Trójwymiarowy obraz ryzyka

Transkrypt

1 Krzysztof PIASECKI Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Trójwymiarowy obraz ryzyka Problem badawczy W (Buckley, 1987) i (Calzi, 1990) zaproponowano reprezentowanie wartości przyszłych inwestycji finansowych przy pomocy liczb rozmytych. Z propozycji tej w udany sposób korzystało następnie szereg badaczy dyskutując poszczególne rodzaje reprezentacji rozmytej wartości przyszłej i wskazując na przydatność tego pojęcia w finansach behawioralnych. Konsekwencją takiego podejścia jest między innymi przedstawianie stopy zwrotu z inwestycji jako liczby rozmytej. Wykorzystywanie takiej postaci stopy zwrotu w zarządzaniu finansami prowadzi do prognozowania rozmytych wartości stóp zwrotu. Formalnym obrazem takich prognoz są zbiory probabilistyczne (irota, 1981). W niniejszej pracy zostanie zaprezentowana pewna koncepcja reprezentacji ryzyka obciążającego stopę zwrotu prognozowaną w powyższy sposób. 1. Podstawowe pojęcia Rozważania nasze ograniczymy do rodziny 0,1 R wszystkich podzbiorów rozmytych w przestrzeni liczb rozmytych. Dowolny rozmyty podzbiór A 0, 1 R reprezentować będziemy przy pomocy jego funkcji przynależności A : R 0,1. W całej pracy zakładać będziemy, że działania sumy, iloczynu i dopełnienia zbiorów rozmytych zostały określone w sposób zaproponowany pierwotnie przez L. A. Zadeha. Liczbą rozmytą (Dubois, Prade, 1979) nazywamy każdy podzbiór rozmyty M 0, 1 R spełniający dodatkowo warunki x x 1 0 R : M 0, (1) x, z R : y min x, z y. () M M M Niech będzie dana ustalona przestrzeń probabilistyczna,, P. Wtedy dowolny probabilistyczny zbiór (irota, 1981) liczb rzeczywistych Ĥ jest dany jako rodzina R 0,1 : indeksowana przez zdarzenia elementarne. zbiorów rozmytych Każdy zbiór rozmyty jest reprezentowany przy pomocy funkcji przynależności, : R 0,1 jednoznacznie przez indeksowaną rodzinę funkcji przynależności, : R 0,1. Oznacza to, że zbiór probabilistyczny Ĥ jest reprezentowany. Stopień przynależenia dowolnej liczby rzeczywistej do zbioru probabilistycznego Ĥ określamy wtedy jako funkcję x, : 0,1. Dodatkowo zakładamy tutaj, że stopień przynależenia dowolnej liczby rzeczywistej do zbioru probabilistycznego jest zmienną losową na ciele zdarzeń losowych. W szczególnym przypadku dowolną zmienną losowej : R na możemy jednoznacznie opisać przy pomocy zbioru probabilistycznego ˆ reprezentowanego przez poniższą rodzinę funkcji przynależności

2 1 x, : x, (3) 0 x. ˆ 0, 1 : R 0,1 Oczekiwaniami zbioru probabilistycznego Ĥ nazywamy zbiór rozmyty R reprezentowany w jednoznaczny sposób przez funkcję przynależności określoną przy pomocy tożsamości, dp (4) x x i nazywaną dalej rozkładem oczekiwań. Jeśli zbiór probabilistyczny ˆ reprezentuje zmienna losową : R, to wtedy rozkład jego oczekiwań jest identyczny z funkcją gęstości rozkładu zmiennej losowej. Założenie, że zbiór probabilistyczny Ĥ jest reprezentowany przez indeksowaną rodzinę liczb rozmytych nie jest warunkiem dostatecznym na to, aby oczekiwania były liczbą rozmytą. Dla dowolnego podzbioru rozmytego A 0, 1 R wprowadzamy pojęcie wartości przeciętnej A x R A zdefiniowanej w następujący sposób A x dx. (5) Jeśli zbiór probabilistyczny ˆ reprezentuje zmienna losową : R, to wtedy wartość przeciętna jego oczekiwań ˆ jest identyczna z wartością oczekiwaną zmiennej losowej. Stanowi to przesłankę do uogólnienia pojęcia wartości oczekiwanej do przypadku dowolnego probabilistycznego zbioru Ĥ liczb rzeczywistych. Wartością oczekiwaną probabilistycznego zbioru Ĥ liczb rzeczywistych nazywamy liczbę Ĥ daną przy pomocy zależności ˆ x x, ˆ dpdx. (6) R Przyjęcie powyższej definicji oznacza, że wartość oczekiwaną identyfikujemy z wartością przeciętną oczekiwań. Posługiwanie się wartością oczekiwaną zamiast posługiwaniem się oczekiwaniami jest co prawda prostsze, ale oznacza rezygnację z dużej części dostępnej wiedzy. Dlatego wartym zalecenia jest zawsze poszerzenie analizy opartej na wartościach oczekiwanych o analizę opartą o rozkłady oczekiwań..model reprezentacji inwestycji Niech będzie dany zbiór elementarnych stanów rynku finansowego obejmujących też stany wiedzy ekspertów i inwestorów o tymże rynku finansowym. Dla pewnego ciała zdarzeń losowych P : 0,1. Jeśli znany jest rozkład prawdopodobieństwa - -

3 posiadane informacje o rynku finansowym nie pozwalają na sprecyzowanie takiego rozkładu, to wtedy możemy się posłużyć zasadą totalnej ignorancji Walda. Rozważamy efekty zainwestowania w pewien ustalony instrument finansowy na zadany okres czasu. Każdemu elementarnemu stanowi przypisujemy elementarną prognozę stopy zwrotu z tego instrumentu daną jako liczba rozmyta r reprezentowana przez funkcję przynależności, : R 0,1. W ten sposób otrzymujemy probabilistyczny zbiór R ˆ r : nazywany dalej prognozą stopy zwrotu. Zakładamy tutaj, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x R jej stopień x, przynależności do prognozy stopy zwrotu Rˆ jest zmienna losową. Korzystają teraz kolejno z (4) i (6) wyznaczamy rozkład oczekiwań stopy zwrotu : R 0,1 dany przy pomocy tożsamości x x, dp, (7) oraz oczekiwaną stopę zwrotu r R x x, dpdx. (8) Zauważmy tutaj, że zastąpienie porównywania oczekiwanych stóp zwrotu poprzez porównywanie rozkładów oczekiwań prowadzi do uogólnienia kryterium dominacji stochastycznej (Bava,1975) do przypadku rozmytej relacji określonej na zbiorze stóp zwrotu prognozowanych przy pomocy zbiorów probabilistycznych. Korzystanie z prognozy stopy zwrotu przy zarządzaniu inwestycjami finansowymi jest między innymi obarczone ryzykiem niepewności wynikającym z niewiedzy na temat przyszłego stanu 0 świata finansowego. Cechy tego ryzyka zwyczajowo określa się przy pomocy analizy właściwości kwadratu różnicy pomiędzy poszczególnymi prognozami stopy zwrotu a oczekiwana stopą zwrotu. W przypadku prognoz stopy zwrotu danych jako liczby rozmyte, dla dowolnego stanu kwadrat różnicy elementarnej rozmytej prognozy stopy zwrotu r i oczekiwanej stopy zwrotu r jest liczbą rozmyta opisaną przy pomocy funkcji przynależności max r x,, r x, x, x 0, (9) 0 x 0. W ten sposób kwadrat różnicy prognozy stopy zwrotu Rˆ i oczekiwanej stopy zwrotu r został przedstawiony jako probabilistyczny zbiór ˆ jednoznacznie określony przez rodzinę funkcji przynależności (9) nazywany dalej kwadratem residuum stopy zwrotu.. Korzystają teraz kolejno z (4) i (6) wyznaczamy rozkład oczekiwań kwadratu residuum : R 0,1 dany przy pomocy tożsamości x x, dp, (10) oraz oczekiwany kwadrat residuum stopy zwrotu - 3 -

4 R x x, dpdx. (11) W przypadku elementarnych prognoz stopy zwrotu danych jako zmienne losowe, oczekiwany kwadrat residuum stopy zwrotu jest identyczny z wariancją stopy zwrotu. Dlatego wartość (11) nazywać będziemy wariancją stopy zwrotu także w przypadku rozmytych prognoz tejże stopy. Zarówno wariancja jak i rozkład oczekiwań kwadratu residuum mogą być wykorzystane jako oceny ryzyka niepewności. W ten sposób dowolny portfel dopuszczalny w teorii Markowitza może być reprezentowany przez parę lub przez parę R r, R 0, 1 r, R. W przypadku pierwszej pary zbiór portfeli efektywnych jest górna gałęzią krzywej Markowitza. Rodzi to pewne trudności aplikacyjne, gdyż inwestorzy inwestują na ogół w portfele lezące poniżej gałęzi portfeli efektywnych, a więc z punktu widzenia tej teorii w portfele nieefektywne. Natomiast w przypadku, kiedy ryzyko niepewności jest opisane przy pomocy rozkładu oczekiwań kwadratu residuum stopy zwrotu, zbiór portfeli efektywnych staje się podzbiorem rozmytym o nośniku rozpiętym nad zbiorem wszystkich portfeli niezdominowanych. W praktyce oznacza to, ze prawie każdy dostępny na rynku portfel dopuszczalny jest w pewnym stopniu portfelem efektywnym. Opis taki może służyć wyjaśnieniu bardziej efektywny sposób. r, R0, 1 R sposobu działania inwestorów, którzy zawsze działają w mniej lub Oznacza to, że oparcie teorii Markowitza na parze pozwala stworzyć modele formalne bliższych realiom rynku finansowego. Z tego powodu jako obraz ryzyka niepewności przyjmiemy rozkład oczekiwań kwadratu residuum : R 0,1. Korzystanie z prognozy stopy zwrotu danej jako probabilistyczny zbiór R ˆ r :, pociąga za sobą jeszcze ryzyko korzystania z informacji nieprecyzyjnej. Formalnym obrazem niejednoznacznej oceny stopy zwrotu jest rozkład oczekiwań stopy zwrotu : R 0,1 dany przy pomocy tożsamości (7). Każdą z wartości rozkładu oczekiwań x interpretujemy jako ocenianą w ujęciu logiki wielowartościowej wartość logiczną zdania Stopa zwrotu osiągnie wartość x. Wielu badaczy przedmiotu (np. Klir,1993) w obrazie nieprecyzyjności pojedynczej informacji wyróżnia niewyrazistość informacji oraz wieloznaczność informacji. Niewyrazistość informacji interpretujemy jako brak jednoznacznego rozróżnienia pomiędzy daną informacją i jej zaprzeczeniem. Jak istotne jest ryzyko niewyrazistości, łatwo można się przekonać prowadząc samochód we mgle. Ryzyko niewyraźności wynikające z - 4 -

5 niewyrazistości oczekiwań stopy zwrotu oceniamy przy pomocy miary entropowej zaproponowanej w (Czogała, Gottwald, Pedrycz, 1981). Przy przyjętych na wstępie założeniach o działaniach teoriomnogościowych miara ta jest równa miarom entropowym zaproponowanym w (Kaufmann, 1975) lub (Yager, 1979). Ryzyko niewyraźności obciążające stopę zwrotu oceniamy zatem przy pomocy miary entropii stopy zwrotu x, x min 1 dx. (1) R Pożądanym jest oczywiście korzystanie z prognoz stóp zwrotu o możliwie niskiej entropii. Niejednoznaczność informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego wyróżnienia pomiędzy wieloma wskazanymi alternatywami jednej rekomendowanej alternatywy. Jak istotne jest ryzyko niejednoznaczności chyba najlepiej przekonał się król Krezus pytając Pytię z Delft o efekty wywoływanej przezeń wojny z Cyrusem. Ryzyko niejednoznaczności wynikające z rozkładu oczekiwań stopy zwrotu oceniamy przy pomocy miary energetycznej zaproponowanej w (de Luca, Termini, 1975) i określonej w tym przypadku przy pomocy zależności x dx. (13) R Także i tutaj pożądanym jest korzystanie z prognoz stóp zwrotu o możliwie niskiej energii. Reasumując, globalne ryzyko obciążające stopę zwrotu przedstawiamy jako wektor,, 0,1 R R oceniający ryzyko niepewności, ryzyko niewyraźności i ryzyko niejednoznaczności. Jak już wspomniano, dwa ostatnie ryzyka składają się na ryzyko nieprecyzji oceniane przy pomocy wektora, R. Im mniejsze ryzyko nieprecyzji, tym wyższa efektywność informacji zebranych na temat badanej stopy zwrotu. W porównaniu z klasyczną teorią Markowicza nieprecyzja jest nowym aspektem oceny ryzyka. Powstaje tutaj natychmiast pytanie, czy takie poszerzenie oceny ryzyka jest celowym. Za uwzględnieniem w badaniu ryzyka nieprecyzji przemawiają dwa argumenty. Primo, jak wiemy zawsze istnieje możliwość ograniczenia ryzyka niepewności prognozy poprzez odpowiednie manipulacje obniżające precyzję prognozy. Niedościgłą mistrzynią była tutaj wspominana już Pytia z Delft, która odpowiedziała Krezusowi: Zginie duże królestwo. Krezus wszczynając wojnę unicestwił własne królestwo. Ryzyko - 5 -

6 niepewności wróżby Pytii było niewielkie. Pokonane królestwo najprawdopodobniej byłoby unicestwione. Jak wiemy, Krezus w swych planach nie uwzględnił ryzyka nieprecyzji. Jego los przekonuje nas, że popełnił tutaj błąd. Nie popełniajmy na rynkach kapitałowych błędu Krezusa. Secundo, uwzględnienie ryzyka wieloznaczności pozwoli odrzucać te z pośród wariantów inwestycyjnych, które co prawda są atrakcyjne z punktu widzenia klasycznej teorii Markowitza, ale niestety zebrane na ich temat informacje są nieprecyzyjne. Innymi słowy mówiąc, proponowany w tej pracy trójwymiarowy obraz ryzyka pozwala odrzucać warianty inwestycyjne dające prawie pewne wysokie zarobki w sytuacji, gdy tak naprawdę nasza wiedza na temat tych wariantów jest nie wiele warta. Miraż Eldorado zostaje w ten sposób odrzucony. Bibliografia Bawa V.(1975), Optimal rules for ordering uncertain prospects, Journal of Financial Economics, s Buckley I.J.(1987), The fuzzy mathematics of finance, Fuzzy Sets and Systems 1, s Calzi M.L. (1990), Towards a general setting for the fuzzy mathematics of finance, Fuzzy Sets and Systems 35, s Czogała E., Gottwald S., Pedrycz W. (1981), On the concepts of measures of fuzziness and their application in decision making, 8 th Trenniol World Congress IFAC, Kyoto. Dubois J., Prade., (1979), Fuzzy real algebra: some results, Fuzzy Sets and Systems, s irota K. (1981), Concepts of probabilistic sets, Fuzzy Sets and Systems 5, s Kaufmann A. (1975), Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets, Vol.1 Fundamental Theoretical Elements, Academic Press New York. Klir G.J. (1993), Developments in uncertainty-based information, w Yovits M. (red.). Advances in Computers 36, s de Luca A., Termini S. (1979), Entropy and energy measures of fuzzy sets, w: Gupta M.M., Ragade R.K., Yager R.R. (red.): Advances in Fuzzy Set Theory and Application, North oland Amsterdam. Yager R.R. (1979), On the measure of fuzziness and negation, Part I: Membership in the unit interval, School of Business Administration Rep RRy , New Rochele

7 Trójwymiarowy obraz ryzyka Streszczenie Prognoza wartości stopy zwrotu jest dana jako probabilistyczny zbiór irota. Wtedy stopa zwrotu jest obciążona trzema rodzajami ryzyka: ryzykiem niepewności, ryzykiem niewyraźności i ryzykiem wieloznaczności. Ryzyka te są mierzone odpowiednio przez wariancję, miarę entropii i miarę energii. Three dimensional image of risk Abstract Forecast of return rate value is given as irota s probabilistic set. Then return rate is weighted by three kinds of risk: uncertainty, indistinctness and ambiguity. These risks are quantified respectively by dispersion, entropy measure and energy measure