PREWENCYJNE STRATEGIE WYMIAN TAŚM PRZENOŚNIKOWYCH 1. WPROWADZENIE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PREWENCYJNE STRATEGIE WYMIAN TAŚM PRZENOŚNIKOWYCH 1. WPROWADZENIE"

Transkrypt

1 strtegie wymin, wyminy rewencyjne, odnowy cykliczne, odnowy w ustlonym wieku tśmy rzenośnikowe, wyminy tśm, regenercj tśm Leszek JURDZIA* PREWENCYJNE STRATEGIE WYMIAN TAŚM PRZENOŚNIOWYCH Omówiono dotychczs oublikowne w literturze rewencyjne strtegie wymin tśm rzenośnikowych: 1. Wyminy tśm n rzenośniku w kmieniołomie orte n histogrmie częstości wrii tśm. 2. Proozycje bdczy niemieckich umożliwijące: określenie otymlnego okresu wymin tśm z wykorzystniem ciągłych rozkłdów, minimlizcję kosztów ekslotcji tśmy orzez lnowe nrwy i wyminy orz wyzncznie otymlnego momentu wyminy w systemie eksertowym. 3. Zroonowne rzez utor wyminy rewencyjne uwzględnijące rozwrstwinie się tśm i możliwość ich regenercji. W komentrzch rzedstwiono wdy i zlety kżdej strtegii orz ogrniczeni i możliwości ich rktycznego wykorzystni. 1. WPROWADZENIE Skl trnsortu ciągłego w górnictwie odkrywkowym i odziemnym orz wysokie koszty tśm rzenośnikowych zmusiły kolnie do rowdzeni rcjonlnej gosodrki tśmmi rzenośnikowymi. Jednym z rzejwów tego było wyrcownie różnorodnych olityk wymin tśm, w tym ortych n regenercji tśm orz corz owszechniejsze stosownie systemów informcyjnych i informtycznych wsomgjących rocesy zrządzni ekslotcją trnsortu tśmowego. Anlizując olitykę wymin tśm rzenośnikowych stosowną rzez różnych użytkowników możn wyróżnić trzy zsdnicze jej tyy [12]: I. Ekslotcj tśm do cłkowitego zużyci (mksymlizcj czsu rcy tśmy) - wyminy tśm nstęują o wrich tśmy lub cłkowitym jej zużyciu. Zdemontowne tśmy są "złomowne". Przykłdem mogą być niewielkie kmieniołomy o krótkich drogch trnsortowych. II. Stosownie wymin rewencyjnych zewnijących odowiedni stoień bezieczeństw ciągłości rcy systemu trnsortowego - tśmy wymienine są o wrii lub osiągnięciu stnu krytycznego o rzekroczeniu, którego niezwodność systemu stje się niekcetown. Zdemontowne tśmy są "złomowne" lub odsrzedwne od- * Instytut Górnictw Politechniki Wrocłwskiej, l. Tetrlny 2, 5-51 WROCŁAW

2 biorcom z olityką wymin tyu I, n. wymin tśm w kolnich węgl kmiennego lub wymin tśm o osttniej regenercj w kolnich węgl bruntnego. III. Stosownie wymin rewencyjnych zewnijących ołclną regenercję demontownych tśm - tśmy wymienine są o wrii lub osiągnięcie stnu, o rzekroczeniu, którego regenercj rzestje być ołcln, n. wymin tśm w kolnich odkrywkowych węgl bruntnego. Omówione olityki wymin (zwłszcz rewencyjne tyu II i III) zostły wyrcowne w rktyce w celu obniżeni kosztów ekslotcji trnsortu tśmowego rzez różnych użytkowników i dl odmiennych wrunków. Ołclność dnej olityki wymin w dużej mierze zleży od włściwego określeni momentu demontżu tśmy. Obecnie decyzję o wyminie odejmuje się jedynie w orciu o wizulną ocenę stnu tśmy w trkcie rutynowych kontroli rzenośników. Ocen tk dotyczy tylko zewnętrznych cech tśmy i nie uwzględni degrdcji jej rdzeni (w tym zchodzących w tśmie zmin zmęczeniowych). Brk jsno i dokłdnie srecyzownych kryteriów demontżu tśmy wływ n znczną subiektywność i nierecyzyjność wyboru momentu wyminy. Podjęcie decyzji otymlnej ekonomicznie jedynie w orciu o intuicję i doświdczenie jest więc mło rwdoodobne. Mjąc n uwdze losowy chrkter rocesu zużywni się tśmy niektórzy utorzy strli się wyznczyć otymlny moment wyminy tśmy n odstwie znjomości rozkłdu jej trwłości i rchunku kosztów jej ekslotcji. Pierwsze modele obsług (wymin) rofilktycznych obiektów technicznych chrkteryzujących się losowymi uszkodzenimi ojwiły się od koniec lt ięćdziesiątych w Stnch Zjednoczonych. Od tego czsu ż do dni dzisiejszego cieszą się one dużym zinteresowniem n cłym świecie, zwłszcz w krjch wysoko rozwiniętych, zwrcjących szczególną uwgę n ekonomiczne sekty rzedsięwzięć technicznych. W kolejnych rozdziłch rzedstwione zostną roozycje różnych strtegii wymin tśm rzenośnikowych wrz z komentrzem dotyczącym ich rzydtności w olskich wrunkch. 2. WYMIANA TAŚMY NA PRZENOŚNIU W AMIENIOŁOMIE W książce [16] rzedstwiono nlizę ołclności zstosowni różnych strtegii wymin n rzenośniku tśmowym trnsortującym urobek sklny w kmieniołomie z urządzeni smowyłdowczego do kruszrki. oszt wyminy wryjnej wrz z kosztmi rzestoju wynosił $6, odczs gdy koszt wyminy rewencyjnej dokonywnej w czsie lnowego ostoju jedynie $25. Dl odnych rwdoodobieństw uszkodzeni tśmy w dnym okresie czsu (tbel 1) rzenlizowno ołclność różnych strtegii wymin: 1. Dokonywnie nrw rzywrcjących jedynie wrtość użytkową - wymin tśmy o wrii, 2. Prowdzenie konserwcji zobiegwczej - wymin tśmy w rzewidzinych, stłych terminch niezleżnie od uszkodzeni (odnow rewencyjn okresow, cykliczn, klendrzow),

3 3. Prowdzenie konserwcji zobiegwczej - wymin tśmy o uływie określonego czsu ekslotcji od orzedniej wyminy (odnow rewencyjn w ustlonym wieku). Tbel 1 Numer okresu: Okres ekslotcji w dnich: Prwdoodobieństwo uszkodzeni odczs osttnich 5 dni ( i ) Dl ierwszej strtegii obliczony wg zleżności (1) średni okres ekslotcji wyniósł 21.6 dni, oczekiwny koszt n jednostkę czsu $27.8 dziennie (2). ET (1) = 6 i= 1 ' T i i = (2) ET ET - oczekiwny czs ekslotcji bez rowdzeni wymin rewencyjnych, liczb dni, T i - środek nlizownych rzedziłów czsowych, T 1 = 2.5 dni, T 2 = 7.5 dni itd., i - rwdoodobieństwo uszkodzeni w dnym rzedzile czsu, 1 =.2, 2 =.3 itd., - oczekiwny koszt ekslotcji bez rowdzeni wymin rewencyjnych n jednostkę czsu rcy, $/dzień, - koszt wyminy wryjnej, $6. W drugiej strtegii minimlny koszt ekslotcji wynoszący $2.33 n dzień (3) uzyskłoby się rzy wyminch w stłych okresch co 15 dni. H ( T ) + i ( Ti ) = (3) Ti 6 H ( T ) = EN( T ) = P( T ) (4) i i i= 1 i P( T ) = i i + 2 j k + 6 l m n +... j + k = i, j, k = 1,..., i 1 l + m + n = i, l, m, n = 1,..., i 2 itd (5)

4 (T i ) - oczekiwny koszt rowdzeni wymin rewencyjnych n jednostkę czsu rcy rzy wyminch tśmy w stłych okresch co T i dni, $/dzień, H(T i ) - funkcj odnowy dl okresu T i, - koszt wyminy rewencyjne, $25, EN(T i ) - oczekiwn ilość wymin wryjnych tśmy w okresie T i, P(T i ) - rwdoodobieństwo ojwieni się wrii w okresie T i. Dl wymin w ustlonym wieku njtniej byłoby wymienić tśmę o rzercowniu rzez nią 2 dni. Obliczony koszt wymin wyniósłby bowiem jedynie $19.9 n jeden dzień rcy tśmy. ( T ) i ( T ) + x i x i = (6) ET i (1 ( T )) (T i ) x k ( T ) (7) = k i= 1 - koszt rowdzeni wymin rewencyjnych n jednostkę czsu rcy rzy wyminch tśmy o rzercowniu T i dni (w wieku T i ), $/dzień, x (T i ) - łączne rwdoodobieństwo uszkodzeni do czsu T i, ET i - rzeciętny okres ekslotcji, ET 1 =2.5 dni, ET 2 =7.5 dni, ET 3 =12.5 dni, itd. OMENTARZ Anlizowne w rzykłdzie strtegie wymin mogą być z owodzeniem stosowne zrówno rzez użytkowników stosujących olitykę wymin tyu ierwszego jk i drugiego. Pierwsz strtegi, wymin tśmy jedynie o wrich, odowid olityce wymin ierwszego tyu. W rzykłdzie wyznczono koszty jej rowdzeni dl rzydku dyskretnego - oisni rozkłdu trwłości tśmy histogrmem, nie dobrnym rozkłdem ciągłym. Strtegi wymin okresowych, choć rozwżn w tym rzykłdzie, jest zzwyczj droższ od wyminy w ustlonym wieku, gdyż liczb odnów w tej osttniej olityce jest sttystycznie mniejsz [15]. Polityk okresow umożliwi jednk równoczesną wyminę obiektów, co w orównniu z wyminą indywidulną obniż jednostkowy koszt odnowy. W tej sytucji korzystne może być wykonnie nwet większej liczby odnowień, jeśli ich łączny koszt będzie niższy od kosztu mniejszej liczby odnowień indywidulnych. Z tką sytucją nie mmy jednk miejsc w rzydku tśm, bowiem indywidulną wyminę ojedynczego odcink możn rwie zwsze wykonć w rzerwch między zminmi (n. w kolni odziemnej) lub n zminie nieroboczej w trkcie lnownego ostoju. Dltego nie m większych różnic omiędzy jednostkowymi kosztmi wyminy gruowej, kosztmi wyminy indywidulnej. Wymin w ustlonym wieku (kt.3) ndje się do stosowni w olityce wymin tyu drugiego. Ort jest bowiem n różnicy kosztów wyminy wryjnej i rewencyjnej orz ryzyk ojwieni się wymin wryjnych. Przedstwiony rzykłd dotyczy wrwdzie i

5 rzydku dyskretnego wykorzystującego znjomość histogrmu trwłości tśmy, jednk zrówno sosób odejści jk i uzyskne wyniki łtwo mogą być uogólnione dl rozkłdów ciągłych. Zgdnienie to omwino w rcy [4]. Zmodyfikowną wersję wyminy w ustlonym wieku dl olityki wymin tyu drugiego rzedstwiono w rcy [13], dl użytkowników stosujących regenercję tśm w rcy [11]. 3. PROPOZYCJE BADACZY NIEMIECICH 3.1. OREŚLENIE OPTYMALNEGO ORESU OBSŁUG PRZENOŚNIÓW NA POCZCIE Wyznczeniem otymlnego okresu wykonywni obsług rzenośników tśmowych zjmowł się m.in. Fisher. W rcy [4] rzedstwił nlizę obsług rzenośników rcujących w sortowni listów w centrli ocztowej w NRD. Przenośniki te, będące częścią ukłdu mechnicznego sortowni, uniemożliwiły jego srwną rcę. N odstwie dnych o wrich 21 tśm rzenośnikowych utworzony zostł histogrm częstości ich wrii. Dobrny rozkłd ciągły czsu rcy tśm zostł wykorzystny do wyznczeni otymlnego okresu obsług (wymin tśm). W rcy rzedstwiono dw wrinty obsług okresowych: zleżnych i niezleżnych od wieku (or. rys. 1). Szczegółowo roztrzono jednk jedynie wrint ierwszy tzn. elstyczną strtegię zstęstw w określonym wieku (rys.1). Strtegię sztywnych zstęstw (rys.1b) ominięto odsyłjąc do litertury rzedmiotu. ) PVI PVI SI PVI t b) d d d d t d d d d d d PVI MI PVI MI PVI Rys.1. Schemtyczne rzedstwienie rewencyjnych strtegii obsług w sztywnych okresch [4] () zleżnych od wieku z wyminą tśmy, (b) niezleżnych od wieku z obsługą rzywrcjącą stn tśmy. PVI (Plnmäsig Vorbeugende Instndhltung) - lnow obsług urzedni, SI (Störungsinstndsetzung) - - nrw wymuszon, MI (Minimlinstndhltung) - obsług minimln (ogrniczon). Fig.1. Schemtic resenttion of reventive mintennce strtegies in fixed eriods [4] () time deended with belt relcement, (b) time indeendent with mintennce recovering the revious

