OPTYMALNA FILTRACJA SYGNAŁÓW I JEJ ZASTOSOWANIE W DIAGNOSTYCE PRZEKŁADNI ZĘBATYCH. CZĘŚĆ 1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Transkrypt

1 N 18 Pace Naukowe Instytutu Gónictwa Politechniki Wocławskiej N 18 Studia i Mateiały N Radosław ZIMROZ* filtacja optymalna Wienea, zastosowanie, diagnostyka, pzekładnie zębate, uszkodzenia lokalne, detekcja OPTYMALNA FILTRACJA SYGNAŁÓW I JEJ ZASTOSOWANIE W DIAGNOSTYCE PRZEKŁADNI ZĘBATYCH. CZĘŚĆ 1. PODSTAWY TEORETYCZNE W pacy pzedstawiono popozycję zastosowania filtacji optymalnej Wienea do ekstakcji sygnału infomacyjnego w diagnostyce uszkodzeń lokalnych w pzekładniach zębatych. Paca składa się z dwóch części: teoetycznej, wyjaśniającej istotę podejścia zilustowaną postym pzykładem symulacyjnym i implementacyjnej, w odniesieniu do sygnałów zeczywistych. W piewszej części pacy zdefiniowano poblem, następnie omówiono koncepcję filtacji optymalnej wg Wienea. Na zakończenie piewszej części ozważań pzedstawiono ilustację poblemu odszumiania (filtacji optymalnej) dla postego pzykładu symulacyjnego. Analizy zeczywistych sygnałów zaejestowanych w czasie pacy pzekładni pzedstawia duga część pacy. 1. WPROWADZENIE Poblem filtacji i filtu jest obecny w życiu człowieka od tysięcy lat. W miaę ozwoju nauki i techniki oaz stawianych wymagań pojęcie filtacji i filtu odnosi się do wielu zagadnień. Ogólnie pocedua (poces) filtacji dotyczy sepaacji (ozdzielenia) substancji, infomacji itd. o pożądanych właściwościach od substancji, infomacji itd. o niepożądanych właściwościach. Dane wejściowe stanowi mieszanina (w zależności od poblemu mieszanina może mieć óżny chaakte) substancji, infomacji itd. o pożądanych i niepożądanych właściwościach. W klasycznych zastosowaniach poces filtacji jest fizycznie ealizowany za pomocą uządzenia okeślanego mianem filtu. W zależności od zastosowań może to być układ elektyczny, filt optyczny, filt mechaniczny itd. * Politechnika Wocławska, Wydział Geoinżynieii, Gónictwa i Geologii, Instytut Gónictwa, pl. Teatalny, Wocław.

2 38 R. ZIMROZ W technice zastosowanie filtów jest badzo szeokie (oczyszczanie wody, powietza itd). Jeśli chodzi o sygnałowe znaczenie filtacji wiąże się to z odzyskiwaniem infomacji zniekształconej (zaszumionej) w czasie tansmisji pzez medium lub pzez inne źódła sygnałów stanowiących zakłócenie. W takim ujęciu filt oznacza obwód elektyczny (układ) selektywny (pzepuszczający lub tłumiący) w stosunku do pewnych składowych sygnału o okeślonych częstotliwościach. Dane wejściowe FILTR Dane wyjściowe poządane Dane wyjściowe niepoządane Rys. 1. Ogólna koncepcja pocesu filtacji Fig. 1. Geneal idea of filtation Szczególnym pzypadkiem filtu jest stosowany w pzetwazaniu sygnałów cyfowych filt cyfowy, któy w zasadzie nie jest uządzeniem, ale algoytmem (poceduą obliczeniową). Filtem cyfowym nazywamy algoytm ealizowany pzez pogam komputeowy lub cyfowy układ sekwencyjny, któy w eakcji na ciąg póbek sygnału dysketnego podanego na swoje wejście odpowiada ciągiem póbek wyjściowych, zgodnie z deteministyczną funkcją pzejścia, któa może być liniowa lub nieliniowa. v( d( x( FILTR OPTYMALNY h k ( lub H n (z) y( Rys.. Model sygnałowy w filtacji Fig.. Model of signals fo filteing poblem W paktyce badzo często w wyniku np. pomiaów wielkości fizycznych sygnał jest obaczony pewnym błędem spowodowanym występowaniem zakłóceń. Intuicyjnie celem filtacji jest takie pzekształcenie sygnału zaejestowanego x( pzy pomocy filtu h( aby uzyskany sygnał y( był jak najbadziej zbliżony do sygnału infomacyjnego d(. Niestety wielokotnie w filtacji sygnałów diagnostycznych taka opeacja jest ealizowana na podstawie wiedzy ekspeta, metodą pób i błędów. Diagnostyczne

3 Optymalna filtacja sygnałów i jej zastosowanie w diagnostyce odniesienie do poblemu filtacji to poszukiwanie niskoenegetycznego sygnału zawieającego infomację o uszkodzeniu lokalnym. Jako najlepsze ozwiązanie w wielu pacach poponowano filtację wokół jednej ze składowych o częstotliwości zazębienia (zwykle lub 3 h) w paśmie ±0,5 częstotliwości zazębienia [1]. Pzełomową okazała się popozycja Wanga [], dotycząca demodulacji wokół ezonansu zazębienia, oaz pace Randalla i antoniego [4, 5, 8] dotyczące kutozy widmowej. Piewsze póby zastosowania kutozy widmowej do diagnostyki elementów maszyn góniczych pzedstawiono w pacy [6]. Combet i Gelman [7] analizowali poblem filtacji optymalnej z uwzględnieniem óżnych technik. Filtację wykozystującą kutozę widmową stosuje z powodzeniem Baszcz [8] w odniesieniu do diagnostyki tubin wiatowych. Na ysunku pokazano sygnałowy model pocesu filtacji: ejestowany sygnał x( jest mieszaniną sygnałów: d( sygnał infomacyjny i v( zakłócenie (szum). Celem filtu jest odzyskanie infomacji o sygnale x(. Sygnał na wyjściu y( stanowi estymatę sygnału d(. W celu znalezienia ozwiązania optymalnego wato sięgnąć po ozwiązania zapoponowane pzez Wienea [9] już w latach 40. XX wieku.. FILTRACJA OPTYMALNA. FILTR WIENERA Zadaniem filtu Wienea jest odzyskanie pożądanego sygnału d( z zaszumionej (zniekształconej) obsewacji (pomiau) x(, ys. 3. Zakładając że d( i v( są sygnałami stacjonanymi w szeszym sensie (słabostacjonanymi) Wiene zapoponował podejście w pojektowaniu właściwości filtu h( tak aby estymowane y( było obaczone jak najmniejszym błędem estymacji e(: Q = min(e() (1) Najczęściej pzyjmuje się minimum błędu w sensie śedniokwadatowym (ang. MMSE minimum mean squae eo): v( d( + x( FILTR OPTYMALNY h k ( lub H n (z) y( + d( ε( y( Rys. 3. Ilustacja pocesu filtacji w sensie Wienea Fig. 3. Illustation of filteing pocess in Wiene sense

4 40 R. ZIMROZ Tak zdefiniowany poblem może posłużyć do ealizacji 4 podstawowych zadań w poblematyce pzetwazania sygnałów: Filtacja ekstakcja sygnału użytecznego (infomacji) w chwili t na podstawie danych zebanych do chwili t, Wygładzanie w pocesie pzetwazania sygnału wejściowego na potzeby wyznaczenia watości póbki sygnału wyjściowego Y(t) dysponujemy watościami sygnału wejściowego X zebanymi także po czasie t. Dostępność takiej infomacji zapewnia popawę estymacji Y(t) w poównaniu z filtacją, Pedykcja okeślenie watości pobki Y(t) na podstawie znajomości watości sygnałów zaejestowanych do chwili t 1, Rozplatanie (dekonwolucja). 3. OPTYMALNA FILTRACJA WIENERA Z WYKORZYSTANIEM FILTRU TYPU FIR W tej sekcji pzepowadzimy ozważania na temat możliwości estymacji watości pocesu d( popzez filtację sygnału x( z wykozystaniem filtu Wienea o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR. Zakładając że d( i x( są pocesami stacjonanymi w szeszym sensie, są współzależne, oaz znane są ich funkcje autokoelacji x ( d ( oaz funkcja koelacji wzajemnej dx ( oaz że h( jest odpowiedzią impulsową filtu cyfowego o skończonej odpowiedzi zędu N - 1 sygnał estymowany (odpowiedź filtu y( na pobudzenie sygnałem x() można wyazić następująco N y( = dˆ( = k = 1 0 h( x( n = h( * x( () gdzie * oznacza opeację splotu sygnałów ============================================================= Uwaga: Właściwości filtu można wyazić na óżne sposoby, np. jako odpowiedź na pobudzenie impulsowe h( lub w dziedzinie zmiennej zespolonej z jako efekt tansfomacji Z H(z)= N 1 n= 0 n h z (3) W dalszej części pacy te fomy opisu filtu będą stosowane zamiennie.

5 Optymalna filtacja sygnałów i jej zastosowanie w diagnostyce Estymacja d ˆ( n ) będzie optymalna jeśli watość błędu będzie zminimalizowana Q = min( E[ e ]) (4) gdzie E oznacza watość oczekiwaną pocesu. Zagadnienie optymalizacyjne spowadza się do wyznaczenia wektoa współczynników h = [h 0, h 1, h h N 1 ] T (5) opisujących filt h( opt Wyznaczenie optymalnej odpowiedzi impulsowej h( opt wiąże się z wyznaczeniem pochodnej z funkcji celu Q względem h( podstawiając Q = E[ e h( h( ] 0 [ ] = E[ ( d( y( ) ] Q = E e (7) (6) uzyskujemy N 1 k = 0 y = h( x( n (8) N 1 [( d( y( ) ] = E ( d( h( x( n ) = = Q E e E k = 0 (9) zamieniając sumę na zapis w postaci wektoowej N 1 k =0 gdzie h = [h 0, h 1, h h N 1 ] T x( = [x(, x(n 1), x(n )), x(n N)] T uzyskujemy y( = d ˆ( n ) = h ( k ) x ( n k )) = h T x( (10)

6 4 R. ZIMROZ Q = E[(d( h T x() ] = E[(d (] E[(d(h T x()] + E[(h T x () ] bioąc pod uwagę że: = E[(d (] h T E[(d( x()] + h T E[(x( x T ()]h (11) E[(d( x()] = dx ( E[(x( x T ()] = R ( (1) (13) Ostatecznie uzyskujemy Q = E[(d (] h T ( dx + h T R ( h (14) Jak już wspomniano minimalizacja w sensie śedniokwadatowym błędu estymacji sygnału d( popzez y( polega na wyznaczeniu minimum funkcji Q popzez wyznaczanie pochodnej względem zmiennej h innymi słowy na dobaniu takiego filtu opisanego popzez wekto współczynników h aby błąd estymacji był minimalny. dq dh = d dh {E[(d (] h T dx ( + h T R ( h} = 0 (15) dq = ( dh dx + R ( h = 0 (16) R ( ( h = dx (17) Powyższe ównanie okeśla się mianem ównania Wienea Hopfa. R ( jest maciezą autokoelacji Teoplitza spzężoną hemitowsko o wymiaze N N, h jest wektoem współczynników o długości N (0... N 1), ( dx jest wektoem koelacji wzajemnej pomiędzy sygnałami d( i x( Wekto współczynników opisujących optymalny filt Wienea wyaża się jako H = [ R ( ] 1 ( dx powacając do zapisu maciezowego (18) h 0 (0) h1 (1) = M M h N ( N) M (1) (0) ( N 1) L L O L ( N) ( N 1) M (0) 1 dx (0) dx (1) M dx ( N) (19)

7 Optymalna filtacja sygnałów i jej zastosowanie w diagnostyce Znajomość maciezy koelacji własnej sygnału wejściowego dla n-tej póbki [R ( ] oaz wektoa koelacji wzajemnej [ dx ( ] pomiędzy wektoami d( i x( pozwala zdefiniować współczynniki optymalnego filtu. 4. WYNIKI SYMULACJI W amach ekspeymentów symulacyjnych badano zdolność do odzyskania sygnału infomacyjnego (dla uposzczenia sinusoida) na podstawie zaszumionej obsewacji. Na ysunku 4 pzedstawiono symulowane sygnały: infomacyjny, szum, sumę sygnału infomacyjnego i szumu jako pzykład ealizacji pomiaowej(obsewacji) oaz wyniki filtacji: poównanie estymowanego i zaszumionego sygnału oaz poównanie sygnału estymowanego z oyginalną infomacją. Zastosowany sygnał infomacyjny jest badzo posty. Wybó postaci sygnału nie był pzypadkowy, chodzi o szybkie intepetowanie wyników filtacji. W dugiej części pacy zastosowane zostaną sygnały zeczywiste o znacznie badziej skomplikowanej stuktuze. Rys. 4. Wyniki symulacji: sygnały: infomacyjny (a), szum (b), suma sygnału infomacyjnego i szumu jako pzykład ealizacji pomiaowej(obsewacji) (c) oaz wyniki filtacji: poównanie estymowanego i zaszumionego sygnału (d), pzebieg odfiltowanego szumu (błąd adaptacji), (e) poównanie sygnału estymowanego z oyginalną infomacją (f) Fig. 4. Results of simulation: signals: infomative (a), noise (b), sum of a and b as an example of obsevation (c) and esults of filteing: compaison of SOI estimation and nosy signal (d), pediction eo (ecoveed noise) (e), compaison of estimated SOI and oiginal SOI (f)

8 44 R. ZIMROZ 4. WNIOSKI W pacy pzedstawiono poblem filtacji optymalnej w ujęciu zapoponowanym pzez Wienea. Zapoponowano zastosowanie filtacji optymalnej do poblemu ekstakcji sygnału infomacyjnego w diagnostyce uszkodzeń lokalnych. W piewszej części omówiono podstawy teoetyczne i pzedstawiono posty pzykład symulacyjny pokazujący jakość uzyskiwanych wyników filtacji. LITERATURA [1] MĄCZAK J., Wykozystanie zjawiska modulacji sygnału wiboakustycznego w diagnozowaniu pzekładni o zębach śubowych, Rozpawa doktoska, Politechnika Waszawska, [] WANG W., Ealy detection of gea tooth cacking using esonance demodulation technique, Mechanical Systems and Signal Pocessing, 15(5), 001, [3] BARSZCZ T., RANDALL R.B., Application of spectal kutosis fo detection of a tooth cack in the planetay gea of a wind tubine, Mechanical Systems and Signal Pocessing, Vol. 3, Issue 4, May 009, [4] ANTONI J. and RANDALL R.B., The spectal kutosis: application to the vibatoy suveillance and diagnostics of otating machines, Mechanical Systems and Signal Pocessing, Vol. 0, Issue, Febuay 006, [5] SAWALHI N., RANDALL R.B., ENDO H., The enhancement of fault detection and diagnosis in olling element beaings using minimum entopy deconvolution combined with spectal kutosis, Mechanical Systems and Signal Pocessing, Volume 1, Issue 6, August 007, [6] BARTELMUS W., ZIMROZ R., Optymalny zakes częstotliwości w poceduze demodulacji amplitudy w zastosowaniu do uszkodzeń lokalnych, Diagnostyka (Waszawa), 006 n 1, s , 006. [7] COMBET F., GELMAN L., Optimal filteing of gea signals fo ealy damage detection based on the spectal kutosis, Mechanical Systems and Signal Pocessing, Vol. 3, Issue 3, Apil 009, [8] BARSZCZ T., RANDALL R.B., Application of spectal kutosis fo detection of a tooth cack in the planetay gea of a wind tubine, Mechanical Systems and Signal Pocessing, Vol. 3, Issue 4, May 009, [9] WIENER N., Extapolation, Intepolation and Smoothing of Stationay Time Seies with Engineeing Applications, MIT Pess (1930/1949). OPTIMAL FILTERING OF SIGNALS AND ITS APPLICATION TO DIAGNOSTICS OF GEARBOXES. PART 1. THEORETICAL BACKGROUND An intoduction to optimal Wiene filteing and its application to condition monitoing of local damages in geaboxes is given in the pape. This wok consists of two pats: in the fist pat the idea of optimal filteing poposed by Wiene is discussed and simple illustation by simulation is povided. The second pat shows obstacles of Wiene appoach, howeve his concept of optimization of filte is still useful. It has been show that spectal kutosis and Wiene IIR filte ae the same. As an illustation of pactical application of optimal filte to local damage detection esults obtained fo planetay geaboxes used in mining industy ae showed.