisać stan Φ + w następujący sposób: = αγ 00 + αδ 01 + βγ 10 + βδ 11, (1) to otrzymamy układ równań αγ = 1, αδ = 0, βγ = 0 i βδ = 1. Ten układ równań nie ma rozwiązań! Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
16 Splątanie cd. Operacje kwantowe Bramki kwantowe Stan Φ + nie może zostać zapisany jako iloczyn tensorowy stanów rozłącznych qubitów. Takie stany nazywamy splątanymi. Stany splątane nie mogą być rozpatrywane jako kombinacje podsystemów, muszą być traktowane jako całość. Splątanie jest bardzo ważną cechą systemów kwantowych. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
17 Obserwable Operacje kwantowe Obserwable Dotychczas mówiliśmy o reprezentacji stanów kwantowych. Jednakże stany kwantowe nie mogą zostać zaobserwowane bezpośrednio w wyniku eksprymentu. Wielkości fizyczne, które mogą być zmierzone nazywamy obserwablami. Obserwabla Obserwablą nazywamy mierzalną wielkość fizyczną. Reprezentowana jest ona przez operator hermitowski M = M Jednocześnie mamy użyteczne twierdzenie: jeżeli M = M, to M = n a n P n, () gdzie P n P m = P n δ nm, P n = I oraz a n σ(m). Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
18 Pomiar Operacje kwantowe Pomiar Mając dany operator rzutowy P n = ψ n ψ n, który odpowiada wynikowi pomiaru a n i stan φ, prawdopodobieństwo p uzyskania wartości a n w wyniku pomiaru φ może zostać policzone w następujący sposób: p(a n ) = φ ( ψ n ψ n ) φ = φ ψ n ψ n φ = P n φ (3) Po pomiarze rzutowym, system będzie w stanie: φ 1 = P n φ φ Pn φ. (4) Oznacza to, że pomiar dają wynik losowy i że pomiar zmienia stan układu. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
19 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 1/4 Algorytm Deustsch a Załóżmy, że mamy czarną skrzynkę nazywaną zwyczajowo wyrocznią. Ta skrzynka oblicza funkcję f : {0, 1} {0, 1}. Nie wiemy czy ta funkcja jest stała tzn. f(0) = f(1), czy różnowartościowa tzn. f(0) = f(1). W przypadku klasycznym musimy zapytać wyroczni dwa razy ażeby zbadać, do której z powyższych klas f należy. W przypadku klasycznym możemy rozwiązać ten problem zapytując wyrocznię tylko raz. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
20 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a /4 Algorytm Deustsch a Bramka U f jest rewersyjną implementacją funkcji f, symbol oznacza pomiar. 0 H x x H U f 1 H y y f(x) Rysunek: Obwód kwantowy opisujący działanie algorytmu Deutsch a. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
21 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
22 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, zasotsouj bramkę Hadamarda H na stanie Ψ, uzyskasz Ψ 1 = = 1 ( ). (5) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
23 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 3/4 Algorytm Deustsch a Algorytm jest następujący: Przygotuj stan: Ψ = 0 1, zasotsouj bramkę Hadamarda H na stanie Ψ, uzyskasz Ψ 1 = = 1 ( ). (5) zastosuj bramkę U f : x y x f(x) y) : Ψ = 1 ( 0 f(0) 0 0 f(0) f(1) 0 1 f(1) 1 ) = { ± ± dla f stałej, dla f różnowartościowej. (6) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
24 Przykłady zastosowań Algorytm Deustsch a 4/4 Algorytm Deustsch a Zastosuj H I na stanie Ψ ; uzyskasz: Ψ 3 = { ± ± dla f stałej, dla f różnowartościowej. (7) Zmierz stan pierwszego qubitu, dostaniesz: 0 w przypadku funkcji stałej, 1 w przypadku funkcji różnowartościowej. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 / 33
25 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa 1/3 Teleportacja kwantowa Teleportacja kwantowa, to protokół mający na celu przesłanie stanu qubitu z wykorzystaniem splątanej pary qubitów i dwóch bitów informacji. q A H q B H q C Z X Rysunek: Obwód teleportacji kwantowej Niech jest pewny dowolnym stanem qubitu. Chcemy go przenieść z qubitu A na C. φ A = α 0 + β 1 (8) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
26 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
27 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
28 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
29 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) ψ ABC 3 = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 1 B 0 C + β 1 A 0 B 1 C ) (3) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
