Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej

Transkrypt

1 Slope stablty Stateczność zboczy Lmt Equlbrum Methods Metody Równowag Grancznej Marek Cała, Jerzy Flsak Katedra Geomechank, Budownctwa Geotechnk Wydzał Górnctwa Geonżyner

2 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Analza statecznośc skarp zboczy, zarówno naturalnych jak powstałych w wynku dzałalnośc człoweka, jest jednym z najważnejszych zadań geomechank geotechnk. Problematyka ta szczególne stotna jest w górnctwe odkrywkowym, gdze wykonuje sę wykopy o olbrzymch głębokoścach nasypy (zwały) o welkch wysokoścach. Zagadnene statecznośc od dawna stanow przedmot zanteresowań welu badaczy. Perwsze naukowe prace z tej dzedzny pojawły sę w XVIII weku, a ch autorem był Coulomb (777). Gwałtowny rozwój metod analzy statecznośc obserwuje sę na początku XX weku, kedy to opracowano fundamentalne do dzś stosowane metody analzy (Petterson 96, Fellenus 97, Terzagh 95) oraz w latach 50-tych 60-tych (Masłow 949, Taylor Bshop 954, Janbu 956, Nonveller 965, Morgenstern Prce 963, Spencer 967). Pommo tak lcznych badań do chwl dzsejszej ne udało sę stworzyć teor w sposób pełny jednoznaczny rozwązującej problematykę statecznośc. Przyczyną takego stanu rzeczy jest duża lczba czynnków wpływających na warunk statecznośc oraz trudnośc w określanu stanu naprężena, odkształcena przemeszczena dla skarpy.

3 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Przyczyny powodujące utratę statecznośc skarp zboczy są bardzo skomplkowane. Najogólnej mówąc, są nm sły cężkośc wywołane przycąganem zemskm nnych cał nebeskch, oraz wywołane nm naprężena. Na rozkład naprężeń w masywe gruntowym wpływ ma szereg dodatkowych czynnków, których nawet dokładne określene jest nemożlwe Najważnejsze z tych czynnków to: kształt wymary skarpy budowa geologczna, a szczególne stnene necągłośc w postac powerzchn kontaktowych powerzchn zaburzeń tektoncznych woda, powodująca obnżene wytrzymałośc gruntów oraz przejawająca sę dzałanem cśnena hydrostatycznego spływowego obcążena dynamczne, wywołane ruchem pojazdów pracą maszyn, robotam strzałowym, trzęsenam Zem etc., warunk atmosferyczne wpływy chemczne bologczne

4 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody, których celem jest określene geometr (kształtu proflu) skarpy statecznej, jeżel znana jest jej budowa geologczna własnośc gruntów. Do tej grupy zalczyć można metody bazujące na teor stanów grancznych (metoda Sokołowskego, metoda Sokołowskego- Senkowa) oraz metody empryczne (metoda Masłowa Fp). Metody, których zadanem jest ocena, czy skarpa (zbocze) o zadanej budowe geologcznej geometr jest stateczna. Metody tej grupy noszą równeż nazwę metod równowag grancznej. Zakłada sę w nch znajomość kształtu położena powerzchn poślzgu, wzdłuż której spełnone są warunk stanu grancznego Coulomba-Mohra. Marą statecznośc jest wskaźnk statecznośc, defnowany jako stosunek sł utrzymujących równowagę do sł zmerzających do destrukcj. Metody te najczęścej stosują podzał potencjalnej bryły osuwskowej na pask (blok) o ścankach ponowych, na których przyłożone są sły styczne normalne. Ze względu na statyczną newyznaczalność zadana, poszczególne metody tej grupy przyjmują różne założena, dotyczące rozkładu sł pomędzy paskam, oraz warunków równowag gwarantujących stateczność.

5 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody numeryczne: Metoda Różnc Skończonych (FLAC,FLAC3D) Metoda Elementów Skończonych (NASTRAN, ABAQUS, COSMOS/M, Z_SOIL) Metoda Elementów Brzegowych (BEASY) Metody meszane - hybrydowe

6 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody analzy statecznośc zboczy Określane kształtu proflu statecznego Określane grancznego obcążena nazomu skarpy Sprawdzane statecznośc zboczy Teora stanów grancznych Metody empryczne Teora stanów grancznych Metody numeryczne Metody numeryczne Metody równowag grancznej płaska powerzchna poślzgu walcowa powerzchna poślzgu łamana powerzchna poślzgu dowolna powerzchna poślzgu

7 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Metoda Masłowa Fp, zwana równeż metodą jednakowej statecznośc służy do wyznaczana kształtu proflu zboczy statecznych. Została ona opracowana w oparcu o wynk obserwacj procesów osuwskowych zachodzących główne na zboczach rzek Wołg. Obserwacje wykazały, że: w wynku naturalnych procesów osuwskowych w gruntach spostych tworzy sę krzywolnowy profl zbocza, który gwarantuje zachowane stanu równowag, generalne nachylene tego proflu jest ścśle zwązane z wytrzymałoścą gruntów na ścnane, że krzywzna proflu jest najwększa w górnych partach skarpy maleje prawe do zera w marę oddalana sę od nazomu, gdze profl staje sę prostolnowy, nachylony do pozomu pod kątem tarca wewnętrznego gruntu. Na tej podstawe Masłow sformułował hpotezę, zgodne z którą nachylene zbocza w stane równowag grancznej, w punkce odległym od nazomu o z równe jest kątow oporu ścnana gruntu na tej samej głębokośc. Hpoteza ta budz szereg wątplwośc natury teoretycznej dlatego też należy ją traktować jako metodę empryczną, przydatną do nżynerskej analzy statecznośc skarp zboczy. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

8 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wartość kąta oporu ścnana określć można w oparcu o wytężenową hpotezę Coulomba-Mohra na podstawe wzoru: tg f tg - kąt oporu ścnana, - kąt tarca wewnętrznego, c - spójność, - opór ścnana (naprężene styczne w płaszczyźne ścęca), - naprężene normalne do płaszczyzny ścęca. c Interpretację geometryczną kąta oporu ścnana (kąta wytrzymałośc na ścnane) przedstawono na rysunku.

