13. OBLICZENIE STATECZNOŚCI SKARP I STATECZNOŚCI FILTRACYJNEJ
|
|
- Bogdan Wróblewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3. OBLICZENIE STATECZNOŚCI SKARP I STATECZNOŚCI FILTRACYJNEJ Tomasz Strzeleck 3. Blokowe metody nżynerske określana statecznośc skarp w mechance gruntów. Lczne metody oblczeń przyblżonych stowanych w praktyce nżynerskej, zakładające stan granczny na pewnych przyjętych powerzchnach poślzgu, prowadz do oceny statecznośc zboczy meszczących sę w zakrese zacowana górnego dolnego współczynnka statecznośc lub obcążena grancznego. Ocena statecznośc opera sę w tych metodach (różnących sę spobem przyjmowana kształtu powerzchn poślzgu) na spełnenu warunku równowago sł wzdłuż powerzchn poślzgu bryły uwającego sę gruntu lub skały [Stlger-Szydło, 25], [Ksel nn, 969, 982], [Włun, 2]. Powerzchne poślzgu przyjmowane są w przekroju w ptac wycnka koła, spral logarytmcznych, cyklody, prtych łamanych. Przyjęce określonego kształtu ln poślzgu uwarunkowane jest często budową geologczną obszaru zbocza lub skarpy. W metodach tych najczęścej stuje sę podzał bryły podlegającej unęcu na blok, co w przekroju reprezentuję pask, analzując równowagę sł zsuwających utrzymujących pzczególne blok. Słam zsuwającym są sły czynne, występujące w płaszczyźne poślzgu take jak: cężar gruntu, cśnene spływowe fltracj, obcążene gruntu. Sły utrzymując to: sły tarca wewnętrznego, kohezja oraz sły z elementów zabezpeczających skarpy jak np. ścany oporowe, ścank szczelne, pale. Z założena przyjmuje sę: hpotezę Coulomba-Mohra, płask stan naprężena odkształcena, brak efektów lepkch, jednakowe przemeszczena wzdłuż powerzchn poślzgu. Określany wskaźnk statecznośc F dla zbocza lub skarpy oblcza sę jako stunek momentu utrzymującego M zwązanego z wytrzymałoścą na ścnane gruntu lub skały do momentu u wywracającego M w (zwązanego z obcążenem). Stując metody numeryczne możemy pzukwać stunku tych dwóch wartośc dla dużej lośc przyjętych powerzchn poślzgu pzukując wartośc najmnejszej F mn. Zbocze, lub skarpę uważa sę za stateczne, jeśl oblczone tą metodą F mn : F mn F, (.) dop gdze F dop oznacza welkość dopuszczalną wskaźnka statecznośc określona jest odpowednm normam techncznym dla różnego rodzaju konstrukcj geonżynerskch.
2 Najczęścej stowanym metodam jest metoda Fellenusa metoda Bshopa dla przypadku przyjmowana walcowego kształtu powerzchn poślzgu oraz metoda Janbu dla dowolnego kształtu powerzchn poślzgu. 3.. Metoda Fellenusa dla przepadku warstwy przepuszczalnej z uwzględnenem fltracj ceczy Potencjał sł masowych. Rozważmy punkt m o współrzędnych (x,y) znajdujący sę w obszarze fltracj rys. 3. Rys. 3.. Składowe sł unzena. Przez punkt m przechodz lna prądu oznaczona strzałką określającą kerunek przepływu ceczy. W punkce m wysokość hydraulczna wyn H, a w punkce n odległym o odcnek neskończene mały dl wzdłuż ln prądu występuje strata wysokośc hydraulcznej dh. Gradent hydraulczny na drodze mn wynese: dh = dl (.2) Oznaczmy p s welkość cśnena spływowego fltracj, styczną do ln prądu, która w punkce m (rys. 3.) równa sę: p s = g (.3) Nech p sx p sy będą rzutam sły masowej p s na e x y. 2
3 Nech ( f ) oznacza wartość bezwzględną sły masowej reprezentującej cężar objętoścowy szkeletu gruntowego z uwzględnenem wyporu równą, co do wartośc: ( ) = (.4) s Wypadkową słą masową S otrzymaną z dodawana wektora ośrodka wyrazć możemy przy pomocy współrzędnych: gdze ( f ) =. p s sły masowej cężaru własnego S = p, S = p (.5) x sx y sy Składowe sł unzena fltracj można wyrazć wzoram: p p sx sy vx = g k vy = g k (.6) Wedząc, że składowe wektora prędkośc wyrażają sę przy pomocy składowych gradentu spadku hydraulcznego H: H H Sx = g, S y = g x y (.7) Pokazalśmy poprzedno, ze pole przepływu fltracyjnego jest polem potencjalnym; wemy równeż, że pole grawtacyjne jest równeż polem potencjalnym. Możemy a pror założyć węc, że suma tych dwóch pól jest równeż polem potencjalnym. Przyjmjmy, że R jest potencjałem tego pola, węc pownny być spełnone zwązk: S x R R =, S y = x y (.8) Z perwszego ze zwązków (.7) możemy polczyć: gdze C ( y ) jest to neznana funkcja od y. ( ) Sxdx C y (.9) R = + Korzystając z perwszego ze wzorów (.7) otrzymujemy: 3
4 Co pozwala zapsać: Zróżnczkujmy powyższe wyrażena po y : H R = g dx + C ( y) (.) x R = gh + C ( y) (.) ( ) R H C y = g + y y y (.2) Poneważ zgodne z drugm zwązkem (.8) R = y S y dtajemy: dc ( y) dy = (.3) Co prowadz do zwązku: ( ) y C y = + R (.4) Podstawając wzór (.4) do wzoru (.) dtajemy ptać jawną potencjału: ( gh y) R = + + R (.5) gdze R jest dowolną stałą. Można pokazać, że wyprowadzona ptać potencjału (.5) jest taka sama w przypadku zagadnena przestrzennego Powerzchne ekwpotencjalne pola sł masowych można określć z równana: R R = y + gh = const (.6) W szczególnośc nech lna ekwpotencjalna Φ = kh = const przechodz przez punkt m obszaru fltracj rys. 3.. W punkce przecęca ln Φ = const znamy położene punktu m, możemy, węc oblczyć dla tego punktu wartość R przyjmując oczywśce w dowolny spób wartość R. Znając powerzchne ekwpotencjalne pola skalarnego R możemy w określć wektor, który jest normalny do tych powerzchn ekwpotencjalnych.. Wartość bezwzględna tego wektora jest równa R / n, gdze n jest normalną do powerzchn ekwpotencjalnej. 4
5 3...2 Przykład lczbowy. Przyjmjmy dla uprzczena wartośc = g =. Wówczas równane (.6) można zapsać w ptac: R R = y + H (.7) Rozważmy zadane przedstawone schematyczne na rys. 3.2 przyjmując zarazem, ze pozom odnesena znajduje sę na warstwe neprzepuszczalnej. Rys Schemat zadana. Nech H oznacza pozom wody w zbornku, N punkt, w którym pozom wody styka sę ze zboczem skarpy AD. W punkce N zgodne ze wzorem (.7) funkcja R ma wartość: R R = 2H (.8) Przyjmując wartość stałą R = 2H otrzymujemy w punkce N potencjał R równy zeru. W nnych punktach obszaru fltracj potencjał R ma wartość: ( ) R = 2H y + H (.9) Wzdłuż zbocza ND wysokość hydraulczna jest równa H. Oberając punkty N, N2, N3, N 4 na wysokośc y = 3H 4, y = H 2, y = H 4, y = dtanemy: H H 3H R ( N) =, R ( N2 ) =, R ( N3 ) =, R ( N4 ) = H (.2) Przedłużając myślowo zbocze ND w dół możemy przyjąć kolejno punkty N5, N 6, będące punktam wyjścowym ln ekwpotencjalnych: 5
6 5H 3H 7H R ( N5 ) =, R ( N6 ) =, R ( N7 ) =, (.2) Na krzywej zwercadła swobodnego NK możemy znaleźć punkty odpowadające lnom ekwpotencjalnym R( N ), R( N ), R( N ), R( N ) Oznaczmy P, P2, P3,, P7 punkty odpowadające odpowednm lnom ekwpotencjalnym na y H krzywej zwercadła swobodnego. Poneważ wzdłuż krzywej zwercadła swobodnego =, możemy zapsać: ( ) Dla pzczególnych punktów współrzędne y równają sę: R = 2 H y (.22) y = H R (.23) 2 Co w rozpatrywanym przypadku daje rzędne równe: 7 H 6 5 4, H, H, H,, H (.24) Przeprowadźmy analzę przebegu funkcj (.9) po dx. Dtajemy: R = const. Zróżnczkujmy w tym celu równane dy dx dh = (.25) dx Dla dodatnego przyrtu dx mamy ujemny przyrt dh gdyż jak to wynka z rys. 3.3 przepływ odbywa sę w kerunku zgodnym z kerunkem dodatnm x. Wdać stąd, że dy dx jest dla krzywej R = const dodatne, krzywa ekwpotencjalna jest, węc monotonczne rnąca. Jak możemy to zaobserwować na rys. 3.3, wartośc dy dx w punktach wyjśca położonych blżej warstwy neprzepuszczalnej są blższe wartośc równej zero. Jak wadomo wzdłuż ND wysokość hydraulczna jest równa H = H. Krzywa ekwpotencjalna H dh wychodz N ' z punktu położonego neskończene blsko punktu N jest normalna do zwercadła swobodnego w N oraz normalna w punkce D do DC rys Przebeg krzywych ND N D wskazuje na cągły wzrt dx, gdy przemeszczamy sę w kerunku podłoża neprzepuszczalnego przy stałym DH. 6
7 Rys Lne ekwpotencjalne pola R. Stąd wynka prawe pozomy przebeg krzywych cons R = w poblżu punktów wyjśca N. Rozpatrzmy następne punkt P na powerzchn zwercadła swobodnego rys. 3.4 Rys Zależnośc trygonometryczne dla powerzchn ekwpotencjalnych. Jeżel przez θ oznaczymy kąt nachylena zwercadła swobodnego to spadek hydraulczny w tym punkce możemy wyrazć wzorem: dh = = snθ dl (.26) Sła unzena fltracj ma, węc przy przyjętych założenach wartość bezwzględną jest styczna do powerzchn swobodnej. Sumując wektorowo słę masową własnego ośrodka fltrującego z uwzględnenem wyporu β do ponu. Kąt β jest równeż kątem, jak tworzy lna p s = snθ p s z słą masową cężaru otrzymujemy słę S nachyloną pod kątem R = const z pozomem, poneważ sła S jest 7
8 prtopadła do ln ekwpotencjalnych otrzymujemy: R = const. Z zależnośc trygonometrycznych dla PDE S 2 = + 3sn θ (.27) oraz tgθ tgβ = (.28) 2 + 2tg θ Ponżej w tabel 3. przedstawono klka wartośc bezwzględnej sły S tg β dla θ 3 Tabela 3. θ S tg β W stopnach G/cm 3 bezwymarowa, ,,44,95,6,24,32,85,66,234,277, Jak wdać mając ścśle określoną funkcję potencjału prędkośc Φ odpowadające temu potencjałow lne ekwpotencjalne potrafmy precyzyjne określć powerzchne ekwpotencjalne R = const. Wg [Czugajewa, 97] lne ekwpotencjalne R = const można bez popełnana dużego błędu zastąpć prtym równoległym nachylonym pod katem β do pozomu, takm, że ch wzajemna odległość jest równa e. Przyjmując powyższe założena [Czugajew, 97] zastępujemy krzywą zwercadła swobodnego prtą NK nachyloną pod katem θ do pozomu. Następne określamy punkty, dla których wartość ( P ) H 4 R =. Oblczamy następne kąt β ze wzoru (3.28) wykreślamy pod tym kątem prte ekwpotencjalne R ( P ) - rys
9 Rys Oblczene statecznośc skarpy z fltracją. Można przyznać, że w przypadku, gdy powerzchna swobodna jest słabo zakrzywona, o newelkm kące nachylena, metoda Czugajewa jest bardzo praktyczna ne prowadz do znacznych S błędów. Na podstawe powyższych rozważań możemy określć wartość bezwzględną sły, która jest w tym przypadku jednakowa dla wszystkch ln ekwpotencjalnych równa: S = H 4e (.29) ma jednakowy kerunek. Oblczena metodą Fellenusa Nech łuk A C na rys. 3.5 o środku O jest jedną z możlwych ln reprezentujących powerzchnę poślzgu. Rozważmy pasek ponowy o szerokośc λ. W przecęcu paska z przyjętą lną poślzgu dtajemy odcnek łuku, który stanow podstawę paska prtopadłego do ln R = const. Aby określć sły dzałające na powerzchnę poślzgu, będzemy uwzględnal dwa pask: jeden pasek szerokośc λ wysokośc χ ogranczony od góry powerzchną terenu od dołu zwercadłem swobodnym wód gruntowych NK. Dla tego paska dtajemy slę ponową s reprezentującą cężar gruntu : P = λχ o g gdze s g jest cężarem objętoścowym gruntu w strefe aeracj, drug pasek o szerokośc λ 2 wysokośc χ 2 ogranczony jest od góry zwercadłem wód swobodnych NK, a od dołu powerzchną poślzgu. Jest on nachylony pod kątem β do ponu. Sła masowa reprezentująca współdzałane sły unzena fltracj sły cężkośc gruntu z uwzględnenem wyporu wyraża sę wzorem: P2 = λ2χ2s. 9
10 Sumując wektorowo słę P P 2 dtajemy wypadkową R dzałającą na powerzchnę poślzgu. Rozkładając następne dla -tego paska słę R na składowa normalną poślzgu, oblczamy następne wskaźnk statecznośc ze wzoru Fellenusa: N styczną T do ln tgϕ N + cl F =. (.3) T Przedstawona powyżej metoda jest jedną z welu metod paskowych omawanych w lteraturze [Stlger-Szydło, 25], [Ksel nn, 969, 982], [Włun, 2]. Powszechne stowane programy komputerowe jak np. Z-Sol, Slde 2D, pzukują mnmalnej wartośc współczynnka statecznośc, analzując po klkanaśce tysęcy potencjalnych powerzchn poślzgu, w zakrese przyjętej satk punktów obrotu Metoda blokowa Bshopa. Metoda Bshopa jest modyfkacją metody Fellenusa, polegającą na nnym określenu sł dzałających na ln poślzgu paska oraz na uwzględnenu sł dzałających na ścanach bocznych bloków rys Rys Założena metody Bshopa. Słę styczną do ln poślzgu dla -tego bloku oblczamy ze wzoru: Gdze t - wersor styczny do ln poślzgu dla -tego bloku. T = ( Ntgϕ + clt ), (.3) F Przyjmując dentyczne oznaczena jak w wyżej opsanej metodze Fellenusa, słę normalną dla pojedynczego bloku dtajemy z rzutu sł na kerunek ponowy:
11 N cl snα S c β + X X + t = F tgϕ snα cα + F (3.32) Korzystając z defncj współczynnka bezpeczeństwa (wskaźnka statecznośc) (3.3) możemy zapsać: F = cl snα S c β + X X + F m S snα c β, (.32) gdze: m tgϕ snα = cα +. (.33) F Można wykazać, że uwzględnane pozomych sł składowych dzałających na bokach bloków ne wpływa znacząco na welkość wskaźnka statecznośc. Z tego względu sły te są w oblczenach często pomjane, a metoda n wówczas nazwę uprzczonej metody Bshopa. Równane (3.32) ma charakter równana uwkłanego rozwązuje sę go metodą teracyjną. W perwszym kroku teracj zakłada sę, że F =. Oblcza sę ze wzoru (3.33) nową wartość F 2. Oblczena prowadz sę do momentu, gdy Fn Fn + ξ, gdze ξ jest założonym dopuszczalnym błędem oznaczana F. 3.2 Wyparce gruntu na skutek sły unzena fltracj. Rozważmy opadane próbk jednorodnego ośrodka porowatego o współczynnku fltracj k w ponowej rurze wypełnonej neścślwą lepką ceczą rys Rys. 3.7 Schemat dośwadczena z opadającą w ceczy próbką ośrodka porowatego.
12 Nech przekrój próbk wyn F, wysokość l, a jego tekstura struktura jest nezmenna Tpodczas c przepływu. Załóżmy wstępne, że tarce pomędzy próbką a ścankam rury jest równe zero =. Jeżel gęstość próbk porowatego cała stałego jest wększa od gęstośc ceczy wówczas próbka będze na skutek dzałana sły grawtacj poruszać sę początkowo ruchem jedntajne przyspeszonym, aż do momentu, gdy sły dzałające sę zrównoważą wówczas zgodne z perwszym v kr prawem Newtona próbka będze poruszać sę ruchem jedntajnym. Oznaczmy przez prędkość ustaloną opadana próbk. Jeżel odwrócmy zagadnene przyjmemy, że nasza próbka spoczywa na satce fltracyjnej, a my zadajemy odpowedn gradent wysokośc hydraulcznej, aby spowodować przepływ fltracyjny ceczy w kerunku v przecwnym do sł dzałana pola grawtacyjnego. Gdy prędkość fltracj będze mnejsza v od kr kr próbka będze spoczywać neruchomo, natomast, gdy prędkość fltracj przekroczy próbka rozpoczne ruch w kerunku dzałana sły unzena fltracyjnego. Założylśmy w tym przypadku, że struktura ośrodka porowatego ne ulega zmane w przypadku ośrodka dyskretnego może to wynkać z stnena węz pomędzy pzczególnym cząstkam ośrodka. W przypadku ośrodków rozdrobnonych takch jak pask, żwry węz take, jeżel stneją są bardzo słabe trudno mówć o założene stałośc struktury podczas takego dośwadczena. Proces w takm przypadku przebega neco naczej. Gdy prędkość zblża sę do prędkośc krytycznej następuje rozrzedzene ośrodka stotny wzrt jego porowatośc, aż do momentu utraty kontaktu pomędzy zarnam, czemu towarzyszy pełne upłynnene ośrodka. W obydwu przypadkach następuje wypór ośrodka z tą różncą, że w tym drugm przypadku ne mamy już do czynena z ośrodkem porowatym tylko z meszanną ceczy cząstek cała stałego, której ruchem rządzą już prawa ruchu ceczy lepkej. W oblczenach przepływu meszanny ceczy szkeletu wykorzystany jest często model tzw. symulacj dużych wrów, sformułowany na baze równań Navera-Stokesa dla ceczy neścślwej, różnący sę jednak w spób stotny od klasycznych równań Reynoldsa. Analzy pól cśnena prędkośc przepływu ceczy umożlwają dentyfkację obektów wrowych oraz ocenę ch wpływu na stablność rozmywalnego obszaru fltracj. Równana Navera- Stoke sa dla ceczy neścślwej mają ptać: u p u u j τ j + ( uu j ) = + ν + t x j x x j x j x x j, (.34) z warunkem: u x =. (.35) Aby wyznaczyć prędkość krytyczną v kr ceczy, po której grunt przechodz w stan płynny, rozpatrzmy sły dzałające na próbkę gruntu spoczywającego na satce fltracyjnej. Będą to: - sła cężaru próbk G; - sła wyporu próbk W, - sła unzena fltracyjnego U f. 2
13 Sła masowa cężaru próbk G dzała ponowo w dół wyn: G = Fl f g, (.36) ( ) s 3 gdze s oznacza gęstość szkeletu gruntowego, f oznacza porowatość gruntu, a 3 - wersor skerowany przecwne do dzałana sły grawtacj. Sła wyporu zgodne z prawem Archmedesa wyn: gdze oznacza gęstość fltrującej ceczy. W = Fl f g, (.37) ( ) 3 Sła unzena wynka z dzałana gradentu cśnena w ceczy jest proporcjonalna do prędkośc fltrującej ceczy, węc: g U f = Flf v k (.38) gdze v jest prędkoścą fltracj. Suma sł masowych dzałających na szkelet ośrodka porowatego, gdy ośrodek ten ne jest obcążony j dzałają na nego tylko wyżej wymenone sły masowe wyn: G + W + U = S, (.39) f gdze S jest wypadkową dzałających sł masowych. Podstawając do równana (.4) wzory (.4), (.42) (.43) dtajemy: g S = Fl ( f ) sg3 ( f ) gradp + f v k. (.44) Poneważ prędkość fltracj wyraża sę wzorem: p v = kgradh = kgrad + xδ3, (.45) g możemy zapsać, że: g gradp = v g3 k (.46) uwzględnając powyższą zależność (.47) w równanu wektorowym (.48) : 3
14 g S = Fl ( f ) sg3 + ( f ) g3 + v k. (.49) Oznaczając przez = s gęstość objętoścową szkeletu z uwzględnenem wyporu, równane (.5) można zapsać w ptac: S = Fl ( f ) g3 ggradh. (.5) Jeżel ośrodek porowaty jest neobcążony oraz pomjamy sły tarca na grancy obszaru próbk to S = możemy określć granczny spadek hydraulczny, przy którym nastąp wyparce gruntu. Ikr ( f ) =. (.52) Przykładowo, wartość lczbowa spadku grancznego dla przypadku pasku kwarcowego o gęstośc s = 2,65 g 3 porowatośc f=,3 wyn,55. cm Prędkość fltrującej ceczy w chwl wyparca oblczamy stując prawo Darcy ego, choć w momence utraty statecznośc proces przebega już według nnych równań opsujących proces przepływu meszanny lepkej ceczy z cząstkam cała stałego. Dzeląc obe strony równana (.53) przez powerzchnę F uzyskamy wzór na naprężene na powerzchn dolnej próbk normalne do powerzchn satk fltracyjnej. Naprężene rozmyte σ 33 w x dowolnym przekroju w odległośc 3 od początku układu współrzędnych możemy wyrazć wzorem: ( ) ( ) σ 33 = l x3 f g gh, 3, (.54) gdze x3 l, przy czym l oznacza wysokość próbk. Jeżel próbka jest obcążona wówczas wzór na spadek krytyczny powodujący wypór próbk przy pomnęcu sł tarca na kontakce z powerzchną ogranczająca nasz obszar wyn: Ikr ( f ) σ ( ) 33 =. (.55) l Rozważmy następne to samo zagadnene wyporu próbk na skutek dzałana sły unzena fltracj z uwzględnenem sły tarca na powerzchn kontaktu próbk ze ścankam przewodu otaczającego próbkę. Równane równowag stanu grancznego, gdy próbka jest neobcążona wyraża równane: G + W + U + T =, (.56) f c 4
15 gdze T c oznacza słę tarca na wspomnanej powerzchn kontaktu próbk ze ścankam przewodu równa sę: T = ℵN, (.57) c przy czym ℵ jest współczynnkem tarca, a N jest słą normalną do płaszczyzny poślzgu. Słę N możemy oblczyć ze wzoru: N = ξσ F, (.58) 33 b gdze ξ jest współczynnkem parca bocznego, przewodu, a węc: F b jest powerzchną styku próbk ze ścankam N = ξ Fb l f g gh 2 ( ), 3. (.59) Podstawając wzór (.6) do wzoru (.6) korzystając z równana wektorowego (.62) dtajemy: Fl + ℵξ Fb l ( f ) g gh, 3 = 2. (.63) Poneważ Fl + ℵ ξ Fbl >, węc spadek krytyczny wyraża sę takm samym wzorem jak 2 uzyskany z pomnęcem tarca: Ikr ( f ) =. (.64) Dzeje sę tak, dlatego, że naprężene σ 33 w momence ągnęca stanu grancznego, gdy próbka jest neobcążona jest równa zero, a tym samym zgodne ze wzorem (.65) tarce równeż jest równe zero. Rozważmy bardzej ogólny przypadek wyparca gruntu. Rozważmy warunek statecznośc ktk ośrodka porowatego ułożonej na powerzchn tego samego ośrodka rys
16 Rys Schemat rozpatrywanego zagadnena statecznośc: a) sła normalna styczna, b) rozkład sły cężkośc. Dla przypadku gruntów bez kohezj ( np. grunty sypke) warunek statecznośc ktk takego ośrodka możemy zapsać w ptac: P Nℵ, (.66) gdze P oznacza słę dzałającą na ktkę styczną do powerzchn kontaktu, N oznacza słę dzałająca na ktkę normalną do powerzchn kontaktu, a ℵ oznacza współczynnk tarca pomędzy ktką ośrodkem ( rys. 3.8). rozważmy przypadek, gdy powerzchna tworzy równę pochyłą nachyloną do pozomu pod kątem nachylena stoku naturalnego ϕ. Załóżmy, że jedyną słą, jaka dzała na ktkę jest sła masowa cężkośc G. Rozłóżmy tę słę na składową normalną styczną do powerzchn poślzgu. Zapszmy warunek w stane równowag grancznej: G snϕ = ℵG cϕ, (.67) a stąd dtajemy, że współczynnk tarca ℵ równa sę: ℵ = tgϕ. (.68) Rozważmy teraz stateczność ktk w warunkach, gdy odbywa sę fltracja ceczy lepkej przez pory ktk. W tym przypadku dzałają na ną dodatkowo sła wyporu sła unzena fltracj. Suma sł masowych dzałających w warunkach fltracj na ktkę wynese: g S = Fl ( f ) sg3 + ( f ) g3 + v k. (.69) G Oznaczmy przez słą cężaru ktk z uwzględnenem wyporu powyższy wzór można przedstawć w następującej ptac: 6
17 G v S = G + k f ( ), (.7) gdze: G = V f g. (.7) ( ) Zakładając, że rozważamy warunek dla zadana płaskego w układze x x 3 słę normalną styczną dzałającą na ktkę możemy wyrazć wzoram: G v3 3 G v N = G + cα sn α, k ( f ) k ( f ) G v3 3 G v P = G + snα + c α. k ( f ) k ( f ) (.72) Wstawając powyższe równana do warunku statecznośc (.73) z uwzględnenem (.74) dtajemy: v3 3 v v33 v + tgα + + tgα tgϕ. (.75) k ( f ) k ( f ) k ( f ) k ( f ) gdze ϕ - kąt tarca wewnętrznego ośrodka porowatego nawodnonego. Stąd kryterum utraty statecznośc fltracyjnej neobcążonego gruntu na skutek dzałana sł unzena fltracj można przedstawć w ptac zwązku: v ( ) ( ) k f tgϕ + v3tgϕ v tgα. (.76) k f + v + v tgϕ 3 Rozważmy dwa przypadk szczególne powyższego kryterum statecznośc fltracyjnej: Przypadek I. Załóżmy, że fltracja odbywa sę w kerunku ponowym przecwnym do dzałana sły cężkośc = v v 3 =, a rozpatrywana powerzchna ma kąt nachylena α =. Warunek stanu grancznego sprowadz sę do ptac: ( ) k f tgϕ vtgϕ. (.77) Stąd dtanemy warunek na stan granczny wywołany słam fltracj w ptac: 7
18 ( f ) co oczywśce prowadz do określena welkośc spadku krytycznego: k v, (.78) Ikr ( f ) =, (.79) uzyskanego w poprzednch rozważanach. Przypadek II. Załóżmy, że fltracja odbywa sę w kerunku pozomym, węc v = v3 = v, a rozpatrywana powerzchna ma kąt nachylena α =. Warunek stanu grancznego sprowadz sę do ptac: ( ) k f tgϕ v. (.8) Stąd od razu dtajemy warunek na stan granczny wywołany słam fltracj: ( ) co prowadz do welkośc spadku krytycznego fltracj w ptac: k f tgϕ v, (.8) = ( ) ϕ. (3.69) Ikr f tg Poneważ tgϕ <, węc przypadek fltracj w kerunku pozomym jest jak wdać, ze względu na wyparce fltracyjne, bardzej nebezpeczny. Przypadek III. Spróbujmy teraz odpowedzeć na następujące pytane: jak kerunek wektora prędkośc fltrującej ceczy przez sypk ośrodek porowaty jest najbardzej nekorzystny, ze względu na wyparce fltracyjne gruntu jak jest towarzyszący temu przypadkow lokalny spadek krytyczny. Wprowadźmy kąt pomędzy wektorem prędkośc fltracj a płaszczyzną pozomą β - rys
19 Rys. 3.9 Schemat dla przypadku III. Przy założenu, że oś x 3 jest skerowana zgodne z kerunkem dzałana sły grawtacj, składowe wektora prędkośc fltracj można przedstawć w ptac: v = vc β, v = vsn β. (3.7) 3 Wstawając powyższe zależnośc do wyrażena (.82) zakładając stan równowag grancznej można zapsać: ( ) ( ) k f tgϕ + vsn βtgϕ v c β tgα =, (3.7) k f tgϕ + v c βtgϕ + v sn β a stąd można oblczyć I kr wzorem: I kr ( f ) ( tgϕ tgα ) ( ) + ( + ) vkr = =. (3.72) k sn β tgϕ tgα c β tgϕtgα Pzukajmy, dla jakej wartośc kąta β spadek krytyczny ąga ekstremum (w tym przypadku mnmum). Polczmy: ( f ) ( tgϕ tgα ) c β ( tgϕ tgα ) sn β ( + tgϕtgα ) sn ( ) + c ( + ) 2 di kr = =, (3.73) dβ β tgϕ tgα β tgϕtgα co pozwala wyznaczyć β mn w ptac: β tgϕ tgα = arctg + tgϕtgα mn.(3.74) Wstawając β mn do wzoru (3.73) dtajemy wyrażene na mnmalny spadek krytyczny: 9