30 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa /3 Teleportacja kwantowa ψ ABC 0 = φ A ( 0 B 0 C ) (9) ψ ABC 1 = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B + 1 B ) 0 C (30) ψ ABC = 1 (α 0 A + β 1 A )( 0 B 0 C + 1 B 1 C ) (31) = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 0 B 0 C + β 1 A 1 B 1 C ) ψ ABC 3 = 1 (α 0 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + β 1 A 1 B 0 C + β 1 A 0 B 1 C ) (3) ψ ABC 4 = 1 (α 0 A0 B 0 C + α 1 A 0 B 0 C + α 0 A 1 B 1 C + α 1 A 1 B 1 C (33) +β 0 A 1 B 0 C β 1 A 1 B 0 C + β 0 A 0 B 1 C β 1 A 0 B 1 C ) (34) Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
31 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa 3/3 Teleportacja kwantowa Jeżeli Alicja w wyniku pomiaru zmierzy 00 to przeprowadzi swój stan w 0 A 0 B i quibt C będzie w stanie α 0 C + β 1 C czyli będzie, to pierwotny stan qubitu A. W pozostałych przypadkach mamy: wynik pomiaru stan Alicji stan Boba korekcja 01 0 A 1 B α 1 C + β 0 C X 10 1 A 0 B α 0 C β 1 C Z 11 1 A 1 B α 1 C β 0 C XZ W ten sposób przy użyciu bitów informacji i stanu splątanego można przesłać stan qubitu. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
32 Przykłady zastosowań Teleportacja kwantowa Teleportacja kwantowa realizacja Rysunek: Układ teleportacji stanu jonów 70Yb. [P. Maunz, S. Olmschenk, D. Hayes, D.N. Matsukevich, L.-M. Duan, and C. Monroe. Heralded Quantum Gate between Remote Quantum Memories. Physical Review Letters 10, 5050 (009).] Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
33 Przykłady zastosowań Zastosowania informatyki kwantowej Inne zastosowania informatyki kwantowej Kwantowa dystrybucja klucza, gęste kodowanie, wyszukiwanie w nieuporządkowanym zbiorze, znajdowanie dzielników liczby, rozwiązywanie układów równań liniowych, sprawdzanie czy element znajduje się w zbiorze,... Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
34 Literatura Literatura Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 000 Krzysztof Giaro, Marcin Kamiński, Wprowadzenie do algorytmów kwantowych, Exit, 003 Hirvensalo Mika, Algorytmy kwantowe, WSiP, 004 arxiv.org/archive/quant-ph baza preprintów artykułów wiki i vortal o informatyce kwantowej Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
35 Literatura Dziękuję za uwagę. Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października / 33
Wstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
Bardziej szczegółowoKomputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006
Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz
Informatyka kwantowa Karol Bartkiewicz Informacja = Wielkość fizyczna Jednostka informacji: Zasada Landauera: I A =log 2 k B T ln 2 1 P A R. Landauer, Fundamental Physical Limitations of the Computational
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.
Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 12 - Algorytmy i protokoły kwantowe Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/05/2016 1 / 39 1 Motywacja rozwoju informatyki kwantowej. 2 Stany kwantowe. 3 Notacja Diraca.
Bardziej szczegółowoSeminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowo- nowe wyzwanie. Feliks Kurp
INFORMATYKA KWANTOWA - nowe wyzwanie Feliks Kurp 2006 2 Plan wystąpienia: 1. Dlaczego informatyka kwantowa? 2. Grupy i ludzie zajmujący się informatyką kwantową 3. Fenomeny mechaniki kwantowej 4. Podstawy
Bardziej szczegółowoAlgorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna
Bardziej szczegółowoGry kwantowe na łańcuchach spinowych
Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Jarosław Miszczak we współpracy z Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii komputerów kwantowych
Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35 Plan seminarium
Bardziej szczegółowoProtokół teleportacji kwantowej
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 9 stycznia 008 Teleportacja kwantowa 1993 Propozycja teoretyczna protokołu teleportacji
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit jest jednostką informacji tzn. jest "najmniejszą możliwą
Bardziej szczegółowoV. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję.