9 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zgodne z hpotezą Masłowa, kąt nachylena skarpy w stane grancznym, w danym punkce jej proflu, określć można ze wzoru: c tg tg tg Masłow przyjął, że wartość naprężeń normalnych równa jest perwotnym naprężenom ponowym, jake panują w grunce na głębokośc równej odległośc rozpatrywanego punktu od nazomu, powększonej o wartość równomernego obcążena nazomu skarpy: z p 0 - cężar objętoścowy gruntu, z - odległość rozpatrywanego punktu od nazomu, p 0 - obcążene nazomu.

10 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego W zwązku z tym wzór Masłowa przyjme postać: c tg tg tg z p 0 Wyznaczane proflu statecznego zgodne z metodą Masłowa polega na określanu wartośc kąta z powyższego wzoru dla różnych wartośc z. Na tej podstawe wykreślć można kształt proflu skarpy statecznej. W grunce uwarstwonym każdą warstwę należy podzelć na j warstewek o jednakowej grubośc w obrębe warstwy. Kąt nachylena skarpy w warstewce,j można oblczyć ze wzoru: tg tg tg j j z j c p 0 j - kąt nachylena skarpy w warstewce j w warstwe, j - kąt oporu ścnana na pozome spągu warstewk j w warstwe,,c - parametry oporu ścnana w warstwe, - średn cężar objętoścowy warstwy, z j - odległość spągu warstewk j w warstwe od nazomu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

11 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczane kształtu proflu skarpy w ośrodku jednorodnym x z

12 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczane kształtu proflu skarpy w ośrodku nejednorodnym P 0 x,g c, h,g c, h Z -,j z j,g c, h z

13 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Dla ośrodka jednorodnego, możlwe jest uzyskane wzoru analtycznego, określającego równane proflu skarpy. W tym celu przyjmuje sę układ współrzędnych w tak sposób, aby jego początek pokrywał sę z górną krawędzą skarpy x H90=c tg(45+/)/ x 0 z 0 z=f(x) 3 0 z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

14 Równane Masłowa można przedstawć w postac: dz x tg ( ) c tg tg dx z p W celu rozwązana równana różnczkowego rozdzelamy zmenne w wynku tego dzałana otrzymujemy: z p0 dz dx tg z p c 0 Po scałkowanu wyrażena otrzymuje sę: c z tg z p 0 c x D tg tg ln Stałą całkowana D znajdujemy z warunków grancznych: dla z=0 x=0, D Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego c ln tg 0 p tg c Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 0

15 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Po podstawenu stałej otrzymuje sę ostateczną postać wzoru na określane kształtu proflu skarpy: x ztg c p tg c c z p tg c 0 0 tg ln ln W przypadku, gdy nazom jest neobcążony (p o = 0), wzór określający kształt proflu skarpy ma postać: x ztg c c c ztg c tg ln ln Dla gruntów dealne sypkch (c=0): tg tg Wynka stąd, że neobcążona skarpa wykonana z gruntów sypkch nachylona jest pod stałym kątem, równym kątow tarca wewnętrznego. Jest to zgodne z obserwacjam nnym rozważanam teoretycznym. Dla gruntów dealne spostych ( = 0), różnczkowe równane kształtu proflu ma postać: tg dz dx c z p Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

16 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Całkując powyższe równane różnczkowe, oraz uwzględnając warunk brzegowe: dla z = 0, x = 0 D = 0, otrzymujemy następujący wzór na kształt proflu skarpy statecznej: x 0 z c p c z a dla nazomu neobcążonego: x z c Dlatego też nekedy postuluje sę, aby skarpę zaprojektowaną z zastosowanem metody Masłowa podwyższyć o odcnek skarpy ponowej o wysokośc: H 90 c 45 tg Z równań tych wynka, że dla górotworu zbudowanego z gruntów dealne spostych, stateczna skarpa ma kształt parabol. Z rozważań teoretycznych oraz obserwacj wynka, że profl skarpy określony na podstawe metody Masłowa dla gruntów spostych charakteryzuje pewen nadmar statecznośc. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

17 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Pommo szeregu wątplwośc natury teoretycznej metoda Masłowa Fp dobrze opsuje geometrę skarp statecznych, szczególne wówczas, gdy spójność gruntu wynka ze stanu wodno-kolodalnego a ne z cech strukturalnych gruntu. Skarpy zaprojektowane wg tej metody cechuje z reguły pewen nadmar statecznośc, w zwązku z tym jej stosowane jest dość bezpeczne. Wadą metody Masłowa jest nemożlwość uwzględnena wpływu powerzchn necągłośc (powerzchn kontaktu warstw, necągłośc tektoncznych t.p) na warunk statecznośc.

18 Głębokość z, m Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczyć profl stateczny za pomocą metody Masłowa dla następujących danych: wysokość zbocza 0 m; cężar objętoścowy gruntu 0 kn/m 3 ; obcążene nazomu 0 kn/mb; kąt tarca wewnętrznego gruntu 0 0 ; kohezja 50 kpa. z a x c H 90 tg m Odległość x, m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

19 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Metoda Sokołowskego bazuje na rozwązanach teor równowag grancznej. W teor tej zakłada sę, że w każdym punkce ośrodka spełnone są równana równowag wewnętrznej cała dla zadana płaskego, w postac: x x z z z x xz xz X Y W równanach tych występują trzy newadome składowe tensora naprężeń w płaskm stane naprężena. Dla rozwązana zadana o rozkładze naprężeń w ośrodku przy zadanych warunkach brzegowych, koneczne jest sformułowane trzecego równana, zwanego równanem stanu lub równanem konstytutywnym ośrodka. W teor stanów grancznych zakłada sę, że równanem tym jest warunek stanu grancznego wytężenowej hpotezy Coulomba-Mohra, w postac: x y xy 4 x y c ctg sn Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

