Zeszyt A1 do ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki

Transkrypt

1 Zeszyt A1 do ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki Ćwiczenie 0 Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych J. Ostachowicz Ćwiczenie 1 Wahadło fizyczne Z. Stęgowski Ćwiczenie 5 Wahadło matematyczne M. Bielewski, E. Rulikowska Ćwiczenie 9 Swobodne spadanie A. Zięba Ćwiczenie 11 Moduł Younga J. Cieślak Ćwiczenie 13 Współczynnik lepkości J. Cieślak Ćwiczenie 25 Interferencja fal akustycznych W. Zieliński Ćwiczenie 32 Mostek Wheatstone a J. Cieślak Ćwiczenie 33 Kondensatory A. Zięba Ćwiczenie 35 Elektroliza A. Bolewski Ćwiczenie 41 Busola stycznych A. Bolewski Ćwiczenie 51 Współczynnik załamania dla ciał stałych M. Chyla Ćwiczenie 53 Soczewki M. Chyla Ćwiczenie 96 Dozymetria promieniowania γ E. Rulikowska Ćwiczenie 121 Termometr oporowy i termopara J. Rosiek Ćwiczenie 123 Półprzewodnikowe złącze p-n E. Łącki

2 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 0: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych i wyliczanych w laboratorium fizycznym. Literatura [1] Szydłowski H., Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiaru, Postępy Fizyki, Tom 51, Zeszyt 2, [2] Ostachowicz J., Technika opracowania danych pomiarowych w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki, OEN, Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica, Kraków [3] Guide to Expression of Uncertainty in Measurements, ISO 1995, Switzerland; tłumaczenie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, GUM, [4] Zięba A., Opracowanie danych pomiarowych, [5] Tarasiuk J., Wirtualne Vademecum Statystyki, tarasiuk/wvs/index1.htm. Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Co to jest niepewność wyniku pomiaru i czym różni się od pojęcia błędu pomiaru? Jak zapisujemy wynik pomiaru z niepewnością? 2. Jak szacujemy niepewność wyniku gdy wykonujemy pomiar jednokrotnie? 3. Omów rozkład normalny (Gaussa) i objaśnij pojęcie prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa. 4. Jaka wielkość statystyczna jest miarą niepewności i jak ją szacujemy? 5. Omów prawo przenoszenia niepewności; kiedy wolno je stosować? 6. Podstawowe parametry statystyczne wielokrotnego pomiaru (wartość średnia, odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej). 7. Wyjaśnij pojęcia: poziom ufności i przedział ufności na przykładzie rozkładu normalnego 8. Wyjaśnij pojęcia niepewności rozszerzonej. Jak szacuje się niepewność w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru? zagadnienia dla studentów WFiTJ. Ocena z odpowiedzi: 0-1

3 1 Opracowanie ćwiczenia Opracuj i opisz zagadnienia nr i podpis: 0-2

4 2 Wprowadzenie Niniejsze ćwiczenie przewidziano jako ćwiczenie wstępne, zapoznające z szacowaniem niepewności w pomiarach laboratoryjnych. Jest ono realizowane przez każdego studenta poza pracownią, jako praca domowa, której zakres ustala prowadzący. Istotne zmiany nomenklatury i pojęć w technice opracowania wyników pomiaru, wprowadzane od lat dziewięćdziesiątych w świecie, a obecnie również w Polsce, zmusiły do poprzedzenia części praktycznej wprowadzeniem ułatwiającym realizację tego ćwiczenia. Dodajmy jednak, że rzetelne przygotowanie się do szacunku niepewności w pomiarach laboratoryjnych wymaga w zasadzie przyswojenia sobie podstawowych wiadomości ze statystyki. Oprócz wielu podręczników, pomocą w tym może służyć Wirtualne Vademecum Statystyki znajdujące się w materiałach dydaktycznych na stronie Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej AGH (pozycja [5] w spisie literatury). Pomiar i zapis wyniku pomiaru Pomiar. Aby cokolwiek zmierzyć, musimy znać definicję mierzonej wielkości (np. co to jest długość?) oraz jej jednostkę (np. metr), musimy dysponować sprawnym przyrządem pomiarowym (np. liniałem czy taśmą metalową, suwmiarką, śrubą mikrometryczną) wyskalowanym według wzorca. Porównując wielkość mierzoną (np. długość stołu) z jednostkową długością (np. 1 mm na przymiarze metalowym) uzyskamy wynik pomiaru, to jest liczbę wraz z jednostką (np mm). Podobna jest procedura pomiaru wielkości fizycznych wyznaczanych metodami pośrednimi, na przykład pomiar temperatury za pomocą termometru spirytusowego z wykorzystaniem zjawiska rozszerzalności objętościowej cieczy. Wynik pomiaru i jego zapis. Liczba otrzymana w wyniku procedury pomiarowej wraz z jednostką, np. przytoczony powyżej rezultat pomiaru długości stołu 1522 mm, nie jest pełną informacją o mierzonej wielkości. Potrzebna jest również ocena wiarygodności uzyskanego rezultatu polegająca na oszacowaniu tzw. niepewności wyniku. Rozróżniamy dwie metody obliczeń niepewności pomiaru: metodę typu A (stosowaną dla serii pomiarów) lub metodę typu B (np. dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu lub w oparciu o tzw. działkę elementarną stosowanego miernika). Najczęściej wykorzystuje się pojęcie niepewności standardowej (u). Przyjęto umowę, że wynikiem pomiaru jest uzyskany liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbową oszacowanej niepewności standardowej obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyrażone przy użyciu tej samej jednostki! Niepewność standardową zaokrągla się do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością. Na przykład, zapisujemy wynik: 1522 z niepewnością 1, ale nie 1522 z niepewnością 0,9. Albo 1,00061 (u = 0, 00027), czy zaokrąglony 1,0006 (u = 0, 0003), ale nie 1,0006 (u = 0, 00027). Karygodnym jest podawanie wszystkich cyfr wynikających z obliczeń numerycznych przy użyciu kalkulatora, np.: 1522, (u = 1, ). Nazewnictwo. W języku potocznym, a także w wielu dotychczasowych opracowaniach naukowych i technicznych stosuje się pojęcie błędu i uściślenia tego pojęcia przydatne do opisu efektów spowodowanych różnymi przyczynami (źródłami) różnic wyniku pomiaru wielkości mierzonej i jej wartości prawdziwej. Przez błąd rozumie się różnicę wyniku pomiaru i wartości prawdziwej, zazwyczaj nieznanej. Ocena niepewności typu B (pomiar jednokrotny) Dość często w życiu codziennym, w technice i nauce uznajemy za wystarczające jednokrotne wykonanie pomiaru. W zależności od potrzeby dobieramy wówczas przyrząd pomiarowy odpowiedniej jakości (dokładności). Na przykład, w pomiarach długości czy grubości jest to liniał metalowy z najmniejszą działką pomiarową 1 mm albo suwmiarka (z działką 0,1 mm lub 0,005 mm) czy też śruba mikrometryczna z działką 0,01 mm. Do każdego przyrządu pomiarowego powinna być dostarczona informacja producenta o dokładności z jaką mierzy dany przyrząd (często sprowadza się ona do podania tzw. błędu maksymalnego maksymalnej różnicy między wynikiem poprawnego odczytu ze skali przyrządu a wartością prawdziwą). W przypadku braku takiej informacji przyjmuje się, że dokładność, z jaką mierzy dany przyrząd jest równa 0-3

5 wartości działki elementarnej (np. 0,01 mm dla śruby mikrometrycznej, czy też 1 mm dla przymiaru metrowego). Zdarzają się jednak przypadki, że na przyrządzie zaznaczone są drobniejsze działki, niż to wynika z jego rzeczywistej dokładności (np. działki jednomilimetrowe na kilkunastometrowej taśmie mierniczej powszechnego użytku). Wtedy to należy kierować się własnym doświadczeniem i przyjąć rozsądną wartość dokładności z jaką mierzy dany przyrząd, równą wielokrotności działki elementarnej (np. 1 cm dla wspomnianej wyżej taśmy mierniczej, o ile mierzona długość przekracza kilka metrów). Podobnie, wykorzystując przyrząd analogowy, np. woltomierz wychyłowy magnetoelektryczny, możemy oszacować dokładność wyniku pomiaru na podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu to liczba, która określa jaki procent używanego w pomiarze zakresu przyrządu może być utożsamiany z dokładnością pomiarową, a dokładnie błędem maksymalnym. I tak, pomiar napięcia 12,5 V przy zakresie 30 V, przyrządem klasy 1, wykonany jest z dokładnością wynoszącą 1% z 30 V = 0,3 V. Oszacowanie niepewności pomiaru jednokrotnego metodą typu B, u B, dokonujemy w oparciu o analizę a priori (przed pomiarem) wszystkich znanych źródeł niepewności, w szczególności o informacje o danym typie przyrządu i metodzie pomiaru. Korzystamy tu z danych producenta przyrządu oraz analizujemy warunki, w jakich pomiar został wykonany. Oznaczmy dokładność pomiaru przez jest to zwykle najmniejsza działka używanego przyrządu (ew. błąd maksymalny). Przyjmujemy zazwyczaj, że z równym prawdopodobieństwem nieco różne wartości mierzonej wielkości mogą się zawierać w przedziale (µ ± ), gdzie przez µ oznaczamy tzw. wartość oczekiwaną zmiennej losowej, którą reprezentuje mierzona wielkość. Wartość oczekiwana może być utożsamiana ze wspomnianą wcześniej prawdziwą wartością mierzonej wielkości (np. uzyskaną z bardzo dobrym przybliżeniem - w pomiarach o wyjątkowo wysokim stopniu dokładności). Z rozważań statystycznych tego postulowanego tzw. równomiernego rozkładu zmiennej losowej wynika, że niepewność standardowa typu B, u B, pomiaru tym przyrządem wyraża się wzorem u B = / (1) Przykład 1. Zmierzono suwmiarką grubość płyty stalowej i odczytano wynik 24,8 mm. Zapiszemy wynik pomiaru: 24,8 mm ( = 0, 1mm) zaznaczając, że na podstawie informacji o przyrządzie przyjęliśmy wartość działki elementarnej równą 0,1 mm. Pomiarowi temu przypiszemy niepewność standardową, u, równą 0,06 mm [wzór(1)], zaznaczając, że uwzględniliśmy tylko informacje o jakości przyrządu (suwmiarki). Ocena niepewności typu A (pomiar wielokrotny) Jeżeli oceniamy, że zmienne warunki pomiaru lub zmiany mierzonego obiektu mogą powodować nieco różne wyniki pomiaru, często decydujemy się na wielokrotne powtarzanie pomiaru. Na przykład, wyniki pomiaru średnicy dość długiego, metalowego drutu o przekroju kołowym, wykonywane śrubą mikrometryczną w różnych miejscach drutu mogą znacząco się różnić. Oznaczmy kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez x i, gdzie indeks i oznacza numer pomiaru (i = 1,..., n). Wówczas średnia arytmetyczna x z wyników pomiarów jest dobrym oszacowaniem (w statystyce używamy terminu: estymatorem) wartości oczekiwanej µ: x = 1 n n i=1 x i n µ. (2) (Z powyższego wzoru wynika, że dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie średnia arytmetyczna staje się dokładnie wartością oczekiwaną). Niepewność standardową typu A, u A, mierzonej wielkości x utożsamiamy w tym przypadku z odchyleniem standardowym średniej S( x); i tak niepewność standardowa u A opisana jest wzorem: n (x i x) 2 u A = u(x) = S( x) = i=1. (3) n(n 1) 0-4

6 Określając niepewność standardową obowiązani jesteśmy do wyeliminowania w praktyce błędu systematycznego. Zakładamy, że poprawne obliczenie wyniku i jego niepewności jest poprzedzone eliminacją tzw. błędów grubych (pomyłek) i korektą wpływu znanych źródeł błędów systematycznych na wynik pomiaru. Z kolei miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest n (x i x) 2 S(x) = i=1 (n 1) n σ. (4) Występująca we wzorze (4) wielkość S(x), zwana często średnią odchyłką kwadratową (od średniej), jest estymatorem (oszacowaniem) tzw. odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru, σ, a więc miary rozproszenia zmiennej losowej (mierzonej wielkości) wokół jej wartości oczekiwanej. Z powyższego wzoru wynika zasadność wielokrotnego powtarzania pomiaru o ile średnia arytmetyczna każdej serii pomiarów stanowi takie samo oszacowanie wartości oczekiwanej, to związana z tym szacunkiem niepewność maleje ze wzrostem liczebności serii. W granicy analogicznie jak w przypadku wzoru (2) dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie S(x) staje się dokładnie odchyleniem standardowym. Jeżeli wyniki pomiarów w serii x 1,..., x n są otrzymywane w sposób (a) niezależny i (b) w warunkach zapewniających taką samą dokładność pomiaru, a także jeżeli liczba pomiarów (n) staje się znacząco duża (teoretycznie powinniśmy rozpatrywać przypadek n zdążającego do nieskończoności; w praktyce wystarcza zwykle n ok ) to zmienna losowa jaką jest wynik pomiaru x podlega tzw. rozkładowi Gaussa (rozkładowi normalnemu) o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym σ. Rozkład ten określa funkcja gęstości prawdopodobieństwa, f(x), dana wzorem f(x) = 1 ( σ 2π exp ) (x µ)2. (5) 2σ 2 Funkcja f(x) określa prawdopodobieństwo P przyjęcia przez zmienną losową X wartości z określonego przedziału zmiennej (x, x + dx); konkretnie P [X (x, x + dx)] = f(x)dx. (6) Rysunek 0-1: Rozkład normalny (Gaussa). Wykres gęstości prawdopodobieństwa f(u) zestandaryzowanej zmiennej u = (x µ)/σ, gdzie x oznacza wynik pomiaru, µ wartość oczekiwaną, a σ odchylenie standardowe rozkładu. 0-5

7 Na rys.0-1 przedstawiona jest funkcja Gaussa dla tzw. zestandaryzowanej zmiennej losowej U X µ. (7) σ Jest to zmienna, której naturalnym zerem jest jej wartość oczekiwana, a naturalną jednostką jej odchylenie standardowe. Rozkład Gaussa funkcja f(x) ma kształt dzwonowy, przy czym szerokość rozkładu jest proporcjonalna do odchylenia standardowego σ. Wartość oczekiwana µ jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną. Całka tej funkcji liczona od x 1 do x 2 określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru w przedziale (x 1, x 2 ). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników: w przedziale (µ σ, µ + σ) wynosi ok. 68,3%, w przedziale ((µ 2σ, µ + 2σ) wynosi ok. 95,5%, w przedziale (µ 3σ, µ + 3σ) wynosi ok. 99,7%. Przykład 2 (patrz Tabela 2). Zmierzono śrubą mikrometryczną średnicę drutu miedzianego. Oceniono, że z uwagi na jakość powierzchni, możliwe błędy przy wytwarzaniu drutu oraz stopień jego zużycia, niezbędne jest wykonanie pomiarów w różnych miejscach. Wykonano 10 pomiarów średnicy d i uzyskano kolejno wyniki (w mm): 2,46; 2.49; 2.52; 2,47; 2,50; 2,51; 2,48; 2,49; 2,45; 2,50. Jaka jest średnica tego drutu (wartość najlepiej ją charakteryzująca) i z jaką niepewnością została określona? d = i=1 d i = 0, mm; S(d) = 10 i=1 (d i d) 2 (10 1) = 0, , 022 mm. S(d) jest estymatorem odchylenia standardowego σ (wzór 4), charakteryzującym rozrzut wyników wokół wartości średniej. Niepewność standardowa obliczona metodą typu A (u A (d)) wynosi n (d i d) 2 u A ( d) = i=1 n(n 1) = S(d) n = 0, , 007 mm. Czy jednak poprawnie zanalizowaliśmy dostępne dane? Rzut oka na serię wyników pozwala zauważyć, że poszczególne wartości różnią się znacząco między sobą i różnice te sięgają 0,05 mm, a więc pięciu działek użytej w pomiarze śruby mikrometrycznej. Świadczy to o odstępstwie modelu pomiarowego naszego drutu (jednorodny cylinder, o stałej wzdłuż całej długości średnicy) od sytuacji rzeczywistej, a obliczona niepewność pomiarowa u A (d) jest miarą rozproszenia wyników, wynikającego (głównie) z tego właśnie odstępstwa. Rozproszenie wyników może jednak wynikać także ze skończonej dokładności narzędzia, a w tej sytuacji jego miarą będzie ocena niepewności standardowej typu B u B (d) = 3 0, 006 mm. Obie niepewności są tego samego rzędu; w takiej sytuacji można zastosować wzór na tzw. całkowitą (złożoną) niepewność u C (d) = [u A (d)] 2 + [u B (d)] 2, albo: (8) u C (d) = (0, , ) 1/2 mm = 0, 0085 mm 0, 01mm. Ostatecznie wynik pomiaru średnicy drutu możemy zapisać w postaci: d = 2, 49(0, 01) mm. Gdyby w analogicznym pomiarze wyniki serii pomiarów były zawarte w przedziale ±0, 01 mm, to jak łatwo sprawdzić wartość u A byłaby o rząd wielkości mniejsza od wartości u B. W 0-6

8 tej sytuacji przyczynek od odstępstwa od modelu jest do zaniedbania w stosunku do przyczynku narzędziowego. Analogicznie, możemy mieć do czynienia z sytuacją kiedy przyczynek narzędziowy będzie zaniedbywalny w stosunku do przyczynku modelowego. Decyzja o tym, czy dla danej serii pomiarowej stosować ocenę typu A, B czy C może być w wielu przypadkach praktycznych trudna i zależeć od subiektywnej oceny sytuacji przez eksperymentatora (kierującego się zwykle pewnym doświadczeniem praktycznym). O ile co jest zupełnie zrozumiałe nie masz w tym przypadku własnego zdania, należy zapytać o radę prowadzącego ćwiczenia. Przykład 3. Planujemy wykonanie pomiaru znaną metodą i przyrządem. Z opisu wynika, że odchylenie standardowe tej metody i przyrządu wynosi dla jednego pomiaru σ = 3 (jednostki pominięto). Ile razy należy powtórzyć pomiar by niepewność standardowa wyniku była mniejsza niż 1? Przyjąć, że niepewność standardowa typu B, u B, związana z dokładnością przyrządu jest pomijalnie mała. Szukaną liczbę powtórzeń n pomiaru znajdujemy z relacji: σ u = S(x) S( x) = n; stąd n = (3/1) 2 = 9. Odpowiedź: pomiar należy powtórzyć co najmniej 9 razy. Obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich W przypadku, gdy mierzymy kilka wielkości fizycznych, np. x, y, z,... i na ich podstawie obliczamy wielkość fizyczną t, będącą funkcją wielkości mierzonych, niepewność obliczenia wielkości t wyznaczamy ze wzoru ) 2 ( t u c (t) = [u(x)] x 2 + ( ) 2 t [u(y)] y 2 + ( ) 2 t [u(z)] z (9) Wzór ten można stosować przy założeniu, że wielkości mierzone: x, y, z,... są wielkościami statystycznie niezależnymi, a także że niepewności względne u(x)/x, u(y)/y, u(z)/z,... są małe (rzędu kilku procent lub mniejsze). Wzór ten wyraża znane w literaturze prawo przenoszenia odchyłek przypadkowych. Przykład 4. Wykonano pomiar grubości pozornej płytki szklanej przez odczyty położeń, x 1 = 4, 68 mm i x 2 = 2, 16 mm, dolnej i górnej powierzchni płytki obserwowanej przy użyciu mikroskopu. Do odczytu położenia użyto czujnika mikrometrycznego. Ile wynosi grubość pozorna tej płytki? Grubość pozorna płytki: a = x 1 x 2 = 2, 52 mm. Dla czujnika mikrometrycznego działka elementarna wynosi 0,01 mm, a zatem Z prawa przenoszenia niepewności u(x 1 ) = u(x 2 ) = u = 0, 01 mm/1, 73 = 0, 0058mm. ) 2 ( ) 2 ( a a u c (a) = u x 2 + u 1 x 2 = u 2 + u 2 = 2u = 0, , 01 mm. 2 Tak więc grubość pozorna płytki szklanej wyznaczona powyższą metodą wynosi 2, 42(0, 01) mm. Przykład 5. Pomiar czasu trwania 15 oddechów człowieka w spoczynku dał wynik t = 58 s. Niepewność u(t) oszacowano na 1 s. Ile wynosi przeciętny czas trwania T jednego oddechu? T = t/15, a zatem u(t ) = u(t)/15 0, 067 s. Ostatecznie T = 3, 867 s z niepewnością 0, 067 s. 0-7