6 stte PVI lnned reventive mintennce, SI forced reir, MI miniml mintennce (restricted). W odróżnieniu od orzednich utorów w modelu obsług uwzględniony zostł czs rzerowdznych nrw: wyminy rewencyjnej d i wyminy wryjnej d (8). ( ) R( ) + d R( ) + = d F( ) F( ) + R( t) dt (8) () - koszt rowdzeni obsług rewencyjnych w stłych okresch - w wieku, DM/mies., - koszt wykonni obsługi rofilktycznej, DM, R() - rwdoodobieństwo rzercowni okresu bez wrii, funkcj niezwodności, - koszt wykonni obsługi wryjnej, DM, F() - dystrybunt rozkłdu czsu rcy tśmy rzenośnikowej, d - czs trwni obsługi rofilktycznej (wyminy rewencyjnej), - czs trwni obsługi wryjnej (wyminy wryjnej), d = ET R( t) dt - oczekiwny okres ekslotcji rzy wyminch w wieku, mies. Otymlny okres obsług zewnijący minimlny koszt n jednostkę czsu rcy możn wyznczyć orzez rzyrównnie ierwszej ochodnej kosztu do zer. Obliczeni rowdzą do równni djącego otymlne wrtości = (9). Równnie to może osłużyć do numerycznego wyznczeni, jeśli znmy ostć rozkłdu F(). λ ( ) R( t) dt F( ) = (9) W rzydku, gdy czsy obsługi rofilktycznej i wryjnej są identyczne lub brdzo młe w orównniu do oczekiwnego czsu rcy tśmy to możn je ominąć i zleżność (9) nieco się urości: d λ ( ) R( t) dt Q( ) = (1) Z orównni zleżności (8) i (9) lub (1) możn obliczyć minimlne koszty. ( ) λ( ) ( ) = (11) 1+ ( d d ) λ( ) d

7 ) = ( ) λ( ) (12) ( Orócz wyznczeni okresu obsług rofilktycznych zewnijącego njniższe koszty n jednostkę czsu utor nlizowł również możliwość mksymlizcji dysozycyjność rzenośnik mierzonej wsółczynnikiem gotowości V(): V ( ) = d R( ) + d R( t) dt F( ) + R( t) dt (13) Procedur oszukiwni ekstremum, tym rzem mksimum, dorowdz do równni otymlizującego: d λ ( ) R( t) dt Q( ) = (14) d d Pozwl również n odnie wzoru n mksymlną gotowość: 1 V ( ) = 1+ λ( )( d d ) (15) Równni otymlizcyjne (9, 1 i 14), co wykzł Beichelt [2, 3], mją tylko jedno jednoznczne rozwiąznie, gdy intensywność wrii tśmy jest monotonicznie rosnąc i sełniony jest wrunek: d ( ) > d d λ (16) Wszystkie równni otymlizcyjne (9, 1 i 14) mją zbliżon ostć: ) λ ( ) R ( t) dt Q( = M (17) M - stł rzyjmując różne wrtości w zleżności od rowdzonej rocedury otymlizcyjnej: minimlizcji kosztów M k lub mksymlizcji gotowości M g (odowiednie rwe strony równń otymlizcyjnych 9 lub 1 i 14). Dl niektórych rozkłdów rozwiąznie równni (17) możn znleźć w sosób nlityczny [4]. Dl wielu rzydków konieczne jest jednk zstosownie metod numerycznych

8 lub skorzystnie ze secjlnie rzygotownych tblic lub digrmów n. dl rozkłdu Weibull i normlnego [6]. W rcy Fisher n odstwie dnych emirycznych o czsch rcy 21 tśm rzenośnikowych utworzony zostł histogrm częstości ich wrii. Dobrny rozkłd ciągły czsu rcy tśm N(µ=45 mies., σ =13 mies.) zostł wykorzystny do wyznczeni otymlnego okresu obsług (wymin tśm). Z koszty lnowej obsługi urzedniej (PVI) w rcy rzyjęto koszty rc obsługowych orz strty sowodowne rzestojem, z koszty obsług wryjnych (SI) te sme skłdniki. Z uwgi n fkt wykonywni rzy wyminie wryjnej tych smych czynności obsługowych co w wyminie rofilktycznej, lecz bez wcześniejszego ich zlnowni rce te trwją zzwyczj dłużej co owoduje, że strty są większe. Obliczeni rzykłdowe rzerowdzono dl trzech wrtości stłej M k równej.2,.1 i.1. Jeśli rzed urządzeniem stwine są wymgni wysokiej niezwodności względnie dysozycyjności to możn rzerowdzić otymlizcję wsółczynnik gotowości. Drog t jest również stosown, gdy wyznczenie odowiednich kosztów jest utrudnione. W tym wydku konieczne jest zidentyfikownie czsów obsług rofilktycznych i wryjnych. Jest oczywiste, że czs obsług wryjnych jest dłuższy od obsług rofilktycznych. Do obliczeń rzykłdowych rzyjęto M g równe.2,.1 i.1. orzystjąc ze secjlnego digrmu dl unormownego rozkłdu normlnego możliwe stło się wyznczenie wrtości z będącej rozwiązniem równni otymlizującego (17). Okres obsług możn wtedy wyznczyć ze wzoru: = µ + zσ (18) W tbeli 2 zebrno wyniki rzykłdowych obliczeń dl różnych wrtości M. Tbel 2 M / lub d /d z [lt] V( ) Wyniki z tbeli 2 jednozncznie wskzują w jki sosób zmieni się otymlny okres obsług w zleżności od stosunku / lub d /d. W rzydku obliczeń minimlnych kosztów okzło się, że nie m tu odowiedniej skli orównwczej jką jest n. sdek dl nlizy gotowości. OMENTARZ Przedstwione w rcy otymlizcj jest odowiedni dl drugiego tyu olityki wymin tśm. Jest bowiem ciągłym odowiednikiem metody zroonownej rzez Strk. Zroonown w rcy metod rozwiązywni równń otymlizcyjnych dl unormownego rozkłdu normlnego może być, dzięki swej rostocie, rktycznie wykorzystn. Podobne digrmy dl rozkłdu Weibull są dostęne w rcy [2, 6]. Przy nlizie kosztów wyminy rewencyjnej utor nie uwzględnił strt sowodownych wcześniejszym

9 demontżem srwnej tśmy. Czynnik ten zmniejszjący wzjemny stosunek obu kosztów m z ewnością wływ n otymlny okres obsług - wydłuż go. Ciekwą roozycję stnowi otymlizcj gotowości tśm rzenośnikowych orzez dobór włściwego okresu ich obsług (wymin). Może on mieć zstosownie w kolnich odziemnych, w których czs wymin rofilktycznych rowdzonych w okresie omiędzy zminmi jest nieistotny w orównniu do czsu wyminy wryjnej rowdzonej n zminie roboczej. Tśm jest wtedy njczęściej wyełnion urobkiem i z ostojem związne są strty wydobyci. Oisn i rzenlizown strtegi wymin (obsług) nie uwzględni jednk możliwości regenercji tśm. Z uwgi n krótki okres trwni wyminy w orównniu do trwłości tśmy (kilk godz. w orównniu do kilku lt) otymlizcj gotowości nie jest njszczęśliwsz. Wływ czsu wyminy możn również ominąć rzy minimlizcji kosztów i stosowć zleżność (1) zmist (9) MINIMALIZACJA OSZTÓW ESPLOATACJI TAŚM PRZENOŚNIOWYCH POPRZEZ PLANOWE NAPRAWY I WYMIANY W rcy [5] zroonowno inne odejście do roblemu wyznczeni otymlnego ekonomicznie momentu wyminy. Anlizowno zminę kosztów zkuu i nrw tśmy n rzenośniku w czsie jej ekslotcji. Przyjęto, że stnowią one sumę dwóch skłdników: + mλ( t) ( t) = (19) t - koszt demontżu strej tśmy orz zkuu i instlcji nowej, zł, rzyjęto, że są one niezleżne od czsu, ntomist koszt /t jest stle mlejący (rys.3), - średni koszt nrwy tśmy wykonnej n rzenośniku, zł, m t = Λ( t) λ ( t) dt - oczekiwn liczb drobnych nrw tśmy n rzenośniku od momentu jej złożeni do czsu t, koszty nrw rzydjące n jednostkę czsu m Λ(t)/t są rosnące (rys.3), gdyż λ(t) - intensywność ojwini się uszkodzeń tśmy wymgjących nrw n rzenośniku jest również funkcją rosnącą (rys.2). W rcy złożono, że drobne nrwy uszkodzeń tśmy wykonne n rzenośniku jedynie rzywrcją funkcjonlne włsności tśmy srzed nrwy i nie wływją istotnie n oleszenie stnu cłej tśmy, który ogrsz się z uływem czsu (rys.2). Pozwoliło to skorzystnie z metod otymlizcyjnych rzedstwionych o rz ierwszy rzez Brlow [1]. Przy złożeniu, że rozkłd czsu rcy do nrwilnego uszkodzeni jest rozkłdem Weibull z rmetrmi α i β w rcy rzedstwiono otymlny czs t, o którym nleży tśmę wymienić n nową:

10 / m α 1 t β α = (2) dl intensywności uszkodzeń λ(t) rzedstwionej wzorem (21): α-1 α t λ( t ) = (21) β β λ (t) Moment wyminy tśmy n rzenośniku Momenty nrw drobnych uszkodzeń tśmy t (1) t (2) t (n-1) t (n) T Rys. 2. Intensywność uszkodzeń tśmy z drobnymi nrwmi [5] Fig. 2. Filure rte with smll reirs [5] Κ(t) t Sum kosztów min Λ( m t ) t t o T Rys. 3. Model zminy skłdników kosztów ozwljący wyznczyć otymlny moment wyminy [5] Fig. 3. Model of cost comonents chnges enbling determintion of otimum relcement time [5] λ( α β α-1 t ) = ' t (22)

11 Dl intensywności uszkodzeń rzedstwionej wzorem (22) ostć otymlnego momentu wyminy t będzie nieco inn (23): = / m β '( α 1) t α (23) OMENTARZ Przedstwion metod wyznczni otymlnego ekonomicznie momentu wyminy tśmy rzenośnikowej wymg zidentyfikowni ostci i rmetrów rozkłdu ojwini się drobnych uszkodzeń tśmy w trkcie jej rcy n rzenośniku. Dotychczs w stosownych w olskich kolnich systemch informtycznych nie rejestruje się momentów wystąieni drobnych uszkodzeń i kosztów związnych z ich nrwmi. Nie możn więc wdrożyć tej metody od rzu w rktyce. Do tego celu konieczne jest utworzenie bzy dnych o historii wszystkich nrw kżdego odcink tśmy zwierjącej tkie informcje jk momenty ojwieni się uszkodzeń od chwili zmontowni tśmy n rzenośniku, ich rodzj orz koszty rzerowdzonych nrw. Nie jest to łtwe zdnie, gdyż rejestrcj dnych tego tyu owoduje znczny wzrost ilości informcji w bzie związnych z kżdym odcinkiem tśmy. Dodtkowo ilość dnych jest zmienną dynmiczną, gdyż nie możn z góry rzewidzieć ile nrw i jkiego rodzju zostnie wykonnych n ojedynczym odcinku. łooty te możn jednk obejść stosując dynmiczne struktury dnych rzy tworzeniu komuterowej bzy [9]. Zncznie owżniejszym mnkmentem rezentownej metody jest jednk rzede wszystkim brk uwzględnieni regenercji tśm, t jest rzecież owszechnie stosown w kolnich odkrywkowych węgl bruntnego w Polsce. Metod t nie jest również dostosown do drugiej olityki wymin tśm. Nie uwzględni bowiem wymin wryjnych i strt z nimi związnych. W oryginlnej formie może być więc zstosown jedynie w ierwszej olityce wymin od wrunkiem, że koszty wymin wryjnych rzydjące n jednostkę trwłości tśmy rzy zniedbniu obsług nrwczych tśmy będą wyższe od minimlnych kosztów wymin rewencyjnych rzy rowdzeniu drobnych nrw rzedłużjących jej trwłość. Problem jki może ojwić się rzy róbie wdrożeni tej metody to konieczność dimetrlnej zminy stosunku użytkownik do obsługiwni tśm od zniedbywni wszelkich obsług do ełnej dbłości i odnotowywni kżdej, nwet drobnej nrwy w secjlnie rzygotownym systemie informcyjnym lub informtycznym, którego do tej ory wcle nie było METODA WYBORU OPTYMALNEGO MOMENTU WYMIANY TAŚMY ZASTOSOWANA W SYSTEMIE ESPERTOWYM N oczątku lt dziewięćdziesiątych n Uniwersytecie Technicznym we Freibergu orcowny zostł system eksertowy do identyfikcji i interretcji uszkodzeń tśm rzenośnikowych [7, 8]. Jeden z modułów tego systemu, odrogrm OEZ (Otiml Erstzzeitunktes) rzeznczony jest do wyznczni otymlnego momentu wyminy tśmy rzenośnikowej.

12 Autor krytycznie ocenił dotychczsową rktykę stosowną w kolnich. W obsłudze tśm jest bowiem owszechnie rzyjęte wyzncznie momentu wyminy n drodze emirycznej orzez ocenę ogólnego stoni jej zużyci. Zdnie to wykonuje njczęściej doświdczony inżynier, który oleg rzede wszystkim n swoich subiektywnych zdolnościch oceny. Przynosi to niekorzystne konsekwencje. Pomij się bowiem rodukcyjnoekonomiczne kryteri oceny, wybór momentu wyminy tśmy oier się jedynie n kryterich techniczno-orgnizcyjnych. Do wyznczeni otymlnego momentu wyminy owinny być wzięte od uwgę wszystkie znne kryteri. W wrunkch gosodrki rynkowej sekty techniczno-orgnizcyjne muszą więc zostć odorządkowne ocenie zorientownej n koszty. Uwzględnijąc te złożeni odczs tworzeni modułu OEZ udło się, wg utor, owiązć rezultty konwencjonlnych lgorytmów z kryterimi oceny eksert. Częstotliwość uszkodzeń tśm uzyskn dzięki nlizie sttystycznej wcześniejszych dnych m osłużyć w systemie eksertowym do rognozowni oszcowń oczekiwnych kosztów rc obsługowych w nstęnych okresch. Wielkości sodziewnych nkłdów mją istotne znczenie rzy wyznczeniu momentu wyminy tśmy. Progrm zlec zdemontownie tśmy jeśli zostnie sełnione jedno z dwóch nstęujących wrunków: 1. Techniczny stn tśmy rzenośnikowej zgrż dlszemu użytkowniu tśmociągu i wymg ełnej regenercji tśmy względnie definitywnego jej demontżu. 2. Okresowe rzeciętne nkłdy dl nowej tśmy będą niższe od oczekiwnych nkłdów w ndchodzącym okresie dl strej tśmy (24 i 25). ( w ) G n (24) n t n w Qt ( 1+ i) + Rn (1 + i) I Qn + Rn (1 + i) Rn 1 (25) t = 1 - wrtość kitłu, wrtość bieżąc kosztu zkuu i ekslotcji nowej tśmy rzez n lt, w - wsółczynnik renty rocznej (or. 26), G n - dotychczsow wrtość grniczn strego urządzeni, i - obliczeniow sto rocentow, n - okres, Q t - okresow ndwyżk w roku t (Periodenüberschuß in jedem Jhr t), Q n - okresowy ndwyżk w roku n, R n - wrtość odzyskn, wrtość resztow odsrzedży, I - wydtki n zku (inwestycj). OMENTARZ Nim rzejdziemy do omówieni zroonownej strtegii nleży srecyzowć definicję wsółczynnik renty rocznej orz wyjśnić ewne wątliwości dotyczące odnych wzorów. Wsółczynnik renty rocznej nzywny również wsółczynnikiem odzyskni kitłu

13 (citl-recovery fctor) [17] służy do obliczeni stłej, okresowej ołty (renty łtnej rzez n okresów), stnowiącej ekwiwlent kitłu, gdy znn jest jego wrtość bieżąc. n i(1 + i) w ( i, n) = (26) n (1 + i) 1 W rtykule utor osługuje się okresem rocznym, jednk z uwgi n trwłość tśm, wynoszącej do kilku lt, leiej mówić o okresch miesięcznych. Otymlny moment wyznczony będzie wtedy zncznie recyzyjniej. Zleżności (24) i (25) budzą ewne wątliwości. Z równni (24) wynik, że utor trktuje wszelkie koszty jko liczby ujemne. W rtykule nie wyjśniono dokłdnie znczeni Q t orz Q n - skłdników równni (25). Jeśli są to koszty ekslotcyjne tśmy (koszty oercyjne, obsługowe i nrw) w dnym roku lub okresie to owinny mieć tki sm znk jk koszty zkuu i montżu tśmy I. Mją jednk znk rzeciwny, tki sm jk wrtość odzyskn z odsrzedży zużytej tśmy R. Nleży więc rzyuszczć, że jest to różnic rzychodu jki rzynosi rc tśmy i kosztów jej ekslotcji. Nie jest to njszczęśliwsze rozwiąznie, gdyż odobnie jk trudno jest oszcowć strty sowodowne rzestojem wryjnym rzenośnik tk smo trudno jest wyliczyć jkie zyski rzynosi jego użytkownie. Leiej jest więc rzy wyznczniu otymlnego momentu wyminy skuić się wyłącznie n kosztch i trktowć Q jko koszty ekslotcji tśmy. Szkod, że utor w rtykule nie rozwinął i nie omówił brdziej szczegółowo wszystkich skłdników kosztów w równniu (25), gdyż możn by odowiednio je definiując stworzyć strtegie odowiednie zrówno dl drugiego jk i trzeciego tyu olityki wymin tśm. Przedstwion w tej rcy metod jest nowoczesnym odejściem do zgdnień wymin okresowych zlecnym rzez secjlistów od finnsów [n. 17]. Uwzględni bowiem zmienną wrtość ieniądz w czsie. Powinn być też rowdzon o oodtkowniu o czym utor rtykułu nie wsomnił. Wiąże się z tym srw mortyzcji tśmy i wysokości odtków, które mją istotny wływ n decyzje finnsowe obejmujące również wybór njkorzystniejszego momentu wyminy tśmy. Generlnie zroonown metod orócz wrowdzeni finnsowego unktu widzeni nie różni się niczym od metody zroonownej w rcy [5]. Wzór (25) jest rktycznym lgorytmem oszukiwni minimum sumy kosztów zkuu i montżu tśmy orz jej ekslotcji uwzględnijącym zmienną wrtość ieniądz w czsie. Minimum to może być znlezione nlitycznie tk jk zroonowł to Frnke o wrowdzeniu ciągłej stoy dyskontowni i odowiedniego zmodyfikowni wzoru (19). W obu metodch konieczne jest dobrnie rozkłdu częstości drobnych uszkodzeń w celu wyznczeni kosztów ekslotcyjnych w kolejnych okresch użytkowni tśmy. Niestety w zroonownej metodzie nie widć zowidnego zintegrowni ocen eksert z konwencjonlnymi lgorytmmi wyznczni otymlnego momentu wyminy. Ocen, z oisu odnego w rtykule, rzebieg bowiem dwutorowo. W module OEZ wyznczny jest otymlny moment wyminy n odstwie ktulnych kosztów zkuu nowych tśm i historycznych dnych o kosztch ekslotcji. Ntomist w ozostłych modułch systemu eksertowego nlizowne są szczegółowe dne o uszkodzenich i dokonnych nrwch tśmy. Jeśli są one zbyt duże to system zlec wyminę wcześniej

14 niż wynikłoby to z wyliczonego otymlnego okresu. Wcześniej sełniony jest bowiem wrunek 1. System zbeziecz więc użytkownik rzed zbyt óźną wyminą tśmy gdy m on do czynieni z tśmą gorszej jkości, zużywjącą się zncznie szybciej niż ozostłe. Niestety w dlszym ciągu jest w nim możliwe zbyt wczesne zdjęcie tśmy jkością rzewyższjącą wcześniej użytkowne. Tśm tk zużyw się wolniej dltego ierwszy wrunek zostnie sełniony zncznie óźniej niż wskzywłby n to ekonomicznie uzsdniony moment wyminy wyznczony w module OEZ. Ten zś, orty n dnych historycznych dotyczących tśm gorszej jkości, może okzć się zbyt wczesny. Tego błędu możn uniknąć rognozując rzyszłe koszty ekslotcji tśmy nie n odstwie częstotliwości uszkodzeń tśm wcześniej zdjętych tśm, lecz jedynie n odstwie dotychczsowych kosztów ekslotcji nlizownej tśmy. oszty ekslotcji dobrej jkości tśmy są zncznie niższe dltego moment sełnieni wrunku (25) odsunie się dlej w rzyszłość. Prognoz rzyszłości n odstwie dnych jednostkowych jest jednk wrżliw n rzydkowe zburzeni. Wystrczy bowiem, że nrw rzydkowego uszkodzeni będzie dosyć kosztown i może to od rzu sowodowć rzysieszenie decyzji o demontżu choć nrw w ełni rzywrócił włsności użytkowe tśmy. Generlnie zroonown metod jest interesując i wnosi nowe sojrzenie n roblem wyboru otymlnego momentu wyminy tśmy rzenośnikowej. Wymg jednk dorcowni wielu szczegółów by mogł efektywnie być zstosown w olityce wymin tśm uwzględnijącej regenercję. W rzedstwionej metodzie zgdnienie to nie jest wcle oruszone, nie uwzględni się bowiem korzyści z regenercji tśm. 4. PROPOZYCJE WYMIAN PREWENCYJNYCH UWZGLĘDNIAJĄCYCH ROZWARSTWIANIE SIĘ TAŚM I MOŻLIWOŚĆ ICH REGENERACJI W rcy [13] jko kryterium otymlizcyjne rzy wyminch tśm w kolnich odziemnych rzyjęto, odobnie jk w [4, 16] minimlizcję oczekiwnego kosztu ekslotcji tśmy n jednostkę jej trwłości (4.1). Przy czym z mirę trwłości nie rzyjęto czsu rcy tśmy, lecz ilość wykonnych rzez nią cykli obiegów wokół rzenośnik. ( n) R( n) + F( n) ( n) = n (27) R( m) dm (n) - oczekiwny koszt wyminy odcink tśmy rzydjący n jednostkę ilości jego cykli wokół rzenośnik (trktownej jko mir trwłości tśmy), (n)- koszt wyminy rewencyjnej, - koszt wyminy wryjnej, F(n) - dystrybunt trwłości odcink tśmy, R(n) - niezwodność odcink tśmy, R(n) = 1 - F(n),

15 n R( m) dm - oczekiwn liczb cykli wykonnych rzez odcinek tśmy wymieniny rewencyjnie o n cyklch. Wrunkiem koniecznym ołclności stosowni wymin rewencyjnych w orciu o wyżej wymienione kryterium jest chrkteryzownie się obiektu niemlejącą funkcją intensywności uszkodzeń orz niższymi kosztmi wyminy rewencyjnej w orównniu do kosztów wyminy wryjnej. Ob wrunki są w rzydku tśmy rzenośnikowej sełnione. Funkcj intensywności uszkodzeń odowidjąc rozkłdowi Weibull o rmetrze α > 1 jest rosnąc (w rcy rzyjęto do rozwżń rozkłd normlny, gdyż wyniki rcy [12] nie były jeszcze znne) - tśm jest bowiem obiektem strzejącym się, koszty wyminy rewencyjnej są z ewnością mniejsze od kosztów wyminy wryjnej, gdy do tych osttnich doliczone zostną strty sowodowne nielnownym ostojem (w olityce wymin tyu II). Problem kosztów obu rodzjów wymin był rzedmiotem szczegółowych rozwżń w rcy [13]. Przez oznczno tm koszty wyminy rewencyjnej, rzez koszty wyminy wryjnej. Oczywiście zchodzi zleżność: <. Decydujący wływ n tą nierówność mją czsy trwni wymin i wiążące się z nim strty sowodowne ostojem. Czs trwni wyminy rewencyjnej (2-3 godz.) w kolnich rud miedzi jest zncznie krótszy od czsu wyminy wryjnej (5-6 godz.). Wymin wryjn ociąg więc z sobą wyłączenie rzenośnik i wszystkich go orzedzjących w ciągu n rwie cłą zminę. Wcześniej rzygotown i dokonn w okresie między zminmi wymin rofilktyczn rktycznie nie zkłóc rytmiczności wydobyci. N cłkowite koszty wyminy wryjnej skłd się sum trzech skłdników: = w + t + S (28) w - koszty techniczno-osobowe oercji wyminy tśmy w wrunkch wryjnego ztrzymni rzenośnik, t - koszty nowej (zkłdnej) tśmy orz - strty sowodowne ostojem wryjnym. S N koszt wyminy rewencyjnej skłdją się koszty techniczno-osobowe wyminy tśmy w okresie lnownego ostoju lub okresie omiędzy zminmi ( w ), koszty zkłdnej tśmy ( t ) orz strty wynikłe ze zdjęci tśmy srwnej, ndjącej się jeszcze do użytkowni rzez ewien okres czsu (S ). = w + t + S (29) Wsólnymi skłdnikmi kosztów dl obu rodzjów wymin są koszty zkłdnej tśmy. Pozostłe skłdniki są istotnie różne. Nwet koszty techniczno-osobowe obu wymin nie są w ogólnym rzydku jednkowe. Przenośnik ztrzymny wryjnie jest njczęściej wyełniony urobkiem co zncznie zwiększ nkłd rcy n wyminę tśmy i usunięcie

16 urobku zrzuconego n obocze trsy. Jedynie w szczególnych i stosunkowo rzdkich rzydkch ob koszty możn uznć z równe. Słuszn jest więc zleżność: w <= w (3) W obecnych wrunkch kłootliwe dl odowiednich służb kolninych byłoby wyznczenie średnich strt sowodownych ostojem dnego rzenośnik. Wynik to z niewłściwie rowdzonej klsyfikcji ostojów wryjnych (w celu zmniejszeni ilości tych osttnich ) orz brku lub nieełnych rozliczeń finnsowych wydobyci. Przy rzetelnie rowdzonej dokumentcji ekslotcji rzenośników i wydobyci urobku wyznczenie średnich strt sowodownych wryjną wyminą tśmy n oszczególnych rzenośnikch nie nstręczłoby żdnych trudności. Istotne w ocenie strt jest owiąznie ich ze strukturą systemu trnsortowego tzn. z umiejscowieniem rzenośnik w ciągu trnsortowym. Oczywiste jest bowiem, że strty sowodowne ostojem rzenośnik w odstwie głównej są dużo większe niż strty wynikłe z ztrzymni rzenośnik oddziłowego. Słuszne może więc być indywidulne wyzncznie otymlnych momentów wyminy tśm dl różnych rzenośników. W celu obliczeni strt sowodownych zdjęciem srwnej tśmy nleży zuwżyć, że w chwili wyminy rewencyjnej odcinek wykonł n cykli wokół rzenośnik. Znjąc rozkłd ilości wykonywnych rzez tśmę cykli wokół rzenośnik o tej długości możn sodziewć się, że tśm wykon jeszcze resztową liczbę cykli n r. n n ( n) = R( m) dm (31) r R(m) jest rwdoodobieństwem nieuszkodzeni odcink tśmy rzed wykonniem m cykli (niezwodnością tśmy). Cłk (31) rzedstwi wrtość oczekiwną resztowej ilości cykli tśmy wokół rzenośnik. W momencie rofilktycznej wyminy możn się ztem sodziewć, że zdejmowny odcinek rzercowłby n + n r (n) cykli i włśnie w tym okresie nstąiłby jego cłkowit mortyzcj. Poniewż wymin odcink nstęuje już o n cyklch, strty sowodowne wcześniejszym jego zdjęciem możn rzedstwić wzorem: t S ( n) = nr ( n) (32) n + n ( n) t - jest mortyzcją kosztów odcink tśmy rzydjącą n jednostkę n + nr ( n) rzewidywnej liczby cykli. oszt wyminy rewencyjnej (n) zleżny jest od liczby cykli, o której dokonuje się wyminy i zmieni się w grnicch od w + t do w + 2 t, gdyż strty S rzyjmują n krńcch rzedziłu określoności nstęujące wrtości: S ()= t, S ( )=. r

17 W celu znlezieni minimum funkcji (27) rzy tk zdefiniownych kosztch skłdowych nleży obliczyć jej ochodną i rzyrównć do zer. Po rzerowdzeniu odowiednich obliczeń otrzymuje się równnie: n R( m) dm + nr( n ) * t = ( n ) λ ( n)[ ] n (33) n + R( m) dm R( m) dm n λ(n) - intensywność wrii odcink tśmy rzenośnikowej, * - koszty wyminy rewencyjnej bez uwzględnieni strt S, n - otymln liczb cykli zewnijąc minimlne koszty ekslotcji tśmy. Równnie to jest n tyle skomlikowne, że nwet dl rostych rozkłdów musi być rozwiązywne numerycznie. Wystęując w równniu (27) funkcje F(n) i R(n)=1-F(n) nie odowidją dystrybuncie i funkcji niezwodności rwdoodobnej ilości cykli wykonywnych rzez tśmę, gdyż rzy ich wyznczniu ominięto odcinki zdjęte n skutek rozcięć wzdłużnych. Rozcięci te możn uznć z uszkodzeni tyu ktstroficznego. Nie mją one związku z uszkodzenimi tyu rmetrycznego, do nich włśnie możn zliczyć zużycie nturlne i rozwrstwienie. Tez o niezleżności obu tyów uszkodzeń nie jest udowodnion sttystycznie lecz może być rzyjęt do oisu rozkłdu trwłości tśmy jko jego ierwsze rzybliżenie. Przyjmując owyższe zstrzeżeni, z funkcję F(n) we wzorze (27) nleży rzyjąć: F(n) = 1 - R k (n)r (n) (34) R k (n) i R (n) rzedstwiją rwdoodobieństw orwnej rcy tśmy ze względu n uszkodzeni ktstroficzne (rozcięci) i rmetryczne (zużycie). W rcy tej zroonowno osobne wyzncznie otymlnego momentu wyminy dl tśm rozwrstwijących się i zużywjących się w sosób nturlny orz rzedstwiono lgorytm ostęowni umożliwijący ich zstosownie w rktyce. W rcy [11] zroonowno modyfikcję wyżej omówionej strtegii dl kolń odkrywkowych stosujących regenercję tśm. Modyfikcj oległ n uwzględnieniu w kosztch wyminy rewencyjnej korzyści z zstosowni regenercji zdemontownej tśmy. * ETr ( n) = ( n) l( n) t r ETn (35) * (n) - koszt wyminy rewencyjnej uwzględnijący korzyści z zstosowni regenercji tśm, zł/m, (n)- koszty wyminy rewencyjnej, zł/m, l(n) - względne strty tśmy w trkcie regenercji o n cyklch,

18 ET r ET n t r - oczekiwn trwłość tśm regenerownych, - oczekiwn trwłość tśm nowych, - koszt tśmy nowej, zł/m, - koszt tśmy regenerownej, zł/m. Proonown strtegi nzywn jest wyminą rewencyjn w ustlonym wieku lub rostą eriodyczną strtegią wymin rofilktycznych w nieskończonym rzedzile czsowym [15]. Poleg on n tym, że odcinek tśmy wymieniny jest ntychmist o wrii uniemożliwijącej jego dlszą rcę lub o wykonniu rzez niego otymlnej, względem ww. kryterium, liczby cykli. OMENTARZ Ze względu n złożoność obliczeń numerycznych orz konieczność wykorzystni dokłdnych informcji o trwłościch tśm rcujących w kolni wdrożenie tej metody może nstąić jedynie u użytkowników osidjących odowiednie systemy informtyczne wsomgjące rowdzenie gosodrki tśmmi. Dodtkowym utrudnieniem w zstosowniu tych metod w rktyce (zwłszcz olityki wymin tyu III) jest srw wływu wymin rewencyjnych n rmetry rozkłdu trwłości tśmy. Prktycznie wszystkie wyminy w kolnich odkrywkowych węgl bruntnego mją chrkter rewencyjny i w związku z tym nie odzwierciedlją fktycznej niezwodności tśm. Brk jest więc dnych sttystycznych o wryjności tśm wynikjącej z jej ndmiernego wyekslotowni, bowiem do tkiego stnu w tych kolnich o rostu się nie douszcz. Innym roblemem, który może ojwić się rzy ich stosowniu jest zmin, zzwyczj wzrost, jkości rodukownych tśm. Nwet gdyby udło się ustlić fktyczną niezwodność tśmy rzenośnikowej w dnych wrunkch to uzyskne rezultty odnoszą się do rzeszłości. Obliczony otymlny moment wyminy może okzć się nieotymlny dl ktulnie stosownych tśm, jeśli ich trwłość uległ zsdniczej zminie. Z uwgi n ogrniczeni metod nlitycznych bzujących n dnych historycznych, konieczne jest uwzględnienie w strtegich wymin tśm w kolnich odkrywkowych ktulnego stnu tśm rcujących n rzenośnikch w stoniu większym niż uczyniono to w rcy [7,8]. Obecnie stosowne systemy komuterowe w niedosttecznym stoniu uwzględniją ten sekt, skuijąc się n rejestrowniu rowdzonych wymin i rzyczyn demontżu. onieczn ztem stje się ich modyfikcj [1, 14]. LITERATURA [1] BARLOW R.E., PROSCHAN F., Mthemticl theory of relibility. John Wiley & Sons Inc. New York, London, Sydney [2] BEICHELT F., FRANEN P., Zuverlässigkeit und Instndhltung mthemtische Methoden. VEB Verlg Technik Berlin [3] BEICHELT F., Problemy niezwodności i odnowy urządzeń technicznych. WNT Wrszw [4] FISCHER., Ermitteln eines otimlen Instndhltungsintervlls für Förderbndgurte, Hebezeuge und Fördermittel 19 (1979) 3, [5] FRANE W., Cost Minimiztion in the Oertion of Conveyor Belts Through Scheduled Reir nd Relcement, Aufberitungs Technik 31 (199) Nr 9

