E K O N O M E T R I A (kurs 10 godz.)

Transkrypt

1 E K O N O M E T R I A (kurs 0 godz.) PLAN kursu A. Ekoometra: defcje, pojęca, przkład B. Elemet statstk matematczej (zmea losowa, przedzałowa estmacja parametrów populacj, hpotez parametrcze) C. Model ekoometrcz: budowa modelu, werfkacja, terpretacja parametrów modelu. LITERATURA:. Statstka ekoometra, Brska-Rąpała A., Kozarkewcz A., red. auk. Łuck. Z., Wd. AGH, Kraków, 0.. Ekoometra badaa operacje, [red.] Gruszczńsk M., Kuszewsk T., Podgórska M., PWN, Warszawa, Statstka w zarządzau, Aczel A. D., PWN, Warszawa, 000. Warto dla początkującch:. Zars metod ekoometr, Nowak E., PWN, Warszawa, 997.

2 Ekoometra: defcje, pojęca, przkład auka o merzeu zwązków wstępującch mędz zjawskam lub procesam ekoomczm a m zjawskam (ekoomczm, przrodczm, techczm, demografczm socjologczm) w celach pozawczch dla progozowaa [Bartosewcz S., 978] auka zajmująca sę emprczą werfkacją praw ekoomczch [Thel H., 979] auka pomoccza w ramach ekoom, wkorzstująca arzędza matematk, statstk oraz formatk do badaa loścowch zwązków zachodzącch mędz zjawskam zmem ekoomczm. Jest zborem metod opracowach ajczęścej poza ekoomą, ale wkorzstwach a jej polu. auka zajmująca sę ustalaem, za pomocą metod matematczo-statstczch, loścowch prawdłowośc zachodzącch w żcu gospodarczm [własa] SPECYFICZNE WARUNKI PROWADZENIA BADAŃ EKONOMETRYCZNYCH brak możlwośc powtórzea ekspermetu, badae zjawsko ekoomcze jest stable, tj. ulega jede ewelkm powolm zmaom, zjawsko mus bć merzale, tj. jego cech muszą bć wrażae lczbowo, moża określć czk wpłwające a jego zachowae, dostępe są dae statstcze opsujące zachowae (w sese loścowm) badaego sstemu w przeszłośc, trudośc z dam: dostępość, lość, wargodość, porówwalość.

3 NARZĘDZIEM BADAWCZYM EKONOMETRII JEST MODEL EKONOMETRYCZNY ops fragmetu ekoomczej rzeczwstośc, uwzględając tlko stote jej elemet; kostrukcja mślowa, która w uproszczo sposób przedstawa fukcjoowae lub zachowae gospodark lub jej częśc def. dla ekoom; kostrukcja formala, która za pomocą pewego rówaa lub układu rówań przedstawa zasadcze powązaa wstępujące pomędz rozpatrwam zjawskam ekoomczm [Hellwg Z.]. Model ekoometrcz za pomocą rówaa/rówań przedstawa zależośc wstępujące pomędz zmem. ELEMENTY MODELU: Zmee, Parametr Elemet losowe 0,,...,

4 WŁAŚCIWOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO: merzalość zjawsk; jedozaczość formala w zapse, odcztwau terpretacj uzskach wków; jest zasadą, że każde rówae modelu przedstawa mechazm kształtowaa sę jedej tlko jedej zmeej, to zacz wraża relacje, w jakch zmea ta zmea sę w zależośc od wartośc, jake przjmują e zmee odgrwające w dam rówau rolę przcz. Jeżel węc model ma przedstawć mechazm kształtowaa sę jedej tlko zmeej, będze składał sę z jedego rówaa. 0,,...,,, 3, f ( f ( f (,,,,,,,,, 3,- 3,,, ),,,,,,,, 3, 3, ) ) Jeżel atomast celem modelu będze ops mechazmu kształtowaa sę klku zmech (k), to mus składać sę z klku rówań (k).