20 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zakłada sę przy tym, że grunt jest całem sztywno-plastycznym, jednorodnym zotropowym, w którym parametry hpotezy Coulomba- Mohra są stałe w rozpatrywanym obszarze ne zależą od współrzędnych. Rozwązując układ równań dla danych warunków brzegowych można uzyskać szereg rozwązań praktycznych, główne z dzedzny nośnośc podłoża statecznośc skarp. Zastosowanem teor stanów grancznych do rozwązywana problemów statecznośc skarp zajmował sę Sokołowsk (94), który zastosował metodę charakterystyk całkowana układu. W tym celu wprowadzł on dwe nowe zmenne wążące ze sobą składowe tensora naprężeń, a manowce: odległość środka grancznego koła Mohra od punktu przecęca prostej grancznej hpotezy Coulomba-Mohra z osą naprężeń normalnych: p c ctg 3 psn kąt utworzony przez maksymalne naprężene główne z osą ponową. 3

21 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zgodne z hpotezą Coulomba-Mohra powerzchne poślzgu tworzą z kerunkem maksymalnego naprężena głównego kąt: 4 (a) y (b) 3 c p k 3 M M x Ilustracja grafczna założeń teor stanów grancznych a - kerunk naprężeń głównych oraz ln poślzgu, b - konstrukcja koła Mohra Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

22 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego W zwązku z tym kąty utworzone przez powerzchne poślzgu z osą ponową wynosć będą: 4 oraz: 4 Wykorzystując zwązk pomędzy naprężenam głównym a składowym tensora naprężeń w postac: x y xy 3 3 cos 3 3 cos 3 sn otrzymuje sę: p sn cos x p sn cos y psn sn Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk xy p p k k

23 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Różnczkując te równana podstawając uzyskane zwązk do równań równowag wewnętrznej otrzymuje sę następujący układ równań różnczkowych: p x p ptg tg ptgtg x y y Y cos cos X sn cos p x p ptg tg ptgtg x y y X sn Y cos cos cos Powyższy układ równań, w którym newadomym są welkośc p, stanow układ cząstkowych równań różnczkowych qas-lnowych, typu hperbolcznego. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

24 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Sokołowsk rozpatrywał on dwa podstawowe zagadnena. Perwsze z nch dotyczyło określena maksymalnego, grancznego obcążena nazomu skarpy o danym kące nachylena, a druge określena geometr skarpy, gwarantującej zachowane statecznośc. Zgodne z rozwązanem Sokołowskego, granczną wartość obcążena nazomu skarpy w punkce A pokrywającym sę z jej górną krawędzą oblczyć można ze wzoru: p c sn ctg tg max A sn exp gdze: p max - maksymalne obcążene skarpy w rejone górnej krawędz, c, - parametry oporu ścnana gruntów, A - kąt nachylena skarpy w punkce A. p(y) A A y Schemat wyznaczana nośnośc skarpy Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk x

25 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Rozwązane zadana dotyczącego określana kształtu proflu skarpy statecznej jest znaczne trudnejsze z matematycznego punktu wdzena. Do chwl obecnej udało sę rozwązać to zadane jedyne dla gruntów dealne spostych ( = 0). Wzór na kształt proflu skarpy statecznej ma wówczas postać: y p0 cos c c ln p0 c c z cos p 0 - obcążene górnej krawędz skarpy oblczane ze wzoru: p 0 c Kształt proflu skarpy dla przypadku gdy jest różne od zera można określać z nomogramów sporządzonych przez Muchna Sargowczową, na podstawe całkowana numerycznego równań teor stanów grancznych, przeprowadzonego zgodne z metodą zaproponowaną przez Sokołowskego. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

26 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Krzywe, dla różnych wartośc kąta tarca wewnętrznego, zostały sporządzone w układze współrzędnych bezwymarowych, przy założenu, że c= =. Dla określena współrzędnych rzeczywstych statecznego proflu skarpy, wartośc określone z nomogramu należy pomnożyć przez loraz spójnośc cężaru objętoścowego zgodne z ponższym wzoram: x, y - odczytane z wykresu współrzędne skarpy statecznej w układze współrzędnych bezwymarowych, x,y - współrzędne rzeczywste proflu statecznego x y x c y c Nomogram do określana kształtu proflu skarp statecznych y =0 0 =5 0 =0 0 =5 0 =5 0 =30 0 =35 0 =40 0 = H=c/tg(45+/) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

27 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zaprojektowane wg podanej metody zbocze można obcążyć do wartośc: p cos c c tg 45 0 sn lub usypać na nm warstwę gruntu o wysokośc wzoru: h p c c 0 cos tg 45 sn Analzując kształt zboczy statecznych, uzyskanych z zastosowana teor równowag grancznej Sokołowskego, Senkow (950) udowodnł, że można je opsać zależnoścą funkcyjną. Dlatego też opsana nżej metoda nos nazwę metody Sokołowskego-Senkowa. Zgodne z metodą tą kształt proflu statecznego opsuje równane: z m m m exp exp( 5 ) exp... ytg c sn sn - współczynnk zależny od własnośc gruntów: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

28 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego z y h=c/tg(45+/) 0 Schemat oblczenowy do metody Sokołowskego-Senkowa m - współczynnk określany ze wzoru: m y

29 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Analza wzoru wykazuje, że wyrazy sumy bardzo szybko maleją do zera, w marę wzrostu współrzędnej y. Dlatego też, z wystarczającą do celów praktycznych dokładnoścą można stosować wzór uproszczony, w którym uwzględna sę jedyne perwszy składnk sumy: z exp( m) ytg Zaprojektowane wg podanej metody zbocze znajdujące sę w stane równowag grancznej będze mogło wytrzymać obcążene nazomu o wartośc: p cos c c tg 45 0 sn Rozpatrując obcążene jako cężar warstwy gruntu, jej wysokość można określć ze wzoru: h p c c 0 cos tg 45 sn Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

