ZASTOSOWANIE PODEJ CIA WEKTOROWEGO DO ZADA PROGNOZOWANIA

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE PODEJCIA WEKTOROWEGO DO ZADA PROGNOZOWANIA KESRA NERMEND Uwerstet Szczecsk MARIUSZ BORAWSKI Zachodopomorsk Uwerstet Techologcz w Szczece Streszczee Rachuek wektorow jest wkorzstwa w welu dzedzach auk ze wzgldu a łatwo terpretacj metod, która moe b dokowaa w sposób grafcz. Molwe jest rówe zapsae modelu ekoometrczego w postac wektorowej. W artkule zostało przedstawoe porówae klasczego lowego modelu ekoometrczego z wektorowm modelem ekoometrc. Słowa kluczowe: model ekoometrcz, wektorow model ekoometrcz. Wprowadzee Rachuek wektorow jest wgodm arzdzem pozwalajcm a grafcz terpretacj zaleoc zwkle wraach za pomoc wzorów. Najczcej jest o wkorzstwa w aalze welowmarowej, co wka z atur metod, które operuj w przestrzeach welowmarowch. Wkorzstae rachuku wektorowego e jest jedak tlko dome aalz welowmarowej, czego przkładem moe b model wektorowej autoregresj (Var). Jest to zło- o model welorówaow. Nale zada sobe ptae cz steje prostsz model wektorow jake s jego ewetuale własoc w porówau z klasc modelam ekoometrc.. Wektorow model ekoometrcz Najprostsz model ekoometrcz moa wraz za pomoc wzoru [,,3]: ˆ β ˆ α ε, () gdze αˆ βˆ s szacowam parametram modelu ekoometrczego, a ε składkem losowm. Model te odtwarza warto a podstawe zaej wartoc. Podob mecha steje w przestrze wektorowej. Majc da wektor Y czsto zachodz potrzeba odtworzea tego wektora a postawe wektora X. Proces te jest c m jak wzaczaem wektora współrzdej wektora Y wzdłu wektora X staowcego jedowmarow układ współrzdch. Prz c e jest wmagae, ab jedowmarow układ współrzdch bł zwza z jedowmarow przestrze wektorow. Układ te moe zajdowa s w przestrze welowmarowej. Wówczas wzaczoa współrzda okrela wektor Y z pewm błdem. Współrzd moa ozacz za pomoc αˆ, a błd jako wektor ε. Moa to zapsa za pomoc astpujcego wzoru:

2 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materał, r 8, Y ˆ αx ε. () Wzór te posada terpretacj grafcz co lustruje to rsuek. Y ε αˆx X Rsuek. Rzut wektora Y a wektor X Nale zwróc tu uwag a podobestwo wzoru () (). Wzór () operuje a pojedczch wartocach, atomast wzór () a -elemetowch zborach tch wartoc, jedak prz rówm jede (czl dla przestrze jedowmarowej) wzor te ró s jede o czk βˆ. Długo wektora błdu ε zale od keruku wektorów X Y oraz od wartoc współczka αˆ. Teoretcze współczk αˆ moe b dowol, jedak steje taka jego warto dla której długo wektora ε jest mmala. W praktce poszukuje s takego współczka αˆ ab długo wektora ε bła mmala. Przpadek tak zajdze wted, gd wektor ε bdze prostopadł do X, czl locz skalar ( X,ε ) bdze rów zero. Z aksjomatów loczu skalarego wka, e suma loczów skalarch wektora αˆ X oraz wektora ε wektora X jest rówa loczow skalaremu sum tch wektorów z wektorem X : ( ˆ α X ε, X ) ( ˆ αx, X ) ( ε, X ). (3) Suma wektora αˆ X ε jest rówa wektorow Y zatem: Y, X ˆ α X, X ε, X. (4) ( ) ( ) ( ) Std po włczeu współczka αˆ przed locz skalar moa wzacz jego warto: ˆ α. (5) ( Y, X ) ( ε, X ) ( X, X ) Długo wektora ε bdze ajmejsza, gd bdze o prostopadł do X, czl gd ch locz skalar jest rów zeru. Std wzór powsz przberze posta [4]: ˆ α. (6) ( Y, X ) ( X, X )

3 0 Kesra Nermed, Marusz Borawsk Zastosowae podejca wektorowego do zada progozowaa Współczk αˆ azwa s składow wektora Y wzdłu wektora X, a cał proces zalezea tego współczka rzutowaem. Składowa αˆ jest tm wksza, m długo wektora Y jest wksza, wektora X mejsza, a keruk obu wektorów s bardzej zbloe do sebe. Dla αˆ rówego zeru wektor Y e ma rzutu a wektor X, wektor s prostopadłe wzgldem sebe. W przestrze eukldesowej locz skalar ( Y, X ) defuje s astpujcm wzorem: (7) ( Y X ), Brak czka βˆ zacze ogracza molwo odtworzea wektora Y a podstawe wektora X, powodujc zacze wksze błd w przpadku modelu ekoometrczego daego wzorem (). W rachuku wektorowm w celu ejszea błdu ε zwksza s lczb os układu współrzdch. Wektor X moa rozb a dwa prostopadłe wektor ortogoaloc moa zale w [5]. Współrzde wektora X sr moa wzacz z astpujcego wzoru: X sr,, X sr oraz X. Dowód,. (8) Reprezetuje o wartoc rede współrzdch wektora X. Natomast wektor wzacz a podstawe wzoru: Podzał wektora X a wektor X sr X X sr X moa X. (9) X lustruje rsuek.