5 DANE STATYSTYCZNE W MODELU szereg czasow dae przekrojowe dae paelowe Szereg czasow formacje lczbowe przedstawające sta badaego zjawska (procesu) w kolejch mometach (okresach). Zwczajowo zmee przedstawoe w forme szeregu czasowego są zapswae z deksem t: Dae przekrojowe - formacje lczbowe przedstawające sta badaego zjawska w ustalom momece (okrese), ale odoszą sę do różch obektów. Zapsuje sę je z deksem : t Dae paelowe formacje lczbowe dla welu obektów, z którch każd jest obserwowa w co ajmej dwóch okresach., t, t MODELE EKONOMETRYCZNE OPARTE NA RÓŻNYCH DANYCH STATYSTYCZNYCH PRZYKŁADY

6 KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH I. Klasfkacja według woszoej formacj: modele przczowo-skutkowe skutek X przcz f (,,..., k ) Modele te budujem z dach przekrojowch (róże obekt w tm samm momece) modele tedecj rozwojowej aalzowae zjawsko t czas f (t) Modele te budujem z szeregów czasowch (te sam obekt w różch mometach) II. Klasfkacja według stopa uwzględaa czasu: modele statcze (a podstawe dach przekrojowch) modele damcze (a podstawe szeregów czasowch, dach paelowch) III. Klasfkacja według lowośc: modele lowe modele elowe (koecza trasformacja lowa) 0... k k,,..., 0

7 ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO. Sformułowae problemu a. wbór zmech:,,,... b. wbór postac matematczej modelu: lowa, potęgowa,.... Zebrae dach statstczch (róże źródła) 3. Estmacja parametrów modelu: a. parametrów strukturalch: a 0, a, a,... b. parametrów stochastczch: s(a ), s(), R, R 4. Werfkacja modelu (prz użcu hpotez testów statstczch) 6. Iterpretacja modelu MODEL BEZ WERYFIKACJI NIE MA ŻADNEJ WARTOŚCI wcągęce wosków dla celów zarządzaa (przedsęborstwem, gospodarką), stmulowaa procesam gospodarczm (kosumpcj dóbr, tp.), produkcjm (tempo wdobca rop/gazu).

8 ZAŁOŻENIA STANDARDOWEGO MODELU REGRESJI LINIOWEJ Zmea objaśaa - jest zmeą losową; rozkład tej zmeej opsuje zbór wartośc, które może oa przjmować (w dam momece obserwujem tlko jedą wartość). Założee e dotcz tej kokretej wartośc lecz procesu geerującego tę wartość. Wartość oczekwaa rozkładu zmeej dla obserwacj : E( /, ) 0 0,, - ezaeparametr,..., Waracja prz dach, jest stała: var( /, ) - ezaparametr Waracja merz stopeń wpłwu a zmeą czków ch ż (zmee pomęte); stałość waracj mplkuje, że dspersja łączego wpłwu zmech pomętch e zmea sę w czase. Składk losow rówaa Każd składk losow ma (prz ustaloch, ) wartość oczekwaą rówą zero warację. E( /, )

9 PODSTAWOWE POJĘCIA I TERMINY KORELACJA fakt powązaa, współzależośc, zwązku zmech ze sobą WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI lczba określająca słę keruek tego zwązku współczk korelacj lowej dwu zmech: r lub r Współczk r ese dwe formacje poprzez swój zak moduł r 0 r r S SS S współczk korelacj lowej welu zmech (korelacj welokrotej lub welorakej): R 0 R KOWARIANCJA Dla dużej prób 30 cov(,) Dla małej prób <30 cov(,) ( ( )( )( ) ) S S Zak kowaracj formuje o charakterze współzmeośc (dodat keruk zma zgode, ujem przecwe keruk zma). Wartość kowaracj w jedostkach, w jakch są zmee dlatego ta mara e może bć wkorzstaa do porówań (jak współczk korelacj) r cov(,) s() s() s() s()

10 REGRESJA statstcza metoda modelowaa zwązków mędz zmem; opsuje ją fukcja odzwercedlająca powązae zmech (czków) Model ekoometrcz za pomocą rówaa przedstawa zależość wstępującą pomędz zmem. ŷ a 0 WSPÓŁCZYNNIK REGRESJI lczba stojąca prz każdej zmeej, określająca jej wpłw a zmeą a a 0 wraz wol (stała), współrzęda puktu przecęca z osą Y a współczk regresj, tages kąta achlea prostej składk losow N(0, ) a 0 Metod estmacj rówaa regresj metoda ajmejszch kwadratów (MNK) podwója MNK regresje specjale: grzbetowa (rdge regresso), odpora (robust) td. metoda ajwększej wargodośc

11 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW MNK Estmator ˆ wzaczo MNK jest estmatorem zgodm, eobcążom ajefektwejszm. eobcążo wartość oczekwaa estmatora jest rówa szacowaemu parametrow zgod cąg oce uzskach za pomocą tego estmatora jest stochastcze zbeż do szacowaego parametru : E( ) ˆ lm P{ ˆ } ajefektwejsz estmator o ajmejszej waracj ZAŁOŻENIA DLA MNK. Postać modelu jest lowa względem parametrów. Zmee objaśające są welkoścam elosowm 3. Składk losow jest zmeą losową: E()=0; D ()=cost 4. Realzacje zmech są ezależe, co sprawa, że cąg {} jest cągem ezależch zmech losowch 5. Składk losow jest eskorelowa ze zmem objaśającm 6. Zmee objaśające są wole od współlowośc. 7. k< gdze: k lczba zmech objaśającch; lczość prób

12 MNK a przkładze modelu dwóch zmech MNK pozwala wzaczć współczk a 0 a prostej, która ajlepej pasuje do puktów emprczch. 0 0 ) a a ( m SSE a a ŷ 0 0 a a a a Newadome: a 0, a m SSE ) ŷ ( Y ŷ ˆ X a a ) ( ) )( ( a 0

13 MIARY DOBROCI MODELU REGRESJI Y ŷ ˆ ˆ ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) SSTO = SSTR + SSE = SSTO (zmeość całkowta) = SSTR (zmeość wjaśoa) = SSE (zmeość ewjaśoa) (SUMOWANIE OD DO ) ŷ a 0 a ) ( ) (ŷ ) ( ŷ X Współczk determacj r SSTR SSTO (ŷ ( ) ) Współczk zbeżośc SSE SSTO ( ( Błąd stadardow reszt (dla modelu z jedą zmeą objaśającą) ŷ ) ) s SSE ( ŷ )

14 STATYSTYKA MATEMATYCZNA W EKONOMETRII

15 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Przedmotem tego dzału jest szacowae (estmacja) ezach parametrów populacj; wcągae wosków o rozkładze parametrach populacj geeralej a podstawe badaa próbk (hpotez statstcze). Teora estmacj zajmuje sę szacowaem parametrów populacj geeralej a podstawe próbk statstczej. Rodzaje estmacj puktowa przedzałowa Próbka mus bć pobraa w sposób losow, tz. każd elemet populacj (tj. zborowośc geeralej) mus meć jedakową szasę trafea do próbk.

16 Pojęca z teor estmacj parametr populacj lczbowa charakterstka całej populacj statstka z prób lczbowa charakterstka prób estmator (estmator) parametru populacj statstka z prób użwaa do oszacowaa tego parametru. Oceą lub szacukem parametru jest kokreta wartość lczbowa estmatora z daej prób estmacja - podae wartośc oce ezaego parametru populacj Estmator jest to zmea losowa, której realzacjam są wartośc powstałe przez pobrae z populacj bardzo welu próbek. Estmator jak każda zmea ma swoją wartość oczekwaą odchlee stadardowe. Wartość oszacowaa (estmate) jest to wartość daego parametru wzaczoa a podstawe jedej, rzeczwśce pobraej próbk. eobcążo wartość oczekwaa estmatora jest rówa szacowaemu parametrow zgod (PWL) E( ) ˆ prawdopodobeństwo, że jego wartość jest blska wartośc szacowaego parametru, wzrasta wraz ze wzrostem lczebośc ajefektwejsz estmator o ajmejszej waracj Cech dobrego estmatora

17 CO MOŻE BYĆ PARAMETREM POPULACJI? Nazwa parametru Wartość średa Odchlee stadardowe Waracja Współczk regresj Smbol dla populacj Smbol dla próbk s s a Lczba stop swobod Jest to lczba określająca le dach ze zboru moża zmeć bez zagrożea zmaą wzaczaego parametru (statstk). prz oblczau średej ogóle k

18 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRU POPULACJI Przedzał ufośc jest to przedzał, w którm z prawdopodobeństwem zajduje sę ezaa wartość parametru populacj Pozom ufośc ( ) jest to prawdopodobeństwo, że ezaa wartość parametru zajduje sę w przedzale ufośc. Pozom stotośc () jest to prawdopodobeństwo, że ezaa wartość parametru e zajduje sę wewątrz przedzału ufośc. e azw: marges błędu, pozom krtcz Wbór wartośc pozomu stotośc zależ od badacza, atur problemu od tego, jak dokłade chce o werfkować swoje przpuszczea o parametrach p. modelu a 0 a (werfkacja hpotez). Najczęścej przjmuje sę α=0,05 (rzadzej 0,, 0,03, 0,0 lub 0,00).

19 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA a przkładze WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI Celem jest ustalee le wos ezaa wartość : estmacja puktowa: = estmacja przedzałowa: Dla >30 s s P( z z ) Dla <30 s s P( t t ),,

20 Kwatle rzędu / rozkładu t-studeta rozkładu ormalego rozkład Studeta jest bardzej płask, ma dłuższe ogo rozkład Studeta jest określo tlko jedm parametrem Rozkład ormal stadarzowa, z 0,39 0,388 0,38 0,375 0,36 0,34 0,3 0,75 0,4 (lczba stop swobod) Rozkład Studeta, t Parametr rozkładu, Średa 0 0 Waracja / rozkład ormal z rozkład Studeta t =8 tablca rozkładu Studeta pokazuje kwatle rzędu dla daego (wartośc t odpowadające założoemu pozomow stotośc dla daej lczb stop swobod) 0 z / t / ()

21

22 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA PARAMETRÓW MODELU REGRESJI P(a t/ ; s(a) a t/ ; s(a) a oszacowaa wartośc współczka regresj s(a ) błąd oszacowaa współczka regresj Iterpretacja przedzału ufośc jest astępująca: Z prawdopodobeństwem rzeczwsta wartość parametru a jest lczbą z przedzału. Im słow, z prawdopodobeństwem wzaczo przedzał e pokrwa rzeczwstej wartośc parametru (może to wkać z ewłaścwe dobraej prób statstczej, a podstawe której szacowao parametr a ).

23 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hpoteza statstcza to każde przpuszczee dotczące populacj geeralej wsute a podstawe próbk statstczej: Poeważ prz posługwau sę próbką gd e ma pewośc, stawa sę dwe wkluczające sę hpotez: hpotezę zerową H 0 hpotezę alteratwą H (H a ) Werfkacja: polega a sprawdzeu, która z ch jest prawdzwa, a która fałszwa posługujem sę testam statstczm (z, t,, F e). Sformułowae H 0 H (H 0 : =4,0 H : 4,0; lub >4,0; lub <4,0). Przjęce pozomu błędu I rodzaju ( = 0,05) 3. Dobrae testu werfkującego (statstk, sprawdzau hpotez Z ) w zależośc od rodzaju hpotez 4. Ustalee obszaru krtczego testu (odcztae wartośc krtczej statstk werfkującej z tablc dla przjętego pozomu : z tabl, z kr, z ) 5. Oblczee wartośc statstk a podstawe próbk (z obl ) 6. Porówae dwu statstk podjęce deczj o przjęcu lub odrzuceu hpotez H 0 7. Iterpretacja podjętej deczj Kolejość czośc prz werfkacj hpotez:

24 HIPOTEZY PARAMETRYCZNE dotczą parametrów populacj geeralej, które ozaczm ogólm smbolem hpoteza zerowa polega a przjęcu, że ezae jest rówe 0 werfkacja prawdzwośc tej hpotez polega a sprawdzeu, cz wartość 0 zajduje sę w przedzale ufośc parametru Trz stuacje prz werfkacj hpotez.. H H H : 0 0 : H : 0 0 : H H : 0 0 : 0 Dla przpadku: H H : 0 0 : 0 / / Przedzał przjęca H 0 : z / <z obl < z / Przedzał odrzucea H 0 : z / z / z obl < z / oraz z obl > z / czl z obl > z /