30 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Główne założena tych LEM są następujące: Znany jest kształt położene powerzchn poślzgu. W praktyce przyjmuje sę najczęścej, że powerzchna poślzgu ma kształt ln prostej, wycnka okręgu, spral logarytmcznej, dowolnej krzywej lub ln łamanej. Wzdłuż powerzchn poślzgu spełnone są warunk stanu grancznego. Dla określena stanu grancznego stosuje sę najczęścej wytężenową hpotezę Coulomba-Mohra. W przypadku różnej od prostolnowej powerzchn poślzgu potencjalną bryłę osuwskową dzel sę na blok (pask) o ścankach ponowych, zgodne z metodą zaproponowana przez Pettersona (96 r). Na boczne powerzchne pasków dzałają sły wzajemnego oddzaływana, których charakter jest odmenny w różnych metodach. Marą statecznośc zbocza jest wskaźnk statecznośc, który perwotne defnowany był jako loraz sł utrzymujących zsuwających: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk F F u z

31 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods gdze: - wskaźnk statecznośc, F u - sły utrzymujące równowagę, F z - sły zsuwające, Wskaźnk statecznośc można równeż wyrazć jako loraz zmoblzowanych naprężeń stycznych zwązanych z wytrzymałoścą na ścnane ośrodka oraz naprężeń ścnających wywołanych przez sły cężkośc oraz nne oddzaływana występujące w masywe: f d c tg d gdze: f - maksymalny opór ścnana gruntów, określany w oparcu o hpotezę Coulomba-Mohra, d - naprężene ścnające, c - spójność, - kąt tarca wewnętrznego, - naprężene normalne wzdłuż powerzchn poślzgu Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

32 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przy takm zdefnowanu wskaźnka statecznośc, spełnony jest zwązek: d tg c Wzór ten określa różnce pomędzy naprężenam stnejącym w masywe a jego wytrzymałoścą. Przyjmowana najczęścej jednakowa wartość wskaźnka statecznośc dla spójnośc kąta tarca wewnętrznego budz poważne wątplwośc. Nekedy postuluje sę, aby przyjmować różne, określane na podstawe statystycznej analzy wynków badań wytrzymałoścowych, wartośc dla spójnośc kąta tarca wewnętrznego.

33 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Rozkład sł dzałających na blok w metodach równowag grancznej (a) X + b W X E T / c / R W E + N a) w naprężenach całkowtych, b) w naprężenach efektywnych (z uwzględnenem fltracj) T N E X (b) b X c / W E h T / W X + R h w E + N U X N E T U Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

34 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Zgodne z powyższym założenam na pojedynczy blok wyodrębnony z masywu dzała układ sł, których rozkład lustruje rysunek. Przyjęto na nm następujące oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cężar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, U - sła parca wody na podstawę bloku, Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

35 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przyjmując, że potencjalna bryła została podzelona na n bloków, lczba newadomych, które należy określć dla sprawdzena jej statecznośc jest następująca: lczba reakcj normalnych N w podstawe bloków - n, lczba punktów przyłożena sł normalnych do podstawy bloków - n, lczba sł normalnych E na bokach pasków - n-, lczba punktów przyłożena tych sł - n-, lczba sł stycznych do bocznych powerzchn bloków - n-, lczba sł stycznych w podstawe bloków - n, wskaźnk statecznośc -. Sumując powyższe wartośc można węc stwerdzć, że całkowta lczba newadomych wynos 6n-.

36 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Do rozwązana zadana dysponujemy następującą lczbę równań: suma sł na kerunek pozomy - n, suma sł na kerunek ponowy - n, suma momentów - n, warunek stanu grancznego - n. Całkowta lczba równań jest węc równa 4n. Można węc stwerdzć, że zadane jest welokrotne statyczne newyznaczalne (lczba newadomych o n- przekracza lczbę równań równowag). Z tego względu koneczne jest przyjmowane dodatkowych założeń, dotyczących główne rozkładu sł pomędzy blokam oraz warunków równowag, których spełnene gwarantuje zachowane statecznośc.

37 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Stateczność zbocza o neogranczonej długośc bez fltracj Z analzą statecznośc zboczy o neskończonej długośc mamy do czynena najczęścej wówczas, gdy na mocnejszym podłożu o newelkm nachylenu zalega warstwa materału o nższych wartoścach parametrów wytrzymałoścowych. Z duża dozą prawdopodobeństwa można wówczas przyjąć, że poślzg nastąp po powerzchn kontaktu gruntów słabych mocnejszego podłoża. W górnctwe podobna sytuacja występuje przy powększanu starych, skonsoldowanych zwałów, podczas sypana na stok. Analza statecznośc w takm przypadku ograncza sę do paska o ogranczonej szerokośc, na który dzałają sły jak na rysunku.

38 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods L W F H W T F W N T R N Schemat oblczenowy analzy statecznośc neskończonego zbocza bez fltracj Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

39 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Na rysunku przyjęto następujące oznaczena: W - cężar bloku: W LH W N - składowa normalna sły cężkośc: W W cos LH cos N W T - składowa styczna sły cężkośc, która jest słą zsuwającą (zmerzającą do naruszena stanu równowag): W W sn LH sn T F - sły oddzaływana pomędzy blokam. Zakłada sę, że sły te są równoległe do powerzchn skarpy są sobe równe. Założene take jest usprawedlwone, poneważ ruch mas osuwskowych jest ruchem postępowym. N - reakcja normalna. Z warunku rzutów na kerunek normalnej do podstawy otrzymujemy: N W LH cos N T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra: f tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk c

40 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Po podstawenu wyżej zdefnowanych welkośc otrzymuje sę: T L L L Ntg c LH tg c f cos cos cos cos Z przedstawonej wyżej defncj wskaźnka statecznośc wynka, że: F F u z T W T LH cos tg cl LH sn cos H cos tg c H cos tg tg c tg H cos tg Ostateczne wzór na wartość wskaźnka statecznośc zbocza o neskończonej długośc bez uwzględnena fltracj przyjme postać: tg c tg H cos tg Na podstawe powyższego wzoru oblczyć można granczną wysokość zsuwającej sę warstwy w stane grancznym. Przyjmując, że =.0 otrzymamy: c Wzór ma sens, jeżel H Hkr spełnony jest cos tg tg warunek: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geote