9 Przykład 6. Zmierzony stoperem czas trwania 20 wahnięć wahadła wynosił t = 25, 32 s. Ile wynosił okres T badanego wahadła? Przyjmujemy za niepewność pomiaru czasu wartość tzw. czasu reakcji człowieka, szacowaną na 0,2 s. W porównaniu z nim niepewność związana z dokładnością stopera elektronicznego, rzędu 0,01 s, jest pomijalnie mała. Zatem T = (25, 32 s)/20 = 1, 266 s 1, 27 s. 3 ZADANIA POMIAROWE u(t ) = u(t)/20 = 0, 2 s/20 = 0, 01 s. I. Pomiar jednokrotny Zmierz jednokrotnie wielkości 3 trzech wybranych przez siebie przedmiotów, np.: szerokość kartki papieru z zeszytu, długość ołówka, wysokość szpalty w gazecie, odległość dwóch kropek na kartce, długość jaja kurzego dłuższej osi tej w przybliżeniu elipsoidy obrotowej (rys.0-2), odległość 20 własnych kroków (wykorzystując, na przykład, informację o długości płyty chodnikowej), itp. jeden kąt w szkolnej ekierce, czas opadania piórka z wysokości 1 m, czas trwania 10 oddechów (w stanie spoczynku), wagę torebki cukru, mąki, soli, kostki masła, butelki soku itp., średnicę rury przy pomocy kawałka sznurka i przymiaru liniowego, wymyśl sam interesującą Ciebie wielkość fizyczną, którą jesteś w stanie zmierzyć: Dobierz dostępny i Twoim zdaniem właściwy przyrząd pomiarowy: liniał, taśmę mierniczą, suwmiarkę, śrubę mikrometryczną, wagę kuchenną, wagę laboratoryjną, zegar, stoper, itd. 2. Wykonaj jednokrotnie pomiary odpowiednich wielkości wybranych obiektów nr 1, nr 2, nr 3 i wyniki pomiaru wpisz w tabelę Określ niepewność standardową u B każdego pomiaru w oparciu o jakość użytego przyrządu pomiarowego (wzór1). 4. Przeanalizuj, czy w Twoim pomiarze nie występowały inne przyczyny niepewności wyniku, spróbuj je opisać. 0-8

10 Tabela 1. Wyniki pomiarów jednokrotnych dla trzech różnych przedmiotów. Nr Przedmiot mierzony Przyrząd pomiarowy, jakość przyrządu (Wynik ± ) jednostka Niepewność standardowa u B (wzór 1) Uwagi 0 Szerokość kartki (przykład) Liniał; = 1 mm (209 ± 1) mm 0, 6 mm u B 1 mm ) Znaczącym źródłem niepewności pomiaru jest ewentualne lekko skośne ustawienie liniału względem kartki. Na podstawie kilku prób szacuję niepewność u B na około 1 mm. 1) ) ) II. Pomiary wielokrotne (n 10) Wykonaj pomiar 10-ciokrotny i opracuj jego wynik: wybierz 10 Twoim zdaniem prawie identycznych przedmiotów, np. 10 kurzych jaj, 10 jednakowych bułek, 10 jednakowych owoców, 10 zużytych kulek łożyskowych o średnicy rzędu 5-10 mm, itp., i wykonaj dziesięć pomiarów, każdy dla innego przedmiotu, albo wykonaj 10-krotnie pomiar tego samego, np. czasu 15 oddechów w spoczynku, czy szerokości pokoju w 10-ciu różnych miejscach, obwodu pnia drzewa w różnych miejscach, średnicy Księżyca przy pomocy monety i twierdzenia Talesa, itp. 1. Ustal co i czym będziesz mierzył, np.: jaja, oś długa tej niemal elipsoidy suwmiarka lub papier milimetrowy i dwie ekierki (rys.0-2); kulki, ich średnica śruba mikrometryczna; bułki, średnica podstawy liniał z działką 1mm; czas trwania 15 oddechów stoper, zegarek z sekundnikiem. 2. Wykonaj 10 razy pomiar wybranego (wybranych) obiektu (-ów) zachowując należytą staranność i wyniki wpisz odpowiednio do tabeli

11 3. Oblicz średnią arytmetyczną x [wzór(2)] i odchylenie standardowe średniej S( x) [wzór(3)], to jest niepewność standardową u A, i wyniki obliczeń wpisz do odpowiedniej kolumny Tabeli Zastanów się, czy w Twoim pomiarze niepewność typu B (u B ) związana z jakością przyrządu i warunkami pomiaru nie jest znacząca i postaraj się ją oszacować. 5. Zapisz końcowy wynik pomiaru to jest x oraz jego niepewność standardową, wybraną na podstawie analizy wielkości u A i u B oraz charakteru pomiaru. (będzie to jedna z tych dwóch niepewności, albo też niepewność złożona u C ). Dodaj komentarz, w którym uzasadniasz swój wybór. Rysunek 0-2: Pomiar długości jaja (propozycja). 0-10

12 Tabela 2. Wyniki pomiarów wielokrotnych. Wykonaj zadania nr /podpis Przykład Zadanie Przykład Zadanie Przykład II.3 Zadanie II.3 Zadanie II.1 II.1 II.2 II.2 II.4 Średnica Czas 15 Czas 15 Czas reakcji Czas reakcji drutu oddechów oddechów własnej własnej x Nr x i x i t i t i x i t i x i t i [mm] [s] [s] [mm] [s] 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2212 x 2,487 60, ,2111 S(x) 0,022 2,89 19,1 0,094 u A 0,007 0,91 6,1 0,0029 u B 0,006 1 ) 5 ) u C 0,0092 1,4 7,9 0, 01 x 2,487 60, ,211 u A 0,007 0,9 6,1 0, x 2,49 60, ,211 u C 0,001 1,4 7,9 0, x) patrz Przykład 2 na stronie 0-6, ) u B 1 s oszacowano z niepewności ustalenia momentów start-stop na zegarku (porównaj z przykładami dotyczącymi prawa przenoszenia niepewności) ) t i obliczamy z zależności: t i = (2x i /g) 1/2 ; g = 9, 81 m/s 2 ) u B = 5 mm oszacowano z niepewności odczytu każdego wyniku +, ++ patrz komentarz w obliczeniach do przykładu II.2 na str

13 Tabela 2A. Wyniki pomiarów wielokrotnych ciąg dalszy. Przykład II.4 Objętość (V ) jaj kurzych x oś długa, y, z osie krótkie; y z Nr x i y i z i V ) i Zadanie II [mm] [mm] [mm] [cm 3 ] , , , , , , , , , ,12 V 51,23 (V ) 3,41 u A (V ) 1,1 u B (V ) - u C (V ) V 51,2 u(v ) 1,1 ) Objętość elipsoidy V i = 1/8 4/3πx i y i z i = 1/6πx i y i z i. Uwaga: mierzone x i, y i, z i są w znacznym stopniu zależne; dlatego nie korzystamy z prawa przenoszenia niepewności zmiennych pośrednich (9), a niepewność u(v ) obliczamy wprost z relacji (3), to jest z rozrzutu wartości V i. Miara rozrzutu objętości to S(V ) 3, 4 cm 3, estymator odchylenia standardowego σ rozkładu Gaussa, któremu zapewne podlegają wymiary dużej populacji jaj tej klasy. W przedziale ( V ± S(V )), tj. w przedziale (47, 8 54, 6) cm 3 mieści się 7 jaj na 10 (co odpowiada wartości 68% oczekiwanej z rozkładu Gaussa). 0-12

14 Rysunek 0-3: Pomiar pośredni czasu reakcji. Jedna osoba przytrzymuje gładki liniał (ok. 50 cm) na gładkiej, pionowej powierzchni i puszcza go bez ostrzeżenia. Druga osoba, której czas reakcji bada się, stara się jak najszybciej unieruchomić liniał. Droga przebyta przez liniał od chwili puszczenia do momentu zatrzymania (1/2gt r 2 ) pozwala określić czas reakcji t r. III. Pomiary wielkości pośrednich. Wykonaj 10-ciokrotnie pomiar pośredni i oszacuj jego niepewność z prawa przenoszenia niepewności 1. Wybierz problem pomiarowy (lub ustal go sam), np.: określenie czasu trwania jednego oddechu metodą pomiaru czasu trwania 15 oddechów; pomiar średniego czasu reakcji z wykorzystaniem swobodnego spadku ciał (rys.0-3); pomiar przeciętnej objętości kulki stalowej na podstawie pomiaru jej średnicy (10 kulek); wymyśl sam interesujący Ciebie pomiar metodą pośrednią, który jesteś w stanie wykonać Wyniki 10 krotnego pomiaru wpisz w tabelę 2 lub 2A i oblicz odpowiednie wartości: średnią arytmetyczną, z rozrzutu wyników: niepewność typu A [wzór(3)], z innych informacji: niepewność typu B [wzór(1)], całkowitą niepewność u C [wzór (8)]. 3. Zapisz wyniki wielkości mierzonych. 4. Wylicz wielkość pochodną (np. czas reakcji) oraz wylicz z prawa przenoszenia niepewności (wzór 9) jej niepewność, wyniki wpisz do tabeli. 5. Objaśnij jak uzyskano wynik; na przykład: zmierzony czas reakcji wynosi 0,211 s, a niepewność standardową jego określenia oszacowano na 0,004 s; niepewność oszacowano z wyników 10-krotnego powtórzenia pomiaru i niepewności typu B związanej z niedokładnościami ustalenia i odczytu położenia punktu startu i zatrzymania liniału. 0-13

15 Obliczenia do przykładu II.2 (Tabela 2) ) 2 ( tr u(t r ) = x u(x) = gx S( x); stąd u(t r) = 0, , 04 s. Pomiary kilkakrotne (n < 10) Bardzo często w praktyce przemysłowej, w pomiarach rutynowych (np. w analizach chemicznych), powtarzamy pomiar nie 10 i więcej razy, a zaledwie 3, rzadziej 5 7 razy. Taki, np. 3-krotny pomiar nie pozwala na zbyt wiarygodne oszacowanie niepewności typu A to znaczy niepewność samego stosowanego estymatora jest duża (rzędu 20 procent estymowanej wielkości). Poprzestajemy na oszacowaniu niepewności standardowej typu B, albo korzystamy z niepewności standardowej typu A (ewentualnie typu C) mając świadomość związanego z tym marginesem niepewności. Niepewność rozszerzona W zastosowaniach technicznych, komercyjnych, istotne jest takie określenie przedziału liczbowego uznanego za wynik, by mieć wysoki poziom ufności, że w nim zawarta jest wartość prawdziwa. W dotychczas stosowanej nomenklaturze oznaczało to podanie przedziału ufności, np. x ± 2S( x), na zadanym poziomie ufności równym 95% (odpowiada to w dobrym przybliżeniu przypadkowi rozkładu normalnego). Obecnie używana jest nazwa niepewności rozszerzonej U = ku C. Współczynnik k dobierany jest do założonego poziomu ufności, np. 95% i uwzględnia informacje o przyjętym i doświadczalnym rozkładzie odchyłek pomiarowych dla wybranego przyrządu i metody pomiarowej. Na przykład w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru współczynnik k określamy z tablic współczynnika t Studenta. Bliższe omówienie tego problemu można znaleźć w pracach [2, 3, 5]. Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 4 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 0-14

16 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel ćwiczenia: opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura [1] Resnick R., Halliday D.: Fizyka. wyd. PWN (rok wydania dowolny). [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących ruch obrotowy (kąt, prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, jednostajny i niejednostajny ruch obrotowy). 2. Definicje i podstawowe zależności dla wielkości dynamicznych opisujących ruch obrotowy (moment bezwładności, momentu pędu, moment siły, druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego). 3. Definicja momentu bezwładności. Wyprowadzenie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta o długości l i masie m względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy. 4. Twierdzenie Steinera dla momentu bezwładności i przykłady jego zastosowania. 5. Ruch harmoniczny, równanie ruchu i parametry opisujące ruch (amplituda, okres, częstość, częstotliwość). 6. Wahadło matematyczne. Opis ruchu wahadła matematycznego dla małych drgań. Okres drgań tego wahadła. 7. Wahadło fizyczne. Przybliżony opis ruchu wahadła fizycznego za pomocą równania ruchu harmonicznego. Okres drgań wahadła fizycznego w przybliżeniu harmonicznym. Ocena z odpowiedzi: 1-1

18 2 Wprowadzenie: Rysunek 1-1: Wahadło fizyczne. Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna mogąca poruszać się swobodnie względem osi obrotu (O) nie przechodzącej przez środek masy (S)4. W polu grawitacyjnym wahadło fizyczne wykonuje ruch drgający. Jest to ruch obrotowy względem poziomej osi przechodzącej przez punkt O. Przyczyną tego ruchu jest moment siły ciężkości prostopadły do płaszczyzny rysunku 1-1. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego ruch ten opisuje równanie: gdzie: d 2 θ I o = mga sin θ (1) dt2 I o moment bezwładności bryły względem osi obrotu θ kąt wychylenia od położenia równowagi t czas m masa bryły g przyspieszenie ziemskie a odległość osi obrotu od środka ciężkości (długość odcinka OS). Równanie to opisuje ruch drgający, który nie jest ruchem harmonicznym. Zakładając, że amplituda drgań (kąt maksymalnego wychylenia) nie przekracza kilku stopni, możemy skorzystać z przybliżenia sin θ θ = x (2) a gdzie x długość łuku wychylenia środka ciężkości z położenia równowagi (rys. 1). Wstawiając tą zależność do równania (1) otrzymujemy: d 2 x dt 2 Jest to równanie ruchu harmonicznego z okresem: = mga I o x (3) Io T = 2π mga 1-3 (4)

19 Znając przyspieszenie ziemskie g oraz dokonując pomiaru wielkości m, a i T, z równania (4) możemy wyznaczyć moment bezwładności I o, a także moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy ciała (S) i równoległej do osi obrotu (por. niżej). Rysunek 1-2: Pręt i pierścień używane w ćwiczeniu. Pomiary wykonywane są dla dwóch brył sztywnych: jednorodnego pręta metalowego o długości l i jednorodnego pierścienia metalowego o promieniu wewnętrznym R w i zewnętrznym R z (rys. 1-2). Dla jednorodnego pręta o długości l i masie m moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do pręta wynosi: I s = 1 12 ml2 (5) Moment bezwładności pręta względem osi przesuniętej równolegle o a wyznaczamy z twierdzenia Steinera: I o = I s + ma 2 (6) Dla jednorodnego krążka o promieniu R i masie M moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny krążka wynosi: I s = 1 2 MR2 (7) Moment bezwładności, podobnie jak masa, jest wielkością addytywną. Zatem moment bezwładności pierścienia możemy potraktować jako różnicę momentów bezwładności krążka o promieni R z i masie M oraz krążka o promieni R w i masie M (zakładając, że oba krążki są jednorodne o takiej samej gęstości i takiej samej grubości). W ten sposób moment bezwładności pierścienia o masie m, będącej różnicą mas M i M, jest równy: I s = 1 2 MR2 z 1 2 M R 2 w = 1 2 (M M )(R 2 z + R 2 w) = 1 2 m(r2 z + R 2 w) (8) Układ pomiarowy: Układ pomiarowy składa się ze statywu, stopera, wagi, przymiaru liniowego, pręta* i pierścienia*. *wyboru rodzaju pręta i pierścienia dokonuje prowadzący zajęcia. 1-4

20 3 Wykonanie ćwiczenia: 1. Zmierz masę pręta lub pierścienia. 2. Zmierz rozmiary: pręta (l i a) lub pierścienia (R w, R z i a). 3. Umieść pręt w statywie, wprowadź go w ruch drgający o amplitudzie nie przekraczającej kilku stopni i zmierz czas kilkudziesięciu drgań (około 30 50). Pomiar ten powtórz co najmniej dziesięciokrotnie. 4. Wykonaj pomiary z punktu 3 dla pierścienia. 4 Wyniki pomiarów: Tabela 1: Pomiary masy i długości pręt pierścień wartość masa [kg] l [m] a [m] masa [kg] R w [m] R z [m] a [m] niepewność standardowa Uwaga: wartość danej wielkości wpisuj z dokładnością odpowiednią do wartości niepewności standardowej tej wielkości. Tabela 2: Pomiary czasu drgań dla pręta Lp Liczba drgań Czas drgań Okres drgań Wartość średnia okresu Niepewność standardowa i k t [s] T i [s] T [s] u(t ) [s]

21 Tabela 3: Pomiary czasu drgań dla pierścienia Lp Liczba drgań Czas drgań Okres drgań Wartość średnia okresu Niepewność standardowa i k t [s] T i [s] T [s] u(t ) [s] Niepewność standardową wyliczamy ze wzoru: n (T i T ) 2 u(t ) = i=1 n(n 1) (9) gdzie n oznacza liczbę wykonanych pomiarów. podpis 5 Opracowanie wyników pomiarów Wykonaj następujące obliczenia, a otrzymane wartości wpisz w odpowiednie tabele (4 i 5). 1. Oblicz moment bezwładności względem osi obrotu korzystając ze wzoru na okres drgań (4). 2. Korzystając z twierdzenia Steinera oblicz moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. 3. Oblicz moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy znając masę i odpowiednie wymiary geometryczne, równania (5) i (8). 4. Oblicz niepewność złożoną momentu bezwładności obliczonego w punkcie Porównaj otrzymane w punkcie 2 i 3 wartości momentów bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy 1-6

22 Przykład wyznaczenia zależności do obliczenia niepewności złożonej momentu bezwładności dla pręta, obliczanego w punkcie 3 Równanie z którego wyznaczamy moment bezwładności: I s = 1 12 ml2 Niepewność u(i S ) wyznaczamy z zależności: ) 2 ( Is u(i s ) = [u(m)] m 2 + ( ) 2 Is [u(l)] l 2 gdzie: u(m) niepewność pomiaru masy m; u(l) niepewność pomiaru długości l. Ostatecznie wzór na niepewność złożoną w tym przypadku przyjmuje postać: ( ) 1 2 ( ) 1 2 u(i s ) = 12 l2 [u(m)] ml [u(l)] 2 Analogiczne wyprowadzenia należy wykonać w pozostałych przypadkach. Tabela 4: Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta Wartość Niepewność standardowa I o wyznaczone z okresu I s wyznaczone z twierdzenia I s wyznaczone z pomia- drgań Steinera rów geometrycznych [kg m 2 ] [kg m 2 ] [kg m 2 ] Tabela 5: Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pierścienia I o wyznaczone z okresu drgań I s wyznaczone z twierdzenia Steinera I s wyznaczone z pomiarów geometrycznych [kg m 2 ] [kg m 2 ] [kg m 2 ] Wartość Niepewność standardowa Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 1-7

23 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 5: Wahadło matematyczne zapoznanie się z przykładem ruchu drgającego (opis teoretyczny, pomiar) a w szczególności drganiami wahadła matematycznego wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego Literatura [1] Resnick R., Halliday D.: Fizyka. wyd. PWN (rok wydania dowolny). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących ruch obrotowy (kąt, prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe, jednostajny i niejednostajny ruch obrotowy). 2. Definicje i podstawowe zależności dla wielkości dynamicznych opisujących ruch obrotowy (moment bezwładności, momentu pędu, moment siły, druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego). 3. Ruch harmoniczny, równanie ruchu i parametry opisujące ruch (amplituda, okres, częstość, częstotliwość). 4. Wahadło matematyczne. Opis ruchu wahadła w przybliżeniu ruchu harmonicznego (dla małych drgań). Okres drgań tego wahadła. 5. Definicje i podstawowe zależności dla wielkości kinetycznych opisujących ruch postępowy (prędkość,przyspieszenie, ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny). 6. Prawo powszechnego ciążenia. Pole grawitacyjne Ziemi (ciężar ciała na biegunie oraz na równiku) 7. Zasady dynamiki Newtona. 8. Spadek swobodny ciał. Ocena z odpowiedzi: 5-1

25 2 Wprowadzenie: Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. Takie wahadło, wyprowadzone z położenia równowagi, wykonuje ruch drgający w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy o okresie T. Na rysunku 5-1 przedstawiono wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt θ. Na masę m działa siła ciężkości mg i naprężenie nici N. Jako osie współrzędnych przyjmujemy styczną do łuku (oś x) i przedłużenie promienia nici (oś y). Siłę ciężkości mg rozkładamy na współrzędną radialną mg cos θ i współrzędną styczną mg sin θ. Rysunek 5-1: Wahadło matematyczne. Współrzędna styczna siły ciężkości wynosi F = mg sin θ. Siła F nie jest więc proporcjonalna do przemieszczenia kątowego θ, ale do sin θ. Dla małych kątów θ mamy sin θ θ 1, a przemieszczenie masy m wzdłuż łuku wynosi x = lθ i (znowu dla małych kątów θ) ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy, a siłę w nim działająca możemy zapisać jako F = mgθ = mg x l = mg x. l Dla małych przemieszczeń siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia ze znakiem przeciwnym, czyli masa m wykonuje drgania harmoniczne proste. Stała mg/l jest odpowiednikiem stałej k w równaniu F = kx, opisującym siłę harmoniczną. Z teorii ruchu harmonicznego prostego, wiemy że okres takiego ruchu wynosi m T = 2π k = 2π m mg/l = 2π l g. (1) Okres drgań wahadła prostego zależy więc jedynie od długości wahadła l oraz od g (nie zależy od masy m wahadła). Można pokazać, że dla wahań o większej amplitudzie wzór na okres ma postać [ ( ) l 1 2 T = 2π 1 + sin 2 θ m + g 2 ( ) sin 4 θ m ( ) sin 6 θ m +...] (2) 1 θ[ ] θ[rad] sin θ różnica w % 2 0, rad 0, , , rad 0, , , rad 0, ,

26 W powyższym wzorze θ m jest maksymalnym przemieszczeniem kątowym (zwykle wychyleniem początkowym), a kolejne wyrazy wewnątrz nawiasu są coraz mniejsze. Wzór (1) dostajemy z powyższego wzoru przy zaniedbaniu wszystkich wyrazów w nawiasie za wyjątkiem jedności. W ćwiczeniu wahadło proste jest wykorzystywane do pomiaru przyspieszenia ziemskiego g. Pomiar przyspieszenia ziemskiego kojarzy nam się wprawdzie w pierwszym rzędzie ze spadkiem swobodnym (pomiar czasu spadania i drogi przebytej przez ciało), ale przy pomocy wahadła pomiar g jest prostszy wystarczy zmierzyć okres wahań T wahadła o określonej długości l. 3 Wykonanie ćwiczenia Wykonaj pomiary okresu drgań wahadła dla 5 do lub 6 różnych długości wahadła. Zmieniaj długość wahadła (od długości początkowej l 0 ) co l = cm. Dla każdej długości wykonaj 5 pomiarów: zmierz pięciokrotnie czas odpowiadający liczbie okresów zwartej pomiędzy po 20 a 30. Uwaga: Pomiary wykonuj dla kąta wychylenia mniejszego niż 5. Wyniki pomiarów wpisz do tabeli 1. 4 Wyniki pomiarów Tabela 1: Pomiary okresu drgań wahadła l = l l 0, gdzie l 0 początkowa (nieznana) długość wahadła, l aktualna długość, dla której wyznaczany jest średni okres T. l t [s] czas t [s] czas t [s] czas t [s] czas t [s] czas [cm]... okresów... okresów... okresów... okresów... okresów T [s] 5-4

27 5 Opracowanie wyników Poniżej zaproponowano dwie metody opracowania wyników wykonanych pomiarów okresu drgań wahadła, zmierzonych dla różnych długości wahadła. W oparciu o jedną z nich (zaproponowaną przez prowadzącego zajęcia) wyznacz przyspieszenie ziemskie g oraz początkową długość wahadła l 0, wykorzystując program komputerowy regresja liniowa. Oszacuj niepewność wyznaczenia g. Uwaga: We wzorze (1) wielkość l jest sumą dwóch części l = l + l 0 X + l 0 (X l zmiana długości wahadła). Metoda 1 1. Przekształć wzór (1) do postaci T 2 = 4π2 g X + 4π2 l 0 g która jest zależnością liniową, typu y = ax + b. 2. Metodą regresji wyznacz parametry a i b i ich niepewności. 3. Oblicz g oraz l 0 wraz z ich niepewnościami. Metoda 2 1. Przekształć wzór (1) do postaci 4π 2 X = gt 2 4π 2 l 0, która jest analogiczną zależnością liniową, typu y = ax + b. 2. Metodą regresji wyznacz parametry a i b i ich niepewności. 3. Oblicz g oraz l 0 wraz z ich niepewnościami. Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 5-5

28 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 9: Swobodne spadanie Cel ćwiczenia: Obserwacja swobodnego spadania z wykorzystaniem elektronicznej rejestracji czasu przelotu kuli przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Prawo powszechnego ciążenia. 2. Swobodne spadanie opis ruch w próżni. 3. Jakie siły działają na ciało spadające w powietrzu? 4. Dlaczego pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego jest mniejsza od rzeczywistej? 5. Podaj wielkości, od których zależy siła oporu powietrza? 6. Co to jest siła wyporu powietrza i jaki jest jej możliwy wpływ na pozorną wartość przyspieszenia ziemskiego? 7. Wyjaśnij znaczenie słowa ekstrapolacja liniowa, zastosowana jako element opracowania wyników pomiaru. 8. Wartość przyspieszenia ziemskiego zmienia się od 9, 832 m s 2 na biegunach, poprzez 9, 811 m s 2 na szerokości geograficznej Krakowa, do 9, 780 m s 2 na równiku. Dlaczego? Ocena z odpowiedzi: 9-1

30 2 Wprowadzenie Układ pomiarowy Stosowane oznaczenia: x 1, x 2, x 3 współrzędne przestrzenne trzech fotokomórek, t 1, t 2, t 3 czas przelotu kuli przez kolejne fotokomórki, x 0 wartość początkowa położenia kuli (w chwili t = 0), v 0 wartość początkowa prędkości kuli (w chwili t = 0), a pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego (wzór 2 ) ρ gęstość materiału kul, r promień kuli, v prędkość (chwilowa) kuli, ρ p gęstość powietrza, C współczynnik oporu, g wartość rzeczywista przyspieszenia ziemskiego. Rysunek 9-1: Schemat mechaniczny układu pomiarowego: Z reflektor lub laser, D detektor światła, W wyrzutnik kul. Użyteczne wzory Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego dla swobodnego spadania w próżni, zapisane dla trzech fotokomórek: x 1 = x 0 + v 0 t 1 + a t2 1 2 x 2 = x 0 + v 0 t 2 + a t2 2 2 x 3 = x 0 + v 0 t 3 + a t2 3 2 (1) Pozorna wartość przyspieszenia ziemskiego (rozwiązanie ww. układu równań ze względu na a). a = 2 ( x3 x 2 x ) 2 x 1 (2) t 3 t 1 t 3 t 2 t 2 t 1 9-3

31 Rysunek 9-2: Schemat elektryczny dla źródeł i detektorów światła Rysunek 9-3: Zarejestrowany przebieg U(t) na monitorze: (a) po pomiarze, (b) określenie czasów t 1, t 2 lub t 3 po 16-krotnym rozciągnięciu skali czasu ( ) 1 Równanie prostej ekstrapolacji a pozwalającej obliczyć przyspieszenie ziemskie g z wyeliminowaniem wpływu siły oporu powietrza i siły wyporu Archimedesa: ρ ( ) 1 a = g const, gdzie const = gρ p + 3 ρ 8 Cρ pv 2. (3) r 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Włącz zasilanie układu reflektorów (zestaw 1) lub laserów (zestaw 2). 2. Uruchom komputer z kartą oscyloskopową. Program obsługujący kartę winien zgłosić się samoczynnie. Sprawdź działanie programu (przez kolejne naciśnięcie ENTER, SPACJA, ENTER, HOME). 3. Zestaw (lub sprawdź) układ elektryczny detekcji światła według schematu z Rys.9-1. Sprawdź działanie układu pomiarowego wyzwalając kartę przy długim czasie pomiaru (8, 192 s) i przerywając w tym czasie ręką światło padające na kolejne fotokomórki. 4. Właściwy eksperyment polega na jednoczesnym wyzwoleniu karty i przesunięciu zasuwki powodującej spadanie kulki. Należy stosować czas pomiaru 819, 2 ms (Taki czas pomiaru wynika z faktu, że pracująca w układzie dwójkowych pamięć karty ma 213 = 8192 komórek 9-4

32 pamięci, na każdą przypada czas dokładnie 0, 1ms). Jeżeli nie uda się zarejestrować trzech pików za pierwszym razem, należy powtarzać doświadczenie aż do skutku. 5. Współrzędne położenia x 1, x 2, x 2 odczytujemy z dokładnością nie gorszą niż 1mm. Do tabeli wpisujemy również różnice x 2 x 1 oraz x 3 x Dla zarejestrowanego sygnału wykonujemy odczyt czasów t 1, t 2 i t 3. W tym celu: (a) najeżdżamy kursorem na dany pik wykorzystując przyciski < i > (przesuw co 4 pkt ekranu) oraz i (przesuw co 1 pkt), (b) przy użyciu lupy czasowej (kilkakrotne naciśnięcie +) rozciągamy 16-krotnie skalę czasu, (c) ustawiamy kursor na środek piku (rys.9-3), (d) czas spisujemy z odpowiedniego okienka na monitorze (z dokładnością do 0, 1 ms), (e) wykonujemy odczyt czasu dla dwu pozostałych pików (pierwotną skalę czasu przywraca kilkakrotne naciśnięcie ). 7. Dla każdego pomiaru obliczamy na bieżąco różnice t 2 t 1, t 3 t 2, i t 3 t 1 i wpisujemy do tabeli. Na bieżąco obliczamy też wartość a. Jeżeli otrzymana wartość nie mieści się w granicach około 9 10 m s 2, trzeba sprawdzić czy nie została popełniona omyłka przy pomiarze, zapisie lub w obliczeniach. 8. Pomiar (czynności 4 7) powtarzamy dla kolejnych kul. Przed każdym pomiarem należy zmieniać nieznacznie położenia x 1, x 2 i x 3 (w granicach kilku centymetrów). Uwaga: jeżeli nie zdążymy dla wszystkich, należy wybierać kule o wyraźnie różnych gęstościach. Gęstości kul są podane. Wersja do wykonania Wykonaj ćwiczenie dla kul... i dla odległości między fotodiodami około... centymetrów. (Im większa odległość tym wyraźniej widać efekt oporu powietrza). Dopasować prostą ekstrapolacji metodą: Graficzną Najmniejszych kwadratów obliczenia ręczne Najmniejszych kwadratów zaimplementowana w kalkulatorze Najmniejszych kwadratów przy pomocy komputera podpis 9-5

33 4 Wyniki pomiarów Tabela 1a: Własności kul oraz zapis odległości (przedłużeniem jest tabela na dole strony) Nr Materiał kuli gęstość ρ 1/ρ x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 [g/cm 3 ] [g/cm 3 ] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] Opracowanie wyników 1. Zestaw rezultaty pomiarów i obliczeń w tabelach 1a 1b. 2. Wykonaj wykres a w funkcji 1/ρ. (Skali osi pionowej nie należy zaczynać od zera!) 3. Dopasuj prostą ekstrapolacji metodą wyznaczoną przez prowadzącego. 4. Podaj wartość przyspieszenia ziemskiego jako składnik stały równania prostej g = W przypadku użycia metody najmniejszych kwadratów podaj niepewność g jako odchylenie standardowe składnika stałego równania prostej. u(g) = Oblicz niepewność rozszerzoną dla wartości współczynnika rozszerzenia k = 3, U(g) = k u(g) = Czy uzyskana wartość g jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną? Tabela 1b: Zapis czasów i wartość pozorna przyspieszenia ziemskiego (przedłużenie tabeli z góry strony) Nr t 1 t 2 t 3 t 2 t 1 t 3 t 2 t 3 t 1 a [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms]

34 ( ) 1 Miejsce na wykres a ρ Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa. 9-7

35 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 11: Moduł Younga Cel ćwiczenia: Wyznaczenie modułu Younga i porównanie otrzymanych wartości dla różnych materiałów. Literatura [1] Wolny J., Podstawy fizyki, OEN AGH [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Sformułuj prawo Hooke a. Co to są odkształcenia sprężyste? 2. Moduł Younga podaj definicję i jednostki. 3. Podaj definicję siły harmonicznej oraz zdefiniuj pojęcie stałej sprężystości. 4. Ile wynosi stała sprężystości dwóch sprężyn połączonych równolegle lub szeregowo? 5. Wyjaśnij zasadę działania dźwigni dwustronnej użytej w doświadczeniu oraz innej dowolnej (wybranej przez Ciebie) maszyny prostej. 6. Omów wpływ warunków początkowych (stanu drutu) na wyniki pomiarów. 7. Omów ideę i podstawy metody regresji liniowej. Ocena z odpowiedzi: 11-1

37 2 Wprowadzenie Naprężenie normalne jest to stosunek siły normalnej do pola przekroju [N/m 2 ]: σ = F S Względne wydłużenie jest to stosunek przyrostu długości do długości początkowej: ε = l l 0 Moduł Younga jest to stosunek naprężenia normalnego do względnego wydłużenia [N/m 2 ]: E = σ ε = F S Wzór ten jest też zapisem prawa Hooke a. Układ pomiarowy składa się ze statywu, w którym mocujemy drut, szalki z odważnikami, która jest podwieszona do jednego z końców drutu oraz czujnika mikrometrycznego za pomocą którego mierzymy wydłużenie drutu. Schemat układu został przedstawiony na rys Wykonanie ćwiczenia l 0 l 1. Zmierz długość drutu, którego będziesz używał do wyznaczenia modułu Younga (możesz posłużyć się przymiarem który jest na stałe przymocowany w górnej części prawego ramienia statywu). Wynik wpisz do tabeli. 2. Zwolnij blokadę belki pomiarowej (dźwignia powinna zostać umieszczona poziomo) a następnie zamocuj drut w statywie za pomocą nakrętek. Obydwie nakrętki górną i dolną (na rysunku zaznaczone A i B) należy dokręcać równomiernie, pamiętając aby pozioma belka C dotykała czujnika mikrometrycznego D. 3. Po obciążeniu szalki czterema odważnikami kilogramowymi, zmierz za pomocą śruby mikrometrycznej średnicę drutu w dziesięciu różnych miejscach równomiernie rozłożonych na całej jego długości. Wyniki wpisz do tabeli. 4. Opróżnij szalkę z odważników i wyzeruj czujnik mikrometryczny. Następnie obciążaj szalkę kolejnymi odważnikami (nie przekraczając maksymalnego obciążenia) notując w tabeli wielkość działającej siły i spowodowane przez nią wydłużenie drutu. Kolejne pomiary wykonaj dla malejącego obciążenia. Rysunek 11-1: Układ pomiarowy. Wariant do wykonania (określa prowadzący): Wykonaj pomiary dla drutów: dopasowanie Stalowy 1: Maksymalne obciążenie: kg graficzne/regresja Stalowy 2: Maksymalne obciążenie: kg graficzne/regresja Mosiężny: Maksymalne obciążenie: kg graficzne/regresja Miedziany: Maksymalne obciążenie: kg graficzne/regresja podpis: 11-3

38 4 Wyniki pomiarów Tabela 1a: Drut pierwszy Rodzaj materiału: Długość drutu [mm] Średnica [mm] Średnia średnica Pole przekroju d= [ ] u(d) = [ ] S= [ ] u(s)= [ ] Masa odważników [kg] Siła [N] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie względne a (z dopasowania graficznego) = E= [ ] [ ] a (z prostej regresji)= E= [ ] u(e)= [ ] [ ] E tabl = [ ] Tabela 1b: Drut drugi Rodzaj materiału: Długość drutu [mm] Średnica [mm] Średnia średnica Pole przekroju d= [ ] u(d) = [ ] S= [ ] u(s)= [ ] Masa odważników [kg] Siła [N] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie względne a (z dopasowania graficznego) = E= [ ] [ ] a (z prostej regresji)= E= [ ] u(e)= [ ] [ ] E tabl = [ ] 11-4

39 Tabela 1c: Drut trzeci Rodzaj materiału: Długość drutu [mm] Średnica [mm] Średnia średnica Pole przekroju d= [ ] u(d) = [ ] S= [ ] u(s)= [ ] Masa odważników [kg] Siła [N] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie F [mm] Wydłużenie względne a (z dopasowania graficznego) = E= [ ] [ ] a (z prostej regresji)= E= [ ] u(e)= [ ] [ ] E tabl = [ ] 5 Opracowanie wyników pomiarów podpis 1. Oblicz wartość średnią średnicy drutu oraz jej niepewność standardową jako odchylenie standardowe średniej. Na tej podstawie wyznacz wartość pola przekroju drutu oraz jego niepewność standardową (skorzystaj m. in. z prawa przenoszenia błędów). Wyniki wpisz do tabeli. 2. Oblicz wydłużenia względne odpowiadające kolejnym wartościom siły rozciągającej, wyniki wpisz do tabeli, osobno dla siły rosnącej i malejącej. 3. Dla każdego obciążenia oblicz średnią wartość względnego wydłużenia, wyniki wpisz do tabeli. 4. Przedstaw na załączonym wykresie zależność średniego względnego wydłużenia w funkcji przyłożonej siły rozciągającej. Uwaga: Wyniki pomiarów dla różnych drutów powinny zostać przedstawione na wspólnym wykresie, przy użyciu różnych symboli (kolorów). W tym celu należy najpierw wyznaczyć wszystkie wartości względnego wydłużenia, aby poprawnie dobrać jednostkę na osi. 5. Zaznacz na wykresie punkty które odbiegają od prostoliniowego przebiegu, w podsumowaniu wyjaśnij, skąd mogły się wziąć takie odchyłki. 6. Posługując się linijką dopasuj prostą do zaznaczonych punktów pomiarowych a następnie wyznacz jej współczynnik nachylenia według wzoru a = l/ F Wartości l i F odczytaj z wykresu. Na tej podstawie wyznacz wartość modułu Younga. Wyniki wpisz do tabeli. 11-5

40 7. Dopasuj prostą regresji do wyników według poleceń (i wskazówek) prowadzącego. Możesz posłużyć się programem komputerowym dostępnym w laboratorium. W wyniku otrzymasz wartość współczynnika nachylenia prostej regresji oraz jego niepewność pomiarową. Wyniki wpisz do tabeli. 8. Podaj wartość wyznaczonego modułu Younga (na podstawie wyników dopasowania w punkcie 7) w ogólnie przyjętych jednostkach i porównaj ją z wartością tablicową dla danego materiału (tablice są dostępne w laboratorium). Rozstrzygnij, czy otrzymany wynik zgadza się (w granicach niepewności pomiarowej) z wartością tablicową. Rysunek 11-2: Zależność względnego wydłużenia drutów od przyłożonej siły rozciągającej. 11-6