20 I kr mn ( f ) ( ) 2 + tgϕtgα sn βmn =. (3.75) Gdy α =, tzn. gdy płaszczyzna pozoma stanow płaszczyznę wypływu wody mamy βmn mnmalny spadek krytyczny wyn: = ϕ I kr mn ( f ) snϕ =. (3.76) Jak wdać nasze dośwadczene prowadz do wnku, że spadek krytyczny zależy w stotny spób od welkośc kąta tarca wewnętrznego w przypadku gruntów sypkch. Poneważ pask drobne pylaste mają newelką wartość kąta wewnętrznego, węc są one bardzo podatne na upłynnene wyparce (zjawsko kurzawkowe). Efekt utraty statecznośc fltracyjnej może nastąpć przy relatywne małych wartoścach spadku hydraulcznego. Każdorazowo, gdy mamy węc do czynena z przepływem fltracyjnym, oprócz sprawdzena czy w danych warunkach ne wystąpło zjawsko uplastycznena gruntu, pownnśmy sprawdzć możlwość wystąpena utraty statecznośc fltracyjnej Stateczność fltracyjna grodzy zbudowanej z materału neprzepuszczalnego na warstwe przepuszczalnej. Zachowane sę gruntu pod wpływem dzałana sły masowej p szwanej cśnenem spływowym, omówlśmy szczegółowo w poprzednm podrozdzale. W praktyce nżynerskej spotykamy sę często z tym zjawskem podczas wykonywana różnego rodzaju robót zemnych (wykopy fundamentowe nstalacj budynków, kopalne odkrywkowe) oraz w przypadku budowl hydrotechncznych (grodze zemne, zapory wodne, jazy tp.). Neuwzględnene tych zjawsk zarówno na etape analz wstępnych (studum wykonalnośc obektu) oraz w faze oblczeń projektowych może prowadzć do poważnych awar, uszkodzeń sprzętu budowlanego, a nawet do zagrożena życa ludzkego. W przypadku stnejących obektów hydrotechncznych należy zwrócć uwagę na występowane po strone odpowetrznej budowl zmany barwy gruntu, występowane drobnych wyceków ze skarp, lub w poblżu budowl hydrotechncznej. Zaobserwowane efekty mogą być wskazówką, że w obszarze tym występuje zjawsko sufozj, co może być w przyszłośc przyczyną katastrofy. Wytłumaczymy to na przykładze grodzy zemnej rys
21 Rys. 3. Proces erozj ptępującej pod grodzą zemną na skutek dzałana cśnena spływowego. Załóżmy, że podłoże grodzy zemnej stanow grunt o wysokm współczynnku różnozarnstośc. W poblżu powerzchn terenu u podnóża grodzy zemnej po strone odpowetrznej zaobserwowano lczne źródełka wody wymywane drobnych cząstek ośrodka. Po pewnym czase proces wymywana ustaje obserwujemy jedyne zwększony wydatek źródełek. Rozważmy lnę prądu wychodzącą z punktu F po strone odwodnej na rys. 3.. Przy jej wyloce obserwujemy omówone wyżej zjawsko. Zakładamy oczywśce, że w ośrodku stneją warunk sprzyjające powstanu zjawska sufozj (duża różnca wysokośc hydraulcznej, znaczna welkość współczynnka różnozarnstośc). Proces ten może być bardzo powolny możemy go określć manem erozj ptępującej podłoża. Może też wystąpć w spób dość gwałtowny, co obserwowano w lcznych mejscach wałów przecwpowodzowych, które uległy awar w czase welkej powodz w 997 r. (główne rzeka Odra). W obydwu przypadkach następuje zmana warunków hydrogeologcznych podłoża wzrasta współczynnk fltracj. Wzdłuż ln prądu obserwujemy przy nezmenającym sę spadku hydraulcznym wzrt prędkośc fltracj, co dodatkowo sprzyja rozszerzanu sę strefy sufozj. Gdy prędkość fltracj przekroczy wartość prędkośc krytycznej dla danego gruntu, może nastąpć upłynnene gruntu w efekce końcowym jego wypór po strone odpowetrznej grodzy, co spowoduje powstane tunelu hydrotechncznego pod grodza rys. 3. Rys.3. Możlwy mechanzm katastrofy wywołanej dzałanem cśnena spływowego. 2
22 Prowadz to do szybkego adana grodzy w tym obszarze, co z kole może spowodować przelew ponad grodzą w rezultace znszczene grodzy zemnej. Podobne efekty mogą wystąpć w strefe wysęku ze zbocza grodzy zemnej. Powyższe rozważana prowadzą do wnku, że w przypadku prac zemnych budowl hydrotechncznych w szczególnośc oprócz oblczeń konstrukcj zemnych w stane grancznym wywołanym przekroczenem grancy wytrzymałośc gruntu na ścnane, należy sprawdzć możlwość utraty statecznośc fltracyjnej ośrodka, borąc pod uwagę możlwość zmany warunków hydrogeologcznych podłoża na skutek erozj ptępującej. 3.3 Lteratura do rozdzału 3 CZUGAJEW R.R. (97) Gdravlka., Mkwa KISIEL I., DMITRUK S., LYSIK B. (969) Zarys reolog gruntów. Nośność stateczność gruntów. Wydawnctwo Arkady. Warszawa KISIEL I., DERSKI W., IZBICKI R.J., MRÓZ Z. (982) Mechanka skał gruntów., Sera Mechanka Technczna, tom VII, PWN, Warszawa STILGER-SZYDŁO E. (25) Padowene budowl nfrastruktury transportu lądowego, DWE, Wrocław, WIŁUN Z. (2), Zarys Geotechnk, WKŁ, Warszawa 2 Programy komputerowe: Slde 2D ZSol lmt equlbrum slope stablty for sol and rock slopes Geotechdata.nfo 22
STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],
STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:
Stateczność skarp. Parametry gruntu: Φ c γ
Stateczność skarp N α Parametry gruntu: Φ c γ Analza statecznośc skarpy w grunce nespostym I. Brak przepływu wody (brak fltracj) Równane równowag: Współczynnk statecznośc: S = T T tgφ n = = S tgα G N S
Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej
Slope stablty Stateczność zboczy Lmt Equlbrum Methods Metody Równowag Grancznej Marek Cała, Jerzy Flsak Katedra Geomechank, Budownctwa Geotechnk Wydzał Górnctwa Geonżyner Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank,
Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej
Slope stablty Stateczność zboczy Lmt Equlbrum Methods Metody Równowag Grancznej Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Analza statecznośc
RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
12. Obliczenie stateczności skarp i stateczności filtracyjnej Tomasz Strzelecki
2. Oblczene statecznośc skap statecznośc fltacyjnej Tomasz Stzeleck 2. Blokowe metody nżyneske okeślana statecznośc skap w mechance guntów. Lczne metody oblczeń pzyblżonych stowanych w paktyce nżyneskej,
Wstępne przyjęcie wymiarów i głębokości posadowienia
MARCIN BRAS POSADOWIENIE SŁUPA 1 Dane do projektu: INSTYTUT GEOTECHNIKI Poltechnka Krakowska m. T. Koścuszk w Krakowe Wydzał Inżyner Środowska MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE P :=.0MN H := 10kN M :=
Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej
Slope stablty Stateczność zboczy Lmt Equlbrum Methods Metody Równowag Grancznej Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Analza statecznośc
MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy
(MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek
Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Ćw. 1. Wyznaczanie wartości średniego statycznego współczynnika tarcia i sprawności mechanizmu śrubowego.
Laboratorum z Podstaw Konstrukcj Maszyn - 1 - Ćw. 1. Wyznaczane wartośc średnego statycznego współczynnka tarca sprawnośc mechanzmu śrubowego. 1. Podstawowe wadomośc pojęca. Połączene śrubowe jest to połączene
Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)
Moment sły (z ang. torque, nna nazwa moment obrotowy) Sły zmenają ruch translacyjny odpowednkem sły w ruchu obrotowym jest moment sły. Tak jak sła powoduje przyspeszene, tak moment sły powoduje przyspeszene
WYKŁAD VI ivii VI.4. Plastyczność i wytrzymałość ośrodka porowatego rozdrobnionego.
WYKŁAD VI VII VI.4. Plastyczność wytrzymałość ośrodka porowatego rozdrobnonego. IV.4. Plastyczność wytrzymałość jako cechy reologczne ośrodka gruntowego. Poprzedno omówone zostały dwe cechy model reologcznych
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II
Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)
Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu
Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch
Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym
ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany
Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na
Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)
1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej
Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
D P. Rys. 1 Schemat hydrauliczny obliczeń filtracji przez zaporę ziemną z drenażem
Kostrukcje budowle zeme OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKA STATECZNOŚCI SKAPY ODWODNEJ METODĄ FELLENIUSA DLA ZAPOY ZIEMNEJ BEZ ELEMENTÓW USZCZELNIAJĄCYCH Z DENAŻEM Zapora zema posadowoa a podłożu przepuszczalym
Przykład 3.2. Rama wolnopodparta
rzykład ama wonopodparta oecene: Korzystając ze wzoru axwea-ohra wyznaczyć wektor przemeszczena w punkce w ponższym układze oszukwać będzemy składowych (ponowej pozomej) wektora przemeszczena punktu, poneważ
Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład IX
Modelowane przepływu ceczy przez ośrodk porowate Wykład IX Metody rozwązywana metodam analtycznym równań hydrodynamk wód podzemnych płaskch zagadneń fltracj. 9.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważana
7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH
WYKŁAD 7 7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH 7.8.. Ogólne równane rucu Rucem zmennym w korytac otwartyc nazywamy tak przepływ, w którym parametry rucu take jak prędkość średna w przekroju
Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił.
1 Sła jest przyczyną przyspeszena. Sła jest wektorem. Sła wypadkowa jest sumą wektorową dzałających sł. Sr Isaac Newton (164-177) Jeśl na cało ne dzała żadna sła lub sły dzałające równoważą sę, to cało
Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Prąd elektryczny U R I =
Prąd elektryczny porządkowany ruch ładunków elektrycznych (nośnków prądu). Do scharakteryzowana welkośc prądu służy natężene prądu określające welkość ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
BADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH
INSTYTUT KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z WENTYLACJI I KLIMATYZACJI: BADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH 1. WSTĘP Stanowsko laboratoryjne pośwęcone badanu
Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2
T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej
Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 29.03.2016 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Badane parametrów fotometrycznych
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych
Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ
Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz
3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO
3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.
2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI W metodze sł w celu przyjęca układu podstawowego należało odrzucć węzy nadlczbowe. O lczbe odrzuconych węzów decydował
Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Weryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ
WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
WYKŁAD XIII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW
1 WYKŁAD XIII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW Część II 13.3 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. 13.3.1 Wstęp. Metoda elementów skończonych (MES) została zapoczątkowana przez Turnera w 1956 r., jakkolwek
W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Egzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.
Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t
1. OKREŚLENIE PARAMETRÓW GEOTECHNICZNYCH
Projekt z fundamentowana: MUR OPOROWY (tuda mgr) POSADOWIENIE NA PALACH WG PN-83/B-02482. OKREŚLENIE PARAMETRÓW GEOTECHNICZNYCH grunt G π P d T/Nm P / P r grunt zayp. Tabl.II.. Zetawene parametrów geotechncznych.
Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00
Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury
Wykład 15 Elektrostatyka
Wykład 5 Elektostatyka Obecne wadome są cztey fundamentalne oddzaływana: slne, elektomagnetyczne, słabe gawtacyjne. Slne słabe oddzaływana odgywają decydującą ole w budowe jąde atomowych cząstek elementanych.
Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:
dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
KONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego
AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID
ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena
Laboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
POLITECHNIKA POZNAŃSKA ZAKŁAD CHEMII FIZYCZNEJ ĆWICZENIA PRACOWNI CHEMII FIZYCZNEJ
WPŁYW SIŁY JONOWEJ ROZTWORU N STŁĄ SZYKOŚI REKJI WSTĘP Rozpatrzmy reakcję przebegającą w roztworze mędzy jonam oraz : k + D (1) Gdy reakcja ta zachodz przez równowagę wstępną, w układze występuje produkt
CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW
Automatyka Robotyka Podstawy odelowana Syntezy echanzmów Analza statyczna knetostatyczna mechanzmów CZ.1. 1 CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA ECHANIZÓW Dynamka jest dzałem mechank zajmującej sę
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale
KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
KORZYŚCI PŁYNĄCE ZE STOSOWANIA ZASADY PRAC WIRTUALNYCH NA PRZYKŁADZIE MECHANIKI OGÓLNEJ. 1. Wprowadzenie. 2. Więzy układu materialnego.
Górnctwo Geonżynera Rok 33 Zeszyt 3/ 2009 Maran Paluch* KORZYŚCI PŁYNĄCE ZE STOSOWNI ZSDY PRC WIRTULNYCH N PRZYKŁDZIE MECHNIKI OGÓLNEJ. Wprowadzene W pracy kerując sę dewzą Johna Zmana: Celem nauk jest
mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
P 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A
TEORI STNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI r x P P P P, P - wektory sł wewnętrznych w unktach owerzchn wokół unktu P P r, P - suma sł wewnętrznych na owerzchn P P P P średna gęstość sł wewnętrznych na owerzchn
WYWAŻANIE STATYCZNE WIRUJĄCYCH ZESTAWÓW RADIOLOKACYJNYCH
Szybkobeżne Pojazdy Gąsencowe (15) nr 1, 2002 Andrzej SZAFRANIEC WYWAŻANIE STATYCZNE WIRUJĄCYCH ZESTAWÓW RADIOLOKACYJNYCH Streszczene. Przedstawono metodę wyważana statycznego wolnoobrotowych wrnków ponowych
Temat 2: Podstawy optyki geometrycznej-1. Zasada Fermata. Prawo odbicia światła
Temat : Podstawy optyk geometrycznej-1 Ilość godzn na temat wykładu: Zagadnena: Zasada Fermata. Zasada Huygensa. Wyprowadzene praw odbca załamana śwatła z zasad Fermata Huygensa. Współczynnk załamana.
Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym
ĆWCZENE 3 Analza obwodów C przy wymszenach snsodalnych w stane stalonym 1. CE ĆWCZENA Celem ćwczena jest praktyczno-analtyczna ocena obwodów elektrycznych przy wymszenach snsodalne zmennych.. PODSAWY EOEYCZNE
Refraktometria. sin β sin β
efraktometra Prędkość rozchodzena sę promen śwetlnych zależy od gęstośc optycznej ośrodka oraz od długośc fal promenena. Promene śwetlne padając pod pewnym kątem na płaszczyznę granczących ze sobą dwóch
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 0.03.011 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych Ŝarówek dod śwecących o ukerunkowanym
Wykład Mikro- i makrostany oraz prawdopodobie
Wykład 6 5.5 Mkro- makrostany oraz prawdopodobeństwo termodynamczne cd. 5.6 Modele fzyczne 5.7 Aproksymacja Strlna 5.8 Statystyka Boseo-Enstena 5.10 Statystyka Fermeo-Draca 5.10 Statystyka Maxwell a-boltzmann
1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn..03.013 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych
Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Płyny nienewtonowskie i zjawisko tiksotropii
Płyny nenewtonowske zjawsko tksotrop ) Krzywa newtonowska, lnowa proporcjonalność pomędzy szybkoścą ścnana a naprężenem 2) Płyny zagęszczane ścnanem, naprężene wzrasta bardzej nż proporcjonalne do wzrostu
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
60-965 Poznań ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, Studa stacjonarne, II stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej wersja z dn. 08.05.017 Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów
Optymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
ver ruch bryły
ver-25.10.11 ruch bryły ruch obrotowy najperw punkt materalny: m d v dt = F m r d v dt = r F d dt r p = r F d dt d v r v = r dt d r d v v= r dt dt def r p = J def r F = M moment pędu moment sły d J dt
Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Fizyka 1- Mechanika. Wykład 7 16.XI Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
zyka - Mechanka Wykład 7 6.XI.07 Zygunt Szeflńsk Środowskowe Laboratoru Cężkch Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Zasada zachowana pędu Układ zolowany Każde cało oże w dowolny sposób oddzaływać
Metody badań kamienia naturalnego: Oznaczanie współczynnika nasiąkliwości kapilarnej
Metody badań kaena naturalnego: Oznaczane współczynnka nasąklwośc kaplarnej 1. Zasady etody Po wysuszenu do stałej asy, próbkę do badana zanurza sę w wodze jedną z powerzchn (ngdy powerzchną obrabaną)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE
3. KRYTERIA OCENY HAŁASU I DRGAŃ Hałas to każdy dźwęk nepożądany, przeszkadzający, nezależne od jego natury, kontekstu znaczena. Podobne rzecz sę ma z drganam. Oba te zjawska oddzałują nekorzystne na człoweka
Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji
Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej
Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego
5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze.
65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
BADANIA WYCINKA RURY ZE STALI G355 Z GAZOCIĄGU PO 15 LETNIEJ EKSPLOATACJI Część II.: Badania metodami niszczącymi
PL467 BADANIA WYCINKA RURY ZE STALI G355 Z GAZOCIĄGU PO 15 LETNIEJ EKSPLOATACJI Część II.: Badana metodam nszczącym Wtold Szteke, Waldemar Błous, Jan Wasak, Ewa Hajewska, Martyna Przyborska, Tadeusz Wagner