41 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Lne przepływu Stateczność zbocza o neskończonej długośc z uwzględnenem fltracj L F W T h w F W W N H T N Lne ekwpotencjalne b R N U

42 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

43 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

44 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przyjęto na nm następujące oznaczena: W - cężar bloku: W sr LH gdze: L - szerokość bloku H - grubość zsuwającej sę warstwy, sr - cężar objętoścowy gruntu całkowce nasączonego wodą, W N - składowa normalna sły cężkośc: W W cos LH cos gdze: - kąt nachylena zbocza, W T - składowa styczna sły cężkośc, która jest słą zsuwającą (zmerzającą do naruszena stanu równowag): W W sn LH sn T sr F - sły oddzaływana pomędzy blokam. Zakłada sę, że sły te są równoległe do powerzchn skarpy są sobe równe, N - reakcja normalna w podstawe bloku: N W LH cos Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk N N sr sr

45 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra: gdze: f ( u) tg c,, u - cśnene porowe: u h H cos Uwzględnając, że: w w w N N U LH u L cos LH cos LH cos sr sr w cos otrzymujemy: L L L T N tg c LH tg c f cos cos cos cos Fu T LH cos tg c L H cos tg c F W LH sn cos H cos tg sr z tg tg sr T H c cos sr tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk sr

46 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Ostateczne wzór na wartość wskaźnka statecznośc dla zbocza neskończene długego, przy założenu, że przez całą, potencjalne zsuwającą sę warstwę przepływa woda, przyjmuje postać: sr tg tg sr H c cos tg gdze: - cężar objętoścowy gruntu z uwzględnenem wyporu wody,,c - efektywne wartośc parametrów wytrzymałoścowych Dla gruntów dealne sypkch wzór przyjmuje postać: sr tg tg Na podstawe wzoru na wartość wskaźnka statecznośc oblczyć można granczną wysokość zsuwającej sę warstwy. Przyjmując, że =.0 otrzymamy: c Wzór ma sens, jeżel H Hkr spełnony jest tg tg warunek: sr cos tg tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk sr

47 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Analza statecznośc przy założenu płaskej powerzchn poślzgu (metoda Cullmana 875 r) B C W T W N W H T N A R Schemat oblczenowy metody Cullmana

48 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods W metodze tej zakłada sę, że powerzchna poślzgu ma kształt płaszczyzny przechodzącej przez dolną krawędź skarpy. Może być ona stosowana do analzy statecznośc skarp stromych, w których przebeg powerzchn poślzgu uwarunkowany jest naturalnym defektam strukturalnym występującym w górotworze, takm jak powerzchne kontaktu warstw, necągłośc tektonczne, powerzchne spękań, zlustrowań t.p. W - cężar klna ABC: W H BC gdze: - cężar objętoścowy, H - wysokość skarpy, BC - długość odcnka BC, ( ) () - jednostkowa długość w kerunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny.

49 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Uwzględnając, że: sn BC Hctg Hctg H sn sn cężar bloku ABC oblczyć można ze wzoru: W H sn sn sn W N - składowa normalna sły cężkośc: WN W cos H sn cos sn sn W T - składowa styczna sły cężkośc (sła zsuwająca): WT W sn H sn sn sn sn N - reakcja normalna do powerzchn poślzgu: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

50 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods N WN H tg c f sn cos sn sn T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra: T AC Ntg c AC f Uwzględnając, że: AC otrzymujemy: H sn T H tg c H sn cos sn sn sn H sn H cos sntg c sn sn sn

51 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Z defncj wskaźnka statecznośc wynka, że: F F u z T W T tg c tg H sn sn sn Z przedstawonego wzoru wynka, że wskaźnk statecznośc jest funkcją kąta nachylena powerzchn poślzgu. Jego mnmalna wartość występuje, gdy spełnony jest warunek: 0 Oblczając perwszą pochodną przyrównując ją do zera znajdujemy, że: Ostateczny wzór na mnmalną wartość przyjme postać: mn tg sn kr cos c sn H sn 0.5 sn 0.5 Podstawając mn = oblczyć można krytyczną wysokość zbocza statecznego ze wzoru: cos H kr 4c sn cos Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

52 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 0 m; cężar objętoścowy gruntu 0 kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 40 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 0 0 ; kohezja 0 kpa..37 mn H kr m Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 30 m; cężar objętoścowy gruntu kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 50 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 5 0 ; kohezja 30 kpa..36 mn H kr m Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 35 m; cężar objętoścowy gruntu 3 kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 45 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 7 0 ; kohezja 8 kpa..36 mn H kr m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

53 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Fellenusa, 95 Metoda Fellenusa jest najstarszą z metod, które umożlwają przeprowadzene analzy statecznośc dla różnych od prostolnowej powerzchn poślzgu. Opracowana ona została na podstawe wynków badań Szwedzkej Komsj Geotechncznej, której prace prowadzone były w latach Metoda ta wykorzystuje podzał potencjalnej bryły osuwskowej na blok (pask) ponowe. Z powyższych względów metoda ta znana jest równeż pod nazwą metody Pettersona-Fellenusa lub metody szwedzkej.w metodze Fellenusa przyjęto następujące założena: powerzchna poślzgu ma kształt walca cylndrycznego, sły oddzaływana pomędzy blokam są równoległe do podstawy bloku ne wpływają na wartość reakcj normalnej do podstawy bloku oraz wartość sł oporu ścnana, wskaźnk statecznośc defnowany jest jako stosunek momentów sł bernych (utrzymujących równowagę) sł czynnych (zsuwających).