41 Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 11-7

42 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 13: Współczynnik lepkości Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika lepkości gliceryny metodą Stokesa, zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej. Literatura [1] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Zdefiniuj współczynnik lepkości, podaj odpowiednie wzory i jednostki. 2. Co to jest ciśnienie hydrostatyczne? Omów prawo Pascala na przykładzie zasady działania prasy hydraulicznej. 3. Co to jest liczba Reynoldsa? Co oznaczają pojęcia przepływ laminarny i przepływ turbulentny? 4. Opisz metodę wyznaczania współczynnika lepkości. 5. Podaj prawo wyporu Archimedesa. Wyjaśnij dlaczego niektóre ciała pływają a inne toną. 6. Jakie siły działają na kulkę podczas opadania w cieczy lepkiej? Zapisz równanie ruchu kulki. 7. Objaśnij jakim ruchem porusza się kulka w początkowej fazie ruchu, a jakim po upływie kilku chwil. 8. Jak można wyznaczyć gęstość cieczy, ciała stałego lub gazu? 9. Dlaczego umieszcza się balast na dnie statku? Dlaczego butelka częściowo wypełniona wodą pływa w pozycji pionowej? Ocena z odpowiedzi: 13-1

44 2 Wprowadzenie Pomiędzy dwiema zanurzonymi w cieczy płytkami o powierzchniach S znajdującymi się w odległości d i poruszającymi się względem siebie z prędkością v występuje siła oporu wprost proporcjonalna do S i v, a odwrotnie proporcjonalna do d: F = η Sv d Stałą η nazywamy współczynnikiem lepkości tej cieczy. Dla przepływu laminarnego siła oporu jaką ciecz działa na poruszającą się w niej kulkę (wzór Stokesa) wynosi: F 0 = 6πηrv gdzie r jest promieniem, a v prędkością poruszającej się kulki. Wzór ten umożliwia wyznaczenie wartości współczynnika lepkości na podstawie pomiarów parametrów charakteryzujących kulkę oraz jej ruch w cieczy lepkiej. Ruch kulki opadającej w cieczy, po przebyciu przez nią pewnej (dość krótkiej) drogi, staje się praktycznie ruchem jednostajnym, co zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona ma miejsce jedynie wówczas, gdy wszystkie siły działające na kulkę równoważą się: F G + F W + F 0 = 0 gdzie F G oznacza siłę grawitacji, F W siłę wyporu, a F 0 siłę oporu lepkiego. Uwzględniając zwroty sił otrzymujemy zależność F 0 = F G F W, co pozwala na wyznaczenie współczynnika lepkości η = (m V ρ)g 6πrv gdzie m jest masą kulki, V jej objętością, a ρ gęstością gliceryny. W doświadczeniu będziemy posługiwali się wzorem różniącym się od powyższego o czynnik (1 + 2, 4r/R) 1 ; jest to poprawka którą należy uwzględnić z powodu skończonej średnicy R cylindra w którym porusza się kulka: η = (m V ρ)g 6πrv 1 (1 + 2, 4r/R) Układ pomiarowy składa się z ustawionej pionowo rury wypełnionej gliceryną, zamkniętej z jednego końca kranem, na który nałożony jest wężyk z zaciskaczem. Na rurze znajdują się dwa znaczniki, które umożliwiają odczyt zadanego położenia opadającej kulki. Schemat układu został przedstawiony na rys Rysunek 13-1: Układ pomiarowy. 13-3

45 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Wybrane do pomiaru kulki należy dokładnie wytrzeć z resztek gliceryny a następnie rozłożyć na arkuszu bibuły, jednocześnie nadając każdej z nich numer. Po wykonaniu jakiegokolwiek pomiaru, użyta kulka powinna zawsze zostać wytarta i odłożona na miejsce. 2. Zmierz średnice wszystkich wybranych kulek za pomocą śruby mikrometrycznej. Wyniki zapisz w Tabeli. 3. Zważ wszystkie kulki przy użyciu dostępnej wagi. Wyniki zapisz w Tabeli. 4. Ustaw na rurze dwa znaczniki w odległości około 80 cm tak, aby górny znacznik znajdował się co najmniej 20 cm poniżej poziomu cieczy w rurze. Zanotuj odległość znaczników w Tabeli. 5. Zmierz za pomocą suwmiarki średnicę wewnętrzną cylindra z gliceryną. Wynik wpisz do Tabeli. 6. Każdą z kulek wrzuć do rury, a następnie zmierz za pomocą stopera czas, w którym będzie ona opadała pomiędzy znacznikami. Wynik zapisz w Tabeli 1. Zwróć uwagę aby kulki opadały środkiem cylindra a nie blisko ścianek oraz aby nie było do nich doczepionych pęcherzyków powietrza (dlaczego?). Każdy pomiar, który nie spełnia powyższych wymogów należy powtórzyć. 7. Wyciągnij kulkę z cylindra poprzez kran umieszczony na jego dolnym końcu natychmiast (bezpośrednio) po zakończeniu pomiaru (nie wolno wrzucać następnej kulki, jeżeli poprzednia nie została wyjęta!). Aby nie dopuścić do wylewania się gliceryny z cylindra należy posłużyć się zaciskaczem umieszczonym na wężyku. Gliceryna powinna ściekać do podstawionego pod wężykiem naczynia. Jeśli zachodzi potrzeba uzupełnienia gliceryny w cylindrze, należy przelać ją ostrożnie z naczynia lejąc po ściankach cylindra tak, aby wytworzyć jak najmniej pęcherzyków powietrza. 8. Po skończonych pomiarach należy zanotować temperaturę otoczenia, w której wykonywane było doświadczenie. Wariant do wykonania (określa prowadzący): Wykonaj pomiary dla podobnych kulek, po dla każdej kulki podpis: 13-4

46 4 Wyniki pomiarów Tabela 1 Odległość znaczników: [mm] Średnica cylindra: [mm] Temperatura: [ o C] Numer pomiaru Numer kulki Średnica kulki [mm] Promień kulki [ ] Objętość kulki [ ] Masa kulki [g] Czas spadku kulki [s] Prędkość kulki [ ] Współczynnik lepkości [ ] η = [ ] u(η) = [ ] η tabl = [ ] 5 Opracowanie wyników pomiarów podpis: 1. Oblicz promień r każdej z użytych w doświadczeniu kulek. Wyniki wpisz do Tabeli. 2. Oblicz objętość V każdej z użytych w doświadczeniu kulek. Wyniki wpisz do Tabeli. 3. Na podstawie zmierzonej drogi (odległości znaczników) oraz czasów oblicz prędkości każdej z kulek w kolejnych spadkach. Wyniki wpisz do Tabeli. 4. Na podstawie wyznaczonych wartości oblicz współczynnik lepkości gliceryny dla każdego przelotu kulki. Wyniki wpisz do Tabeli. 5. Oblicz wartość średnią współczynnika lepkości, według wzoru Wyniki wpisz do Tabeli. η = 1 n η i n i=1 6. Oblicz niepewność standardową (odchylenie standardowe średniej) współczynnika lepkości, według wzoru u(η) = Σn i=1(η i η) 2 n(n 1) Wyznaczone wartości wpisz do Tabeli. 7. Porównaj wyznaczoną wartość współczynnika lepkości z wartością tablicową i sprawdź, czy w granicach niepewności pomiarowej są one równe. 13-5

48 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 25: Interferencja fal akustycznych. Prędkość dźwięku. Cel ćwiczenia: Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu oraz w niektórych wybranych gazach przy użyciu rury Quinckego. Wyznaczenie wykładnika κ w równaniu adiabaty. Literatura [1] Halliday D., Resnick R., Fizyka, T.1, PWN, Warszawa [2] Bobrowski Cz., Fizyka krótki kurs, WNT, Warszawa Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Podaj definicję ruchu falowego (dla przypadku jednowymiarowego) i omów wielkości fizyczne: amplitudę, fazę, przesunięcie fazowe, okres, częstotliwość, długość fali, wektor falowy. 2. Czym różni się fala podłużna od poprzecznej? Podaj przykłady takich fal. 3. Omów zjawisko interferencji fal. 4. Omów cechy fizyczne dźwięku: wysokość, głośność, barwę. Jaki jest zakres słyszalności (dla ucha ludzkiego) fal dźwiękowych? 5. W jakiej skali mierzymy natężenie (głośność) dźwięku? Co to jest decybel? 6. Od czego zależy prędkość dźwięku? 7. Opisz przemianę stanu gazu zachodzącą podczas rozchodzenia się w nim fali dźwiękowej. Ocena z odpowiedzi: 25-1

50 2 Wprowadzenie Dwa nakładające się ciągi falowe o jednakowej długości fali λ i częstotliwości f tworzą falę wypadkową, której amplituda zależy od amplitud fal składowych oraz różnicy przebytych przez nie dróg. Przybiera ona wartość najmniejszą, gdy różnica tych dróg x 1 x 2 wyraża się związkiem: x 1 x 2 = λ(n 1 ) (n = 1, 2, 3,...) 2 Kolejne minima amplitudy wypadkowej występują więc dla: x 1 x 2 = 1 2 λ; x 1 x 2 = 3 2 λ; x 1 x 2 = 5 2 λ;... x 1 x 2 = 2n + 1 λ,... 2 Odstępy pomiędzy minimami są równe długości powstającej w rozpatrywanym miejscu wypadkowej fali; ich pomiar umożliwia więc wyznaczenie długości fali, a to jeśli zna się częstotliwość f umożliwia z kolei obliczenie prędkości v fali ze związku v = fλ. (1) To właśnie jest celem niniejszego ćwiczenia. Prędkość dźwięku rozchodzącego się w gazie doskonałym wyraża się wzorem: v = RT κ µ, (2) w którym T oznacza temperaturę bezwzględną, R uniwersalną stałą gazową, µ masę molową użytego gazu, zaś κ, będące stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu c p do ciepła właściwego przy stałej objętości c V, jest wykładnikiem w równaniu adiabaty. Układ pomiarowy Rysunek 25-1: Rura Quinckego. Rys.25-1 przedstawia rurę Quinckego, przy pomocy której można mierzyć prędkość dźwięku w gazach wykorzystując zjawisko interferencji fal dźwiękowych. Fala dźwiękowa rozdziela się na dwie części, biegnące w każdej z dwóch rur wygiętych w kształcie litery U. Jedna z tych rur ma długość zmienną, regulowaną przez wysuwanie ruchomego jej fragmentu (jak w puzonie). 25-3

51 Przy pomocy pompy próżniowej można odpompować z układu pomiarowego powietrze, które następnie można zastąpić wybranym gazem. Natężenie dźwięku rejestrowane jest za pomocą mikrofonu, podłączonego do słuchawek oraz niezależnie do oscyloskopu. 3 Wykonanie ćwiczenia A Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu. 1. Otwórz kran K2 w celu usunięcia ewentualnych resztek gazu poprzednio użytego i zapowietrzenia układu. W czasie przeprowadzania pomiarów kran K2 powinien być przez cały czas otwarty, by ciśnienie w zmieniającej się objętości rury było stale równe zewnętrznemu; 2. Znajdź na korpusie generatora gałkę potencjometru regulacji amplitudy drgań i skręć ją do pozycji zero, a następnie włącz jego zasilanie ( 220 V); 3. W międzyczasie odczytaj na termometrze ściennym i zanotuj w tabeli temperaturę powietrza w sali; 4. Gałką potencjometru dobierz głośność dźwięku w słuchawkach (nie za dużą męczy słuch już po niedługim czasie); 5. Ustaw na wyskalowanej tarczy generatora na próbę różne częstotliwości drgań i dla każdej z nich przeszukując całą skalę przesuwu ruchomego fragmentu rury (przez obrót korbką), znajdź taką częstotliwość generowanych fal, dla której na całej długości przesuwu występują: tylko 2 minima głośności, a następnie taką, dla której jest ich 5; będą to: najniższa i najwyższa z używanych następnie do pomiaru wartości. Częstotliwość generowanych drgań odczytuje się na wyskalowanej tarczy obrotowej generatora, posługując się dodatkowo położonym niżej od niej przełącznikiem zakresów mnożnika. Na przykład, częstotliwość 2000 Hz może być ustawiona albo tak: 20 Hz (na tarczy) x 100 (mnożnik) = 2000 Hz albo tak: 200 Hz (na tarczy) x 10 (mnożnik) = 2000 Hz; 6. Dla każdej przyjętej do pomiaru częstotliwości drgań (najlepiej wykonać pomiary dla częstotliwości tak dobranych, by przy nich występowało: 2, 3, 4 i 5 minimów) cały dostępny przesuw ruchomej rury musi być przeszukany 3-krotnie, czyli położenie ai każdego minimum głośności musi być 3-krotnie odczytane na skali i za każdym razem z osobna zapisane w Tabeli 1 z wynikami pomiarów z wykorzystaniem trzech kolejnych wierszy tabeli: po jednym wierszu na jeden przesuw od końca do końca skali. Odległości pomiędzy sąsiednimi minimami powinny wypaść przy ustalonej częstotliwości mniej więcej (w granicach niepewności pomiarowej) jednakowe; warto je na bieżąco w trakcie pomiarów sprawdzać, by uniknąć opuszczenia któregoś minimum przez nieuwagę (wtedy odnośna wartość odległości pomiędzy minimami wypada mniej więcej dwukrotnie większa od pozostałych). B Pomiar prędkości dźwięku w gazie innym niż powietrze. 1. Czynności wstępne, obejmujące napełnienie rury Quinckego wybranym gazem: a) wysuń ruchomy fragment rury do końca do oporu. Zamknij kran K2, pozostawiając kran K1 otwarty, b) śledząc wskazania manometru, odpompuj rurę przy użyciu pompy próżniowej, c) zamknij kran K1, wyłącz pompę, d) balonik z gazem otrzymany od dyżurującego technika nasuń na kran K2, po czym otwórz ten kran, wpuszczając gaz do rury. Kran K2 w czasie wykonywania pomiarów powinien być przez cały czas otwarty, by umożliwić kompensowanie ciśnienia w rurach przy zmianach ich objętości, 2. Wykonaj pomiary tak, jak w punktach od 2 do 6 dla powietrza, 25-4

52 3. Czynności końcowe: Zdejmij z kranu balonik z gazem i oddaj dyżurującemu technikowi, wnętrze rur (po zamknięciu kranu K2) odpompuj i po wyłączeniu pompy zapowietrz rury przez jego otwarcie. Wariant do wykonania (określa prowadzący): Wykonaj pomiary opisane w punktach i podpis: 4 Wyniki pomiarów Tabela 1 Często- Położenie kolejnych Różnica położeń Długość Prędkość tliwość minimów kolejnych minimów fali dźwięku drgań [mm] i = a i+1 a i [mm] λ śr [mm] v k [m/s] a 1 a 2 a 3 a 4 a f[hz] Temperatura [ C] 5 Opracowanie wyników pomiarów 1. Dla każdego wiersza Tabeli 1 z zamieszczonych w nim wyników pomiarów oblicz: a) różnice i = a i+1 a i położeń sąsiadujących ze sobą minimów; b) średnią wartość długości fali λ śr = 2 n 1 i=1 i podpis:, gdzie n liczba znalezionych minimów; n 1 stąd (n 1) jest liczbą odległości pomiędzy nimi. (Dwójka w tym wzorze bierze się stąd, że różnica dróg przebytych przez fale biegnące w jednej i w drugiej rurze jest dwukrotnie większa niż przesunięcie ruchomej części rury wzdłuż skali.); 25-5

53 c) prędkość dźwięku v k (z równania (1)); 2. Ze wszystkich N uzyskanych wartości v k oblicz wartość średnią v śr i jej odchylenie standardowe (u(v)): N (v k v śr ) 2 u(v) = k=1 ; N(N 1) 3. Następnie z (2) oblicz wartość prędkości dźwięku w temperaturze 0 C: v 0 = v śr T0 T śr = ; Porównaj tak zredukowaną do temperatury 0 C wartość v 0 z wartością tablicową; uzyskane wyniki wpisz do Tabeli 2; 4. Oblicz ze związku (2) wartość wykładnika adiabaty κ = c p /c V. Za masę molową gazu należy przyjąć wartość tablicową, a dla powietrza (mieszaniny gazów) µ obliczyć ze wzoru: µ = µ i w i, gdzie µ i i oznaczają masy molowe głównych składników powietrza, zaś w i wagi wynikające z jego składu procentowego; dla azotu: w N = 0,78, tlenu: w 0 = 0,21, argonu: w Ar = 0,01. µ N = µ 0 = µ Ar = Uzyskany wynik wpisz do Tabeli 2. µ N = µ i w i = Tabela 2 Średnia prędkość v śr w temperaturze pomiaru i jej odchylenie standardowe u(v) Obliczona prędkość dźwięku w temperaturze 0 C Tablicowa wartość prędkości dźwięku w temperaturze 0 C Wykładnik κ w równaniu adiabaty (wartość teoretyczna dla powietrza 1.4) 25-6

55 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 32: Mostek Wheatstone a Cel ćwiczenia: Praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie zależności określających opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych oraz mieszanych. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). [3] Ostachowicz J., Statystyka, OEN AGH Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Omów prawa Kirchhoffa. 2. Wyprowadź wzory na opór zastępczy dla połączenia szeregowego i równoległego dwóch oporników R 1 i R Co to jest opór właściwy i przewodność właściwa? Od czego zależy opór danego odcinka drutu przewodzącego? 4. Omów zależność oporności elektrycznej metali od temperatury. 5. Narysuj schemat układu dla mostka Wheatstone a i wyprowadź wzór na wartość nieznanego oporu dla mostka zrównoważonego. 6. Omów prawo Ohma w wersji mikroskopowej i makroskopowej. 7. Udowodnij, że opór zastępczy dwóch oporników połączonych równolegle jest mniejszy od oporu mniejszego z nich. 8. Zdefiniuj i omów pojęcia natężenia prądu elektrycznego oraz ładunku. Podaj definicje odpowiadających im jednostek. 9. Zdefiniuj i omów pojęcia napięcia oraz oporu elektrycznego. Podaj definicje odpowiadających im jednostek. Ocena z odpowiedzi: 32-1

57 Rysunek 32-1: Mostek Wheatstone a (schemat). 2 Wprowadzenie Węzłem nazywamy dowolny punkt obwodu w którym spotykają się co najmniej 3 doprowadzenia. Oczkiem nazywamy dowolną zamkniętą drogę wzdłuż sieci połączeń obwodu. Zgodnie z I prawem Kirchhoffa suma prądów (wpływających i wypływających) z dowolnego węzła jest równa 0. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma spadków napięć wzdłuż dowolnego oczka jest równa sumie sił elektromotorycznych. Na podstawie I i II prawa Kirchhoffa można wyznaczyć wszystkie wartości prądów i napięć w obwodzie mostka Wheatstone a. Jego szczególnym przypadkiem jest mostek zrównoważony, w którym przez środkową gałąź nie płynie żaden prąd. Dla mostka zrównoważonego można wyprowadzić zależność: R x R 2 = R 3 R 4 R x = R 2R 3 R 4 Jeżeli gałąź R 3 R 4 zastąpimy odcinkiem drutu o długości l (patrz rysunek) wówczas podstawiając R 3 = ρa/s oraz R 4 = ρ(l 0 a)/s (ρ jest oporem właściwym drutu, S polem jego przekroju, a długością odcinka zaznaczonego na rysunku) otrzymujemy a R x = R 2 (l a) co pozwala na łatwe wyznaczenie nieznanego oporu z pomiaru położenia suwaka (długości a). Układ pomiarowy Układ pomiarowy jest przedstawiony na rysunku. Pomiędzy punktami AC rozpięty jest drut oporowy o danej długości. R 2 jest tutaj opornikiem wzorcowym, a R x nieznanym oporem, którego wartość chcemy wyznaczyć. Zrównoważenie mostka polega na takim ustawieniu punktu D, dla zadanej wartości R 2, aby przez galwanometr G nie płynął prąd. 32-3

58 3 Wykonanie ćwiczenia Sprawdzenie praw Kirchhoffa 1. Połącz obwód elektryczny według schematu przedstawionego na rysunku i po sprawdzeniu przez prowadzącego włącz zasilanie. 2. Wykonaj pomiary wszystkich nieznanych oporów wskazanych przez prowadzącego, za każdym razem zmieniając nastawy na oporniku wzorcowym. Wyniki wpisz do Tabeli Wykonaj analogiczne pomiary dla równoległego, szeregowego i mieszanego połączenia wybranych oporników. Wyniki wpisz do Tabeli 1. Wariant do wykonania (określa prowadzący): Wykonaj pomiary dla oporników R x1, powtórz razy R x2, powtórz razy R x3, powtórz razy R x4, powtórz razy R x5, powtórz razy równolegle z powtórz razy równolegle z powtórz razy Połączenie mieszane: P1 powtórz razy P2 powtórz razy podpis: 32-4

59 4 Wyniki pomiarów Tabela 1 Długość drutu l: [cm] Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R x1 [ ] R x1 = [ ] u(r x1 )= [ ] Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R x2 [ ] R x2 = [ ] u(r x2 )= [ ] Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R x3 [ ] R x3 = [ ] u(r x3 )= [ ] Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R x4 [ ] R x4 = [ ] u(r x4 )= [ ] Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R x5 [ ] R x5 = [ ] u(r x5 )= [ ] 32-5

60 Połączenie szeregowe: Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R [ ] R= [ ] u(r)= [ ] R obl = [ ] u(r obl )= [ ] Połączenie równoległe: Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R [ ] R= [ ] u(r)= [ ] R obl = [ ] u(r obl )= [ ] Połączenie mieszane: Opór wzorcowy [Ω] a [cm] R [ ] R= [ ] u(r)= [ ] R obl = [ ] u(r obl )= [ ] 5 Opracowanie wyników pomiarów Wyznaczanie oporu nieznanego (wyniki pomiarów należy wpisać do Tabeli): 1. Wyznacz wartości nieznanych oporów na podstawie wzoru (1) podpis: 2. Oblicz wartość średnią dla każdego nieznanego oporu oraz jej niepewność pomiarową. 3. Przeprowadź analogiczne obliczenia dla połączenia szeregowego i równoległego. 4. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia szeregowego korzystając ze wzoru R ab = R a + R b Oszacuj niepewność wyznaczenia R ab na podstawie prawa przenoszenia niepewności pomiarowych. 5. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia równoległego korzystając ze wzoru 1 R ab = 1 R a + 1 R b Oszacuj niepewność wyznaczenia R ab na podstawie prawa przenoszenia niepewności pomiarowych. 32-6

61 6. Oblicz wartość oporu zastępczego dla połączenia mieszanego i oszacuj jego niepewność z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych. W załącznikach zapisz zastosowane wzory. 7. Porównaj opory zmierzone w połączeniach równoległym, szeregowym i mieszanym, z analogicznymi oporami zastępczymi wyznaczonymi na podstawie odpowiednich wzorów. Sprawdź, czy są one równe w granicach niepewności pomiarowych. Wynik porównania zapisz we wnioskach. Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 32-7

62 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 33: Kondensatory Cel ćwiczenia: Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej ε 0 (przenikalności dielektrycznej próżni) i przenikalności względnych ε r różnych materiałów. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Prawo Gaussa i prawo Coulomba. 2. Pojemność elektryczna i jej jednostki. 3. Wpływ dielektryka na ładunki i pole elektryczne w kondensatorze opis jakościowy zjawiska. 4. Pojemność kondensatora płaskiego wyprowadzenie wzoru i poczynione przybliżenia. 5. Zdefiniuj pole jednorodne. W jakim kondensatorze (płaskim, cylindrycznym) można wytworzyć jednorodne pole elektryczne? 6. Wyprowadź wzory na połączenie szeregowe i równoległe kondensatorów. 7. Jaka będzie pojemność kondensatora płaskiego, którego elektrody o powierzchni S rozdzielają dwie warstwy dielektryka o grubościach d 1 i d 2 oraz przenikalnościach ε r1 i ε r2? 8. Z wartości ε 0 obliczamy prędkość światła c przy użyciu wzoru (5). Jeżeli niepewność względna pomiaru dla ε 0 wynosi u r (ε 0 ), to niepewność względna dla prędkości światła u r (c) jest 2 razy mniejsza. Dlaczego? Ocena z odpowiedzi: 33-1

64 2 Wprowadzenie Q ładunek elektryczny, U napięcie, C pojemność, ε r przenikalność dielektryczna, D średnica okładki kondensatora (rys. 33-1), S powierzchnia okładki kondensatora, D p średnica przekładki (rys.33-1), S p powierzchnia przekładki, d odległość między okładkami, (Cd) extr ekstrapolowana wartość iloczynu Cd (rys.33-3), R promień zewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego (rys.33-2), r promień wewnętrznej okładki kondensatora cylindrycznego, l długość kondensatora cylindrycznego, c prędkość światła w próżni, ε 0 = 8, F/m stała elektryczna (dawniej: przenikalność elektryczna próżni), µ 0 = 4π 10 7 Vs/(Am) stała magnetyczna (dawniej: przenikalność magnetyczna próżni), Uwaga: Zgodnie z niedawnymi decyzjami ISO (International Organisation for Standardization) oraz IEC (International Electrotechnical Commission) wprowadzono terminy stała magnetyczna i stała elektryczna (ang. magnetic constant, electric constant) jako podstawowe nazwy stałych ε 0 i µ 0. Tradycyjne terminy przenikalność magnetyczna próżni i przenikalność elektryczna próżni pozostają nazwami pomocniczymi. Nowe nazwy lepiej odzwierciedlają sens fizyczny symboli ε 0 i µ 0 nie mają one nic wspólnego z fizycznymi własnościami próżni, zostały wprowadzone do równań elektromagnetyzmu po to, aby uzyskać wygodną dla człowieka wielkość jednostki prądu (1 A) i jednostek pochodnych (1 V, 1 Ω ). Schemat układu pomiarowego Rysunek 33-1: Kondensator płaski z zaznaczonym polem elektrycznym. Rysunek 33-2: Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny. 33-3

65 Definicja pojemności elektrycznej C = Q U Pojemność kondensatora płaskiego C = ε 0ε r S d Pojemność kondensatora powietrznego z trzema przekładkami, (pokazanego na rysunku) gdzie C = ε 0(S 3S p ) d + 3 ε 0ε r S p d S = πd 2 /4, S p = πd p 2 /4 Wzór końcowy na stałą elektryczną (wynik przekształcenia wzoru 3) (1) (2) (3) ε 0 = 4 π (Cd) extr D 2 + 3(ε r 1)D p 2 (4) Związek stałej elektrycznej i magnetycznej z prędkością światła w próżni c = 1 ε0 µ 0 (5) Pojemność kondensatora cylindrycznego C = 2πε 0ε r l (6) ln R r 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Włącz miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Nastaw zakres 200 pf. Jeżeli wskazania miernika różnią się od zera więcej niż 0,2 pf wtedy przyrząd należy wyzerować. Zerowanie wykonaj dla miernika z dołączonymi przewodami zakończonymi krokodylkami. 2. Zestaw kondensator z płyt (ustawiaj dokładnie jedną nad drugą) i trzech pojedynczych izolacyjnych przekładek. Wyniki pomiarów d 1, d 2, d 3 i C oraz obliczone wartości d i Cd zanotuj w tabeli 1. Uwaga: krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast ich grubości różnią się ze względu na fluktuacje grubości płyty pleksiglasowej, z której zostały wytoczone. Dlatego mierzymy (śrubą mikrometryczną) indywidualne grubości krążków d 1, d 2, d 3, i do dalszych obliczeń bierzemy wartość średnią. Podczas pomiaru wartości C odsunąć ręce od układu, gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost pojemności! 3. Pomiar pojemności powtórz dla wzrastającej liczby 2,3,4,5... przekładek w każdym z trzech słupków krążków (rys. 1). Nie mierz grubości pojedynczych krążków, lecz całych słupków, użytych do budowy kondensatora. 4. Na zakończenie powtórz pomiar dla kondensatora z pojedynczymi przekładkami. 5. Zmierz pojemności kondensatorów zestawionych z okładek metalowych rozdzielonych płytami wykonanymi z różnych dielektryków. 6. Zmierz pozostałe wymiary geometryczne potrzebne dla obliczenia ε 0 i µ Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierz jego pojemność i niezbędne wymiary geometryczne. 33-4

66 4 Wyniki pomiarów Pomiar 1: Kondensator płaski wyznaczenie ε 0. Pomiar pojemności kondensatora w funkcji odległości elektrod. Tabela 1 Liczba d 1 d 2 d 3 d = (d 1 + d 2 + d 3 )/3 C Cd przekładek [mm] [mm] [mm] [mm] [pf] [mm pf] Średnica kondensatora D = Średnica przekładki D p = Pomiar 2: Kondensator płaski z dielektrykami. Tabela 2 Materiał d [mm] C [nf] Średnica zewnętrzna 2R Średnica wewnętrzna 2r Długość l podpis: 5 Opracowanie wyników Pomiar 1: Kondensator płaski wyznaczenie ε Wykonaj wykres iloczynu Cd w funkcji odległości okładek d. 2. Przez punkty eksperymentalne przeprowadź gładką krzywą. Odczytaj z wykresu wartość ekstrapolowaną do d = 0: 33-5

67 (Cd) extr = Uwaga: zależność iloczynu Cd od grubości d jest dla naszego eksperymentu nieliniowa. Dlatego nie można stosować ekstrapolacji liniowej. Metoda graficzna polega na poprowadzeniu gładkiej krzywej (niekoniecznie przechodzącej przez wszystkie punkty) i przedłużeniu jej aż do przecięcia z osią pionową. Metoda analityczna może polegać na przeprowadzeniu przez punkty wielomianu stopnia drugiego (y = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ) lub trzeciego (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ). Wyraz stały a 0 wielomianu jest wartością (Cd) extr. Opcję dopasowania wielomianu posiada większość programów do obróbki danych pomiarowych. 3. wartość stałej elektrycznej wynosi ε 0 = prędkość światła c = Rysunek 33-3: Przedstawienie wyników pomiaru 1 w formie wykresu Cd = f(d) i ekstrapolacja tej zależności do d =0 w celu eliminacji wpływu pola rozproszonego. 33-6

68 Pomiar 2: Kondensator płaski pomiar ε r dielektryków. 1. oblicz wartości przenikalności elektrycznej badanych materiałów. 2. Porównaj z wartościami tabelarycznymi (wpisz do tabeli wartości tabelaryczne jakie udało Ci się znaleźć, podając źródło danych)... Tabela 3 Materiał Wartość zmierzona ε r Wartość tabelaryczna ε r Pomiar 3: Kondensator cylindryczny Oblicz przenikalność dielektryczną izolacji kabla (polietylen) i wpisz również do tabeli 3. Ocena niepewności dla pomiaru 1 Niepewność ε 0 zależy w pierwszym rzędzie od niepewności pomiarów dla idealnego płaskiego kondensatora powietrznego: powierzchni S i odległości d okładek, oraz pojemności C. Pomijamy przyczynki do niepewności pochodzące od procedury ekstrapolacji i związane z poprawką na obecność przekładek (składnik 3(ε r 1)D 2 p we wzorze (4). Obliczenia wykonujemy dla wartości d i C odpowiadających kondensatorowi z najmniejszą odległością okładek, gdyż dwukrotnie wykonany pomiar dla tej konfiguracji ma największy wpływ na wartość ekstrapolowaną iloczynu Cd, a zatem na wyznaczoną wartość ε ocena niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio: Grubość przekładki (pomiar mikrometrem) u(d) = Średnica kondensatora (pomiar przymiarem mm) u(d) = Niepewność maksymalna pomiaru pojemności jest, dla używanego miernika MIC-4070D, określona przez producenta jako C = 0,05% zakres ( ) + 0,5% wartość mierzona (......) = Zamieniamy ją na niepewność standardową u(c) = C 3 =

69 2. obliczenie niepewności stałej elektrycznej W związku z poczynionymi uproszczeniami punktem wyjścia jest wzór ε 0 = 4 Cd π D 2 do którego stosujemy prawo przenoszenia niepewności względnej. Otrzymujemy Tabela 4 u r (ε 0 ) = u 2 r(c) + u 2 r(d) + [2u r (D)] 2, ] u(ε 0 ) 2 [ ] 2 [ [ u(c) u(d) = u(d) ε 0 C d D czyli ] 2 Wielkość Wartość Niepewność Niepewność względna Waga w k u r (x) mierzona x u(x) u r (x) = u(x)/x[%] w k [%] D[mm] 2 d[mm] 1 C[pF] 1 Złożona niepewność względna (suma geometryczna liczb z ostatniej kolumny tabeli): u c,r (ε 0 ) =... [%] Niepewność złożona: u c (ε 0 ) = ε 0 u c,r (ε 0 ) Niepewność rozszerzona dla wartości współczynnika rozszerzenia k = 3, U(ε 0 ) = ku(ε 0 ) = Odpowiedz na pytania: 1. czy uzyskana wartość stałej elektrycznej jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną? 2. pomiar której wielkości wnosi największy przyczynek do niepewności ε 0? Wnioski Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 33-8

70 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 35: Elektroliza Cel ćwiczenia: Wyznaczenie stałej Faradaya oraz równoważnika elektrochemicznego miedzi metodą elektrolizy. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Jakie są różnice w opisie przewodnictwa elektrycznego metali i elektrolitów? 2. Podaj prawa elektrolizy Faradaya. 3. Jaką masę substancji wydzieli podczas przepływu przez elektrolit prąd o natężeniu 1 ampera w czasie jednej sekundy? Podaj nazwę tej wielkości. 4. Wyjaśnij na przykłach pojęcia: gramoatom (masa molowa), gramorównoważnik, wartościowość, kation, anion, katoda, anoda. 5. Zdefiniuj pojęcia: 1 amper, 1 wolt i 1 kulomb. Wyraź te jednostki za pomocą jednostek podstawowych układu SI. 6. W jaki sposób (szeregowo czy równolegle) należy włączyć amperomierz do obwodu? Dlaczego? 7. Ile atomów miedzi osadzi się na elektrodzie po przepłynięciu przez elektrolit ładunku elektrycznego równego stałej Faradaya? 8. Ładunek elektryczny Q jest iloczynem natężenia prądu I oraz czasu t: Q = It. Korzystając z prawa przenoszenia niepewności oszacuj niepewność wyznaczenia ładunku z pomiarów I i t. Ocena z odpowiedzi: 35-1

72 2 Wprowadzenie m 1 (m 2 ) masa katody przed (po) elektrolizą (-ie) m = m 2 m 1 masa miedzi wydzielonej na katodzie podczas elektrolizy M 1 (M 2 ) masa anod przed (po) elektrolizą (-ie) M = M 1 M 2 zmiana masy anod podczas elektrolizy k równoważnik elektrochemiczny miedzi (0,3294 mg/c ) I natężenie prądu t czas Q ładunek elektryczny µ masa molowa miedzi (63,58 g) w wartościowość jonów miedzi (+2) F stała Faradaya (96500 C) e ładunek elementarny (1, C) N A liczba Avogadro (6, (g/mol)) Układ pomiarowy W tym ćwiczeniu elektrody są wykonane z miedzi a elektrolitem jest wodny roztwór siarczanu miedziowego CuSO 4. Użyteczne wzory Rysunek 35-1: Schemat obwodu elektrycznego. Ładunek elektryczny (Q), który przepłynął przez elektrolit jest równy iloczynowi natężenia prądu (I) i czasu trwania elektrolizy (t). Q = It Pierwsze prawo elektrolizy (Faradaya) mówi, że masa substancji osadzonej na katodzie jest równa iloczynowi równoważnika elektrochemicznego tej substancji, natężenia prądu i czasu trwania elektrolizy. m = kit Drugie prawo Faradaya mówi, że ten sam ładunek elektryczny przepływający przez różne elektrolity wydziela na elektrodach równoważniki chemiczne substancji. Tak więc 1 kulomb wydzieli masę równą µ F w [g] Oba prawa elektrolizy Faradaya można zapisać jednym wzorem m = µ F w It Stała Faradaya jest iloczynem ładunku elementarnego i liczby Avogadro. F = en A 35-3

73 Znając wartość równoważnika elektrochemicznego miedzi można łatwo obliczyć stałą Faradaya. 3 Wykonanie ćwiczenia F = 1 k 1. Połącz obwód zgodnie z podanym schematem. Należy zwrócić uwagę na biegunowość (polaryzację) połączeń, np. zacisk + zasilacza winien być połączony z gniazdem + amperomierza. Początkowo należy ustawić amperomierz na największy zakres, a dopiero po ustaleniu wartości natężenia prądu podczas trwania elektrolizy zmniejszyć zakres. W ten sposób zmniejsza się ryzyko uszkodzenia przyrządu oraz minimalizuje niepewność pomiarową. 2. Oczyść (przy użyciu papieru ściernego) katodę i zważ ją na wadze elektronicznej. Przed ważeniem należy usunąć z płytki kurz, przez przemycie wodą destylowaną, i starannie ją osuszyć. 3. Jeżeli prowadzący zaleci ważenie anod (pozostałych elektrod) należy wykonać pomiar ich masy w analogiczny sposób jak dla katody. 4. Umocuj katodę i anody w uchwycie i następnie zanurz elektrody w elektrolicie. 5. Po sprawdzeniu obwodu przez prowadzącego zajęcia i podaniu czasu trwania elektrolizy (zazwyczaj 30 minut) oraz wartości natężenia prądu (prąd stały o natężeniu około 0,5 A) włącz zasilacz i równocześnie uruchom stoper. Przy pomocy opornicy suwakowej ustal zadaną wartość natężenia prądu. 6. Podczas trwania elektrolizy kontroluj i ewentualnie koryguj (za pomocą opornicy suwakowej) natężenie płynącego przez elektrolit prądu. 7. Po upływie zadanego czasu elektrolizy wyłącz zasilacz, wyjmij elektrody z woltametru i wymontuj katodę. Celem usunięcia ewentualnego osadu delikatnie przepłucz ją denaturatem, a następnie starannie wysusz przy użyciu suszarki. Podczas tych czynności należy unikać dotykania powierzchni katody, na której osadziła się miedź, ponieważ może ona zostać łatwo starta z elektrody. 8. Zważ katodę. 9. Jeżeli w tym ćwiczeniu ważone były anody to również należy je zważyć po zakończeniu elektrolizy. Wersja do wykonania Wykonaj ćwiczenie dla zadanego czasu elektrolizy równego t =... minut. i natężenia prądu wynoszącego I =... A. µ w 4 Wyniki pomiarów Tabela 1: Pomiar masy katod i anod W tabeli zapisz wyniki pomiarów mas elektrod. m 1 [ g ] m 2 [ g ] M 1 [ g ] M 2 [ g ] 35-4

74 Klasa amperomierza... Używany zakres amperomierza podpis: 5 Opracowanie wyników Oblicz masę miedzi wydzielonej podczas elektrolizy na katodzie m = Oblicz zmianę masy anod podczas elektrolizy M = Oblicz (korzystając z I prawa elektrolizy) wartość współczynnika elektrochemicznego miedzi k = Korzystając z otrzymanej wartości współczynnika k oblicz stałą Faradaya F = Posługując się wyznaczoną doświadczalnie stałą Faradaya oblicz wielkość ładunku elementarnego e = Obliczanie niepewności pomiarowej Uwaga: Zastanów się, jaką należy przyjąć wartość niepewności pomiaru masy katody (i ewentualnie anod). Na wielkość tej niepewności może mieć wpływ przemywanie elektrod denaturatem. Niepewność ta może być również spowodowana zanieczyszczeniem elektrolitu i niedokładnym wysuszeniem elektrod. Biorąc pod uwagę te czynniki, z jaką dokładnością (ile miejsc znaczących) należy podać masę osadzonej podczas elektrolizy miedzi? m = Niepewność pomiaru masy miedzi wydzielonej podczas elektrolizy przyjmuję jako u(m) = Oblicz niepewność wartości ładunku elektrycznego, który przepłynął przez elektrolit. W tym celu oblicz niepewność pomiaru natężenia prądu wiedząc, że jest ona równa u(i) = (klasa amperomierza zakres) / 100 = u(q) = Oszacuj niepewność pomiaru czasu. W zależności od oceny wielkości tej niepewności można: 35-5

75 1. uwzględniać ją w dalszych obliczeniach albo też 2. uznać, że ze względu na małą wartość niepewności pomiaru czasu (niepewność procentowa równa...%) jest ona zaniedbywalnie mała w porównaniu z np. niepewnością pomiaru masy i pominąć ją w dalszych obliczeniach. Korzystając z prawa przenoszenia niepewności u(k) = ( ) k 2 [u(m)] m 2 + ( ) k 2 [u(i)] I 2 + ( ) k 2 [u(t)] k 2 oblicz niepewność otrzymanego doświadczalnie równoważnika elektrochemicznego miedzi k. Uwaga: Jeżeli w obliczeniach nie jest uwzględniana niepewność pomiaru czasu, należy dokonać we wzorach odpowiednich uproszczeń. u(k) = Oblicz niepewność wyznaczenia stałej Faradaya u(f ) = (...) 2 [u(m)] 2 + (...) 2 [u(i)] 2 + u(k) =... u(f ) = µ wk 2 u(k) Oblicz niepewność wyznaczenia ładunku elementarnego u(e) = u(e) = 1 N A u(f ) ( ) m 2 It 2 [u(t)] 2 Uzyskane wyniki zestaw w tabeli. wartość wartość wyzna- niepewność tablicowa czona w ekspe- różnica niepewność względna [%] rymencie k [ ] F [ ] e [ ] Uwaga: Jeżeli podczas wykonywania ćwiczenia ważone były anody należy obliczyć zmianę masy anod. Można przyjąć, że niepewność pomiaru masy anod u(m) jest równa co do wartości niepewności u(m). Proszę porównać zmianę masy anod ze zmianą masy katody. Czy wielkości te są równe w granicach niepewności? Czy na podstawie uzyskanych wyników pomiarowych można sformułować prawo zachowania masy? 35-6

77 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Zdefiniuj pojęcia: indukcji magnetycznej, natężenia pola magnetycznego, strumienia pola magnetycznego. 2. Podaj prawo Ampère a. Na jego podstawie oblicz indukcję pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd elektryczny o natężeniu I. 3. Zdefiniuj następujące jednostki: amper, tesla, weber. 4. Podaj prawo Biota-Savarta oraz oblicz natężenie pola magnetycznego w środku kołowego przewodnika o promieniu R, w którym płynie prąd o natężeniu I. 5. Jak przebiegają linie pola magnetycznego wokół magnesu sztabkowego oraz Ziemi? Co to są bieguny magnetyczne i gdzie one się znajdują? 6. Wyjaśnij, dlaczego przed uruchomieniem ćwiczenia igła magnetyczna busoli winna znajdować się w płaszczyźnie wyznaczonej przez zwoje cewki a nie prostopadle do niej. 7. Podaj różnicę pomiędzy polami wytwarzanymi przez cewkę, w której N zwojów jest ułożonych blisko siebie (zaniedbujemy długość cewki) oraz nieskończenie długi solenoid, w którym na jednostkę jego długości przypada n zwojów. 8. W ćwiczeniu zwoje przewodnika, w którym płynie prąd, nawinięte są na obejmę wykonaną z mosiądzu. Dlaczego użyto tego rodzaj materiału do wykonania obejmy? 9. W jaki sposób uwzględniana jest niepewność pomiaru średnicy cewki w obliczeniach składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego? Omów prawo przenoszenia niepewności pomiarowych. Ocena z odpowiedzi: 41-1

79 2 Wprowadzenie B indukcja magnetyczna, B = µ 0 H H natężenie pola magnetycznego I natężenie prądu elektrycznego 2R średnica cewki tesla [T] jednostka indukcji magnetycznej, 1 T = 1 Wb/m 2 weber [Wb] jednostka strumienia pola magnetycznego, 1 Wb = 1 V s radian [rad] miara łukowa kąta, 1 rad = 57,29578 = (360/2π) µ 0 = 4π 10 7 Wb/(Am) przenikalność magnetyczna próżni Prawo Biota-Savarta Prąd o natężeniu I płynący przez element przewodnika o długości dl wytwarza w punkcie odległym o r od tego elementu pole magnetyczne o indukcji równej db = µ 0I 4π dl r r 3 Prawo Ampere a Wokół przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I, powstaje pole magnetyczne o indukcji spełniającej zależność B dl = µi Indukcja pola magnetycznego Bc wewnątrz cewki o n zwojach, promieniu R, w której płynie prąd o natężeniu I wynosi Bc = µ 0nI 2R Składowa pozioma indukcji magnetycznej ziemskiego pola magnetycznego w Krakowie wynosi 21µT. Układ pomiarowy Rysunek 41-1: Schemat układu pomiarowego. Składową poziomą indukcji magnetycznej ziemskiego pola magnetycznego obliczamy ze wzoru (por. rys.41-2): 3 Wykonanie ćwiczenia B = B c tg α = µ 0nI 2R tg α. (1) W pomiarach ziemskiego pola magnetycznego istotną rzeczą jest zminimalizowanie wpływu innych, zaburzających pomiar, pól magnetycznych. W tym celu należy umieścić cewkę ze znajdującą się wewnątrz niej busolą możliwie daleko od przewodników z prądem oraz materiałów ferromagnetycznych 41-3

80 Rysunek 41-2: Pola magnetyczne w cewce, przez którą płynie prąd. (jak np. elementy żelazne). Następnie należy wypoziomować busolę i ustawić ją w taki sposób, aby igła magnetyczna znajdowała się w płaszczyźnie wyznaczonej przez zwoje cewki (busola jest zamocowana obrotowo). Przed zestawieniem obwodu należy starannie zapoznać się z budową przełącznika zmiany kierunku płynącego przez obwód prądu. Po sprawdzeniu obwodu przez prowadzącego zajęcia można przystąpić do dalszego wykonywania ćwiczenia. Wariant do wykonania (określa prowadzący zajęcia): Wykonaj pomiary dla : ilości zwojów cewki:... i... i... oraz kątów wychylenia igły magnetycznej od położenia zerowego:... i... i... i... i... i Wyniki pomiarów podpis: i α 1 α 2 α I[A] n B i [µt] kolejny numer pomiaru, kąt wychylenia igły magnetycznej w lewo, kąt wychylenia igły magnetycznej w prawo, średni kąt wychylenie igły magnetycznej, natężenie prądu płynącego przez cewkę, ilość zwojów cewki, obliczona składowa pozioma indukcji magnetycznej Ziemi. 41-4

81 Tabela 1: Wyniki pomiarów i n α 1 α 2 α I B i (B i B) B = klasa amperomierza średnica cewki niepewność pomiaru średnicy cewki Opracowanie wyników pomiarów 1. Dla każdego pomiaru oblicz składową poziomą ziemskiego pola magnetycznego B i. podpis: 2. Jako wartość składowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego przyjmij B średnią arytmetyczną z wielkości B i. Obliczanie niepewności pomiarowych Oblicz niepewność pomiaru typu A (dla serii pomiarów) pomiaru składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego (odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru S(B) oraz niepewność standardową typu A, µ A (B)). W poniższych wzorach N jest liczbą wykonanych pomiarów. Σ N S(B) = i=1(b i B) 2 = N 1 µ A (B) = S(B) N =

82 Praktycznie wszystkie uzyskane wartości B i powinny zawierać się w przedziale ( B 3S(B), B+3S(B)). Jeżeli jakiś wynik nie leży w tym przedziale, to można podejrzewać, że pomiar ten został źle wykonany lub jego wynik źle opracowany. Przeanalizuj pod tym kątem tabelę z wynikami pomiarów i sformułuj odpowiednie wnioski. Oblicz niepewność złożoną pomiaru: u c (B) pomiaru składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego (związaną z dokładnością użytych w ćwiczeniu przyrządów pomiarowych). Obliczona powyżej niepewność typu A uświadamia nam, że rozrzut mierzonej wielkości może być dość znaczny. Wielkość ta w określonym punkcie kuli ziemskiej i przy stałej konfiguracji stanowiska pomiarowego! jest jednak stałą! Dlatego warto jest prześledzić ilościowo czynniki odpowiedzialne za taki stan rzeczy. W wykonywanym ćwiczeniu mierzonymi wielkościami są: średnica cewki 2R, natężenie prądu I kąt wychylenia igły magnetycznej od położenia zerowego. Przyjmuję, że pomiary tych wielkości są obciążone niepewnościami pomiarowymi wynoszącymi odpowiednio: u(2r) = u(i) = u(α) =... =... rad W związku ze skończoną dokładnością wykonywanych pomiarów obliczamy niepewność pomiaru składowej poziomej indukcji ziemskiego pola magnetycznego. W tym celu należy zastosować wzór na obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich. Obliczając pochodne cząstkowe wzoru (1) względem zmiennych I, R oraz α otrzymuje się następujące wyrażenia ( ) B = µ 0n I 2R tg α ( ) B =... R ( ) B = nµ 0I α 2R sin 2 α Zasadniczo niepewność pomiaru należałoby liczyć dla każdego zestawu zmiennych pomiarowych (R, I,α). Tym niemniej, w celu uproszczenia obliczeń, dopuszcza się obliczenie niepewności dla wybranego zbioru danych pomiarowych (R, I,α) i przyjęcie go jako miary dokładności metody 2. Tak obliczona niepewność standardowa u c (B) nie powinna różnić się drastycznie od obliczonej w poprzednim punkcie wielkości S(B) (estymatora odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru). Jeżeli różnice przekraczają % to oznacza, że niepewności pomiarowe: u(2r), u(i), u(α) nie zostały poprawnie obliczone (oszacowane). Podczas obliczeń warto też zwrócić uwagę na to, która z tych trzech niepewności wnosi najistotniejszy przyczynek do u c (B). Ostatecznie wyznaczona składowa ziemskiego pola magnetycznego B, niepewność standardowa typu A i niepewność złożona u c / N wynoszą B = u A (B) = u c (B)/ N = B tablicowe = Jeżeli do obliczeń używasz komputera i arkusza obliczeniowego (np. EXCEL) to zaprogramowanie obliczeń umożliwi Ci wykonanie obliczeń dla wszystkich pomiarów. Niepewność pomiarową u c(b) oblicz wtedy jako średnią z wszystkich n obliczonych wartości. 41-6

84 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 51: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika załamania światła dla szkła i pleksiglasu metodą pomiaru grubości pozornej za pomocą mikroskopu. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa, [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Prawo odbicia. 2. Bezwzględny i względny współczynnik załamania ośrodka. Prawo załamania. 3. Przeanalizuj bieg promieni w przezroczystej płytce płasko-równoległej, podaj zależność między jej prawdziwą grubością d, grubością pozorną i współczynnikiem załamania n. 4. Budowa mikroskopu bieg promieni w mikroskopie. Od czego zależy powiększenie obrazu widzianego w mikroskopie? 5. Ośrodki dyspersyjne. Zależność współczynnika załamania od długości fali. 6. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Zależność kąta granicznego od współczynnika załamania. 7. Równanie soczewki. Zależność ogniskowej od promieni krzywizny soczewki. 8. Analiza obrazów obserwowanych przy użyciu soczewki. Ocena z odpowiedzi: 51-1

86 2 Wprowadzenie Na granicy dwóch ośrodków światło ulega załamaniu. Z prawa załamania wiemy, że: sin α sin β = ν 1 ν 2 = n 2 n 1 = n 21, gdzie α kąt padania, β kąt załamania, ν 1 prędkość światła w ośrodku 1, ν 2 prędkość światła w ośrodku 2. Rysunek 51-1: Pozorne zmniejszenie grubości płytki przezroczystej. Stosunek prędkości światła w ośrodku pierwszym do prędkości światła w ośrodku drugim nosi nazwę względnego współczynnika załamania (ośrodka 2 względem ośrodka 1 ): n 21 = ν 1 /ν 2. Współczynnik załamania danej substancji względem próżni, nazywa się bezwzględnym współczynnikiem załamania. Jest on praktycznie równy współczynnikowi mierzonemu względem powietrza. Rozpatrzmy bieg promienia w przezroczystej płytce równoległościennej o grubości d oświetlonej od dołu (rys. 1). Wiemy, że promień I przechodzi przez płytkę bez załamania na jej powierzchni. Promień II, tworzący kąt α z normalną do powierzchni, po wejściu do płytki (punkt O) załamuje się i tworzy z normalną kąt β. Pada on na granicę płytka powietrze (punkt B) pod kątem β do normalnej; po wyjściu z płytki tworzy z normalną kąt α. Jak widać na rysunku przedłużenie promienia II przecina promień I w punkcie O 1. Punkt O 1 jest obrazem pozornym punktu O. Załamanie światła w płytce powoduje występowanie złudzenia optycznego. Pozorna grubość płytki h wyznaczona metodą optyczną jest mniejsza od grubości rzeczywistej d. Jeżeli kąt α jest bardzo mały, to zachodzi zależność: sin α = tg α i podobnie sin β = tg β. Można zatem napisać: czyli sinα = tgα = AB h, sinβ = tgβ = AB d n = sinα sinβ = d h W obranej metodzie wyznaczania współczynnika załamania światła jest wykorzystywana właściwość mikroskopu, polegająca na tym, że posiada on wąski przedział głębi ostrości i znaczne powiększenie. Dzięki temu można łatwo i dokładnie zmierzyć grubość pozorną h. Układ pomiarowy W skład układu pomiarowego wchodzą: mikroskop wyposażony w czujnik mikrometryczny i nasadkę krzyżową, śruba mikrometryczna, zestaw płytek szklanych i z pleksiglasu, różnej grubości, zestaw filtrów z podanymi długościami fali. 51-3

87 Rysunek 51-2: Schemat budowy mikroskopu: a) mikroskop i jego elementy: 1 kondensor, 2 obiektyw, 3 okular, 4 lusterko lub lampka oświetleniowa, 5 czujnik mikrometryczny, którego stopka spoczywa na ruchomej części mikroskopu, 6 nasadka krzyżowa XY mocująca z pokrętłami do przesuwu płytki, 7a pokrętło służące do przesuwu stolika ruchem zgrubnym, 7b pokrętło służące do przesuwu stolika ruchem dokładnym; b) zasada powstawania obrazu (A ) przedmiotu (A). Do charakterystycznych cech mikroskopu zaliczamy powiększenie i zdolność rozdzielczą. Powiększenie z pewnym przybliżeniem można wyznaczyć ze wzoru: p = ld f 1 f 2 gdzie: l odległość między obiektywem a okularem, d odległość dobrego widzenia, f 1 ogniskowa obiektywu, f 2 ogniskowa okularu. 51-4

88 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Zapoznaj się z budową mikroskopu. 2. Na obu powierzchniach badanej płytki wykonaj ślady atramentem lub rysy. 3. Zmierz grubość d płytki za pomocą śruby mikrometrycznej. 4. Wyreguluj położenie lampy mikroskopowej (lusterka) tak aby światło padało na obiektyw. 5. Ustaw badaną płytkę na stoliku mikroskopu w uchwycie i dobierz ostrość tak by uzyskać kontrastowy obraz. Regulując położenie stolika pokrętłem 7a zaobserwuj górny i dolny ślad zaznaczony na płytce. 6. Pokrętłem 7b przesuń stolik mikroskopu do momentu uzyskania ostrego obrazu śladu na górnej powierzchni płytki. 7. Odczytaj położenie wskazówki czujnika a g. 8. Przesuń stolik mikroskopu do położenia, w którym widoczny jest ślad na dolnej powierzchni płytki (pokrętłem 7b). 9. Ponownie odczytaj położenie wskazówki czujnika a d. 10. Odczyty zanotuj w tabeli 1, 2 lub Dla badanej płytki wykonaj czynności od 4 do 9, zakładając na lampę mikroskopową dostępne filtry o podanej długości fali. 12. Wyniki zanotuj w tabeli 4. Wariant do wykonania (określa prowadzący zajęcia): 1. Wykonaj pomiary krotnie dla każdej płytki według punktów 2 10 dla płytek szklanych i dla płytek z pleksiglasu. 2. Wykonaj pomiary krotnie dla płytki według punktów podpis: 51-5

89 4 Wyniki pomiarów Tabela 1 materiał grubość wskazanie czujnika grubość współczynnik rzeczywista pozorna załamania lp. d a d a g h = a d a g n = d h [mm] [mm] [mm] [mm] wartość średnia n Tabela 2 materiał grubość wskazanie czujnika grubość współczynnik rzeczywista pozorna załamania lp. d a d a g h = a d a g n = d h [mm] [mm] [mm] [mm] wartość średnia n 51-6

90 Tabela 3 materiał grubość wskazanie czujnika grubość współczynnik rzeczywista pozorna załamania lp. d a d a g h = a d a g n = d h [mm] [mm] [mm] [mm] wartość średnia n Tabela 4: Badanie zależności n(λ) materiał grubość rzeczywista z tabeli długość fali wskazanie czujnika grubość współczynnik wartość λ pozorna załamania średnia a d a g h = a d a g n = d n h [mm] [mm] [mm] 1 I II III IV 2 3 podpis: 51-7

91 5 Opracowanie wyników pomiarów 1. Oblicz wartość średnią współczynnika załamania n dla każdej badanej płytki. 2. Oszacuj niepewność standardową typu B wyznaczenia grubości płytki rzeczywistej i pozornej (przykład 4 ćw. 0 ). 3. Oszacuj względną niepewność całkowitą współczynnika załamania z prawa przenoszenia niepewności, korzystając ze wzoru: u(n) n = (u(d) ) 2 ( ) u(h) 2 + =... d h 4. Oblicz: u(n) = Zapisz otrzymane wartości współczynnika załamania wraz z obliczonymi niepewnościami i porównaj je z wartościami tablicowymi. rodzaj materiału n, u(n) n tab 6. Wykonaj wykres zależności współczynnika załamania od długości fali dla jednej płytki i zaznacz na wykresie niepewność u(n). Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 51-8

92 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 53: Soczewki Cel ćwiczenia: Wyznaczenie ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiającej i rozpraszającej) oraz ogniskowej soczewki rozpraszającej metodą bezpośrednią i metodą Bessela. Badanie wad soczewki skupiającej. Literatura [1] Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, Tom 4, PWN, Warszawa [2] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Rodzaje soczewek i definicje ogniska i ogniskowej, zależność ogniskowej od promieni krzywizny. 2. Równanie soczewki. Definicja dioptrii. 3. Przeprowadź konstrukcję obrazów dla soczewki skupiającej i rozpraszającej (zakładając, że są to soczewki cienkie). 4. Od czego zależy zdolność skupiająca soczewki? 5. Przedstaw metody pomiaru ogniskowej: a) bezpośrednią, b) Bessela. 6. Omów wady soczewek. 7. Wyjaśnij występowanie wad wzroku zwanych dalekowzrocznością i krótkowzrocznością, w jaki sposób można je usunąć. 8. Podaj przyrządy, w których wykorzystywane są soczewki i opisz jeden z nich. (Podaj praktyczne zastosowanie soczewek). Ocena z odpowiedzi: 53-1

94 2 Wprowadzenie Soczewka ustawiona na drodze wiązki światła zmienia jej zbieżność na skutek występującego zjawiska załamania światła. Na poniższym rysunku (rys.53-1) pokazano konstrukcję obrazów dla dwóch typów soczewek. Rysunek 53-1: Przykład konstrukcji obrazów dla soczewek cienkich: a) soczewki skupiającej, b) soczewki rozpraszającej. Odległość f ogniska F od środka optycznego soczewki, zwana jest ogniskową i jest określona wzorem: gdzie: n 2 n 1 R 1, R 2 ( ( 1 f = n2 1 1) + 1 ) n 1 R 1 R 2 współczynnik załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka, współczynnik załamania ośrodka, promienie krzywizn sfer ograniczających bryłę soczewki. Równanie soczewki w postaci: 1 f = 1 x + 1 y podaje zależność między ogniskową f oraz odległością x przedmiotu od soczewki i obrazu y. Zależności (1) i (2) są jednak słuszne dla soczewek cienkich, to znaczy takich, w których odległość powierzchni ograniczających jest bardzo mała w porównaniu z promieniami krzywizn tych powierzchni. Powiększeniem soczewki p nazywamy stosunek wysokości otrzymanego obrazu (h ) do wysokości przedmiotu (h) (rys.53-1): p = h h = y (3) x Łącząc ze sobą dwie cienkie soczewki o zdolnościach skupiających D 1 i D 2 otrzymujemy układ, którego zdolność skupiająca jest sumą zdolności skupiających tych soczewek i wynosi: D = D 1 + D 2 lub (1) (2) 1 f = 1 f f 2. (4) Jeżeli soczewki tworzą układ i są ustawione w odległości s, to ogniskowa układu wyraża się wzorem: 1 f = s. (5) f 1 f 2 f 1 f 2 Dokładniejszą metodą pomiaru ogniskowej f soczewki, względnie układu soczewek jest metoda podana przez Bessela. W metodzie tej korzysta się z faktu, że przy odległości przedmiotu od ekranu l większej od 4f, istnieją dwa położenia soczewki x A i x B, przy których na ekranie uzyskać można ostry obraz przedmiotu (powiększony A i pomniejszony B). Zależność tę można opisać wzorem: gdzie d = x A x B. f = l2 d 2 4l (6) 53-3

95 Obrazy stworzone przez soczewkę są zniekształcone przez wady. Do nich należą na przykład: Aberracja sferyczna (rys. 53-2), która polega tym, że poszczególne obszary soczewki znajdujące się w różnych odległościach od osi głównej mają różne ogniskowe. Odległość między ogniskami leżącymi na osi głównej nazywamy aberracją sferyczną podłużną soczewki S. Natomiast gdy w ognisku soczewki dla promieni dalekich od osi ustawimy ekran prostopadle do osi, wtedy pozostałe promienie dadzą na płaszczyźnie ekranu, ustawionej prostopadle do osi krążek o promieniu R. Promień ten jest miarą aberracji poprzecznej. Rysunek 53-2: Aberracja sferyczna; S miara aberracji sferycznej podłużnej. Aberracja chromatyczna (rys.53-3) wiąże się z faktem, że własności załamujące ośrodka zależą od długości fali, ponieważ zależy od niej współczynnik załamania. Zależność ta ujawnia się wtedy, gdy na soczewkę pada światło białe. Dla każdej długości fali jest inna wartość ogniskowej, co jest przyczyną powstawania barwnych obwódek zmniejszających ostrość obrazu. Rysunek 53-3: Aberracja chromatyczna; S miara aberracji chromatycznej podłużnej. Wskutek astygmatyzmu (rys.53-4) obraz punktu położonego poza główną osią optyczną soczewki, nie jest punktem, lecz na ogół stanowi dwa wzajemnie prostopadłe odcinki leżące w różnych płaszczyznach. Układ pomiarowy to ława optyczna, zestaw soczewek skupiających i rozpraszającej, źródło światła w obudowie z tarczą obrotową i przesłoną, w której wmontowane są filtry i przedmiot (w kształcie krzyża), zestaw przesłon oraz soczewka ze skalą kątową. UWAGA: ćwiczenie należy wykonywać w zaciemnionym pomieszczeniu (do odczytu wskazań wykorzystać latarkę). 53-4

96 Rysunek 53-4: Astygmatyzm. 3 Wykonanie ćwiczenia Rysunek 53-5: Ława optyczna. 1. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej (metodą bezpośrednią) tabela 1: (a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot (oświetlony krzyż), soczewkę i ekran. Dobierz tak położenie soczewki, aby na ekranie uzyskać ostry obraz krzyża. (b) Odczytaj na skali ławy optycznej odległość: x przedmiotu od soczewki, y obrazu (ekranu) od soczewki. (c) Pomiary wykonaj dla różnych odległości l = x + y (6 do 10 razy), uzyskując obrazy zarówno powiększone, jak i pomniejszone. (d) Dla każdego pomiaru oblicz ze wzoru (2) ogniskową soczewki skupiającej; oblicz wartość śednią i obliczone wartości zanotuj w tabeli Wyznaczanie ogniskowej układu soczewek i ogniskowej soczewki rozpraszającej (metodą bezpośrednią) tabela 2: (a) Ustaw na ławie optycznej wcześniej zbadaną soczewkę skupiającą i obok soczewkę rozpraszającą o nieznanej ogniskowej. Z otrzymanym w ten sposób układem postępuj zgodnie z punktami b, c i d zachowując tę samą odległość między soczewkami. Dla układu soczewek x = (x 1 + x 2 )/2, gdzie: x odległość przedmiotu od układu soczewek, x 1 odległość przedmiotu od soczewki nr 1, x 2 odległość przedmiotu od soczewki nr 2, y odległość obrazu od środka układu soczewek. (b) Oblicz ze wzoru (2) ogniskową układu soczewek. (c) Oblicz ze wzoru (4) ogniskową soczewki rozpraszającej. (d) Pomiar powtórz 6-10 razy; oblicz wartości średnie: ogniskowej układu i ogniskowej soczewki rozpraszającej. 3. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej (lub układu soczewek) metodą Bessela tabela 3: (a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot, soczewkę (lub układ soczewek) oraz ekran. (b) Dla 6 10 różnych wartości l(l > 4f)znajdź dwa położenia x a i x b, dla których powstają dwa obrazy: powiększony i pomniejszony. 53-5

97 (c) Dla wszystkich pomiarów oblicz ze wzoru (6) ogniskową soczewki skupiającej (lub układu soczewek); oblicz wartość średnią. 4. Wyznaczanie aberracji sferycznej podłużnej tabela 4: (a) Ustaw na ławie optycznej soczewkę o dużej średnicy z przesłoną zasłaniającą środek soczewki. (b) Postępując zgodnie z punktem b, c i d punktu 1, oblicz ogniskową f b soczewki dla promieni brzegowych. (c) Powtórz pomiary dla tej samej soczewki, zakładając przesłonę zasłaniającą jej brzegowe części. Oblicz ogniskową f c dla promieni środkowych (centralnych). (d) Pomiar wykonaj 5 razy; oblicz wartości średnie: fb oraz f c. Oblicz aberrację sferyczną podłużną S = f c f b. Wyniki zanotuj w tabeli Wyznaczanie aberracji chromatycznej podłużnej tabela 5: (a) Przesłoń lampę filtrem czerwonym. (b) Ustaw na ławie optycznej soczewkę skupiającą (badaną lub dużą z przesłoną zasłaniającą jej brzegową, cienką część). (c) Postępuj zgodnie z punktem b, c i d punktu 1. (d) Powtórz pomiary dla tej samej soczewki zasłaniając lampę filtrem fioletowym. (e) Pomiar wykonaj 5 razy; oblicz wartości średnie: fcz oraz f fiol. Oblicz aberrację chromatyczną podłużną S = f cz f fiol. Wyniki zanotuj w tabeli Wyznaczanie astygmatyzmu soczewki (równoleżnikowego, południkowego i pełnego) tabela 6: (a) Ustaw na ławie optycznej przedmiot (oświetlony krzyż), ekran i dużą soczewkę z przesłoną ustawioną jak wyżej. (b) Płaszczyzna soczewki powinna być prostopadła do źródła światła, wskaźnik soczewki powinien pokrywać się z zerem na tarczy przy uchwycie. (c) Znajdź ostry obraz krzyża na ekranie (uwaga: z jednakowo ostrymi ramionami). (d) Odczytaj na skali ławy odległość soczewki od przedmiotu x 0. (e) Pomiary powtórz pięciokrotnie, dla różnych odległości l (odległości przedmiotu od ekranu). (f) Oblicz średnią odległość soczewki od przedmiotu x 0. (g) Obróć soczewkę o kąt ϕ = 10 w stosunku do poprzedniego i przesuń soczewkę w pozycję widocznego na ekranie ostrego obrazu równoleżnikowego x r. Następnie przesuń soczewkę w pozycję ostrego obrazu południkowego x p. (h) Pomiary dla każdej z tych pozycji powtórz kilkakrotnie. (i) Wykonaj pomiary dla kątów 20 i 30. Wykonaj następujące warianty ćwiczenia:... podpis: 53-6

98 4 Wyniki pomiarów Tabela 1: Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej l x y = l x f Lp. [m] [m] [m] [m] f śr [m] Tabela 2: Wyniki pomiarów dla układu soczewek Ogniskowa soczewki skupiającej f śr = dla obrazów lp. l x 1 x 2 powiększonych pomniejszonych [m] [m] [m] x y x y [m] [m] [m] [m] ogniskowa układu soczewek f uk [m] ogniskowa soczewki rozpraszającej f x [m] 53-7

99 Tabela 3: Wyznaczanie ogniskowej soczewki (lub układu soczewek) metodą Bessela. soczewka układ soczewek soczewka X Lp. l x A x B d = x A x B f [m] [m] [m] [m] [m] średnia ogniskowa f średnia ogniskowa f uk średnia ogniskowa f X 53-8

100 Tabela 4: Wyznaczanie aberracji sferycznej podłużnej l x y f lp. [m] [m] [m] [m] promienie środkowe brzegowe średnia ogniskowa dla promieni brzegowych f b średnia ogniskowa dla promieni środkowych f c aberacja sferyczna podłużna S = f c f b Tabela 5: Wyznaczanie aberracji chromatycznej podłużnej promienie fioletowe czerwone l x y f lp. [m] [m] [m] [m] średnia ogniskowa dla promieni czerwonych f cz średnia ogniskowa dla promieni fioletowych f fiol aberacja chromatyczna podłużna S = f cz f fiol 53-9

101 Tabela 6: Wyznaczanie astygmatyzmu soczewki φ Lp. x 0 x r x p x 0 x r x p x 0 x r x p wartość średnia Astygmatyzm φ równoleżnikowy południkowy pełny x r x 0 x p x 0 x p x r Opracowanie wyników pomiarów podpis: 1. W przypadku wykonywania kilkukrotnych pomiarów ogniskowej soczewki (układu soczewek) f i gdzie i = 1, 2,..., n oblicz wartość średnią f i jej niepewność standardową ze wzoru: n (f i f) 2 i=1 u(f) = n(n 1) 2. Dla wybranego punktu ćwiczenia wykonaj obliczenia niepewności złożonej ogniskowej soczewki (lub układu) u(f) (ze wzoru nr 9, ćwiczenia 0 )

103 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 96: Dozymetria promieniowania gamma Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z podstawami dozymetrii promieniowania jonizującego. Porównanie własności absorpcyjnych promieniowania gamma różnych materiałów. Literatura [1] Bobrowski Cz.: Fizyka, krótki kurs, Warszawa, WNT [2] Zieliński W.(red): Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Kraków, SU 1577 AGH Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Przedstaw i omów prawo rozpadu promieniotwórczego. 2. Rozpad β. Jakie znasz rodzaje rozpadu β, jakie jądro powstaje w wyniku każdego z nich (wyjaśnij na przykładzie 137 Cs)? 3. Zdefiniuj pojęcie dawki, równoważnika mocy dawki i podaj ich jednostki. 4. Zdefiniuj pojęcie aktywności źródła promieniowania i podaj jednostki. 5. Przedstaw prawo absorpcji promieniowania γ w materii co to jest współczynnik absorpcji. 6. Naturalne tło promieniotwórcze omów przyczyny występowania naturalnego tła promieniotwórczego. 7. Do czego służy dozymetr? 8. Jakie znasz rodzaje promieniowania jonizującego. Zaproponuj jakie osłony (materiał oraz grubość) powinno się stosować w celu ochrony człowieka przed tym promieniowaniem Ocena z odpowiedzi: 96-1

105 2 Wprowadzenie W celu ilościowego rozważenia biologicznych skutków oddziaływania promieniowania jonizującego na organizm ludzki, a także umożliwienia ich porównywania wprowadzono takie wielkości charakterystyczne jak: dawka, równoważnik mocy dawki 1. Dawka pochłonięta jest to energia zaabsorbowana przez jednostkę masy napromieniowanej substancji. Jednostką dawki jest grej [Gy], która odpowiada energii 1 J zaabsorbowanej przez masę 1 kg: 1Gy = 1 J/kg. Parametrem, który uwzględnia rodzaj promieniowania absorbowanego w organizmie, jest równoważnik dawki mierzony w siewertach. 1 siewert (1 Sv) jest to dawka absorbowana dowolnego rodzaju promieniowania jonizującego, która wywołuje identyczny skutek biologiczny jak dawka absorbowana 1 Gy promieniowania X lub γ. Równoważnik mocy dawki promieniowania X (γ) w zależności od aktywności źródła można określić za pomocą poniższego wzoru, przy założeniu, że źródło promieniowania jest punktowe. D/t A r r 0 r + r 0 t I γ D t = I γa 2, gdzie: (1) (r + r 0 ) równoważnik mocy dawki (wyrażony w µsv/h) aktywność źródła w bekerelach odległość mierzona od punktowego źródła promieniowania w metrach tzw. odległość zerowa odległość rzeczywista źródło-dozymetr czas w godzinach stała charakterystyczna dla danego izotopu promieniotwórczego uwzględniająca również konieczność ujednolicenia jednostek. Prawo absorpcji promieniowania γ dane jest równaniem µ współczynnik absorpcji [cm 1 ] x grubość absorbenta [cm]. Można wzór (2) podać również w postaci I = I 0 e µx, gdzie: (2) I = I 0 e (µ/ρ)m, gdzie: (3) µ/ρ masowy współczynnik absorpcji [cm 2 /g], ρ gęstość materiału [g/cm 3 ] M masa powierzchniowa [g/cm 2 ]. W powyższym ćwiczeniu przyjmij za I 0 wartość równoważnika mocy dawki (D/t) wyznaczoną bez absorbenta, natomiast za I wartość D/t wyznaczoną dla absorbenta o grubości x. Na rys.96-2 przedstawiono masowe współczynniki absorpcji promieniowania γ dla aluminium, miedzi i ołowiu. Źródła promieniowania γ używane w ćwiczeniu 96: Izotop Czas połowicznego Główne energie zaniku promieniowania γ 81 kev 133 Ba 10,5 lat 303 kev 365 kev 60 Co 5,3 lat 1173 kev 1333 kev 137 Cs 30 lat 662 kev 1 W roku 1995 wprowadzono nową, nieco zmodyfikowaną terminologię dozymetrycznych wielkości charakterystycznych. W opracowaniu nie uwzględniono tych zmian ze względu na to, że dostępna dla studentów literatura używa terminologii tradycyjnej. 96-3

106 Układ pomiarowy Dozymetr wykorzystywany w ćwiczeniu to dawkomierz mikroprocesorowy PM-1203 przeznaczony między innymi do pomiaru mocy równoważnika dawki w µsv/h. Jako detektor promieniowania zastosowano licznik Geigera-Müllera. Na rys.96-1 przedstawiono płytę czołową dawkomierza oraz usytuowanie licznika Geigera-Müllera. Łączna gęstość powierzchniowa ścianki nad objętością czynną licznika wynosi 1 g/cm 3. Pracą wyświetlacza jak i układu zasilania oraz modułem zegara steruje mikroprocesor. Czas pomiaru ustawia się automatycznie, i tak np. dla pomiaru tła naturalnego wynosi 36 s. Rysunek 96-1: Dawkomierz PM Uruchomienie dozymetru : przycisk mode (1) służy do wyboru rodzaju pracy np. odczytu mocy dawki. 2 wskaźnik do odczytu mocy dawki 3 znak pracy przyrządu w trybie dawkomierz. Na rys.96-3 zamieszczono schemat komory pomiarowej. Rysunek 96-2: Masowe współczynniki absorpcji promieniowania γ. 96-4

107 3 Wykonanie ćwiczenia Pomiar mocy równoważnika dawki Rysunek 96-3: Schemat komory pomiarowej. 1. Uruchom dozymetr w obecności prowadzącego zajęcia. Jako wynik każdorazowego pomiaru zapisz maksymalną wartość odczytaną na wyświetlaczu w ciągu czterdziestu sekund pomiaru. 2. Wyznacz tło promieniowania 10-ciokrotnie, a wyniki wpisz do tabeli Wskazane źródło promieniowania umieść w obecności prowadzącego zajęcia w komorze pomiarowej (rys.96-3). 4. Wykonaj pomiary zależności równoważnika mocy dawki od odległości źródło-dozymetr. Odległość zmieniaj w sposób narastający, a następnie malejący, jak zaznaczono w tabeli 2 (wyniki wpisz do tabeli 2). 5. W celu porównania własności absorpcyjnych różnych materiałów wyznacz (dla materiałów wskazanych przez prowadzącego) równoważnik mocy dawki wyznaczany dla zmienianej grubości absorbenta zmienianej (np.) od około 1 mm do około 4 mm. Absorbent powinien być umieszczony między źródłem a dozymetrem. Każdorazowo zmierz grubość absorbenta trzykrotnie, a wyniki pomiarów wpisz do tabeli Wykonaj pomiary opisane w punkcie 4 dla innych źródeł promieniowania wskazanych przez prowadzącego. 7. Wykonaj pomiar równoważnika mocy dawki w pracowni w pobliżu kilku stanowisk, w których stosowane są źródła promieniotwórcze. 96-5

108 Wariant do wykonania (określa prowadzący ): Wykonaj pomiary opisane w punktach...,...,..., dla następujących źródeł promieniowania...,... i absorbentów..., Wyniki pomiarów Tabela 1: Pomiar tła Nr Tło [...] podpis: Tabela 2: Moc równoważnika dawki dla źródła... [...] Odległość Numer pomiaru Odległość Numer pomiaru [cm] [cm] , , , , , ,

109 Tabela 3: Moc dawki dla absorbenta..., źródła promieniowania... i odległości... cm Moc dawki bez absorbenta Moc dawki z absorbentem Grubość Grubość absorbenta [cm] absorbenta [cm] Moc dawki z absorbentem Moc dawki z absorbentem Grubość Grubość absorbenta [cm] absorbenta [cm] odległość... absorbent,... źródło... Moc dawki bez absorbenta Moc dawki z absorbentem Grubość Grubość absorbenta [cm] absorbenta [cm] Moc dawki z absorbentem Moc dawki z absorbentem Grubość Grubość absorbenta [cm] absorbenta [cm] podpis: 96-7

110 5 Opracowanie wyników pomiarów Po wyznaczeniu średniego tła (z dziesięciu pomiarów), które wynosi..., wpisz do tabeli 4 średnie wartości równoważnika mocy dawki wyznaczone na podstawie danych pomiarowych zamieszczonych w tabeli 2. Określ niepewność pomiaru równoważnika mocy dawki jako niepewność standardową typu A: n ilość pomiarów a i kolejny pomiar D/t ā wartość średnia n (a i ā) 2 i=1 u(d/t) =, gdzie a D/t n(n 1) Wykonaj wykres zależności równoważnika mocy dawki od zmierzonej odległości (r) źródło dozymetr na podstawie danych z tabeli 4. Na wykresie nanieś odpowiednie wartości i ich niepewności standardowe za niepewność pomiaru odległości przyjmij r = 0, 2 cm. Tabela 4: Średnie wartości równoważnika mocy dawki dla źródła... Średni równoważnik mocy Średni równoważnik mocy Niepewność dawki dawki D/t po odjęciu tła standardowa u(d/t) Odl.[cm] 0 0,5 1 1,5 2 2, Wyznacz wartość linowego współczynnika absorpcji. Umieść, opracowane następująco, wyniki z tabeli 3 w tabeli 5(oraz w tabeli 6). 96-8

111 Rysunek 96-4: Zależność mocy równoważnika dawki od odległości dla źródła Tabela 5: Średni równoważnik mocy dawki w zależności od grubości absorbenta... Średni równoważnik mocy dawki Grubość absorbenta wartość w [µsv/h] po odjęciu tła średnia [cm] Powyższe dane wykorzystaj do wyznaczenia współczynnika absorpcji µ na podstawie wzoru 2 za I podstawiając średni równoważnik mocy dawki, a za x grubość absorbenta. Skorzystaj z programu regresja eksponencjalna, za x przyjmij grubość absorbenta, a za y wartość średniego równoważnika mocy dawki. Wyznacz: µ =... Oblicz: µ/ρ =... Porównaj uzyskane wyniki z prezentowanymi na rys

112 Zauważ, że µ można również wyznaczyć korzystając z programu regresja linowa (za x przyjmij grubość absorbenta a za y logarytm naturalny wartości średniej równoważnika mocy dawki według wzoru 2). Nachylenie uzyskanej prostej regresji pozwoli na wyznaczenie µ. Załącz uzyskany wykres do sprawozdania (pkt. 5). Niepewność oceny liniowego współczynnika absorpcji określ korzystając z niepewności standardowej określenia współczynnika w wykładniku potęgowym funkcji exp. u(µ) =... u(µ/ρ)=... Tabela 6: Średni równoważnik mocy dawki w zależności od grubości absorbenta... Średni równoważnik mocy dawki Grubość absorbenta wartość w [µsv/h] po odjęciu tła średnia [cm] Powyższe dane wykorzystaj do wyznaczenia współczynnika absorpcji µ na podstawie wzoru 2, podstawiając w nim za I średni równoważnik mocy dawki, a za x grubość absorbenta. Skorzystaj z programu regresja eksponencjalna, za x przyjmij grubość absorbenta, a za y wartość średniego równoważnika mocy dawki. Wyznacz: µ =... Oblicz: µ/ρ =..., µ =... Porównaj uzyskane wyniki z prezentowanymi na rys. 2. Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 96-10

113 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 121: Termometr oporowy i termopara Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika temperaturowego oporu platyny oraz pomiar charakterystyk termopary miedź-konstantan. Literatura [1] Massalski J., Fizyka dla inżynierów, PWN, Warszawa [2] Halliday D., Resnick R., Fizyka, Tom 1. PWN (rok wydania dowolny). [3] A. Zięba (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej, cz. 1, SU1608, AGH, Kraków Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Wymień zjawiska fizyczne wykorzystywane do pomiaru temperatury. 2. Opisz zjawiska Seebecka oraz Peltiera. 3. Omów prawa przepływu prądu elektrycznego. 4. Omów skale temperatur. 5. Uzasadnij celowość szeregowego łączenia termopar. 6. Podaj sposób pomiaru siły elektromotorycznej. 7. Dlaczego do opracowania danych pomiarowych w niniejszym ćwiczeniu stosujemy metodę regresji? Ocena z odpowiedzi: 121-1

115 Rysunek 121-1: Typowa zależność oporności elektrycznej metalu od temperatury. 2 Wprowadzenie Opór elektryczny metali Opór elektryczny metalu jest wynikiem rozpraszania elektronów na atomach sieci krystalicznej. Według kwantowej teorii przewodnictwa w doskonale periodycznym układzie atomów fala elektronowa nie ulegałaby rozproszeniu i dlatego oporność doskonałego kryształu w temperaturze 0 K powinna zmaleć do 0. W realnych kryształach za rozpraszanie elektronów odpowiedzialne są dwa mechanizmy: zderzenia z fononami czyli kwantami drgań cieplnych sieci. Ze wzrostem temperatury rośnie energia drgań sieci, przybywa fononów i wzrasta prawdopodobieństwo zderzenia z nimi. W dość szerokim zakresie temperatur opór elektryczny metalu rośnie liniowo z temperaturą; zderzenia z defektami sieci krystalicznej lub atomami domieszek. Mechanizm powyższy tłumaczy występowanie niezależnej od temperatury oporności resztkowej, R reszt, metalu. Oporność resztkowa przybiera szczególnie duże wartości w stopach. Zależność oporności metalu od temperatury, w zakresie temperatur pokojowych, można wyrazić wzorem R(t) R 0 (1 + α t). (1) gdzie t temperatura w C, α temperaturowy współczynnik oporu, a R 0 opór w temperaturze zera C. Dla większości czystych metali α 1/273 C 1. W dokładniejszych pomiarach wprowadza się więcej członów do szeregu potęgowego R(t) R 0 (1 + α t + β t 2 ). (2) Do konstrukcji termometrów nadają się metale o dużym współczynniku temperaturowym oporu, wysokiej temperaturze topnienia, wysokiej czystości, odporności na korozję, nie wykazujące strukturalnych i magnetycznych przejść fazowych, łatwe w obróbce. W praktyce powszechnie stosuje się trzy metale, których zakresy użytkowania, punkty topnienia i współczynniki temperaturowe pokazano na rys Czujnik winien cechować się stałością własności elektrycznych i mechanicznych. Przykłady różnych konstrukcji czujników pokazano na rys Zamknięcie czujnika w osłonie poprawia jego stabilność ale pogarsza dynamikę odpowiedzi. Szybkość reakcji typowych czujników leży w zakresie 0,1 10 s, jednak możliwe jest wykonanie czujnika o stałej czasowej rzędu milisekund. Platynowe termometry oporowe pozwalają na uzyskanie dokładności pomiarów rzędu 0, 01 K w stosunku do punktów skali IPTS ( International Practical Temperature Scale). Wartości oporu czujników są raczej małe ( Ω ). Przewody doprowadzające mają również skończone opory, zależne od temperatury, a więc mogą stanowić źródło błędów. Przy użyciu specjalnych mostków i przy zachowaniu specjalnych środków ostrożności można, dla czujników o oporze 100 Ω, wykrywać zmiany oporu 1 µω

116 Rysunek 121-2: Dane o materiałach zwykle stosowanych w termometrach oporowych. Rysunek 121-3: Różne postacie metalowych czujników termoelementów oporowych. Napięcie termoelektryczne W układzie dwóch różnych przewodników 1 i 2, połączonych jak na rys.121-5a, powstaje napięcie termoelektryczne (napięcie Seebecka) o wartości proporcjonalnej do różnicy temperatur spoin T A i T B. Napięcie to traktujemy jako różnicę dwóch napięć kontaktowych pojawiających się na stykach metali w spoinach A i B. Napięcia kontaktowe spowodowane są różnymi wartościami energii Fermiego metali przed ich połączeniem. Wartość napięcia kontaktowego zależy, chociaż stosunkowo słabo, od temperatury. Pomiar napięć kontaktowych, których typowa wielkość wynosi V/K, wymaga użycia czułych woltomierzy cyfrowych oraz eliminacji szkodliwego wpływu dodatkowych złącz powstających na stykach przewodów obwodu pomiarowego. W obwodzie pokazanym na rys.121-5b wpływ dodatkowego przewodnika (3 jednego lub więcej) na pomiar siły termoelektrycznej przewodników 1 i 2 można wyeliminować zapewniając równość temperatur w złączach B i B. W pomiarach bardzo dokładnych, (rozdzielczość rzędu nanowoltów), napięcie termoelektryczne musi być mierzone bez poboru prądu, metodą kompensacyjną. Eliminuje się wówczas błąd wynikający z efektu Peltiera powodującego ogrzewanie się lub chłodzenie spoiny pomiarowej pod wpływem przepływającego prądu. Wzrost czułości pomiaru można uzyskać przez szeregowe połączenie kilku termopar w obwód, tak aby wszystkie złącza odniesienia były utrzymywane w temperaturze otoczenia (lub 0 C), a wszystkie złącza pomiarowe w temperaturze badanej. Zespół taki, nazywany termostosem, pozwala mierzyć 121-4

117 Rysunek 121-4: Układ pomiarowy do cechowania termometru oporowego i termopary. krótkoczasowe zmiany temperatury rzędu kilku µk. Charakterystyki termopary podaje się w postaci tabeli lub aproksymuje wzorami o postaci zależnej od przyjętego zakresu temperatur i wymaganej dokładności E a (t) a t + b t 2 (3) lub E a (t) a t + b t 2 + c t 3. (4) Zaletami termopar są: niskie koszty, duży zakres mierzonych temperatur ( 0K 2500K), małe wymiary, krótki czas reakcji. Własności najczęściej stosowanych termopar pokazano na rys i Układ pomiarowy ćwiczenia Istotnymi elementami układu pomiarowego są: 1. Termometr platynowy ma postać spirali oporowej wykonanej z bardzo cienkiego drutu platynowego umieszczonej w szczelnie zamkniętej ceramicznej rurce. Kontakt elektryczny ze spiralą i odpowiednią wytrzymałość mechaniczną zapewniają końcówki połączeniowe wykonane z grubszego, srebrzonego drutu, (wariant (c) z rys.121-3). 2. Termopara wykonana jest ze spojonych drutów: miedzianego i konstantanowego o małej średnicy (0,2 mm). Konstantan to stop o składzie: 60%Cu + 40%Ni. Stosowanie drutów o małej średnicy zapobiega odprowadzeniu ciepła z obiektu którego temperatura jest mierzona oraz zwiększa szybkość reakcji termopary na zmiany temperatury. Dla zabezpieczenia przed uszkodzeniem złącza pomiarowe i odniesienia umieszczono w rurkach szklanych połączonych rurką z polietylenu. 3. Łaźnia laboratoryjna Używana w ćwiczeniu łaźnia laboratoryjna typu MLL 1147 pozwala na utrzymywanie stałej temperatury kąpieli wodnej w zakresie 20 C do 100 C z dokładnością ±1,5 C. Sygnalizacja optyczna łaźni obejmuje: grzanie wody dolna czerwona lampka, osiągnięcie temperatury zadanej lampka zielona, przekroczenie temperatury zadanej gaśnie lampka zielona a zapala się górna czerwona, kontrolę ilości wody w zbiorniku świecenie się lampki żółtej wskazuje na za małą ilość wody w zbiorniku

118 Rysunek 121-5: Obwody elektryczne zawierające: a) przewodniki wykonane z dwóch różnych metali; b) przewodniki wykonane z trzech różnych metali;. Rysunek 121-6: Zakresy zastosowań popularnych termoelementów. Rysunek 121-7: Orientacyjne krzywe cechowania dla różnych termopar. (Oznaczenia jak na rys.121-6). 3 Wykonanie ćwiczenia Zestaw układ pomiarowy pokazany na rys Złącze termopary odniesienia winno znajdować się w stałej temperaturze 0 C w otoczeniu topniejących kawałków lodu. Uwaga! W przypadku mieszaniny dużej ilości wody i małej lodu, lód pływa po powierzchni

119 Temperatura wody na dnie naczynia przy braku odpowiedniego mieszania może wówczas wzrosnąć do kilku stopni powyżej zera. 1. Zmierz wartości napięcia termoelektrycznego E termopary i oporności R opornika platynowego w ustalonej temperaturze początkowej (pokojowej). 2. Zwiększaj stopniowo nastawę regulatora temperatury łaźni wodnej, co 5 C, w zakresie od temperatury otoczenia do 95 C. Po każdorazowym ustaleniu się temperatury odczytaj wskazania woltomierza i omomierza. Wyniki wpisz do tabeli 1. 4 Wyniki pomiarów Tabela 1. Zestawienie wyników pomiarów oraz obliczeń pomocniczych Temperatura Oporność Napięcie E/t E a (t) at + bt 2 Lp. t [ C] platyny termoelektryczne [mv/ C] [mv] R [Ω] E [mv] 5 Opracowanie wyników pomiarów 1. Wykonaj wykres R(t) dla opornika platynowego, (rys.121-8). podpis: 2. Wyznacz prostą regresji a następnie wartość i odchylenie standardowe temperaturowego współczynnika oporu platyny. 3. W oparciu o dane doświadczalne oblicz i nanieś na rys wartości stosunku E/t dla poszczególnych temperatur. Do punktów na wykresie dopasuj w sposób graficzny linię prostą. Z wykresu określ wartości współczynnika nachylenia i rzędną początkową prostej, będące odpowiednio współczynnikami a i b wzoru (3) dla badanej termopary. 4. Wykonaj wykresy E(t) oraz E a (t) dla badanej termopary (rys ). Obliczone wartości temperaturowego współczynnika oporności i jego odchylenie standardowe wynoszą α = σ α =

120 Oporność, [Ω] Temperatura, [ o C] Rysunek 121-8: Zależność oporności rezystora platynowego od temperatury. E/t, [mv/c] Temperatura, [ o C] Rysunek 121-9: Zależność oporności stosunku E/t od temperatury. Wyznaczone graficznie współczynniki równania (2) wynoszą a = b =

121 E, Ea, [mv] Temperatura, [ o C] Rysunek : Porównanie charakterystyk termopary: E doświadczalna, E a obliczona ze wzoru (3). Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 121-9

122 Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 123: Półprzewodnikowe złącze p-n Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z własnościami warstwowych złącz półprzewodnikowych p-n. Wyznaczanie charakterystyk stałoprądowych dla diod germanowych, krzemowych i stabilizujących. Literatura [1] Zięba A. (red), Pracownia Fizyczna Wydziału Fizyki i Techniki Jądrowej SU1648, AGH, Kraków 2002 (ew. wydania wcześniejsze). [2] Bobrowski Cz.,Fizyka krótki kurs. Warszawa, WNT 1995 Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis 1. Klasyfikacja ciał stałych ze względu na przewodnictwo elektryczne 2. Różnice między półprzewodnikami samoistnymi i domieszkowymi. 3. Zasada działania warstwowego złącza p-n. 4. Charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego złącza p-n. 5. Rodzaje nośników ładunku w przewodnikach i półprzewodnikach. 6. Sposoby wykorzystania własności złącz p-n oraz rodzaje elementów (przyrządów) półprzewodnikowych. 7. Opisz zjawisko Zenera oraz jego wykorzystanie w przyrządach półprzewodnikowych. Ocena z odpowiedzi: 123-1

124 2 Wprowadzenie Równanie prądowo-napięciowe złącza p-n (model dyfuzyjny Shockleya). ( ) ] eu I = I S [exp 1 kt (1) gdzie: I natężenie prądu złącza, U napięcie polaryzacji zewnętrznej złącza, I S teoretyczny prąd nasycenia złącza, jego natężenie zależy od rodzaju półprzewodnika, jego parametrów technologicznych i konstrukcyjnych, kt/e potencjał termiczny złącza ( 26 mv, dla T = 300 K). Powyższe równanie określa zależność natężenia prądu od zmian zewnętrznego napięcia sterującego, czyli określa tzw. statyczną charakterystykę prądowo-napięciową dla idealnego złącza p-n. Polaryzując złącze w kierunku przewodzenia napięciem U > 0, 1 V możemy w powyższym wzorze pominąć jedynkę i otrzymamy czystą zależność wykładniczą. Polaryzując złącze w kierunku zaporowym, zwiększamy szerokość bariery potencjału złącza, co powoduje znaczne obniżenie składowej dyfuzyjnej prądu. Wypadkowy prąd przy takiej polaryzacji, dla napięć U < 0, 1 V, osiąga nasycenie i jest równy prądowi nasycenia I s. Natężenie prądu zaporowego dla krzemowych złącz rzeczywistych znacznie odbiegają od wartości dla złącza idealnego. W tych przyrządach o natężeniu prądu zaporowego dominują zjawiska powierzchniowe i upływności złącza. Charakterystyka prądowo-napięciowa złącza jest silnie nieliniowa. Złącze ma własność jednokierunkowego przewodzenia. Ma bardzo dużą oporność przy polaryzacji zaporowej oraz małą przy polaryzacji w kierunku przewodzenia. Taką cechę złącza wykorzystuje się w diodach półprzewodnikowych, stosowanych powszechnie w energetyce i elektronice w celach prostowniczych. Układ pomiarowy W ćwiczeniu mierzy się prąd płynący przez diodę w funkcji przyłożonego napięcia. Do pomiaru natężenia prądu służy wielozakresowy przyrząd uniwersalny o dużej czułości typu V-640, lub równoważny o czułości prądowej co najmniej 1 na. Pomiar napięcia odbywa się przy użyciu dowolnego woltomierza cyfrowego. Schemat układu płyty ćwiczeniowej przedstawiono na rysunku Dołączamy do niej zasilacz stabilizowany oraz wymienione wyżej przyrządy pomiarowe. Na płycie ćwiczeniowej znajduje się przełącznik polaryzacji złącza, przełącznik rodzaju badanej diody oraz 10-cio obrotowy potencjometr umożliwiający płynną i precyzyjną zmianę wartości napięcia oraz natężenia prądu złącza. 3 Wykonanie ćwiczenia 1. Zestaw układ pomiarowy według rysunku Prowadzący ćwiczenia sprawdza układ przed włączeniem zasilania. Przyrząd uniwersalny V-640 używany jest jako amperomierz dla pomiaru dużego natężenia prądu w kierunku przewodzenia oraz dla pomiaru bardzo małych natężeń, na zakresach na dla kierunku zaporowego. Aby uchronić przyrząd przed zniszczeniem należy przed każdym pomiarem ustawić go na największy zakres pomiarowy i następnie dobrać, w trakcie pomiaru, optymalny zakres pracy przyrządu. Przyrząd V-640 posiada przyciski + i - umożliwiające zmianę polaryzacji. Przyrząd należy wyzerować dla każdego używanego zakresu pomiarowego

125 2. Wykonaj pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla polaryzacji w kierunku przewodzenia i w kierunku zaporowym dla jednego z poniżej podanych wariantów: (a) diody germanowej i krzemowej (b) diody germanowej, krzemowej i Zenera (c) diody germanowej, krzemowej i diody nieznanego rodzaju (DX) Wykonaj pomiary dla wariantu... podpis: Rysunek 123-1: Schemat płyty ćwiczeniowej. 1. Charakterystyki przy polaryzacji w kierunku przewodzenia: mierzymy napięcie na poszczególnych diodach dla wartości natężenia prądów określonych w tabeli Charakterystyki przy polaryzacji zaporowej dla diody germanowej i krzemowej: mierzymy natężenie prądu przy ustalonych napięciach polaryzacji zaporowej określonych w tabeli Charakterystyki dla diody Zenera w kierunku zaporowym: mierzymy napięcie przy wymuszonym natężeniu prądu wstecznego dla wartości określonych w tabeli W przypadku diody DX : przy pomiarach dla kierunku zaporowego, po osiągnięciu natężenia prądu I S > 100 µa należy przejść na pomiar napięcia przy ustawianym natężeniu prądu, czyli tak jak dla diody Zenera

126 4 Wyniki pomiarów Tabela 1: Pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla kierunku przewodzenia I Napięcie U [V]; diody: [ma] germanowa krzemowa Zenera dioda DX 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 2,0 3,0 5,0 7,0 10,0 podpis: Tabela 2. Pomiary charakterystyk prądowo-napięciowych dla kierunku zaporowego U Natężenie prądu zaporowego diod: I Napięcie zaporowe diod: [V] germanowa krzemowa dioda DX [ma] Zenera dioda DX [µa] [na] [...] [V] [V] 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,5 0,5 0,7 0,7 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0 7,0 7,0 8,0 8,0 9,0 9,0 10,0 10,0 U z [V] Z 123-5

127 5 Opracowanie wyników pomiarów 1. Narysuj wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych, log(i) = f(u), dla wszystkich zmierzonych diod dla polaryzacji przewodzenia na jednym wspólnym polu rysunkowym nr Narysuj wykresy I = f(u) przy polaryzacji zaporowej dla diody germanowej, krzemowej i diody DX. Wszystkie wykresy wykonaj na polu rysunkowym nr.123-3a. 3. Dla diody Zenera i ewentualnie diody DX wykonaj wykresy na polu rysunkowym nr.123-3b. 4. Określ napięcie stabilizowane U Z diody Zenera. Wartość tego napięcia dla diod małej i średniej mocy ustalamy umownie dla natężenia prądu zaporowego diody I Z = 5 ma. Otrzymane wyniki wpisz w dolnej części tabeli nr Oblicz współczynnik Z stabilizacji napięcia dla diod Zenera. Współczynnik ten jest określony jako iloraz Z = R/r, oporności statycznej diody, R = U Z /I Z dla I Z = 5 ma, do oporności dynamicznej, r = U/ I. Przyrosty U i I powinny być określone w bezpośrednim otoczeniu I Z. 6. W przypadku realizowania wariantu C ćwiczenia, określ na podstawie wyznaczonych charakterystyk rodzaj badanej diody DX. Z 1 = Z X = Otrzymane wyniki zestaw w tabeli nr 2. Wnioski: Uwagi prowadzącego: Ocena za opracowanie wyników: ocena podpis 6 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa 123-6

128 Rysunek 123-2: Wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych diod polaryzowalności w kierunku przewodzenia

129 Rysunek 123-3: Wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych diod polaryzowalności w kierunku zaporowym: a)dla diody germanowej i krzemowej, b)dla diody Zenera

Pokazać jeszcze