25 HIPOTEZY PARAMETRYCZNE a podstawe ŚREDNIEJ DLA POPULACJI Dla >30 stosujem statstkę z [o rozkładze ormalm N(0;)] Poberam próbkę lczm H 0 : = 0 H : 0 Reguła deczja s z 0 obl Odrzucam H 0, jeżel z obl >z / Dla <30 stosujem statstkę t [o rozkładze Studeta] Poberam próbkę lczm Reguła deczja Odrzucam H 0, jeżel t obl >t /, =- t 0 obl s Przkład. W celu sprawdzea, cz ow lek jest lepsz od dotchczasowego, zbadao jego skuteczość a 6 chorch, merząc współczk odbudow czerwoch całek krw: 6,3; 7,8; 8,; 8,3; 8,7 9,4. Lek użwa dotchczas daje wartość współczka a pozome 8,3. Sprawdź hpotezę prz pozome stotośc 0,0.

26 Przkład Mesąc Wdatk a reklamę (X) (ml zł) Wartość sprzedaż (Y) (ml zł)., 0. 0,8 9 3.,0 0 4., , ,8 8 7., , ,9 9 0., 05 Wpłw wdatków a reklamę a welkość sprzedaż Stadard T Parameter Estmate Error Value Wraz wol Wspł. regresj ŷ = 46,49 + 5,57 + r=0,88 9,88 0,6 6,84 Hpotez: H 0 : = 0 H : 0 Statstka t: t 0,05; (0-) =,306 t obl. = 5,

27 PORÓWNANIE DWÓCH WARIANCJI, test Fshera W ekoometr będze am jeszcze potrzeba statstka Fshera (rozkład Fshera-Sedecora). Porówae dwóch waracj Poberam próbk: s s Statstka Fshera, daa dwoma parametram:, Rozkład F dla f(f) F

28 TEST FISHERA f(f) Próbk: s s / lub F 0 F / lub F Zawsze prawostro obszar krtcz testu Gd s > s = - = - H 0 : = F obl s s H : Reguła deczja Odrzucam H 0, jeżel... Gd s < s = - = - s F obl = s F obl >F /(, )

29 ANALIZA WARIANCYJNA umożlwa badae wpłwu czków emerzalch a zmeą Y (czkem może bć: metoda auczaa, dośwadczee pracowka, metoda sprzedaż, zależość regresja, tp.) Aalza waracj jedoczkowa Badau podlega waracja zmeej Y s ( ) a w szczególośc lczk tego wzoru ( ) zwaa całkowtą sumą kwadratów lub zmeoścą całkowtą SSTO (Sum of Squares Total) SUMY KWADRATÓW SSTO Sum of Squares Total Całkowta suma kwadratów SSTr Sum of Squares/Treatmet Suma kwadratów z dzałaa czka SSE Sum of Squares/Error Suma kwadratów z błędu WARIANCJE MSTr MSE Mea Square/Treatmet Mea Square/Error Śred kwadrat z czka Śred kwadrat z błędu

30 Aalza waracj model regresj Y ŷ ˆ ˆ ( ) = SSTO (zmeość całkowta) ( ˆ ) = SSTR (zmeość wjaśoa rówaem regresj) ( ˆ ) = SSE (zmeość ewjaśoa) ŷ a 0 a SSTO = SSTR + SSE X SSTO: ( ) SSTR: (ŷ ) SSE: ( ŷ ) R SSTR SSTO (ŷ ( ) ) SSE SSTO ( ŷ ) ( )

31 ANALIZA WARIANCJI a testowae hpotez o stotośc współczka regresj H 0 : = 0 Przkład H : 0 TABELKA ANOVY Przcza zmeośc Suma Kwadratów SS (Sum of Squares) Stope swobod ν (Df) Średe kwadrat MS (Mea Squares) Statstka F Regresja 6,9 k-= 6,9 F 0bl =6,5 Błąd 374,0 -k=8 46,7 Razem 600,9 -=9 F 0,05; ; 8 = 5,3 F obl >F (k-, -) k lość parametrów modelu szacowach MNK lczość prób Odrzucam hpotezę zerową współczk regresj jest stot