Metody dowodowe: wst p
|
|
- Mateusz Matusiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody dowodowe: wst p Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 1 / 31
2 Uwagi organizacyjne Wymagania Korzysta b dziemy z wiadomo±ci przekazanych na kursach: Wprowadzenie do logiki, Logika I, Logika II. Kurs Matematyczne podstawy kognitywistyki nie byª obowi zkowy dla studentów obecnego V roku. Potrzebne nam poj cia matematyczne b d omawiane na bie» co. Konwersatoria 17 prowadzi Jerzy Pogonowski Kolokwium I (na konwersatorium 8) Konwersatoria 914 prowadzi Szymon Chlebowski Kolokwium II (na konwersatorium 15) Syllabus jest dost pny na stronach ZLiK. Kurs ko«czy si egzaminem. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 2 / 31
3 Spis tematów wykªadu 1 Preliminaria matematyczne i logiczne oraz uwagi historyczne 2 Ogólne operacje konsekwencji 3 Metoda aksjomatyczna 4 Postacie normalne i preksowe 5 Tablice analityczne Smullyana 6 Rezolucja 7 Dedukcja naturalna 8 Rachunki sekwentów 9 Dual tableaux (diagramy Rasiowej-Sikorskiego) 10 Metody dowodowe: zalety, wady, wzajemne zwi zki 11 Wybrane twierdzenia metalogiczne i metody ich dowodzenia 12 Teoria rekursji a metody dowodowe 13 Automatyzacja rozumowa«14 Rozstrzygalno± 15 Dowody matematyczne. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 3 / 31
4 Literatura Literatura podstawowa 1 Fitting, M First-Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer, Berlin. 2 Šawrow, I.A., Maksimowa, Š.L Zadania z teorii mnogo±ci, logiki matematycznej i teorii algorytmów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 3 Pogorzelski, W.A Elementarny sªownik logiki formalnej. Wydawnictwo Filii Uniwersytetu Warszawskiego, Biaªystok. 4 Stanford Encyclopedia of Philosophy: (artykuªy po±wi cone teorii dowodu oraz automatyzacji rozumowa«: The development of proof theory, Automated reasoning). Proponuj tak»e lektur zamieszczonych na stronach ZLiK materiaªów dydaktycznych: Pani Dr Doroty Leszczy«skiej-Jasion, Pana Prof. Mariusza Urba«skiego oraz Pana prof. Andrzeja Wi±niewskiego. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 4 / 31
5 Literatura Literatura dodatkowa 1 D'Agostino, M., Gabbay, D., Hähnle, R., Posega, J. (Eds.) Handbook of Tableaux Methods. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London. 2 Gallier, J Logic for Computer Science. Foundations of Automated Theorem Proving. Dover Publications, Mineola, New York. 3 Kaye, R The Mathematics of Logic. A guide to completeness theorems and their applications. Cambridge University Press, Cambridge. 4 Negri, S., von Plato, J Structural Proof Theory. Cambridge University Press, Cambridge. 5 Nerode, A., Shore, R.A Logic for Applications. Springer-Verlag, New York. 6 Orªowska, E., Goli«ska-Pilarek, J Dual Tableaux: Foundation, Methodology, Case Studies. Springer, Dordrecht Heidelberg London New York. 7 Smullyan, R First-Order Logic. Springer, Berlin. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 5 / 31
6 Metody dowodowe Przykªady matematyczne Uciechy szkolne Podano kilkaset dowodów Twierdzenia Pitagorasa. Znasz co najmniej jeden? Czy istnieje najwi ksza liczba pierwsza? Szok cywilizacyjny: wielko±ci niewspóªmierne. Czy równanie n 2 = 2m 2 ma rozwi zanie dla wzgl dnie pierwszych liczb m, n N, m > 0? Czy 2 2 jest liczb wymiern czy niewymiern? Jak obliczy ? Czy mo»liwa jest kwadratura koªa? Szkoªa uczyªa gªownie prostych algorytmów. Pami tasz algorytm dzielenia Euklidesa? Urocze uªamki ªa«cuchowe wygoniono ze szkoªy. Dlaczego ró»niczkowanie jest ªatwiejsze od caªkowania? Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 6 / 31
7 Metody dowodowe Przykªady logiczne Uciechy studenckie Wykªadnicze okrucie«stwo algorytmu 0 1. Có», M dra Ksi ga nie obiecywaªa,»e wszystkie algorytmy b d dziaªa w czasie wielomianowym. Okrucie«stwo metody aksjomatycznej: co dobre dla teorii, niekoniecznie jest przyjazne (Czªowiekowi, a nawet Maszynie). Metody dowodowe popularne wspóªcze±nie: tablice analityczne, rezolucja, dedukcja naturalna, rachunki sekwentów. Wspóªcze±nie stosowane notacje (znasz) i notacje porzucone (Frege, Le±niewski). Algorytmiczne po»ytki z diagramów Venna i Carrolla. Rozwa»my dwa przykªady argumentacji: Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Milicja, Wrocªaw i ja Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 7 / 31
8 Metody dowodowe Przykªady logiczne Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Nasza Pani od Biologii opowiada o Nietoperzach: Je±li Nietoperze nie maj piór, to: s Ptakami, o ile fruwaj. Nasza Pani od Biologii wyci ga z kieszeni Nietoperza i stwierdza: Nietoperze nie maj piór. Nasza Pani od Biologii zagl da do podr cznika systematyki Zwierz t i stwierdza: Ale przecie» Nietoperze nie s Ptakami. Nasza Pani od Biologii konkluduje: A zatem Nietoperze nie fruwaj. p: Nietoperze maj pióra. q: Nietoperze fruwaj. r: Nietoperze s Ptakami. Przesªanka: p (q r) Przesªanka: p Przesªanka: r Wniosek: q Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 8 / 31
9 Metody dowodowe Przykªady logiczne Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Drzewo argumentacji (dowodu) ma posta nast puj c : r q p (q r) p q r W tej argumentacji posªu»ono si kolejno reguªami: modus ponens modus tollens. Argumentacja jest poprawna z logicznego punktu widzenia. Wniosek jest faªszywy, a zatem która± z przesªanek jest faªszywa. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 9 / 31
10 Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Czy na podstawie uznania nast puj cych stwierdze«: Je±li nie udowodniono podejrzanemu popeªnienia morderstwa, to: stwierdzono samobójstwo denata lub wykonano sentencj wyroku, o ile udaªo si zatrzyma podejrzanego. Podejrzanemu nie udowodniono popeªnienia morderstwa. Nie stwierdzono samobójstwa denata. Udaªo si zatrzyma podejrzanego. gotowa jeste± uzna stwierdzenie: Wykonano sentencj wyroku? Uwaga: musimy podj decyzj dotycz c reprezentacji skªadniowej pierwszej przesªanki. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 10 / 31
11 Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Zdania proste w tym tek±cie: p: Udowodniono podejrzanemu popeªnienie morderstwa. q: Stwierdzono samobójstwo denata. r: Udaªo si zatrzyma podejrzanego. s: Wykonano sentencj wyroku. Przesªanka: p (q (r s)) Przesªanka: p Przesªanka: q Przesªanka: r Wniosek: s Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 11 / 31
12 Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Drzewo argumentacji (dowodu): r q r s p p (q (r s)) q (r s) s W tej argumentacji posªu»ono si kolejno reguªami: modus ponens (reguªa odrywania) opuszczania alternatywy modus ponens. Argumentacja jest poprawna z logicznego punktu widzenia. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 12 / 31
13 Metody dowodowe Dowody, algorytmy, obliczenia Ku Wrogiej Sztucznej Inteligencji? Dowody (w sensie logicznym): dobrze okre±lone obiekty syntaktyczne. Dowody matematyczne: argumentacje stosowane w matematyce. Dogmat: ka»dy dowód matematyczny mo»e zosta przeksztaªcony w dowód w sensie logicznym. Algorytm: czysto mechaniczna procedura, pozwalaj ca w sko«czonej liczbie prostych, z góry okre±lonych kroków uzyska wynik (odpowied¹, rozwi zanie). Intuicyjne poj cie procedury obliczalnej poddano formalizacji, na wiele sposobów: funkcje rekurencyjne, maszyny Turinga, systemy Posta, algorytmy Markowa, rachunek λ Churcha, itd. Uzyskano wyniki dotycz ce niezupeªno±ci oraz nierozstrzygalno±ci wa»nych teorii matematycznych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 13 / 31
14 Uwagi historyczne Logika matematyczna Optymistyczne pocz tki Pocz tki logiki: Arystoteles, Stoicy, logicy redniowiecza, Leibniz. Pocz tki logiki matematycznej: De Morgan, Boole, Peano, Frege, Pierce, Schröder, Russell, Le±niewski, Šukasiewicz,... Nurt algebraiczny w logice Stanowiska lozoczne: logicyzm, formalizm, intuicjonizm Inspiracje matematyczne Szkoªa Lwowsko-Warszawska Podstawy matematyki i metalogika 4T: teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji, teoria mnogo±ci Uwaga: bardziej szczegóªowe informacje historyczne podawane b d podczas kolejnych wykªadów. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 14 / 31
15 Uwagi historyczne Logika matematyczna Zªoty wiek XX David Hilbert ( ) i jego program Ernst Zermelo ( ): teoria mnogo±ci Emil Post ( ): algebra logiki, systemy Posta Gerhard Gentzen ( ): dedukcja naturalna, sekwenty Alan Turing ( ): teoria oblicze«jacques Herbrand ( ): twierdzenie Herbranda, obliczalno± Thoralf Skolem ( ): teoria mnogo±ci, arytmetyka Kurt Gödel ( ): niezupeªno± PM, teoria mnogo±ci Luitzen Egbertus Jan Brouwer ( ): intuicjonizm Alonzo Church ( ): nierozstrzygalno± KRP Stanisªaw Ja±kowski ( ): dedukcja naturalna Alfred Tarski ( ): teoria modeli Adolf Lindenbaum ( ): lemat Lindenbauma Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 15 / 31
16 Uwagi historyczne Automatyzacja rozumowa«nadchodzi Matrix Bªogosªawiony Rajmund Lull (Doctor Illuminatus, ): logika w sªu»bie nawracania niewiernych. Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ): prekursor logiki formalnej. Od mechanicznych kalkulatorów do elektronicznych maszyn cyfrowych. Matematyczne reprezentacje oblicze«. Teza Churcha-Turinga. Automatyczne dowodzenie twierdze«: ile mo»na osi gn? Marciszewski, W., Murawski, R Mechanization of reasoning in a historical perspective. Rodopi, Amsterdam-Atlanta. Ligonniére, R Prehistoria i historia komputerów. Ossolineum, Wrocªaw-Warszawa-Kraków. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 16 / 31
17 Preliminaria matematyczne Drzewa Drzewem (o korzeniu x 0 ) nazwiemy ka»dy ukªad X, R, x 0 taki,»e: 1 X, R jest grafem o zbiorze wierzchoªków X i zbiorze kraw dzi R X X ; 2 R jest cz ±ciowym porz dkiem w X ; 3 x 0 jest elementem R-najmniejszym w X ; 4 zbiór wszystkich R-poprzedników ka»dego wierzchoªka jest liniowo uporz dkowany przez relacj R. Li± mi drzewa D nazywamy wszystkie te jego wierzchoªki, które nie maj R-nast pników. Je±li (x, y) R jest kraw dzi w D, to x nazywamy przodkiem y, a y nazywamy potomkiem x. Je±li (x, y) R R 2 jest kraw dzi w D, to x nazywamy bezpo±rednim przodkiem y, a y nazywamy bezpo±rednim potomkiem x. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 17 / 31
18 Preliminaria matematyczne Drzewa Ka»dy podzbiór zbioru wierzchoªków drzewa D, który jest uporz dkowany liniowo przez R nazywamy ªa«cuchem w D (czasem: ±cie»k w D). Ka»dy ªa«cuch maksymalny (wzgl dem inkluzji) w D nazywamy gaª zi w D. Przez dªugo± ªa«cucha P rozumiemy liczb elementów zbioru P. Rz dem wierzchoªka x nazywamy moc zbioru wszystkich bezpo±rednich potomków x. Rz dem drzewa D jest kres górny rz dów wszystkich wierzchoªków drzewa D. Drzewo D jest sko«czone, je±li zbiór jego wierzchoªków jest sko«czony; w przeciwnym przypadku jest niesko«czone. Drzewo D jest rz du sko«czonego (jest sko«czenie generowane), je±li ka»dy jego wierzchoªek ma rz d sko«czony. Przez indukcj deniujemy poziomy drzewa: 1 poziom zerowy to zbiór jednoelementowy, zªo»ony z korzenia drzewa; 2 poziom k + 1 to zbiór wszystkich bezpo±rednich nast pników wierzchoªków poziomu k. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 18 / 31
19 Preliminaria matematyczne Drzewa Oswajanie drzew W dalszym ci gu b dziemy rozwa»a gªównie drzewa sko«czone lub rz du sko«czonego. Bli»ej oswoimy si z drzewami na konwersatorium. Drzewo dwójkowe to drzewo, w którym ka»dy wierzchoªek ma co najwy»ej dwóch bezpo±rednich potomków. Peªne drzewo dwójkowe to drzewo, w którym ka»dy wierzchoªek ma dokªadnie dwóch bezpo±rednich potomków. Przez drzewo znakowane (elementami ze zbioru L) rozumiemy par uporz dkowan (D, f ), gdzie D jest drzewem, a f jest funkcj ze zbioru wierzchoªków drzewa D w zbiór L. Zwykle L b dzie pewnym zbiorem formuª. Graczne reprezentacje drzew s rysunkami, na których wierzchoªki (jako± znakowane punktami, liczbami, formuªami, itd.) poª czone s liniami, odpowiadaj cymi kraw dziom. Przy tym, je±li X, R, x 0 jest drzewem, to na rysunku zaznaczamy tylko kraw dzie nale» ce do R R 2. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 19 / 31
20 Preliminaria matematyczne Lemat Königa Lemat Königa. Je±li drzewo D = X, R, x 0 rz du sko«czonego jest niesko«czone, to ma gaª ¹ niesko«czon. Dowód. Przypu± my,»e D jest niesko«czone. Zdeniujemy gaª ¹ niesko«czon {x 0, x 1, x 2,...} w D przez indukcj matematyczn. Element x 0 (czyli korze«drzewa D) jest pierwszym elementem konstruowanej gaª zi. Poniewa» D jest niesko«czone, wi c x 0 ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Przypu± my,»e x 0, x 1, x 2,..., x n 1 zostaªy zdeniowane tak,»e x i nale»y do i-tego poziomu drzewa D oraz x i ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Z zaªo»enia, x n 1 ma tylko sko«czenie wiele bezpo±rednich R-nast pników. Poniewa» x n 1 ma niesko«czenie wiele R-nast pników, wi c co najmniej jeden z jego bezpo±rednich R-nast pników tak»e ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Wybieramy wi c element x n z n-tego poziomu drzewa D o tej wªa±nie wªasno±ci. Wtedy x n ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Poniewa» jest tak dla ka»dego n, pokazali±my istnienie niesko«czonej gaª zi {x 0, x 1, x 2,...} w drzewie D. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 20 / 31
21 Preliminaria matematyczne Indukcja strukturalna Logiczne BHP Konstrukcje syntaktyczne w j zykach systemów logicznych s jednoznaczne. Termy, formuªy, dowody mo»na reprezentowa np. przez stosowne drzewa. Indukcyjne denicje termów i formuª wykorzystywa mo»na w dowodach wielu wªasno±ci, opieraj c si na nast puj cym twierdzeniu o oczywistym dowodzie (zob. np. Fitting 1990, 10): Twierdzenie. (Zasada Indukcji Strukturalnej). Ka»da formuªa j zyka KRZ ma wªasno± Q, o ile: 1 Krok pocz tkowy. Ka»da formuªa atomowa ma wªasno± Q; 2 Kroki indukcyjne. 1 Je±li ϕ ma wªasno± Q, to ϕ ma wªasno± Q; 2 Je±li ϕ oraz ψ maj wªasno± Q, to (ϕ ψ) ma wªasno± Q, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 21 / 31
22 Preliminaria matematyczne Indukcja strukturalna Logiczne BHP W teorii mnogo±ci dowodzi si twierdzenia o deniowaniu przez rekursj. Jego zastosowaniem w przypadku j zyków logiki jest twierdzenie (zob. np. Fitting 1990, 10): Twierdzenie. (Zasada Rekursji Strukturalnej). Istnieje dokªadnie jedna funkcja f okre±lona na zbiorze F wszystkich formuª j zyka KRZ taka,»e: 1 Krok pocz tkowy. Warto± f jest podana wyra¹nie dla formuª atomowych. 2 Kroki rekurencyjne. 1 Warto± f dla ψ jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ψ; 2 Warto± f dla (ϕ ψ) jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ϕ oraz dla ψ, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Mo»emy zatem deniowa m.in. ró»ne funkcje o warto±ciach liczbowych, charakteryzuj cych zªo»ono± formuª. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 22 / 31
23 Preliminaria logiczne Ustalenia terminologiczne Chyba nie spaliªa± notatek z wykªadów? W omawianiu wªasno±ci metod dowodowych po»yteczne b dzie korzystanie z Lematu Hintikki oraz Twierdzenia o Istnieniu Modelu (najpierw: dla KRZ; pó¹niej: dla KRP); zob. np. Fitting 1990, Zakªadamy te»,»e intensywne prze»ycia wakacyjne nie wymazaªy z pami ci sªuchaczy denicji podstawowych poj logicznych (z KRZ oraz KRP). Zwykle korzysta b dziemy jedynie z wybranych funktorów prawdziwo±ciowych (primary connectives w terminologii podanej w Fitting 1990, 13). By mo»e sªuchacze mieli ju» styczno± z notacj Smullyana (α-formuªy i β-formuªy). Oswoimy si z ni na konwersatorium. Nie zakªadamy pryncypialnie,»e podczas caªego cyklu wykªadów zachowamy konsekwencj w oznaczeniach. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 23 / 31
24 Preliminaria logiczne Funkcje prawdziwo±ciowe Wszystkie funkcje prawdziwo±ciowe 2-argumentowe p q p q q p Pierwsze dwie kolumny podaj wszystkie ukªady warto±ci argumentów, kolejne kolumny podaj warto± dla tego ukªadu argumentów ka»dej z szesnastu dwuargumentowych funkcji prawdziwo±ciowych. Czy widzisz jakie± symetrie w tej tabeli? Lubimy odró»nia : spójnik, funktor oraz funkcj (wszystkie z okre±leniem: prawdziwo±ciowy). Nie jeste±my jednak ortodoksami i przystajemy na uproszczenia w podr cznikach. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 24 / 31
25 Preliminaria logiczne Funktory pierwszorz dne Funktory pierwszorz dne 1arg. 2 arg Poszczególne kolumny tej tabeli odpowiadaj : pierwszemu argumentowi, drugiemu argumentowi, koniunkcji, alternatywie, implikacji prostej, implikacji odwrotnej, kresce Sheera, binegacji, zaprzeczeniu implikacji prostej, zaprzeczeniu implikacji odwrotnej. Funktor jest (przez informatyków) nazywany NAND, natomiast nazywany jest (przez informatyków) NOR. Uwaga na porz dek wierszy tej tabeli! Taki podaje Fitting, my lubimy dokªadnie odwrotny porz dek. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 25 / 31
26 Preliminaria logiczne Notacja Smullyana Notacja Smullyana Od kilku dekad karier robi notacja zaproponowana przez Raymonda Smullyana, zwana te» jednolit notacj (uniform notation). Notacja ta motywowana jest wªasno±ciami semantycznymi. Naszym zdaniem ªatwo j zapami ta, patrz c na diagram Hassego stosownej algebry Lindenbauma-Tarskiego, który narysujemy na konwersatorium. W±ród funktorów pierwszorz dnych oraz ich zaprzecze«wyró»nimy te, które dziaªaj koniunkcyjnie oraz te, które dziaªaj alternatywnie. Formuªy z tymi pierwszymi funktorami oznacza si symbolem α, te drugie za± symbolem β. Skªadniki takich formuª s oznaczane symbolami, odpowiednio: α 1, α 2 oraz β 1, β 2. Skªadniki te wyznaczane s wedle nast puj cej konwencji: Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 26 / 31
27 Preliminaria logiczne Notacja Smullyana Formuªy koniunkcyjne i formuªy alternatywne α α 1 α 2 ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ β β 1 β 2 (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ Pó¹niej rozszerzymy jednolit notacj na j zyk KRP. Zasady: Indukcji Strukturalnej oraz Rekursji Strukturalnej zachodz te» w nast puj cych wersjach: Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 27 / 31
28 Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Zasada Indukcji Strukturalnej Twierdzenie. (Zasada Indukcji Strukturalnej). Ka»da formuªa j zyka KRZ ma wªasno± Q, o ile: 1 Krok pocz tkowy. Ka»da formuªa atomowa oraz jej negacja maj wªasno± Q; 2 Kroki indukcyjne. 1 Je±li ϕ ma wªasno± Q, to ϕ ma wªasno± Q; 2 Je±li α 1 oraz α 2 maj wªasno± Q, to α ma wªasno± Q. 3 Je±li β 1 oraz β 2 maj wªasno± Q, to β ma wªasno± Q. Dowód (Fitting 1990, 2122). Zaªó»my,»e Q jest wªasno±ci speªniaj c warunki twierdzenia. Powiemy,»e formuªa ψ jest dobra, je±li ψ oraz ψ maj wªasno± Q. Je±li poka»emy,»e ka»da formuªa jest dobra, to wyniknie z tego,»e ka»da formuªa ma wªasno± Q. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 28 / 31
29 Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Dowód Zasady Indukcji Strukturalnej Je±li ψ jest atomowa, to jest dobra (na mocy kroku pocz tkowego). Zaªó»my,»e ψ jest dobra. Wtedy ψ, ψ maj wªasno± Q. Na mocy kroku indukcyjnego 1, ψ ma wªasno± Q. A zatem ψ jest dobra. Zaªó»my,»e ϕ oraz ψ s dobre. Je±li (ϕ ψ) jest α-formuª, to (ϕ ψ) jest β-formuª, a je±li (ϕ ψ) jest β-formuª, to (ϕ ψ) jest jest α-formuª. W ka»dym z tych przypadków, {α 1, β 1 } {ϕ, ϕ}. Poniewa» ϕ oraz ϕ s dobre, wi c obie maj wªasno± Q (czyli α 1 i β 1 maj wªasno± Q). Podobnie, {α 2, β 2 } {ψ, ψ}, a wi c α 2, β 2 maj wªasno± Q. Na mocy ostatnich dwóch kroków indukcyjnych, α i β maj wªasno± Q. Na mocy pierwotnej wersji Zasady Indukcji Strukturalnej, ka»da formuªa jest dobra, czyli ka»da formuªa ma wªasno± Q. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 29 / 31
30 Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Zasada Rekursji Strukturalnej Twierdzenie. (Zasada Rekursji Strukturalnej). Istnieje dokªadnie jedna funkcja f okre±lona na zbiorze F wszystkich formuª j zyka KRZ taka,»e: 1 Krok pocz tkowy. Warto± f jest podana wyra¹nie dla formuª atomowych oraz ich negacji. 2 Kroki rekurencyjne. 1 Warto± f dla ψ jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ψ; 2 Warto± f dla α jest okre±lona w terminach warto±ci f dla α 1 oraz dla α 2. 3 Warto± f dla β jest okre±lona w terminach warto±ci f dla β 1 oraz dla β 2. Twierdzenie to mo»na wykorzysta do deniowania stopnia zªo»ono±ci formuª, zapisywanych w jednolitej notacji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 30 / 31
31 Preliminaria logiczne Stopnie i rangi formuª Stopnie i rangi formuª j zyka KRZ Funkcja stopnia dg zdeniowana jest indukcyjnie: Stopie«formuª atomowych (zmiennych oraz i ) jest równy 0. dg( ψ) = dg(ψ) + 1 dg((ϕ ψ)) = dg(ϕ) + dg(ψ) + 1, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Funkcja rangi rk zdeniowana jest indukcyjnie: rk(p) = rk( p) = 0 dla zmiennych zdaniowych p. rk( ) = rk( ) = 0. rk( ψ) = rk(ψ) + 1 rk(α) = rk(α 1 ) + rk(α 2 ) + 1 rk(β) = rk(β 1 ) + rk(β 2 ) + 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 31 / 31
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Cele wykładu Wykład ma trzy zasadnicze cele: 1. Przedstawienie wybranych metod dowodowych, stosowanych w logice.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Plan na dziś Wprowadzimy kilka pojęć, które będą istotnie wykorzystywane w
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Bardziej szczegółowoRachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015
Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIA 2015/2016 V rok kognitywistyki UAM 1 Uwagi organizacyjne Zajęcia 1 8: Jerzy Pogonowski (obie grupy) Zajęcia 9-15: Szymon Chlebowski (obie
Bardziej szczegółowoPreliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoMetoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoMetalogika. Jerzy Pogonowski. Geneza metalogiki. Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM
Metalogika Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Geneza metalogiki Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Geneza metalogiki 1 / 22 Wst p Cel wykªadów Cel
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAutomorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1
Bardziej szczegółowoRachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoLogika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Bardziej szczegółowoWyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Bardziej szczegółowoFunkcje rekurencyjne (1) (JiNoI III)
Funkcje rekurencyjne (1) (JiNoI III) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 14 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Funkcje rekurencyjne (1) (JiNoI III) 14 lutego
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoWyniki prof. Rasiowej w informatyce I
G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I 22 06 2017 1 / 24 Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I G. Mirkowska & A. Salwicki Instytut Informatyki UKSW salwicki@mimuw.edu.pl przyczynek
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5C: TABLICE ANALITYCZNE PRZYKŁADY
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 5C: TABLICE ANALITYCZNE PRZYKŁADY III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Reguły 1.1 KRZ Reguły rozszerzania tablic analitycznych dla formuł
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoNaukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoMetalogika (11) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (11) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (11) Uniwersytet Opolski 1 / 80 Wstęp Plan wykładu
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoDrzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoUrok Zagadek Matematycznych
Urok Zagadek Matematycznych Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Kraków, 24.X.2013 Jerzy Pogonowski (MEG) Urok Zagadek Matematycznych Kraków, 24.X.2013 1
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoLogika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowo10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
Bardziej szczegółowo