19 [6] GLASSER G.J., The Age Relcement Problem, Technometrics 9 (1967). [7] GRAFE R., STRZODA., Entwicklung eines Wissensbsierten Systems Zur Erfssung und Interrettion von Fördergurtdten, Prce Nukowe Instytutu Górnictw Politechniki Wrocłwskiej Nr 68, Seri: onferencje Nr 13, Podstwowe Problemy Trnsortu olninego, Wrocłw [8] GRAFE R., Wissensbsiertes System / Exertensystem zur Erfssung und Interrettion von Fördergurtschäden, Brunkohle 7/1993 [9] JURDZIA L., AWALEC W., Zstosownie struktur dynmicznych do tworzeni secjlizownej bzy dnych, onferencj - Mtemtyczne metody i technik komuterow w górnictwie, Szklrsk Poręb [1] JURDZIA L., Aliction of Linguistic Vribles to Determintion of Belt Wer Degree - Method of Scheduling Conveyor Belts for Relcement, Prce Nukowe Instytutu Górnictw P.Wr. Nr 82,Seri: onferencje Nr 21, Continuous Surfce Mining, 5th Interntionl Symosium, Wrocłw My [11] JURDZIA L., Determintion of Otimum Time For The Relcement of Conveyor Belts Ment For Reconditioning, Proceedings of the XXII. Interntionl Symosium on the Aliction of Comuters nd Oertions Reserch in the Minerl Industry (APCOM'9), Setember 199. [12] JURDZIA L., Metod określeni rozkłdu czsu rcy tśmy rzenośnikowej i jego wykorzystni do rognozowni wymin tśm, rc doktorsk (nieub.), Politechnik Wrocłwsk 1996 [13] JURDZIA L., Wybór otymlnego momentu wyminy odcink tśmy rzenośnikowej, Widomości Górnicze 1989, nr 12. [14] JURDZIA L., Zstosownie zmiennych lingwistycznych do określeni stoni zużyci tśmy - metod szeregowni tśm rzenośnikowych do wyminy. Prce Nukowe Instytutu Górnictw P.Wr. Nr 8, Seri: onferencje Nr 2, Podstwowe Problemy Trnsortu olninego Wrocłw [15] OŹNIEWSA I.,WŁODARCZY M., Modele odnowy, niezwodności i msowej obsługi, PWN Wrszw [16] STAR R.M., NICHOLLS R.L., Mtemtyczne odstwy rojektowni inżynierskiego, PWN, Wrszw [17] STERMOLE F.J., STERMOLE J.M., Economic Evlution nd Investment Decision Methods, Investment Evlutions Corortion, Colordo PREVENTIVE REPLACEMENT STRATEGIES OF CONVEYOR BELTS Preventive belt relcement strtegies ublished until now in literture hs been discussed. 1. Belt relcements on conveyor in qurry bsed on belt filure frequency histogrm. 2. Proosl of Germn reserchers enbling: determintion of otiml time for relcement with usge of continuous distributions, minimistion of belt oertion costs through scheduled belt reirs nd relcements nd determintion of otiml relcement time used in the knowledge-bsed exert system. 3. Proosed by uthor reventive relcements tking into ccount lies sertion nd ossibility of belt recondition. In commentries dvntges nd disdvntges of ech strtegy hs been resented s well s their restrictions nd ossibilities of rcticl imlementtion.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO

METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 151-156, Gliwice 2006 METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO JÓZEF GACEK LESZEK BARANOWSKI Instytut Elektromechniki,

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANIE I BUDOWA

PROJEKTOWANIE I BUDOWA ObciąŜeni odwozi PROJEKTOWANIE I BUDOWA OBIEKTÓW LATAJĄCYCH I ObciąŜeni odwozi W. BłŜewicz Budow smolotów, obciąŝeni St. Dnilecki Konstruownie smolotów, wyzncznie obciąŝeń R. Cymerkiewicz Budow Smolotów

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 19 AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI 006 ANDRZEJ BANACHOWICZ Akdemi Morsk w Gdyni Ktedr Nwigcji ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W rtykule rzedstwiono uogólnienie funkcji trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń

Bardziej szczegółowo

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1) Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na.

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na. STOWARZYSZENIE RYNKÓW FINANSOWYCH ACI POLSKA Afiliowne przy ACI - The Finncil Mrkets Assocition Dodtkowe informcje i objśnieni Wrszw, 21 mrzec 2014 1.1 szczegółowy zkres zmin wrtości grup rodzjowych środków

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Parametry i właściwości niezawodnościowe stacji GPZ i RS

Parametry i właściwości niezawodnościowe stacji GPZ i RS Andrzej Ł CHOJNACKI Politechnik Świętokrzysk w Kielcch, Zkłd Podstw Energetyki doi:0599/82060639 Prmetry i włściwości niezwodnościowe stcji GPZ i RS Streszczenie Stcje elektroenergetyczne 0kV/SN są oczątkowymi

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

3. F jest lewostronnie ciągła

3. F jest lewostronnie ciągła Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2 Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

ZAMKNIĘCIE ROKU 2016 z uwzględnieniem zmian w prawie bilansowym. dr Gyöngyvér Takáts

ZAMKNIĘCIE ROKU 2016 z uwzględnieniem zmian w prawie bilansowym. dr Gyöngyvér Takáts ZAMKNIĘCIE ROKU 2016 z uwzględnieniem zmin w prwie bilnsowym dr Gyöngyvér Tkáts Podmioty rchunkowości 1) Mikro jednostki jednostki mogące korzystć z uproszeń jednostki niemogące korzystć z uproszczeń 2)

Bardziej szczegółowo

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd

Bardziej szczegółowo

Małgorzata Żak. Zapisane w genach. czyli o zastosowaniu matematyki w genetyce

Małgorzata Żak. Zapisane w genach. czyli o zastosowaniu matematyki w genetyce Młgorzt Żk Zpisne w gench czyli o zstosowniu mtemtyki w genetyce by opisć: - występownie zjwisk msowych - sznse n niebieski kolor oczu potomk - odległość między genmi - położenie genu n chromosomie Rchunek

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu:. Podstwow metod Monte Crlo. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Rekuperator to urządzenie

Rekuperator to urządzenie Rekupertor to urządzenie będące sercem cłego systemu wentylcji mechnicznej. Skłd się z zintegrownej obudowy, w której znjdują się dw wentyltory, w nszym przypdku energooszczędne. Jeden z nich służy do

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH 95 ROCZNII INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 3/03 omisj Inżynierii Budowlnej Oddził Polskiej Akdemii Nuk w towicch WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ ONSTRUCJI DREWNIANYCH mil PAWLI, Zbigniew

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

ISSN (2), 2010, 65-72

ISSN (2), 2010, 65-72 PROBLEMY MECHATRONIKI. UZBROJENIE, LOTNICTWO, INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA ISSN 81 5891 (), 1, 65-7 Anliz rocesów ksztłtujących ole zburzeń i ruch ocisku n etie blistyki rzejściowej. Cz. I. Anliz rmetrów

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 2 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATeMAtyka 2 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATeMAtyk 2 Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy Kls 2 Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe (P), rozszerzjące (R), dopełnijące

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo