Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015

Transkrypt

1 Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

2 Wst p Plan na dzi± Poznamy reguªy rachunku sekwentów Gentzena. Prze±ledzimy kilka(na±cie) dowodów w tym rachunku. Sformuªujemy kilka wa»nych faktów metalogicznych dotycz cych rachunku sekwentów. Zastanowimy si chwil nad porównaniem poznanych dot d metod dowodowych. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

3 Wst p Kontekst historyczny Rachunki sekwentów bior swój pocz tek z prac Gentzena. Zaproponowane przez niego systemy: LK (dla logiki klasycznej pierwszego rz du) oraz LJ (dla logiki intuicjonistycznej pierwszego rz du) miaªy pocz tkowo peªni rol pomocnicz w rozwa»aniach metalogicznych dotycz cych opracowanych tak»e przez niego systemów dedukcji naturalnej: NK (dla logiki klasycznej) oraz NJ (dla logiki intuicjonistycznej). Obecnie ró»ne odmiany rachunku sekwentów (dla wielu systemów logiki) s coraz bardziej popularnymi metodami dowodowymi, zarówno w dowodzeniu r cznym, jak i w automatycznym dowodzeniu twierdze«. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

4 Wst p Kontekst historyczny Celem Gentzena byªo tak»e wykazanie niesprzeczno±ci wa»nych teorii matematycznych (arytmetyki, analizy). Przypomnijmy,»e w 1931 roku Kurt Gödel udowodniª dwa wa»ne twierdzenia metalogiczne dotycz ce teorii wystarczaj co bogatych, aby zawrze w nich arytmetyk liczb naturalnych (o tych wynikach opowiemy na wykªadach w styczniu): 1 Je±li arytmetyka (pierwszego rz du) jest niesprzeczna, to jest niezupeªna oraz istotnie nierozstrzygalna. 2 Je±li arytmetyka (pierwszego rz du) jest niesprzeczna, to nie istnieje dowód jej niesprzeczno±ci w niej samej. Wykluczona zostaªa zatem mo»liwo± udowodnienia niesprzeczno±ci arytmetyki metodami ±ci±le nitystycznymi, zalecanymi w Programie Hilberta. Gentzen uzyskaª dowód niesprzeczno±ci arytmetyki, posªuguj c si szczególnym rodzajem indukcji (tzw. indukcja pozasko«czona do ε 0 ). Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

5 Wst p J zyk rachunku sekwentów Rachunek sekwentów, który tu przedstawimy opiera si na aksjomatach oraz zestawie reguª logicznych, dotycz cych wprowadzania staªych logicznych, a tak»e zestawie reguª strukturalnych. J zyk formalny, w którym mówimy o sekwentach ma sªu»y formalizacji zale»no±ci mi dzy zbiorami formuª polegaj cej na wyprowadzalno±ci jednego zbioru formuª (w szczególno±ci: zbioru jednoelementowego, czyli jednej formuªy) z innego zbioru formuª. Reguªy rachunku sekwentów charakteryzuj t zale»no± poprzez ustalanie,»e je±li owa relacja zachodzi mi dzy pewnymi zbiorami formuª, to zachodzi tak»e mi dzy innymi takimi zbiorami. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

6 Sekwenty Notacja Sekwentem jest dowolna para (Γ, ) sko«czonych zbiorów formuª. Sekwenty zapisujemy, korzystaj c z jakiej± przyj tej konwencji. Cz sto u»ywane zapisy to: 1 Γ = 2 Γ 3 Γ. Wybieramy tutaj trzeci z tych notacji. Ponadto, zwykªo si dokonywa pewnych uproszcze«notacji, np.: 1 Zamiast {ϕ 1,..., ϕ n } {ψ 1,..., ψ m } piszemy ϕ 1,..., ϕ n ψ 1,..., ψ m. 2 Zamiast Γ {ψ} piszemy Γ, ψ, a zamiast Γ {ψ} piszemy Γ, ψ. 3 Zamiast Γ piszemy Γ, a zamiast piszemy. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

7 Sekwenty Sekwenty: semantyka Mo»na nadawa ró»ne interpretacje (semantyczne) sekwentom. Za najbardziej naturaln uwa»a si do± powszechnie interpretacj, wedle której sekwent Γ stwierdza,»e je±li wszystkie formuªy z Γ s prawdziwe, to co najmniej jedna formuªa z jest prawdziwa. Formalnie interpretacj tak okre±lamy rozszerzaj c warto±ciowania boolowskie z formuª na sekwenty. Je±li v jest warto±ciowaniem, to piszemy v(γ ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy v(ϕ) = 0 dla pewnej formuªy ϕ Γ lub v(ψ) = 1 dla pewnej formuªy ψ. Innymi sªowy, v(γ ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy: je±li v(ϕ) = 1 dla wszystkich ϕ Γ, to v(ψ) = 1 dla co najmniej jednej ψ. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

8 Sekwenty Sekwenty: semantyka Je±li zatem Γ = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } oraz = {ψ 1, ψ 2,..., ψ m }, to nast puj ce warunki s równowa»ne: 1 v(γ ) = 1 2 v((ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) (ψ 1 ψ 2... ψ m )) = 1 3 v( ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ψ 1 ψ 2... ψ m ) = 1. Zauwa»my,»e: v( ) = 0 oraz v( ψ) = v(ψ), dla dowolnej formuªy ψ. Czasami konieczne bywa rozumienie sekwentów nie jako par zbiorów formuª, ale jako par ci gów formuª. W niektórych stylizacjach rachunku sekwentów rozwa»a si tak»e multizbiory, czyli zbiory, w których pewne elementy mog si powtarza. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

9 Reguªy Aksjomaty Rachunek RS ma nast puj ce aksjomaty: 1 ϕ ϕ 2 3 Reguªy logiczne dotycz poszczególnych spójników prawdziwo±ciowych (tu podamy je dla: negacji, koniunkcji, alternatywy oraz implikacji) i zwi zane s z wprowadzaniem tych funktorów w poprzedniku lub nast pniku sekwentu. Najpierw podamy reguªy logiczne dla funktorów prawdziwo±ciowych w jednej tabeli, potem po kolei wszystkie reguªy systemu: Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

10 Reguªy Reguªy logiczne (L ) Γ,ϕ Γ, ϕ Γ,ϕ Γ, ϕ (R ) (L ) Γ,ϕ,ψ Γ,ϕ ψ Γ,ϕ Γ,ψ Γ,ϕ ψ (R ) (L ) Γ,ϕ Γ,ψ Γ,ϕ ψ Γ,ϕ,ψ Γ,ϕ ψ (R ) (L ) Γ,ϕ Γ,ψ Γ,ϕ ψ Γ,ϕ,ψ Γ,ϕ ψ (R ) Omówimy teraz po kolei te reguªy: Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

11 Reguªy Reguªy dla negacji oraz dla implikacji Negacja: Γ, ϕ Γ, ϕ (L ) Γ, ϕ Γ, ϕ (R ) Implikacja: Γ, ϕ Γ, ψ Γ, ϕ ψ (L ) Γ, ϕ, ψ Γ, ϕ ψ (R ) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

12 Reguªy Reguªy dla koniunkcji oraz dla alternatywy Koniunkcja: Γ, ϕ, ψ Γ, ϕ ψ (L ) Γ, ϕ Γ, ψ Γ, ϕ ψ (R ) Alternatywa: Γ, ϕ Γ, ψ Γ, ϕ ψ (L ) Γ, ϕ, ψ Γ, ϕ ψ (R ) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

13 Reguªy Reguªy dla kwantykatorów ϕ(x/t), Γ xϕ, Γ (L ) Γ, ϕ(x/a) Γ, xϕ ϕ(x/a), Γ xϕ, Γ (L ) Γ, ϕ(x/t) Γ, xϕ (R ) (R ) Zastrze»enia: 1 W reguªach dla formuª z kwantykatorami sekwenty rozumiane s jako pary ci gów (formuª). 2 W reguªach: (L ) oraz (R ) symbol a jest parametrem, który nie mo»e wyst pi we wniosku reguªy. 3 W reguªach: (R ) oraz (L ) symbol t jest termem domkni tym. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

14 Reguªy Reguªy strukturalne Osªabienie (weakening): Skrócenie (contraction): Γ ϕ, Γ (LW ) Γ Γ, ϕ (RW ) Przestawienie (exchange): ϕ, ϕ, Γ ϕ, Γ (LC) Γ, ϕ, ϕ Γ, ϕ (RC) Γ 1, ϕ, ψ, Γ 2 Γ 1, ψ, ϕ, Γ 2 (LE) Γ 1, ϕ, ψ, 2 Γ 1, ψ, ϕ, 2 (RE) System o tych reguªach oraz aksjomatach b dziemy oznaczali przez RS (rachunek sekwentów dla logiki klasycznej). Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

15 Reguªy 1 Rozwa»amy tylko reguªy wprowadzania staªych logicznych (a nie, jak w systemach dedukcji naturalnej, tak»e reguªy eliminacji staªych logicznych). 2 We wniosku ka»dej reguªy mamy formuª gªówn, czyli t, która jest wprowadzana na mocy przesªanek. Pozostaªe formuªy tworz kontekst. 3 Formuªami aktywnymi nazywamy te formuªy w przesªankach reguªy, z których otrzymujemy formuª gªówn tej reguªy. 4 Jak zobaczymy pod koniec wykªadu, wszystkie reguªy systemu RS s odwracalne. 5 Zauwa»my wreszcie,»e ka»da reguªa dotyczy tylko jednej staªej logicznej oraz»e we wniosku ka»dej reguªy formuªa gªówna jest tylko jedna. 6 Rachunek sekwentów dla logiki intuicjonistycznej otrzymujemy z podanego wy»ej zestawu aksjomatów oraz reguª poprzez dodanie warunku,»e po prawej stronie sekwentów wyst powa mo»e jedynie pojedyncza formuªa (a nie sko«czony zbiór formuª). Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

16 Dowody i tezy Dowody Dowodem sekwentu Γ w systemie RS nazywamy sko«czone drzewo dwójkowe speªniaj ce nast puj ce warunki: 1 W korzeniu drzewa znajduje si sekwent Γ. 2 W li±ciach drzewa znajduj si aksjomaty systemu RS. 3 Dla ka»dego wierzchoªka w drzewa, który nie jest li±ciem: 1 Je±li rz d w jest równy jeden (czyli w ma dokªadnie jednego bezpo±redniego potomka), to istnieje reguªa systemu RS taka,»e w wierzchoªku w znajduje si wniosek tej reguªy, a w bezpo±rednim potomku wierzchoªka w znajduje si przesªanka tej reguªy. 2 Je±li rz d w jest równy dwa (czyli w ma dokªadnie dwóch bezpo±rednich potomków), to istnieje reguªa systemu RS taka,»e w wierzchoªku w znajduje si wniosek tej reguªy, a w bezpo±rednich potomkach w znajduj si przesªanki tej reguªy. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

17 Dowody i tezy Tezy Je±li sekwent Γ ma dowód w systemie RS, to piszemy RS Γ. Mo»emy równie» mówi,»e w rachunku RS dowodzimy formuª (j zyka KRZ lub j zyka KRP). Powiemy mianowicie,»e formuªa ϕ jest tez systemu RS, gdy sekwent ϕ ma dowód w systemie RS. Tradycja ka»e pisa dowody w systemie RS w postaci drzew, których korze«znajduje si na dole, a li±cie na górze. Praktyka znajdowania takich dowodów polega jednak zwykle na przechodzeniu od dowodzonego sekwentu do sekwentów, z których jest on wyprowadzany, a» do zako«czenia dowodu poprzez dotarcie do li±ci drzewa, b d cych aksjomatami systemu. Oczywi±cie nie ma zakazu, aby zaczyna budow dowodu od aksjomatów systemu, docieraj c do uzasadnianej tezy. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

18 Dowody i tezy Dowody: praktyka Chuck Norris potra ka»dy dowód w rachunku sekwentów RS przeprowadzi wªa±nie w ten sposób: raz, dwa znajduje aksjomaty potrzebne w dowodzie, a potem (z póªobrotu) wdzi cznie korzysta z dost pnych reguª. Wi kszo± osób, które znam prowadzi jednak dowody w RS metod backward proof search: zaczynamy od dowodzonego segmentu (w korzeniu drzewa) i dla ka»dego kolejnego wierzchoªka w budowanym dowodzie wybieramy w nim formuª gªówn oraz tworzymy bezpo±redniego potomka lub dwóch bezpo±rednich potomków, z odpowiednimi formuªami aktywnymi. Kontynuujemy to post powanie tak dªugo, a» na ka»dej gaª zi tworzonego drzewa znajdzie si aksjomat rachunku RS. Oczywi±cie, je±li w korzeniu drzewa znajduje si sekwent, który nie posiada dowodu, to w drzewie znajdzie si co najmniej jedna gaª ¹, której nie uda si zako«czy aksjomatem systemu RS. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

19 Przykªady 1. p p 2. q q 3. p, q p LW : 1 4. p, q q LW : 2 5. p, q p q R : 3, 4 6. q p q, p R : 5 7. p q, p, q R : 6 8. (p q) p, q L : 7 9. (p q) p q R : (p q) ( p q) R : 9 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

20 p (q p) Przykªady 1. p p aksjomat 2. q, p p LW : 1 3. p q p R : 2 4. p (q p) R : 3 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

21 Przykªady (p q) p 1. p p aksjomat 2. p, q p LW : 1 3. p q p L : 2 4. (p q) p R : 3 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

22 p (p q) Przykªady 1. p p aksjomat 2. p p, q RW : 1 3. p p q R : 2 4. p (p q) R : 3 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

23 Przykªady p p 1. p p aksjomat 2. p, p R : 1 3. p p L : 2 4. p p R : 3 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

24 Przykªady (p (p q)) (p q) p p q q p p p q, p q, p q p q, p p q, p q p, p (p q) q p (p q) p q (p (p q)) (p q) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

25 Przykªady ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ χ χ ϕ ψ, ϕ ψ χ, ψ ϕ χ, ϕ χ, ϕ χ ϕ χ, ψ, ϕ ψ, ϕ χ, ψ χ, ϕ χ, ϕ ψ, χ, ϕ χ ϕ, ϕ ψ χ, ψ χ, ϕ, ϕ ψ χ ϕ, ψ χ, ϕ ψ χ ψ χ, ϕ ψ ϕ χ ϕ ψ (ψ χ) (ϕ χ) (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

26 Przykªady p p p p p, p p p Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

27 (p q) (q p) Przykªady q q q p, q p, q p, q q p q, p p q, q p (p q) (q p) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

28 Przykªady (((p q) q) q) (p q) p p q q p, p q q p (p q) q q q p, ((p q) q) q q ((p q) q) q p q (((p q) q) q) (p q) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

29 ((ϕ ) ) ϕ Przykªady ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ (ϕ ) ϕ ((ϕ ) ) ϕ Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

30 Przykªady y xp(x, y) x yp(x, y) 1. P(a, b) P(a, b) aksjomat 2. xp(x, b) P(a, b) L : 1 3. xp(x, b) yp(a, y) R : 2 4. y xp(x, y) yp(a, y) L : 3 5. y xp(x, y) x yp(x, y) R : 4 6. y xp(x, y) x yp(x, y) R : 5 Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

31 xp(x) x P(x) Przykªady P(a) P(a) P(a) xp(x) xp(x), P(a) xp(x) P(a) xp(x) x P(x) xp(x) x P(x) Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

32 Przykªady wiczenia wiczenie 1. Podaj dowody sekwentów: 1 (p q) ((p r) (p (q r))) 2 (p q) ((q r) ((p q) r)) 3 x P(x) x P(x) 4 ( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x)) 5 ( xp(x) xq(x)) x(p(x) Q(x)) wiczenie 2. Wybierz Twoj ulubion tez (KRZ lub KRP) i zbuduj: jej dowód w systemie RS oraz jej dowód tablicowy. Jakie± reeksje? Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

33 Fakty metalogiczne Semantyka reguª 1 Je±li Γ jest aksjomatem systemu RS, to v(γ ) = 1 dla dowolnego warto±ciowania v. 2 Je±li przesªanka reguªy: (L ), (R ), (R ), (L ), (R ) ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v, to wniosek tej reguªy tak»e ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v. 3 Je±li obie przesªanki reguªy: (R ), (L ), (L ) maj warto± 1 przy warto±ciowaniu v, to wniosek tej reguªy tak»e ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v. 4 Je±li wniosek reguªy: (L ), (R ), (R ), (L ), (R ) ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v, to tak»e przesªanka tej reguªy ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v. 5 Je±li wniosek reguªy: (R ), (L ), (L ) ma warto± 1 przy warto±ciowaniu v, to tak»e obie przesªanki tej reguªy maj warto± 1 przy warto±ciowaniu v. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

34 Fakty metalogiczne Trafno± i peªno± Trafno± systemu RS (dla KRZ) jest oczywista: aksjomaty s tautologiami KRZ (je±li ϕ ϕ jest aksjomatem systemu RS, to oczywi±cie ϕ ϕ jest tautologi KRZ). Ponadto, je±li przesªanki reguªy rachunku RS s tautologiami KRZ, to i wniosek tej reguªy jest tautologi KRZ. Peªno± rachunku RS udowodni mo»na na ró»ne sposoby. W podr czniku Fitting 1990 zaleca si oczywi±cie dowód poprzez wykorzystanie Twierdzenia o Istnieniu Modelu. Wprowad¹my u»yteczny skrót: S = { ϕ : ϕ S}. Je±li S jest sko«czonym zbiorem formuª, to sekwentem stowarzyszonym z S nazwiemy dowolny sekwent Γ, gdzie para (Γ, ) jest podziaªem S, czyli: Γ = oraz Γ = S. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

35 Fakty metalogiczne Trafno± i peªno± Fakt. Je±li jaki± sekwent stowarzyszony z S ma dowód w systemie RS, to ka»dy sekwent stowarzyszony z S ma dowód w systemie RS. Powiemy,»e sko«czony zbiór formuª S jest sekwentowo sprzeczny, gdy dowolny (a w konsekwencji, ka»dy) sekwent stowarzyszony z S ma dowód w RS. Powiemy,»e sko«czony zbiór formuª S jest sekwentowo niesprzeczny, gdy nie jest on sekwentowo sprzeczny. Fakt. Rodzina wszystkich zbiorów sekwentowo niesprzecznych jest zdaniow wªasno±ci niesprzeczno±ci. Fakt. Zachodz nast puj ce implikacje: 1 Je±li sekwent Γ, ϕ ma dowód w systemie RS, to sekwent Γ, ϕ równie» ma dowód w systemie RS. 2 Je±li sekwent Γ, ϕ ma dowód w systemie RS, to sekwent Γ, ϕ równie» ma dowód w systemie RS. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