54 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Fellenusa, 95 O n Rsn R b H Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru. b E h Założena metody Fellenusa W E + T N

55 LEM Metoda Fellenusa, 95 Założena metody Fellenusa lustruje rysunek, na którym przyjęto następujące oznaczena: N b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cężar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, W cos T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, określana z warunku stanu grancznego Coulomba-Mohra. Wartość zmoblzowanych sł oporu ścnana określć można ze wzoru: f tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk c

56 LEM Metoda Fellenusa, 95 Mnożąc to wyrażene przez powerzchnę podstawy bloku (. L ) otrzymujemy: T N tg c L W cos tg c L Równane równowag momentów względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu przyjmuje postać: M T R W R o sn 0 W tg cl cos W sn przyjmując, że: const. skąd: dla wszystkch bloków, otrzymamy po przekształcenach podstawową postać wzoru na wartość : Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk W cos tg c L W sn

57 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Fellenusa, 95 Dla ośrodka zawodnonego, gdze w podstawe bloku dzałają sły wyporu o wartośc: N N u L W cos u L wzór na wartość wskaźnka statecznośc ma postać: gdze: W cos u L W sn tg c L u - cśnene wody w podstawe bloku,,c - efektywne parametry oporu ścnana. Przy założenu, że szerokość bloków jest newelka, ch cężar można oblczyć ze wzoru: W bh

58 LEM Metoda Fellenusa, 95 Uwzględnając, że: L b cos wartość określć można ze wzoru: b cos h cos u b h sn tg c Ze względu na przyjęte założena (ne uwzględnane sł pomędzy blokam) metoda Fellenusa daje z reguły wynk nższe nż nne metody analzy statecznośc. W porównanu z metodą Bshopa różnce te wynoszą od 5 do 0%, a nekedy nawet do 60%. Zanżone wartośc wskaźnków statecznośc stawają tą metodę w grupe metod bezpecznych a nawet asekuracyjnych. Pommo tego metoda ta jest często stosowana w praktyce, szczególne wówczas, gdy sposób określana parametrów wytrzymałoścowych ośrodka jest nezbyt dokładny. Dużą zaletą metody Fellenusa jest jej prostota. Jawna postać wzorów powoduje, że jej praktyczne wykorzystane ne wymaga stosowana drogch programów oblczenowych komputerów. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

59 LEM - Metoda Bshopa, 955 Podstawowe założena metody Bshopa są podobne jak w metodze Fellenusa. Podstawowe różnce sprowadzają sę do odmennych założeń odnośne sł oddzaływana pomędzy blokam. Założena metody Bshopa są następujące: powerzchna poślzgu ma kształt walca cylndrycznego, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę metodą kolejnych prób przy zastosowanu ogólnych równań równowag wewnętrznej. wartość reakcj normalnej w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sl na kerunek ponowy, wskaźnk statecznośc określany z równana równowag momentów sł względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu. W równanu tym ne uwzględna sę sł oddzaływana pomędzy blokam. Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

60 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM - Metoda Bshopa, 955 Rsnα O b R H n α b E + X + W X E h Schemat oblczenowy metody Bshopa zwg hw N T ul α N

61 LEM - Metoda Bshopa, 955 Oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cężar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku. Wartość zmoblzowanych sł oporu ścnana w podstawach pasków określa sę z warunku stanu grancznego hpotezy Coulomba-Mohra, ze wzoru: f tg c skąd: T N tg c L Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

62 LEM - Metoda Bshopa, 955 Dla ośrodka zawodnonego: skąd: T N u L N N u L W X X N cos T sn 0 Przyjmując, że: X X X tg c Z równana rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy otrzymamy: otrzymujemy wzór na wartość reakcj normalnej w podstawe paska: c Podstawając: W X L sn N cos tg sn cos tg sn cos L tg tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk m

63 LEM - Metoda Bshopa, 955 otrzymujemy, że: N W X cl sn m Równane momentów dla całego masywu względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu ma postać: skąd: W sn Ntg cl R W sn R T Przyjmując, że dla wszystkch pasków wartość wskaźnka statecznośc =const., otrzymujemy następujący wzór na wartość wskaźnka statecznośc: W X W sn tg cl m cos Dla ośrodka zawodnonego wzór na wartość efektywnej reakcj w podstawe bloku ma postać: N N u L W X c L u cos m sn Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

64 skąd: LEM - Metoda Bshopa, 955 W sn W X u L cos tg cl m cos W powyższych równanach występują neznane wartośc przyrostów sł stycznych do bocznych powerzchn bloków, a węc równana te ne umożlwają wyznaczena wskaźnka statecznośc w sposób bezpośredn, tak jak ma to mejsce w metodze Fellenusa. Wartośc sł stycznych na bocznych powerzchnach bloków można określć metodą kolejnych przyblżeń, wykorzystując w tym celu fakt, że sły oddzaływana pomędzy blokam są słam wewnętrznym dla całego masywu, a węc ch suma mus być równa zeru. Spełnone muszą węc być równana równowag wewnętrznej w postac: X X X 0 E E E 0 Dodatkowe równane wążące sły styczne normalne do bocznej powerzchn bloku uzyskać można z równana rzutów wszystkch sł na kerunek stycznej do podstawy, a manowce: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

65 LEM - Metoda Bshopa, 955 E E T W X X tg cos Po zsumowanu dla wszystkch pasków otrzymuje sę zwązek w postac: E E W X tg cl m cos cos W X X tg Powyższe równana pozwalają na wyznaczene metodą kolejnych przyblżeń wartośc wskaźnka statecznośc. Oblczena rozpoczyna sę od najwyższego paska, na który sły wewnętrzne dzałają tylko z jednej strony a ch wartość równa jest przyrostow sł na szerokośc paska. Ze względu na uwkłany charakter wzorów na określane wskaźnków statecznośc (wskaźnk statecznośc występuje po lewej prawej strone równań, oblczena te są bardzo pracochłonne). Dlatego też w praktyce najczęścej stosuje sę uproszczoną metodę Bshopa, w której zakłada sę, że składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy paskam są równe zeru, czyl że spełnony jest warunek: X X 0 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

66 LEM - Metoda Bshopa, 955 Z założena tego wynka, że sły oddzaływana pomędzy paskam są pozome. Wzór uproszczonej metody Bshopa przyjmuje wówczas postać: W sn W u L a po podstawenu: b L cos W sn W cos tg cl m ub tg cb m cos Określane wskaźnka statecznośc odbywa sę na drodze teracyjnej. W perwszym kroku przyjmuje sę po prawej strone równań wartość =.0 lub też wartość określoną z uprzednego zastosowana nnej metody (np. metody Fellenusa). Oblczena teracyjne wykonuje sę do momentu, gdy spełnony jest warunek: o z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