4 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materał, r 8, 00 X sr X X Rsuek. Podzał wektora X a wektor X sr Po rozszerzeu układu współrzdch z jedego wektora do dwóch wzór () przjme posta: Y ˆ βx sr ˆ αx ε. (0) Iterpretacj grafcz wzoru przedstawa rsuek 3. Y ε X X αˆx ˆ βx sr ˆ αx Rsuek 3. Rzut wektora X a wektor X sr Wektor błdu ε e zale od długoc wektorów tworzcch układ współrzdch, a jede od ch keruku. Wektor βˆx sr X sr X sr moa zatem zastp przez dowol wektor o keruku X

5 Kesra Nermed, Marusz Borawsk Zastosowae podejca wektorowego do zada progozowaa detc z kerukem sr X. Przkładem takego wektora moe b wektor którego współrzdm s same jedk. Upraszcza to wzór (0) do postac: ε α β Y ˆX ˆ. () czl α( ) ε β sr X X Y ˆ ˆ. () Powstał w te sposób wzór opsujc wektorow model ekoometrcz. Zgode z zasadam rachuku wektorowego parametr αˆ moa oszacowa z astpujcego wzoru: ( ) ( ) ˆ α, (3) atomast parametr βˆ : ˆβ. (4) Parametr αˆ modelu ekoometrczego metod ajmejszch kwadratów szacuje s ze wzoru [6, 7]: ( )( ) ( ) ˆ α. (5) Lczk powszego wzoru moa przekształc astpujco: ( )( ) ( ) ( ) (6) Suma wszstkch róc zawsze jest rówa zeru, a wc: ( )( ) ( ). (7) Std wzor (0) () s tosame.

6 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materał, r 8, 00 3 Parametr βˆ modelu ekoometrczego metod ajmejszch kwadratów szacuje s ze wzoru [8, 9]: ˆ β α ˆ. (8) Warto βˆ wektorowego modelu ekoometrczego rówa jest wartoc redej współrzdch wektora Y, atomast w przpadku modelu ekoometrczego daego wzorem () jest to wartoreda współrzdch wektora Y pomejszoa o wartored współrzdch wektora X przemoo przez współczk αˆ. Jest to jeda róca pomdz wektorowm modelem ekoometrc, a modelem dam wzorem (). W przpadku wektorowego modelu ekoometrczego a podstawe zajomoc współczków αˆ βˆ dokouje s odtworzea wektora Y a podstawe wektorów Otruje s w te sposób tak przeskalowae wartoc współrzdch wektorów X sr X sr X. X, ab bł jak ajblsze" współrzdm wektora Y. Współczk αˆ βˆ mów o dopasowau odtworzoego wektora do wektora Y. Dopasowae to jest tm lepsze m bardzej wektor Y ma keruek zbe z dowolm wektorem lecm a płaszcze wzaczoej przez wektor X sr X. Prz c m współczk αˆ jest wksz co do wartoc bezwzgldej tm keruek wektora Y jest bardzej podob do wektora X, a m współczk βˆ jest wksz co do wartoc bezwzgldej tm keruek wektora Y jest bardzej podob do wektora Wartoc αˆ βˆ e mog b maram podobestwa wektora Y z wektoram gd maj róe mar. Ich maram s długoc wektorów X sr X. Moa je jedak sprowa- X do wektorów dz do porówwaloc poprzez przelczae wektorów X sr. X sr X, X sr jedostkowch. Dla wektorów jedostkowch wzór a wektorow model ekoometrcz bdze astpujc: ˆ β ( X X ). (9) sr Y ˆ α ε ( ) Warto αˆ ale wzacz ze wzoru: ˆα ( ) ( ), (0) atomast βˆ :

7 4 Kesra Nermed, Marusz Borawsk Zastosowae podejca wektorowego do zada progozowaa βˆ ( ). () Ze wzgldu a to, ze operacja ta e ea keruku wektorów X sr X uzska wektorow model ekoometrcz bdze dokłade tak samo opswał badae zjawsko jak model z ejedostkowm układem współrzdm. Róca polega tlko włcze a ch wartocach współrzdch αˆ βˆ wraoch w jedakowch jedostkach, co pozwala a okrelee do którego z wektorów wektor Y jest bardzej podob. Lczba os układu współrzdch e mus ogracza s do dwóch. Molwe jest zastosowae wkszej lczb wektorów. W pewch szczególch przpadkach wektor os układu współrzdch odtwarzajce wektor Y mog b sumowae w celu uzskaa lepszego odwzorowaa tego wektora. Do wzaczea współrzdch molwe jest wkorzstae wzoru (3). Warukem wkorzstaa tego wzorów jest wzajema ortogoalo wektorów os układów współrzdch. Jeel wszstke wektor os układów współrzdch maj pomdz sob locz skalar rów zeru to wk ch odtworzea moa sumowa. 3. Praktcz przkład W celu porówaa lowego modelu ekoometrczego z jed e objaajc z wektorowm modelem ekoometrc oszacowao współczk modelu oraz wlczoo współczk rzutu dla zaleoc procetowej loc utkowków Iteretu od PKB a osob dla 5 pastw europejskch w roku 006. Pastwa o ludoc mejszej 0 wkszej 300 procet ludoc Polsk oraz o powerzch mejszej 0 wkszej 300 procet powerzch Polsk e brao pod uwag. ródłem dach bła corocza publkacja The World Factbook" Cetralej Agecj Wwadowczej (CIA z ag. Cetral Iformato Agec) rzdu Staów Zjedoczoch [0]. Da modelu ekoometrczego otrao αˆ 0,00 βˆ 4,8 (szacowae metod ajmejszch kwadratów). Nska warto αˆ wka z odmeego zakresu dach a obu osach (0 90 % dla loc utkowków Iteretu USD dla PKB). W przpadku wektorowego modelu ekoometrczego wartoc współczków αˆ βˆ wosł odpowedo 0,00 40,69. Warto współczka αˆ dla modelu ekoometrczego z jed e objaajc wektorowego modelu ekoometrczego s zatem detcze. Rsuek 4 przedstawa zazaczo l przerwa przebeg l regresj. Prz c la wzaczoa dla modelu daego wzorem () wektorowego modelu ekoometrczego pokrwaj s. Ozacza to, e wektorow model ekoometrcz jest form zapsu modelu ekoometrczego, a współczk wzaczoe metod ajmejszch kwadratów s przelczale do współczków wektorowego modelu ekoometrczego.

8 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa Materał, r 8, 00 5 Rsuek 4. Zaleo pomdz redm dochodem a osob a lczb utkowków Iteretu 3. Podsumowae Wektorow model ekoometrcz jest form zapsu modelu ekoometrczego z jed e objaajc. Zapewa detcze wk z klasc modelem ekoometrc dla którego parametr szacuje s metod ajmejszch kwadratów. W przpadku wektorowego modelu ekoometrczego steje jedak grafcza terpretacja szacowaa współczków. Poadto jest o puktem wjca poprzez zwkszee lczb os układu współrzdch do tworzea bardzej skomplkowach model. [] Aczel A. D.: Statstka w zarzdzau. PWN, Warszawa, 000. [] Borawsk M.: Rachuek wektorow w przetwarzau obrazów. Wdawctwo Uczelae. [3] Hozer J.. Ekoometra, Katedra Ekoometr Statstk Uwerstet Szczecsk, Szczec, 997. [4] Hozer J., Statstka, ops statstcz, Uwerstet Szczecsk, Szczec 998, s. 7. [5] Itellgece Agec Cetral. The World Factbook 006. Uted States Govermet, Prtg Offce, Washgto, 006. [6] Maddala G. S.: Ekoometra. PWN, Warszawa, 006. [7] Nermed K.:Vector Calculus Regoal Developmet Aalss, Phsca-Verlag Berl Hedelberg 009. [8] Nowak E.: Problem doboru ech do modelu ekoometrczego, Pastwowe Wdawctwo Naukowe, Warszawa, 984. [9] Nowak E.: Zars metod ekoometr. PWN, Warszawa, 00. [0] Poltechk Szczecskej, Szczec, 007. [] Zela A.: Ekoometra przestrzea, PWE, Warszawa 99.

9 6 Kesra Nermed, Marusz Borawsk Zastosowae podejca wektorowego do zada progozowaa APPLICATION OF THE TASK VECTOR TO PREDICTION PROBLEMS Summar Vector calculus s used ma dfferet domas of scece because of ts ease of methods' terpretato. Ths terpretato ca be maaged graphcal wa. It s also possble to wrte a ecoometrc model a vector form. I the artcle the comparso betwee the classcal lear ecoometrc model ad vector ecoometrc model s preseted. Kewords: Ecoometrc model, vector ecoometrc model Kesra Nermed Wdzał Nauk Ekoomczch Zarzdzaa Uwerstet Szczecsk Mckewcza 64, Szczec e-mal: kesra@poczta.wez.pl Marusz Borawsk Wdzał Iformatk Zachodopomorsk Uwerstet Techologcz w Szczece ul. ołerska 49, Szczec mborawsk@w.ps.pl