36 Fakty metalogiczne Trafno± i peªno± Twierdzenie o Peªno±ci Systemu RS dla KRZ. Je±li ϕ jest tautologi KRZ, to ϕ jest tez systemu RS (czyli: RS ϕ). Dowód. Przypu± my,»e ϕ nie jest tez systemu RS. Wtedy sekwent ϕ nie ma dowodu w RS. Oznacza to,»e zbiór { ϕ} jest sekwentowo niesprzeczny, gdy» w przeciwnym przypadku dowód posiadaªby sekwent ϕ, a zatem dowód posiadaªby równie» sekwent ϕ. Na mocy Twierdzenia o Istnieniu Modelu zbiór { ϕ} jest speªnialny, a zatem ϕ nie jest tautologi KRZ. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

37 Hauptsatz Gentzena Reguªa ci cia Reguª ci cia (cut rule) nazywamy reguª o nast puj cej postaci: Γ, ϕ ϕ, Γ Γ W szczególno±ci, je±li = {ψ}, to reguªa ci cia przybiera posta : Γ ψ, ϕ ϕ, Γ ψ Γ ψ Reguªa ta odpowiada zatem nast puj cej procedurze dowodowej: 1 Przypu± my,»e z jakich± zaªo»e«γ otrzymujemy lemat ϕ oraz tez ψ. 2 Przypu± my tak»e,»e z lematu ϕ oraz zaªo»e«γ otrzyma mo»emy tez ψ. 3 Na mocy reguªy ci cia mo»emy wtedy uzyska z zaªo»e«γ tez ψ. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

38 Hauptsatz Gentzena Hauptsatz Gentzena Reguªa ci cia wyst powaªa w oryginalnym systemie Gentzena. Pokazaª on jednak,»e u»ycia tej reguªy mog zosta w tym systemie wyeliminowane: Hauptsatz. Ka»dy dowód sekwentu Γ (w systemie RS z reguª ci cia), w którym wyst puje reguªa ci cia mo»e zasta zast piony dowodem w systemie RS bez u»ycia tej reguªy. Zamiast mówi o eliminowaniu reguªy ci cia, mo»na te» mówi,»e reguªa ci cia jest reguª dopuszczaln w systemie RS (zob. wykªad drugi). Porównajmy reguª ci cia z poznanymi wcze±niej reguªami: 1 Reguªa odrywania. ϕ ψ ϕ 2 Reguªa rezolucji. ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

39 Hauptsatz Gentzena Komentarze Dowody, które nie zawieraj u»y reguªy ci cia nazywa si analitycznymi. Dowody analityczne zalecaj si wieloma wªasno±ciami przydatnymi w automatycznym dowodzeniu twierdze«(m.in.: odwoªywanie si wyª cznie do podformuª u»ywanych w dowodzie formuª). Jednak dowody analityczne bywaj cz sto o wiele dªu»sze od dowodów, które analityczne nie s. Ka»dy dowód w systemie RS mo»na do± ªatwo przeksztaªci na dowód w systemie aksjomatycznym w stylu Hilberta. Aby pokaza,»e jest równie» na odwrót, czyli»e ka»dy dowód w systemie aksjomatycznym w stylu Hilberta mo»na przeksztaªci na dowód w systemie RS, trzeba odpowiednio zadba o reguª odrywania. Do tego wªa±nie sªu»y doª czenie reguªy ci cia do systemu RS. Nast pnie korzystamy oczywi±cie z twierdzenia o eliminacji reguªy ci cia. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40

40 Wykorzystana bibliograa Fitting, M First-Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer, Berlin. Gentzen, G Untersuchungen über das logische Schliessen. Mathematische Zeitschrift 39, , Negri, S., von Plato, J Structural Proof Theory. Cambridge University Press, Cambridge. Rasiowa, H., Sikorski, R The Mathematics of Metamathematics. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Pogorzelski, W.A Klasyczny rachunek kwantykatorów. Zarys teorii. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Smullyan, R First-Order Logic. Springer Verlag, Berlin. Troelstra, A.S., Schwichtenberg, H Basic Proof Theory. Cambridge University Press, Cambridge. Jerzy Pogonowski (MEG) Rachunki sekwentów MDTiAR 1xii / 40