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa
VI Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM Informatyka kwantowa Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 16 października 2003 Spis treści 1 Rozwój komputerów 4 1.1 Początki..................
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit kwantowy zawiera więcej informacji niż bit klasyczny
Bardziej szczegółowoVIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski
VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Teleportacja kwantowa polega na przesyłaniu stanów cząstek kwantowych na odległość od nadawcy do odbiorcy. Przesyłane stany nie są znane nadawcy
Bardziej szczegółowoJęzyk programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości
oparty o model macierzy gęstości (Promotorski) Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 13 grudnia 2008 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy Model obliczeń kwantowych Operacje
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoInternet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN
Internet kwantowy (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 16. stycznia 2012 Plan wystąpienia 1 Skąd się biorą stany kwantowe? Jak
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoW5. Komputer kwantowy
W5. Komputer kwantowy Komputer klasyczny: Informacja zapisana w postaci bitów (binary digit) (sygnał jest albo go nie ma) W klasycznych komputerach wartość bitu jest określona przez stan pewnego elementu
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoFizyka dla wszystkich
Fizyka dla wszystkich Wykład popularny dla młodzieży szkół średnich Splątane kubity czyli rzecz o informatyce kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 21 kwietnia 2004 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 07 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 27/10/2016 1 / 29 1 Wprowadzenie Obliczanie Motywacja fizyczna Motywacja kryptograficzna 2 2 /
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoPeter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku
Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Wstęp czyli (próba) odpowiedzi na pewne pytania (Silna) Teza Church
Bardziej szczegółowoWykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Przemysław Patryk Jarosz Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej Praca licencjacka wykonana
Bardziej szczegółowoKrótki wstęp do mechaniki kwantowej
Piotr Kowalczewski III rok fizyki, e-mail: piotrkowalczewski@gmailcom Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej Mechanika kwantowa w cytatach If quantum mechanics hasn
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoSplątanie a przesyłanie informacji
Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoSymulacja obliczeń kwantowych
Model kwantowych bramek logicznych w NumPy Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 10 października 2007 Plan prezentacji 1 Python
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowoHigh level programming in quantum computer science
High level programming in quantum computer science Autor: Promotor: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 23 grudnia 2008 Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja
Bardziej szczegółowoMiary splątania kwantowego
kwantowego Michał Kotowski michal.kotowski1@gmail.com K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoKwantowa implementacja paradoksu Parrondo
Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN, Gliwice oraz Zakład Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Śląski, Katowice 7 Czerwca 2005 Plan
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoInformatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja
Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja Robert Nowotniak Wydział FTIMS, Politechnika Łódzka XV konferencja SIS, 26 października 2007 Streszczenie Informatyka kwantowa jest dziedziną
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA Joanna Patrzyk Bartłomiej Patrzyk Katarzyna Rycerz jpatrzyk@quide.eu bpatrzyk@quide.eu kzajac@agh.edu.pl
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 24, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
odstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 4, 5.05.0 wykład: pokazy: ćwiczenia: Michał Karpiński Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 3 - przypomnienie argumenty
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoNotacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Bardziej szczegółowoKwantowa kooperacja. Robert Nowotniak. Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 17 maja 2007 Materiały źródłowe Prezentacja oparta jest na publikacjach: Johann Summhammer,
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoKryptografia kwantowa. Marta Michalska
Kryptografia kwantowa Marta Michalska Główne postacie Ewa podsłuchiwacz Alicja nadawca informacji Bob odbiorca informacji Alicja przesyła do Boba informacje kanałem, który jest narażony na podsłuch. Ewa
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoKlasyczna teoria informacji
Klasyczna teoria informacji. Mamy monetę dającą wyniki z prawdopodobieństwami (, 3 ) Znajdź liczbę 4 4 średnią pytań na wynik w optymalnym systemie identyfikacji potrzebną do zidentyfikowania wyniku losowania
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoOdkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego
Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis
Bardziej szczegółowo