67 LEM - Metoda Bshopa, 955 o z gdze: o - oblczona wartość w kolejnym kroku teracyjnym. z - założona wartość w kolejnym kroku teracyjnym. W oblczenach praktycznych, gdy ne znane jest położene zwercadła wód gruntowych cśnena porowego w podstawe paska, wpływ wody można określać szacunkowo, wykorzystując pojęce współczynnka cśnena porowego, zdefnowanego jako: gdze: r u wh h w u h r u - współczynnk cśnena porowego, h w - wysokość zwercadła wody w -tym bloku, h - wysokość -tego bloku g w - cężar objętoścowy bloku, g - cężar objętoścowy gruntu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

68 LEM - Metoda Bshopa, 955 Podstawając w mejsce u wartość: u ru h oraz uwzględnając, że: W b h otrzymujemy następującą postać wzoru na wskaźnk statecznośc: W sn W r u tg cb m W zagadnenach praktycznych przyjmuje sę, że współczynnk cśnena porowego przyjmuje jednakową wartość dla wszystkch bloków, która zawarta jest w przedzale od zera dla górotworu odwodnonego do wartośc 0.7 dla górotworu zawodnonego. Najczęścej przyjmuje sę, że r u = 0.3. Porównane metody Bshopa metody Fellenusa wskazuje, że perwsza z nch daje neco wyższe wartośc F spełnony jest warunek: B F Różnce w wartoścach wskaźnków wahają sę od 5% do 0%, a w nektórych przypadkach dochodzć mogą nawet do 60%. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

69 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM - Metoda Bshopa, 955 W manownku wzorów występuje współczynnk m a, którego wartość jest zależna od kąta nachylena podstawy paska. Przy małych wartoścach kąta nachylena współczynnk ten przyjmować może bardzo małe wartośc, lub nawet wartośc ujemne, co powoduje newspółmerne duży wzrost wartośc wskaźnka statecznośc. Powoduje to, że metoda ta może dawać błędne oszacowana wskaźnka statecznośc szczególne w przypadku kół poślzgu przechodzących ponżej dolnej krawędz zbocza, co może meć mejsce w przypadkach skarp łagodne nachylonych lub wówczas, gdy w podstawe skarpy występują grunty słabe, o nskch wartoścach parametrów wytrzymałoścowych. W praktyce postuluje sę nekedy, aby metody tej ne wykorzystywać dla powerzchn poślzgu, w których występują pask charakteryzujące sę wartoścą współczynnka m a nższą od 0..

70 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM - Metoda Nonvellera (965) W metodze tej przyjęto następujące założena: powerzchna poślzgu ma kształt dowolnej krzywej, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę metodą kolejnych prób przy zastosowanu ogólnych równań równowag wewnętrznej. wartość reakcj normalnej w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sl na kerunek ponowy, wskaźnk statecznośc określany z równana równowag momentów sł względem dowolnego punktu. W równanu tym ne uwzględna sę sł oddzaływana pomędzy blokam. Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru.

71 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM - Metoda Nonvellera (965) f O x b h w h H a n W b X + X E + E h W h w Założena metody Nonvellera N T u L N

72 LEM - Metoda Nonvellera (965) Oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, f - ramę reakcj normalnej względem punktu O, a - ramę sły oporu ścnana względem punktu O, x - ramę sły cężkośc względem punktu O, W - cężar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku. Wartość zmoblzowanej sły oporu ścnana wyznacza sę, podobne jak w metodze Bshopa, z warunku: f tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk c

73 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM - Metoda Nonvellera (965) Mnożąc to wyrażene przez powerzchnę podstawy bloku (. L ), dla - tego bloku otrzymujemy dla ośrodka zawodnonego: T T N tg c N u L L tg c W X X N cos T sn 0 L Z równana rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy otrzymamy: skąd: N c W X L sn cos tg sn

74 LEM - Metoda Nonvellera (965) Podstawając: cos tg sn cos otrzymujemy, że: N tg tg W X m cl sn m Równane momentów dla całego masywu względem beguna O: skąd: Ta N f W x 0 W X c b W x W x a m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk c b f m f m tg

75 LEM - Metoda Nonvellera (965) c sn W X L u cos N N u L m tg tg cos tg sn cos Dla górotworu zawodnonego: gdze: wzór na wartość wskaźnka statecznośc ma postać: W X u b c b W x W ub x a m c b f m f m tg W równanach występują neznane wartośc przyrostów sł stycznych do bocznych powerzchn bloków, a węc równana te ne umożlwają wyznaczena wskaźnka statecznośc w sposób bezpośredn. Wartośc sł stycznych na bocznych powerzchnach bloków określa metodą kolejnych przyblżeń, podobne jak w metodze Bshopa, wykorzystując w tym celu równana równowag wewnętrznej w postac: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk m

76 LEM - Metoda Nonvellera (965) X X X E E E 0 0 E E T W X X tg cos W X tg cl cos E E m cos W X X tg Ze względu na uwkłany charakter wzorów na określane wskaźnków statecznośc (wskaźnk statecznośc występuje po lewej prawej strone równań ), oblczena te są bardzo pracochłonne. Dlatego też w praktyce najczęścej stosuje sę uproszczoną metodę Nonvellera, w której zakłada sę, że składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy paskam są równe zeru, czyl że spełnony jest warunek: X X 0 Metoda Nonvellera daje wynk zblżone do metody Bshopa. Podobne są równeż ogranczena w jej stosowanu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

77 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Janbu, 957 W metodze Janbu przyjęto następujące założena: powerzchna poślzgu ma kształt dowolnej krzywej, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę po przyjęcu dodatkowych założeń dotyczących położena sł wypadkowych na bocznych powerzchnach pasków lub też ch nachylena, wartość reakcj normalnej oraz sły oporu ścnana w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sł na kerunek ponowy pozomy, dla określena sł oddzaływana pomędzy paskam stosuje sę równane równowag momentów względem środka podstawy paska. b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, y - odległość punktu przyłożena sły na bocznej powerzchn paska od jego podstawy,

78 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Janbu, 957 b n b D y y M W y h H Schemat sł dzałających na pask w metodze Janbu X a E h D y X + W y E + h w y M M N T u L N

79 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Janbu, 957 T t - kąt nachylena ln łączącej punkty przyłożena sł na bokach pasków do pozomu W - cężar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, określana z warunku stanu grancznego Coulomba-Mohra T N tg c L Dla ośrodka zawodnonego: N u L tg c L N cos T sn W X 0 Równane rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy ma postać:

80 LEM Metoda Janbu, 957 a na kerunek pozomy: T cos N sn E 0 Rozwązując powyższy układ równań znajdujemy, że: T cos W X tg E Uwzględnając równane wyjścowe oraz warunek równowag sł wewnętrznych dla całego masywu w postac: E 0 otrzymuje sę następujący wzór na wartość wskaźnka statecznośc dla górotworu ne zawodnonego: ( W X lub po podstawenu: b L cos ) tg W X tg cl cos m ( W X ) tg cos W X tg cb cos m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

81 LEM Metoda Janbu, 957 Dla ośrodka zawodnonego wzór na wartość wskaźnka statecznośc przyjme postać: gdze: ( W X ) tg W X ub tg cb cos m tg tg m cos tg sn cos tg tg tg m cos sn cos Dla określena sł oddzaływana pomędzy blokam Janbu stosuje dodatkowe równane równowag w postac sumy momentów względem środka podstawy bloku (punktu M), z którego wynka, że: X b E y E y b X Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

82 LEM Metoda Janbu, 957 lub dla małej szerokośc pasków: X E tg E y t b Dla rozwązana równana zakłada sę znajomość punktów przyłożena sł na bocznych powerzchnach bloków lub też ch nachylene wyrażone stosunkem E/X. Dla określena położena punktów przyłożena sł pomędzy blokam przyjmuje sę postać funkcj opsującej to położene, która pownna zapewnać zbeżność procesu teracj, opsywać realne położene sł ch wartośc tak, aby ne zostały przekroczone warunk stanu grancznego. Rozwązane przeprowadza sę metodą kolejnych przyblżeń od najwyżej położonego paska, dla którego E =0. Welkość E dla każdego paska oblcza sę ze ww wzorów, podstawając w perwszym przyblżenu X =0. Na podstawe znanych przyrostów E można określć wartośc E z zależnośc E E E Wartośc X X, dla założonej w danym kroku teracyjnym wartośc, oblczyć można z równań sprawdzając kolejno poprawność przyjętych założeń. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

83 LEM Metoda Janbu, 957 W kolejnym kroku oblczenowym dokonuje sę korekty przyjętej wartośc wskaźnka statecznośc a następne powtarza cały cykl oblczenowy. Oblczena prowadz sę aż do uzyskana założonej dokładnośc (najczęścej na pozome 0.0). W drugm przypadku proces oblczenowy jest mnej skomplkowany. Wartośc X otrzymuje sę bezpośredno na podstawe oblczonych wartośc X, będących funkcją E. Równana wykorzystuje sę wówczas jedyne do wyznaczana punktów przyłożena sł oddzaływana pomędzy blokam. Podobne jak w poprzednm przypadku oblczena przeprowadza sę metodą teracyjną (wzory na wartośc wskaźnków statecznośc są funkcja uwkłaną). W praktyce najczęścej stosowana jest uproszczona metoda Janbu, w której zakłada sę, podobne jak w uproszczonej metodze Bshopa, że składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam są równe zeru dla każdego paska (X =0). Wzór na wartość wskaźnka statecznośc przyjme wówczas postać: c p u tg bsec / tg tg / W tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

84 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Janbu, 957 gdze: p W b sec cos Wartośc uzyskane z wzoru należy pomnożyć przez współczynnk korekcyjny, zależny od rodzaju gruntu oraz od stosunku strzałk skarpy do cęcwy: obl f o gdze: obl - wartość wskaźnka oblczona z wzoru na wskaźnk statecznośc f o - współczynnk korekcyjny określany z wykresu przedstawonego na rysunku L d

85 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Janbu, =0. 0 f 0 >0,c>0 c= d / L

86 LEM Metoda Morgensterna-Prce a (965) Metoda Morgensterna-Prce a umożlwa badane statecznośc skarp dla dowolnych powerzchn poślzgu. Zakłada sę w nej, że szerokość paska ma szerokość neskończene małą, która wynos dx. Przy takm założenu, równana równowag mają postać równań różnczkowych. Założena metody lustruje rysunek. W metodze tej wykorzystuje sę następujące równana równowag: równane równowag momentów względem środka podstawy paska, równane rzutów na kerunek styczny do podstawy paska, równane rzutów na kerunek normalny do podstawy paska. Elementarną wartość oporu ścnana w podstawe paska określa sę jako: dt c d N tg dx cos Przekształcając równana równowag paska oraz uwzględnając różnczkową postać wzoru na współczynnk cśnena porowego, w postac: r u du cos dw Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

87 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk LEM Metoda Morgensterna-Prce a (965) x y=z(x) y=y(x) y dx x y t =y(x) Schemat oblczenowy metody Morgensterna-Prce a y y t E X dw X+dx E+dE (y+dy)-(y t +dy t ) y y-y t du dy dt dn g

88 LEM Metoda Morgensterna-Prce a (965) otrzymuje sę następujący układ równań różnczkowych: d dx E y y E dy t dx X de dx tg dy dx dx dx tg dy dx c dy dw tg dy dy tg ru dx dx dx dx W układze równań występują trzy neznane funkcje: E( x), X( x), y ( x) Poneważ do dyspozycj mamy dwa równana różnczkowe, jest to układ statyczne newyznaczalny. Dla uzyskana rozwązana stneje koneczność wprowadzena dodatkowej funkcj, wążącej ze sobą składowe sł oddzaływana pomędzy blokam, w zależnośc od lokalzacj paska w zboczu. Najczęścej stosowana jest funkcja w postac: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk t